运筹学第二版3.2 整数规划的求解
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xi
j m 1
j m 1
n
b
n
ij x j
bi 0 , 称为割平面的来源行．
[b
f
n
ij ] x j
[bi 0 ] f i 0
j m 1
f
n
ij x j .
为了使x i（i=1,2，…，m）是整数，上式右端必须是整式． 又注意到 f ij 0, x j 0
第二步 分枝与定界． 设（B）的非整数最优解为
X
*
( x , x , , x )
* 1 * 2 * n
T
且其中xj*（j=1，2，…，n）不是整数，则必有
[x* ] x* [x* ] 1 j j j
其中[xj*]表示小于xj*的最大整数．由此构造两个约束条件：
x j [ x* ]和x j [ x* ] 1, j j
f i0
ij
x j f i0 1
j m 1
因为小于1 整数不大于零，所以有 f i 0
j m 1
f
n
ij x j
0
（3）
由上述分析可得如下重要结论： 如果线性规划问题（Ⅱ）有整数解，则它必须满足条件（3） 此不等式称为割平面不等式． 在（3）中加入松弛变量,则有
f i0
（2.25，3.75）
B2
B1
( B1 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 3, x1 , x2 0.
( B2 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 , x2 0.
7/22x3+1/22x4 =7/2
将上述割平面不等式加入松弛变量y1，得割平面方程：
1 7 1 x3 x4 y1 0, 2 22 22 7 1 1 y1 x3 x4 22 22 2
把这个割平面方程放在上面的最终单纯形表中得下表 x1 x2 Y1 -s 9/2 7/2 -1/2 -63 1 0 0 0 0 1 0 0 -1/22 7/22 -7/22 3/22 1/22 -1/22 0 0 1
割平面法的基本思想是：首先不考虑变量是整 数的条件，但增加特定的约束条件（称为割平 面），使得在原凸可行域中切掉一部分，被切 割掉的这部分不包含任何的整数可行解．这样 经过有限次的切割，最终可得到某个顶点的坐 标恰好是整数，并且是问题的最优解． 割平面算法的基本类型有纯整数型和混合 型．本节仅讨论纯整数型的割平面算法，它的 基本要求是：每一个约束条件的所有系数及右 端常数项都必须是整数． 下面先讨论线性规划问题存在整数解的必要条 件．
将其分别加入到问题（B）中，从而得到(B)的两个子线性规 划问题（B1）和（B2），即
( B1 )
max Z c j x j ,
j 1
n
( B2 )
max Z c j x j ,
j 1
n
n aij x j bi , j 1 * x j [ x j ], x j 0.
x1 , x 2 , x 3 , x 4 0.
用单纯形法求其解，得最终单纯形表 x1 X2 -s 9/2 7/2 -63 1 0 0 0 1 0 -1/22 7/22 3/22 1/22
-28/11 -15/11
其解x 1=9/2，x 2=7/2，不满足整数要求． （2）引进以x 2所在行为来源行的割平面：
-28/11 -15/11 0
利用对偶单纯形法求解，得最终单纯形表为 x1 32/7 1 0 0 1/7
x2 Y3 -s 3 11/7 -59 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/7 -1
-1/7 1 -22/7 -8
4 1 6 x 4 y1 0 以x 1行为来源行，得割平面为： 7 7 7 引进松弛变量y2，得相应的割平面方程为：
0
-1
-8
0
最优单纯形表为 x1 x2 x3 X4 -S 4 3 1 4 -55 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 -1 1 -4 6 -2 1 0 1 -7 -7
原规划问题的最优解为 x1=4，
x2=3
． 最优值为S=55
3.2.2 分枝定界法
设有整数规划问题（A）为：
基本思路． 第一步 类似割平面法，求解线性规划（B） 其结果有下列三种情形： （1）（B ）无可行解。这时（A ）也无可行解， 则停止运算； （2）（ B ）有整数最优解。这时（ B ）的最优 解就是（A）的最优解，则停止运算； （3）（B）有最优解，但是其解的分量不全为 整数。 这时（B）的最优解不是（A）的可 行解。
为了表述方便，这里恰好用x 1，x 2，…，x m作为基变量． 如果b i0（i=1,2，…，m）全是整数，显然它是原问题的 最优解． 如果b i0（i=1,2，…，m）不全为整数，不妨设b i0不是整数， 则它对应于单纯形表中第i个方程
xi
bij [bij ] f ij , bi 0 [bi 0 ] f i 0
因为在问题（B3）中有
( B5 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 1, x2 4, x , x 0. 1 2
( B6 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 1, x2 5, x , x 0. 1 2
设有整数规划问题为：
max S
c
j 1
n
jxj,
n aij x j bi , (i 1,2, , m) j 1 x j 0, (且是整数).
与其对应的线性规划问题为：
max S
c
j 1
n
jxj,
n aij x j bi , (i 1,2, , m), j 1 x j 0.
解 （1）设（A）的松弛问题为（B0），不考虑整数约束， 利用单纯形法求解（B0），其可行解域如图1所示，解得最 优解为： x 1=2.25，x 2=3.75，且Z0=41.25． ．
（2.25，3.75）
图1
图2
因x 1，x 2都是小数，可任选一个进行分枝．今选 x 2=3.75，对问题（B0）分别增加约束条件： x 2[3.75]=3 和 x 2[3.75]+1=4, 将（B0）分解成为两个子问题（B1）和（B2）．
值得指出的是，增加了约束条件x 2≤3和x 2≥4之 后，虽然缩小了可行解的范围，但原问题（A）的 整数可行解并没有改变，这是因为在 3<x 2<4内没有任何整数解，见图2。
(3) 重 复 步 骤 （ 2 ） ， 继 续 对 （ B2 ） 进 行 分 解．对（B2）增加约束条件： x 1[1.8]=1 和x 1[1.8]+1=2, 将（B2）再分解为两个子问题（B3)和（B4）：
n
j m 1
f
n
ij x j
yi 0
j m 1
f
ij x j
yi f i0 ,
称此方程为割平面方程． 可以证明：割平面（3）式割去了对应线性规划问题的 最优解，但末割去原整数规划问题的任一整数可行解． 下面举例说明割平面法的求解步骤．
例 用割平面法求解 ( I) max S 7 x1 9 x 2 ,
n aij x j bi , j 1 * x j [ x j ] 1, x j 0.
分别求解（Bl）和（B2）．如果某子问题有最优 整数解，且其目标函数值大于原来的下界（原问题(A) 的下界可看作0） ，则将其值作为下界，记作Z．
第三步 剪枝．在继续分枝的过程中，如果某分枝 的最优目标函数值有小于 Z ，则称这个分枝已被 “查清”。将该枝剪掉，不再计算。因为再算下去， 也不会得到更大的目标函数值。 若某分枝的目标函数值大于下界Z，且不符合整数 条件，则重复第二步骤，直到找到整数解X*． 例 求解问题
( B3 )
( B4 )
求解问题（B3）和（B4）。问题（B4）无可行解，这个子问 题也已查清．而问题（B3）的最优解为：
4 5 x1 1, x2 4 且Z 3 40 , 9 9
4 x2 4 , 且 9 Z3> Z，所以，继续对（B3）进行分解， 对问题（B3）分别增加约束条件：x 24和x 25，则有：
1 3 x1 x 2 2, 1 x1 x 2 5, 7 x1 , x 2 0, 且为整数. 解 （1）把约束条件 (II) max S 7 x1 9 x 2 , 中的系数化为整数， x1 3x 2 x 3 6, 加上松弛变量，去掉 整数约束，则得对应 7 x1 x 2 x 4 35, 的线性规划问题为
1 6 4 y 2 x4 y1 7 7 7
将割平面方程加在上面单纯形表中得下表 x1 x2 x3 Y2 32/7 3 11/7 -4/7 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1/7 0 1/7 -1/7* -1/7 1 -22/7 -6/7 0 0 0 1
-S
-59
0
0
( A)
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x , x 0, 且为整数. 1 2
( B0 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x , x 0. 1 2
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x 1, 1 x1 , x2 0. max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x 2, 1 x1 , x2 0.
3.2 整数规划的求解 Solving Integer Programming
割平面法是求解整数规划问题最早提出的一种方 法． 是由高莫瑞（R.E.Gomory）于1958年提出来的， 他证明了整数规划问题加进有限个割平面方程后， 总能得到该问题的最优解．但割平面法在执行过程 中，往往收敛很慢，如果将该算法与分枝定界法配 合使用，一般能收到较好的效果．
求解线性规划问题（B1）和（B2），得到如下最优 解： 问题（B1） x 1=3，x 2=3且Z1=39 ． （B1）是整数解，该问题已经查清。 这里Z1=39可作为新的下界，即令Z=39。 问题（B2） x 1=1.8，x 2=4且Z2=41． 对于问题（ B2 ），因Z2=41> Z，所以 ，继续。
max Z c j x j ,
j 1 n
与它对应的线性规划问题即松弛问题 （B）为：
max Z c j x j ,
j 1 n
n aij x j bi (i 1,2,, m), j 1 x j 0且是整数( j 1,2,...n).
n aij x j bi (i 1,2,, m), j 1 x j 0( j 1,2,..., n).
设用单纯形法求得最终单纯形表为：
x1
b10 1
·· xi · ·
·· xm xm+1 · ·
b1m+1
·· xn · ·
b1n ·· · ·
x1
xi
Xm
bi0
bm0
1
b im+1
·· · · 1
bin
-S
-b00 0
·· 0 · ·
·· 0 · ·
bmm+1 bmn · · b0m+1 ·· b0n
j m 1
j m 1
n
b
n
ij x j
bi 0 , 称为割平面的来源行．
[b
f
n
ij ] x j
[bi 0 ] f i 0
j m 1
f
n
ij x j .
为了使x i（i=1,2，…，m）是整数，上式右端必须是整式． 又注意到 f ij 0, x j 0
第二步 分枝与定界． 设（B）的非整数最优解为
X
*
( x , x , , x )
* 1 * 2 * n
T
且其中xj*（j=1，2，…，n）不是整数，则必有
[x* ] x* [x* ] 1 j j j
其中[xj*]表示小于xj*的最大整数．由此构造两个约束条件：
x j [ x* ]和x j [ x* ] 1, j j
f i0
ij
x j f i0 1
j m 1
因为小于1 整数不大于零，所以有 f i 0
j m 1
f
n
ij x j
0
（3）
由上述分析可得如下重要结论： 如果线性规划问题（Ⅱ）有整数解，则它必须满足条件（3） 此不等式称为割平面不等式． 在（3）中加入松弛变量,则有
f i0
（2.25，3.75）
B2
B1
( B1 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 3, x1 , x2 0.
( B2 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 , x2 0.
7/22x3+1/22x4 =7/2
将上述割平面不等式加入松弛变量y1，得割平面方程：
1 7 1 x3 x4 y1 0, 2 22 22 7 1 1 y1 x3 x4 22 22 2
把这个割平面方程放在上面的最终单纯形表中得下表 x1 x2 Y1 -s 9/2 7/2 -1/2 -63 1 0 0 0 0 1 0 0 -1/22 7/22 -7/22 3/22 1/22 -1/22 0 0 1
割平面法的基本思想是：首先不考虑变量是整 数的条件，但增加特定的约束条件（称为割平 面），使得在原凸可行域中切掉一部分，被切 割掉的这部分不包含任何的整数可行解．这样 经过有限次的切割，最终可得到某个顶点的坐 标恰好是整数，并且是问题的最优解． 割平面算法的基本类型有纯整数型和混合 型．本节仅讨论纯整数型的割平面算法，它的 基本要求是：每一个约束条件的所有系数及右 端常数项都必须是整数． 下面先讨论线性规划问题存在整数解的必要条 件．
将其分别加入到问题（B）中，从而得到(B)的两个子线性规 划问题（B1）和（B2），即
( B1 )
max Z c j x j ,
j 1
n
( B2 )
max Z c j x j ,
j 1
n
n aij x j bi , j 1 * x j [ x j ], x j 0.
x1 , x 2 , x 3 , x 4 0.
用单纯形法求其解，得最终单纯形表 x1 X2 -s 9/2 7/2 -63 1 0 0 0 1 0 -1/22 7/22 3/22 1/22
-28/11 -15/11
其解x 1=9/2，x 2=7/2，不满足整数要求． （2）引进以x 2所在行为来源行的割平面：
-28/11 -15/11 0
利用对偶单纯形法求解，得最终单纯形表为 x1 32/7 1 0 0 1/7
x2 Y3 -s 3 11/7 -59 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1/7 -1
-1/7 1 -22/7 -8
4 1 6 x 4 y1 0 以x 1行为来源行，得割平面为： 7 7 7 引进松弛变量y2，得相应的割平面方程为：
0
-1
-8
0
最优单纯形表为 x1 x2 x3 X4 -S 4 3 1 4 -55 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 -1 1 -4 6 -2 1 0 1 -7 -7
原规划问题的最优解为 x1=4，
x2=3
． 最优值为S=55
3.2.2 分枝定界法
设有整数规划问题（A）为：
基本思路． 第一步 类似割平面法，求解线性规划（B） 其结果有下列三种情形： （1）（B ）无可行解。这时（A ）也无可行解， 则停止运算； （2）（ B ）有整数最优解。这时（ B ）的最优 解就是（A）的最优解，则停止运算； （3）（B）有最优解，但是其解的分量不全为 整数。 这时（B）的最优解不是（A）的可 行解。
为了表述方便，这里恰好用x 1，x 2，…，x m作为基变量． 如果b i0（i=1,2，…，m）全是整数，显然它是原问题的 最优解． 如果b i0（i=1,2，…，m）不全为整数，不妨设b i0不是整数， 则它对应于单纯形表中第i个方程
xi
bij [bij ] f ij , bi 0 [bi 0 ] f i 0
因为在问题（B3）中有
( B5 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 1, x2 4, x , x 0. 1 2
( B6 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x1 1, x2 5, x , x 0. 1 2
设有整数规划问题为：
max S
c
j 1
n
jxj,
n aij x j bi , (i 1,2, , m) j 1 x j 0, (且是整数).
与其对应的线性规划问题为：
max S
c
j 1
n
jxj,
n aij x j bi , (i 1,2, , m), j 1 x j 0.
解 （1）设（A）的松弛问题为（B0），不考虑整数约束， 利用单纯形法求解（B0），其可行解域如图1所示，解得最 优解为： x 1=2.25，x 2=3.75，且Z0=41.25． ．
（2.25，3.75）
图1
图2
因x 1，x 2都是小数，可任选一个进行分枝．今选 x 2=3.75，对问题（B0）分别增加约束条件： x 2[3.75]=3 和 x 2[3.75]+1=4, 将（B0）分解成为两个子问题（B1）和（B2）．
值得指出的是，增加了约束条件x 2≤3和x 2≥4之 后，虽然缩小了可行解的范围，但原问题（A）的 整数可行解并没有改变，这是因为在 3<x 2<4内没有任何整数解，见图2。
(3) 重 复 步 骤 （ 2 ） ， 继 续 对 （ B2 ） 进 行 分 解．对（B2）增加约束条件： x 1[1.8]=1 和x 1[1.8]+1=2, 将（B2）再分解为两个子问题（B3)和（B4）：
n
j m 1
f
n
ij x j
yi 0
j m 1
f
ij x j
yi f i0 ,
称此方程为割平面方程． 可以证明：割平面（3）式割去了对应线性规划问题的 最优解，但末割去原整数规划问题的任一整数可行解． 下面举例说明割平面法的求解步骤．
例 用割平面法求解 ( I) max S 7 x1 9 x 2 ,
n aij x j bi , j 1 * x j [ x j ] 1, x j 0.
分别求解（Bl）和（B2）．如果某子问题有最优 整数解，且其目标函数值大于原来的下界（原问题(A) 的下界可看作0） ，则将其值作为下界，记作Z．
第三步 剪枝．在继续分枝的过程中，如果某分枝 的最优目标函数值有小于 Z ，则称这个分枝已被 “查清”。将该枝剪掉，不再计算。因为再算下去， 也不会得到更大的目标函数值。 若某分枝的目标函数值大于下界Z，且不符合整数 条件，则重复第二步骤，直到找到整数解X*． 例 求解问题
( B3 )
( B4 )
求解问题（B3）和（B4）。问题（B4）无可行解，这个子问 题也已查清．而问题（B3）的最优解为：
4 5 x1 1, x2 4 且Z 3 40 , 9 9
4 x2 4 , 且 9 Z3> Z，所以，继续对（B3）进行分解， 对问题（B3）分别增加约束条件：x 24和x 25，则有：
1 3 x1 x 2 2, 1 x1 x 2 5, 7 x1 , x 2 0, 且为整数. 解 （1）把约束条件 (II) max S 7 x1 9 x 2 , 中的系数化为整数， x1 3x 2 x 3 6, 加上松弛变量，去掉 整数约束，则得对应 7 x1 x 2 x 4 35, 的线性规划问题为
1 6 4 y 2 x4 y1 7 7 7
将割平面方程加在上面单纯形表中得下表 x1 x2 x3 Y2 32/7 3 11/7 -4/7 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1/7 0 1/7 -1/7* -1/7 1 -22/7 -6/7 0 0 0 1
-S
-59
0
0
( A)
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x , x 0, 且为整数. 1 2
( B0 )
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x , x 0. 1 2
max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x 1, 1 x1 , x2 0. max Z 5 x1 8 x2 , x1 x2 6, 5 x1 9 x2 45, x2 4, x 2, 1 x1 , x2 0.
3.2 整数规划的求解 Solving Integer Programming
割平面法是求解整数规划问题最早提出的一种方 法． 是由高莫瑞（R.E.Gomory）于1958年提出来的， 他证明了整数规划问题加进有限个割平面方程后， 总能得到该问题的最优解．但割平面法在执行过程 中，往往收敛很慢，如果将该算法与分枝定界法配 合使用，一般能收到较好的效果．
求解线性规划问题（B1）和（B2），得到如下最优 解： 问题（B1） x 1=3，x 2=3且Z1=39 ． （B1）是整数解，该问题已经查清。 这里Z1=39可作为新的下界，即令Z=39。 问题（B2） x 1=1.8，x 2=4且Z2=41． 对于问题（ B2 ），因Z2=41> Z，所以 ，继续。
max Z c j x j ,
j 1 n
与它对应的线性规划问题即松弛问题 （B）为：
max Z c j x j ,
j 1 n
n aij x j bi (i 1,2,, m), j 1 x j 0且是整数( j 1,2,...n).
n aij x j bi (i 1,2,, m), j 1 x j 0( j 1,2,..., n).
设用单纯形法求得最终单纯形表为：
x1
b10 1
·· xi · ·
·· xm xm+1 · ·
b1m+1
·· xn · ·
b1n ·· · ·
x1
xi
Xm
bi0
bm0
1
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·· · · 1
bin
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·· 0 · ·
·· 0 · ·
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