PQ变换与DQ变换的理解与推导

PQ变换与DQ变换的理解与推导一、 p-q 变换与d-q 变换的理解与推导1. 120变换和空间向量120坐标系是一个静止的复数坐标系。

120分量首先由莱昂（Lyon ）提出，所以亦成为莱昂分量。

下面以电流为例说明120变换。

a i 、b i 、c i 为三相电流瞬时值，120坐标系与abc 坐标系之间的关系为[1]：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=02210212021i i a ai i i ai i a i i i i i c b a 式中a 和2a 分别为定子绕组平面内的120°和240°空间算子，︒=120j ea ，︒=2402j e a ，上式的逆变换为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++==++=++=*)(31)(31)(31012221c b a c b a c b a i i i i i ai i a i i i a ai i i可以看出，120变换在形式上与矢量对称分量变换很相似，不过这里的c b a i i i 、、是瞬时值而不是矢量，21i i 、是瞬时复数值，所以120变换亦称为瞬时值对称分量变换。

由于是瞬时值之间的变换，所以120变换对瞬态（动态）和任何电流波形都适用，而矢量对称分量法仅适用于交流稳态和正弦波的情况。

另外，由于a 和2a 是空间算子，所以1i 和2i 是空间向量而不是时域里的矢量；所以瞬时值对称分量和矢量对称分量具有本质上的区别。

另外，从上式可知，2i 等于1i 的共轭值，所以2i 不是独立变量。

用矩阵表示时，可写成⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0211120i i i C i i i c b a ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a i i i C i i i 120021（1-1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11111221120a aa a C ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111113122120a a a a C 此变换矩阵为等幅变换①。

①如何理解式（1-1）中的变换矩阵是等幅值变换？？？所谓等幅值变换，是指原三相电流形成的总的磁动势（MMF ：Magnetic Motive Force ）和变换后的电流形成的磁动势MMF 幅度一样。

由于本文中120变换的目的是生成电压电流的空间矢量。

而电流矢量的定义为其单独产生的磁动势与原三相电流产生的磁动势相等，所以此处从abc 到120的变换应以磁动势不变为准则，应选取等幅值变换。

虽然等幅值变换虽然有明确的物理意义，但是如果对三相电压、电流均进行等幅值变换，在计算功率的时候就会出现功率不守恒的情况。

因此，相对于等幅值变换，还有等功率变换。

所谓等功率变换，是指原三相系统中的功率和变换后的功率相等。

对实线性空间，由于正交变换②保持内积不变，而功率恰好是电流、电压矢量的内积，只要将组成变换矩阵的特征向量规范化（单位化），即可保证变换前后的功率形式不变。

令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b a i i i i ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=c b a u u u u ，变换矩阵为C 。

原三相系统中功率为：i u i u p T ==),(变换后的功率为：i C C u Ci C u Ci Cu Ci Cu p T T T T T )()(),(====当E C C T =，即1-=C C T ，可使变换前后功率不变，满足此条件的C 即为正交矩阵。

在120分量中，由于负序分量2i 不是一个独立变量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一个孤立系统，可以单独处理；所以实用上通常仅需用到正序分量1i 。

为此定义定子电流的空间矢量ori i ，它等于1i 的2倍③，即ori i =)1(322c b a i a ai i ++（1-2）式中的1、a 和2a 分别表示a 相、b 相和c 相轴线位置处的单位空间矢量。

若零序电流为0，ori i 在a 、b 、c 相轴线上的投影即为c b a i i i 、、，如图1-1所示。

从式（1-2）可以看出，定子电流的空间矢量ori i 既表达了三相电流在时域内的变化情况，又表达了三相绕组在空间的不同位置；就物理意义而言，它实质上是代表定子三相绕组所组成的基波合成磁动势。

②正交变换：变换矩阵C 为正交矩阵，满足1-=C C T③考虑这里为什么空间矢量是正序分量的2倍？是不是考虑到空间矢量是正序和负序分量之和。

b 相相图1-1 电流的空间向量电压矢量同理可得。

2. Park 变换与Clarke 变换（1）Clarke 变换αβ0坐标系是一个两相坐标系，其中α轴与a 相绕组轴线重合，β轴超前α轴90°电角，0序则是一个孤立的系统。

以电流为例，说明abc 与αβ0坐标系之间的坐标变换。

把图中α和β轴线上的电流αi 和βi 分别投影到a 、b 、c 三相轴线上，再加上孤立的零序电流0i ，可得a i 、b i 和c i ：acα相β相αi βi 0相图1-2 αβ0变换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=+=00023212321i i i i i i i i i i i c b a βαβαα⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010i i i C i i i c b a βααβ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a i i i C i i i 00αββα其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-123211232110110αβC ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2121212323021211320αβC 不难看出，此变换是等幅值变换，如果得到等功率变换，需要把0αβC 进行单位正交化，变为正交矩阵，使得TC C 01αβαβ=-，得到等功率变换矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2121212323021211320αβC （2）Park 变换dq0坐标系是一种与转子一起旋转的两相坐标系和零序系统的组合。

若转子为凸极，则d 轴与凸极的中心轴线重合，q 轴超前d 轴90°电角，如图1-3所示。

dq0变换是从静止的abc 坐标系变换到旋转的dq0坐标系的一种变换。

θωd 相a 相相相q 相b 相c 相图1-3 dq0变换以定子电流为例。

设定子三相绕组中电流为a i 、b i 、c i ，转子d 轴与定子a 相绕组轴线之间夹角为θ（电角），dq0变换后定子电流的dq0分量分别为d i 、q i 、0i 。

把旋转的d 、q 轴上的d i 、q i 分别投影到定子a 、b 、c 三相轴线上，再加上零序电流0i ，可得到a i 、b i 和c i ：⎪⎩⎪⎨⎧++-+=+---=+-=000)3/2sin()3/2cos()3/2sin()3/2cos(sin cos i i i i i i i i i i i i q d c q d b q d a πθπθπθπθθθ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010i i i C i i i q d dq c b a ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c b a dq q d i i i C i i i 00其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----=-1)3/2sin()3/2cos(1)3/2sin()3/2cos(1sin cos 10πθπθπθπθθθdq C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----+-=212121)3/2sin()3/2sin(sin )3/2cos()3/2cos(cos 320πθπθθπθπθθdq C 式中0θωθ+=t ，ω为转子的角速度，0θ为0时刻时，d 轴与a 轴夹角，转子旋转时，0dq C 是一个时变阵。

若0=θ，即转子不转，且d 轴与a 轴重合时，dq0坐标系退化为αβ0坐标系。

实际上，由图1-3可知，若0=θ，就意味着。

与图1-2一致。

显然上式不是正交矩阵，上述变换为等幅值变换，把变换矩阵单位正交化变为正交矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----+-=212121)3/2sin()3/2sin(sin )3/2cos()3/2cos(cos 320πθπθθπθπθθdq C则Tdq dq C C 01=-，此时变换将成为等功率变换。

Clarke 变换也是αβ变换，它变换后的量仍然是交流量，也就是说，它的值是随着abc 三相值的变化而变化的。

它的主要用途是瞬时无功功率控制。

Park 变换是交流坐标系变换为直流坐标系，一般在VSC （voltage source converter ）的控制中常用，它将交流变化的量变换到直流坐标系下，稳态时dq 量可以保持恒定。

VSC 控制就是控制变换过的dq 量从而对系统的电压电流等参数进行控制的[3]。

3. 瞬时无功理论设三相电路各相电压和电流的瞬时值分别为a e 、b e 、c e 和a i 、b i 、c i 。

为分析问题方便，把他们变换到βα-两相正交的坐标系上研究。

如图1-4所示[2]。

βe i i βi β图1-4 βα-系中电压、电流矢量由下面的变换可以得到α、β两相瞬时电压αe 、βe 和α、β两相瞬时电流αi 、βi 。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a e e e C e e αββα （1-3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡c b a i i i C i i αββα （1-4）式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=232123210132αβC 。

此变换为等功率变换，标准正交化成可逆的转移矩阵（正交阵）为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2123212123212101320αβC ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-21232121232121013210αβC 不难推导出，120分量与αβ0分量之间具有下列关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(61)(6121βαβαji i i ji i i ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(61)(6121βαβαje e e je e e （1-5）以电流为例推导过程如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0022010120120021200011011612123212123212101321111131i i i i i i a a a a i i i C C i i i C i i i c b a βαβαβααβ空间矢量与αβ分量的关系为ori i )(3221βαji i i +== ori e )(3221βαje e e +== （1-6） 在图1-4所示的βα-平面上，矢量αe 、βe 和αi 、βi 。

分别可以合成为（旋转）电压矢量e 和电流矢量i用于瞬时功率计算中的Clarke 变换需要保证变换前后功率保持不变，因此应采用为等功率变换。