量子力学习题答案.
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2.1 如图所示
左右
0 x
设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形
此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为
其中
其解分别为
（1）粒子从左向右运动
右边只有透射波无反射波，所以为零
由波函数的连续性
得
得
解得
由概率流密度公式
入射
反射系数
透射系数
（2）粒子从右向左运动
左边只有透射波无反射波，所以为零
同理可得两个方程
解
反射系数
透射系数
（二）的情形
令
,不变
此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为
其解分别为
由在右边波函数的有界性得为零
（1）粒子从左向右运动
得
得
解得
入射
反射系数
透射系数
(2)粒子从右向左运动
左边只有透射波无反射波，所以为零
同理可得方程
由于全部透射过去，所以
反射系数
透射系数
2.2
如图所示
在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为
总透射系数
2.3
以势阱底为零势能参考点，如图所示
（1）
∞
∞
左中右
0 a x
显然
时只有中间有值
在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
其解是
由波函数连续性条件得
∴
∴
相应的
因为正负号不影响其幅度特性可直接写成
由波函数归一化条件得
所以波函数
（2）
∞∞
左中右
0 x
显然
时只有中间有值
在中间区域所满足的定态薛定谔方程为
其解是
由波函数连续性条件得
当，为任意整数，
则
当，为任意整数，
则
综合得
∴
当时，，
波函数
归一化后
当时，，
波函数
归一化后
2.4
如图所示∞
左
0 a
显然
在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中
其解为
由在右边波函数的有界性得为零
∴
再由连续性条件，即由
得
则
得
得
除以得
再由公式 ,注意到
令
,
其中 ， 不同n 对应不同曲
线,
图中只画出了在
的取值范围之内的部分
6 5
只能取限定的离散的几个值，则E 也取限定的离散的几个值，
对每个E ，
确定
归一化条件得
2.5
则该一维谐振子的波函数的定态薛定谔方程为
令
则上式可化成
令
则
只有当
有解
2.6
由
和已知条件可得
第三章
3.1
能量本征值方程为
即
分离变量法，令
则有
令
则
同理
令
则
式中
能级简并度为
3.2
角动量算符
在极坐标系下
则
由能量本征值方程
令
其解为
由周期性
得
归一化条件
则
3.4
由能量本征值方程
令
当
令 此时 满足的方程为
时
时
只考虑
时
令
其解分别为
由波函数有界性
得
由波函数连续性
得
再由公式
,注意到
令
,
其中 ， 不同n 对应不同曲
线,
图中只画出了在的取值范围之内的部分
6 5
只能取限定的离散的几个值，则E也取限定的离散的几个值，
对每个E，确定
归一化条件得 1 可求
得
3.5
同理
方差算符
则
由测不准关系
代入，验证该式是成立的
第四章
4.1
在动量表象中，
则
代入
得
令
得
则
归一化后的
4.5
本征方程的矩阵形式
上式存在非零解的条件是
即
解得
当
再由
得
当
，同样
第六章
6.3
解：在
z
Sˆ表象，
n
Sˆ的矩阵元为
γ
β
αcos
1
1
2
cos
2
cos
1
1
2
ˆ
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
+
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-
+
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
i
i
S
n
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
+
-
=
γ
β
α
β
α
γ
cos
cos
cos
cos
cos
cos
2i
i
S
n
其相应的久期方程为
cos
2
)
cos
(cos
2
)
cos
(cos
2
cos
2=
-
-
+
-
-
λ
γ
β
α
β
α
λ
γ
i
i
即0
)
cos
(cos
4
cos
4
2
2
2
2
2
2=
+
-
-β
α
γ
λ
4
2
2=
-
λ)1
cos
cos
cos
(2
2
2=
+
+γ
β
α
利用
⇒
2
±
=
λ
所以
n
Sˆ的本征值为
2
±。
设对应于
2
=
n
S的本征函数的矩阵表示为⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
b
a
S
n
)
(
2
1
χ，
则
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
+
-
b
a
b
a
i
i
2
cos
cos
cos
cos
cos
cos
2
γ
β
α
β
α
γ
b
b
i
a=
-
+
⇒γ
β
αcos
)
cos
(cos
γ
β
α
cos
1
cos
cos
+
+
=
i
b
由归一化条件，得
2
2
*
*)
,
(
1
2
1
2
1b
a
b
a
b
a+
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=+χ
χ
1
cos
1
cos
cos2
2
2=
+
+
+a
i
a
γ
β
α
1
cos
1
22
=
+
a
γ
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
+
=
)
cos
1(2
cos
cos
1
cos
1
)
(
2
1
γ
β
α
γ
χ
i
S
n