2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(52)圆锥曲线中的热点问题

课时作业(五十二) [第52讲 圆锥曲线中的热点问题]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身 1．[2011·山东实验中学二模] 过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )
A ．－2
B ．－12
C ．－4
D ．－1
16
2．[2011·银川一中二模] 双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则b 2＋13a
的最小值
为( )
A.33
B.233 C ．2 D ．1 3．[2011·福州模拟] 已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A ．5
B ．8
C.17－1
D.5＋2
4．[2011·广东六校联考] 过点P (－3,0)的直线l 与双曲线x 216－y 2
9
＝1交于点A ，B ，设直
线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝( )
A.916
B.34
C.16
9 D ．16 能力提升 5．[2011·哈九中月考] 抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( )
A ．(1,2)
B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1,4)
6．[2011·浙江五校联考] 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该
双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1,2)
C ．(1,1＋2)
D ．(2,1＋2) 7．[2011·开封模拟] 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.115 D.37
16
8．若AB 为过椭圆x 225＋y 2
16
＝1中心的弦，F 1为椭圆的左焦点，则△F 1AB 面积的最大值
为( )
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
9．设P 为双曲线x 2
－y 212
＝1右支上的一点，F 1、F 2是该双曲线的左、右焦点．若△PF 1F 2
的面积为12，则∠F 1PF 2等于( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.2π3
10．[2011·银川一中二模] 若A 为抛物线y ＝1
4
x 2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物
线于B 、C 两点，则AB →·AC →
等于________．
11．[2011·龙岩模拟] 已知曲线x 2a －y 2b
＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ
→
＝0(O 为原点)，则1a －1
b
的值为________．
12．以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则当它们的实轴，虚轴都在变化时，e 21＋e 22的最小值是________．
13．[2011·重庆卷] 设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．
14．(10分)[2011·合肥高三质检] 已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .
(1)求证：|MA |、|MC |、|MB |成等比数列；
(2)设MA →＝αAC →，MB →＝βBC →
，试问α＋β是否为定值．若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
15．(13分)[2011·山东实验中学二模] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分
别为F 1，F 2，离心率e ＝2
2
，点D (0,1)在椭圆E 上．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设过点F 2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G (t,0)，求点G 横坐标t 的取值范围．
(3)试用t 表示△GAB 的面积，并求△GAB 面积的最大值．
难点突破
16．(12分)[2011·山东卷] 已知动直线与椭圆C ：x 23＋y 2
2
＝1交于P 、Q 两不同点，且△
OPQ 的面积S △OPQ ＝6
2，其中O 为坐标原点．
(1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 2
2均为定值； (2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值；
(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝
6
2？若存在，判断△
DEG的形状；若不存在，请说明理由．
课时作业(五十二)
【基础热身】
1．D [解析] 抛物线的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1
8
，代入抛物线方程得2x 2－kx －18＝0，根据韦达定理得x 1x 2＝－1
16
.
2．B [解析] 根据基本不等式b 2
＋13a ≥2b 3a ，只要根据双曲线的离心率是2，求出b
a
的值即
可．由于已知双曲线的离心率是2，故2＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，解得b a ＝3，所以b 2＋13a
的最小值是23
3
.
3．C [解析] 点P 到抛物线的准线距离等于点P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q 到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，即点P 到Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值为17－1.
4．A [解析] A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22，
AB 的斜率k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，OM 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，故k 1·k 2＝y 22－y 2
1
x 22－x 21
，根据双曲线方程y 2＝916(x 2
－16)，故y 22－y 2
1＝916(x 22－x 21)，故k 1·k 2＝916
. 【能力提升】
5．C [解析] 抛物线上的点到直线y ＝4x －5的距离是d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|
17
＝
4⎝⎛⎭⎫x －1
22＋417
，显然这个函数当x ＝1
2时取得最小值，此时y ＝1.
6．B [解析] 根据对称性，只要∠AEF <π
4
即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得
y 2＝b 4a
2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠ABF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.
7．A [解析] 点P 到直线l 2的距离等于到焦点F 的距离，故所求的线段之和的最小值
就是焦点F 到直线l 1的距离，即|4＋6|
32＋4
2＝2.
8．B [解析] 设AB 16m 2y 2＋25y 2＝400⇒y ＝±2016m 2＋25
， 所以S △ABF 1＝12c |y 1－y 2|＝32·220
16m 2＋25
≤3·4＝12. 9．C [解析] F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213，设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积S ＝12×213|y 0|＝12，故y 20＝12213，代入双曲线方程得x 20＝2513
，根据对称性取点
P ⎝⎛
⎭⎫
51313，121313，此时
|PF 1|＝
⎝⎛⎭⎫51313＋132＋⎝⎛⎭
⎫1213132 ＝13⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＝62(32＋22)
13
＝6，根据双曲线定义可得|PF 2|＝|PF 1|－2a ＝4，
即三角形∠F 1PF 2是三边长分别是6,4,213，由于62＋42＝(213)2，故∠F 1PF 2＝π
2
.
10．－3 [解析] 抛物线方程为x 2
＝4y ，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0,1)．设直线BC 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程整理得x 2－4kx －4＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则AB →·AC →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，根据韦达定理代入得结果是－3.
11．2 [解析] 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2
b
＝1得，(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，
Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a
a －
b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b
.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2
－(x 1＋x 2)＋1.
所以2a ＋2ab a －b －2a a －b
＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.
12．4 [解析] e 21＝a 2＋b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2b 2，则e 21＋e 2
2＝a 2＋b 2a 2＋a 2＋b 2b 2＝2＋b 2a 2＋a 2b
2≥2＋2＝
4.
13.6－1 [解析] 由题意知，半径取得最大值的圆的圆心必在x 轴上．
设圆心C (a,0)(0＜a ＜3)，则半径为3－a ，于是圆的方程为(x －a )2＋y 2＝(3－a )2， 将抛物线方程y 2＝2x 代入圆的方程得
(x －a )2＋2x ＝(a －3)2，即x 2－2(a －1)x ＋6a －9＝0，
由Δ＝4(a －1)2－4(6a －9)＝0，即a 2－8a ＋10＝0，解得a ＝4±6， ∵0＜a ＜3，∴＝4－ 6.
故圆C 的半径能取到的最大值为3－a ＝6－1.
14．[解答] (1)证明：设直线l 的方程为：y ＝kx ＋2(k ≠0)，
联立方程：⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，
y 2＝4x ，得
k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0，①
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C ⎝⎛⎭
⎫－2
k ，0， 则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1x 2＝4
k
2，②
|MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝4(1＋k 2)k 2
， 而|MC |2＝⎝⎛⎭⎫1＋k 2
⎪⎪⎪⎪－2k －02＝4(1＋k 2)k 2
，
∴|MC |2＝|MA |·|MB |≠0，
即|MA |、|MC |、|MB |成等比数列．
(2)由MA →＝αAC →，MB →＝βBC →
得，
(x 1，y 1－2)＝α⎝⎛⎭⎫－x 1－2
k ，－y 1， (x 2，y 2－2)＝β⎝⎛⎭⎫－2
k －x 2，－y 2， 即得α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2
kx 2＋2
，
则α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)
k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4
，
由(1)中②代入得α＋β＝－1， 故α＋β为定值，且定值为－1.
15．[解答] (1)b ＝1，e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴a 2＝2，a ＝2，
∴椭圆E 的方程为x 22
＋y 2
＝1.
解法一：(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，
代入x 22
＋y 2
＝1，
整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. ∵直线AB 过椭圆的右焦点F 2， ∴方程有两个不等实根．
记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，
则x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2
，
x 0＝12(x 1＋x 2)＝2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0－1)＝－k
2k 2＋1
，
∴AB 垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1
k
(x －x 0)．
令y ＝0，得
t ＝x 0＋ky 0＝2k 22k 2＋1－k 22k 2＋1＝k 22k 2＋1＝12－1
4k 2＋2
.
∵k ≠0，∴0<t <1
2
.
∴t 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫0，12. (3)S △GAB ＝12·|F 2G |·|y 1－y 2|＝1
2
|F 2G ||k |·|x 1－x 2|.
而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝8(k 2＋1)2k 2＋1
，
0<t <12，由t ＝k 2
2k 2＋1
，
可得k 2＝t 1－2t ，k 2＋1＝1－t 1－2t ，2k 2＋1＝1
1－2t .
所以|x 1－x 2|＝22(1－2t )1－t
1－2t
. 又|F 2G |＝1－t ，
所以S △GAB ＝12(1－t )t
1－2t ·22(1－2t )1－t 1－2t
＝2(1－t )3t ⎝⎛⎭⎫0<t <12. 令f (t )＝t (1－t )3，
则f ′(t )＝(1－t )2(1－4t )．
可知f (t )在区间⎝⎛⎭⎫0，14上单调递增，在区间⎝⎛⎭
⎫14，1
2上单调递减． 所以，当t ＝1
4
时，f (t )有最大值f ⎝⎛⎭⎫14＝27256. 所以，当t ＝14时，△GAB 的面积有最大值36
16
.
解法二：(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，
由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1，可得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0， 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)，
则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1
m 2＋2.
可得y 0＝y 1＋y 22＝－m
m 2＋2
，
x 0＝my 0＋1＝2
m 2＋2
.
∴AB 垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－m (x －x 0)． 令y ＝0，得
t ＝x 0＋y 0m ＝2m 2＋2－1m 2＋2＝1
m 2＋2
.
∵m ≠0，∴0<m <1
2
.
∴t 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫0，12. (3)S △GAB ＝1
2·|F 2
G |·|y 1－y 2|，
而|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2＝8(m 2＋1)m 2＋2
，
由t ＝1m 2＋2，而得m 2＋2＝1
t .
所以|y 1－y 2|＝
8⎝⎛⎭⎫1t －11t 2
＝8t (1－t ).
又|F 2G |＝所以S △MPQ ＝2t (1－t )3.
所以△MPQ 的面积为2t (1－t )3⎝
⎛⎭⎫0<t <12. 下同解法一．
【难点突破】
16．[解答] (1)证明：(i)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1.
因为P (x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 21
2
＝1.①
又因为S △OPQ ＝62，所以|x 1|·|y 1|＝6
2.②
由①、②得|x 1|＝6
2
，|y 1|＝1.
此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 2
2＝2，
(ii)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，
由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 2
2
＝1，得
(2＋3k 2)x 2＋6akmx ＋3(m 2
－2)＝0，
其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0， 即3k 2＋2>m 2，(*)
又x 1＋x 2＝－6km
2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－2)2＋3k 2
，
所以|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝1＋k 2
·263k 2＋2－m 22＋3k 2
，
因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |
1＋k 2，
，
所以S △OPQ ＝1
2
|PQ |·d ，
＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k 2
，
＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k 2
.
又S △OPQ ＝6
2
，
整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式，
此时x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－6km 2＋3k 22－2×3(m 2－2)2＋3k 2
＝3，
y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22
)＝2. 综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 22
＝2，结论成立． (2)解法一：
①当直线l 的斜率存在时，
由(1)知|OM |＝|x 1|＝6
，|PQ |＝2|y 1|＝2，
因此|OM |·|PQ |＝6
2
×2＝ 6.
②当直线l 的斜率存在时，由(i)知 x 1＋x 22＝3k
2m
， y 1＋y 22＝k ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋m ＝－3k 2
2m ＋m ＝
－3k 2＋2m 22m ＝1m ， |OM |2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝9k 24m 2＋1m
2＝6m 2－24m 2＝12⎝⎛⎭⎫3－1m 2，
|PQ |2＝(1＋k 2)24(3k 2＋2－m 2)(2＋3k 2)2
＝2(2m 2＋1)m 2＝2⎝⎛⎭⎫2＋1m 2， 所以|OM |2·|PQ |2＝1
2×⎝⎛⎭
⎫3－1m 2×2×⎝⎛⎭⎫2＋1m 2 ＝⎝⎛⎭⎫3－1m 2⎝⎛⎭⎫2＋1m 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2＋2＋1m 222＝254. 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1
m
2，即m ＝±2时，等号成立．
综合①②得|OM |·|PQ |的最大值为5
2
.
解法二：
因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22
)]＝10，
所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝10
2
＝5.
即|OM |·|PQ |≤5
2
，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．
因此|OM |·|PQ |的最大值为5
2
.
(3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝
62
. 证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62
， 由(1)得
u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3；v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 2
2＝2，
解得u 2＝x 21＝x 22＝32
；v 2＝y 21＝y 2
2＝1. 因此u ，x 1，x 2只能从±6
2中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取，
因此D ，E ，G 只能在⎝⎛⎭
⎫±62，±1这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝6
2
矛盾，
所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G .。