2021年秋八年级数学上册人教版专题训练课件：专题一
2021年人教版数学八年级上《整数指数幂》教学PPT课件
例1 （1）-22=
，
（3）（-2）0= ，
（5） 2-3=________ ，
（2）（-2）2= ， （4） 20=________， （6） （-2）-3= ，
课堂练习
能力提升
能力提升
能力提升
能力提升
能力提升
能力提升
能力提升
7．计算： (1)(－2)2＋(－2)×30－14－2； 解：原式＝4＋(－2)×1－16＝－14 (2)2＋(－3)2－2 0190×|－4|＋； 解：原式＝2＋9－1×4＋6＝13
能力提升
能力提升
8.将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：
解： 原式=
原式=
能力提升
9.将下列各式写成ຫໍສະໝຸດ 含分母的形式：解：原式=原式=
原式=
原式=
课堂小结
注意：若无特殊要求，结果若含有负整数指数幂一般要化成分式形式
第五单元 整式的乘法与因式分解
5.5整数指数幂
人教版数学（八年级上）
第五单元 整式的乘法与因式分解
5.5整数指数幂
人教版数学（八年级上）
学习目标
1.理解并掌握负整数指数幂的运算性质.（重点） 2.理解整数指数幂的性质并应用其解决实际问题．（难点）
回顾旧知 课时导入
说一说正整数指数幂的运算法则有哪些？
问题引入 课时导入
若规定：将正整数幂运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大到“整 数”，这些性质仍使用。
计算：
探究新知
计算：a3 ÷a5=? (a ≠0) 你有几种解法？
运用同底数幂相除
a3÷a5=a3-5=a-2.
运用分式的约分
探究新知
计算：a0 ÷an=? (a ≠0)
第12章 全等三角形——动点全等模型专题训练 2021-2022学年人教版八年级数学上册
第12章全等三角形——动点全等模型专题训练1．综合与探究如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝，∠AED＝．（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．3．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝6cm，点P从点A出发，沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发．当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段BP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．4．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）5．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动，若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．6．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？7．如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝8cm，CD＝6cm，∠B＝∠C，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，点Q运动的速度是每秒2cm，点P运动的速度是每秒acm（a ≤2），当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t秒．（1）BQ＝，BP＝．（用含a或t的代数式表示）（2）运动过程中，连接PQ，DQ，△BPQ与△CDQ能否全等？若能，请求出相应的t和a的值，若不能，说明理由．8．如图，AB＝36米，CB⊥AB于点B，EA⊥AB于点A，已知CB＝24米，点F从点B出发，以3米/秒的速度沿BA向点A运动（到达点A停止运动），设点F的运动时间为t秒．（1）如图，S△BFC＝．（用t的代数式表示）（2）点F从点B开始运动，点D同时从点A出发，以x米/秒的速度沿射线AE运动，是否存在这样x的值，使得△AFD与△BCF全等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．9．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．（1）PC＝cm（用含t的代数式表示）．（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．10．如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM上运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）试求∠ACB的度数；（2）若S△ABD：S△BEC＝2：3，试求动点D，E的运动时间t的值；（3）试问当动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．11．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段CA上由C点以a厘米/秒的速度向A点运动．设运动的时间为t秒．（1）直接写出：①BD＝厘米；②BP＝厘米；③CP＝厘米；④CQ＝厘米；（可用含t、a的代数式表示）（2）若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a、t的值；（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动．设运动的时间为t秒；直接写出t＝秒时点P与点Q第一次相遇．12．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M为AC上一点且AM＝BC，过A点作射线AN⊥CA，A为垂足，若一动点P从A出发，沿AN运动，P点运动的速度为2cm/秒．（1）经过几秒△ABC与△PMA全等；（2）在（1）的条件下，AB与PM有何位置关系，并加以说明．14．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M以2cm/秒的速度运动．（1）若点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向A点运动，它们同时出发，若点N的运动速度与点M的运动速度相等．①当t＝时，MN∥AC；（直接写出答案）②经过3秒后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．（2）如果点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25秒点M与点N第一次相遇，试求点N运动的速度．（直接写出答案）15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，∠B＝∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线段BC上从B向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE．（1）运动秒时，AE＝DC（不必说明理由）（2）运动多少秒时，∠ADE＝90°﹣∠BAC，并请说明理由．16．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．。
12-2-6 全等专题-几何变换模型2021-2022学年八年级数学上册练(人教版)(解析版)
12.2.6 全等专题-几何变换模型平移全等模型【例题1】（2021·衡阳）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC △△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上 △//,//AC DF BC EF△,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DEABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABC DEF ASA △≌△【点睛】平移是几何变换中的一种，平移不改变形状和大小，三角形平移得到的两个三角形是全等的.本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等．此题型通常结合线段的和差以及平行线的性质与判定综合考察.1. 平移全等模型，如下图：变式训练【变式1-1】（2021·河南）如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的—个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． △AB DE =；△AC DF =；△ABC DEF ∠=∠；△BE CF =； 解：我写的真命题是：在ABC 和DEF 中，已知：________________． 求证：________________．（不能只填序号） 【详解】解：将△△△作为题设，△作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB DE =，AC DF =，BE CF =． 求证：ABC DEF ∠=∠． 证明：△BE CF =， △BC EF =．在ABC 和DEF 中，AB DEAC DF BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△()ABC DEF SSS ≌． △ABC DEF ∠=∠；将△△△作为题设，△作为结论，可写出一个正确的命题，如下：已知：如图，在ABC 和DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，AB DE =，ABC DEF ∠=∠，BE CF =． 求证：AC DF =． 证明：△BE CF =， △BC EF =．在ABC 和DEF 中，AB DEABC DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ABC DEF SAS ≌， △AC DF =．【变式1-2】（2021·北京一模）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，//,,AB DE AB DE BE CF ==．求证：A D ∠=∠．【分析】根据平行得出B DEF ∠=∠，然后用“边角边”证明ABC DEF △≌△即可． 【详解】证明：△//AB DE ， △B DEF ∠=∠． △BE CF =，△BE EC CF EC +=+． △BC EF =．在ABC 和DEF 中，,,,AB DE B DEF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC DEF △≌△． △A D ∠=∠．【变式1-3】（2021·湖北武汉市·九年级三模）已知：如图，点E 、C 在线段BF 上，BE ＝CF ，AB △DE ，AC △DF ．求证：△ABC △△DEF ．【分析】由BE ＝CF ，可推出BC ＝EF ，再由平行线的性质可推出△B ＝△DEF ，△ACB ＝△F ．即可利用“ASA”证明△ABC △△DEF ． 【详解】证明：△BE ＝CF ， △BC ＝EF ，△AB △DE ，AC △DF ， △△B ＝△DEF ，△ACB ＝△F ， 在△ABC 和△DEF 中，B DEFBC EF ACB F ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， △△ABC △△DEF （ASA ）．翻折全等模型【例2】（2021·全国九年级专题练习）如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，△BAE ＝△DAC ．求证：△C ＝△E ． 【分析】根据△BAE =△DAC ，可推出△BAC =△DAE ，解题已知可证△BAC △△DAE 即可得出答案． 【详解】△△BAE =△DAC ，△△BAE ＋△EAC =△DAC ＋△EAC ， 即：△BAC =△DAE ． 在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BAC △△DAE ． △△C =△E ．【点睛】翻折是几何变换中的一种，翻折不改变形状和大小，其实就是一种抽对称变换.翻折的边，角都对应相等．此题型通常结合公共边、公共角、角的和差以及等量代换综合考察三角形全等. 变式训练【变式2-1】（2021·苏州一模）已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，,AD AE BD CE ==． 求证：B C ∠=∠．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 推出即可． 【详解】证明：△AD ＝AE ，BD ＝CE ， △AB ＝AC ，翻折全等模型，如下图：在△ABE 和△ACD 中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ABE △△ACD （SAS ）， △△B =△C ．【变式2-2】（2021·昆明二模）如图，已知AE 平分CAD ∠，AC AD =，求证：CBE DBE ∠=∠． 【分析】根据题意得出CAB DAB ∠=∠，再利用SAS 即可证明ABC ABD △≌△，然后利用全等三角形的性质得出CBA DBA ∠=∠，最后根据等角的补角相等即可证明．【详解】证明：△AE 平分CAD ∠， △CAB DAB ∠=∠． 在ABC 和ABD △中，,,,AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC ABD △≌△（SAS ）． △CBA DBA ∠=∠． △CBE DBE ∠=∠．【变式2-3】（2021·全国练习）你见过如图所示的风筝吗？开始制作时，AB CD =，AC DB =，后来为了加固，又过点O 加了一根竹棒EF ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，且AOE DOF =∠∠，你认为OE ，OF 相等吗？请说明理由．【答案】OE OF =，理由见解析【分析】连接BC ，首先证明△ABC △△DCB 可得△A =△D ，然后再证明△ABO △△DCO 可得AO =DO ，最后证明△AEO △△DFO 可得EO =FO ． 【详解】解：OE OF =；理由如下： 连接BC ，如图在ABC ∆和DCB ∆中，AB DC AC BD BC BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABC DCB SSS ∴∆≅∆，A D ∴∠=∠，在ABO ∆和DCO ∆中，A D AOB DOC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABO DCO AAS ∴∆≅∆，AO DO ∴=，在AEO ∆和DFO ∆中，A D AO DOAOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()AEO DFO ASA ∴∆≅∆，EO FO ∴=．中心对称全等模型【例题3】（2020·浙江温州市·八年级期末）如图，,,AE BF AD BC DF CE===，求证：//AD CB．【分析】根据AE=BF，得到AF=BE，再利用SSS证明△ADF△△BCE，得到△A=△B，可得AD//B C．【详解】解：△AE=BF，△AE+EF=BF+EF，△AF=BE，又△AD=BC，DF=CE，△△ADF△△BCE（SSS），△△A=△B，△AD//B C．【点睛】中心对称是几何变换中的一种，中心对称不改变形状和大小，其实就是一种特殊的旋转变换（旋转180°）.中心对称的边，角都对应相等．此题型通常结合公共边、公共角、角的和差以及等量代换综合考察三角形全等.变式训练【变式3-1】（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，点A，F，E，D在一条直线上，AF＝DE，CF△BE，AB△CD．求证BE＝CF．中心对称全等模型，如下图：【分析】根据线段的和差关系可得AE ＝DF ，根据平行线的性质可得△D ＝△A ，△CFD ＝△BEA ，利用ASA 可证明△ABE △△DCF ，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】 △AF ＝DE ，△AF ＋EF ＝DE ＋EF ，即AE ＝DF ， △AB //CD ， △△D ＝△A ， △CF //BE ， △△CFD ＝△BEA ，在△ABE △△DCF 中，A D AE DF BEA CFD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABE △△DCF ， △BE ＝CF ．【点睛】本题考查平行线的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【变式3-2】（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，点E 、F 在AC 上，//DF BE ，且DF BE =，AE CF =．求证：AB CD =，且//AB CD ．【详解】//DF BE BEO DFO ∴∠=∠AEB CFD ∴∠=∠又DF BE =∵，AE CF =ABE CDF ∴△≌△AB CD ∴=，BAE DCF ∠=∠ //AB CD ∴【变式3-3】（2021·山东济南市·七年级期末）如图，已知//AB CD ，AB CD =，BF CE =．求证：AE DF =且//AE DF ．【答案】见解析 【分析】先由平行线的性质得△B =△C ，结合BF EF CE EF +=+，从而利用SAS 判定△ABE △△DCF ；根据全等三角形的性质得AE DF =且//AE DF ． 【详解】 证明：BF CE =，BF EF CE EF ∴+=+，即BE CF =，//AB CD ， B C ∴∠=∠，在ABE △与CDF 中，AB CD B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABE CDF SAS ∴△≌△，AEB DFC ∴∠=∠，AE DF =//AE DF ∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．简单旋转全等模型【例题4】（2021·广东广州市·九年级一模）如图，∠B ＝∠E ，∠1＝∠2，BC ＝EC ． 求证：AB ＝DE ．【分析】先证出△ACB =△DCE ，再根据AAS 证明 △ABC △△DEC ，即可得出AB =DE ； 【详解】证明：△△1=△2 ， △△ACB =△DCE ， 在△ABC 和△DCE 中，=B E ACB DCE BC EC ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ △△ABC △△DEC (AAS )， △AB =DE ．变式训练【变式4-1】（2021·陕西中考真题）如图，//BD AC ，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．【分析】由题意易得EBD C ∠=∠，进而可证EDB ABC ≌△△，然后问题可求证． 【详解】证明：△//BD AC ， △EBD C ∠=∠． △BD BC =，BE AC =， △()EDB ABC SAS ≌． △D ABC ∠=∠．简单旋转全等模型，如下图：【变式4-2】（2021·昆明二模）如图所示，AC BC ⊥，DC EC ⊥，垂足均为点C ，且AC BC =，EC DC =．求证：AE BD =．【分析】根据SAS 证明ACE BCD △≌△即可．【详解】证明：△AC BC ⊥，DC EC ⊥，△90ACB ECD ∠=∠=︒△ACB BCE ECD BCE ∠+∠=∠+∠即ACE BCD ∠=∠在ACE 和BCD △中AC BC ACE BCD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE BCD ≌△△ △AE BD =【变式4-3】在△ABC 中，AB =AC ，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AD =AE ，△DAE =△BAC ，连接CE ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果△BAC =90°，则△BCE 为多少？说明理由；（2）设△BAC =α，△BCE =β．△如图2，当点D 在线段BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；△当点D 在直线BC 上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．【答案】（1）90°；（2）△α＋β＝180°，理由见详解；△点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得△ABC ＝△ACB ＝45°，由“SAS”可证△BAD△△CAE ，可得△ABC ＝△ACE ＝45°，可求△BCE 的度数；（2）△由“SAS”可证△ABD△△ACE 得出△ABD ＝△ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；△分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD△△ACE 得出△ABD ＝△ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】解：（1）△AB ＝AC ，△BAC ＝90°，△△ABC ＝△ACB ＝45°，△△DAE ＝△BAC ，△△BAD ＝△CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，△△BAD△△CAE （SAS ）△△ABC ＝△ACE ＝45°，△△BCE ＝△ACB ＋△ACE ＝90°；（2）△α＋β＝180°，理由：△△BAC ＝△DAE ，△△BAC−△DAC ＝△DAE−△DAC ．即△BAD ＝△CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ACE （SAS ），△△B ＝△ACE ．△△B ＋△ACB ＝△ACE ＋△ACB ．△△ACE ＋△ACB ＝β，△△B ＋△ACB ＝β，△α＋△B ＋△ACB ＝180°，△α＋β＝180°；△如图1：当点D 在射线BC 上时，α＋β＝180°，连接CE ，△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ACE （SAS ），△△ABD ＝△ACE ，在△ABC 中，△BAC ＋△B ＋△ACB ＝180°，△△BAC ＋△ACE ＋△ACB ＝△BAC ＋△BCE ＝180°，即：△BCE ＋△BAC ＝180°，△α＋β＝180°，如图2：当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．连接BE ，△△BAC ＝△DAE ，△△BAD ＝△CAE ，又△AB ＝AC ，AD ＝AE ，△△ABD△△ACE（SAS），△△ABD＝△ACE，△△ABD＝△ACE＝△ACB＋△BCE，△△ABD＋△ABC＝△ACE＋△ABC＝△ACB＋△BCE＋△ABC＝180°，△△BAC＝180°−△ABC−△ACB，△△BAC＝△BCE．△α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD△△ACE是解本题的关键．。
画轴对称图形 课件 初中数学人教版八年级上册(2021-2022学年)
例 如图，是一只停泊在平静水面上的小船，它的“倒
影”应是图中的（ B ）．
初中数学
l
A
B
C
D
练习 如图，有一个英语单词，三个字母都关于直线 l 对
称，请补全字母，补全后的单词是________． BED
那么这两个图形全等.
P
P′
2. 如果两个图形关于某条直线成轴对称，
那么对称轴是任何一对对应点所连
线段的垂直平分线.
动手操作
如图，在一张半透明的纸的左边部分，画出一只左手印， 如何画出与左手印关于直线 l 对称的右手印呢？
初中数学
P
P′
l
由一个平面图形可以得到与它关于一条 直线 l 对称的图形，
（1）这个图形与原图形的形状、大小完 全相同；
于直线 l 的对称点 A′ ，B′ ，
l 2. 连接A′ B′ ，
A′
则线段 A′ B′ 即为所求．
B′
初中数学
如何验证画出的图形与线段 AB 关于直线 l 对称？
B
A
P
l
A′ P′ B′
初中数学
例 （3）已知： △ABC 和直线 l .
求作： △ABC 关于直线 l 对称的图形．
B
分析：
C
△ABC 可以由三个顶点的
初中数学
丙同学
练习 求作△ABC关于直线 l 对称的△A′ B′ C′.
B
B′
C C′
A
A′
l
规范作图!
初中数学
初中数学
练习 把下列图形补成关于直线 l 对称的图形．
【人教版】2021年八年级数学上册(全书)课件省优PPT(共637张)
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1.三角形的边、角、 顶点, 表示方法；
2.三角形三边关系 及运用.
11.1.2三角形的高.中线与角平分线
回回顾顾 思思考考
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗?
画法
01 23 4 5 01 23 4 5 01 23 4 5
0 1 2 0 3 1 4 205 31 42 53 4 5
过三角形
的一个顶点，你能画出
它的对边的垂线吗?
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B
C
三角形的高
从三角形的一个顶点 向它的对边所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形的高线， 简称三角形的高。(height) B
如图, 线段AD是BC边上的高.
锐角△ABC,
任意画一个
请你画出BC边上的高.
议一议 钝角三角形的三条高
Байду номын сангаас
(3) 钝角三角形的 三条高交于一点吗？
A F
它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
DB
钝 角三角形的
三条高不相交于一点
E
钝角三角形的三条高 O A 所在直线交于一点
C F
D
B
C
E
想一想
分别指出图中△ABC 的三条高。
A
A
D
B
C
直角边BC边上的 高是 AB边 ;
试一试
下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3 , 4, 8 (2)5 , 6 , 11 (3)5 , 6, 10
解：(1)不能组成三角形，因为3+4<8,即两条线段的和 小于不第三条线段，所以不能组成三角形
人教版数学八年级上册第十二章 全等三角形复习课件-课件
求证： ∠ABC=∠DCB.
A
D
B
C
【证明】 取AD,BC的中点N,M，
连接BN,CN，MN,则有AN=DN,BM=CM.
A ND
在△ABN和△DCN中，
AN=DN，
∠A= ∠D， AB=CD，
B
C
M
∴ △ABN ≌ △DCN(SAS).∴ ∠ABN = ∠ DCN, NB=NC.
在△NBM和△NCM中，
•
【证明】 ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，
∠AGE=∠AGC， AG=AG， ∠EAG=∠CAG， ∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)， ∴ GE =GC. 在△DGE和△DGC中，
D
C
EG=CG， ∠ EGD= ∠ CGD=90 °，
DG=DG. ∴ △DGE ≌ △DGC(SAS). ∴ ∠DEG = ∠ DCG.
【证明】 ∵AO平分∠BAC，CD⊥AB于点D，
A
BE⊥AC于点E, ∴OD=OE， ∠ODB=
∠OEC=90 °. 在△BOD和△COE中， ∠ODB= ∠OEC=90 °，
D
E
O
OD=OE， ∠DOB= ∠EOC，
B
C
∴ △BOD ≌ △COE(ASA)，∴OB=OC.
专题二 证明角相等
【例2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交
判 定 一般三角形 SSS,SAS,ASA,AAS
直角三角形 除上述判定方法之外，还
有“HL”
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
专题复习
专题一 证明线段相等
【例1】如图，点D、E分别在线段AB、AC上，已知AD=AE, ∠B= ∠C,H为线段BE、CD的交点，求证：BH=CH.
第13章轴对称 章末专题练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册
第13章轴对称章末专题练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册专题(一) 角的平分线与线段的垂直平分线1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为( )A．25° B．30° C．35°D．40°2．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC，AB于点D，E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于点F.若BE＝AC，∠ACE＝12°，则∠EFB的度数为( )A．58° B．63° C．67°D．70°3．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°.(1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D，AB于点F；②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；(要求：保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E.(1)若∠DEC＝25°，求∠B的度数；(2)求证：AD垂直平分CE.5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AC于点E，∠ABC 的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：___________．专题(二) 等腰三角形存在性问题类型1 网格中的等腰三角形存在性问题1．线段AB在如图所示的8×8网格中(点A，B均在格点上)，在格点上找一点C，使△ABC 是以∠B 为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C 的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．72．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ，B 是两格点，若C 也是图中的格点，则使得△ABC 是以AB 为一腰的等腰三角形的点C 的个数是( )A ．8B ．6C ．4D ．7类型2 平面直角坐标系中的等腰三角形存在性问题3．如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(0，5)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．7专题(三) 特殊三角形中常见辅助线的作法类型1 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC.若∠EAB ＝20°，则∠BAC＝______．2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.3．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，OE⊥OF分别交AC，BC于点E，F.求证：OE＝OF.类型2 巧用特殊角构造含30°角的直角三角形4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，交AB于点D，BE＝6 cm，则AC等于( )A．6 cm B．5 cm C．4 cmD．3 cm5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2，求CE的长．6．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，则CD＝_____．7．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝_____．8．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC，∠ABD＝30°.求证：AB＝2BC.专题(四) 构造等腰三角形的常用方法类型1 利用平行线构造等腰三角形1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，DE 交BC于点F，求证：DF＝EF.2．在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB延长线上，且ED＝EC.(1)如图1，当点E为AB中点时，AE_____DB(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)如图2，当点E为AB上任意一点时，AE________DB(填“＞”“＜”或“＝”)，并说明理由．类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形3．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，AD⊥BE于点D.求证：∠BAD＝∠CAD ＋∠C.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BE是角平分线，CD⊥BE交BE的延长线于点D，求证：BE＝2CD.类型3 利用截长补短法构造等腰三角形5．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D.求证：BC ＝CD＋AB.类型4 利用倍角关系构造等腰三角形(选做)6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠ABC＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC.专题(五) 共顶点的等边三角形与全等如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接MN.求证：(1)AE＝BD；(2)MN∥AB.变式1 共顶点等边三角形1．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A(0，1)，点B为y轴正半轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，CA的延长线交x轴于点E.(1)求证：OB＝AC；(2)求∠CAP的度数；(3)当B点运动时，AE的长度是否发生变化？若不发生变化，请求出AE的值；若发生变化，请说明理由．变式2 共顶点等腰三角形2．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD，BE相交于点H.(1)求证：AD＝BE；(2)连接CH，求证：HC平分∠AHE；(3)求∠AHE的度数(用含α的式子表示)．专题(六) 等腰直角三角形常见的解题模型模型1 等腰直角三角形＋斜边的中点，常连接直角顶点和斜边中点1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：△DEF为等腰直角三角形．2.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC中点，E，F分别在AC，AB上，且DE⊥DF.试判断DE，DF的数量关系，并说明理由．3.如图，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．模型2 等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短法构造全等4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.补充模型三垂直模型6．如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则点C的坐标为(3，2)．参考答案第13章轴对称章末专题练习题 2021-2022学年人教版八年级数学上册专题(一) 角的平分线与线段的垂直平分线1．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为(B)A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°2．如图，在△ABC 中，DE 垂直平分BC ，分别交BC ，AB 于点D ，E ，连接CE ，BF 平分∠ABC ，交CE 于点F.若BE ＝AC ，∠ACE ＝12°，则∠EFB 的度数为(B)A ．58°B ．63°C ．67°D ．70°3．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝40°. (1)尺规作图：①作边AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AB 于点F ；②连接AD ，作∠CAD 的平分线交BC 于点E ；(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求∠DAE 的度数．解：(1)①②如图． (2)∵DF 垂直平分线段AB ， ∴DB ＝DA.∴∠DAB ＝∠B ＝30°. ∵∠C ＝40°，∴∠BAC ＝180°－30°－40°＝110°. ∴∠CAD ＝110°－30°＝80°. ∵AE 平分∠DAC ， ∴∠DAE ＝12∠DAC ＝40°.4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E.(1)若∠DEC＝25°，求∠B的度数；(2)求证：AD垂直平分CE.解：(1)∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DC.∴∠DEC＝∠DCE＝25°.∴∠BDE＝50°.又∵DE⊥AB，∴∠B＝90°－∠BDE＝90°－50°＝40°.(2)证明：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠ACD＝90°.又∵DE＝DC，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△ACD(HL)．∴AE＝AC.∴点D，A在CE的垂直平分线上．∴AD垂直平分CE.5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AC于点E，∠ABC 的平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC.(1)若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；(2)若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式：m＋3n＝120．解：∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC.∴∠PBC＝∠PCB.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP.∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP.∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC ＋∠PCB ＋∠ABP ＝180°－60°－24°＝96°. ∴3∠ABP ＝96°. ∴∠ABP ＝32°.专题(二) 等腰三角形存在性问题类型1 网格中的等腰三角形存在性问题1．线段AB 在如图所示的8×8网格中(点A ，B 均在格点上)，在格点上找一点C ，使△ABC 是以∠B 为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C 的个数是(C)A ．4B ．5C ．6D ．72．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ，B 是两格点，若C 也是图中的格点，则使得△ABC 是以AB 为一腰的等腰三角形的点C 的个数是(C)A ．8B ．6C ．4D ．7类型2 平面直角坐标系中的等腰三角形存在性问题3．如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，B(0，5)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是(D)A ．3B ．4C ．5D ．7专题(三) 特殊三角形中常见辅助线的作法类型1 利用等腰三角形“三线合一”作辅助线1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BE 于点E ，且BE ＝12BC.若∠EAB ＝20°，则∠BAC＝40°．2．如图，在△ABC 中，AC ＝2AB ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA ＝EC.求证：EB ⊥AB.证明：作EF ⊥AC 于点F. ∵EA ＝EC ， ∴AF ＝FC ＝12AC.∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD. 在△ABE 和△AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AF ，∠BAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE(SAS)．∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°.∴EB ⊥AB.3．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点O 为AB 的中点，OE ⊥OF 分别交AC ，BC 于点E ，F.求证：OE ＝OF.证明：连接OC.∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点O 为AB 的中点， ∴∠B ＝∠ACO ＝∠BCO ＝45°，CO ⊥AB. ∴OC ＝OB ，∠COB ＝90°.又∵∠EOF ＝90°，∴∠EOC ＝∠FOB. 在△EOC 和△FOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOC ＝∠FOB ，OC ＝OB ，∠OCE ＝∠OBF ，∴△EOC ≌△FOB(ASA)．∴OE ＝OF.类型2 巧用特殊角构造含30°角的直角三角形4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，交AB 于点D ，BE ＝6 cm ，则AC 等于(D)A ．6 cmB ．5 cmC ．4 cmD ．3 cm5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点，DE ⊥AC 于点E ，AE ＝2，求CE 的长．解：连接AD.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点， ∴∠DAC ＝12∠BAC ＝60°，∠ADC ＝90°.∵DE ⊥AC ，∴∠ADE ＝90°－60°＝30°. ∴AD ＝2AE ＝4.又∵∠C ＝90°－∠DAC ＝30°， ∴AC ＝2AD ＝8.∴CE ＝AC －AE ＝8－2＝6.6．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝4，BC ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝90°，∠ADC ＝120°，则CD ＝2．7．如图，∠AOE ＝∠BOE ＝15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB 于点C.若EC ＝1，则OF ＝2．8．如图，在△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，BD ⊥BC ，∠ABD ＝30°.求证：AB ＝2BC.证明：作AM ⊥BD ，交BD 延长线于点M.∵在Rt △ABM 中，∠ABD ＝30°， ∴AB ＝2AM.∵BD 为AC 边上的中线，∴AD ＝CD. ∵DB ⊥BC ，AM ⊥BD ，∴∠DBC ＝∠M ＝90°. 在△BCD 和△MAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBC ＝∠M ，∠BDC ＝∠MDA ，CD ＝AD ，∴△BCD ≌△MAD(AAS)． ∴BC ＝AM. ∴AB ＝2BC.专题(四) 构造等腰三角形的常用方法类型1 利用平行线构造等腰三角形1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于点F ，求证：DF ＝EF.证明：过点D 作DM ∥AC 交BC 于M. ∴∠DMB ＝∠ACB ，∠FDM ＝∠E. ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB. ∴∠B ＝∠DMB.∴BD ＝MD. ∵BD ＝CE ，∴MD ＝CE.在△DMF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MDF ＝∠E ，∠MFD ＝∠CFE ，MD ＝CE ，∴△DMF ≌△ECF(AAS)． ∴DF ＝EF.2．在等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 延长线上，且ED ＝EC. (1)如图1，当点E 为AB 中点时，AE ＝DB(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)如图2，当点E 为AB 上任意一点时，AE ＝DB(填“＞”“＜”或“＝”)，并说明理由．解：理由如下：过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，则∠AEF ＝∠ABC ，∠AFE ＝∠ACB ，∠CEF ＝∠ECD. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC. ∴∠A ＝∠AEF ＝∠AFE ＝60°，∠DBE ＝120°. ∴△AEF 是等边三角形． ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EFC ＝120°. ∴BE ＝CF ，∠DBE ＝∠EFC. ∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD.∴∠D ＝∠CEF.在△DBE 和△EFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠CEF ，∠DBE ＝∠EFC ，BE ＝FC ，∴△DBE ≌△EFC(AAS)． ∴DB ＝EF. ∴AE ＝DB.类型2 角平分线＋垂线→等腰三角形3．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，AD ⊥BE 于点D.求证：∠BAD ＝∠CAD ＋∠C.证明：延长AD 交BC 于点F ，∵∠ABD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∠ADB ＝∠FDB ＝90°， ∴△ABD ≌△FBD(ASA)． ∴∠BAD ＝∠BFD. ∵∠BFD ＝∠CAD ＋∠C ， ∴∠BAD ＝∠CAD ＋∠C.4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，BE 是角平分线，CD ⊥BE 交BE 的延长线于点D ，求证：BE ＝2CD.证明：延长BA ，CD 相交于点Q. ∵∠CAQ ＝∠BAE ＝∠BDC ＝90°， ∴∠ACQ ＋∠Q ＝90°，∠ABE ＋∠Q ＝90°. ∴∠ACQ ＝∠ABE.在△ABE 和△ACQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠ACQ ，AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAQ ，∴△ABE ≌△ACQ(ASA)．∴BE ＝CQ. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠QBD ＝∠CBD. ∵∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDQ ＝90°. 在△QDB 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QBD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∠BDQ ＝∠BDC ，∴△QDB ≌△CDB(ASA)．∴CD ＝DQ. ∴BE ＝CQ ＝2CD.类型3 利用截长补短法构造等腰三角形5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝108°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D.求证：BC ＝CD ＋AB.解：方法1：(截长法)在BC 上取点E ，使BE ＝BA ，连接DE ， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠EBD. 在△ABD 和△EBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝EB ，∠ABD ＝∠EBD ，BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD(SAS)．∴∠BAC ＝∠BED ＝108°，AB ＝EB. ∴∠DEC ＝72°.∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝36°.∴∠CDE ＝72°.∴∠CDE ＝∠CED.∴CD ＝CE. 则BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD.方法2：(补短法)延长BA 至点E ，使BE ＝BC ，连接DE ，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠CBD ＝∠EBD. 在△EBD 和△CBD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧EB ＝CB ，∠EBD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴△EBD ≌△CBD(SAS)． ∴DE ＝DC ，∠E ＝∠C ＝36°.∵∠BAC ＝108°，∴∠EDA ＝∠EAD ＝72°. ∴EA ＝ED.∴CD ＝DE ＝AE. 则BC ＝BE ＝AB ＋AE ＝AB ＋CD.类型4 利用倍角关系构造等腰三角形(选做)6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且∠ABC ＝2∠C ，求证：AB ＋BD ＝AC.证明：方法1：在边AC 上截取AP ＝AB ，连接PD. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠PAD.在△ABD 和△APD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AP ，∠BAD ＝∠PAD ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△APD(SAS)． ∴∠APD ＝∠B ，PD ＝BD.∵∠B ＝2∠C ，∠APD ＝∠PDC ＋∠C ， ∴∠PDC ＝∠C. ∴PD ＝PC.∴BD ＝PC.∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC.方法2：延长AB至点E，使BE＝BD，连接DE，证△AED≌△ACD即可．方法3：延长CB至点E，使BE＝AB，连接AE，则∠E＝∠C＝∠EAB，易证∠EAD＝∠EDA，∴AC＝EA＝ED＝EB＋BD＝AB＋BD.专题(五) 共顶点的等边三角形与全等如图，点C 是线段AB 上除点A ，B 外的任意一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE 交DC 于点M ，连接BD 交CE 于点N ，连接MN.求证：(1)AE ＝BD ；(2)MN ∥AB.证明：(1)∵△ACD 和△BCE 是等边三角形，∴AC ＝DC ，CE ＝CB ，∠DCA ＝∠ECB ＝60°.∴∠DCA ＋∠DCE ＝∠ECB ＋∠DCE ，即∠ACE ＝∠DCB.在△ACE 和△DCB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DC ，∠ACE ＝∠DCB ，CE ＝CB ，∴△ACE ≌△DCB(SAS)．∴AE ＝BD.(2)∵△ACE ≌△DCB ，∴∠CAM ＝∠CDN.∵∠ACD ＝∠ECB ＝60°，而A ，C ，B 三点共线，∴∠DCN ＝60°.在△ACM 和△DCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAC ＝∠NDC ，AC ＝DC ，∠ACM ＝∠DCN ，∴△ACM ≌△DCN(ASA)．∴MC ＝NC.∵∠MCN ＝60°，∴△MCN 为等边三角形．∴∠NMC ＝∠DCN ＝60°.∴∠NMC ＝∠DCA.∴MN ∥AB.变式1 共顶点等边三角形1．如图，在平面直角坐标系中，△AOP 为等边三角形，A(0，1)，点B 为y 轴正半轴上一动点，以BP 为边作等边△PBC ，CA 的延长线交x 轴于点E.(1)求证：OB ＝AC ；(2)求∠CAP 的度数；(3)当B 点运动时，AE 的长度是否发生变化？若不发生变化，请求出AE 的值；若发生变化，请说明理由．解：(1)证明：∵△PBC 和△AOP 是等边三角形，∴OP ＝AP ，BP ＝PC ，∠APO ＝∠CPB ＝60°.∴∠APO ＋∠APB ＝∠BPC ＋∠APB ，即∠OPB ＝∠APC.在△PBO 和△PCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧OP ＝AP ，∠OPB ＝∠APC ，PB ＝PC ，∴△PBO ≌△PCA(SAS)．∴OB ＝AC.(2)设AC ，BP 相交于点M.∵△PBO ≌△PCA ，∴∠PBO ＝∠PCA.又∵∠BMA ＝∠CMP ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°.又∵∠OAP ＝60°，∴∠CAP ＝60°.(3)当B 点运动时，AE 的长度不发生变化，理由如下：∵∠EAO ＝∠BAC ＝60°，∠AOE ＝90°，∴∠AEO ＝30°.∴AE ＝2AO ＝2，即当B 点运动时，AE 的长度不发生变化，为2.变式2 共顶点等腰三角形2．如图，CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝α，AD ，BE 相交于点H.(1)求证：AD ＝BE ；(2)连接CH ，求证：HC 平分∠AHE ；(3)求∠AHE 的度数(用含α的式子表示)．解：(1)证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝α，∴∠ACD ＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．∴AD ＝BE.(2)证明：过点C 作CM ⊥AD 于点M ，CN ⊥BE 于点N ，∵△ACD ≌△BCE ，∴S △ACD ＝S △BCE .又∵S △ACD ＝12AD ·MC ，S △BCE ＝12BE ·CN ，AD ＝BE ， ∴CM ＝CN.∴HC 平分∠AHE.(3)设AD ，BC 相交于点P.∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE.∵∠APC ＝∠BPH ，∴∠AHB ＝∠ACB ＝α.∴∠AHE ＝180°－α.专题(六) 等腰直角三角形常见的解题模型模型1 等腰直角三角形＋斜边的中点，常连接直角顶点和斜边中点1．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF.求证：△DEF 为等腰直角三角形．证明：连接AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为BC 中点，∴AD ＝BD ＝CD ，且AD 平分∠BAC.∴∠BAD ＝∠CAD ＝45°.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠B ＝∠DAF ，BE ＝AF ，∴△BDE ≌△ADF(SAS)．∴DE ＝DF ，∠BDE ＝∠ADF.∵∠BDE ＋∠ADE ＝90°，∴∠ADF ＋∠ADE ＝90°，即∠EDF ＝90°.∴△EDF 为等腰直角三角形．2.如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 中点，E ，F 分别在AC ，AB 上，且DE ⊥DF.试判断DE ，DF 的数量关系，并说明理由．解：DE ＝DF ，理由如下：连接AD ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 中点，∴CD ＝AD ，∠C ＝∠DAF ＝45°，AD ⊥CD.∴∠CDE ＋∠EDA ＝∠ADF ＋∠EDA ＝90°.∴∠CDE ＝∠ADF.在△CDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠DAF ，CD ＝AD ，∠CDE ＝∠ADF ，∴△CDE ≌△ADF(ASA)．∴DE ＝DF.3.如图，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．解：△DEF仍为等腰直角三角形．证明：连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC(三线合一)．∴∠DAC＝∠ABD＝45°.∴∠DAF＝∠DBE＝135°.又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE(SAS)．∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB.∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°.∴△DEF仍为等腰直角三角形．模型2 等腰直角三角形＋8字模型中有两直角，常用截长补短法构造全等4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若CE⊥BD于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°.证明：在BE上截取BF＝CE，连接AF.易证∠ABF＝∠ACE，△ABF≌△ACE(SAS)，得等腰Rt△AFE，∴∠AEB＝45°.5．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC上一点．若∠AEB ＝45°.求证：CE⊥BD.证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F，得等腰直角△AFE，∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝90°.∴∠BAF＝∠CAF.又∵BA＝CA，∴△ABF≌△ACE(SAS)．∴∠ABE＝∠ACE.∴∠BEC＝∠BAC＝90°，即CE⊥BD.补充模型三垂直模型6．如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，1)，AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则点C的坐标为(3，2)．。
专题01 三角形-2021-2022学年八年级数学上学期期末解答题必刷专题训练(人教版)(解析版)
三角形1．如图，在四边形ABCD 中，90A C Ð=Ð=°，BE 平分ABC Ð，DF 平分ADC Ð．（1）求ABC ADC Ð+Ð的度数；（2）求证：BE DF ∥．【答案】（1）∠ABC +∠ADC =180°；（2）见解析．【分析】（1）根据四边形的内角和定理求出即可；（2）求出∠2=∠DFC ，根据平行线的判定推出即可．【详解】（1）解：∵∠A =∠C =90°，∴∠ABC +∠ADC =360°-90°-90°=180°；（2）证明：∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠2=12∠ABC ，∠4=12∠ADC ，∵四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∴∠4+∠DFC =90°，由（1）得∠ABC +∠ADC =180°，∴∠2+∠4=90°，∵∠4+∠DFC =90°，∴∠2=∠DFC ，∴BE ∥DF ．．【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∠EBC =∠DFC ．2．如图，在△ABC中，AE是角平分线，AD是高，∠BAC＝70°，∠EAD＝10°，求∠B的度数．【答案】45°【分析】∠BAC＝35°，那么∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝45°．根据AD是△ABC的高，根据AE是角平分线，得∠BAE＝12得∠ADC＝90°．根据三角形外角的性质，得∠ADC＝∠B＋∠BAD，那么∠B＝∠ADC−∠BAD＝45°．【详解】解：∵AE是角平分线，∴∠BAE＝1∠BAC＝35°．2∴∠BAD＝∠BAE＋∠EAD＝35°＋10°＝45°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°．∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠B＝∠ADC−∠BAD＝90°−45°＝45°．【点睛】本题主要考查三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的高、角平分线的定义、三角形外角的性质是解决本题的关键．3．如图，AD为V ABC中线，AB＝12cm，AC＝9cm，V ACD的周长为27cm，求V ABD的周长．【答案】△ABD的周长为30cm【分析】利用中线定义可得BD=CD，进而可得AD+DC=AD+BD，然后再求△ABD的周长即可．【详解】解：∵△ACD的周长为27cm，∴AC+DC+AD=27cm，∵AC=9cm，∴AD+CD=18cm，∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴AD+BD=18cm，∵AB=12cm，∴AB+AD+BD=30cm，∴△ABD的周长为30cm．【点睛】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形的中线定义．4．如图①，V ABC的角平分线BD、CE相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC＝90°﹣12∠A．①若将直线MN绕点P旋转，如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由；②当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问①中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由．【答案】（1）130°；（2）①仍然成立，见解析；②不成立，∠MPB﹣∠NPC＝90°﹣12∠A，见解析【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题．（2）运用（1）中的结论，结合三角形的内角和定理逐一分类解析，即可解决问题．【详解】解：（1）如图①∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB，∴∠1+∠2＝12（∠ABC+∠ACB）＝12×100°＝50°，∴∠BPC ＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣50°＝130°．（2）①如图③，由（1）知：∠BPC ＝180°﹣（∠1+∠2）；∵∠1+∠2＝12（180°﹣∠A ）＝90°-12∠A ，∴∠BPC ＝180°﹣（90°﹣12∠A ）＝90°+12∠A ；∴∠MPB +∠NPC ＝180°﹣∠BPC ＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°﹣12∠A ．②不成立，∠MPB ﹣∠NPC ＝90°﹣12∠A ．如图④，由①知：∠BPC ＝90°+12∠A ，∴∠MPB ﹣∠NPC ＝180°﹣∠BPC＝180°﹣（90°+12∠A ）＝90°﹣12∠A ．【点睛】该题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义等几何知识点是基础，灵活运用是关键．5．如图，在△ABC 中，AE 是BC 边上的高，AD 是角平分线，∠B ＝42°，∠C ＝68°．①求∠DAE 的度数；②若∠B ＝α，∠C ＝β（α＜β），用含α，β的代数式表示∠DAE ．（直接写出结论）【答案】（1）13°（2）2b a -【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC ，求出∠DAC ，根据三角形内角和定理求出∠AC ，代入∠DAE ＝∠DAC −∠EAC 求出即可．（2）同（1）的方法即可求解．【详解】解：（1）∵∠B ＝42°，∠C ＝68°，∴∠BAC ＝180°−∠B −∠C ＝70°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝35°，∵AE 是BC 边上的高，∴∠AEC ＝90°，∵∠C ＝68°，∴∠EAC ＝180°−∠AEC −∠C ＝22°，∴∠DAE ＝∠DAC −∠EAC ＝35°−22°＝13°．（2）∵∠B ＝α，∠C ＝β，∴∠BAC ＝180°−∠B −∠C ＝180°−α−β，D 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC ＝12∠BAC ＝90°−12α−12β，AE 是BC 边上的高，∴∠AEC ＝90°，∵∠C ＝β，∴∠EAC ＝180°−∠AEC −∠C ＝90°−β，∠DAE ＝∠DAC −∠EAC ＝（90°−12α−12β）−（90°−β）＝2b a -．【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．6．如图，在ABC V 中，BF 平分ABC Ð，CF 平分ACB Ð，65A Ð=°，求F Ð的度数．【答案】122.5°【分析】由题意直接根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行分析，并利用角的等量替换即可得出答案.【详解】解：在ABC V 中，∵65A Ð=°（已知），∴180115ABC ACB A Ð+Ð=°-Ð=°（三角形内角和定理）．∵BF 平分ABC Ð，CF 平分ACB Ð（已知），∴12FBC ABC Ð=Ð，12FCB ACB Ð=Ð（角平分线的定义）．在FBC V 中，∵180F FBC FCB Ð+Ð+Ð=°（三角形内角和定理），∴(180)F FBC FCB Ð=°-Ð+Ð1118022ABC ACB æö=°-Ð+Ðç÷èø1180()2ABC ACB =°-Ð+Ð11801152=-´°122.5=°．【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键.7．阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在ABC D 中AB AC =，BD 是ABC D 的高，P 是BC 边上一点，PM 、PN 分别与直线AB ，AC 垂直，垂足分别为点M 、N ．求证：BD PM PN =+．阳阳发现，连接AP ，有ABC ABP ACP S S S D D D =+，即111222AC BD AB PM AC PN ×=×+×．由AB AC =，可得BD PM PN =+．他又画出了当点P 在CB 的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时BD 、PM 、PN 之间的数量关系是：BD PN PM =-．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接AP ．ABC APC S S D D =-Q ________，1122AC BD AC \×=×________12AB -×________．AB AC =Q ，BD PN PM \=-．（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：在ABC D 中，AB AC BC ==，BD 是ABC D 的高．P 是ABC D 所在平面上一点，PM 、PN 、PQ 分别与直线AB 、AC 、BC 垂直，垂足分别为点M 、N 、Q ．①如图3，若点P 在ABC D 的内部，猜想BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系并写出推理过程．②若点P 在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD 、PM 、PN 、PQ 之间的数量关系是：_______．（直接写出结论即可）【答案】（1）S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ，证明见解析②BD ＝PM ＋PQ −PN ．【分析】（1）根据图形，结合阅读材料填写即可；（2）①连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APC ＋S △APB ＋S △BPC 得出12AC •BD ＝12AC •PN ＋12AB •PM ＋12BC •PQ ，由AB ＝AC ＝BC ，即可得出BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；②连接AP 、BP 、CP ，根据S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC −S △APC ，得出12AC •BD ＝12AB •PM ＋12BC •PQ −12AC •PN ，由于AB ＝AC ＝BC ，即可证得BD ＝PM ＋PQ −PN ．【详解】解：（1）证明：连接AP ．∵S △ABC ＝S △APC −S △APB ，∴12AC •BD ＝12AC •PN −12AB •PM ．∵AB ＝AC ，∴BD ＝PN −PM ．故答案为：S △APB ；PN ；PM ；（2）①BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；如图3，连接AP 、BP 、CP ，∵S △ABC ＝S △APC ＋S △APB ＋S △BPC ∴12AC •BD ＝12AC •PN ＋12AB •PM ＋12BC •PQ ，∵AB ＝AC ＝BC ，∴BD ＝PM ＋PN ＋PQ ；②BD ＝PM ＋PQ −PN ；如图4，连接AP 、BP 、CP ，∵S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC −S △APC ．∴12AC •BD ＝12AB •PM ＋12BC •PQ −12AC •PN ，∵AB ＝AC ＝BC ，∴BD ＝PM ＋PQ −PN ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线构建三个三角形是解题的关键．8．（1）如图1，在ABC V 中，BP 平分ABC Ð，CP 平分ACB Ð，求证：1902P A Ð=°+Ð；（2）如图2，在ABC V 中，BP 平分ABC Ð，CP 平分外角ACE Ð，猜想P Ð和A Ð有何数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）12P A Ð=Ð，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行证明即可：（2）根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出A ACE ABC Ð=Ð-Ð，P PCE PBC Ð=Ð-Ð，再由角平分线的定义得到12PBC ABC Ð=Ð，12PCE ACE Ð=Ð， 则()11112222P ACE ABC ACE ABC A Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð．【详解】（1）证明：()180P PBC PCB Ð=-Ð+Ðo ，∵BP 平分ABC Ð，CP 平分ACB Ð，∴12PBC ABC Ð=Ð，12PCB ACB Ð=Ð，∴()111222PBC PCB ABC ACB ABC ACB Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð∴()11801802P PBC PCB ABC ACB Ð=--=-Ð+Ðo o ∠∠，∵=180ABC ACB A+-o ∠∠∠()11180180=9022P A A \Ð=--+Ðo o o ∠；（2）猜想：12P A Ð=Ð，证明：ACE A ABC Ð=Ð+ÐQ ，A ACE ABC \Ð=Ð-Ð，∵PCE P PBC Ð=Ð+Ð，∴P PCE PBC Ð=Ð-Ð，又BP 平分ABC Ð，CP 平分ACE Ð，∴12PBC ABC Ð=Ð，12PCE ACE Ð=Ð，()11112222P ACE ABC ACE ABC A \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð，12P A \Ð=Ð．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．9．如图，在ABC V 中，75A Ð=°，45C Ð=°，BE 是ABC V 的角平分线，BD 是边AC 上的高．（1）求CBE Ð的度数；（2）求DBE Ð的度数．【答案】（1）∠CBE =30°；（2）∠DBE =15°．【分析】（1）根据三角形内角和可求∠ABC =180°-∠A -∠C =180°-75°-45°=60°，然后根据角平分线∠CBE =11603022ABC Ð=´°=°；（2）先求∠DBC =90°-∠C=90°-45°=45°，再利用两角之差计算即可．【详解】解：（1）∵∠ABC +∠A +∠C =180°，75A Ð=°，45C Ð=°，∴∠ABC =180°-∠A -∠C =180°-75°-45°=60°，∵BE 是ABC V 的角平分线，∴∠CBE =11603022ABC Ð=´°=°；（2）∵BD ⊥AC ，∴∠BDC =90°，∴∠DBC +∠C =90°，∵45C Ð=°∴∠DBC =90°-∠C=90°-45°=45°，∴∠DBE =∠DBC -∠CBE =45°-30°=15°．【点睛】本题考查三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，角的和差，掌握三角形内角和，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，角的和差是解题关键．10．如图，在V ABC中，∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：∠ABC＝∠EDF；（2）若∠ABC＝45°，∠DFE＝50°，求∠BAC的度数．【答案】（1）见解析；（2）85°【分析】（1）利用三角形的外角的性质可得∠EDF＝∠1＋∠ABD，再结合∠ABC＝∠2＋∠ABD，∠1＝∠2即可证得∠ABC ＝∠EDF；（2）先根据三角形的内角和定理求得∠DEF＝85°，再利用三角形的外角的性质结合∠1＝∠3即可求得答案．【详解】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠ABD＝∠2＋∠ABD，又∵∠EDF＝∠1＋∠ABD，∠ABC＝∠2＋∠ABD，∴∠ABC＝∠EDF；（2）解：∵∠ABC＝∠EDF，∠ABC＝45°，∴∠EDF＝45°，又∵∠DFE＝50°，∴∠DEF＝180°－∠DFE－∠EDF＝85°，∴∠EAC＋∠3＝∠DEF＝85°，又∵∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠EAC＋∠1＝∠EAC＋∠3＝85°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．11．如图，在V ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC＝56°，∠C＝70°．（1）求∠DAE的度数；（2）求∠BOA的度数．【答案】（1）8°；（2）125°【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠CAE ，根据直角三角形两锐角互补可得CAD Ð，根据DAE CAE CAD Ð=Ð-Ð计算即可；（2）根据三角形内角和求出ABC Ð，根据角平分线的定义求出,BAO ABO ÐÐ的度数，然后根据三角形内角和可得结果．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝56°，∠C ＝70°，AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝1282BAC Ð=°∵AD 是BC 边上的高，∴90ADC Ð=°，∴∠CAD ＝907020°-°=°，∴28208DAE CAE CAD Ð=Ð-Ð=°-°=°；（2）∵∠C ＝70°，∠BAC ＝56°，∴∠ABC ＝180°−70°−56°＝54°，∵BF 平分∠ABC ，∴1272ABO ABC Ð=Ð=°，∵AE 平分∠BAC ，1282OAB BAC Ð=Ð=°,∴∠BOA 180125ABO OAB =°-Ð-Ð=°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．12．如图，△ABC 中，角平分线AD 、BE 、CF 相交于点H ，过H 点作HG ⊥AC ，垂足为G ，如果∠AHE=50度，求∠CHG 的度数．【答案】∠CHG =50°【分析】根据角平分线的定义可设可设=BAD CAD x =∠∠，=ABE CBE y Ð=Ð，=BCF ACF z Ð=Ð，则由三角形内角和定理可得90x y z ++=o ，再由三角形外角的性质可得==90AHE BAD ABE x y z ++=-o ∠∠∠，=90AGH ACF CHG +=o ∠∠∠，从而可以推出50CHG AHE Ð=Ð=o ．【详解】解：∵AD ，BE ，CF 为△ABC 的角平分线，∴可设=BAD CAD x =∠∠，=ABE CBE y Ð=Ð，=BCF ACF z Ð=Ð，∵=180ABC BAC ACB ++o ∠∠∠，∴222180x y z ++=o ，即90x y z ++=o ，∵==90AHE BAD ABE x y z ++=-o ∠∠∠，=90AGH ACF CHG +=o ∠∠∠，∴==90CHG AGH ACF z --o ∠∠∠，∴50CHG AHE Ð=Ð=o ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的定义．13．已知，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 分别是边AC ，BC 上的点，点P 是斜边AB 上一动点．令∠PDA ＝∠1，∠PEB ＝∠2，∠DPE ＝∠α．（1）如图①所示，当点P 运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ ；（2）如图②所示，当P 运动至AB 上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．【答案】（1）12140Ð+Ð=°;（2）1290a Ð+Ð=Ð+°，理由见解析【分析】（1）根据平角的定义求得1180,2180PDC PEC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，进而根据四边形的内角和等于360°，以及∠α＝50°，即可求得∠1+∠2的值；（2）方法同（1）．【详解】（1）Q 1180,2180PDC PEC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，12360PDC PEC \Ð+Ð+Ð+Ð=°，在四边形CEPD 中，360C PDC PEC a Ð+Ð+Ð+Ð=°，12C a \Ð+Ð=Ð+Ð，Q ∠α＝50°，90C Ð=°，\12140Ð+Ð=°，故答案为：140°（2）1290a Ð+Ð=Ð+°，理由如下，Q Q 1180,2180PDC PEC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，12360PDC PEC \Ð+Ð+Ð+Ð=°，在四边形CEPD 中，360C PDC PEC a Ð+Ð+Ð+Ð=°，12C a \Ð+Ð=Ð+Ð，Q 90C Ð=°，\1290a Ð+Ð=Ð+°【点睛】本题考查了平角的定义，四边形内角和为360°，掌握四边形的内角和是解题的关键．14．如图，AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝50°，∠BCE ＝25°，求∠AOC 和∠ADB 的度数．【答案】∠AOC 的度数为115°，∠ADB 的度数为90°【分析】根据AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°可得∠BAD＝∠CAD＝25°，∠CEA＝90°，从而求得∠ACE的度数，由此可得∠AOC的度数，又因为∠BCE＝25°，∠ADB＝∠BCE+∠ACE+∠CAD，从而求得∠ADB的度数．【详解】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，∴∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝25°，∵CE是△ABC的高，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝90°－∠BAC＝40°，∴∠AOC＝180°－∠ACE－∠CAD＝180°－40°－25°＝115°，∵∠BCE＝25°，∠ACE＝40°，∠CAD＝25°，∴∠ADB＝∠BCE+∠ACE+∠CAD＝25°+40°+25°＝90°，答：∠AOC的度数为115°，∠ADB的度数为90°．【点睛】本题考查三角形的内角和、三角形的平分线和高的定义以及三角形的一个外角等于和它不相邻的内角的和，关键是根据具体目中的信息，灵活变化，求出相应的问题的答案．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE分别是△ABC的高和中线，F是CB的延长线上一点．(1)若∠ACD=53°，求∠ABF的度数；(2)若BC=6 cm，AC=8 cm，AB=10 cm，求CD的长和△BCE的面积．【答案】（1）127°；（2）24cm5CD=，212cmBCES=V【分析】（1）结合CD为△ABC的高，先求出∠A，然后结合三角形的外角定理求解即可；（2）先根据等面积法求出CD，然后结合中线的性质求出BE，从而利用三角形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）∵CD 为△ABC 的高，∴CD ⊥AB ，∠ADC =90°，∵∠ACD =53°，∴∠A =180°-90°-53°=37°，∵∠ABF 为△ABC 的外角，∴∠ABF =∠A +∠ACB =37°+90°=127°；（2）由题意，1122ABC S AC BC AB CD ==V g g ，∴6824cm 105AC BC CD AB ´===g ，∵CE 是△ABC 的中线，∴E 为AB 的中点，即：152AE BE AB ===，∴21124512cm 225BCE S BE CD ==´´=V g ．【点睛】本题考查三角形中线，高相关的定义与计算，理解三角形中重要线段的定义与性质，熟悉等面积法是解题关键．16．如图，在△ABC 中，30A Ð=°，60B Ð=°，CF 平分ACB Ð交AB 于点E ．（1）求ACE Ð的度数：（2）若CD AB ^于点D ，75CDF Ð=°．判断△CFD 的形状，并说明理由．【答案】（1）45ACE Ð=°；（2）CFD △是直角三角形，理由见解析．【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到ACE Ð的度数．（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到DCF Ð的度数，进而得出CFD Ð的度数．【详解】解：（1）ABC QV 中，30A Ð=°，60B Ð=°，180306090ACB \Ð=°-°-°=°，又CE Q 平分ACB Ð，1452ACE ACB \Ð=Ð=°，即45ACE Ð=°；（2）CFD △是直角三角形，理由：CD AB ^Q 于点D ，60B Ð=°，906030BCD \Ð=°-°=°，又45BCE ACE Ð=Ð=°Q ，15DCF BCE BCD \Ð=Ð-Ð=°，又75CDF Ð=°Q ，180751590CFD \Ð=°-°-°=°，CFD \△是直角三角形．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数．17．已知，如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，若∠B ＝30°，∠C ＝50°．（1）求∠DAE 的度数．（2）试写出∠DAE 与∠C －∠B 有何关系，给出证明．【答案】（1）10°；（2）()1,2DAE C B Ð=Ð-Ð证明见解析【分析】（1）先求解,,BAC CAE ÐÐ 再求解,CAD Ð 再利用角的和差可得答案；（2）先求解()190,90,2CAE B C DAC C Ð=°-Ð+ÐÐ=°-Ð 再利用角的和差可得结论.【详解】解：（1）Q ∠B ＝30°，∠C ＝50°，180100,BAC B C \Ð=°-Ð-Ð=°Q AD ，AE 分别是 △ ABC 的高和角平分线，150,90,2BAE CAE BAC ADE ADC \Ð=Ð=Ð=°Ð=Ð=° 905040,DAC \Ð=°-°=°504010.DAE EAC DAC \Ð=Ð-Ð=°-°=°（2）()1,2DAE C B Ð=Ð-Ð 理由如下：Q AD ，AE 分别是 △ ABC 的高和角平分线。
人教版八年级上册数学全册教学课件(2021年8月修订)
5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数, 求第三边的长.
解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得， 7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9， 又因为x为奇数，所以x =7，即第三边的长为 7.
拓展提升 6.已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|
3
1 ×12＝4.
3
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋ S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， ∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
(2)从边上来说，除了等腰三角形和等边三角形还有什么样 的三角形?
三边都不相等的三角形. (3)根据上面的内容思考：怎样对三角形进行分类？
顶角
（
腰 底角 底边
底角
等边三角形
等腰三角形
按是否有边相等分
三角形
不等边 三角形
等腰 三角形
底和腰不相等 的等腰三角形
等边三角形
不等边三角形 按内角大小分
锐角三角形 三角形 直角三角形
典例精析
例2：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点
D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为
S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
解：∵点D是AC的中点，∴AD＝12 AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝12S△ABC＝12 ×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ 1 S△ABC＝
注意: 标明垂直的记号和垂足的字母. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB= ∠ADC=90 °
秋八年级数学上册人教版专题训练课件：专题一(共11张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
Hale Waihona Puke 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/112021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月11日星期六2021/9/112021/9/112021/9/11 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/112021/9/112021/9/119/11/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/112021/9/11September 11, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/112021/9/112021/9/112021/9/11
2021年最新人教版八年级数学上期末复习最值问题专题训练含答案解析精心选题
2021年八年级数学上最值问题专题训练一．选择题（共4小题）1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM∆周长的最小值为()A．6B．8C．10D．122．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，∆的周长最AC于点E，F，若D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM小值为()A．12B．8C．7D．63．如图，将等边ABC∆折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若1AD=，3∆周长的最小值是()AC=，OCDA．4B．5C．6D．74．如图，四边形ABCD中，3ACD∠=︒，则对角线BD长BC=，AC AD=，60AB=，2的最大值为()A．5B．C．D．1二．填空题（共10小题）5．如图，已知ABC ∆为等腰直角三角形，4AC BC ==，15BCD ∠=︒，P 为CD 上的动点，则||PA PB -的最大值为 ．6．如图，在四边形ABCD 中，AD CD =，90D ∠=︒，60B ∠=︒，AC BC ⊥，点E 在AC 上，EC BC =，点P 是CD 边上一动点，若4BC =，则PA PE +的最小值等于 ．7．当式子23()x y -+有最大值时，最大值是 ，此时x 与y 的关系为8．已知，在小房子里的地面C 处立着一架梯子，向左边墙靠到点M 时，75MCA ∠=︒，向右靠到点N 时，45NCB ∠=︒，若MA am =，NB bm =，则小房子的宽AB 为 m ．9．如图，ABC ∆中，10BC =，4AC AB -=，AD 是BAC ∠的角平分线，CD AD ⊥，则BDC S ∆的最大值为 ．10．如图，已知点P 在锐角AOB ∠内部，AOB α∠=，在OB 边上存在一点D ，在OA 边上存在一点C ，能使PD DC +最小，此时PDC ∠= ．11．如图，在ABC=，4BC=，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，∆中，AB AC∆周长的最AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则PCD小值为．12．如图，已知Rt ABC∠=︒，延长BC至D使CD BC=，连接BAC∠=︒，30ACB∆中，90AD=，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP AP+的最小值为．AD，且413．如图，三角形ABO∠=∠=︒，点B在x轴的正半轴，坐标为BOAB AOB∆中，150)．OC平分AOB+的最小∠，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA MN值是．14．如图，等边ABC=，∆中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM CN连BM、BN，当BM BN∠=度．+最小时，MBN三．解答题（共2小题）15．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（1）画出格点ABC∆（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A B C；111（2）在DE上画出点P，使得PAC∆的周长最小；（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求ABC∆的面积．16．如图，在ABC∠=︒，BC=D是BC边上的BAC∆中，已知6AB AC==，120任意一动点，点B与点B'关于直线AD对称，直线AB'与直线BC相交于点E．（1）求BC边上的高；（2）当BD为何值时，ADB∆'与ADC∆重叠部分的面积最大，并求出最大值；（3）连接BB'，当BDB∆'为直角三角形时，求BAD∠的度数．2021年八年级数学上最值问题专题训练参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM ∆周长的最小值为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解：连接AD ，ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC ∴⊥，1141622ABC S BC AD AD ∆∴==⨯⨯=，解得8AD =， EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，AD ∴的长为CM MD +的最小值， CDM ∴∆的周长最短11()84821022CM MD CD AD BC =++=+=+⨯=+=． 故选：C ．2．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是12，腰AB 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，若D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则BDM ∆的周长最小值为( )A ．12B ．8C ．7D ．6解：连接AD 交EF 与点M '，连结AM ．ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC ∴⊥，1141222ABC S BC AD AD ∆∴==⨯⨯=，解得6AD =， EF 是线段AB 的垂直平分线，AM BM ∴=．BM M D M D AM ∴+=+．∴当点M 位于点M '处时，MB MD +有最小值，最小值6． BDM ∴∆的周长的最小值为268DB AD +=+=；故选：B ．3．如图，将等边ABC ∆折叠，使得点B 恰好落在AC 边上的点D 处，折痕为EF ，O 为折痕EF 上一动点，若1AD =，3AC =，OCD ∆周长的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解：如图，连接BD ，OB ，将等边ABC ∆折叠，使得点B 恰好落在AC 边上的点D 处， EF ∴是BD 的对称轴，OB OD ∴=，1AD =，3AC =，2CD ∴=，OCD ∆周长2CD OD OC BO OC =++=++，∴当点B ，点O ，点C 共线时，OCD ∆周长最小值25BC =+=， 故选：B ．4．如图，四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，AC AD =，60ACD ∠=︒，则对角线BD 长的最大值为( )A ．5 B．C．D ．1 解：如图，在AB 的左侧作等边三角形ABK ∆，连接DK ．则3AK AB BK ===，60KAB ∠=︒，DAC KAB ∴∠=∠，DAK CAB ∴∠=∠，在DAK ∆和CAB ∆中，DA CA DAK CAB KA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAK CAB SAS ∴∆≅∆，2DK BC ∴==，DK KB BD +，2DK =，3KB AB ==，∴当D 、K 、B 共线时，BD 的值最大，最大值为5DK KB +=． 故选：A ．二．填空题（共10小题）5．如图，已知ABC ∆为等腰直角三角形，4AC BC ==，15BCD ∠=︒，P 为CD 上的动点，则||PA PB -的最大值为 4 ．解：作A 关于CD 的对称点A '，连接A B '交CD 于P ，则点P 就是使||PA PB -的值最大的点，||PA PB A B -='，连接A C '，ABC ∆为等腰直角三角形，4AC BC ==，45CAB ABC ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，15BCD ∠=︒，75ACD ∴∠=︒，15CAA ∴∠'=︒，AC AC ='，AC BC ∴'=，15CA A CAA ∠'=∠'=︒，150ACA ∴∠'=︒，90ACB ∠=︒，60ACB ∴∠'=︒，∴△A BC '是等边三角形，4A B BC ∴'==．故答案为：4．6．如图，在四边形ABCD 中，AD CD =，90D ∠=︒，60B ∠=︒，AC BC ⊥，点E 在AC 上，EC BC =，点P 是CD 边上一动点，若4BC =，则PA PE +的最小值等于 8 ．解：作点E 关于CD 的对称点F ，交CD 于点G ，连接AF 交CD 于P ，连接EP ，CF CE CF ∴=，PE PF =，GE GF =．在CGE ∆和CGF ∆中，CE CF GE GF CG CG =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()CGE CGF SSS ∴∆≅∆，GCE GCF ∴∠=∠．AD CD =，90D ∠=︒，45GCE ∴∠=︒，45GCF ∴∠=︒，90ACF ∴∠=︒．4BC =，EC BC =，4CF ∴=．AC BC ⊥，90ACB ∴∠=︒．60B ∠=︒，30BAC ∴∠=︒，28AB BC ∴==．AC BC ⊥，CF BC =，8AF AB ∴==．AF AP PF =+，AF AP PE ∴=+，8AP PE ∴+=故答案为8．7．当式子23()x y -+有最大值时，最大值是 3 ，此时x 与y 的关系为 解：当2()x y +取最小值0时，式子23()x y -+有最大值为3，此时0x y +=， 故答案为：3；0x y +=．8．已知，在小房子里的地面C 处立着一架梯子，向左边墙靠到点M 时，75MCA ∠=︒，向右靠到点N 时，45NCB ∠=︒，若MA am =，NB bm =，则小房子的宽AB 为 a m ．解：过N 点作MA 垂线，垂足点D ，连接NM ．设梯子底端为C 点，AB x =，且AB ND x ==．BNC ∴∆为等腰直角三角形，180457560MCN ∴∠=︒-︒-︒=︒CNM ∴∆为等边三角形，梯子长度相同，45NCB ∠=︒，45DNC ∴∠=︒，604515MND ∴∠=︒-︒=︒，cos15x NM∴︒=， 又75MCA ∠=︒，15AMC ∴∠=︒．cos15MA MC∴︒=， 故可得：x MA MN CM=． CNM ∆为等边三角形，NM CM ∴=．x MA a ∴==．故答案为：a ．9．如图，ABC ∆中，10BC =，4AC AB -=，AD 是BAC ∠的角平分线，CD AD ⊥，则BDC S ∆的最大值为 10 ．解：如图：延长AB ，CD 交点于E ， AD 平分BAC ∠，CAD EAD ∴∠=∠，CD AD ⊥，90ADC ADE ∴∠=∠=︒，在ADE ∆和ADC ∆中，ADE ADC AD ADEAD CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADE ADC ASA ∴∆≅∆，AC AE ∴=，DE CD =；4AC AB -=，4AE AB ∴-=，即4BE =；DE DC =，12BDC BEC S S ∆∆∴=， ∴当BE BC ⊥时，BDC S ∆面积最大，即BDC S ∆最大面积111041022=⨯⨯⨯=． 故答案为10．10．如图，已知点P 在锐角AOB ∠内部，AOB α∠=，在OB 边上存在一点D ，在OA 边上存在一点C ，能使PD DC +最小，此时PDC ∠= 2α ．解：过P 的作关于OB 的对称点P '，作P C OA '⊥于C ，交OB 于D ，此时PD PD ='，根据点到直线的距离最短可知PD DC P C +='最短，PDB P DB ∠=∠'，CDO P DB ∠=∠'，CDO PDB ∴∠=∠，P C OA '⊥，AOB α∠=，90CDO α∴∠=︒-，1802(90)2PDC αα∴∠=︒-︒-=．故答案为：2α．11．如图，在ABC ∆中，AB AC =，4BC =，面积是12，AC 的垂直平分线EF 分别交AB ，AC 边于点E ，F ．若点D 为BC 边的中点，点P 为线段EF 上一动点，则PCD ∆周长的最小值为 8 ．解：连接AD ，ABC ∆是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC ∴⊥，1141222ABC S BC AD AD ∆∴==⨯⨯=， 解得6AD =，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，AD ∴的长为CP PD +的最小值， CDP ∴∆的周长最短11()6462822CP PD CD AD BC =++=+=+⨯=+=． 故答案为：8．12．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，延长BC 至D 使CD BC =，连接AD ，且4AD =，点P 为线段AC 上一动点，连接BP ．则2BP AP +的最小值为解：如图中，作PF AD ⊥于F ，BF AD '⊥于F '，交AC 于P '．30PAF ∠=︒，90PFA ∠=︒，12PF PA ∴=， 122()2()2BP AP PB PA PB PF ∴+=+=+， ∴当B 、P 、F 共线时，即BF AD '⊥时，PB PF +最短，最小值为线段BF '， 在Rt △DF B '中，60D ∠=︒，4DB =，sin 60BF DB ∴'=︒=2BP AP ∴+的最小值为故答案为：13．如图，三角形ABO ∆中，15OAB AOB ∠=∠=︒，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B 0)．OC 平分AOB ∠，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA MN +的最小值是解：作A 关于直线OC 的对称点D ，交x 轴于D ，过D 作DN OA ⊥于N 交OC 于M ，则DN MA MN =+的最小值，过A 作AE OD ⊥于E ，OC 平分AOB ∠，OD OA ∴=， DN AE ∴=，坐标为B 0)．OB ∴=，15OAB AOB ∠=∠=︒，AB OB ∴==30ABD BOA AOB ∠=∠+∠=︒，12AE AB ∴==DN ∴=∴+的最小值=MA MN故答案为：14．如图，等边ABC=，∆中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM CN连BM、BN，当BM BN∠=30度．+最小时，MBN解：如图1中，作CH BC=，连接NH，BH．⊥，使得CH BC⊥，CH BC⊥，∆是等边三角形，AD BCABCAD CH，∴∠=∠=︒，//30DAC DAB∴∠=∠=∠=︒，30HCN CAD BAM=，AB BC CH==，AM CN∴∆≅∆，()ABM CHN SAS∴=，BM HN+，BN HN BH∴，N，H共线时，BM BN NH BNB+=+的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，ABM CHN ∆≅∆，45ABM CHB CBH ∴∠=∠=∠=︒，60ABD ∠=︒，15DBM ∴∠=︒，451530MBN ∴∠=︒-︒=︒，∴当BM BN +的值最小时，30MBN ∠=︒，故答案为30．三．解答题（共2小题）15．如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（1）画出格点ABC ∆（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△111A B C ；（2）在DE 上画出点P ，使得PAC ∆的周长最小；（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求ABC ∆的面积．解：（1）如图，△111A B C 即为所求．（2）如图，点P 即为所求．（3）11133133212 3.5222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．16．如图，在ABC ∆中，已知6AB AC ==，120BAC ∠=︒，BC =D 是BC 边上的任意一动点，点B 与点B '关于直线AD 对称，直线AB '与直线BC 相交于点E ．（1）求BC 边上的高；（2）当BD 为何值时，ADB ∆'与ADC ∆重叠部分的面积最大，并求出最大值；（3）连接BB '，当BDB ∆'为直角三角形时，求BAD ∠的度数．解：（1）如图1，过点A 作AP BC ⊥垂足为P ，AB AC =且120BAC ∠=︒，1(180)302B C BAC ∴∠=∠=︒-∠=︒， 在Rt APC ∆中，30C ∠=︒，6AC =，132AP AC ∴==， ∴底边BC 上的高为3AP =；（2）当BD =ADB '∆与ADC ∆重叠部分的面积最大． 此时B '、E 、C 三点重合，重叠部分为ADC ∆，如图2，其面积为：11111322222ADC ABC S S BC AP ∆∆==⨯=⨯⨯= 理由如下：点B 与点B '关于直线AD 对称，ADB '∴∆与ADB ∆关于直线AD 对称，ADB ADB '∴∆≅∆，AB D ADB S S '∆∴=，BD 与DC 至少有一段不会超过BC 的一半，AB D S '∴与ADC S ∆至少有一个不会超过ABC S ∆的一半，∴当ADB '∆与ADC ∆完全重合时，ADB '∆与ADC ∆重叠部分的面积最大，并且最大值为ABC S ∆的一半．（3）由轴对称可知：BD B D '=，90DBB BB D ''∴∠=∠≠︒即当BDB '∆为直角三角形时，90BDB '∠=︒， 如图3：当点E 在点D 右侧时，由轴对称可知：ADB ADB '∠=∠，3603609013522BDB ADB '︒-∠︒-︒∴∠===︒， 1801801353015BAD ADB ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 如图4：当点E 在点D 左侧时， 由轴对称可知：11904522ADB ADB BDB ''∠=∠=∠=⨯︒=︒， 1801804530105BAD ADB ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 综上所述，当BDB '∆为直角三角形时，BAD ∠的度数为15︒或105︒．。