杭二中热身考数学

热身考

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}

2

|2B x x =<，则A

B =（ ）

A.{}0,1

B.{}1,1-

C.{}1,0,1-

D.{}0 2.下列命题中正确的是( )

A.若||a b |=|，则a b =

B.若a b ≠，则a b ≠

C. 若a b ≠，则a 一定不与b 共线

D. 若||a b |=|，则a 与b 可能共线 3.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“tan tan A B >”的（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件

D.充要条件

4.已知圆22:(2)(1)2C x y -+-=，直线22:10l a x b y +-=，若圆C 上任一点关于直线l 的对称点仍在圆C 上，则点

(),a b 必在（ ）

A.

的椭圆上 B.一条离心率为2的双曲线上 C. 一个离心率为

1

2

的椭圆上

D. 5.函数()·

ln x

f x e x =的大致图象为（ ） A ． B ．C ． D ．

6.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少一名，则不同分法的种数为（ ）

A.72

B.36

C.24

D.18 7.已知2()f x x ax b =++，记

()f x 的零点个数为m ，[()]f f x 的零点个数为M ，则M m -的值不可能．．．

是（ ） A ．0 B.1 C.2 D.3 8.若0a b +>，则（ ）

A ．ln ln 0a b +>

B ．330a b +>

C ．tan tan 0a b +>

D ．||||a b >

9.正四面体A BCD -中，,,P Q M 分别是侧棱,,AB AC AD 上的动点（不含端点），且满足

AP AQ AM <<，分别记二面角A PQ M --，A QM P --，A PM Q --的平面角为

,,αβγ，则（ ）

A.

βγα<< B.γβα<< C. αγβ<< D. γαβ<<

10.数列{}n a 满足1sin n n a a +=，1(0)a a a =>，则（ ）

A.1n n a a +≥

B. 1n n a a +≤

C. 3a =时，11n n n n a a a a +--≥-

D.4a =时，11n n n n a a a a +--≥-

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.132i

z i

+=

+，则z 的共轭复数z =_______，z z ⋅=_______. 12.在二项式2

5

1()x x

-的展开式中，二项式系数之和是_______，含4x 的项的系数是________. 13.某几何体的三视图如图所示，其中主视图和俯视图是直角梯形，侧视图为正方形， 则该几何体的最长棱的长度是________，体积是_______. 14.ABC ∆中，2AB =，6AC =

，7

cos 8

B =

，则BC 边上的中线AD 长_______. 15.甲盒里装有3个白球和2个红球，乙盒里装有4个白球和3个红球，从甲、乙两个盒 中各随机取1个球放入原来为空的丙盒中，则从丙盒中取1个球是白球的概率是______， 丙盒中含有红球个数的期望是_________.

16.在梯形ABCD 中，3AB DC =，且8AD BD ⋅=，6AC BC ⋅=，||3AB =，则AC BD ⋅=______.

17.已知点P 是椭圆22

195

x y +=上的动点，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平

分线上的一点，且1MF MP ⊥，则OM 的取值范围是_______.

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 18. （本题满分14分）设函数23

()cos sin()3cos 3

4

f x x x x π

=⋅+

-+

， （1）求()f x 的最小正周期和对称中心；（2）当[0,]3

x π

∈时，求函数()f x 的最值.

主视图 侧视图

俯视图

19. （本题满分15分）在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD CD ⊥，PAB ∆是正三角形，22BC AD ==，3CD =，3PC =， （1）证明： PC AB ⊥；

（2）求CD 与平面PAB 所成线面角的正弦值.

20. （本题满分15分）已知数列{}n a 满足11a =，{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +=++. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，证明：5

3

n T <.

21. （本题满分15分）已知点P 是抛物线2

1:4C y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线1C 的两条切线,PA PB ， 其中,A B 为切点.

（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；

（2）若直线AB 交椭圆22

2:143x y C +=于

,C D 两点，12,S S 分别是,PAB PCD ∆∆的面积，求12

S S 的最小值.

22. （本题满分15分）已知函数()()sin b f x a x x π=--，[,)x π∈+∞ （1）1b 时，若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；

（2）1

2

b ，()f x 在3[,]2ππ上有唯一极值点0x ，求证：00()f x x π+>.

D A

B

C

P