信号分析3功率谱和能量谱

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功率谱和能量谱的关系

功率谱和能量谱的关系
功率谱和能量谱是两种不同的谱分析方法。

功率谱（Power Spectrum）是指信号在不同频率上的功率分布。

它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的功率大小。

功率谱是对信号进行谱分析的主要方法之一，常用的谱分析工具包括傅里叶变换和自相关函数等。

能量谱（Energy Spectrum）是指信号在不同频率上的能量分布。

它描述了信号的频域特征，表
示信号在不同频段上的能量大小。

能量谱是功率谱的一种特殊形式，它不考虑信号的持续时间，仅考虑信号的幅度信息。

在能量谱中，低频和高频的能量大小对结果影响较大，但是无法判断信号在不同频段上的功率大小。

因此，功率谱和能量谱之间存在一定的关系。

功率谱是能量谱的平方，即功率谱可以通过能量谱计算得到。

但是能量谱不能通过功率谱计算得到，因为能量谱不考虑信号的持续时间，无法确定功率大小。

能量谱和功率谱

维纳-欣钦关系
式
功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。
例1 例2
▲
■
第5页
四、能量谱和功率谱分析
时域 yt ht* f t
f t
ht
yt
频域 Yj Hj Fj
F j
H j Y j
假定f t是能量有限信号，f t的能量谱密度为ε f ω，
yt的能量谱密度为εy ω
f Fj 2 y Y j 2 显然 Yj 2 Hj 2 Fj 2
§4.6 能量谱和功率谱
• 帕斯瓦尔关系Parseval’s Relation • 能量谱 • 功率谱 • 能量谱和功率谱分析
■
第1页
一．帕塞瓦尔关系Parseval’s Relation
E f (t) 2 d t 1 F ( j) 2 d
2
Proof Example
▲
■
第2页
二．能量谱密度（能量谱）
因此 y Hj 2f
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与|H(jω)|2的乘积。
同样，对功率信号有 Py(ω)= |H(jω)|2 Pf(ω) 例
▲
■
第6页
令
fT(t)
f
(t
)
0
t t
T 2
T 2
则 f (t) 的平均功率为：
fT (t) FT (j)
P lim 1 T T
T 2 T
f 2 (t) d t 1 2π
lim | FT (j) |2 d
T
T
2
R( )Βιβλιοθήκη lim1T T
T 2 T 2
fT
(t
)
fT

信号通过线性系统的自相关函数能量谱和功率谱分析

6.8
§6.7 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析
•能量谱和功率谱分析 •信号经线性系统的自相关函数
北京邮电大学电子工程学院 2002.3
2
第页
时域
前面，从
频
域
s
域
中研究了
激励
响
应
三者的关系
系统
现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。
X
3
一．能量谱和功率谱分析
第
页
et E j
ht rt H j H j
时域
rth t*et
频域
R j H j E j
假e定 t是能量有 et的限能信量号谱 e，，密度 rt的能量谱 r密度
eEj2
rRj2
X
4
第

显然
页
R j2H j2E j2
所以
rH j2e
Se e j
因为
Re
Rh Rr
F h tH j F h * t H * j
所以 R r R e h t h * t R e R h
其中 R h h t h * t为系统冲激响应的自相关函数。
X
H j 2
Sr r
物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与 H j 2的乘积。
同样，对功率信号有
SrH j2Se 物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与 H j 2
的乘积。
X
5
二．信号经线性系统的自相关函数第页
由
rH j2e
SrH j2Se
得
r H j H * j e
S r H j H * j S e

功率谱的作用

功率谱的作用
功率谱是信号处理中一种重要的工具，它提供了一种在频率域中分析信号特性的方法。

功率谱的作用主要表现在以下几个方面：
1. 信号特性分析：功率谱可以揭示信号的频率成分和能量分布。

通过分析功率谱，可以了解信号的主要频率成分以及各频率成分的能量分布情况。

这对于分析信号的特性、识别信号的种类以及估计信号的参数具有重要的作用。

2. 噪声分析：在通信、雷达和声呐等系统中，噪声是一个重要的干扰因素。

功率谱可以用于分析噪声的来源和特性，以便采取相应的措施来降低噪声干扰。

通过对噪声的功率谱进行分析，可以帮助人们更好地理解和控制系统的性能。

3. 频域变换：功率谱可以用于实现信号的频域变换。

例如，傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，以便在频率域中进行处理和分析。

功率谱作为频域变换的一种表现形式，可以用于提取信号的特征、进行滤波处理以及频域压缩等操作。

4. 系统设计：在系统设计中，功率谱是一种重要的性能指标。

例如，在通信系统中，为了确保通信质量的稳定和可靠，需要选择合适的调制方式和信道编码方案。

功率谱可以用于评估不同方案的性能表现，为系统设计提供依据。

5. 生物医学应用：在生物医学领域，功率谱也被广泛应用于信号处理和分析中。

例如，在脑电信号处理中，功率谱可以用于分析大脑活动的频率成分和能量分布情况。

这有助于揭示大脑活动的规律和病理特征，为临床诊断和治疗提供支持。

总之，功率谱在信号处理和分析中具有广泛的应用价值，可以为人们提供深入的信号特性信息和改进系统性能的依据。

离散信号功率能量功率谱

离散信号功率能量功率谱摘要：一、离散信号的概念与特点二、离散信号的功率和能量计算方法三、离散信号功率谱的应用四、实际应用场景举例正文：**一、离散信号的概念与特点**离散信号是一种数字信号，它是由离散的点组成的，这些离散的点代表了连续信号在特定时间点上的取值。

与连续信号相比，离散信号具有以下特点：1.离散性：离散信号的取值只在离散的点上，而在其他点上没有取值。

2.有限性：离散信号的取值范围是有限的。

3.离散时间：离散信号的时间是离散的，通常以采样间隔为单位。

**二、离散信号的功率和能量计算方法**离散信号的功率和能量计算方法与连续信号类似。

离散信号的功率可以通过以下公式计算：P = ∑（x[n]）/2其中，x[n]表示离散信号在时刻n的取值。

离散信号的能量计算公式为：E = ∑（x[n]）**三、离散信号功率谱的应用**离散信号功率谱是对离散信号进行频域分析的一种方法。

它可以反映离散信号在不同频率下的能量分布。

离散信号功率谱的计算方法如下：1.对离散信号进行傅里叶变换（FFT）得到频域信号。

2.计算频域信号的幅度谱。

3.计算幅度谱的平方得到功率谱。

**四、实际应用场景举例**1.通信系统：在通信系统中，离散信号功率谱分析可用于优化信号传输方案，提高通信质量。

2.音频处理：在音频处理领域，离散信号功率谱分析可用于音乐信号的分类和分割，以及语音信号的处理。

3.图像处理：在图像处理领域，离散信号功率谱分析可用于图像滤波、特征提取和目标检测等任务。

通过以上内容，我们可以了解到离散信号的功率、能量和功率谱的概念及其在实际应用场景中的应用。

功率谱相关知识总结

功率谱相关知识总结定义功率谱是功率谱密度函数的简称，它定义为单位频带内的信号功率。

⼀定程度上，功率谱可以理解为幅度频谱的平⽅│Xn│2所排成的序列。

帕塞⽡尔定理对于能量信号g(t)，有∫∞−∞|g(t)|2dt=∫∞−∞|G(f)|2df功率信号与功率谱对于功率信号，因为其能量为⽆穷⼤，我们考虑它的平均功率。

P g=lim由帕塞⽡尔定理，有P_g=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{\infty}\left|G_{T}(f)\right|^{2} d f =\int_{-\infty}^{\infty}\left[\lim _{T \rightarrow \infty}\frac{\left|G_{T}(f)\right|^{2}}{T}\right] d f从中，我们定义功率谱密度：P_{g}(f)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{\left|G_{T}(f)\right|^{2}}{T}(\mathrm{W} / \mathrm{Hz})信号越长，则谱估计越准。

实际中，频率为正，对应的是单边功率谱。

单边功率谱在数值上是双边功率谱的⼀半。

相关函数对确定信号f_1(t)和f_2(t)，我们定义相关函数为：\mathscr{F}[R_{12}(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(t)f_2^*(t-\tau)dt相关定理若已知\mathscr{F}[f_1(t)] = F_1(w)\mathscr{F}[f_2(t)] = F_2(w)则\mathscr{F}[R_{12}(\tau)] = F_1(w) \cdot F_2^*(w)相关定理的证明如下：维纳-⾟钦(Wiener-Khintchine)公式功率谱和⾃相关函数是⼀对傅⾥叶变换对。

R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} P(w) e^{j w \tau} d \omegaP(w) =\int_{-\infty}^{\infty}R(\tau)e^{-jw\tau}d\tau=\int_{-\infty}^{\infty}这⼀定理可通过功率谱、⾃相关函数的定理和相关定理证明。

信号分析3.05功率谱和能量谱

1
一．周期信号的功率谱（离散谱）
第页
描述功率信号在频域中随ω分布情况
瞬时功率
p(t)
Ri2 (t)
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1tn
[1 T
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn
Fn
3) Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。离散谱。可
绘单边谱也可绘双边谱. 4)功率谱只与幅频谱有关，与相位无关，由于其收敛性，
能量主要集中在低频段。
X
3
二．非周期信号的能量谱
第
（连续谱）页
时域中：E
f
2 (t)dt
f
(t)[ 1
2
F(
j)e jtd]dt
页
不同频率下信号的实际振幅为无穷小,能量实际也为无穷小,为描述不同频率下能量的分布情况,引入能量密度频谱函数G(w),
E
G
(
)d
G() 1 F 2 ( j) 2
说明：表示单位频率下的信号能量。
1)能量是整个频域范围内能量谱曲线下的面积
2)能量谱只取决于信号的幅频特性,而与相位无关.
通过能量谱曲线可以了解信号能量在频域
1
2
F(
j
)[
f
(t)e jtdt]d
时域法
1
2
F
(
j )F (
j )d
1

简述信号功率谱的特点

简述信号功率谱的特点
信号功率谱是描述信号功率在频率域上分布的工具。

以下是信号功率谱的一些主要特点：
1.频谱分布：信号功率谱显示信号在不同频率上的功率分布。

这允许我们了解信号在频域上的能量分布情况。

2.能量集中性：信号功率谱可以反映信号能量是集中在特定频率范围内还是分散在多个频率上。

例如，窄带信号的功率谱通常在一个较小的频率范围内有显著的功率，而宽带信号可能在更广泛的频率范围内有功率。

3.带宽：信号功率谱可以帮助确定信号的带宽，即信号在频率域上占据的范围。

带宽通常定义为功率谱中包含信号大部分能量的频率范围。

4.峰值和谷值：功率谱中的峰值对应于信号在某个特定频率上的功率最大值，而谷值则表示功率最小值的频率。

这些特征点对于分析信号的频率成分非常有用。

5.直流分量：如果信号有直流（零频率）分量，功率谱将在零频率处有一个峰值，反映了信号的直流成分。

6.随机信号：对于随机信号，功率谱是一种常用的表示方法。

随机信号的功率谱描述了信号各频率分量的相对能量。

7.相位信息：与功率谱不同，功率谱通常不提供关于信号相位的信息。

功率谱是关于信号幅度的信息，而相位信息需要通过其他方法来获取。

8.能量守恒：信号在时域和频域之间存在能量守恒的关系，即信号的总能量等于其功率谱在所有频率上的积分。

能量谱与功率谱.

R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f2 源自R(0) f (t) 2 d t 1
F ( ) 2 d
2
F( f ) d f
2
若 f (t)为实数,上式可写成
R(0) f 2(t)d t 1 F ( ) 2 d
2
2
F( f ) d f ……帕塞瓦尔方程
并取 T
可以得到：
R( ) 1 S( )e j d
2
S( ) R( )e j d
即
S( ) FR( )
R( ) F 1p( )
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换．
例6-6-1
求余弦信号 f (t) E cos(1t) 的自相关函数和功率谱.
f (t)为功率信号, 所以自相关函数为:
R(
)
lim
T
1 T
T
2 T
2
f (t)f (t )dt
E2
lim T T
T
2 T
cos(1t) cos
1(t
)
d
t
2
E2
lim T T
T
2 T
cos(
1t
)
cos(
1t
)
cos
(1
)
2
sin(1t) sin(1 ) d t
E2 2
cos(1 )
求功率谱
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,所以功率谱为:
6.7
§6.6 能量谱与功率谱
能量谱与功率谱
1.能量谱
由相关定理知
FR( ) F( ) 2

功率谱

2.5 平稳随机过程的功率谱一.什么是功率谱?功率谱是信号的功率在频率轴的分布情况.对于确知信号,傅立叶变换的模的平方为功率谱或能量谱.设广义平稳过程)(t g 的功率谱为)(f P g ,则信号的总(平均)功率可表示为 df f P S g )(⎰∞∞-= 信号在某个频带内的功率可表示为df f P S f f g )(221⎰=设平稳随机过程)(t g 的截断过程(信号) ⎩⎨⎧≤≤-=others T t T t g t g T 02/2/)()( )()(ωT T G t g ⇔)(t g T 为能量信号,其能量为dt t g E T T )(2⎰∞∞-= 由帕塞瓦尔公式,从时域所求截断信号的能量,等于从频域所求截断信号的能量.ωωπd G E dt t g E T T T 22|)(|21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==2|)(|ωT G E 反映截断信号)(t g T 的能量在频域的分布情况,称为截断信号的能量谱. 截断信号的功率谱可表示为T G E T /|)(|2ω,T 为截断窗口的长度.当截断窗口长度趋于无限大时,截断信号)(t g T 趋于原始的平稳随机过程)(t g ,而傅立叶变换)(ωT G 趋于)(t g 的傅氏变换)(ωG ,截断信号的功率谱趋于)(t g 的功率谱)(f P g .因此定义平稳随机过程的功率谱为T G E f P T T g 2)(lim )(ω∞→=二.维纳-辛钦公式由于截断信号的功率谱{}{}⎰⎰⎰⎰--------==2/2/2/2/)(2/2/2/2/2)(1)()(1/|)(|T T T T s t j g T T T T s j t j T dtds e s t R E T ds e s g dt e t g E T T G E ωωωω ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎰--T T j g T d e R T T G E τττωωτ)()1(/|)(|2 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==⎰--∞→∞→T T j g T T T g d e R T T G E f P τττωωτ)()1(lim /|)(|lim )(2 τττττωτωτd e R d e R T j g j g T -∞∞-∞∞--∞→⎰⎰=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-)()()1(lim 即ττωτd e R f P j g f -∞∞-⎰=)()(平稳随机过程的功率谱为’自相关函数的傅立叶变换.三.常见的加性平稳零均值高斯噪声1.理想宽带加性高斯白噪声功率谱密度可表示为∞<<-∞=f n f P o n ,2)()(f P n 2o n 自相关函数可表示为)(2)(τδτo n n R =2.理想带通加性高斯白噪声功率谱密度可表示为)]()(([2)(B f f rect B f f rect n f P c c o n -++= 自相关函数可表示为τωτπτc o n B BSa n R cos )()(=3.理想低通高斯白噪声功率谱密度可表示为)2(2)(B f rect n f P o n = 自相关函数可表示为)2()(τπτB BSa n R o n =。

功率谱指的是信号在每个频率分量上的功率

功率谱指的是信号在每个频率分量上的功率，频谱其实是一个幅度谱，是信号在各个分量上的幅度值。

因为通信中一般对于信号的分析都是把信号看作电压值，所以功率谱就是电压的平方再除以电阻值。

为了分析简单归一化，令R=1，这时候功率谱就是频谱模的平方了。

模也就是实部分量和虚部分量平方和的开方。

（1）信号通常分为两类：能量信号和功率信号；（2）一般来讲，能量信号其傅氏变换收敛（即存在），而功率信号傅氏变换通常不收敛，当然，若信号存在周期性，可引入特殊数学函数（Delta）表征傅氏变换的这种非收敛性；（3）信号是信息的搭载工具，而信息与随机性紧密相关，所以实际信号多为随机信号，这类信号的特点是状态随机性随时间无限延伸，其样本能量无限。

换句话说，随机信号（样本）大多属于功率信号而非能量信号，它并不存在傅氏变换，亦即不存在频谱；（4）若撇开搭载信息的有用与否，随机信号又称随机过程，很多噪声属于特殊的随机过程，它们的某些统计特性具有平稳性，其均值和自相关函数具有平稳性。

对于这样的随机过程，自相关函数蜕化为一维确定函数，前人证明该确定相关函数存在傅氏变换；（5）能量信号频谱通常既含有幅度也含有相位信息；幅度谱的平方（二次量纲）又叫能量谱（密度），它描述了信号能量的频域分布；功率信号的功率谱（密度）描述了信号功率随频率的分布特点（密度：单位频率上的功率），业已证明，平稳信号功率谱密度恰好是其自相关函数的傅氏变换。

对于非平稳信号，其自相关函数的时间平均（对时间积分，随时变性消失而再次退变成一维函数）与功率谱密度仍是傅氏变换对；（6）实际中我们获得的往往仅仅是信号的一段支撑，此时即使信号为功率信号，截断之后其傅氏变换收敛，但此变换结果严格来讲不属于任何“谱”（进一步分析可知它是样本真实频谱的平滑：卷积谱）；（7）对于（6）中所述变换若取其幅度平方，可作为平稳信号功率谱（密度）的近似，是为经典的“周期图法”；（8）FFT是DFT的快速实现，DFT是DTFT的频域采样，DTFT是FT的频域延拓。

(完整word版)功率谱分析

三、功率谱分析字体[大] [中] [小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。

随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。

因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。

前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。

1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。

巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT直接求出。

由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。

自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。

两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。

为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。

信号与系统 §4.6 能量谱和功率谱

§4.6 能量谱和功率谱
• 帕斯瓦尔关系Parseval’s Relation • 能量谱 • 功率谱 •能量谱和功率谱分析
■
第1页
一．帕塞瓦尔关系Parseval’s Relation
E f (t) 2 d t 1 F ( j)
■
第2页
二．能量谱密度（能量谱）
T
1 T
fT (t) * fT (t)
▲
■
第4页
定义
功率谱指单位频率的信号功率，记为P(ω)
在频带df内信号的功率为P(ω) df，因而信号在整个频率范围的总功率
P P(ω)
df 1
2
P(ω)
d
因此
P(ω)=
lim | FT (j) |2
T
T
R(τ) ←→P(ω)
维纳-欣钦关系
式
功率有限信号的功率谱与自相关函数是一对傅里叶变换。
令
fT(t)
f
(t
)
0
t t
T 2
T 2
则 f (t) 的平均功率为：
fT (t) FT (j)
P lim 1
T T
T
2 T
2
f
2 (t) d t
1 2π
lim | FT (j) |2
T
T
d
R( )
lim
1
T T
T 2 T 2
fT
(t
)
fT
(t
)
d
t
lim
• 定义能量谱指单位频率的信号能量，记为E(ω)
在频带df内信号的能量为E(ω) df，因而信号在整个频率范围的总能量
E
E(ω)

功率信号&能量信号&功率谱&能量谱

一、能量信号和功率信号（1）能量信号根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。

能量信号，如各类瞬变信号。

在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。

显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：()()()22x t p t x t R== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。

通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。

当()x t 满足：()2x t dt +∞-∞<∞⎰ (1.2)则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。

满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。

定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：()2E f t dt +∞-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)（2）功率信号若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：()/22/21lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。

如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。

定义：信号()f t 的平均功率为电压()f t 在1Ω电阻上消耗的平均功率（简称功率）：()/22/21lim T T T S f t dt T -→∞=⎰ (1.5)二、频谱和频谱密度频谱密度：设一个能量信号为()s t ，则它的频谱密度()s ω可以由傅氏变换求得。

()()s F s t ω=⎡⎤⎣⎦ (1.6)能量信号的频谱密度()s f 和功率信号()c jn ω（比如一个周期信号）的频谱主要区别有：（1）()s f 是连续谱，而()c jn ω是离散谱；（2）()s f 单位是幅度/频率，而()c jn ω单位是幅度；（这里都是指其频谱幅度）；（3）能量信号的能量有限，并连续的分布在频率轴上，每个频率点上的信号幅度是无穷小的，只有d f 上才有确定的非0振幅；功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非0振幅。

功率信号能量信号功率谱能量谱

一、能量信号和功率信号（1）能量信号根据信号可以用能量式或功率式表示可分为能量信号和功率信号。

能量信号，如各类瞬变信号。

在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。

显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的瞬时功率为：()()()22x t p t x t R== (1.1) 瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量。

通常不考虑量纲，而直接把信号的平方及其对时间的积分分别称为信号的功率和能量。

当()x t 满足：()2x t d t +∞-∞<∞⎰ (1.2)则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。

满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。

定义信号()f t 的能量：由电压()f t （或者电流()f t ）在1Ω电阻上消耗的能量：()2E f t d t +∞-∞=⎰（注释：22/E u i u R u =⨯==） (1.3)（2）功率信号若()x t 在区间(),-∞+∞的能量无限，不满足(1.2)式条件，但在有限区间(-T/2，T/2)满足平均功率有限的条件：()/22/21lim T T T x t dt T -→∞<∞⎰ (1.4) 则，()x t 为功率信号。

如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。

通信技术概论信号的能量谱密度与功率谱密度

2.2.3 功率谱密度我们定义信号()t f 的能量（作用归一化处理）：由电压()t f （或者电流()t f ）在Ω1电阻上消耗的能量： ⎰∞∞-=dt t f E )(2，（注释：22u R u i u E ==⋅=/）积分值存在，信号的能量为有限值，称()t f 为能量信号。

对于能量无限大的信号（如周期性信号），我们考虑能量的时间平均值，这显然就是信号的平均功率。

这种信号称作（平均）功率信号。

我们定义信号()t f 的平均功率，为电压()t f 在Ω1电阻上消耗的平均功率（简称功率）： ()⎰-∞→=2221T T T dt t f T S lim式中，T 是为求平均的时间区间。

为了更好地描述能量信号、功率信号，我们引入能量谱密度和功率谱密度概念。

能量谱密度、功率谱密度函数表示信号的能量、功率密度随频率变化的情况。

我们知道，非周期性信号的频谱宽度是无限的，然而，实际上信号的大部分功率是集中在某个有限的频谱宽度内。

通过研究功率谱密度，可以帮助了解信号的功率分布情况，确定信号的频带等。

对于能量信号()t f ，根据付里叶反变换有 ()()⎰∞+∞-ωωωπ=d e F t f tj 21 则信号的能量：()()⎰⎰⎰∞∞-∞+∞-ω+∞∞-ωωπ==dtd e F t f dt t f E t j ])[(21 2 ()()()()⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-ωωω-⋅ωπ=ω⋅ωπ=d F F d dt e t f F E t j *21 21 当()t f 为实信号时，)()(*ω=ωF F 。

今后如无特别说明，都是指实信号，这样则得到： ()()⎰⎰∞+∞-∞∞-ωω⋅ωπ==d F F dt t f E *)(212()⎰∞+∞-ωωπ=d F 221 式中，令，)( 2Hz J E F /,)()(ω=ω，称)(ωE 为能量谱密度。

信号的能量又可以表示为：⎰∞+∞-ωωπ=d E E )(21 上式就是能量信号的parsverl 公式。

功率谱和能量谱

2
信号f (t)的平均功率表示为:
Lim Lim P
T
1 T
T
2 T
2
f 2 (t) d t
1
2
T
FT ( jw) 2 dw T
定义 : 功率谱(w) Lim FT ( jw) 2
则
T
T
P 1
(w)dw
2
功率谱表示单位频带内信号功率随频率的变化情况,功
率谱曲线所覆盖的面积在数值上等于信号的总功率 X
u2 (t) R
f
2 (t)
fT 2 (t)
平均功率
P
1 T
T
0
fT 2 (t) d t
1 T
T
0
fT
(t)(
Fne
jn1t
)dt
n
n
Fn[T1
T
0
fT (t)e jn1t dt]
Fn Fn
n
n
Fn
2
F02
2
n1
Fn 2
A0 2
1 2
n1
An2
P 1
TLeabharlann T 0fT 2 (t) d t
2
Fn
n
Fn 2 ~ n1
X
P 1
T
T 0
fT 2 (t) d t
时域法
第
频域法
3
页
Fn 2
n
F02
2 Fn 2
n1
A0 2
1 2
n1
An2
表明：
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
1)周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值
的平方和；

信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度

信号的频谱、幅度谱、相位谱及能量谱密度、功率谱密度这篇⽂章的标题起得如此长，实在是为了区分“谱”与“谱密度”。

谱的英⽂原词为spectrum，私以为是函数图象，却⼜不够准确。

信号就是时间的函数，那怎么不把信号称为谱？可知谱是函数图像中的某⼀类⽽已。

每每提及谱，都和频率脱不了⼲系，⽽此⽂的来由，也正是我对Parseval恒等式突发的好奇⼼。

Parseval恒等式是傅⾥叶变换的⼀个重要性质。

说到此，学识渊博的读者，您⾃然很熟悉，傅⾥叶变换将信号从时域或者空域变换到频域上，产⽣频谱。

这谱，⾃然和频率，有着天然的不可分割性。

罢了，再往下说就变成考证了。

即使本⽂意为⼀篇科普，也须得有理科⽂章的简洁。

且说上⽂提到的Parseval恒等式，⽼师有提到该等式的intuitive sense是：傅⾥叶变换的原信号和频谱之间是能量守恒的。

这当然是不错的解释，但却不够shocking，⼀个shocking的解释是，傅⾥叶变换之后的频谱保留了原信号的所有信息。

我当时就震惊了。

当然，只要想到傅⾥叶变换是可逆的（即⼀⼀对应），也就不那么震惊了。

傅⾥叶变换的另⼀个令⼈震惊的事实是：Gaussian分布的密度函数 $e^{-x^2/2}$是唯⼀的⼀个傅⾥叶变换不变函数。

Gaussian密度函数的⼀阶导数与哺乳动物视觉感知系统主视⽪层简单细胞的感受野（cortical receptive field）具有相似的结构。

泛函分析中，Gaussian密度函数的极限（$\sigma\to\infty$）是delta-dirac函数 $\delta(x)$，即脉冲函数。

更简单地，在⼤学⼀年级的数学分析课程中，Gaussian密度函数的积分是 $\sqrt{\pi}$。

总⽽⾔之，Gassian分布具有许多异常完美的性质，被它震惊也不是⼀回两回了。

⾔归正传，信号经过傅⾥叶变换之后产⽣频谱，频谱是⼀个以频率为⾃变量的函数。

频谱在每⼀个频率点的取值是⼀个复数。