高二年级期末考试数学试卷汇总

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2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．椭圆y 22+x 2=1的焦点坐标为（） A ．（﹣1，0），（1，0）B ．（0，﹣1），（0，1）C ．（−√3，0），（√3，0）D ．(0，−√3)，(0，√3) 2．抛物线y 2＝x 的准线方程是（）A ．x =−12B ．x =−14C ．y =−12D ．y =−143．直线3x +√3y +1=0的倾斜角为（）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°4．已知点P 与A （0，2），B （﹣1，0）共线，则点P 的坐标可以为（）A ．（1，﹣1）B ．（1，4）C ．(−12，−1)D ．（﹣2，1） 5．已知P 为椭圆C ：x 24+y 2b 2=1上的动点，A （﹣1，0），B （1，0），且|P A |+|PB |＝4，则b 2＝（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，则“CB ⊥BB 1”是“CB ⊥AB “的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，点P （﹣2，3，1）到x 轴的距离为（）A ．2B ．3C ．√5D ．√10 8．已知双曲线C ：x 2−y 2b 2=1的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F ，以A 1F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点P ，Q ．若线段PF 的垂直平分线过A 2，则b 2的数值为（）A ．3B ．4C ．8D ．910．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且∠A ＝60°，E ，F 分别为棱AB ，DC 中点．将△BCF 和△ADE 分别沿BF ，DE 折叠，若满足AC ∥平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A ．[√3，2√3）B ．[√3，2√3]C ．[2，2√3)D ．[2，2√3]二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．43．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（） A ．14B ．12C ．2D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（） A ．√2B ．2C ．2√2D ．46．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（） A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：x 2m−1+y 2=m ，则下列说法正确的有（）A ．若m ＞1，则C 是椭圆B ．若m ＞2，则C 是椭圆C ．若m ＜0，则C 是双曲线D ．若m ＜1，则C 是双曲线10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝pa n +q （p ，q ∈R ，n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法正确的有（）A ．若p ＝﹣1，q ＝3，则a 10＝2B ．若p ＝﹣1，q ＝3，则S 10＝30C ．若p ＝2，q ＝1，则a 10＝1024D ．若p ＝2，q ＝1，则S 10＝203611．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π412．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为． 16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）．（1）求{a n }的通项公式；（2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3．（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）．（1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在平面直角坐标系中，直线l ：x +√3y +1＝0的倾斜角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：由于直线l ：x +√3y +1＝0的斜率为−√33，故它的倾斜角为5π6，故选：D ．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24−y 2=1的左焦点为F ，点A 在C 的右支上，A 关于O的对称点为B ，则|AF |﹣|BF |＝（） A ．−2√5B ．2√5C ．﹣4D ．4解：设双曲线C 的右焦点为F '，由双曲线的对称性可知，|BF |＝|AF '|，所以由双曲线的定义知|AF |﹣|BF |＝|AF |﹣|AF '|＝2a ＝4．故选：D ．3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面；对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面；故选：C ．4．已知{a n }是等比数列，若a 2a 4＝a 3，a 4a 5＝8，则a 1＝（） A ．14B ．12C ．2D ．4解：根据题意，{a n }是等比数列，设其公比为q ，若a 2a 4＝a 3，则有a 32=a 3，又由a 3＞0，则a 3＝1，又由a 4a 5＝8，则（a 3q ）（a 3q 2）＝q 3＝8，解可得q ＝2，所以a 1=a 3q 2=14．故选：A ．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：mx +y ﹣m ＝0被圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0截得的最短弦的长度为（） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：直线l ：mx +y ﹣m ＝0过定点A （1，0），圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0化为圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，可知圆的圆心M （2，1），半径R ＝2，因为点A （1，0）在圆M 内，如图，由圆的几何性质可知，当AM ⊥直线l 时，弦长最短为2√R 2−|MA|2=2√4−2=2√2．故选：C ．6．已知平面α＝{P |n →•P 0P →=0}，其中点P 0（1，2，3），法向量n →=（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）解：对于A ，P 0P →=（2，0，﹣2），n →⋅P 0P →=1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A 在平面α内；对于B ，P 0P →=（﹣3，3，1），n →⋅P 0P →=1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B 不在平面α内；对于C ，P 0P →=（﹣4，2，2），n →⋅P 0P →=1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C 在平面α内；对于D ，P 0P →=（1，﹣6，5），n →⋅P 0P →=1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D 在平面α内．故选：B ．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知一动圆P 经过A （﹣1，0），且与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9相切，则圆心P 的轨迹是（）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解：根据题意，可知点A （﹣1，0）位于圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝9的内部，所以圆P 与圆C 内切，且圆P 在圆C 的内部，作出圆C 过切点Q 的半径CQ ，则根据两圆内切的关系，得到点P 在CQ 上，因为QC ＝PQ +PC ＝3，且P A ＝PQ ，所以P A +PC ＝3，根据AP +PC ＝3＞AC ＝2，可知点P 轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆．故选：B ．8．2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以O 为圆心、R 1为半径的圆，轨道Ⅰ是以M 为圆心、R 2为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的A 点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在C 点着陆．已知直线AC 经过O ，M ，与圆O 交于另一点B ，与圆M 交于另一点D ，若O 恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且R 1R 2=35，AB ＝3CD ，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（）A ．13B ．23C ．25D ．35解：不妨设R 1＝3，R 2＝5，CD ＝m ，则AB ＝3m ，MB ＝R 2﹣AB ＝5﹣3m ，OM ＝R 1﹣MB ＝3m ﹣2，所以MD ＝R 2＝OM +OC +CD ＝3m ﹣2+R 1+m ＝4m +1＝5⇒m ＝1，所以a ﹣c ＝OC ＝R 1＝3①，2a ＝AC ＝MA +OM +OC ＝R 2+3m ﹣2+R 1＝9②，联立①②解得a=92，c=32，所以椭圆离心率e=ca=13．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x2m−1+y2=m，则下列说法正确的有（）A．若m＞1，则C是椭圆B．若m＞2，则C是椭圆C．若m＜0，则C是双曲线D．若m＜1，则C是双曲线解：当m＞1时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，若m＝2，曲线为圆，故A错误；当m＞2时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，曲线为椭圆，故B正确；当m＜0时，曲线C：x2m−1+y2=m化为x2m(m−1)+y2m=1，此时m（m﹣1）＞0，m＜0，曲线为双曲线，故C正确；当m＜1时，若m＝0，曲线C：x2m−1+y2=m化为y2﹣x2＝0，即y＝±x，曲线为两条直线，故D错误．故选：BC．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝pa n+q（p，q∈R，n∈N*），设{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的有（）A．若p＝﹣1，q＝3，则a10＝2B．若p＝﹣1，q＝3，则S10＝30C．若p＝2，q＝1，则a10＝1024D．若p＝2，q＝1，则S10＝2036解：对于选项AB，若p＝﹣1，q＝3，则a n+1+a n＝3，a n+2+a n+1＝3，两式相减可得a n+2＝a n，∴{a n}为周期2的周期数列，a1＝1，a2＝2，则a10＝a2＝2，故A正确；S10＝5（a1+a2）＝5×3＝15，故B错误；对于CD，若p＝2，q＝1，则a n+1＝2a n+1，可得a n+1+1＝2（a n+1），∵a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2n，则a n=2n−1，∴a10=210−1=1023，故C错误；S10=2(1−210)1−2−10=2036，故D正确．故选：AD．11．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60°，E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，则（）A ．A 1E ⊥BDB ．A 1E ⊥平面BDD 1B 1C ．BD 1=√2D ．直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠BAD ＝60°， E 为棱CC 1上一点，且C 1E →=2EC →，对于A ，由题意知△A 1AB ≌△A 1AD ，∴A 1D ＝A 1B ，设AC ∩BD ＝O ，O 为BD 中点，连接A 1O ，则A 1O ⊥BD ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1ACC 1， ∵A 1E ⊂平面A 1ACC 1，∴A 1E ⊥BD ，故A 正确；对于B ，∵A 1E →=−23AA 1→+AB →+AD →，∴A 1E →⋅AA 1→=(−23AA 1→+AB →+AD →)⋅AA 1→−23AA 1→2+AB →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→=−23+12+12=13≠0，∴A 1E →与AA 1→不垂直，即A 1E →与BB 1→不垂直，∴A 1E 与平面BDD 1B 1不垂直，故B 错误；对于C ，BD 1→=BA →+AA 1→+A 1D 1→=−AB →+AA 1→+AD →， ∴|BD 1→|2=|−AB →+AA 1→+AD →|2=(AB →)2+(AA 1→)2+(AD →)2−2AB →⋅AA 1→−2AB →⋅AD →+2AA →1⋅AD →=3−2×12−2×12+2×12=2⇒BD 1=√2，故C 正确对于D ，由A 知BD ⊥平面A 1ACC 1，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角即为直线BD 1与BD 所成角的余角， BD →=AD →−AB →，∵|BD →|=1，BD →⋅BD 1→=(AD →−AB →)⋅(−AB →+AA →1+AD →)=1 ∴|cos〈BD →，BD 1→〉|=|BD →⋅BD 1→|BD →|⋅|BD 1→||=11×√2=√22，∴直线BD 1与BD 所成角为π4，∴直线BD 1与平面ACC 1A 1所成角为π4，故D 正确．故选：ACD ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，点A ，B 为C 上异于O 不同两点，故OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，T 是C 的准线与x 轴的交点．若k 1k 2＝﹣4，则（） A ．以AB 为直径的圆与C 的准线相切 B ．存在k 1，k 2，使得|AB |=52C ．△AOB 面积的最小值为34D ．|AF||BF|=|AT||BT|解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），p ＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1k 2=y 1y 2x 1x 2=4y 1y 2=−4，得：y 1y 2=−1=−p 2，故直线AB 过焦点F ，点T 和点F 重合，选项D 正确；由抛物线的性质得|AF |＝x 1+12，|BF |＝x 2+12，|AB |＝x 1+x 2+1，线段AB 的中点M 到准线的距离为|AF|+|BF|2=x 1+x 2+12=|AB|2，所以以AB 为直径的圆与C 的准线相切，选项A 正确； |AB |≥2p ＝2，故选项B 正确；设直线AB 的倾斜角为θ，则S △AOB =p 22sinθ=12sinθ≥12，选项C 错误．（或当AB 为通径时，S △AOB =p 22=12＜34，故选项C 错误）．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知菱形ABCD 的边长为2，一个内角为60°，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，以A ，C 为焦点的椭圆Γ经过B ，D 两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： x 24+y 2=1（答案不唯一）．解：根据题意，顶点A ，B ，C ，D 均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点，如图：假设A 、C 在x 轴上，B 、D 在y 轴上，∠BCD ＝60°，由菱形的性质，∠BCA ＝30°，又由菱形ABCD 的边长为2，则OB ＝1，则BC ＝2，OC =√3，即b ＝1，c =√3，则a 2＝b 2+c 2＝4，故该椭圆的一个方程为x 24+y 2=1．故答案为：x 24+y 2=1（答案不唯一）．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （2，2），记抛物线C ：y 2＝4x 上的动点P 到准线的距离为d ，则d ﹣|P A |的最大值为 √5 ．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F （1，0），由抛物线的定义知d ＝|PF |，所以d ﹣|P A |＝|PF |﹣|P A |≤|AF |=√(2−1)2+(2−0)2=√5，当点P 位于射线F A 与抛物线交点时，取最大值√5．答案为：√5．15．已知圆台的高为2，上底面圆O 1的半径为2，下底面圆O 2的半径为4，A ，B 两点分别在圆O 1、圆O 2上，若向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，则直线AB 与直线O 1O 2所成角的大小为 π3．解：作出示意图形，如下图所示，向量O 1A →与向量O 2B →的夹角为60°，结合O 1A ∥O 2C ，得∠BO 2C ＝60°，所以△BO 2C 为等边三角形，设点A 在圆O 2所在平面内的射影为D ，连接AD 、BD ，则AD 与O 1O 2平行且相等，且D 为O 2C 中点，∠BAD （或其补角）就是异面直线AB 与直线O 1O 2所成角， Rt △BCD 中，BD =√42−22=2√3，在Rt △ADB 中，AD ＝O 1O 2＝2，得tan ∠BAD =BD AD =√3，所以∠BAD =π3，即直线AB 与直线O 1O 2所成角为π3．故答案为：π3．16．函数y ＝[x ]被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x ]为不超过实数x 的最大整数，例如：[﹣1]＝﹣1，[4.2]＝4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[log 2（2n +1）]，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n ≤300的最大正整数n 的值为 59 ．解：a n ＝[log 2（2n +1）]，可得a 2k−1=[log 2（2k +1）]＝k ，a 2k =[log 2(2k+1+1)]=k +1，故2k ﹣1≤n ＜2k 时，a n ＝k ，共2k ﹣2k ﹣1＝2k﹣1项，其和为k •2k ﹣1＝（k ﹣1）•2k ﹣（k ﹣2）•2k ﹣1，S 2k −1=0⋅21−(−1)⋅20+1⋅22−0⋅21+⋅⋅⋅+(k −1)⋅2k −(k −2)⋅2k−1=(k −1)⋅2k +1，则S 63＝（6﹣1）×26+1＝321＞300，又32≤n ≤63时，a n ＝6，故S 60＝303，S 59＝297，因此，所求正整数n 的最大值为59．故答案为：59．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 为平行四边形，A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1）．（1）设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于直线CD ，求l 的方程；（2）求以点C 为圆心、与直线BD 相切的圆的标准方程．解：（1）根据B （2，0），D （0，1），可得BD 的中点为E(1，12)．由A （﹣1，﹣1）、B （2，0），得k AB =0+12+1=13，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，得k CD =k AB =13，而直线l ⊥CD ，可知直线l 的斜率为−113=−3，所以直线l 的方程为y −12=−3(x −1)，整理得6x +2y ﹣7＝0．（2）设C （m ，n ），根据A （﹣1，﹣1），B （2，0），D （0，1），可得BC →=(m −2，n)，AD →=(1，2)，结合BC →=AD →，得{m −2=1n =2，，m ＝3，n ＝2，即C （3，2），根据k BD =1−00−2=−12，k BC =2−03−2=2，得k BD •k BC ＝﹣1，即BC ⊥BD ，所以点C 到BD 的距离为BC =√(3−2)2+(2−0)2=√5，因此，以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝（2n +1）a n +1（n ∈N *）．（1）求{a n }的通项公式；（2）记b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）因为4S n ＝（2n +1）a n +1．令n ＝1得a 1＝1，因为4S n ＝（2n +1）a n +1，所以4S n ﹣1＝（2n ﹣1）a n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得4a n ＝（2n +1）a n ﹣（2n ﹣1）a n ﹣1（n ≥2），即（2n ﹣3）a n ＝（2n ﹣1）a n ﹣1．所以a n a n−1=2n−12n−3（n ≥2），所以a 2a 1⋅a 3a 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a n a n−1=31⋅53⋅⋅⋅2n−12n−3，即a na 1=2n −1，所以当n ≥2时，a n ＝2n ﹣1，又a 1＝1，所以a n ＝2n ﹣1．（2）由（1）可得b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =12[(11−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点（不含端点），且AF ＝BE ，B 1F ⊥C 1E ．（1）求该直三棱柱的高；（2）当三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大时，求平面A 1EF 与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．解：（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵∠BAC ＝90°，∴AB ，AC ，AA 1两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AB ＝AC ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），设AA 1＝a （a ＞0），则A 1（0，0，a ），B 1（2，0，a ），C 1（0，2，a ），设AF ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），则E （2﹣λ，0，0），F （0，λ，0）， ∴B 1F →=(−2，λ，−a)，C 1E →=(2−λ，−2，−a)，∵B 1F ⊥C 1E ，∴B 1F →⋅C 1E →=0，即2λ﹣4﹣2λ+a 2＝0，解得：a ＝2，即该直三棱柱的高为2；（2）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，有AA 1⊥平面AEF ，又∠BAC ＝90°，由（1）知AA 1＝2，AE ＝BE ＝λ（0＜λ＜2），∴V A 1−AEF =13S △AEF ⋅AA 1=13λ⋅(2−λ)≤13，当且仅当λ＝1时取“＝”，即点E ，F 分别为线段AB ，AC 的中点时，三棱锥A 1﹣AEF 的体积最大，此时E （1，0，0），F （0，1，0），A 1（0，0，2）， ∴A 1E →=(1，0，−2)，A 1F →=(0，1，−2)，设平面A 1EF 的法向量为n 1→=(x ，y ，z)，则{A 1E →⋅n 1→=0A 1F →⋅m 1→=0，即{x −2z =0y −2z =0，取z ＝1，则n 1→=(2，2，1)，又平面ACC 1A 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，所以|cos〈n 1→，n 2→〉|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=23×1=23，因为平面A 1EF 与平面ACC 1A 1的夹角θ为锐角，所以cosθ=23．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为4√3．（1）求C 的标准方程；（2）若斜率为12的直线l （不过原点O ）交C 于A ，B 两点，点O 关于l 的对称点P 在C 上，求四边形OAPB 的面积．解：（1）由题意2c =4√3，所以c =2√3=√a 2−b 2，又因为a ＝2b ，所以a ＝4，b ＝2，所以C 的标准方程为x 216+y 24=1．（2）设直线l ：y =12x +m （m ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3）．将y =12x +m 代入C ：x 216+y 24=1中，化简整理得x 2+2mx +2m 2﹣8＝0，于是有{Δ=32−4m 2＞0，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−8，所以|AB|=√1+(12)2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−8)=√5√8−m 2，因为点O 关于l 的对称点为P ，所以{y 3−0x 3−0=−2，y 3+02=12⋅x 3+02+m ，解得{x 3=−45my 3=85m，即P(−45m ，85m)，因为P 在C 上，所以(−45m)216+(85m)24=1，解得m 2=2517．又因为点O 到直线l 的距离d =|m|√1+(12)=2√5，所以由对称性得S 四边形OAPB =2S △OAB =|AB|⋅d =√5√8−m 2⋅√5=2|m|√8−m 2=25√17×√8−2517=1017√111．21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝a n +1+cos n π（n ∈N *）．（1）求a 2，a 3及{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 2＝2且b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1，b 2k +2＝3b 2k （k ∈N *），记{b n }的前n 项和为S n ，试求所有的正整数m ，使得S 2m ＝2S 2m ﹣1成立．解：（1）将n ＝2，3代入a n +1＝a n +1+cos n π，得a 2＝1，a 3＝3，令n ＝2k ，2k ﹣1，得a 2k +1＝a 2k +2，a 2k ＝a 2k ﹣1，所以a 2k +1＝a 2k ﹣1+2，又a 1＝1，从而a 2k ﹣1＝1+2（k ﹣1）＝2k ﹣1，所以a 2k ＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，从而a n ={n ，n 为奇数，n −1，n 为偶数.；（2）：由b 2k ﹣1＝a 2k ﹣1＝2k ﹣1，又b 2＝2，b 2k +2＝3b 2k ，所以{b 2k }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以b 2k =2⋅3k−1，所以b n ={n ，n =2k −1(k ∈N ∗)，2⋅3n2−1，n =2k(k ∈N ∗)，因为S 2m ＝2S 2m ﹣1，所以b 2m ＝S 2m ﹣1．因为S 2m ﹣1＝b 1+b 2+•+b 2m ﹣1＝（b 1+b 3+•+b 2m ﹣1）+（b 2+b 4+•+b 2m ﹣2） =m(1+2m−1)2+2(3m−1−1)3−1=3m−1+m 2−1，所以2•3m ﹣1＝3m ﹣1+m 2﹣1，即3m ﹣1＝m 2﹣1当m ＝1时，3m ﹣1＝m 2﹣1无解；当m ＞1时，因为(m+1)2−13m−m 2−13m−1=−2m 2+2m+33m＜0，所以当且仅当m ＝2时，m 2−13m−1取最大值1，即3m ﹣1＝m 2﹣1的解为m ＝2．综上所述，满足题意的m 的值为2．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2a 2+2=1的右焦点为F （2，0），左、右顶点分别为A 1，A 2，过F 且斜率不为0的直线l 与C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点，与C 的两条渐近线分别交于D 、E 两点（从左到右依次为P 、D 、E 、Q ），记以A 1A 2为直径的圆为圆O ．（1）当l 与圆O 相切时，求|DE |；（2）求证：直线A 1Q 与直线A 2P 的交点S 在圆O 内．解：（1）因为F （2，0），所以a 2+（a 2+2）＝4，所以a 2＝1，所以圆O 的半径r ＝1，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k （x ﹣2）（k ≠0），当l 与圆O 相切时，O 到l 的距离d ＝r ，即√1+k 2=1，解得k =±√33，由{y =k(x −2)，x 2−y 23=0，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2＝0，即2x 2+x ﹣1＝0，解得x D ＝﹣1，x E =12，所以|DE|=√1+k 2|x D −x E |=√3．（2）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =k(x −2)，x 2−y 23=1，得（k 2﹣3）x 2﹣4k 2x +4k 2+3＝0，此时k ≠0，Δ＞0，x 1x 2=4k 2+3k 2−3＜0，解得0＜k 2＜3，且{x 1+x 2=4k 2k 2−3=4+12k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3=4+15k 2−3，所以x 1x 2=54(x 1+x 2)−1，因为A 1（﹣1，0），A 2（1，0），所以A 1Q ：y =y 2x 2+1(x +1)，A 2P ：y =y1x 1−1(x −1)，联立A 1Q ，A 2P 方程，消去y 得x+1x−1=(x 2+1)y 1(x 1−1)y 2=k(x 2+1)(x 1−2)k(x 1−1)(x 2−2)=x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2．所以x 1x 2+x 1−2x 2−2x 1x 2−x 2−2x 1+2=54(x 1+x 2)−1+x 1−2x 2−254(x 1+x 2)−1−x 2−2x 1+2=94x 1−34x 2−3−34x 1+14x 2+1=−3，即x+1x−1=−3，所以x =12．将x=12代入A2P方程，得y=−y12(x1−1)，即S(12，−y12(x1−1))．因为x1＜﹣1，所以(−y12(x1−1))2=3(x12−1)4(x1−1)2=3(x1+1)4(x1−1)=34[1+2x1−1]∈(0，34)，所以(12)2+(−y12(x1−1))2＜1，即直线A1Q，A2P的交点S在圆O内．。

2023-2024学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知直线l 经过A （﹣1，0），B(0，√3)两点，则直线l 的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1＝﹣3a n ，S 3＝7，则a 1＝（） A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．33．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P （m ，n ）在抛物线C 上．若|PF |＝3，则m ＝（） A ．2B ．3C ．4D ．54．已知椭圆x 2m−3+y 27−m =1的焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（）A ．3＜m ＜7B ．3＜m ＜5C ．5＜m ＜7D ．m ＞35．如图，在四面体OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →．点M 在OC 上，且OM =12MC ，N 为AB 的中点，则MN →=（）A ．−12a →−12b →+13c →B ．−12a →−12b →−13c →C ．12a →+12b →+13c →D ．12a →+12b →−13c →6．已知椭圆C ：x 29+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上．若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为（） A ．2B ．4C ．8D ．97．月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼.1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为{a n }，其将满月等分成240份，a i （1≤i ≤15且i ∈N *）表示第i 天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的5240，即a 1＝5；第15天为满月，即a 15＝240．已知{a n }的第1项到第5项是公比为q 的等比数列，第5项到第15项是公差为d 的等差数列，且q ，d 均为正整数，则a 5＝（） A ．40B ．80C ．96D ．1128．已知点P 在由直线y ＝x +3，y ＝5和x ＝﹣1所围成的区域内（含边界）运动，点Q 在x 轴上运动．设点T （4，1），则|QP |+|QT |的最小值为（） A ．√30B ．4√2C ．√34D ．2√109．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱A 1D 1的中点，F 为棱AA 1上一动点．给出下列四个结论：①存在点F ，使得EF ∥平面ABC 1； ②直线EF 与BC 1所成角的最大值为π2；③点A 1到平面ABC 1的距离为√2； ④点A 1到直线AC 1的距离为2√63．其中所有正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．过双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 引圆x 2+y 2＝a 2的切线，切点为P ，延长FP 交双曲线C 的左支于点Q ．若QP →=2PF →，则双曲线C 的离心率为（） A ．√415B ．√133 C ．53D ．√132二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

2023-2024学年北京市房山区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市房山区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（﹣1，√3），则z 的共轭复数z =（） A ．1+√3iB ．1−√3iC ．﹣1+√3iD ．﹣1−√3i2．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为棱B 1C 1的中点．设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →，用基底{a →，b →，c →}表示向量AD →，则AD →=（）A ．12a →+12b →+c →B ．a →+b →+c →C ．12a →−12b →+c →D ．−12a →+12b →+c →3．两条直线l 1：x ﹣2y ﹣4＝0与l 2：x ﹣2y +1＝0之间的距离是（） A ．5B ．1C ．√5D ．3√554．设直线l 的方向向量为a →，两个不同的平面α，β的法向量分别为n →，m →，则下列说法中错误的是（） A ．若n →⊥m →，则α⊥β B ．若n →∥m →，则α∥βC ．若a →∥n →，则l ⊥αD ．若a →⊥n →，则l ∥α5．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2AB ，P A ⊥平面ABCD ，下列叙述中错误的是（）A ．AB ∥平面PCD B ．PB ⊥BCC ．PC ⊥BDD ．平面P AD ⊥平面ABCD6．已知M 为抛物线C ：x 2＝﹣2py （p ＞0）上一点，M 到C 的焦点F 的距离为6，到x 轴的距离为4，则p ＝（）A ．6B ．4C ．2D ．17．下列双曲线中以y ＝±2x 为渐近线的是（） A ．x 2−y 24=1B ．x 24−y 2=1C ．y 2−x 23=1 D ．y 2−x 24=1 8．已知点A （﹣1，0），B （1，0）．若直线y ＝kx ﹣2上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则实数k 的取值范围是（） A ．（﹣∞，−√3] B ．[3，+∞）C ．[−√3，3]D ．(−∞，−√3]∪[√3，+∞)9．已知双曲线Q 与椭圆E ：x 225+y 221=1有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为（） A ．x 23−y 2=1 B ．x 29−y 25=1C ．x 2−y 23=1 D ．y 2−x 23=1 10．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1C 1的中点，Q 为线段BC 1上的动点，则下列结论正确的是（）A ．存在点Q ，使得PQ ∥BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面AB 1C 1D C ．三棱锥Q ﹣APD 的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷

20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷1.若集合，，则集合B的真子集个数为（）A．5B．6C．7D．82.已知向量，，若，则（）A．B．C．D．3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A．B．C．D．44.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）A．8B．12C．18D．726.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A．平均数B．中位数C．极差D．众数7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（）A．B．C．D．8.函数的零点个数是（）A．8B．6C．4D．29.如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．直线和所成的角为B．四面体的体积是C．点到平面的距离为D．平面与平面所成二面角的正弦值为10.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（）A．B．C．D．11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（）A．服从超几何分布B．服从二项分布C．D．若，则12.已知函数，则__________.13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法．14.若不等式恒成立，则的最小值为______________________．15.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据：036912151821242 1.51 1.52 1.51 1.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式；(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？16.在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.(1)求证：平面；(2)已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.(1)记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.①已知，证明；②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.18.已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量.(1)若，求的坐标；(2)若，求的坐标（用表示）；(3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.19.设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；(2)已知函数恰有两个零点.（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；（ii）求的取值范围.。

2023-2024学年甘肃省高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线23x−2y−1=0的倾斜角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a5=10，则S8=( )A. 10B. 20C. 30D. 403.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，O为原点，点M在抛物线C上，且|MF|=5，则△OMF的周长为( )A. 6+42B. 7+42C. 10D. 114.有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为( )A. 10种B. 20种C. 30种D. 40种5.《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为( )A. 1尺B. 1.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺6.若直线(3a+2)x+ay+6=0和直线ax−y+3=0平行，则( )A. a=0或a=−13B. a=−1或a=−2C. a=−1D. a=−27.已知圆C：(x+1)2+y2=2，点P在直线l：x−y−3=0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是( )A. |PA|的最小值为2B. |PA|最小时，弦AB长为6C. |PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为−1D. 四边形PACB的面积最小值为38.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点M，使得∠MF2F1=3∠MF1F2≠0，则双曲线C渐近线斜率的取值范围为( )A. (2,2)B. (1,3)C. (1,3]D. (−3,−1)∪(1,3)二、多选题：本题共4小题，共20分。

东北师大附中2024年高二下学期期末考试数学试卷(含答案解析)

东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}52. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（） A. 48B. 24C. 12D. 83. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（） A. 12−B. 13−C 12−或13−D. 1−或13−4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤D. {2λλ≤−或}2λ≥5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（） A.12B. 1C. 2D. 2−6. 已知各项均为正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =.的（） A. 511B. 61C. 41D. 97. 已知函数(1)y f x =+是定义在R 上偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（）的A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间和极值.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−..的19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2mB x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}5【答案】C 【解析】【分析】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，再运用集合的交集即可. 【详解】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，则集合{|2x x >或0}x <，又{}0,1,2,3,5A =， ∴ {}3,5A B = . 故选：C.2. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（） A. 48 B. 24C. 12D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用韦达定理确定258a a +=，根据等差数列性质有25168a a a a +=+=，在应用等差数列前n 项和公式即可求解..【详解】因为2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，所以258a a +=，又因为{}n a 是等差数列，根据等差数列的性质有：25168a a a a +=+=，设{}n a 的前6项和为6S ，则()166638242a a S +×==×=.故选：B3. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（）A. 12−B. 13−C. 12−或13−D. 1−或13−【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可.【详解】()2213y x a x =+−−，则图像开口向上，对称轴为直线122ax −=. 当1212a −≤时，即12a ≥−，3x =时有最大值1,即9(21)331a +−×−=，解得13a =−；当1212a−≥时，即12a ≤−，=1x −时有最大值1,即1(21)(1)31a +−×−−=，得1a =−；故1a =−或13a =−.故选：D ．4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤ D. {2λλ≤−或}2λ≥【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得p ¬为真命题，再参变分离求解即可．【详解】由题意，p 为假命题，故p ¬为真命题，故()20,,10x x x λ∀∈+∞−+≥﹐故()10,,x x xλ∀∈+∞≤+，又当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以λ的取值范围是{}2|λλ≤ 故选：A ．5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（） A.12B. 1C. 2D. 2−【答案】C 【解析】【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解. 【详解】因为x R ∈，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B x a x=≥，又p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，当0a =时，集合{}100B xx x x=≥=>，满足题意；当>0a 时，集合110Bx a x x x a=≥=<≤ ，此时需满足11a ≥即01a <≤；当0a <时，集合()11,0,B xa x a ∞∞ =≥=−∪+，满足题意；所以实数a 的取值范围为(],1−∞. 所以实数a 的取值不可能是2. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合.6. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =（） A. 511B. 61C. 41D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用对数运算法则可求得12nn n a a +=，即可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果.【详解】由1lg lg lg 2n n n a a ++=可得1lg lg 2nn n a a +=，即12nn n a a +=，所以1122n n n a a +++=，两式相除可得22n na a +=；即356413242a a a a a a a a =⋅==⋅⋅==，由11a =可得22a =，因此数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，公比为2的等比数列，偶数项是以22a =为首项，公比为2的等比数列，所以()()91239139248S a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()54112212611212×−×−=+=−−.故选：B7. 已知函数(1)y f x =+R 上的偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =【答案】D 【解析】【分析】函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，可知()f x 对称轴为1x =，又2()31)(f x f x ++−=可推出周期为4，根据函数的对称性和周期性即可判断正误.【详解】解：因为函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()f x 关于1x =对称，则(1)(1)f x f x −=+，又2()31)(f x f x ++−=，所以2(1)3)(f f x x +++=，即()()()()()22,422f x f x f x f x f x +=−++=−++=，函数()f x 的周期为4，取0x =，则()()()()(0)2222201f f f f f ⇒=+===，所以()()401f f ==，则D 选项正确，B 、C 选项错误；由已知条件不能确定()1f 的值，A 选项错误；故选：D. 8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e【答案】A 【解析】【分析】首先利用导数求出两个最小值，从而得到1a =，再代入得12ln x x =，化简得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数()21ln (0)th t t t+=>，利用导数求解其最大值即可. 【详解】依题意，()()2e x f x x ′=+，可知<2x −时，()0f x ′<，此时()f x 单调递减；2x >−时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；则2x =−时，()f x 取得极小值()212ef −=−，也即为最小值；又()1ln 1,0ea g x x a x −−′=++<<时，()0g x ′<，此时()f x 单调递减；1e a x −−>时，()0g x ′>，此时()f x 单调递增；则1e a x −−=时，()g x 取得极小值()11e ea a g −−−−=−，也即为()g x 最小值.由121e ea −−−=−，解得1a =. 因为()()12(0)f x g x t t ==>，所以()()11221e ln 1(0)xx x x t t +=+=>，可知1211,e x x >−>，且12ln x x =，所以()()2222212221ln 1ln 1ln 1ln 1t t tt x x x x +++==++，令()21ln (0)t h t t t +=>，则()312ln t h t t −−=′，当()120e ,0t h t −<′<>，此时()f x 单调递增；当()12e ,0t h t −>′<，此时()f x 单调递减；故12e t −=时，()h t 取极大值12ee 2h − = ，也即为最大值.故选：A .【点睛】关键点点点睛：本题的关键是通过导数求出两函数最小值，从而解出1a =，再代入减少变量得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数，利用导数求出其最大值即可. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上单调递增函数【答案】ACD 【解析】【分析】对选项A ，利用奇函数的定义即可判断A 正确，对选项B ，根据()00f =即可判断B 错误，对选项C ，令()0xxf x a a−==−求解即可判断C 正确，对选项D ，根据指数函数单调性即可判断D 正确.【详解】函数()1xx x x f x a a a a − =−=−，对选项A ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，()()xxf x a a f x −−=−=−，所以函数()f x 是奇函数，故A 正确. 对选项B ，()000f a a ==−，故B 错误.对选项C ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，令()0xxf x a a−==−，解得0x =，为故C 正确.对选项D ，当1a >时，101a <<，所以x y a =和1xy a=−在R 上为增函数，所以函数()1xxf x a a=−在R 上为单调递增函数，故D 正确.故选：ACD10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，结合已知可得()0g x ′>，即可判断A ；将已知条件化为2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，再令()e ()x h x xf x =−并应用导数研究单调性得()(1)e (1)h x h f ≥=−，进而判断B 、C 、D.【详解】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，则e ()()()0xg x f x xf x x′′=+=>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，则(π)(e)π(π)e π((e π)(e))e f g f f g f >>⇒>⇒，A 对；由题设2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，令()e ()x h x xf x =−，则1()e ()()e (1)x xh x f x xf x x′′=−−=−，当01x <<时()0h x ′<，即()h x 递减；当1x >时()0h x ′>，即()h x 递增；所以()(1)e (1)h x h f ≥=−，若2e (2)2f =，则2(2)e 2(2)0(1)h f h =−=>，所以(1,2)上2()()0h x f x x′=<，()f x 递减；(2,)+∞上2()()0h x f x x ′=>，()f x 递增；故2x =为()f x 的极值点，B 对；若(1)e f =，则()0h x ≥，即()0f x ′≥，故()f x 在(0,)+∞上递增，故1x =不是()f x 的极值点，C 错；若(1)e f <，则()0h x >，即()0f x ′>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，D 对. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于B 、C 、D ，由2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，并构造()e ()x h x xf x =−且应用导数研究其单调性和极值为关键.11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（）A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C. ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得到n a ，1n a +的关系式，选项A ，将式子变形，可判断数列{}n a 的增减性；选项B ，利用递推关系式得到1n a −与11n a +−同号，结合112a =即可判断；选项C ，将式子变形，利用B 中的结论即可判断；选项D ，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和，然后结合递推关系式即可求解．【详解】由题意知211n n n a a a +=−+，选项A ：所以()2110n n n a a a +−=−≥，故1n n a a +≥，若存在1n n a a +=，则有()2110n n n a a a +−=−=，即存在1n a =，当1n =时，11a =，与112a =矛盾，当2n ≥时，由211n n n a a a +=−+得2111n n n a a a −−=−+，若1n a =，有2110n n a a −−−=，则10n a −=或11n a −=，若10n a −=与112a =且1n n a a +≥矛盾；若1n a =时有11n a −=，递推可得11a =，与112a =矛盾，综上，不存在1n n a a +=，所以1n n a a +>，故数列{}n a 递增，故A 正确．选项B ：数列{}n a 递增，112a =，故12n a ≥，故()2111n n n n n a a a a a +=−−=−，所以1n a −与11n a +−同号，因11102a −=−<，所以10n a −<，即1n a <．综上，112n a ≤<，故B 正确．选项C ：由选项B 知112n a ≤<，所以()()2211212112312102n n n n n n n n n a a a a a a a a a +−−=−+−−=−+=−−≤ ，即()1112n n a a +≤+，故C 错误．选项D ：由题意，2n n S T −可视为数列{}22n n a a −的前n 项和，因为2121n n n n a a a a +−=+−，所以()()()12231112111n n n n n S T a a a a a a n a a ++−=+−++−+++−=+− ，又{}n a 递增，所以110n a a +−<，故112n n n S T n a a n +−=+−<，即()12n n S T n <+，故D 正确．故选：ABD.【点睛】思路点睛：选项中的不等式，要通过已知条件进行构造，如C 选项需要构造121n n a a +−−的形式，并判断121n n a a +−−的符号；D 选项则需构造2n n S T −，比较2n n S T −与n 的大小关系，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和是解题关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 【答案】1200 【解析】【分析】根据等比数列片段和的性质分析求解.【详解】因为n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且30S ≠，为可知3S ，63S S −，96S S −，129S S −也成等比数列，又因为330S =,6120S =，则6333S S S −=，可得296303270S S −=×=，3129303810S S −=×=，所以96270390S S =+=，1298101200S S =+=. 故答案为：1200.13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式21m m −<，解出即可.【详解】因为0,0x y >>且3x y +=，则()14x y ++= 则()11111111214141y x x y x y x y x y+ +=+++=++ +++1214≥×+= ，当且仅当11y x x y+=+，即1,2x y ==时，等号成立，因为不等式2111m m x y +>−+恒成立，则21m m −<m <<，所以实数m的取值范围为.故答案为：.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．【答案】()(),42e,−∞−+∞ 【解析】【分析】当0x ≥时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到()2f x m=，根据函数图象得到102e m <<或1202m−<<，解得答案. 【详解】当0x ≥时，()exx f x =，()1e x xf x =′−，当[)0,1x ∈时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0f x ′≤，函数()f x 单调递减，且()11ef =，当0x <时， ()11e 2x f x +=−−，其图象可以由e x y =的图象向左平移一个单位，再向下平移12个单位，再把x 轴上方的图象翻折到x 轴下方得到，画出函数图象，如图所示：()()2g x mf x =−，当0m =时，()2g x =−，无零点；当0m ≠时，()()20g x mf x =−=，即()2f x m =，函数()g x 有两个零点，即函数()f x 与函数2y m=的图象有两个交点，根据图象知：102e m <<或1202m−<<，解得2e m >或4m <− 故实数m 的取值范围是()(),42e,∞∞−−∪+. 故答案为：()(),42e,∞∞−−∪+.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题是解题的关键，数形结合的思想.需要熟练掌握.四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）30e e x y −−=（2）答案见详解【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【小问1详解】因为()()1e x f x x =+，则()()()1e e 2e x x x f x x x =++=+′，可得()12e f =，()13e f ′=，即切点坐标为()1,2e ，斜率3e k =，所以切线方程为()2e3e 1y x −=−，即30e e x y −−=. 【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为R ，由（1）可知：()()2e xf x x +′=，令()0f x ′>，解得2x >−；令()0f x ′<，解得<2x −；所以函数()f x 的单调递减区间为(),2∞−−，单调递增区间为()2,∞−+，且函数()f x 的极小值为()212e f −=−，无极大值. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 【答案】（1）213na n =−（2）111−【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系求解即可；（2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】因为212nn S n =−，当1n =时，1111a S ==−；当2n ≥时，()()()122111221321n nn n n a S S n n n − ==−−−−=−−−；经检验：111a =−满足213n a n =−，所以213na n =−. 【小问2详解】由（1）得：()()1111112132112213211n n n b a a n n n n +===×− −−−−，所以11111111111112119979112111111T =−+−++−=−−=−−−−− . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21na n =− （2）()1133n n S n +=−⋅+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列通项公式列式解出1,a d ，即可得到答案；（2）由条件可得()()11233n n n n n b +−⋅−−⋅=，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，的则()1214561243427a a a d a a a a d +=+= ++=+= ，解得112a d = = ，所以()12121n a n n =+−=−. 【小问2详解】由（1）可知：()()()121333123nn n n nn n n b n a +=−⋅=−⋅−−⋅=⋅，则()()()()343110313023133331213n n n n n n S n ++=−−+×−+×−×+⋅⋅⋅−⋅−−⋅=−⋅++，所以()1133n n S n +=−⋅+.18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数求原函数的单调性；（2）根据题意利用导数分析原函数单调性和最值可得ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，()()12ln 21g x g ≤=−，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()e ′=−x f x a ，若0a ≤，则()e 0x f x a ′=−>对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，令()0f x ′>，解得ln x a >；令()0f x ′<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增；综上所述：若0a ≤，()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增. 【小问2详解】若e a =，则()e e xf x x =−，由（1）可知：()f x 在(),1∞−内单调递减，在()1,∞+内单调递增，所以()()10f x f ≥=，即e e 0x x −≥当且仅当1x =时，等号成立，因为()()0,e ,0,a x ∞∈∈+，则ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，即()0f x >；因为()2ln(1)g x x x =+−，则()21111xg x x x −=−=′++，且0x >，令()0g x ′>，解得01x <<；令()0g x ′<，解得1x >；可知()f x 在()1,∞+内单调递减，在()0,1内单调递增，可得()()12ln 21g x g ≤=−，即()12ln 2g x −≥−；所以FF (xx )=ff (xx )−gg (xx )>1−2ln 2. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos ,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.【答案】（1）证明见详解（2）(]0,2 （3）m b m =【解析】【分析】（1）令()()()π,0,4F x f x g x x=−∈，求导，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0F x >；（3）利用（1）中结论，cosπ2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos21nk k k =+∑，有()1π1cos21nk n n k k =−<<+∑，可得m b m =.【小问1详解】令()()()2πsin 2sin,0,24ax F x f x g x ax x x =−=−∈，若2a =，则()()22sin 2sin 2sin sin F x x x x x x x =−=−，又因为π04x <<，2sin 0x >．设()sin h x x x =−，π04x <<，则ℎ′(xx )=1−cos xx >0，可知()h 在π0,4上单调递增，可得()()00h x h >=，即()0F x >，所以()()f x g x >. 【小问2详解】因为()22sin1cos 22axg x ax ==−，由（1）可知：()sin cos 1F x ax x ax +−，π04x <<，原题意等价于()0F x >对任意π0,4x∈恒成立，则()()sin cos sin Fx a x x x ax −′=+，当02a <≤时，注意到π022ax x <≤<，则sin sin2ax x ≤，可得()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos F x a x x x x a x x x x x ′ ≥+−=−+− ，由（1）得sin 0x x −>，则()0F x ′>，可知()F x 在π0,4上单调递增，则()()00F x F >=，满足题意；当2a >时，令()()()sin cos sin x F x a x x x ax ϕ==+−′，π04x <<，则()()()222cos sin cos 2cos cos x a x x x a ax a a ax a ax a ϕ =−−<−=−′，因为201a <<，可知存在0,2a πθ ∈ ，使得2cos a a θ=，当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220x a a a ϕ < ′−=，可知()x ϕ在()0,θ上单调递减，则()()00x ϕϕ<=，即()0F x ′<在()0,θ上恒成立，可知()F x 在()0,θ上单调递减，则()()00F F θ<=，不合题意；综上所述：a 的取值范围为(]0,2．所以a 的取值范围为(]0,2.【小问3详解】由（1）可知2a =时，cos212sin 12x x x x >−>−，则cos π2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)=π�1kk −1kk+1�， 1n =时，()1πcos21n kk k ==+∑； 2n =时，()1πcos21n k k k =+∑ 3n ≥时，∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)≥√22+√6+√24+nn −2−π2�13−1nn+1�>nn −2+3√2+√6π， √2√6�2−202√12184>0，则√2√6�2>202，即200−>，π411066−>−−=>π16>，得∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)>nn −2+3√2+√64−π6>nn −1，又()1πcos21n k n k k =<+∑， 1n =时，01<<，2n =时，12<<，所以N n ∗∈时，都有()1π1cos 21n k n n k k =−<<+∑， ()*1πcos ,21n n n k A a a n k k = ==∈ +∑N ，则N n ∗∈时，集合A 在每个区间()1,n n −都有且只有一个元素，对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b，由2m m m −=，所以m b m =.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023-2024学年北京市通州区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市通州区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知等差数列{a n }，a 5＝10，a 9＝20，则a 1等于（） A ．﹣1 B ．0 C ．2 D ．52．已知P 为双曲线x 29−y 216=1右支上一点，F 1，F 2为双曲线的左右焦点，|PF 1|﹣|PF 2|等于（）A ．8B ．6C ．4D ．33．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，上下顶点为B 1，B 2，若四边形F 1B 1F 2B 2为正方形，则椭圆C 的离心率为（） A ．√2B ．√32C ．√22 D ．124．已知点A （x 0，y 0）在抛物线y 2＝4x 上，且点A 到抛物线准线的距离为3，则y 0等于（） A ．1B ．2C ．±2D ．±2√25．已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2√33，则C 的渐近线方程为（）A ．y =±√3xB ．y ＝±3xC ．y =±√33xD ．y =±13x6．已知数列{a n }，a 1＝1，a n +1﹣a n ＝2n ，则a 10等于（） A ．511B ．1022C ．1023D ．20477．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝10，公差d ＝﹣2，则（） A ．S n 有最大值为1214B ．S n 有最大值为814C ．S n 有最大值为30D ．S n 有最小值为308．已知首项为a 1，公比为q 的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，则“a 1＞0，q ＞1”是“S n 单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知双曲线C ：x 23−y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB面积是△F 2AB 面积的2倍，则m 等于（） A ．6B ．23C ．−23D ．﹣610．已知数列{a n }的通项公式为a n =1−2nn+1，给出下列四个结论： ①数列{a n }为单调递增数列，且存在常数m ≤﹣2，使得a n ＞m 恒成立；②数列{a n}为单调递减数列，且存在常数m≤﹣2，使得a n＞m恒成立；③数列{a n}为单调递增数列，且存在常数m＜0，使得a n≤m恒成立；④数列{a n}为单调递减数列，且存在常数m＜0，使得a n≤m恒成立．其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

高二数学期末考试试卷

高二数学期末考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \(y = x^2\)B. \(y = x^3\)C. \(y = \sin(x)\)D. \(y = \cos(x)\)2. 已知集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B等于？A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {3}D. 空集3. 若直线l的方程为\(y = 2x + 1\)，则直线l的斜率是多少？A. 1B. 2C. -2D. -14. 计算下列极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\)A. 0B. 1C. -1D. 不存在5. 以下哪个选项是二项式定理的展开式？A. \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)B. \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{k} b^{n-k}\)C. \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{n}\)D. \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n} b^{k}\)6. 已知函数\(f(x) = \log_2(x)\)，求\(f(8)\)的值。

A. 3B. 2C. 1D. 07. 以下哪个选项是复数的模的定义？A. \(|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)B. \(|a + bi| = \sqrt{a^2 - b^2}\)C. \(|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2 + 1}\)D. \(|a + bi| = \sqrt{a^2 - b^2 + 1}\)8. 计算下列定积分：\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{2}{3}\)D. 19. 已知向量\(\vec{a} = (2, -1)\)和\(\vec{b} = (-1, 2)\)，求\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)的值。

2023-2024学年江苏省淮安市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线√3x+y＝0的倾斜角为（）A．π3B．π6C．5π6D．2π32．在等差数列{a n}中，若a2＝5，a1+a4＝8，则{a n}的公差为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．已知双曲线C：x2a2−y2=1(a＞0)的左、右焦点为F1，F2，若双曲线C上存在点P满足PF1﹣PF2＝4，则双曲线C的一条渐近线方程为（）A．x+4y＝0B．4x+y＝0C．2x+y＝0D．x+2y＝04．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，射线OP绕O点从x轴正半轴逆时针匀速旋转到y轴正半轴，所扫过的内部图形（图中阴影部分）面积S可表示为时间t的函数y＝S（t），则下列图象中与y＝S（t）图象类似的是（）A．B．C．D．5．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点为F，上、下顶点分别为B1，B2，M是FB1的中点，若FB1⊥MB2，则椭圆C的离心率为（）A．14B．12C．√32D．346．“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以边长为4的正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为96，则“勾股树”上所有正方形的个数为（）A．63B．64C．127D．1287．已知函数f（x）＝e x+1+e﹣x（e为自然常数），记a＝f（﹣2.1），b＝f（1），c＝f（1.2），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a8．已知抛物线y2＝2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆(x−2)2+y2=r2(0＜r＜4√55)的两条切线，则△ABC的面积最大值为（）A．8√2B．12C．64√39D．72√39二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年浙江省台州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省台州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题。

（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线y ＝2x ﹣1的斜率等于（） A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣22．若双曲线x 2m 2−y 212=1(m ＞0)的离心率为2，则实数m ＝（）A ．2B ．2√3C ．4D ．163．若空间向量a →=（1，0，1），b →=（2，1，2），则a →与b →的夹角的余弦值为（） A ．23B ．√23C ．2√23D ．−134．已知等差数列{a n }(n ∈N ∗)的前n 项和为S n ．若S 5＝35，a 4＝3a 1，则其公差d 为（） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．25．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，记AB →=a →，AD →=b →，AD 1→=c →，则D 1C →=（）A ．a →+b →−c →B ．−a →+b →+c →C ．a →−b →+c →D ．−a →−b →+c →6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，必会得到1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列{a n }（n ∈N ′），a 1＝m （m 为正整数），a n +1={a n2，a n 为偶数3a n +1，a n 为奇数，若a 5＝1，则m 所有可能的取值的和为（） A ．16B ．18C ．20D ．417．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A ，B 两点在抛物线C 上，并满足AF →=3FB →，过点A 作x 轴的垂线，垂足为M ，若|FM |＝1，则p ＝（） A ．12B ．1C ．2D ．48．在空间四边形ABCD 中，若AB →⋅BC →=BC →⋅CD →=CD →⋅DA →=DA →⋅AB →，则下列结论中不一定正确的是（）A ．AB →+BC →=−(CD →+DA →) B ．AB 2+BC 2＝CD 2+DA 2 C ．△ABD ≌△DCAD ．AC ⊥BD二、多项选择题。

2023-2024学年山东省青岛市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省青岛市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的一方向向量为(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为（） A ．112B ．16C ．14D ．123．已知双曲线C ：x 25−y 2b2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（）A ．√3B ．2C ．4D ．√314．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取60名组成亚运会志愿者，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性（） A ．都相等且为602023 B ．都相等且为3100C ．不完全相等D ．都不相等5．点P 在椭圆C ：x 23+y 24=1上，F （0，1），点P 到直线y ＝4的距离为d ，则（）A ．|PF |与d 无关B ．|PF |＝dC ．|PF|=d2D ．|PF |＝2d6．过三点A （1，2），B （3，2），C （1，﹣6）的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝（） A ．√3B ．2√3C ．√13D ．2√137．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p 满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +a n +7n的最小值为（）A ．172B ．192C ．10D ．118．已知抛物线C ：y 2＝4x 与过焦点F 的一条直线相交于A ，B 两点，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线l 于点M ，则下列结论正确的是（） A ．准线l 的方程是x ＝﹣2B ．以AB 为直径的圆与y 轴相切C．|AB||MF|的最小值为2D．△ABM的面积最小值为2二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则（）A．这组数据的极差为39B．这组数据的众数为33C．这组数据的中位数为31或33D．这组数据的第60百分位数为3310．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．方程kx﹣y+3k+1＝0表示的直线必过点（﹣3，1）B．过点（2，5）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0C．圆C1：(x−1)2+y2=1和圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则b=−1±√211．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则（）A．{a n a n+1}的公比为9B．{log3a n+1}的前20项和为210C．{a n}的前20项积为3200D．∑n k=1(a k+a k+1)=2(3n−1−1)12．已知双曲线C：x2﹣y2＝4，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则（）A．双曲线的离心率为2B．存在点M，使得四边形OAMB为正方形C．四边形OAMB的面积为2D．四边形OAMB的周长最小值为2√2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设A，B，C为三个随机事件，若A与B是互斥事件，B与C是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，则P（A∪B）＝．14．已知抛物线C的准线与圆M：（x﹣1）2+（y+1）2＝4相切，请写出一个抛物线C的标准方程为．15．已知P（x0，y0）是圆C：（x﹣1）2+y2＝1上任意一点，则y0+1x0+1的取值范围为．16．（3分）已知数列{a n}的通项公式a n＝2n+1，记b m为{a n}在区间[m+2，2m+2）（m∈N*）内项的个数，则b4＝；使得不等式b m+1﹣b m＞1048成立的m的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A（﹣2，1），B（2，4），C（2，1）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上．（1）求E的标准方程；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣4，证明：直线MN过定点．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1log2a n⋅log2a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜34．19．（12分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足2|MA|＝|MB|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）一条光线从点C（2，1）射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中|EF|=2√3，求反射光线所在直线的方程．20．（12分）现从某校高二年级的等级考物理成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求这100名学生的原始成绩的中位数；（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，再从这7人中选取2人，求这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率；（3）若在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．求在[50，70）内的平均成绩z，并估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差s2．21．（12分）在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个0﹣1序列的长度．如010*******是一个长度为10的0﹣1序列．长为n的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为a n，长度为1的0﹣1序列为：0，1，都满足数列{a n}，a1＝2；长度为2且满足数列{a n}的0﹣1序列为：00，01，10，a2＝3．（1）求a3，a4；（2）求数列{a n}中a n+2，a n+1，a n的递推关系；（3）记S n是数列{a n}的前n项和，证明：a n+2﹣S n为定值．22．（12分）已知双曲线W：2x2﹣2y2＝1与椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点相同，点P是W和C在第一象限的公共点，记W的左，右焦点依次为F1，F2，|PF2|=√22．（1）求C的标准方程；（2）设点Q在C上且在第一象限，QF1，QF2的延长线分别交C于点E1，E2，设r1，r2分别为△QF1E2，△QF2E1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值．2023-2024学年山东省青岛市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的一方向向量为(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），则tan θ=√3，∴θ＝60°．故选：B ．2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为（） A ．112B ．16C ．14D ．12解：甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为P =34×23=12．故选：D ．3．已知双曲线C ：x 25−y 2b2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（）A ．√3B ．2C ．4D ．√31解：根据题意可得2√5+b 2=6，∴b 2＝4，∴双曲线的虚半轴长b ＝2， ∴根据双曲线的几何性质可得：双曲线C 的焦点到渐近线的距离为b ＝2．故选：B ．4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取60名组成亚运会志愿者，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性（） A ．都相等且为602023 B ．都相等且为3100C ．不完全相等D ．都不相等解：先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除20名，每个个体被抽取的概率相等，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性为602023．故选：A ． 5．点P 在椭圆C ：x 23+y 24=1上，F （0，1），点P 到直线y ＝4的距离为d ，则（）A．|PF|与d无关B．|PF|＝d C．|PF|=d2D．|PF|＝2d解：∵在椭圆C：x23+y24=1中，a＝2，b=√3，c＝1，∴椭圆的上准线方程为y=a2c=4，e=ca=12∴|PF|d=e=12，∴|PF|=12d．故选：C．6．过三点A（1，2），B（3，2），C（1，﹣6）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（）A．√3B．2√3C．√13D．2√13解：过三点A（1，2），B（3，2），C（1，﹣6）的圆，圆心分别在直线x＝2，y＝﹣2的直线上，故圆心坐标为E（2，﹣2），故半径r=|AE|=√17，故圆的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝17，令x＝0，解得y1=√13−2，y2=−√13−2，故|MN|＝|y1﹣y2|=2√13．故选：D．7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，记数列{a n}的前n项和为S n，则S n+a n+7n的最小值为（）A．172B．192C．10D．11解：由题意，可知a n＝2+3•（n﹣1）＝3n﹣1，n∈N*，故数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴S n＝2n+n(n−1)2•3=32n2+12n，∴S n+a n+7n=32n2+12n+3n−1+7n=32n2+72n+6n=32n+6n+72≥2√3n2⋅6n+72＝2×3+72=192，当且仅当32n=6n，即n＝2时，等号成立，∴当n＝2时，S n+a n+7n取得最小值为192．故选：B．8．已知抛物线C：y2＝4x与过焦点F的一条直线相交于A，B两点，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线l于点M，则下列结论正确的是（）A．准线l的方程是x＝﹣2B．以AB为直径的圆与y轴相切C．|AB||MF|的最小值为2D．△ABM的面积最小值为2解：由题意知，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，即选项A错误；设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{x=ty+1y2=4x，得y2﹣4ty﹣4＝0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以x1+x2＝t（y1+y2）+2＝4t2+2，x1x2=y12⋅y224⋅4=1，所以|AB|＝x1+x2+p＝4t2+2+2＝4t2+4，线段AB的中点为（x1+x22，y1+y22），即（2t2+1，2t），其到y轴的距离为2t2+1，而以线段AB为直径的圆的半径为12|AB|＝2t2+2≠2t2+1，因此以AB为直径的圆不与y轴相切，即选项B错误；选项C，因为MF与AB垂直，所以直线MF的斜率为﹣t，其方程为y＝﹣t（x﹣1），联立{y=−t(x−1)x=−1，解得{x=−1y=2t，即M（﹣1，2t），所以点M到直线AB的距离|MF|=2√t+1=2√t2+1，所以|AB||MF|=22√t2+1=2√t2+1≥2，当且仅当t＝0时，等号成立，所以|AB||MF|的最小值为2，即选项C正确；选项D，△ABM的面积S=12|AB|•|MF|=12×（4t2+4）×2√t2+1=4(t2+1)32≥4，当且仅当t＝0时，等号成立，所以△ABM的面积最小值为4，即选项D错误．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则（）A．这组数据的极差为39B．这组数据的众数为33C．这组数据的中位数为31或33D．这组数据的第60百分位数为33解：连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值从小到大为：17，23，26，30，31，33，33，35，41，56，对于A，这组数据的极差为56﹣17＝39，故A正确；对于B，这组数据的众数为33，故B正确；对于C，这组数据的中位数为31+332=32，故C错误；对于D，10×60%＝6，∴这组数据的第60百分位数为33，故D正确．故选：ABD．10．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．方程kx﹣y+3k+1＝0表示的直线必过点（﹣3，1）B．过点（2，5）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0C．圆C1：(x−1)2+y2=1和圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则b=−1±√2解：对于A：因为kx﹣y+3k+1＝0，所以y﹣1＝k（x+3），即直线过点（﹣3，1），故A正确；对于B：设直线y＝kx+b，代入点（2，5）得2k+b＝5，令x＝0，则y＝b＝5﹣2k，令y＝0，则x=−bk=−5−2kk，由5﹣2k=−5−2kk，得（5﹣2k）（k+1）＝0，所以5﹣2k＝0或k+1＝0，解得k=52或k＝﹣1，当k＝﹣1时，b＝7，所以y＝﹣x+7，b=−1±√2当k=52时，b＝0，所以y=52x，故B不正确；对于C：已知圆C1：(x−1)2+y2=1，即x2+y2﹣2x＝0，圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0，两式相减得：2x+4y﹣4＝0，即x+2y﹣2＝0，故C正确；对于D；因为圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，所以圆心（1，0）到直线的距离等于半径的一半，即√2=1，解得b=−1±√2，故D正确．故选：ACD．11．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则（）A．{a n a n+1}的公比为9B．{log3a n+1}的前20项和为210C．{a n}的前20项积为3200D．∑n k=1(a k+a k+1)=2(3n−1−1)解：等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则q3=a4a1=27，即q＝3，所以a n＝3n﹣1，A ：a n a n+1a n−1a n=a n+1a n−1=9，A 正确；B ：log 3a n +1＝lo g 33n =n ，故前20项和为1+2+ (20)20(1+20)2=210，B 正确； C ：{a n }的前20项积为1×3×32×…×319＝3190，C 错误； D ：∑ n k=1（a k +a k +1）＝a 1+a 2+…+a n +（a 2+a 3+…+a n +1）=1−3n1−3+3(1−3n)1−3＝2（3n ﹣1），D 错误；故选：AB ．12．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝4，点M 为双曲线右支上的一个动点，过点M 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B 两点，则（） A ．双曲线的离心率为2B ．存在点M ，使得四边形OAMB 为正方形C ．四边形OAMB 的面积为2D ．四边形OAMB 的周长最小值为2√2解：对于A ，易知双曲线C 为等轴双曲线，a ＝b ＝2，c =√a 2+b 2=2√2，则离心率为e =ca=√2，故A 错误；对于B ，双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的渐近线为y ＝±x ，则四边形OAMB 为矩形，又双曲线右顶点为(√2，0)， (√2，0) 到直线y ＝±x 的距离均为√2√2=1，故矩形OAMB 为正方形，即存在点M ，即M 为双曲线右顶点时，使得四边形OAMB 为正方形，故B 正确；对于C ，设M （x 0，y 0），则x 02−y 02=4，由点到直线的距离得|MA |=00√2，|MB |=00√2，四边形OAMB 的面积为|MA |•|MB |=00√2•00√2=x 02−y 022=2，故C 正确；对于D ，根据双曲线的对称性，不妨设M 在第一象限，B 在第四象限，则x 0＞y 0，x 0≥2，因为|MA |=002，|MB |=002，所以|MA |+|MB |=√2x 0≥2√2，四边形OAMB 的周长为2（|MA |+|MB |）≥4√2，周长最小值为4√2，故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设A ，B ，C 为三个随机事件，若A 与B 是互斥事件，B 与C 是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，则P （A ∪B ）＝12．解：设A ，B ，C 为三个随机事件，A 与B 是互斥事件， B 与C 是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，∴P （B ）＝1﹣P （C ）＝1−23=13，则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）=16+13=12．故答案为：12．14．已知抛物线C 的准线与圆M ：（x ﹣1）2+（y +1）2＝4相切，请写出一个抛物线C 的标准方程为 y 2＝4x （答案不唯一）．解：因为抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆M ：（x ﹣1）2+（y +1）2＝4相切，当焦点在x 轴正半轴时，可得准线方程为x ＝﹣1，可得抛物线方程为：y 2＝4x （本题答案不唯一）．（y 2＝4x ，y 2＝﹣12x ，x 2＝﹣4y ，x 2＝12y ，中任意一个即可）．故答案为：y 2＝4x （答案不唯一）．15．已知P （x 0，y 0）是圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上任意一点，则y 0+1x 0+1的取值范围为 [0，43] ．解：设k =y 0+1x 0+1，变形可得k （x 0+1）﹣y 0﹣1＝0，则k =y 0+1x 0+1的几何意义为直线k （x +1）﹣y ﹣1＝0的斜率， P （x 0，y 0）是圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0上任意一点，则√1+k 2≤1，解得0≤k ≤43，即k =y 0+1x 0+1的取值范围为[0，43]．故答案为：[0，43]．16．（3分）已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n +1，记b m 为{a n }在区间[m +2，2m +2）（m ∈N *）内项的个数，则b 4＝ 6 ；使得不等式b m +1﹣b m ＞1048成立的m 的最小值为 12 ．解：∵a n ＝2n +1，b m 为{a n }在区间[m +2，2m +2）（m ∈N *）内项的个数， ∴22n ﹣1+1＝2n +1+2（b 2n ﹣1﹣1）⇒b 2n−1=22n−2−n +1=22n−1−1−2n−12+12， 22n +1＝2n +3+2（b 2n ﹣1）⇒b 2n =22n−1−n =22n−1−2n2，∴b n=2n−1−n2+1−(−1)n4，b4＝6，b m+1﹣b m＞1048⇒2m−m+12+1−(−1)m+14−2m−1+m2−1−(−1)m4＞1048⇒2m+（﹣1）m＞2097，∴m的最小值为12．故答案为：6，12．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A（﹣2，1），B（2，4），C（2，1）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上．（1）求E的标准方程；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣4，证明：直线MN过定点．（1）解：由抛物线的对称性可知点A（﹣2，1），C（2，1）在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上，所以4＝2p，即p＝2，故抛物线E的标准方程为x2＝4y．（2）证明：设直线MN为y＝kx+b，联立{y=kx+bx2=4y，得x2﹣4kx﹣4b＝0，因为M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1x2＝﹣4b＝﹣4，即b＝1，所以直线MN为y＝kx+1，过定点（0，1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1log2a n⋅log2a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜34．解：（1）∵a n+1＝S n+2，∴当n≥2时，a n＝S n﹣1+2，两式相减，得a n+1﹣a n＝a n，即a n+1＝2a n，又∵a1＝2，∴a2＝S1+2＝2+2＝4，满足上式，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n=2n；证明：（2）∵b n=1log2a n⋅log2a n+2=1log22n⋅log22n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n＝b1+b2+⋯+b n=12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12（1+12−1n+1−1n+2）=34−12(1n+1+1n+2)＜34．19．（12分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足2|MA|＝|MB|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）一条光线从点C（2，1）射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中|EF|=2√3，求反射光线所在直线的方程．解：（1）设M（x，y），又A（﹣1，0），B（2，0），且2|MA|＝|MB|，∴2√(x+1)2+y2=√(x−2)2+y2，两边平方化简可得（x+2）2+y2＝4，∴点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4；（2）设点C（2，1）关于x轴的对称点为P，则P（2，﹣1），根据对称性设反射光线所在直线l的方程为y+1＝k（x﹣2），k＜0，由（1）知点M的轨迹为圆E：（x+2）2+y2＝4，圆心E（﹣2，0），半径r＝2，又反射光线所在直线l：kx﹣y﹣1﹣2k＝0被圆E所截弦|EF|=2√3，∴圆心E（﹣2，0）到直线l：kx﹣y﹣1﹣2k＝0的距离d=√r2−(|EF|2)2=√4−3=1，又d=|4k+1|√k+1=1，k＜0，解得k=−815，∴反射光线所在直线l的方程为y+1=−815（x﹣2），即8x+15y﹣1＝0．20．（12分）现从某校高二年级的等级考物理成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求这100名学生的原始成绩的中位数；（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，再从这7人中选取2人，求这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率；（3）若在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．求在[50，70）内的平均成绩z，并估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差s2．解：（1）由频率分布直方图得：[40，70）的频率为（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35，[40，80）的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65，∴这100名学生的原始成绩的中位数为：70+0.5−0.350.30×10=75．（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，则[80，90）内抽取7×0.0250.025+0.010=5人，[90，100]内抽取7×0.0100.025+0.010=2人，再从这7人中选取2人，基本事件总数n=C72=21，这2人的原始成绩都在[80，90）内包含的基本事件个数m=C52=10，∴这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率为P=mn=1021；（3）在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．在[50，60）内有100×0.010×10＝10人，在[60，70）内有100×0.020×10＝20人，∴在[50，70）内的平均成绩z=57×10+63×2030=61，估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差为：s2=130{10×[8+（61﹣57）2]+20×[11+（61﹣63）2]}＝8．21．（12分）在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个0﹣1序列的长度．如010*******是一个长度为10的0﹣1序列．长为n的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为a n，长度为1的0﹣1序列为：0，1，都满足数列{a n}，a1＝2；长度为2且满足数列{a n}的0﹣1序列为：00，01，10，a2＝3．（1）求a3，a4；（2）求数列{a n}中a n+2，a n+1，a n的递推关系；（3）记S n是数列{a n}的前n项和，证明：a n+2﹣S n为定值．解：（1）由题意知：a3＝5，设长为4的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列有a4个，考虑最后一个数：若最后一位是0，则只要前3位任何两个1不相邻，则满足要求的序列有a3个，若最后一位是1，则倒数第二位是0，只要前2位任何两个1不相邻即可，满足要求的序列有a2个，所以a4＝a3+a2＝8；（2）考虑长度为n+2的0﹣1序列最后一个数：如果最后一位是0，则只要前n+1位任何两个1不相邻，则满足要求的序列有a n+1个；若最后一位是1，则倒数第二位是0，于是只要前n位任何两个1不相邻即可，则满足要求的序列有a n个，所以a n+2＝a n+1+a n；证明：（3）因为a n +2＝a n +1+a n ，所以（a n +3﹣S n +1）﹣（a n +2﹣S n ）＝a n +3﹣a n +2﹣（S n +1﹣S n ）＝a n +1﹣a n +1＝0，所以数列{a n +2﹣S n }是常数列，所以a n +2﹣S n ＝a 3﹣S 1＝3为定值．22．（12分）已知双曲线W ：2x 2﹣2y 2＝1与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点相同，点P 是W 和C 在第一象限的公共点，记W 的左，右焦点依次为F 1，F 2，|PF 2|=√22．（1）求C 的标准方程；（2）设点Q 在C 上且在第一象限，QF 1，QF 2的延长线分别交C 于点E 1，E 2，设r 1，r 2分别为△QF 1E 2，△QF 2E 1的内切圆半径，求r 1﹣r 2的最大值．解：（1）由题意知：{|PF 1|−|PF 2|=√2|PF 1+|PF 2|=2a |PF 2|=√22，所以a =√2，又因为√a 2−b 2=1，所以b ＝1，则椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；（2）设Q （x 0，y 0），E 1（x 1，y 1），E 2（x 2，y 2），显然x 0＞0，y 0＞0，y 1＜0，y 2＜0，由椭圆定义知：△QF 1E 2，△QF 2E 1的周长均为l =4√2，所以r 1=2S △QF1E 2l =|F 1F 2|(y 0−y 2)l =0222，同理r 2=0122，所以r 1−r 2=1222，设直线QF 1：x ＝my ﹣1，m =x 0+1y 0，将直线QF 1方程代入椭圆C 的方程x 22+y 2=1得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0，所以y 0y 1=−1m 2+2=−1(x 0+1y 0)2+2=−y 02x 02+2x 0+1+2y 02=−y 023+2x 0，即y 1=−y 03+2x 0，同理y 2=−y 03−2x 0，所以r 1−r 2=1222=√2x 0y 09−4x 02=√2x 0y 0x 022+9y 02≤√2x 002√x 02×9y 02=13，当且仅当x 0=3√55，y 0=√1010时等号成立，所以r 1﹣r 2的最大值为13．。

2023-2024学年江苏省南京一中高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．）1．已知m ∈R ，则“m ＝﹣1”是“直线mx +（2m ﹣1）y ﹣2＝0与直线3x +my +3＝0垂直”的（） A ．充要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若数列{a n }满足a 1＝2，a n +1a n ＝a n ﹣1，则a 2024＝（） A ．12B ．2C ．3D ．﹣13．已知函数f （x ）的定义域为R ，其导函数为f '（x ），f '（x ）的部分图象如图所示，则（）A ．f （x ）在区间（0，1）上单调递减B ．f （x ）的一个增区间为（﹣1，1）C ．f （x ）的一个极大值为f （﹣1）D ．f （x ）的最大值为f （1）4．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1+a 5+a 9=9，b 2b 5b 8=3√3，则a 2+a 81+b 2b 8=（）A ．2B ．√3C ．32D ．√335．已知点P （2，0），点Q 在圆x 2+y 2＝1上运动，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（） A ．（x ﹣1）2+y 2＝1 B ．x 2+（y ﹣1）2＝1 C ．4（x ﹣1）2+4y 2＝1D ．4x 2+4（y ﹣1）2＝16．分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得如图2的一个树形图，记图2中第n 行黑圈的个数为a n ，白圈的个数为b n ，若a n ＝55，则b n ＝（）A ．34B ．35C ．88D ．897．三个数a =2e 2，b =ln √2，c =ln33的大小顺序为（） A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c8．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，且sin∠NF 1F 2sin∠NF 2F 1=23，(MF 2→+MN →)⋅NF 2→=0，则双曲线C 的离心率是（）A ．√5B ．√52C ．√7D ．√72二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．）9．已知圆O 1：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0和圆O 2：x 2+y 2﹣2y ﹣1＝0交于A ，B 两点，则（） A ．两圆的圆心距|O 1O 2|＝2B ．两圆有3条公切线C ．直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2+√210．设等差数列{a n }的前项和为S n ，公差为d ，已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0．则（） A ．a 6＞0B ．﹣4＜d ＜﹣3C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．S n 最大时，n ＝711．抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到（2，t ）时，|PF |＝4，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，点M （4，1），下列结论正确的是（） A ．抛物线的方程为y 2＝8xB ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称C ．|PM |+|PF |的最小值为6D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切12．已知有序数对（x 1，y 1）满足lnx 1﹣x 1﹣y 1+2＝0，有序数对（x 2，y 2）满足x 2+2y 2﹣4﹣2ln 2＝0，定义D ＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，则（） A ．D 的最小值为2√55 B ．D 取最小值时x 2的值为125C ．D 的最小值为45D ．D 取最小值时x 2的值为65三、填空题：（本题共4小题，共20分．）13．在平面直角坐标系xOy 中，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是直线l 上不同的两点，直线l 上的向量PQ →以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量．已知直线l 的一个方向向量坐标为(−3，√3)，则直线l 的倾斜角为． 14．已知椭圆x 220+y 2k=1(20＞k ＞0)的焦距为8，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于AB两点，则|AB |＝．15．设函数f （x ）的导数为f ′（x ），且f(x)=f ′(π3)sinx +cosx ，则f ′(5π6)= ．16．已知数列{a n }满足a 1＝4，na n +1＝2（n +1）a n ，则数列{a n }的通项公式为，若数列{a n(n+1)(n+2)}的前n 项和S n ，则满足不等式S n ≥30的n 的最小值为．四、解答题：（本题共6小题，共70分．） 17．（10分）已知函数f （x ）＝x 2﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）求函数f ′（x ）＜0的解集．18．（12分）在数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝4a n ﹣3n +1，n ∈N *．（1）证明：数列{a n ﹣n }为等比数列（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．19．（12分）已知圆C 的圆心在直线3x ﹣y ＝0上，且经过点A （﹣1，3），B （1，5）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P （2，1）的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且|MN |＝2√3，求直线l 的方程． 20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1+2b 2+22b 3+…+2n ﹣1b n ＝a n ，求数列{nb n }的前n 项和T n ．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求△PMN 面积的最大值．22．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣mlnx （m ∈R ）．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若存在不相等的实数x 1，x 2，使得f （x 1）＝f （x 2），证明：0＜m ＜x 1+x 2．2023-2024学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．题只有一个选项符合题意．）1．已知m∈R，则“m＝﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y﹣2＝0与直线3x+my+3＝0垂直”的（）A．充要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件解：若两直线垂直，则当m＝0时，两直线为y＝﹣2与x＝﹣1，此时两直线垂直．当2m﹣1＝0，即m=12时，两直线为x＝4与3x+12y+3＝0，此时两直线相交不垂直．当m≠0且m≠12时，两直线的斜截式方程为y=−m2m−1x+22m−1与y=−3mx−3m．两直线的斜率为−m2m−1与−3m，所以由−m2m−1×−3m=−1得m＝﹣1，所以m＝﹣1是两直线垂直的充分不必要条件，故选：C．2．若数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n＝a n﹣1，则a2024＝（）A．12B．2C．3D．﹣1解：∵数列{a n}满足a1＝2，a n+1a n＝a n﹣1，∴a n+1=1−1a n ，∴a2=1−12=12，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，a5=1−12=12，∴{a n}是周期为3的周期数列，而2024＝3×674+2，故a2024=a2=1 2．故选：A．3．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），f'（x）的部分图象如图所示，则（）A．f（x）在区间（0，1）上单调递减B．f（x）的一个增区间为（﹣1，1）C．f（x）的一个极大值为f（﹣1）D．f（x）的最大值为f（1）解：结合图象：x∈（﹣1，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故A错误，B正确；x∈（1，3）时，f′（x）＜0，f（x）递减，故x＝1是f（x）的极大值点，f（1）是函数f（x）的一个极大值，但不一定是最大值，即D错误；f（﹣1）是函数f（x）的一个极小值，即C错误；故选：B．4．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a1+a5+a9=9，b2b5b8=3√3，则a2+a81+b2b8=（）A．2B．√3C．32D．√33解：由题意可得{a1+a5+a9=3a5=9b2b5b8=b53=3√3，解得{a5=3b5=√3，所以a2+a81+b2b8=2a51+b52=61+3=32．故选：C．5．已知点P（2，0），点Q在圆x2+y2＝1上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝1B．x2+（y﹣1）2＝1C．4（x﹣1）2+4y2＝1D．4x2+4（y﹣1）2＝1解：由题意，P（2，0），在圆x2+y2＝1中，点Q在圆上，线段PQ的中点为M，设M（x，y），则Q（2x﹣2，2y），∴（2x﹣2）2+（2y）2＝1，即：4（x﹣1）2+4y2＝1．故选：C．6．分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得如图2的一个树形图，记图2中第n行黑圈的个数为a n，白圈的个数为b n，若a n＝55，则b n＝（）A ．34B ．35C ．88D ．89解：由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈和一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈和两个黑圈，第n 行黑圈的个数为a n ，白圈的个数为b n ，所以有a n ＝2a n ﹣1+b n ﹣1，b n ＝a n ﹣1+b n ﹣1，n ≥2，又因为a 1＝0，b 1＝1，所以a 2＝1，b 2＝1，a 3＝3，b 3＝2， a 4＝8，b 4＝5，a 5＝21，b 5＝13，a 6＝55，b 6＝34，由a n ＝55，可得n ＝6，则b 6＝34．故选：A ． 7．三个数a =2e2，b =ln √2，c =ln33的大小顺序为（） A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解：设f(x)=lnx x ，f ′(x)=1−lnxx 2， ∴x ＞e 时，f ′（x ）＜0，∴f （x ）在（e ，+∞）上单调递减，又a =2e 2=lne 2e2，b =ln √2=ln22=ln44，c =ln33，且e 2＞4＞3 ∴f （e 2）＜f （4）＜f （3）， ∴a ＜b ＜c ．故选：D ．8．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，且sin∠NF 1F 2sin∠NF 2F 1=23，(MF 2→+MN →)⋅NF 2→=0，则双曲线C 的离心率是（）A ．√5B ．√52C ．√7D ．√72解：由sin∠NF 1F 2sin∠NF 2F 1=23，结合正弦定理得2|NF 1|＝3|NF 2|，因为|NF 1|﹣|NF 2|＝2a ，所以|NF 1|＝6a ，|NF 2|＝4a ，又(MF 2→+MN →)⋅NF 2→=0，即(MF 2→+MN →)⋅(MF 2→−MN →)=0，则MF 22−MN 2=0，所以|MF 2|＝|MN |．设|MF 2|＝|MN |＝m ，则|MF 1|＝6a ﹣m ，又|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，则m ﹣（6a ﹣m ）＝2a ，解得m ＝4a ，所以|MF 2|＝|MN |＝4a ，|MF 1|＝2a ，所以△MF 2N 是正三角形，从而∠F 1MF 2＝120°，在△MF 1F 2中，由|F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2−2×|MF 1|×|MF 2|×cos120°，得（2c ）2＝（2a ）2+（4a ）2﹣2×2a ×4a ×cos120°，得c 2＝7a 2，所以e =√7．故选：C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．每题有多项符合题意，全对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．）9．已知圆O 1：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0和圆O 2：x 2+y 2﹣2y ﹣1＝0交于A ，B 两点，则（） A ．两圆的圆心距|O 1O 2|＝2B ．两圆有3条公切线C ．直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0D ．圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为2+√2解：根据题意，圆O 1：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝4，其圆心（1，0），半径R ＝2；圆O 2：x 2+y 2﹣2y ﹣1＝0，即x 2+（y ﹣1）2＝2，其圆心（0，1），半径r =√2；依次分析选项：对于A ，两圆的圆心距|O 1O 2|=√1+1=√2，所以A 错误；对于B ，由于2−√2＜|O 1O 2|＜2+√2，两圆相交，有2条公切线，B 错误；对于C ，两个圆的方程作差可得﹣2x +2y ﹣2＝0，即x ﹣y +1＝0，故直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0，C 正确；对于D ，圆O 1到直线AB 的距离d =2=√2，则圆O 1上的点到直线AB 的最大距离为R +d ＝2+√2，所以D 正确．故选：CD ．10．设等差数列{a n }的前项和为S n ，公差为d ，已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0．则（） A ．a 6＞0B ．﹣4＜d ＜﹣3C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．S n 最大时，n ＝7解：根据题意，依次分析选项：对于A ，由S 12＞0，则S 12=(a 1+a 12)×122=(a 6+a 7)×122=6(a 6+a 7)＞0，又a 7＜0，则a 6＞0，故A正确；对于B ，结合选项A 知a 6＞0，a 7＜0，a 6+a 7＞0，又a 3＝12，所以{a 6=12+3d ＞0a 7=12+4d ＜0a 6+a 7=24+7d ＞0，解得−247＜d ＜−3，故B 错误；对于C ，结合选项A 知S 13=(a 1+a 13)×132=13a 7＜0，又S 12＞0，所以S n ＜0时，n 的最小值为13，故C正确；对于D，结合选项A和B知，当1≤n≤6时，a n＞0，当n≥7时，a n＜0，所以当S n最大时，n＝6，故D错误．故选：AC．11．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到（2，t）时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为y2＝8xB．存在直线l，使得A、B两点关于x+y﹣6＝0对称C．|PM|+|PF|的最小值为6D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切解：对于A选项：由y2＝2px，所以|PF|=2+p2=4，即p＝4，所以y2＝8x，故A正确；对于B选项：设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点M（x0，y0），则{y12=2px1 y22=2px2，两式相减，（y1+y2）（y1﹣y2）＝8（x1﹣x2），即2y0•k AB＝8，因为A，B关于x+y﹣6＝0对称，所以k AB＝1，所以y0＝4，x0＝2，所以（2，4）在抛物线上，不成立，故B错误；对于C选项：过P作PE垂直与准线于E，则|PM|+|PF|＝|PM|+|PE|≥6，当P，E，M共线时，等号成立，故C正确；对于D选项：如图所示，因为G为AF的中点，过点G作GD⊥y轴，所以|DG|=12(|OF|+|AQ|)=12|AC|=12|AF|，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故D正确；故选：ACD．12．已知有序数对（x 1，y 1）满足lnx 1﹣x 1﹣y 1+2＝0，有序数对（x 2，y 2）满足x 2+2y 2﹣4﹣2ln 2＝0，定义D ＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，则（） A ．D 的最小值为2√55B ．D 取最小值时x 2的值为125C ．D 的最小值为45D ．D 取最小值时x 2的值为65解：由lnx 1﹣x 1﹣y 1+2＝0，得：y 1＝lnx 1﹣x 1+2， D =(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2的最小值可转化为：函数y ＝lnx ﹣x +2图象上的点到直线x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0上的点的距离的平方的最小值，由y ＝lnx ﹣x +2得：y ′=1x−1，与直线x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0平行的直线的斜率为−12，则令1x −1=−12，解得：x ＝2，所以切点坐标为（2，ln 2），所以（2，ln 2）到直线x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0的距离d =|2+2ln2−4−2ln2|√1+4=2√55．即函数y ＝lnx ﹣x +2上的点到直线x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0上的点的距离的最小值为2√55．所以D =(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2的最小值为d 2=45，过（2，ln 2）与x +2y ﹣4﹣2ln 2＝0垂直的直线为y ﹣ln 2＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣4+ln 2＝0．由{x +2y −4−2ln2=02x −y −4+ln2=0，解得：x =125，即当D 最小时，x 2=125．故选：BC ．三、填空题：（本题共4小题，共20分．）13．在平面直角坐标系xOy 中，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是直线l 上不同的两点，直线l 上的向量PQ →以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量．已知直线l 的一个方向向量坐标为(−3，√3)，则直线l 的倾斜角为 150° ．解：因为直线l 的一个方向向量为(−3，√3)，所以直线l 的斜率k =√3−3=−√33，设直线l 的倾斜角为θ，则tanθ=−√33，因为0°≤θ＜180°，所以θ＝150°，即直线l 的倾斜角为150°．故答案为：150°． 14．已知椭圆x 220+y 2k=1(20＞k ＞0)的焦距为8，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于AB两点，则|AB |＝4√55．解：由题意可知2c＝8，得c＝4，所以k＝20﹣16＝4，所以椭圆方程为：x220+y24=1，椭圆的右焦点为F（4，0），将x＝4代入椭圆的方程：1620+y24=1，解得|y|=2√55，所以|AB|=2|y|=4√5 5．故答案为：4√5 5．15．设函数f（x）的导数为f′（x），且f(x)=f′(π3)sinx+cosx，则f′(5π6)=1．解：因为f(x)=f′(π3)sinx+cosx，所以f′(x)=f′(π3)cosx−sinx，令x=π3，则f′(π3)=f′(π3)cosπ3−sinπ3，即f′(π3)=12f′(π3)−√32，解得f′(π3)=−√3，所以f′(x)=−√3cosx−sinx，所以f′(56π)=−√3cos56π−sin56π=−√3×(−√32)−12=1．故答案为：1．16．已知数列{a n}满足a1＝4，na n+1＝2（n+1）a n，则数列{a n}的通项公式为n•2n+1，若数列{a n(n+1)(n+2)}的前n项和S n，则满足不等式S n≥30的n的最小值为6．解：由题意可知，a n+1n+1=2×a nn，所以数列{a nn}是以a11=4为首项，以2为公比的等比数列，所以，a nn=4×2n−1=2n+1，所以a n=n⋅2n+1，则a n(n+1)(n+2)=n⋅2n+1(n+1)(n+2)=2n+2n+2−2n+1n+1，所以S n=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2，由S n≥30，即2n+2n+2−2≥30，2n﹣3≥n+2，解得n≥6，所以n的最小值为6，故答案为：n•2n+1；6．四、解答题：（本题共6小题，共70分．）17．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f′（x）＜0的解集．解：（1）依题意，函数f（x）＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），且f′(x)=2x−1 x ，∴f（1）＝12﹣ln1＝1，f′（1）＝2﹣1＝1，因此，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣1＝x ﹣1，即y ＝x ；（2）依题意，函数f （x ）＝x 2﹣lnx 的定义域为（0，+∞），且f ′(x)=2x −1x，令f ′（x ）＜0且x ＞0， {2x 2−1x ＜0x ＞0⇒0＜x ＜√22，故不等式f ′（x ）＞0的解集为（0，√22） 18．（12分）在数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝4a n ﹣3n +1，n ∈N *．（1）证明：数列{a n ﹣n }为等比数列（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．解：（1）∵a n +1＝4a n ﹣3n +1，n ∈N *，∴a n +1﹣（n +1）＝4a n ﹣3n +1﹣（n +1），4a n ﹣4n ＝4（a n ﹣n ）．∴{a n ﹣n }为首项a 1﹣1＝1，公比q ＝4的等比数列；（2）∵a n ﹣n ＝4n ﹣1， ∴a n ＝n +4n ﹣1， S n ＝1+2+…+n +（1+4+…+4n ﹣1）=n(n+1)2+1−4n 1−4=n(n+1)2+4n−13． 19．（12分）已知圆C 的圆心在直线3x ﹣y ＝0上，且经过点A （﹣1，3），B （1，5）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P （2，1）的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且|MN |＝2√3，求直线l 的方程．解：（1）设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则3（−D 2）+E 2=0，1+9﹣D +3E +F ＝0，1+25+D +5E +F ＝0，联立解得D ＝﹣2，E ＝﹣6，F ＝6，∴圆C 的方程为x 2+y 2﹣2x ﹣6y +6＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝4．（2）直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ﹣2＝0，则2√4−1=2√3，满足|MN |＝2√3．直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2），即kx ﹣y +1﹣2k ＝0，圆心C （1，3）到直线l 的距离d =|k−3+1−2k|√k +1=|k+2|√k +1，由题意可得4−(|k+2|√k +1)2=(√3)2，解得k =−34，直线l 的方程为y ﹣1=−34（x ﹣2），即3x +4y ﹣10＝0．综上可得直线l 的方程为：x ﹣2＝0，3x +4y ﹣10＝0．20．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1+2b 2+22b 3+…+2n ﹣1b n ＝a n ，求数列{nb n }的前n 项和T n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由(1a 2)2=1a 1•1a 4，得（a 1+d ）2＝a 1（a 1+3d ）．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝2，所以a n ＝2n ．（2）b 1+2b 2+4b 3+…+2n ﹣1b n ＝a n ① b 1+2b 2+4b 3+…+2n ﹣1b n +2n b n +1＝a n +1② ②﹣①得：2n •b n +1＝2．∴b n +1＝21﹣n ．当n ＝1时，b 1＝a 1＝2，∴b n ＝22﹣n ．（8分） T n =12−1+220+321+⋯+n 2n−2， 12T n =120+221+322+⋯+n 2n−1，上两式相减得 12T n ＝2+120+121+122+⋯+12n−2−n 2n−1=2+2•（1−12n−1）−n 2n−1， ∴T n ＝8−n+22n−2． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求△PMN 面积的最大值．解：（1）由椭圆的定义可知三角形F1AB的周长为4a＝8，所以a＝2，又离心率e=ca=12，所以c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆的方程为x24+y23=1；（2）①当直线MN不与x轴垂直时，设直线的方程为y＝kx，M（x，y），N（﹣x，﹣y），代入椭圆方程可得：x2=123+4k2，y2=12k23+4k3，则|MN|=√(−x−x)2+(−y−y)2=2√x2+y2=4√3√1+k23+4k2，设与MN平行且与椭圆相切的直线方程为y＝kx+m，代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12＝0，则Δ＝64m2k2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，解得m2＝3+4k2，则点P到MN的最大距离为两平行线间的距离，d max=√1+k =√m21+k2=√3+4k21+k2，所以三角形PMN的面积的最大值为S max=12|MN|⋅d max=12×4√3√1+k23+4k2⋅√3+4k21+k2=2√3，②若直线MN与x轴垂直时，则P在长轴顶点时三角形PMN的面积取得最大值，且此时的面积为S=12×2b×a=2√3，综上，三角形PMN的面积的最大值为2√3．22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣mlnx（m∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若存在不相等的实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），证明：0＜m＜x1+x2．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1−mx=x−mx，当m≤0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，由f′（x）＞0得x＞m，所以f（x）在（m，+∞）上单调递增；由f′（x）＜0得0＜x＜m，所以f（x）在（0，m）上单调递减；故当m≤0时，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，f（x）在（m，+∞）上单调递增，在（0，m）上单调递减；（2）证明：f（x）＝x﹣mlnx，x＞0，f′(x)=1−mx=x−mx，由（1）可知，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，故不存在不相等的实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），所以m＞0．由f（x1）＝f（x2）得x1﹣mlnx1＝x2﹣mlnx2，即m（lnx2﹣lnx1）＝x2﹣x1，不妨设0＜x1＜x2，则lnx2﹣lnx1＞0，则m=x2−x1lnx2−lnx1＞0，要证m＜x1+x2，只需证x2−x1lnx2−lnx1＜x1+x2，即证x2−x1x1+x2＜lnx2−lnx1，只需证x2x1−1x2x1+1＜lnx2x1，令t=x2x1＞1，则只需证t−1t+1＜lnt，即证lnt−t−1t+1＞0，令g(t)=lnt−t−1t+1，(t＞1)，则g′(t)=1t−2(t+1)2=t2+1t(t+1)2＞0，所以g（t）在（1，+∞）上是增函数，所以g（t）＞g（1）＝0，从而lnt−t−1t+1＞0，故0＜m＜x1+x2．。

2023-2024学年北京市大兴区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．椭圆x 29+y 24=1的长轴长是（）A ．3B ．6C ．9D ．42．双曲线x 24−y 22=1的渐近线方程是（）A ．y ＝±√2xB ．y ＝±√22xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x3．若直线l 的方向向量为（2，1，m ），平面α的法向量为（1，12，2），且l ⊥α，则m ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．54．两条平行直线x ﹣y ＝0与x ﹣y ﹣1＝0间的距离等于（） A ．√22B ．1C ．√2D ．25．过点（1，0）且被圆x 2+（y +2）2＝1截得的弦长最大的直线方程为（） A ．2x +y ﹣2＝0B ．2x ﹣y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．x ﹣2y ﹣1＝06．圆C 1：x 2+y 2＝2与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝2的位置关系是（） A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切7．采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907 966 181 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（） A ．310B ．720C ．25D ．9208．若方程x 2m−3+y 24−3m =1表示双曲线，则实数m 的取值范围为（）A ．(−∞，43)∪(3，+∞)B ．(43，3)C ．(−∞，−43)∪(3，+∞)D ．(−43，3)9．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2−y 28=1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的公共点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是（）A ．23B ．45C ．35D ．2510．平面内与定点F 1（﹣a ，0），F 2（a ，0）距离之积等于a 2（a ＞0）的动点的轨迹称为双纽线．曲线C 是当a ＝2√2时的双纽线，P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是（） A ．曲线C 关于原点对称B ．满足|PF 1|＝|PF 2|的点P 有且只有一个C ．|OP |≤4D ．若直线y ＝kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为（﹣1，1）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线x −√3y +1＝0的倾斜角为（） A ．30°B ．150°C ．60°D ．120°2．已知空间中直线l 的一个方向向量a →=(1，2，4)，平面α的一个法向量n →=(2，4，8)，则（） A ．直线l 与平面α平行 B ．直线l 在平面α内C ．直线l 与平面α垂直D ．直线l 与平面α不相交3．抛物线y 2＝4x 的焦点到其准线的距离是（） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n =n 2+2n ，则a 2＝（） A ．1B ．3C ．5D ．85．双曲线x 23−y 2=1的渐近线方程为（）A ．y ＝±2xB ．y =±√2xC ．y =±√33x D ．y =±√3x6．线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A ，B 两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如表：从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是（） A ．56B ．12C ．13D ．167．哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名．已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为（） A ．2041年～2042年 B ．2061年～2062年C ．2081年～2082年D ．2101年～2102年8．在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线3x +4y ﹣10＝0相切，则该圆半径的最小值为（） A ．12B ．1C ．32D ．29．已知a ，b ∈R ，则“﹣1，a ，b ，2为等比数列”是“ab ＝﹣2”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．曲线C ：x m +y n ＝1，其中m ，n 均为正数，则下列命题错误的是（） A ．当m ＝3，n ＝1时，曲线C 关于（0，1）中心对称 B ．当m =12，n =12时，曲线C 是轴对称图形C ．当m ＝4，n ＝2时，曲线C 所围成的面积小于πD ．当m ＝3，n ＝2时，曲线C 上的点与（0，0）距离的最小值等于1 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。