第六章屈服条件

第六章 屈服条件

§6.1应力空间与屈服条件

弹性力学只研究物体在弹性范围内的变形规律；塑性力学的研究范围扩展到塑性变形阶段，研究材料在塑性变形情况下力与变形之间的关系。材料在塑性变形时其内力应该满足一定的条件—屈服条件。屈服条件是求解塑性力学问题所必需的补充方程。 屈服条件是塑性力学中的重要概念之一。正确理解屈服条件的有关概念，对于分析和解决塑性力学问题是至关重要的。在单向拉伸时，标志材料进入塑性状态的是应力达到材料的屈服极限s σ。对于具有明显屈服极限的材料，s σ可以在拉伸曲线上找到。而对于没有明显屈服极限的材料，则按规定用取对应于残余应变2.0=ε％时的应力作为材料的s σ。但对于复杂应力状态，问题就复杂多了，因为一点的应力状态是由六个应力分量确定的，显然不应选取海六个应力分量中的某一个作为判断材料是否进入塑性状态的判据。因此，在分析中需要引进应力空间和应变空间的概念。所谓应力空间或应变空间就起以应力分量或应变分量为坐标轴所确定的空间。任一点的应力状态或应变状态，可以通过变换用主应力或主应变来表示，由于其几何图形和数学表达式都比较简单，使用起来也非常方便，一般都采用主应力或主应变坐标系。

由主应力1σ、2σ和3σ所确定的应力状态，可以用应力空间中的一个点来表示。在应力空间或应变空间中，每一个点都代表一个应力状态或一个应变状态。应力或应变状态的变化，可以在相应空间中绘出一条相应的曲线，这样的曲线称为应力路径或应变路径。根据不同路径所进行的实验，可以确定从弹性阶段进入塑性阶段的界限，即确定屈服点，这些屈服点连结起来后形成一个曲面，这样的曲面称为屈服面。屈服面的数学表达式称为屈服函数。对于理想塑性材料，这个曲面称为极限曲面，应力状态只能在这个曲面之内或在曲面之上。在屈服面内的应力状态为弹性应力状态(弹塑性材料)或刚性状态(刚塑性材科)，而在屈服面上的应力状态则为塑性状态，即一旦应力状态到达屈服面之上，则认为材料已进入塑性状态了。理想塑性材料由于屈服极限不能再增加，因而屈服面也不能继续扩展。然而对于强化材料，由于应力达到屈服极限后仍能继续增长，因此屈服面仍能继续变化，其屈服面有时称为加载面。

在用应力表示的屈服条件中，六个应力分量的数值与所选取的坐标方向有关。采取不同的坐标方向，就会得到不同数值的分量。在一般情况下屈服函数可表示为

0),,,,,()(==ij ij ij z y x ij f f τττσσσσ （6.1—1） 当材料是各向同性时，屈服函数量)(ij f σ可以用与坐标轴方向的选取无关的量来表示，也就是说可以用三个主应力或三个应力不变量来表示。所以屈服条件可写成：

0),,(321=σσσf （6.1—2） 或

0),,(321=I I I f （6.1—3）

式中和可以代表所有可能使材料进入塑性状态的应力组合。

对于各向同性材料，在应力空间中如果点(1σ、2σ、3σ)在屈服面上，则点(1σ、3σ、

2σ)也必然在屈服面上，因此屈服面必定对称于1σ轴。同理屈服面对于2σ和3σ轴也

一定是对称的，同时三个应力主轴也应该满足互换的条件。所以任意置换三个主应力并不改变材料的屈服性质。式(6.1—2)也可以写成：

0),,(),,(132123===L σσσσσσf f

（6.1—4） 在主应力空间中，与三个坐标轴的夹角均相等的线称为等倾线，与等倾线垂直且过原点的平面称为π平面，如图6.1—1所示。后面将证明等倾线上某点A 到原点的距离表

示过该点且与等倾线垂直的面上的应力状态

的平均应力，π平面描述了平均应力为零的所有的应力状态。根据勃里奇曼的研究，平均应力不影响金属材料的屈服，因此在π平面上对屈服条件进行研究将是比较方便的。屈服面与π平面的交线称为屈服轨迹。

§6.2两种常用的屈服条件

关于材料进入塑性状态的原因，在历史上曾提出过各种不同的假设。例如最大主应力假设、最大主应变假设和最大弹性应变能假设等，由于它们与实验结果不符合，目前已不再使用，屈雷斯加(Tresca)屈服条件和密席斯(Mises)屈服条件，由于与实验结果比较符合，并且应用方便，所以至今被广泛地采用。 一、屈雷斯加(Tresca)屈服条件 1．屈雷斯加屈服条件

1864年，法国工程师屈雷斯加根据对金属所作的一系列挤压试验中得到的结果，把材料发生塑性变形的原因归结于最大剪应力。他提出当材料中的最大剪应力达到一定值时，材料就发生屈服。用数学式可表达为：

k k =max τ （6.2—1） 上式可用三个主应力来表示。若已经知道主应力大小的321σσσ>>，则有:

k 231=−σσ （6.2—2） 若不知道主应力大小的次序，屈雷斯加屈服条件应表示为:

±=−±=−±=−k

k k 222133221σσσσσσ （6.2—3） 由于必须在各种应力状态下均成立，因而在单向拉伸时屈服应力为s σ，代入上式得：s k σ=2，即屈雷斯加(Tresca)屈服条件为：

s σσσ=−31 （主应力大小已知） （6.2—4）

或：

±=−±=−±=−s

s s σσσσσσσσσ133221（主应力大小未知） （6.2—5）

其中s σ为材料的屈服极限。

若在纯剪切情况下，s k τ=则屈服条件（用绝对值表示）为：

s j i τσσ2=−（i,j=1,2,3） （6.2—6）

s τ为材料在纯剪切时的屈服极限。由此可见，根据式(6.2—4)和(6.2—6)；在材料的剪切屈服极限和拉伸屈服极限之间，按照屈雷斯加屈服条件，应存在关系: s s στ2

1

= （6.2—7）

2．屈雷斯加屈服条件的几何表示 在主应力空间将屈雷斯加屈服条件

（6.2—5）以几何形式表示，其屈服面为如图 6.2—1所示的以等倾线为轴心的六棱柱。将该六棱柱向π平面投影，得到π平面上的屈服轨迹，如图6.2—2(a)所示的正六边形。它与坐标平面的交线为图6.2—2（b ）中的椭圆

当主应力状态（321,,σσσ）在六棱柱

内部，既其在π平面的投影在正六边形内

时，材料处于弹性状态；而当主应力状态在

六棱柱表面上，或其在π平面的投影在正六边形上时，则表示材料进入塑性（屈服）状态。

二、密席斯屈服条件 1. 密席斯屈服条件

1913年，密席斯指出，在π平面上屈雷斯加条件的正六边形屈服轨迹上的六个顶点代表材料在单向应力状态的屈服准则，可由实验得到，但连接六个顶点的直线却是假设的。密席斯认为，用圆来连接这六个顶点更合理，并可避免由于屈服轨迹不光滑而造成数学上的困难。这样，密席斯屈服条件的轨迹曲线就是正六边形的外接圆，如图6.2—2 所示。在主应力空间中，屈服面为以等倾线为轴线的圆柱面，如图6.2—1所示，它与坐标平面的交线为图6.2—3中的椭圆。

在π平面上，密席斯屈服轨迹的圆心为原点O ，半径s R σ3

2

=

。在此π平面上所建立的直角坐标义XOy 中，密席斯屈服轨迹可用一圆方程表示： 222)3

2

(

s y x σ=+ （6.2—8） 利用π平面上的直角坐标与主应力空间坐标之间的转换关系式代入整理后得：