导数压轴题题型(学生版)

导数压轴题题型

引例

【2016高考山东理数】(本小题满分13分)

已知. （I ）讨论的单调性；

（II ）当时，证明对于任意的成立.

()221()ln ,R x f x a x x a x

-=-+∈()f x 1a =()3()'2

f x f x +＞[]1,2x ∈

1. 高考命题回顾

例1.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x .

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2

21x f x x e a x =-+-有两个零点.

(I)求a 的取值范围；

(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<.

例3.（本小题满分12分）

已知函数f （x ）=31,()ln 4

x ax g x x ++=- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()

(0)h x f x g x x => ，

讨论h （x ）零点的个数

例4.(本小题满分13分)

已知常数

,函数 (Ⅰ)讨论

在区间上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且求的取值范围.

例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．

(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例6已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e

f x f x +-=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间；

(2)若b ax x x f ++≥

22

1)(，求b a )1(+的最大值。

例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅰ）求、的值；

（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。

ln ()1a x b f x x x

=++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x

>

+-k

例8已知函数f(x)＝(x3+3x2+ax+b)e－x.

(1)若a＝b＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有0∆>）。

(6) ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或

()f x '0≤在I 上恒成立

(7)若x I ∀∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ∀∈，()f x 0<恒成立，则

max ()f x 0<

(8)若0x I ∃∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ∃∈，使得0()f x 0<，则

min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ∀

∈D ()()f x g x >恒成立，则有 []min ()()0f x g x ->.

(10)若对11x I ∀

∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ∀

∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.

（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，

若对11x I ∀∈,22x I ∃∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ⊆。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值

大于0，极小值小于0.

(13)证题中常用的不等式:

①

ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（） ③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-

⑤ ln 1(1)12

x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->

1 x x +

3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）

例1（切线）设函数

. （1）当时，求函数

在区间

上的最小值；

（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于

点求证：.

例2（最值问题，两边分求）已知函数. a x x f -=2

)(1=a )

()(x xf x g =]

1,0[0>a )

(x f y =)))((,(111a x x f x P >l l x )0,(2x A a x x >>211()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R