2020高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题精讲深剖学案

第2讲 二次函数的最值

二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量x 在某个范围内取值时，求函数y 的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用． 【知识梳理】

1.二次函数解析式的三种形式： 一般式：y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0).

顶点式：y ＝a (x －m )2

＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. 2.二次函数的图象和性质

解析式

y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)

图象

对称性

函数的图象关于x ＝－b

2a

对称

3.二次函数的最值

（1）.当a ＞0时，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2

4(,)24b ac b a a

--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b

a

-时，函数取最小值y ＝244ac b a

-．

（2）.当a ＜0时，函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2

4(,)24b ac b a a

--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b

a -时，函数取最大值y ＝244ac

b a

-．

【典例解析】求下列函数的最值

（1）当22x -≤≤时，求函数2

23y x x =--的最大值和最小值；

（2）当12x ≤≤时，求函数2

1y x x =--+的最大值和最小值。

【分析】作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

【解析】（1）作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． （2）作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．

【解题反思】由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

【变式训练】1.当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

【点评】本题看似不是最值问题，但只要求出了最值，函数的取值范围自然可确定。

2.当1t x t ≤≤+时，求函数2

15

22

y x x =

--的最小值(其中t 为常数)． 【分析】由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

(3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：

当1x t =+时，22min 151

(1)(1)3222

y

t t

t =

+-+-=-．

综上所述：2

213,023,0115

,1

2

2t t y t t t t ⎧-<⎪⎪

=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩

【点评】本题所给的x 取值范围不确定，但函数确定，即对称轴固定，可分情况讨论x 取值相对于对称轴的位置即：在轴的左、右、包含对称轴三种情况求出最值，为轴定x 取值变问题。 3.提出问题：当x ＞0时如何求函数y=x+的最大值或最小值？

分析问题：前面我们刚刚学过二次函数的相关知识，知道求二次函数的最值时，我们可以利用它的图象进行猜想最值，或利用配方可以求出它的最值． 例如我们求函数y=x ﹣2（x ＞0）的最值时，就可以仿照二次函数利用配方求最值的方法解决问题；y=x ﹣2

=（

）2

﹣2

﹣2

+1﹣1=（

﹣1）2

﹣1即当x=1时，y 有最小值为﹣1

解决问题

借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=x+（x ＞0）的最大（小）值．

（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=x+（x＞0）的图象：

x … 1 2 3 4 …

y ……

（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想

当x= 时，函数y=x+（x＞0）有最值（填“大”或“小”），是．

（3）推理论证：利用上述例题，请你尝试通过配方法求函数y=x+（x＞0）的最大（小）值，以证明你的猜想．知识能力运用：直接写出函数y=﹣2x﹣（x＞0）当x= 时，该函数有最值（填“大”或“小”），是．

【分析】（1）由x的值计算出y的值，填表即可；用描点法画出图象即可；

（2）用配方法得出y=x+=（﹣）2+2，即可得出结果；

（3）用配方法得出y=﹣2x﹣=﹣（﹣）2﹣2，即可得出结果．

【解析】（1）当x=时，y=x+=+4=4；

当x=时，y=x+=+3=3；

当x=时，y=x+=+2=2；

当x=1时，y=x+=1+1=2；

当x=2时，y=x+=2+=2；

当x=3时，y=x+=3+=3；

当x=4时，y=x+=4+=4；