学而思四年级奥数等差数列进阶
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(3)根据项数公式可知n=(145-5) ÷ 4+1=36 (4)根据求和公式知：和=(5+145) ×36 ÷2=2700
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、 27、…678 (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几 项
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209
(2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89
（3）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97
方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个 连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原 式=820-260=560
技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）÷公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2
例5计算 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+36+37+39+40的和 是多少？
分析：双重等差数列---跳着看---分离出两个等 差数列----分别计算求和----计算总和
方法1：拆项，把原数拆成1+4+7+…+40和 3+6+9+…+39两个等差数列，分别求和得287，273 ，所以原式=287+273=560
大家，晚上好！！！
科目：四年级奥数
教师：张宗诚
等差数列
什么是等差数列？？？？
定义：一列数中，每相邻两个数之间 的差是定值的数列是等差数列.
等差数列的认识
1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。 2.数列中数的个数称为项数。 3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 4.例如：1、3、5、7、9、…、97、99，这是一个 首项为1、末项为99、项数为50、公差为2的等差 数列。
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （2）写出该数列的后5项。
练习1： 2,5,8,11,14......32,35. 练习2： 10,20,30,40......1100 练习3: 99,97,96,95......2,1
等差数列我们要学些啥？
分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算
又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！
(402-2) ÷4+1=101层， 。这堆砖共有202 × 101=20402
练习：8个连续自然数的和是164，其中最 小的数是多少？
求和速算
例1.计算： 1+3+5+7+9= 1+3+5+7+9+11= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+......+99+100= 练习1：2+4+6+8+10+12+......+98+100= 练习2：99+97+95+93+91+......+3+1= 拓展练习1：5+10+15+20+......95+100=
例4建筑工地有一批砖，最上层2块砖，第2层6块 砖，第3层10块砖…，每层都比上一层多4块砖， 已知最下层有402块砖，问中间一层有多少块砖？
这堆砖共有多少块？ 解：方法1，如果我们把每层砖的块数依次记下来 ，2，6，10，14 …，容易知道这是一个等差数列。 402是第(402-2) ÷4+1=101层，中间一层是第（ 101+1） ÷2=51层，那么中间一层有2+（51-1 ） × 4=202块。这堆砖共有202 × 101=20402 方法2：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均 数，所以中间层有（402+2 ）÷2=202块，层数
练习2： 一个等差Байду номын сангаас列的首项是12，第6项是27。求公差。
解：第6项比首项多5个公差。 公差=（27-12）÷5=15÷5=3
例3.7个连续奇数的和是147，其中最大 的奇 数是几呢
解：中项定理：和=中间数×项数 中间数=和÷项数 计算中间数 第4个数， 计算第7个数 所以147 ÷7=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面 三项是23，25，27
练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？
例4，某学校有304个小朋友围成若干个圆（一圈 套一圈）做，已知最内圈24人，最外圈52人，如 果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的
相差多少人？
分析：本题实际上是求公差 解：这一等差数列的和是304，首项24，末项52， 先根据公式：和=（首项+末项）×项数÷2，求出 项数：304 ×2 ÷76=8，再根据 公式末项=首项 +(n-1) ×公差，求出公差52-24）÷7=4 练习：牛牛读一本550页的故事书，第一天读了30 页，最后一天读 70页，每天读的页数刚好构成等 差数列。那么每一天比前一天多读几页？
【例题2】一个等差数列的第4项为21，第6项 为33。求它的第8项。
【思路导航】 步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。 步骤二：公差=（33-21）÷2=6，首项=21-3×6=45 步骤三：第8项=3+（8-1）×6=45。
【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差， 是解此类等差数列问题的一种方法。
【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。
点兵点将，对号入座 【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问 （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）将数列中所的数加起来，和是多少？ 解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81 （2）根据项数公式可知n=(85-5) ÷ 4+1=21
【技巧总结】 求公差，计算两项之间有几个公差！ 公式应用：通项公式： 第n项=首项+（项数n-1）×公差
项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1
练习1：一个等差数列是6、13、20、 27、…678 (1)它的第30项是多少？ (2)622是它的第几项？（3）这个数列共有几 项
解：(1)第n项=首项+（项数n-1）×公差 第30项=6+（30-1）×（13-6）=6+29×7=6+203=209
(2)项数=（末项-首项）÷公差+1 =（622-6）÷7+1=616÷7+1=88+1=89
（3）项数=（末项-首项）÷公差+1 =（678-6）÷7+1=672÷7+1=96+1=97
方法2：补项：补上2+5+8+…+38使原式成为一个 连续的自然数列，分别求和得260，820，所以原 式=820-260=560
技巧总结：先求数列项数 =（末项-首项）÷公差+1 再代入求和公式：（首项+末项）×项数÷2
例5计算 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+36+37+39+40的和 是多少？
分析：双重等差数列---跳着看---分离出两个等 差数列----分别计算求和----计算总和
方法1：拆项，把原数拆成1+4+7+…+40和 3+6+9+…+39两个等差数列，分别求和得287，273 ，所以原式=287+273=560
大家，晚上好！！！
科目：四年级奥数
教师：张宗诚
等差数列
什么是等差数列？？？？
定义：一列数中，每相邻两个数之间 的差是定值的数列是等差数列.
等差数列的认识
1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。 2.数列中数的个数称为项数。 3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列 称为等差数列，后项与前项的差称为公差。 4.例如：1、3、5、7、9、…、97、99，这是一个 首项为1、末项为99、项数为50、公差为2的等差 数列。
先来后到
题型1：找规律
(1) 1, 3, 5, 7, 9, ( ) ,( ) (2) 0 , 5 ,10 ,15 ,20 ,( ), ( ). (3) 100, 96 ,92 ,88,84 ,( ), ( ).
题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的 等差数列 （1）写出该数列的前5项。 （2）写出该数列的后5项。
练习1： 2,5,8,11,14......32,35. 练习2： 10,20,30,40......1100 练习3: 99,97,96,95......2,1
等差数列我们要学些啥？
分为四种类型：（1） 先来后到 （2） 点兵点将 （3） 对号入座 （4） 求和速算
又一波精彩内容马上呈现。各位看官， 且听我一一讲来！
(402-2) ÷4+1=101层， 。这堆砖共有202 × 101=20402
练习：8个连续自然数的和是164，其中最 小的数是多少？
求和速算
例1.计算： 1+3+5+7+9= 1+3+5+7+9+11= 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+......+99+100= 练习1：2+4+6+8+10+12+......+98+100= 练习2：99+97+95+93+91+......+3+1= 拓展练习1：5+10+15+20+......95+100=
例4建筑工地有一批砖，最上层2块砖，第2层6块 砖，第3层10块砖…，每层都比上一层多4块砖， 已知最下层有402块砖，问中间一层有多少块砖？
这堆砖共有多少块？ 解：方法1，如果我们把每层砖的块数依次记下来 ，2，6，10，14 …，容易知道这是一个等差数列。 402是第(402-2) ÷4+1=101层，中间一层是第（ 101+1） ÷2=51层，那么中间一层有2+（51-1 ） × 4=202块。这堆砖共有202 × 101=20402 方法2：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均 数，所以中间层有（402+2 ）÷2=202块，层数
练习2： 一个等差Байду номын сангаас列的首项是12，第6项是27。求公差。
解：第6项比首项多5个公差。 公差=（27-12）÷5=15÷5=3
例3.7个连续奇数的和是147，其中最大 的奇 数是几呢
解：中项定理：和=中间数×项数 中间数=和÷项数 计算中间数 第4个数， 计算第7个数 所以147 ÷7=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面 三项是23，25，27
练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？
例4，某学校有304个小朋友围成若干个圆（一圈 套一圈）做，已知最内圈24人，最外圈52人，如 果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈的
相差多少人？
分析：本题实际上是求公差 解：这一等差数列的和是304，首项24，末项52， 先根据公式：和=（首项+末项）×项数÷2，求出 项数：304 ×2 ÷76=8，再根据 公式末项=首项 +(n-1) ×公差，求出公差52-24）÷7=4 练习：牛牛读一本550页的故事书，第一天读了30 页，最后一天读 70页，每天读的页数刚好构成等 差数列。那么每一天比前一天多读几页？
【例题2】一个等差数列的第4项为21，第6项 为33。求它的第8项。
【思路导航】 步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。 步骤二：公差=（33-21）÷2=6，首项=21-3×6=45 步骤三：第8项=3+（8-1）×6=45。
【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差， 是解此类等差数列问题的一种方法。
【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之 间差是定值。
点兵点将，对号入座 【例题1】在数列5,9,13,17…145中，问 （1）这个数列中第20个数是多少？ （2）85是这个数列的第几个数？ （3）这个数列一共有几项？ （4）将数列中所的数加起来，和是多少？ 解1）根据通项公式知：a20=5+（20-1）×4=81 （2）根据项数公式可知n=(85-5) ÷ 4+1=21