第8届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试

第八届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试

班级 姓名

一、选择题

1、)(x f 是定义域为R 的奇函数，下列结论中正确的是--------------------------（ ）

（A ）0)()(>--x f x f （B ）0)()(<--x f x f

（C ）0)()(≤-⋅x f x f （D ）0)()(>-⋅x f x f

2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AC 1与A 1B 所成角相等于------------------------（ ）

（A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）900

3、2cos 12sin 122---等于--------------------------------------------------------（ ）

（A ）2sin 2cos -（B ）2sin 2cos --（C ）2sin 2cos +-（D ）2sin 2cos +

4、等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=1，M 为AC 中点，沿BM 把它折为二面角，折后A 与C 的距离为1，则二面角C-BM-A 的大小为-----------------------------（ ）

（A ）300 （B ）600 （C ）900 （D ）1200

5、以下函数中，在区间)0,(-∞上是增函数的函数是-------------------------------（ ）

（A ）)(log 5.0x y --=（B ）2)1(+-=x y （C ）21x y +=（D ）x x y -=

1 6、已知},34|{Z k k M ∈π=αα=，},3

22|{Z k k N ∈π±π=αα=，},2|{Z k k P ∈π=αα=，则集合M 、N 、P 满足关系式------------------------（ ）

（A ）)(P N M = （B ）)(P N M ⊂

（C ）)(P N M ⊃ （D ）Φ=)(P N M

7、一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角的大小关系是-------------------------------------------------------------------------------------（ ）

（A ）相等 （B ）互补 （C ）相等或互补 （D ）不能确定的

8、对于任意实数t ，函数n mx x x f ++=2)(都有)2()2(t f t f -=+，则有-（ ）

（A ）)4()1()2(f f f << （B ）)4()2()1(f f f <<

（C ）)1()4()2(f f f << （D ）)1()2()4(f f f <<

9、若函数)(1x f 和)(2x f 都是周期函数，最小正周期都是T ，对于函数+=)(1x f y )(2x f ，以下判断中，正确的是------------------------------------------（ ）

（A ） 最小正周期是T （B ）有最小正周期t ，且T t <

（C ）是周期函数，但可能没有最小正周期 （D ）可能是非周期函数

10、5个顶点不共面的五边形叫做空间五边形，空间五边形的5条边所在直线中，互相垂直的直线对至多有-----------------------------------------------------------------（ ）

（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 （D ）8对

二、A 组填空题

11、若函数22)(x x x f --=，则=+-)1()1(f f 。

12、函数22x y -=)1(-≤x 的反函数为 。

13、矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，PA ⊥平面ABCD ，PA=1，则P 点到BD 的距离等于 。

14、函数3

412)(++=

x x x f ，则)2(1-f 的值是 。 15、函数x x y --=1的值域为 。

16、若22log >a ，则a 的取值范围是 。 17、关于x 的方程x a a x log =有且仅有一个在)1,0(内的实根，那么a 的取值范围是 。

18、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角A-BD 1-B 1的大小为 。

19、三棱锥S-ABC 的底面是正三角形，A 点在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，且二面角H-AB-C 的大小为300，则SA :AB= 。

20、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=6，BC=3，在线段BD 、A 1C 1上各有一动点P 、Q ，在PQ 上有一点M ，且PM=2MQ ，则M 点轨迹图形的面积为 。

三、B 组填空题

21、过正三棱锥的一条侧棱及底面中心作一个截面，若截面是等腰三角形，侧面与底面所成角为θ，则=θcos 。

22、若1cos sin =β⋅α，则2

cos β+α的值等于 。 23、若x qx px x x f +++=234)(对一切R x ∈，都有x x f ≥)(，且1)1(=f ，则p 、q 的值分别为 。

24、方程x x x =lg )(lg 的解为 。

25、函数2

1)(2++=x x x f ，]1,[+∈n n x （n 是整数）的值域中恰有10个不同整数，则n 的值为 。

第八届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第二试

班级 姓名

一、选择题

1、集合},412|{Z k k x x P ∈+=

=，},4

2|{Z k k x x q ∈+==，则有----------（ ） （A ）Q P = （B ）Q P ⊃ （C ）Q P ⊂ （D ）∅=Q P

2、方程4|cos ||sin |π=+x x 的解的情况为--------------------------------------------（ ） （A ）无解 （B ）有无数个解 （C ）有唯一解 （D ）有多于1个的有限个解

3、函数x y 4sin 2=的图象在y 轴右边的第3条对称轴的方程是----------------（ ）

（A ）89π=x （B ）π=10x （C ）2

13π=x （D ）85π=x 4、如图1，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形

ADD 1A 1、ABCD 的中心，G 为CC 1的中点，设GF 与AB 所

成的角为α，C 1E 与AB 所成的角为β，则=β+α--------------------------------------（ ）

（A ）300 （B ）600 （C ）900 （D ）1200 5、在xoy 平面内，如果一条直线上只有一个点在幂函数的图象上，这条直线上除这个点外的任何一点都不在任何一个幂函数的图象上，这样的直线称为“特殊直线”，关于“特殊直线”的数目，下列各说法中正确的是---------------------------------（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）不少于3 （D ）0

6、三棱锥6条棱所在直线中，互相垂直的成对直线至多有----------------------（ ）

（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 （D ）9对

7、函数)1(+=x f y 与函数)1(1+=-x f y 的图象---------------------------------（ ）

（A ）关于直线x y =对称 （B ）关于直线1+=x y 对称

（C ）关于直线1-=x y 对称 （D ）关于直线x y -=对称

8、1l 、2l 是异面直线，以下命题中错误的是----------------------------------------（ ）

（A ）存在唯一的平面与1l 、2l 都平行，且与1l 、2l 距离相等

（B ）过1l 、2l 外一点能作且只能作一个平面与1l 、2l 都平行

（C ）与1l 、2l 都垂直的直线有无穷多条

（D ）不存在与1l 、2l 都垂直的平面

9、设)(x f 是区间),(+∞-∞上的奇函数，)()3(x f x f -=+，当2

30≤≤x 时，x x f =)(，则)1997(f 等于--------------------------------------------------------------（ ）

（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）1997

10、将棱长为5的正方体锯成棱长为1的125个小正方体，锯12次可达到目的，请你想法尽可能少锯几次，那么至少需要锯-----------------------------------------（ ）

（A ）7次 （B ）8次 （C ）9次 （D ）10次

二、填空题

11、y x y x lg lg )2lg(2+=-，则y x :的值等于 。

A B C G C 1 D 1 E F D A 1 B 1