数字特征-(试题)
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
概率论第三章
一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、应用实例
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§3.1
数学期望
一、数学期望的概念
1. 问题的提出 1654年, 一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 约定赌若干局, 且谁先赢 c 局便算赢家, 若在一 赌徒胜a局 (a<c), 另一赌徒胜b局(b<c)时便终止 赌博, 问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕 斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同 建立了概率论的第一个基本概念 — 数学期望
因而其数学期望E(X)不存在.
§3.2 数学期望的性质 一、性质
性质3.1 设C是常数, 则有ECC. 证
E X E C 1 C C . E CX CE X .
性质3.2 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 证 E CX Cxk pk C xk pk CE X .
数学期望, 记为EX, 即
E X
xp x dx .
4. 数学期望不存在的实例
例3
设随机变量X的分布律为 1 PX n , n 1,2,, nn 1
求证: 随机变量X没有数学期望.
证 由定义, 数学期望应为
1 E X npn . n1 n 1 n 1
求EX, EY, E (Y / X ), E[( X Y )2 ]. 思考： X2的分布律？
例7 设随机变量X ~ N0,1, Y ~U0,1, Z~B5,0.5, 且X, Y, Z相互独立, 求随机变量W 2X+3Y4Z1
的数学期望.
小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征
第一章小学数学解题方法解题技巧之整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。
设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。
要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。
又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。
经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。
所以a-b=3。
又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。
从而很容易求出商为427284÷99=4316。
例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。
（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。
而1993000÷2520=790余2200。
于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。
所以最后三位数字依次是3、2、0。
例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。
则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。
要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。
则有 b-a=8，或者a-b=3。
①当 b-a=8时，b可取9、8；②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
所以，当这个七位数的末位数字取7时，不管千位上数字是几，这个七位数都不是11的倍数。
例4 下面这个四十一位数55......5□99 (9)（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是__。
第四章 随机变量的数字特征试题
{
}
1 9
B．
1 3
C．
4 9
D
1 2
25、已知随机变量 X～N(0，1)，则随机变量 Y=2X-1 的方差为（） A． 1 B． 2 C． 3 D 4 二、填空（每小题 2 分） 1、设 X~ B (4, ) ，则 E ( X ) = 2、设 E（X）=2，E（Y）=3，E（XY）=7，则 cov（X，Y）= 3、已知随机变量 X 满足 E ( X ) = −1 ， E ( X ) = 2 ，则 D ( X ) =
x<2 ⎧0, ⎪x ⎪ 5、设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) = ⎨ − 1, 2 ≤ x < 4 ⎪2 x≥4 ⎪ ⎩1,
A．
，则 E(X)=（）
1 3
B．
1 2
C．
3 2
D．
3
6、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X ~ B (36, ) ， Y ~ B (12, ) ，则 D ( X − Y + 1) =（） A．
⎧1 − e −2 x ⎩0
x>0 ，则 X 的均值和方差分别为（ ） other
B． E ( X ) = 4, D ( X ) = 2 D． E ( X ) =
1 1 , D( X ) = 4 2
Y
1 1 , D( X ) = 2 4
1
16、设二维随机变量（X，Y）的分布律为 X 0 1 则 E ( XY ) =（） A． − 0
E ( XY ) = E ( X ) E (Y )
B． cov( X , Y ) =
ρ XY ⋅ D( X ) D(Y )
2
武汉长江工商学院概率论与数理统计 12 级电商试题
概率统计 第3章随机变量的数字特征1节
2020/9/21
3
1. 随机变量的数学期望
(1)设有n个数x1，x2，，xn ,那么这n个数的算术平均
x
x1
x2
n
xn
i
n 1
xi
1 n
(2)这n 个数有相同,，不妨设其中有 ni个取值为 xi，i 1,, k,
其均值应为 1
n
k
ni xi
i 1
k i 1
ni n
xi
以数值xi出现的频率为权重做加 权平均
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(2)随机变量函数数学期望的计算 方法1 (定义法): g(X)是随机变量, 按照数学期望 的定义计算Eg(X). 关键: 由X的分布求出g(X)的分布. 难点: 一般g(X)形式比较复杂的, 很难求出其分布.
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方法2 (公式法):
定理 设X是一个随机变量, Y g(X), 则
k1 k1
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(4) 若X与Y相互独立，E( X )与E(Y )存在， 则E(XY ) E(X )E(Y ).
证：仅就连续随机变量情形
EXY xyf x, ydxdy
xy f X x f Y y dxdy
xf
X
x
dx
y fY y dy
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补充： 函数
( ) x 1exdx 0
函数有下列结论：
(1) ( 1) ();
(2) Γ(n 1) n !; (3) (1) (2) 1, (1) .
2
0
y12e y1 dy1
(3) 2! 2
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二、数学期望的性质
第四章随机变量的数字特征单元测试题
随机变量的数字特征章节测试题一、选择题(本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( ) A ．2B ．8C ．18D ．202．设服从二项分布X ～B (n ，p )的随机变量X 的均值与方差分别是15和454，则n 、p的值分别是( )A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，34.3．某次语文考试中考生的分数X ～N (90,100)，则分数在70～110分的考生占总考生数的百分比是( )A ．68.26%B ．95.44%C ．99.74%D ．31.74%4．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ）Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同5．设随机变量X 和Y 独立同分布，若记随机变量,=-=+U X Y V X Y ，则随机变量U 与V 必然（ ）Ａ．不独立 Ｂ．独立 Ｃ．相关系数不为零Ｄ．相关系数为零6．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73C.113D ．37．已知X 为随机变量，且E (X ), D (X )均存在，则下列式子不成立的是( ).[()]().[()]2().[()]0.[()]()=+=-==A E E X E X B E X E X E X C E X E X D D E X E X8．设随机变量X 服从[,]a b 上的均匀分布，若1()2,()3==E X D X ，则均匀分布中的常数,a b 的值分别为( ).1,3.1,2.2,3.2,2========A a b B a b C a b D a b9．设X 服从参数为1的指数分布，且2-=+X Y X e ，则()()=E Y3411....4343A B C D 10．设,X Y 为两个任意的随机变量，若()()()=E XY E X E Y ，则( ).()()().()()()..+=+=A D X Y D X D Y B D XY D X D Y C X Y D X Y 和相关和相互独立11.设随机变量12,,,(1)>n X X X n 独立同分布，且方差为20σ>，令11==∑ni i Y X n ，则( )22112211.Cov(,).Cov(,)21.().()σσσσ==+++=-=A X Y B X Y nn n C D X Y D D X Y nn12.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()+=+D X Y D X D Y 是X 和Y ( )A.不相关的充分条件，但不是必要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充分必要条件D.独立的充分必要条件13．设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量ξ=+X Y 与η=-X Y 不相关的充分必要条件是( )2222222222.()().()[()]()[()].()().()[()]()[()]=-=-=+=+A E X E Y B E X E X E Y E Y C E X E Y D E X E X E Y E Y14. 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则( ) ..(,)..+A X Y B X Y C X Y D X Y 与一定独立服从二维正态分布与未必独立服从一维正态分布15. 设随机变量(,1,2,,;2)=≥ij X i j n n 独立同分布，并且()2=ij E X ，则行列式111212122212=n n n n nnX X X X X X Y X X X 的数学期望()=E Y ( ).2.0.1.2-A B C D二、填空题(本大题共10个小题，每小题２分，共20分．)1．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X 的均值E (X )＝________. 2．一离散型随机变量X 的概率分布列为且E (X )＝1.5，则a －b ＝3．设随机变量X 与Y 相互独立，X 的密度函数为22,0()0-⎧>=⎨⎩x X e x f x 其他，Y 分布律为33{},0,1,2,!-===k e P Y k k k ，且32=--Z X Y ，则 D (Z ) =________．4.设2(),()(0)μσσ==>E X D X ，则由切比雪夫不等式{3}μσ-≥≤P X ________． 5．若~(0,1),~(3,4)X N Y N ，且X 与Y 相互独立，则2X + Y ~ ________．6．设随机变量123,,X X X 相互独立，其中2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P ，若记12324=-+Y X X X ，则()=E Y ________．7．设X 服从参数为2的指数分布，则2()=E X ________． 8．设随机变量X 的密度函数为sin (0)()0().≤≤π⎧=⎨⎩a xx f x ，其他，则()=D X ________．9．投掷一枚均匀的硬币100次，设随机变量X 表示出现正面的次数，试用切比雪夫不等式估计概率(0.40.6)100<<≥XP ________． 10．设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,1;3,3;0.5)N ，令随机变量=-Z X Y ，则协方差Cov(,)=X Z ________．三、解答题(本大题共10个小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．袋中有5个大小相同的小球，其中1个白球和4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X 的均值和方差．2．已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()04,41, 4.≤⎧⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩x x F x x x求()E X 和()D X ．3．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75，Ⅰ.求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；Ⅱ.经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为X ，求随机变量X 的均值．4．设随机变量X 的概率密度为cos ,0()20,π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩x x f x 其他，令随机变量2=Y X ，试求()D Y .5. 设随机变量,,X Y Z 互不相关，且222()5,()10,()6===D X D Y D Z ，令随机变量,=+=+U X Y V Y Z ，试求随机变量U 和V 的相关系数.6．设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)01,}=<<<D x y x y x上服从均匀分布，试求（1）关于X 和Y 的边缘概率密度； （2）(1);+≤P X Y（3）21=+Z X 随机变量的方差.7．设随机变量X 和Y 的联合分布律为110.070.180.1510.080.320.20-Y X 试求X 和Y 的相关系数ρ8. 使仪器停止工作的元件故障数X 是一个随机变量，其分布函数为()1,0,1,2,-=->=ax F x e a x试求()()E X D X 和．9．设随机变量X 和Y 相互独立，X 和Y 的概率密度分别为12,0,0(),()0,00,0--⎧⎧>>==⎨⎨≤≤⎩⎩ax bx ae x be y f x f y x y 其中,a b 为正实数，又设随机变量1,0,≤⎧=⎨>⎩X YZ X Y ，试求Z 的分布律和数学期望2()E Z ．10．设随机变量X 和Y 相互独立，并且都服从正态分布2(0,)σN ，又设随机变量=(,)ξαβηαβαβ=+-X Y X Y ，为不相等的常数，试求（１）数学期望()()ξηE E 和，方差()()ξηD 和D ，ξη和的相关系数ξηρ； （２）当αβ和满足什么条件时，随机变量ξη和不相关．。
六年下册奥数试题：数的整除特征（一）全国通用（含答案）
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
三位。
我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：末末n 位数能被（或）整除的数，整除的数，本身必能被本身必能被（或）整除；反过来，末n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；的倍数；（3）末位数为0或5。
概率论与数理统计试题
第一章 随机事件与概率
一．选择题：
1． （95）假设事件 A 和 B 满足 P(B⎪A) = 1，则（
）
（A）A 是必然事件． （B） P(B | A) = 0 ． （C）A ⊃ B．
（D）A ⊂ B．
2． （96）设 A, B 为任意两个事件且 A ⊂ B，P (B ) > 0，则下列选项必然成立的是（
．
4． （05）从数 1, 2, 3, 4 中任取一个数，记为 X，再从 1, …, X 中任取一个数，记为 Y，则 P{Y = 2} = ．
三．解答题：
1． （98）设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7
份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份．
（D） 1 ． 10
8． （01）对于任意二事件 A 和 B，与 A∪B = B 不．等．价．的是（
）
（A）A ⊂ B．
（B） B ⊂ A ．
9． （03）对于任意二事件 A 和 B，（
）
（C） AB = ∅．
（D） AB = ∅．
（A）若 AB ≠ ∅，则 A, B 一定独立．
（B）若 AB ≠ ∅，则 A, B 有可能独立．
2
2
则下列各式中成立的是（
）
（A） P{X = Y} = 1 ． （B）P{X = Y } = 1． （C） P{X + Y = 0} = 1 ． （D） P{XY = 1} = 1 ．
2
4
4
2．
（99）设随机变量 X i
~
⎜⎛ ⎜⎝
−1 1 4
0 1 2
1 1 4
高考数学概率统计大题综合试题含答案解析
概率统计大题综合知识点总结1.数字样本特征（1）众数：在一组数据中出现次数最多的数（2）中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果为奇数个，中位数为中间数；若为偶数个，中位数为中间两个数的平均数（3）平均数：x =x 1+x 2+⋯⋯+x nn ，反映样本的平均水平（4）方差：s 2=(x 1−x )2+(x 2−x )2+⋯⋯(x n −x )2n反映样本的波动程度，稳定程度和离散程度；s 2越大，样本波动越大，越不稳定；s 2越小，样本波动越小，越稳定；（5）标准差：σ=s 2，标准差等于方差的算术平方根，数学意义和方差一样（6）极差：等于样本的最大值−最小值2.求随机变量X 的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值；(2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.3.求随机变量的期望和方差的基本方法：(1)已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；(2)已知随机变量X 的期望、方差，求aX +b a ,b ∈R 的期望与方差，利用期望和方差的性质E aX +b =aE X +b ，D aX +b =a 2D X 进行计算；(3)若能分析出所给的随机变量服从常用的分布(如：两点分布、二项分布等)，可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算，若ξ~B (n ,p ),则Eξ=np ，Dξ=np (1-p ).4.求解概率最大问题的关键是能够通过P ξ=k ≥P ξ=k +1P ξ=k ≥Pξ=k -1构造出不等关系，结合组合数公式求解结果5.线性回归分析解题方法：(1)计算x ,y,ni =1x i 2 ,ni =1x i y i 的值；(2)计算回归系数a ,b ；(3)写出回归直线方程y =b x +a.线性回归直线方程为：y =b x +a ，b=ni =1x i −x y i −yni =1x i −x2=ni =1x i y i −nx yni =1x i 2−nx2，a =y −b x其中x ,y为样本中心，回归直线必过该点(4)线性相关系数(衡量两个变量之间线性相关关系的强弱)r=ni=1x i−xy i−yni=1x i−x2ni=1y i−y2=ni=1x i y i−nx yni=1x i2−nx 2ni=1y i2−ny 2r>0，正相关；r<0，负相关r ≤1,且r 越接近于1，线性相关性越强；r 越接近于0，线性相关性越弱，几乎不存在线性相关性6.独立性检验解题方法：(1)依题意完成列联表；(2)用公式求解；(3)对比观测值即可得到所求结论的可能性独立性检验计算公式：K2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d模拟训练一、解答题1.(2023·福建三明·统考三模)在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手M对乙队每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.(注：比赛结果没有平局)(1)求甲队最终2:1获胜且种子选手M上场的概率；(2)已知甲队2:1获得最终胜利，求种子选手M上场的概率.2.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，ξ表示选取的人中来自该中学的人数，求ξ的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2，且p1+p2=43，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？3.(2023·福建宁德·校考二模)某科研团以为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下列联表．患病未患病总计服用药物1045末服用药物50总计30(1)请将上面的列联表补充完整．(2)认为“药物对预防疾病有效”犯错误的概率是多少？(3)为了进一步研究，现按分层抽样的方法从未患病动物中抽取10只，设其中未服用药物的动物数为ξ，求ξ的分布列与期望．下面的临界值表供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.0722706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)4.(2023·江苏常州·校考一模)设X,Y是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为a i,b j，其中i,j∈N*，令p ij=P X=a i,Y=b j，称p ij i,j∈N*是二维离散型随机变量X,Y的联合分布列，与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式；X,Yb1b2b3⋅⋅⋅a1p11p12p13⋅⋅⋅a2p21p22p23⋅⋅⋅a3p31p32p33⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅现有n n∈N*个球等可能的放入编号为1,2,3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为Y．(1)当n=2时，求X,Y的联合分布列，并写成分布表的形式；(2)设p k=nm=0P X=k,Y=m,k∈N且k≤n，求nk=0kp k的值．(参考公式：若X~B n,p，则nk=0kC k np k1-pn-k=np)5.(2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测)某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的56，女性患A型疾病的人数占女性患者的13.A型病B型病合计男女合计(1)填写2×2列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型'与‘性别'有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？(2)某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为m m>0元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为p0<p<1，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若p=23，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.K2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，P K2≥k00.100.050.010.0050.001k0 2.706 3.841 6.6357.87910.8286.(2023·安徽蚌埠·统考三模)某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计(1)根据所给数据完成上表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X的分布列和数学期望.附：χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+dα0.10.050.010.0050.001 xα 2.706 3.841 6.6357.87910.8287.(2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类：A 类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP ；B 类是图片编辑、精修等图片美化类APP .某机构为调查市民对上述A ，B 两类APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过A 类APP 的占60%，使用过B 类APP 的占50%，设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率；(2)从样本人群中任选5人，记X 为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数，设X 的数学期望为E X ，求P X =E X ；(3)在单独使用过A ，B 两类APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对A 类APP ，乙组对B 类APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为x 1 ，x 2 ，标准差分别为s 1，s 2，试判断哪组评价更合理.(设V i=s ix i (i =1,2)，V i 越小，则认为对应组评价更合理.)参考数据：0.1925≈0.439，0.2325≈0.482.8.(2023·广东·统考模拟预测)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是14，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.(1)对于方案一，设X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X 的分布列与数学期望E (X )；(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？9.(2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上.某健身连锁机构对其会员的年龄等级和一个月内到健身房健身次数进行了统计，制作成如下两个统计图.图1为会员年龄分布图(年龄为整数)，其中将会员按年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或40岁及以上)两类；图2为会员一个月内到健身房次数分布扇形图，其中将一个月内到健身房锻炼16次及以上的会员称为“健身达人”，15次及以下的会员称为“健身爱好者”，且已知在“健身达人”中有56是“年轻人”.(1)现从该健身连锁机构会员中随机抽取一个容量为100的样本，根据图表数据，补全2×2列联表，并依据小概率值α=0.05的独立性检验，是否可以认为“健身达人”与年龄有关？年轻人非年轻人合计健身达人健身爱好者合计(2)该健身机构在今年年底将针对全部的150名会员举办消费返利活动，预设有如下两种方案.方案1：按分层抽样从健身爱好者和健身达人中总共抽取20位“幸运之星”给予奖励.其中，健身爱好者和健身达人中的“幸运之星”每人分别奖励500元和800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球.若摸到红球的总数为2，则可获得100元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.如果每位健身爱好者均可参加1次摸奖游戏；每位健身达人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由.附：χ2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d.α0.100.050.0250.0100.0050.001χα 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82810.(2023·云南昭通·校联考模拟预测)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行临床人体试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按0,20 ，20,40 ，40,60 ，60,80 ，80,100 分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现志愿者体内产生抗体的共有160人，其中该项指标值不小于60的有110人.假设志愿者注射疫苗后是否产生抗体相互独立.(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及小概率值α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后志愿者产生抗体与指标值不小于60有关.抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40名志愿者进行第二次注射疫苗，结果又有m 名志愿者产生抗体.(i )用频率估计概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的概率p =0.9，求m 的值；(ⅱ)以(i )中的概率p 作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，再进行另一组人体接种试验，记110名志愿者注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X ，求P X =k 最大时的k 的值.参考公式：χ2=n ad -bc 2a +b c +d a +c b +d(其中n =a +b +c +d 为样本容量).α0.500.400.250.150.1000.0500.025x α0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.02411.(2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一(1)班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．12.(2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测)为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由．13.(2023·广东·校联考模拟预测)某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.(1)若甲第一关通过的概率为23，第二关通过的概率为56，求甲可以进入第三关的概率；(2)已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量Z∼Nμ,σ2，则Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827；Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545；Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.14.(2023·广东韶关·统考模拟预测)研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差x (°C )47891412新增感就诊人数y (位)y 1y 2y 3y 4y 5y 6参考数据：6iy 2i=3463，6iy i -y 2=289(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2位，其中男生人数记为X ，若抽取的2人中至少有一位女生的概率为56，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)已知两个变量x 与y 之间的样本相关系数r =1617，请用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程y =b x +a ，据此估计昼夜温差为15°C 时，该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据：r =n ix i -x y i -y n i =1x i -x 2 ⋅ni =1y i -y2，b =ni x i -x y i -yni =1x i -x 2 15.(2023·重庆·统考模拟预测)某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有34是“年轻人”.(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值α=0.05的χ2独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15；方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为12，310，15.针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.参考数据：独立性检验临界值表α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828其中χ2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．16.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病A 与是否具有生活习惯B 的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：疾病A 生活习惯B 具有不具有患病2515未患病2040(1)依据α=0.01的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病A 与是否具有生活习惯B 有关？(2)从该市市民中任选一人，M 表示事件“选到的人不具有生活习惯B ”，N 表示事件“选到的人患有疾病A ”，试利用该调查数据，给出P N M的估计值；(3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯B ，且末患有疾病A 的人数为X ，试利用该调查数据，给出X 的数学期望的估计值．附：χ2=n (ad -bc )2a +b c +d a +c b +d，其中n =a +b +c +d ．α0.100.050.0100.001 x α2.7063.8416.63510.82817.(2023·江苏扬州·统考模拟预测)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道．在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：凤梨数量(盒)100,200 200,300 300,400 400,500 500,600购物群数量(个)12m2032m(1)求实数m的值，并用组中值估计这100个购物群销售风梨总量的平均数(盒)；(2)假设所有购物群销售凤梨的数量X服从正态分布Nμ,σ2，其中μ为(1)中的平均数，σ2=12100．若该凤梨基地参与销售的购物群约有1000个，销售风梨的数量在266,596(单位：盒)内的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级群”，销售数量大于等于596盒的购物群为“优质群”．该凤梨基地对每个“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖励，则该风梨基地大约需要准备多少资金？(群的个数按四舍五入取整数)附：若X服从正态分布X~Nμ,σ2，则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997．18.(2023·浙江·校联考模拟预测)某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：上下午体育锻炼项目的情况(上午，下午)(篮球，篮球)(篮球，乒乓球)(乒乓球，篮球)(乒乓球，乒乓球)甲20天15天5天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求X 的分布列和数学期望E (X )；(3)假设A 表示事件“室外温度低于10度”，B 表示事件“某学生去打乒乓球”，P (A )>0，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明：P (A |B )>P (A |B).19.(2023·广东深圳·统考二模)某校体育节组织定点投篮比赛，每位参赛选手共有3次投篮机会.统计数据显示，每位选手投篮投进与否满足：若第k 次投进的概率为p (0<p <1)，当第k 次投进时，第k +1次也投进的概率保持p 不变；当第k 次没能投进时，第k +1次能投进的概率降为p2.(1)若选手甲第1次投进的概率为p (0<p <1)，求选手甲至少投进一次的概率；(2)设选手乙第1次投进的概率为23，每投进1球得1分，投不进得0分，求选手乙得分X 的分布列与数学期望.20.(2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测)2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数(单位：万)，得到如下表格：A 区B 区C 区D 区外来务工人数x /万3456就地过年人数y /万2.5344.5(1)请用相关系数说明y 与x 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y 关于x 的线性回归方程y =a +bx 和A 区的残差(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．①若该市E 区有2万名外来务工人员，根据(1)的结论估计该市政府需要给E 区就地过年的人员发放的补贴总金额；②若A 区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p ,2p -1，其中12<p <1，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p 的取值范围．参考公式：相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x 2i -nx 2ni =1y 2i -ny2，回归方程y =a +bx 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2,a =y -b x ．21.(2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模)甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；(3)若P i i=0,1,⋯,6表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P0=0,P6=1.证明：P i+1-P ii=0,1,2,⋯,5为等比数列.22.(2023·湖北襄阳·襄阳四中校考三模)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有12，13，14的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6:7:8.(1)现从三个班中随机抽取一位同学：(i)求该同学有购买意向的概率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).23.(2023·广东茂名·统考二模)春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近。
考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与YA．相关．B．不相关．C．独立．D．不独立．正确答案：B解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，X与Y不相关，应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1．B．0．C．D．1正确答案：A解析：依题意，Y=n—X，故ρXY=－1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y=aX+b，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=－1．知识模块：随机变量的数字特征3．对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是A．EXY=EXEY．B．Cov(X，Y)=0．C．DXY=DXDY．D．D(X+Y)=DX+DY．正确答案：C解析：由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Coy(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和Y同服从参数为p(0＜p＜1)的0-1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见DX=DY=p(1一p)；乘积XY服从参数为p2的0-1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=p2，p{ XY=0}=1一p2．因此DXY=P2(1一P2)≠P2(1一p)2=DXDY．知识模块：随机变量的数字特征4．假设随机变量x在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX 的相关系数等于A．一1．B．0．C．0．5．D．1正确答案：A解析：注意到U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：arcsinX=－arccosX，即U=－V+，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=－1．应选(A)．知识模块：随机变量的数字特征5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为A．一1．B．0．C．．D．1正确答案：B解析：由于Xi独立同分布，故DXi=σ2，D，Cov(X1，Xi)=0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一σ2．) 知识模块：随机变量的数字特征填空题6．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中概率为Pi(0＜Pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为___________．正确答案：解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一1=未击中的次数．以Xi表示第i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1一Pi)kPi，i=1，2，且E(Xi+1)=，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)－1=－1，两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为EX=EX1+EX2=一2．知识模块：随机变量的数字特征7．将长度为￡的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为___________．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且知识模块：随机变量的数字特征8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X—1，则Y与Z的相关系数为___________．正确答案：0．9解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X一1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X一1)=4DX．Y 与Z的相关系数ρYZ为知识模块：随机变量的数字特征9．设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=___________．正确答案：6解析：DX=EX2一(EX)2=2，DY=2，Cov(X，y)=ρXY=1，E(X+Y)=EX+EY=0，E(X+Y)2=D(X+Y)+[E(X+Y)]2=D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2=6．知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率论与数理统计第四章测试题
概率论与数理统计第四章测试题第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ） (A)X与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X和Y相互独立，且()()221122,,,X N Y N μσμσ::，则2Z X Y =+:（ ）(A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++ (C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2=E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学10．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y（A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。
（A ）E(X-C)2=E(X 2)-C 2 （B ）E(X-C)2=E(X-μ)2（C ）E(X-C)2< E(X-μ)2（D ）E(X-C)2≥ E(X-μ)212．设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=31, 则P(1<X<3) =（ ）（A ）0 （B ）41 （C ）31 （D ）21二、填空题1．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，则()2E X =2．设一次试验成功的概率为p ，进行了100次独立重复试验，当p = 时，成功的次数的标准差的值最大，其最大值为3．设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010X Y X X >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩，则Y 的方差DY=4．()4D X =，()9D Y =，0.5XYρ=，则()D X Y -=，()D X Y +=5．设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布，且已知()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ= 6．设(X,Y)的概率分布为：则),cov(22Y X＝ 。
2021年高考数学真题逐题解析：样本的数字特征(原卷)
第9题样本的数字特征一、原题呈现【原题】有一组样本数据1x ,2x ,…,n x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,其中i i y x c (1,2,,),i n c 为非零常数,则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】因为i i y x c ,所以1111,n ni i i i x x y x c x c n n ,因为0c ,所以y x ,A 错误；设第一组中位数为k x ,则第二组的中位数为k k y x c ,0c ,所以k k y x ,B 错误；第一组数据的标准差s ,第二组数据的标准差s正确；若第一组数据的极差为max min x x ,则第二组数据的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x ,故D 正确；故选CD【就题论题】本题涉及到中位数、平均数、标准差及极差等样本的数字特征,题型是常规题型,考生在复习时训练的比较多,绝大部分考生都能得分.二、考题揭秘【命题意图】本题考查样本的数字特征,考查数据分析与数学运算的核心素养.难度：中等偏易.【考情分析】概率与统计是高考重点,在高考试卷中既有客观题又有解答题,由于该模块涉及知识点比较多,高考命题没有固定的热点,一般情况下,统计与概率、随机变量的分布列都会涉及,客观题至少会有2道.【得分秘籍】(1)众数、中位数、平均数①众数：一组数据中出现次数最多的数.②中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列,处在正中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.③平均数：如果n 个数x 1,x 2,…,x n ,那么12nx x x x n叫做这n 个数的平均数.(2)三种数字特征的优缺点众数：优点：①体现了样本数据的最大集中点；②容易计算.缺点：它只能表达样本数据中很少的一部分信息,无法客观地反映总体特征.中位数：优点：①不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响；②容易计算,便于利用中间数据的信息.缺点：对极端值不敏感.平均数：优点：是反映数据集中趋势的量.一般情况下可以反映出更多关于样本数据全体的信息.缺点：代表性不强,任何一个数据的改变都会引起平均数的改变.数据越“离群”,对平均数的影响越大.(3)极差、标准差、方差①一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.②标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s 表示,s ③方差是标准差的平方.(3)对方差与标准差概念的理解①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大；标准差、方差越小,数据的离散程度越小.②标准差、方差的取值范围是：[0,+∞).“独立”与“互斥”的区别③因为方差与原始数据的单位相同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.(4)有关平均数、方差的一些结论若数据x 1,x 2,…,x n 的平均数为x ,方差为s 2.则ax 1,ax 2,…,ax n 的平均数为ax ,方差为a 2s 2.数据mx 1+a,mx 2+a,…,mx n +a 的平均数为mx a ,方差为m 2s 2.(5)标准差(方差)的两个作用①标准差(方差)较大,数据的离散程度较大；标准差(方差)较小,数据的离散程度较小.②在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.(6)众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示,即在样本数据的频率分布直方图中,最高矩形的底边中点的横坐标.②中位数：在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.【易错警示】(1)混淆标准差与方差(2)求数据的中位数时没有按照从小到大（或从大到小）的顺序排列．三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021福建省龙岩市高三三模）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图,记这组数据的众数为M ,中位数为N ,平均数为P ,则（）A ．N M PB ．M N PC ．M P ND ．P N M2．（2021广东省深圳市高三一模）2020年12月31日,国务院联防联控机制发布,国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市,其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求,现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（）A ．40B ．39C ．38D ．373．（2021河北省邯郸市高三一模）构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召,开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高,说明该项教育越好）．下列说法正确的是（）A．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B．除体育外,高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D．各项评价得分中,这两班的体育得分相差最大4．（2021湖南省衡阳市高三下学期考前预测）俗话说：“一心不能二用”,意思是我们做事情要专心,那么,“一心”到底能否“二用”,某高二几个学生在学完《统计》后,做了一个研究,他们在本年级随机抽取男生和女生各100名,要求他们同时做一道数学题和英语听力题,然后将这些同学完成问题所用时间制成分布图如下,则下列说法正确的是（）①男生“一心二用”所需平均时间平均值大于女生；②所有女生“一心二用”能力都强于男生；③女生用时众数小于男生；④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布.A．①④B．②③C．①③D．①③④5．（2021江苏省南通市学科基地高三下学期高考全真模拟）甲､乙､丙､丁四人参加奥运会射击项目的选拔赛,四人的平均成绩和方差见下表甲乙丙丁平均成绩x/环9.08.98.69.0s环2 2.8 2.8 2.1 3.5方差2/如果从这四人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,那么最佳人选是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知某城市9月平均气温为28.5C ,如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过10C ,则该月平均气温在30C 及以上的日子最多有多少天？（）A ．24B ．25C ．26D ．277．（2021江苏省六校高三下学期第四次适应性联考）学校组织开展劳动实践,高二某班15名学生利用假期时间前往敬老院､消防队等场所劳动服务.经统计,该15名学生的劳动服务时长平均为20小时,标准差为s .后来经核实,发现统计的甲､乙两名同学的劳动服务时长有误.甲同学的劳动服务时长实际为20小时,被误统计为15小时；乙同学的劳动服务时长实际为18小时,被误统计为23小时.更正后重新计算,得到标准差为1s ,则s与1s 的大小关系为（）A ．1s s B ．1s s ＜C ．1s s ＞D ．无法判断8．（2021湖南省长沙市长郡中学高三下学期保温卷）已知某6个数据的平均数为4,方差为8,现加入2和6两个新数据,此时8个数据的方差为（）A ．8B ．7C ．6D ．59．（2021湖北省武汉市华中师范大学附中高三下学期5月押题卷）为庆祝中国共产党成立100周年,A ､B ､C ､D 四个兴趣小组举行党史知识竞赛,每个小组各派10名同学参赛,记录每名同学失分(均为整数)情况,若该组每名同学失分都不超过7分,则该组为“优秀小组”,已知A ､B ､C ､D 四个小组成员失分数据信息如下,则一定为“优秀小组”的是（）A ．A 组中位数为2,极差为8B ．B 组平均数为2,众数为2C ．C 组平均数为1,方差大于0D ．D 组平均数为2,方差为310．（2021河北省张家口市高三三模）某中学春季运动会上,12位参加跳高半决赛同学的成绩各不相同,按成绩从高到低取前6位进入决赛,如果小明知道了自己的成绩后,则他可根据其他11位同学成绩的哪个数据判断自己能否进入决赛（）A ．中位数B ．平均数C ．极差D ．方差11．（2021福建省三明市高三三模）某市原来都开小车上班的唐先生统计了过去一年每一工作日的上班通行时间,并进行初步处理,得到频率分布表如下（T 表示通行时间,单位为分钟）：通行时间1520T 2025T 2530T 3035T 3540T 频率0.10.30.30.20.1该市号召市民尽量减少开车出行,以绿色低碳的出行方式支持节能减排.唐先生积极响应政府号召,准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种.如果唐先生选择骑自行车,当天上班的通行时间为30分钟.将频率视为概率,根据样本估计总体的思想,对唐先生上班通行时间的判断,以下正确的是（）A ．开小车出行的通行时间的中位数为27.5分钟B ．开小车出行两天的总通行时间少于40分钟的概率为0.01C ．选择骑自行车比开小车平均通行时间至少会多耗费5分钟D ．若选择骑自行车和开小车的概率相等,则平均通行时间为28.5分钟12．（2021湖北省武汉市高三下学期4月质量检测）一组数据由10个数组成,将其中一个数由4改为1,另一个数由6改为9,其余数不变,得到新的10个数,则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的增加值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题13．（2021福建省厦门市高三三模）记考试成绩Z 的均值为 ,方差为2 ,若Z 满足0.66()0.70P Z ,则认为考试试卷设置合理．在某次考试后,从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计,得到成绩的均值为63.5,方差为169,将数据分成7组,得到如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体,则（）A ．本次考试成绩不低于80分的考生约为5000人B ．0.03a C ．本次考试成绩的中位数约为70D ．本次考试试卷设置合理14．（2021广东省佛山市高三下学期二模）百年大计,教育为本.十四五发展纲要中,教育作为一个专章被提出.近日,教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下,根据图中信息,下列论断正确的有（）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）A．近六年,高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B．近六年,高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C．2019年,未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D．2020年,普通高中的在校生超过2470万人15．（2021湖北省武汉市高三下学期5月质量检测）某学校为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展,制订了一套量化评价标准.下表是该校甲､乙两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分(得分越高,说明该项教育越好).下列说法正确的是（）德智体美劳甲班9.59.599.58乙班9.599.598.5A．甲班五项得分的极差为1.5B．甲班五项得分的平均数高于乙班五项得分的平均数C．甲班五项得分的中位数大于乙班五项得分的中位数D．甲班五项得分的方差小于乙班五项得分的方差16．（2021江苏省南通等七市2021届高三下学期2月第一次调研）冬末春初,乍暖还寒,人们容易感冒发热.若发生群体性发热,则会影响到人们的身体健康,干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天,每天不5人体温高于37.3C ,则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3C 人数的统计特征数中,超过能判定该公司没有发生群体性发热的为（）A．中位数为3,众数为2B．均值小于1,中位数为1C．均值为3,众数为4D．均值为2,三、填空题17．（2021山东省济南市高三二模）习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路,眺望前方的奋进路,必须把党的历史学习好、总结好,把党的成功经验传承好、发扬好．”某党小组为响应习总书记号召,重温百年奋斗的恢弘史诗,以信仰之光照亮前行之路,组织开展党史学习教育知识竞赛活动,其中7名党员在这次活动中的成绩统计如图所示．则这7个成绩的中位数所对应的党员是______．18．（2021湖南省六校高三4月联考）在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日,每天新增疑似病例不超过7人”.已知过去10日,A、B、C三地新增疑似病例数据信息如下：A地：总体平均数为3,中位数为4；B地：总体平均数为2,总体方差为3；C地：总体平均数为1,总体方差大于0；则A、B、C三地中,一定没有发生大规模群体感染的是__________地.四、解答题19．（2021湖北省黄冈中学高三5月适应性考试）某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果,随机记录了该同学40局接球训练成绩,每局训练时教练连续发100个球,该同学每接球成功得1分,否则不得分,且每局训练结果相互独立,得到如图所示的频率分布直方图.（1）同一组数据用该区间的中点值作代表,①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数x ；②若该同学的接球训练成绩X 近似地服从正态分布 ,100N ,其中 近似为样本平均数x ,求5464P X 的值；（2）为了提高该同学的训练兴趣,教练与他进行比赛.一局比赛中教练连续发100个球,该同学得分达到80分为获胜,否则教练获胜.若有人获胜达3局,则比赛结束,记比赛的局数为Y .以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率,求 E Y .参考数据：若随机变量2~,N,则0.6827P , 220.9545P , 330.9973P .。
2021-2022学年重庆市渝北区高一(艺术班)下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年重庆市渝北区高一（艺术班）下学期期末数学试题一、单选题1．下列统计中的数字特征，不能反映样本离散程度的是（ ）A ．众数B ．极差C ．方差D ．标准差【答案】A【分析】利用众数、极差、方差、标准差的定义直接求解．【详解】解：对于A ，一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，众数是一组数据中占比例最多的那个数，它不能能反映样本数据的离散程度大小，故A 错误；对于B ，极差表示一组数据最大值与最小值的差，极差越大数据越分散，极差越小数据越集中，故极差能反映样本数据的离散程度大小，故B 正确；对于C ，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，即方差能反映样本数据的离散程度大小，故C 正确；对于D ，标准差是方差的算术平方根，标准差也能反映样本数据的离散程度大小，故D 正确．故选：A ．2．已知向量，，，且，，则(),2a x =()2,b y =()2,4c=-//ac b c ⊥a b -=A ．3BCD ．【答案】B【解析】根据题意，得到求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.440440x y --=⎧⎨-=⎩,x y 【详解】因为向量，，，且，，(),2a x =()2,b y =()2,4c =-//a c b c ⊥ 所以，解得：，即，，440440x y --=⎧⎨-=⎩11x y =-⎧⎨=⎩()1,2a =- ()2,1b = 所以，因此(3,1)a b -=-a -= 故选：B.【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.3．某商家2021年4月至7月的商品计划销售额和实际销售额如图表所示：则下列说法正确的是（ ）A ．4月至7月的月平均计划销售额为22万元B ．4月至7月的月平均实际销售额为27万元C ．4月至7月的月实际销售额的数据的中位数为25D ．这4个月内，总的计划销售额没有完成【答案】C【分析】A.B.利用平均数公式求解判断；C.利用中位数的定义求解判断；D.根据平均计划销售额和平均实际销售额大小比较判断.【详解】A.4月至7月的月平均计划销售额为，故错误；()1451520253042⨯+++=B.4月至7月的月平均实际销售额为，故错误；()5520302040421+++=⨯C.4月至7月的月实际销售额的中位数为，故正确；()12030252⨯+=D.因为，可知这4个月内，总的计划销售额已经完成，故错误；554522>故选：C.4．设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则22:14x C y +=F ():0l y kx k =≠C ,A B 的值是AF BF+A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【详解】分析：设椭圆的右焦点为连接则四边形是平行四边形，根据椭圆的定2,F 22,,AF BF 2AFBF 义得到=2a 得解.AF BF+详解：设椭圆的右焦点为连接2,F 22,,AF BF 因为OA=OB,OF=O ,所以四边形是平行四边形.2F 2AFBF 所以,2BF AF =所以=|AF|+=2a=4,AF BF+2||AF 故答案为:C点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形是平行四边形，这一点观察到了，后面就迎刃而解了.2AFBF 5．如图在梯形中，，，设，，则（ ）ABCD 2BC AD =DE EC =BA a = BC b = BE =A ．B ．1124a b +1536a b +C ．D ．2233a b + 1324a b + 【答案】D【解析】根据题中，由向量的线性运算，直接求解，即可得出结果.【详解】因为，，2BC AD =DE EC =所以，()()111113222224BE BD BC BA AD BC BA BC BC BA BC⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭又，，BA a = BC b =所以.1324BE a b+= 故选：D.【点睛】本题考查用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于基础题型.6．已知两点，点在直线上，则的最小值为（ ）()()4,8,2,4A B -C 1yx =+AC BC+A ．B ．9C D ．10【答案】C【分析】根据给定条件求出B 关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.1y x =+【详解】依题意，若关于直线的对称点，()2,4B 1y x =+(,)B m n '∴，解得，41242122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩33m n =⎧⎨=⎩∴，连接交直线于点，连接，如图，(3,3)B 'AB '1y x =+C 'BC '在直线上任取点C ，连接，显然，直线垂直平分线段，1y x =+,,AC BC B C '1y x =+BB '则有，当且仅当点与重合时取等||||||||||||||||||AC BC AC B C AB AC B C AC BC '''''''+=+≥=+=+C C '号，∴，故的最小值为.min ()||AC BC AB '+=AC BC+故选：C7．已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为1:3为（ ）A ．B ．CD ．161030【答案】A【分析】设上底面边长为，则下底面边长为，根据勾股定理求出，再根据勾x 3x 1x =股定理求出侧面等腰梯形的高为，最后根据梯形的面积公式可求出结果.2【详解】设上底面边长为，则下底面边长为，x 3x，下底面正方形对角线长为，，解得，)222=+1x =，2=所以该棱台的侧面积为.()141322⨯+⨯=16故选：A.8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得221)68):((C x y -+-=(,0)A m -(,0)(0)B m m >C P ，则的最大值为（ ）．90APB ∠=︒m A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】D【分析】首先根据题意得到若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有C P 90APB ∠=︒AB O C 交点.从而得到圆与圆内切时，取得最大值，再求最大值即可.O C m 【详解】圆，圆心，半径.221)68):((C x y -+-=()6,8C 1r =若圆上存在点，使得，则以为直径的圆与圆有交点.C P 90APB ∠=︒AB O C 如图所示：当圆与圆内切时，取得最大值.O C m.max 1111m CO =+=故选：D二、多选题9．设复数，则（ ）13i1i z -=+A ．|z |=B ．z 的虚部为2C ．12iz =-D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限【答案】AD【分析】利用复数的除法化简复数，即可判断各选项的正误.【详解】由，对应点位于第三象限，13i (13i)(1i)12i 1i 2z ---===--+所以z 的虚部为-2，．|z |=12i z =-+故选：AD10．设m ，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（ ）,αβA ．若，则B ．若，则//,m n m α⊥n α⊥,//m n m α⊥n α⊥C ．若，则D ．若，则//,m αβα⊥m β⊥,m αβα⊥⊥//m β【答案】AC【分析】结合空间中直线与平面的位置关系进行判定，也可以通过举例说明命题错误.【详解】对于A ，因为，所以，A 正确；//,m n m α⊥n α⊥对于B ，因为时，也可以平行，所以B 错误；,//m n m α⊥,n α对于C ，因为，所以，C 正确；//,m αβα⊥m β⊥对于D ，因为时，直线也可能在平面内，所以D 错误；,m αβα⊥⊥m β故选：AC.11．已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）．:10l kx y k --+=22:4O x y +=A ．直线l 恒过定点()1,1-B ．直线l 与圆O 相交C ．当时，直线l 被圆O 截得的弦长为21k =D ．直线l 被圆O 截得的最短弦的长度为【答案】BD【分析】把直线方程变形为，即可求出直线过的定点，从而判断选10kx y k --+=()11y k x -=-l 项A ；根据定点在圆内，可判断选项B ；把代入直线方程，根据直线过圆心，可求出弦长为直1k =径，从而判断选项C ；根据点为弦的中点时，直线l 被圆O 截得的弦最短，从而可判断选项()1,1P D.【详解】直线整理得，故直线过定点，故A 错误；:10l kx y k --+=()11y k x -=-()1,1P 由于点在圆O 内，故直线l 与圆O 相交，B 正确；()1,1当时，直线过圆心O ，故直线l 被圆O 截得的弦为直径，其长为4，C 错误；1k =:0l x y -=当点为弦的中点时，直线l 被圆O 截得的弦最短，()1,1P此时的弦长为D 正确．=故选：BD ．12．在边长为4的正方形中，如图1所示，，，分别为，，的中点，分ABCD E F M BC CD BE 别沿，及所在直线把，和折起，使，，三点重合于点，得AE AF EF AEB △AFD △EFC B C D P 到三棱锥，如图2所示，则下列结论中正确的是（ ）P AEF -A ．PA EF⊥B ．三棱锥的体积为4M AEF -C ．三棱锥外接球的表面积为P AEF -24πD ．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为M P AEF -π【答案】ACD【分析】根据线面垂直可判断A ；根据三棱锥的等体积法结合体积公式可判断B ；求得三棱锥外接球的半径，即可求得外接球的表面积，判断C ；将三棱锥补成长方体，确定P AEF -P AEF -最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，求得截面圆半径，即可得截面的面积，判断D.【详解】对于A ：由题意知平面 ，,,,,AP PE AP PF PE PF P PE PF ⊥⊥=⊂ PEF 所以 平面，平面，所以 ，故A 正确；AP ⊥PEF EF ⊂PEF PA EF ⊥对于B ：,4,2,PA PE PF PE PF ===⊥因为M 为的中点，所以,BE 111114224222323M AEF P AEF A PEF V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=故B 错误；对于C ：因为两两垂直，,,PA PE PF 故三棱锥的外接球半径和长宽高分别为的长方体的外接球半径相等，P AEF -2,2,4故其外接球半径R ==故外接球表面积，故C 正确；24π24πS R ==对于D ：将三棱锥补成如图所示长方体，，P AEF -4,2PA PE PF ===设长方体外接球球心为O ，即为三棱锥的外接球球心P AEF -过点M 的平面截三棱锥的外接球所得截面为圆，P AEF -最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，OM ==此时截面圆半径为 此时截面圆的面积为 ，1,r ===2ππr =所以过点M 的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的最小值为，故D 正确,P AEF -π故选：ACD三、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，6:5:4若抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为________.【答案】45【分析】计算出高一年级学生人数占全部年级人数的比例，根据其抽取的人数，可求得结果.【详解】由题意得;高一年级学生人数占比为 ，626545=++故根据按年级用分层抽样的方法抽取若干人，抽取的高一年级的学生数为18，则抽取的样本容量为 ，218455÷=故答案为：4514．已知非零向量满足，则与的夹角为__________.,a b a b a b +=- a b 【答案】2π【分析】直接把两边同时平方化简即得解.a b a b+=-【详解】因为，a b a b+=- 所以，222222()(),22a b a b a a b b a a b b →→→→→→→→→→→→+=-∴++=-+ 所以.=0a b a b →→→→∴⊥ ，所以与的夹角为.a b2π故答案为：2π15．在一个由三个元件构成的系统中，已知元件正常工作的概率分别是，，，A,B,C A,B,C 121314且三个元件正常工作与否相互独立，则这个系统正常工作的概率为______．【答案】16【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一个能正常工作的概率，继而求得这个系统A,B A,B 正常工作的概率.【详解】由题意可知都不工作的概率为，A,B 111(1233--=所以至少有一个能正常工作的概率为，A,B 12133-=故这个系统正常工作的概率为，211346⨯=故答案为：1616．过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段(1,1)M 12-C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M 的中点，则椭圆的离心率为_____．AB C【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②，()11,x y ()22,x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=∵M 是线段AB 的中点，∴，∵直线AB 的方程是，12121,122x x y y ++==()1112y x =--+∴，∵过点M （1，1）作斜率为的直线与椭圆C ：（a ＞b ＞0）相()121212y y x x -=--12-22221x y a b +=交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，∴①②两式相减可得，即22221212220x x y y a b --+=2221202a c b a b ⎛⎫+-⋅=∴=∴= ⎪⎝⎭c e a ∴==【解析】椭圆的简单性质四、解答题17．在中，角，，所对的边分别为，，，若，．ABC A B C a b c c =1b =120C =(1)求的大小；B (2)求的面积ABC S 【答案】(1)；30.【分析】（1）利用正弦定理即可求解；（2）由三角形的内角和求得角，再由三角形的面积公式即可求解.A【详解】（1）在中，，，ABC c =1b =120C =由正弦定理得即，sin sin b c B C =1si n B =1sin 2B ==因为，所以，b c <B C <因为，所以060B << 30B = （2）因为，所以，180A B C ++= 1801803012030A B C =--=--=所以的面积为.ABC 11sin 1sin 3022S bc A ==⨯=18．如图，在正方体中，是的中点，是的中点.1111ABCD A B C D -M 1AD N 1DC(1)求证：平面；MN ABCD (2)求证：.11D B B C ⊥【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，易得，根据线面平行的判定定理即可得证；1,AC D C MN AC ∥（2）根据正方体的结构特征可得，平面，则有，再根据线面11BC B C ⊥11C D ⊥11BCC B 111C D B C ⊥垂直的判定定理可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证.1B C ⊥11BC D 【详解】（1）证明：连接，1,AC D C 则与互相平分，1DC 1CD 因为是的中点，是的中点，M 1AD N 1DC 所以点为的中点，N 1D C 所以，MN AC ∥又平面，平面，AC ⊂ABCD MN ⊄ABCD 所以平面；MN ABCD （2）证明：连接，111,,BD BC B C 在正方体中，1111ABCD A B C D -，平面，11BC B C ⊥11C D ⊥11BCC B 因为平面，1B C ⊂11BCC B 所以，111C D B C ⊥又，平面，1111C D BC C ⋂=111,C BC D ⊂11BC D所以平面，1B C ⊥11BC D 又平面，1BC ⊂11BC D 所以.11D B B C ⊥19．2022年4月16日，神舟13号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这趟神奇之旅意义非凡，尤其是“天宫课堂”在广大学生心中引起强烈反响，激起了他们对太空知识的浓厚兴趣．某中学在进行太空知识讲座后，从全校学生中随机抽取了200名学生进行笔试，并记录下他们的成绩，将数据分成6组，并整理得到如下频率分布直方图(1)求这部分学生成绩的中位数、平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)为了更好的了解学生对太空知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第 组中用分层抽样的方5,6法抽取5名学生，进行第二轮面试，最终从这5名学生中随机抽取2人参加市太空知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．【答案】(1)，71.6770.5(2)35【分析】（1）根据频率直方图按照中位数和平均数的计算方法即可求得答案；（2）确定第 组中的人数，从而求得5名学生中每组抽取的人数，列举出抽取两人的所有情况，5,6根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】（1）设中位数为x ,平均数为,x 因为前三个矩形面积为，()0.0100.0150.020100.45++⨯=故，解得；()()0.0100.0150.02010700.0300.5x ++⨯+-⨯=71.67x ≈.()10450.010550.015650.020750.030850.0159705510.0.0x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）人，人,即第五组有30人，第六组有20人,2000.0151030⨯⨯=2000.011020⨯⨯=人，人，即需从第五组抽取3人，从第六组抽取两人,30533020⨯=+20523020⨯=+设从抽取的5人中抽取2人，设五组的三人为 ，第六组的两人为 ,,,a b c ,D E 则共有抽法为，共10种，(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a D a E b c b D b E c D c E D E 其中恰有一人得分为90及以上的抽法有6种，故90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．63105=20．已知圆C 的圆心C 在直线上，且圆C 过，两点，32y x =+()0,0A ()2,2B (1)求圆C 的标准方程；(2)过点作圆C 的切线l ，求切线l 的方程.()3,0【答案】(1)()2224x y +-=(2)或0y =125360x y +-=【分析】（1）求出线段的中垂线方程，和直线，即求得圆心坐标，接着求得半径，可AB 32y x =+得答案；（2）设切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得答案.【详解】（1）∵，∴线段的中垂线斜率为.1AB k =AB -1又线段的中点为，∴线段的中垂线方程为，即.AB ()1,1AB ()11y x -=--2y x =-+由可得,即，∴半径为，2,32,y x y x =-+⎧⎨=+⎩02x y =⎧⎨=⎩()0,2C 2AC =∴圆C 的标准方程为.()2224x y +-=（2）由题知，切线l 的斜率存在，设切线l 的斜率为k ，则，即.():3l y k x =-30kx y k --=，解得，,210k =2125k =-∴l 的方程为或.0y =125360x y +-=21．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且.90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA =PD =AB =DC ，，求二面角A −PB −C 的余弦值.90APD ∠=【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）由已知，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．90BAP CDP ∠=∠=︒由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ．又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ．⊂（2）在平面内作，垂足为，PAD PF AD ⊥F 由（1）可知，平面，故，可得平面.AB ⊥PAD AB PF ⊥PF ⊥ABCD 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F FA x AB .F xyz -由（1）及已知可得，，，.A ⎫⎪⎪⎭P ⎛ ⎝B ⎫⎪⎪⎭C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，，，.PC ⎛= ⎝)CB =PA = ()0,1,0AB = 设是平面的法向量，则(),,n x y z = PCB 即0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可取.(0,1,n =- 设是平面的法向量，则(),,m x y z =PAB 即可取.0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0.z y =⎪=⎩()1,0,1m = 则cos ,n m n m n m ⋅== 所以二面角的余弦值为A PBC --【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.22．已知椭圆的离心率，点在椭2222:1(0)x yS a b a b +=>>e =12F F 、(2,P 圆S 上，过的直线l 交椭圆S 于A ，B 两点.2F(1)求椭圆S 标准方程；(2)求的面积的最大值.1ABF 【答案】(1)22184x y +=(2)【分析】（1）由已知条件，列出关于的方程组，求解方程组即可得答案；,,a b c （2）设，联立椭圆方程，由韦达定理及求出的面积，然:2l x my =+1121212ABF S F F y y =-1ABF 后利用均值不等式即可求出的面积的最大值.1ABF 【详解】（1）解：设椭圆S 的半焦距为，(0)c c >由题意解得22222,21,c a a b c a ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩2,2,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆S 的标准方程为；22184x y +=（2）解：由（1）得，12(2,0)(2,0)F F -、设，代入，得，:2l x my =+22184x y +=()222440m y my ++-=设，则，()()1122,,A x y B x y 、12122244,22m y yy y m m +=-=-++∴，1y-==∴，当且仅当即时，等1121212ABF S F F y y=-=≤= 211m +=0m =号成立，故的面积的最大值为1ABF。
概率论与数理统计第四章测试题
第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。
(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。
概率论与数理统计第四章测试题
第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ）(A) X 与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X 和Y 相互独立，且()()221122,,,XN Y N μσμσ，则2Z X Y =+（ ） (A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++(C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2)(D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学 期望()E Z =（ ） (A)(B) 0 (C) (D) 6．设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =⎡⎤⎣⎦（ ）(A)2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4θ7．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ）(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){}()1121,2,2nnn P X n =-⋅==，则()E X =（ ） (A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（A ）－1 （B ）0 （C ）21 （D ）110．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y （A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。
概率论与数理统计历年考研试题-知识归纳整理
第3章 数字特征1． （1987年、数学一、填空）设随机变量X 的概率密度函数,1)(122-+-=x x e x f π则E(X)=( ),)(X D =( ).[答案 填：1；21.]由X 的概率密度函数可见X～N(1,21),则E(X)=1，)(X D =21.2． （1990年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4]3． （1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）对于X 的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。
解：（1）由于D 的面积为1，则(X,Y)的联合密度为⎩⎨⎧<<<=0,x |y |1,x 1 ,1),(其他y x f当0<x<1时，x dy dy y x f x f xxX21),()(===⎰⎰-+∞∞-，其他事情下0)(=x f X.（2）322)( )(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 212)( )(1222=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x f x X E X 181))(()(22=-=X E EX X D4． （1991年、数学一、填空）设X～N(2，2σ）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（ ）。
[答案 填：知识归纳整理0.2]3.0212)0(2220}42{=-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<=<<σσσσX P X P即8.02=⎪⎭⎫⎝⎛Φσ,则2.021222}0{=⎪⎭⎫⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=<σσσσX P X P 5． （1992年、数学一、填空）设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （ ）.[答案 填：34]6． （1995年、数学一、填空）设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则2EX =（ ）。
考研数学一-概率论与数理统计随机变量的数字特征(一)
考研数学一-概率论与数理统计随机变量的数字特征(一)(总分：88.01，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：28，分数：28.00)1.设随机变量X的二阶矩存在，则(A) EX2＜EX． (B) EX2≥EX．(C) EX2＜(EX)2． (D) EX2≥(EX)2．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由DX=EX2-(EX)2≥0，即知正确选项为(D)．选项(A)、(B)对某些随机变量可能成立，对某些随机变量可能不成立．例如X服从参数为λ的泊松分布，则EX=DX=λ，EX2=DX+(EX)2=λ+λ2＞λ=EX，选项(B)成立；如果X在(0，1)上服从均匀分布，则，，选项(A)成立．2.设X是随机变量，EX=μ，DX=σ2(σ＞0)，则对任意常数C，有(A) E(X-C)2=EX2-C2． (B) E(X-C)2=E(X-μ)2．(C) E(X-C)2＜E(X-μ)2． (D) E(X-C)2≥E(X-μ)2．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析]E(X-C)2≥E(X-μ)2，故选(D)．当然我们也可以通过计算来证明：E(X-X)2=E[(X-μ)+(μ-C)]2=E[(X-μ)2+2(μ-C)(X-μ)+(μ-C)2]=E(X-μ)2+2(μ-C)(EX-μ)+(μ-C)2=E(X-μ)2+(μ-C)2≥E(X-μ)2．3.设随机变量X的期望、方差都存在，则对任意常数C，有(A) E(X-C)2＜DX+E2(X-C)． (B) E(X-C2)2＞DX+E2(X-C)．(C) E(X-C)2=DX+E2(X-C)． (D) E(X-C)2=DX-E2(X-C)．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于DX=D(X-X)=E(X-C)2-E2(X-C)，所以E(X-C)2=DX+E2(X-C)，故选(C)．4.设X为离散型随机变量，且p i=PX=a i(i=1，2，…)，则X的期望EX存在的充分条件是(A) ． (B)(C) (D)（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由级数收敛的必要条件知，选项(A)或(B)不能选，否则(C)或(D)也成立．又收敛不能保证收敛(即EX存在)，因此选项(C)不能选．所以应该选(D)．下面我们证明：如果收敛，则收敛．事实上，由于，故已知，所以收敛，EX存在．5.假设X是连续型随机变量，其分布函数为F(x)，如果X的期望EX存在，则当x→+∞时，1-F(x)的(A) 低阶无穷小． (B) 高阶无穷小．(C) 同阶但不等价无穷小． (D) 等价无穷小．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由题设，我们只能通过计算来确定正确选项．设X的密度函数为f(x)，则EX存在，所以即1-F(x)的高阶无穷小(当x→+∞)，故应选(B)．6.假设X服从二项分布B(n，p)，已知EX=2.4，DX=1.44，则n，p值分别为(A) 4；0.6． (B) 6；0.4． (C) 8；0.3． (D) 12；0.2．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于X～B(n，p)，所以p=0.4．故应选(B)．求得n，p，从而确定正确选项．7.已知随机变量X的分布中含有若干个未知参数，如果仅对唯一的参数值才有EX=DX，则X必服从(A) 参数为(μ，σ2)的正态分布． (B) 参数为λ的指数分布．(C) 参数为λ的泊松分布． (D) 参数为a，b的[a，b]区间上的均匀分布．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 直接由EX=DX来确定正确选项．如果X～N(μ，σ2)，则EX=DXμ=σ2．参数(μ，σ2)不唯一．X～E(λ)，则．参数λ唯一．X～P(λ)，则EX=DXλ=λ．参数λ不唯一．X～U[a，b]．参数a、b不唯一．因此正确选项是(B)．8.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反而向上的次数，则X和Y的相关系数等于(A) -1．(B) 0．(D) 1．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由题设知X+Y=n，Y=-X+n，故选择(A)．事实上，X与Y的相关系数，cov(X，Y)=cov(X，-X+n)=-cov(X，X)=-DX，DY=D(-X+n)=DX，．所以选(A)．9.设随机事件A与B互不相容，0＜P(A) ＜1，0＜P(B) ＜1，记X与Y的相关系数为ρ，则(A) ρ=0． (B) ρ=1． (C) ρ＜0． (D) ρ＞0．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 选项(B)不能选，否则(D)必成立．因此我们的问题转化为确定X、Y相关系数ρ的符号，而它仅取决于cov(X，Y)=EXY-EXEY，由题设知AB=，因此所以 cov(X，Y)=-P(A)P(B)＜0，ρ＜0，故应选(C)．10.设随机变量X与Y不相关且DX=DY≠0，则随机变量X与X+Y的相关系数ρ等于(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由题设cov(X，Y)=0，DX=DY，所以故应选(C)．11.已知随机变量X与Y的相关系数为ρ，随机变量ξ=aX+b，η=cY+d(abcd≠0)，则ξ与η的相关系数为(A) 0． (B) -p．(C) 当ac＞0时为ρ． (D) 当bd＞0时为ρ．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知，所以ξ与η的相关系数为故应选(C)．12.设随机变量X与Y的方差相等且不为零，则ξ=X+Y与η=X-Y相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 已知DX=DY≠0，所以cov(ξ，η)=cov(X+Y，X-Y)=cov(X，Y)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)=DX-DY=0，即X与Y相关系数为0，故应选(B)．13.假设随机变量X，Y，Z两两不相关，方差相等且不为零，则X+Y与Y+Z的相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知cov(X，Y)=cov(X，Z)=cov(Y，Z)=0，DX=DY=DZ≠0，所以X+Y与Y+Z的相关系数为故应选(C)．14.已知二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)且满足条件f(x，y)=f(-x，y) 或 f(x，y)=-f(x，-y)，则X与Y相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意f(x，y)对每个变元都是偶函数，因此x(x，y)或yf(x，y)为奇函数，所以EXY=EXEY=0X与Y XY=0，故应选(B)．15.设X，Y为随机变量，现有6个等式①E(X+Y)=EX+EY；②D(X+Y)=DX+DY；③D(X-Y)=DX+DY；④EXY=EX·EY；⑤D(XY)=DX·DY；⑥)cov(X，Y)=0．则上面与“X和Y不相关”等价的等式共有(A) 0个． (B) 2个． (C) 4个． (D) 6个．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] ①对任意随机变量都成立，②、③、④、⑥是X与Y不相关的充要条件，因此选(X)．而⑤式DXY=E(XY)2-(EXY)2=DXDY并不能断言X与Y的相关性．16.假设随机变量X与Y的二阶矩都存在，则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充分必要条件是(A) EX=EY． (B) EX2=EY2．(C) EX2-E2X=EY2-E2Y． (D) EX2+E2X=EY2+E2Y．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] ξ与η不相关cov(ξ，η)=0cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=0DX=DYEX2-E2X=EY2-E2Y，选择(C)．17.已知(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，X与Y相关系数为ρ，则X+bY与X-bY，相互独立的充分必要条件是参数b(A) 可以取任意实数． (B) 等于p．(C) 等于σ1/σ2． (D) 等于μ1/μ2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：18.已知(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2，ξ=aX+bY，η=aX-bY(ab≠0)，则ξ与η独立的充要条件是(A) a、b为任意实数． (B) a=b-1．(C) a2=62． (D) a=b+1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于对任意常数c，d(c、d不全为0)，有cξ+dη=c(aX+bY)+d(aX-bY)=a(c+d)X+b(c-d)Y服从一维正态分布，所以(ξ，η)服从二维正态分布．因此ξ与η独立ξ与η不相关cov(ξ，η)=0cov(aX+bY，aX-bY)=a2cov(X，X)+abcov(Y，X)-abcov(X，Y)-b2cov(Y，Y)=a2DX-b2DY=σ2(a2-b2)=0a2=b2．故应选(C)．19.设X与Y都是服从正态分布的随机变量，则X与Y不相关是X与Y独立的(A) 充分必要条件． (B) 充分非必要条件．(C) 必要非充分条件． (D) 非必要非充分条件．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] X与Y都服从正态分布并不意味着(X，Y)服从二维正态分布，因此X与Y不相关仅仅是独立的必要条件而不充分，所以选(C)．20.假设(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2，X与Y不相关，则下列四对随机变量中相互独立的是(A) X与X+Y． (B) X与X-Y．(C) X+Y与X-Y． (D) 2X+Y与X-Y．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由题设知各选项中的二个随机变量其联合分布都是二维正态分布，因此它们相互独立等价于不相关．又cov(X，Y)=0，DX=DY=σ2，所以 cov(X，X±Y)=DX=σ2≠0，cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=0，cov(2X+Y，X-Y)=2DX-DY=σ≠0．故应选(C)．21.已知随机变量X在[-1，1]上服从均匀分布，Y=X3，则X与Y(A) 不相关且相互独立． (B) 不相关且相互不独立．(C) 相关且相互独立． (D) 相关且相互不独立．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于Y=X3，因此Y与X不独立，但又有某种线性相依的关系，即Y与X相关，所以选择(D)．事实上，已知EXY≠EX·EY，因此X与Y相关．下面证明Y=X3与X不独立．X与Y=X3相互独立，y∈R有P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，即P{X≤x，X3≤y}=P{X≤x}P{X3≤y}．取，则，故而所以故X与Y=X3不独立．22.假设随机变量X与Y相互独立且有非零的方差，则(A) 3X+1与4Y-2相关． (B) X+Y与X-Y不相关．(C) X+Y与2Y+1相互独立． (D) e X与2Y+1相互独立．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于X与Y相互独立，由独立性质知e X与2Y+1相互独立，所以选(D)．下面我们对各选项逐一加以验证．由于X与Y相互独立，所以cov(X，Y)=0．(A)：cov(3X+1，4Y-2)=12cov(X，Y)=0，3X+1与4Y-2不相关，选项(A)不成立．(B)：cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)选项(B)不成立．(C)：cov(X+Y，2Y+1)=2cov(X，Y)+2cov(Y，Y)=2DY≠0，X+Y与2Y+1相关，因而不独立，选项(C)不成立．(D)：x，y∈R，如果x＞0，则=P{e X≤x}P{2Y+1≤y}．如果x≤0，则P{e X≤x}=0．P{e X≤x，2Y+1≤y}=0=P{e X≤x}P{2Y+1≤y}，所以e X与2Y+1相互独立，选项(D)成立．23.设X，Y为随机变量，其期望与方差都存在，则下列与PX=Y=1不等价的是，有P|X-Y|≥ε=0．(B) EX=EY，DX=DY．(C) EX=EY，D(Y-X)=0．(D) EX=EY，EX2=EY2，X与Y的相关系数为1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 从四个选项中我们可以看到选项(B)是EX=EY，DX=DY，而这并不意味着X与Y以概率1相等即P{x=Y}=1，所以选(B)．下面我们证明其他三个选项都与P{X=Y}=1等价．(A)：P{X=Y}=1P{X≠Y}=0．，有{|X-Y|≥ε}{X≠Y}P{|X-Y|≥ε}=0．反之，如果，P{|X-Y|≥ε}=0，则由．选项(A)成立．(C)：EX=EY，D(Y-X)=0E(Y-X)=0，D(Y-X)=0P{Y-X=E(Y-X)}=1即P{Y-X=0}=P{Y=X}=1．选项(C)成立．(D)：EX=EY，EX2=EY2，X与Y相关系数ρXY=1，EX=EY，EX2=EY2，P{y=aX+b}=1，其中，b=EY-aEX=0．从而{Y=X}=1．反之若ρXY=1，且，EX2=EY2，ρXY=1，所以(D)成立．24.设随机变量X1和X2不相关，且DX1=DX2=σ2≠0，令X=X1+aX2，Y=X1+bX2(ab≠0)，如果X与Y不相关，则(A) a与b可以是任意实数． (B) a=b．(C) ab=-1． (D) ab=1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知cov(X1，X2)=0且DX1=DX2=σ2≠0，所以X与Y不相关cov(X，Y)=0cov(X1+aX2，Xl+bX2)=DX1+abDX2=σ2(1+ab)=0ab=-1，选(C)．25.设X是连续型随机变量且方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有(A)(B)(C)（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 各个选项左式全为P{|X-C|≥ε}，因此希望通过计算选出正确选项．设X的密度函数为f(x)，则故应选(C)．26.设随机变量X的方差DX存在，并且有则一定有(A) DX=2．(B) DX≠2．(C) (D)（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由题设P{|X-EX|≥3}≤，可得故应选(D)．27.设事件A在每次试验中发生的概率都是p，将此试验独立重复进行n次．X表示n次试验中A发生的次数，Y表示n次试验中A发生的次数，则下面结论不成立的是(A) D(X+Y)=0．(B) D(X-Y)=0．(C) PX=k=PY=n-k(k=0，1，…，n)．(D) X～B(n，p)，Y～B(n，1-p)．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意X～B(n，p)，Y～B(n，1-p)，X+Y=n，所以选项(A)、(C)、(D)都成立，不成立的是(B)．事实上，Y=-X+n，又DX=np(1-p)，DY=n(1-p)p，所以 D(X-Y)=DX+DY-2cov(X，Y)=2np(1-p)+2np(1-p)=4np(1-p)．28.已知试验E1为：每次试验事件A发生的概率都是p(0＜p＜1)，将此试验独立重复进行n次，以X1表示在这n次试验中A发生的次数；试验E2为：第i次试验事件A发生的概率为p i(0＜p i＜1，i=1，2，…)，将此试验独立进行n次，以X2表示在这n次试验中A，则(A) EX1＜EX2． (B) EX1=EX2．(C) EX1＞EX2． (D) 以上结论都不对．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意X1～B(n，p)，．对试验E2而言，如果记故应选(B)．二、填空题(总题数：17，分数：20.00)29.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1服从区间[0，6]上的均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为3的泊松分布，则D(X1-2X2+3X3)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：46）解析：[解析]D(X1-2X2+3X3)=DX1+4DX2+9DX3=3+4×4+9×3=46．30.设随机变量X和Y独立同服从正态分 N(0，1/2)，则D|X-Y|=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 易见，E(X-Y)=0，D(X-Y)=1，故U=X-Y～N(0，1)．因此E|U|2=EU2=DU+(EU)2=1．31.设X服从参数为2的指数分布，则E(X+e-X)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由指数分布的数学期望知EX=1/2，又于是32.设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-0.02）解析：[解析] 由题设可知，EX2=0.60，EY2=0.50，EX2EY2=0.30，又EX2Y2=P{X=1，Y=-1}+P{X=1，Y=1}=0.28，于是 cov(X2，Y2)=EX2Y2-EX2EY2=-0.02．33.以X表示接连10次独立重复射击命中目标的次数，已知每次射击命中目标的概率为0.4，则EX2= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：18.4）解析：[解析] 由题设知，10次独立重复射击命中目标的次数X服从参数为(10，0.4)的二项分布．因此，EX=4，DX=2.4．于是EX2=DX+(EX)2=18.4．34.设对某一种商品的需求量X(件)是一随机变量，其概率分布为则期望需求量为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由数学期望的定义，可知期望需求量为35.假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差σ=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：10.20）解析：[解析] 由题设条件“无系统误差”知，测量误差X服从正态分布N(0，σ2)，所以由可知36.100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：5）解析：[解析] 设每次试验成功的概率为p，则100次独立重复试验成功的次数X服从参数为(100，p)的二项分布，故DX=100p(1-p)．易见，当p=0.5时，p(1-p)取最大值．这时DX=100pq=100×0.25=25，因此，标准差的最大值等于5。
数学三同步训练：数据的数字特征(附答案)
§4数据的数字特征1．某班一次语文测验的成绩如下：得100分的3人，得95分的5人,得90分的6人，得80分的2人,70分的16人，60分的5人,则该班这次语文测验的众数是（）A．70分B．80分C．16人D．10人2．一组数据为168,170,165,172，180,163,169,176,148,则这组数据的中位数是（）A．168 B．169 C．168。
5 D．1703．已知容量为40的样本方差s2＝4，则其标准差s等于（) A．4 B．3 C．2 D。
错误!4．已知下列一组数据：10 20 80 40 30 90 50 40 50 40试分别求出该组数据的众数、中位数与平均数．答案:1．A 众数即出现次数最多的数．由题意知，该班这次语文测验的众数是70分．故选A.2．B 将一组数据按从小到大的顺序依次排列,处在中间位置的一个(或最中间两个数据的平均数）即为该组数据的中位数,所以169是所求的中位数．3．C s＝s2＝2.4．解：将数据由小到大排列得:10 20 30 40 40 40 50 50 80 90在上面数据中，40出现了3次，是出现次数最多的,所以这组数据的众数为40；最中间的两个数均为40,所以中位数为40;平均数错误!＝错误!（10＋20＋30＋40＋40＋40＋50＋50＋80＋90）＝45.1．下列说法错误的是( ）A ．一组数据的众数、中位数和平均数不可能是同一个数B ．极差、方差和标准差都是刻画数据离散程度的统计量C ．一组数据的平均数既不可能大于，也不可能小于这组数据中的所有数据D ．众数、中位数和平均数从不同角度描述了一组数据的集中趋势 2．期中考试结束以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M ，若把M 当成一个同学的分数,与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N,则MN 等于( ）A 。
错误!B ．1 C.错误! D ．23．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人,得95分的有1人，得90分的有2人,得85分的有4人,得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为… ( )A ．85,85,85B ．87，85,86C ．87，85,85D ．87，85,904．5个数1,2，3,4，a 的平均数是3，则a ＝______，这5个数的标准差是________．5．在一次歌手大奖赛中，6位评委现场给每位歌手打分，然后去掉一个最高分和一个最低分，其余分数的平均数作为该歌手的成绩．已知6位评委给某位歌手的打分是:9．2 9。
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一、填空
1、设随机变量 X 与Y 的方差满足 D X 25, D Y 36, D( X Y ) 85 则相关系数
XY
。0.4
2、设 随 机 变 量 X 与 Y 的 方 差 满 足 D X 16, D Y 25, XY 0.1 则 相 关 系 数
D(X Y )
P
0.4
0.2
a
若 EXY 0.8 ，则 Cov( X ,Y ) ____________.
(2 , 1) b
二、选择
Xi 1、设随机变量 X1 , X 2 的概率分布为 P
1 0 1 1 11 4 24
i 1, 2 .
且满足 P( X1 X 2
0)
1
，则
X1
,
X
2
的相关系数为
X1
X2
（
）
（A）0.
1
（B） .
4
1
（C） .
2
（D） 1.
2、设随机变量 X 和 Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ）
（A） X 与Y 独立.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（B） D( X Y ) DX DY .
（C） D( X Y ) DX DY . （D） D( XY ) DXDY .
3、对任意随机变量 X ，若 EX 存在，则 E[E(EX )] 等于 （ ） （A） 0. （B） X . （C） EX . （D） (EX )3.
。
3、设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)
2x,
0
,
0 x 1, 现对 X 进行四次独立重复观察，
其它 ,
用 Y 表示观察值不大于 0.5 的次数，则 EY 2 ___________.
4、设二维离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布律为
( X , Y ) (1 , 0) (1 , 1) (2 , 0)
三、计算题 1、设随机变量 X 具有密度函数 f (x) 1 e|x|
2
， ＜ x＜ ，求 X 的数学期望和方差.
2、向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 X 和纵坐标 Y 相互独立，且 均服从 N (0, 22 ) 分布. 求（1）命中环形区域 D {(x, y) |1 x 2 y 2 2} 的概率；（2）命
具有联合概率密度
f
(x,
y)
6x2 y
0 x 1, 0 y 1
0
其它
试求：（1） EX , EY ；（2） E( XY ) （3） Cov(X ,Y ) 。
5、二维随机变量 ( X
,Y)
具有联合概率密度
f
(x,
y)
x
0
y
0 x 1, 0 y 1 其它
试求：（1） EX , EY ；（2） E( XY ) （3） Cov(X ,Y )
中点到目标中心距离 Z X 2 Y 2 的数学期望.
3、试求（1）设 X ~ U[0, 1] ，Y ~ U[0,1] 且 X 与 Y 独立，求 E | X Y | ； （2）设 X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1) 且 X 与 Y 独立，求 E | X Y | .
4、二维随机变量 ( X ,Y )