1.2导数的的计算(公开课)
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高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算课件新人教B版选修2_2
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3
【做一做 2】 下列求导运算正确的是( A.
1 ′ ������ + ������
)
1
= 1 + ������2
1
B. (log2������)′ = ������ln2 D.(x2cos x)'=-2xsin x
1 + ������
C.(3x)'=3x· log3e
解析： 由求导公式知,B 选项正确. ������ 1 − ������ − 2 = 1 −
3.两函数的和、差、积、商的求导法则,称为可导函数四则运算 的求导法则. 4.若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零) 必可导. 若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如,设 f(x)=sin x+ ������ , ������ (������) = cos x− ������ , 则f(x),g(x)在 x=0 处均不 可导,但它们的和 f(x)+g(x)=sin x+cos x 在 x=0 处可导.
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知识拓展 对于复合函数的求导应注意以下几点: (1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变 量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的,而其中 要特别注意的是中间变量的导数.如(sin 2x)'=2cos 2x,而(sin 2x)'≠cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数 的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.如求 y=sin 的导数,设 y=sin
解析：由求导公式可知,①③④⑥正确. 答案：B
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【做一做 2】 下列求导运算正确的是( A.
1 ′ ������ + ������
)
1
= 1 + ������2
1
B. (log2������)′ = ������ln2 D.(x2cos x)'=-2xsin x
1 + ������
C.(3x)'=3x· log3e
解析： 由求导公式知,B 选项正确. ������ 1 − ������ − 2 = 1 −
3.两函数的和、差、积、商的求导法则,称为可导函数四则运算 的求导法则. 4.若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零) 必可导. 若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如,设 f(x)=sin x+ ������ , ������ (������) = cos x− ������ , 则f(x),g(x)在 x=0 处均不 可导,但它们的和 f(x)+g(x)=sin x+cos x 在 x=0 处可导.
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知识拓展 对于复合函数的求导应注意以下几点: (1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变 量. (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的,而其中 要特别注意的是中间变量的导数.如(sin 2x)'=2cos 2x,而(sin 2x)'≠cos 2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数 的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.如求 y=sin 的导数,设 y=sin
解析：由求导公式可知,①③④⑥正确. 答案：B
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人教A版数学选修2-2《1.2导数的计算》课件(共26张ppt)
2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
1.2导数的运算-推荐下载
所以
k
2 x0
1 ，即
x0
1 2
，y0=
1 4
即切点
M
1 ( 2
,
1 )
4
.
所求直线方程为 4x 4 y 1 0 。
y f (x) xn (n Q*) y' nxn1
y sin x
y' cos x
y cos x
y' sin x
y f (x) ax
基础知识·基本技能
基础知识 1 定义法求几个常用函数的导数
函数 y=f(x)导函数 f (x) ＝ y ＝ lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
推算得:
常见函数 f (x) C f (x) x
导函数 f (x) 0 f (x) 1
(2). 已知点 P（-1，1），点 Q（2，4）是曲线 y x2 上的两点，求与直
线 PQ 平行的曲线的切线方程。
解：（1） y f (x x) f (x) x x x
x
x
x
＝( x x x )( x x x )
1
x( x x x )
( x x x )
y' f ' (x) lim y lim
1
1
x0 x x0 x x x 2 x
（2）解： y' 2x ，设切点为 M (x0 , y0 ) ，则 y' xx0 2x0.
因为 PQ 的斜率 k 4 1 1, 又切线平行于 PQ， 2 1
f (x) ' 3．函数商的求导法则： g(x)
1.2.1《导数的计算》省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
x
xx
x x xx
x2
1 x
•
， x
所以
y'
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x
•
x
1 x2
.
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探究
画出函数
y
1 x
图象.依据图象,描述它改变情况,并求出
曲线在点(1,1)处切线方程.
y
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
12/32
5.函数 y = f (x) = x 导数
因为 y f x x f x x x x
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1oga x )' ___x_l_n_a__
20/32
4.求以下函数导数
(1) y x12 (2) y x x (3) y 1 (4) y 5 x3
x4
1
(5) y x (6) y x3
21/32
小结、基本初等函数导数公式 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=___0__;
f (x)g(x) f (x)g(x)
g ( x)2
3:求以下函数导数
(1)y=tanx
sin x cos2 x sin2 x 1
y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x
(2) y
x3 x2 3
y'
x2 6x (x2 3)2
3
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堂上练习 求以下函数导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
2y 3 2x 4x2 5x3 1 x4
6
3y (2x3 1)(3x2 x)
人教版2017高中数学(选修2-2)1.2导数的计算PPT课件
(3)
������(������) ������(������)
'=
������'(������)������(������)-������(������)������'(������) [������(������)]
2
(g(x)≠0).
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课前预习案
课堂探究案
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做一做3 (1)函数y=x2-ln x的导数为 (2)函数y=xcos x的导数为 ; ������ (3)函数 y=e������ 的导数为 .
������ ln ������ 1 ������
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做一做 2 求下列函数的导数:(1)f(x)=x
(3)f(x)=2-x;(4)f(x)=sin x+
π 2
-4
1 ;(2)f(x)= ; ������
.
解: (1)因为 f(x)=x-4,所以 f'(x)=-4· x-4-1=-4x-5.
答案: (1)4cos
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的 打“×”. (1) sin
1 π 3
'=cos .
1
π 3
(× ) (× ) (× ) (× ) ( )
(2) 3 '= 2. ������ 3������ 2x 2x (3)(e )'=e . 1 (4)(ln x2)'= 2. (5)(ln
.
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课件1 ：1.2.2 导数的计算课件
前面我们已经学习了几个常用函数的导数，
这样做起题来显得格外轻松.
为了方便，我们今后可以直接使用
基本初等函数的导数公式
再见
公式4.若f ( x ) cos x, 则f '( x ) sin x;
公式5.若f ( x ) a x , 则f '( x ) a x ln a (a 0);
公式6.若f ( x ) e x , 则f '( x ) e x ;
1
公式7.若f ( x ) log a x, 则f '( x )
1
(8) f ( x) x
2
(10) f ( x) lg x
练习:求下列函数的导数.
(1) f ( x) x
(5) f ( x ) 9
3
(2) f ( x) x
1
(6) f ( x) x
9
2
1
(3) f ( x) 4
x
(4) f ( x) x
3
x
(7) f ( x) log 1 x
( 2)切线过点P (1,0)
斜率k 1 ln 1 1
切线方程是： = −
此题不用导数能
用原来旧方法求
切线吗？我们用
几何画板来画出
此函数的图像。
答：绝对是不
可能的事
x
x
x
(2) y
;
2
1 x
(3) y tan x;
(4) y (2 x 2 3) 1 x 2 ;
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头，
这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?
2019人教版高中数学选修2-2课件：1.2 导数的计算(共44张PPT)
考点类析
考点三 导数公式及运算法则在切线方程中的应用
[导入] 根据导数的几何意义求曲线的切线方程是导数的典型问题,学习导数公式和运 算法则后,求曲线切线的斜率将更加简单.求解过程中应注意以下问题: (1)切线的斜率就是在切点处的 导数值 ; (2)切点既在 切线 上,又在 曲线 上.
考点类析
例3 (1)曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 3x-y+1=0 . (2)曲线y=ex过原点的切线方程为 y=ex .
备课素材
[例] 写出下列命题的逆命题、否命题和 逆否命题. (1)若ab=0,则a,b中至少有一个为零; (2)垂直于同一平面的两条直线平行.
[解析] (1)逆命题:若a,b中至少有一个为零, 则ab=0.否命题:若ab≠0,则a,b都不为零.逆 否命题:若a,b都不为零,则ab≠0. (2)逆命题:如果两条直线平行,那么这两条 直线垂直于同一个平面.否命题:如果两条 直线不垂直于同一个平面,那么这两条直 线不平行.逆否命题:如果两条直线不平行, 那么这两条直线不垂直于同一个平面.
考点类析
B
考点类析
A
考点类析
[小结] 在求切线方程的过程中,一定要注意点的位置,一类是点在曲线上,另 一类是点不在曲线上,注意区分,并根据不同情况,采取不同的思路解决问题.
考点类析
考点类析
考点四 复合函数求导
[导入] 复合函数求导的步骤是什么?
解:(1)正确分清复合关系,选定中间变量; (2)分步计算对应变量的导数; (3)把中间变量代回,将导函数写为关于自变量的函数. 整个过程简记为“分解——求导——回代”,熟练后,可以省略中间过程,若遇多重复 合,可多次用中间变量求导.
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(2)求 y x
lim lim （3）取极限：fx) y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
(1)求函数f(x)=2的导数；
y
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x) o
x
220
f
'(x)
2'
y lim
lim0
0.
x x0
x0
(2) 求函数f(x)=0的导数； 0
系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的
p0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上
涨的速度大约是多少（精确到0.01）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln 1.05
p'(10) 1.0510 ln 1.05 0.08(元 / 年)
所以y
lim
x0
y x
lim (
x0
x2
1 xx
)
1 x2
公式2 ( x n )' nx n1 (n R)
算一算
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式3 公 式4
(sin x)' cos x. 记
(3) 求函数f(x)= -3.2的导数. 0
公式1 C ' 0 (C为常数).
证明：y f ( x) C,
y f ( x x) f ( x)
C C 0 y 0, x
f '( x) C ' lim y 0. x0 x
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义，
复习:
１：函数的导函数:
当xo取某定值时，fx0 )是一个定值；当x变化时，fx)就是
关于x的一个函数，称fx)为fx)的导函数（简称导数）.
lim lim 即：y fx)
y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
２：求函数y=f(x)的导函数步骤:
(1)求△y=f(x+ △x)-f(x)
（6）若f(x)=ex,则f′ (x)=___e_x; 1
（7）若f(x)=logax,则f′ (x)=___x_ln_ a
(a>0,且a≠1);
1
（8）若f(x)=lnx,则f′ (x)=____x。
例1 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，
物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关
y f ( x x) f ( x)
x x x x,
f '( x) lim y lim 1
x x0
x0
1
(1) y=2x的导数 (2) y=-4x的导数 (3) y=kx（k ≠ 0）的导数
(2) y=x2的导数
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x2 2xx x2 ,
e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等 于____x__;
f ' (1)等 于___e___
1
4) (1oga x)' __x__ln_a___
4.求下列函数的导数
(1) y x12 (2) y x x (3) y 1 (4) y 5 x3
x4
1
(5) y x (6) y x3
18x2 8x 9 (2)y=(1+x6)(2+sinx)
y' 6x5 (2 sin x) (1 x6 ) cos x
法则3:
ff (x)g(x)
g ( x)2
3:求下列函数的导数
(1)y=tanx
y'
( sin x )' cos x
cos2 x sin cos2 x
y=x3-x+3 y′=3x2-1 1: 求下列函数的导数
(1)y=x3+sinx y' 3x2 cos x
(2)y=x4-x2-x+3. y' 4x3 2x 1
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
应用2:求下列函数的导
数(1)y=(2x2+3)(3x-2) y' (2x2 3)(3x 2)'(2x2 3)' (3x 2)
D.( x5 )' 1 x6 5
2下列各式正确的是（ D ）
A.(loga
x)'
1 x
B.(loga
x)'
ln 10 x
C.(3x )' 3x
D.(3x )' 3x ln 3
3.填空
(1) f(x)=80，则f '(x)=___0___;
(2) y 3 x2的导数是___32__x__13;
5、基本初等函数的导数公式 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=___0__;
nxn-1 （2）若f(x)=xn(n∈R),则f ′(x)=_; （3）若f(x)=sinx,则f ′(x)=__c_o_s_x; （4）若f(x)= cosx,则f ′(x)=__-_s_in_x; （5）若f(x)=ax,则f ′(x)=___a_xl;na(a>0)
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
思考？
如果上式的某产品p0=5,那么10 个年头，这种产品的价格的速度 大约是多少？
当p0=5时，p(t) 5(1 5%)t 51.05t 求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与 g(t) 1.05t 乘积的导数
法则1: [f(x) ±g(x)] '= f '(x) ± g'(x);
2
x
1 cos 2
x
(2) y
x3 x2 3
y' x2 6x 3 (x2 3)2
(cos x)' sin x.
公式5 (a x )' a x ln a 一
公式6 (e x )' e x
公式7
公式8
(1oga x)'
(1nx)'
1
x
1 ln
a
记
x
不需推导，但要注意符号的运算.
记忆公式5遍!
1下列各式正确的是（C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x
f '( x) lim y lim(2x x)
x x0
x0
2x.
(3) y=x3的导数 f '( x) ( x3 )' 3x2 .
(4)求函数y 1 的导数 x
解：因为：y
f ( x x)
f (x)
1 x x
1 x
x
x
x
x ( x x) x( x x)x
x2
1 xx