1.2导数的的计算(公开课)

系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的
p0=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上
涨的速度大约是多少（精确到0.01）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln 1.05
p'(10) 1.0510 ln 1.05 0.08(元 / 年)
2
x
1 cos 2
x
(2) y
x3 x2 3
y' x2 6x 3 (x2 3)2
(3) 求函数f(x)= -3.2的导数. 0
公式1 C ' 0 (C为常数).
证明：y f ( x) C,
y f ( x x) f ( x)
C C 0 y 0, x
f '( x) C ' lim y 0. x0 x
求下列函数的导数
(1) y=x的导数
解：根据导数定义，
(cos x)' sin x.
公式5 (a x )' a x ln a 一
公式6 (e x )' e x
公式7
公式8
(1oga x)'
(1nx)'
1
x
1 ln
a
记
x
不需推导，但要注意符号的运算.
记忆公式5遍!
1下列各式正确的是（C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x
(2)求 y x
lim lim （3）取极限：fx) y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
(1)求函数f(x)=2的导数；
y
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x) o
x
220
f
'(x)
2'
y lim
lim0
0.
x x0
x0
(2) 求函数f(x)=0的导数； 0
18x2 8x 9 (2)y=(1+x6)(2+sinx)
y' 6x5 (2 sin x) (1 x6 ) cos x
法则3:
f (x)
g
(
x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
g ( x)2
3:求下列函数的导数
(1)y=tanx
y'
( sin x )' cos x
cos2 x sin cos2 x
（6）若f(x)=ex,则f′ (x)=___e_x; 1
（7）若f(x)=logax,则f′ (x)=___x_ln_ a
(a>0,且a≠1);
1
（8）若f(x)=lnx,则f′ (x)=____x。
例1 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，
物价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关
所以y
lim
x0
y x
lim (
x0
x2
1 xx
)
1 x2
公式2 ( x n )' nx n1 (n R)
算一算
(1) y=x4 ;
(2) y=x-5 ;
4x3
-5x-6
(3) y x ;
1
x
1 2
1 (4) y x2 ;
-2x-3
2
注意公式中,n的任意性.
公式3 公 式4
(sin x)' cos x. 记
y=x3-x+3 y′=3x2-1 1: 求下列函数的导数
(1)y=x3+sinx y' 3x2 cos x
(2)y=x4-x2-x+3. y' 4x3 2x 1
法则2:
f (x) g(x)' f '(x) g(x) f (x) g'(x)
应用2:求下列函数的导
数(1)y=(2x2+3)(3x-2) y' (2x2 3)(3x 2)'(2x2 3)' (3x 2)
5、基本初等函数的导数公式 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=___0__;
nxn-1 （2）若f(x)=xn(n∈R),则f ′(x)=_; （3）若f(x)=sinx,则f ′(x)=__c_o_s_x; （4）若f(x)= cosx,则f ′(x)=__-_s_in_x; （5）若f(x)=ax,则f ′(x)=___a_xl;na(a>0)
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
思考？
如果上式的某产品p0=5,那么10 个年头，这种产品的价格的速度 大约是多少？
当p0=5时，p(t) 5(1 5%)t 51.05t 求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与 g(t) 1.05t 乘积的导数
法则1: [f(x) ±g(x)] '= f '(x) ± g'(x);
D.( x5 )' 1 x6 5
2下列各式正确的是（ D ）
A.(loga
x)'
1 x
B.(loga
x)'
ln 10 x
C.(3x )' 3x
D.(3x )' 3x ln 3
3.填空
(1) f(x)=80，则f '(x)=___0___;
(2) y 3 x2的导数是___32__x__13;
f '( x) lim y lim(2x x)
x x0
x0
2x.
(3) y=x3的导数 f '( x) ( x3 )' 3x2 .
(4)求函数y 1 的导数 x
解：因为：y
f ( x x)
f (x)
1 x x
1 x
x
x
xwk.baidu.com
x ( x x) x( x x)x
x2
1 xx
y f ( x x) f ( x)
x x x x,
f '( x) lim y lim 1
x x0
x0
1
(1) y=2x的导数 (2) y=-4x的导数 (3) y=kx（k ≠ 0）的导数
(2) y=x2的导数
解：根据导数定义，
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x2 2xx x2 ,
复习:
１：函数的导函数:
当xo取某定值时，fx0 )是一个定值；当x变化时，fx)就是
关于x的一个函数，称fx)为fx)的导函数（简称导数）.
lim lim 即：y fx)
y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
２：求函数y=f(x)的导函数步骤:
(1)求△y=f(x+ △x)-f(x)
e (3) f ( x) e x ,则f ' ( x)等 于____x__;
f ' (1)等 于___e___
1
4) (1oga x)' __x__ln_a___
4.求下列函数的导数
(1) y x12 (2) y x x (3) y 1 (4) y 5 x3
x4
1
(5) y x (6) y x3