2020高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题精讲深剖学案

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初高中数学衔接(上课学生用5课时)

初高中数学衔接第五课时二次函数的最值问题二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？练习A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。

初中升高中二次函数衔接最值知识复习+练习教学案

二次函数的图象和性质总结表解析式y=ax2y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k图象a>0 a>0 a>0 a>0 a<0 a<0 a<0 a<0开口方向顶点坐标对称轴函数最值a>0a<0 增减性a>0a<0平移y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象沿轴向平移____ _个单位得到的，k为正向，k为负向.y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象沿___轴向平移个单位得到的，h为正向_____，h为负向_____.y=a(x-h)2+k的图象是由y=ax2的图象沿轴向平移_ _个单位，h为正向_____，h为负向_____；再沿直线_____向平移____个单位，k为正向______，k为负向______.二次函数最值模块训练模块一：定轴动区间例1：求二次函数3xxf在下列情况下的最小值：=x-)2(2-（1）x的取值范围为实数轴上所有的数。

（2）x在区间]4,2[上（3）x在区间]4,0[上（4）x在区间]4,[a上（5）x在区间],0[a上知识总结：定轴动区间求最小值的实质为分类讨论对称轴与区间动端点的两类关系：以左动右定区间为例（如]4,[a）：（1）对称轴在区间动端点的左侧，最小值为：；（2）对称轴在区间动端点的右侧，最小值为：；变式1：求例1条件下函数)(xf的最大值。

知识总结：定轴动区间求最大值的实质为分类讨论区间动端点a与区间定端点关于对称轴对称的点m之间的两类关系：以左动右定区间为例（如]4,[a）：（1）a在m的左侧，最大值为：；（2）a在m的右侧，最大值为：；模块二：动轴定区间例2：求以下各函数)(x f 在区间]3,1[上的最小值。

（1）1)4()(2+-=x x f （2）1)23()(2+-=x x f（3）1)21()(2+-=x x f（4）1)()(2+-=a x x f知识总结：动轴定区间求最小值的实质为分类讨论对称轴与区间的三类关系：（1）对称轴在区间的左侧，最小值为：；（2）对称轴在区间的中间，最小值为：；（3）对称轴在区间的右侧，最小值为：；变式1：求例2条件下函数)(x f 的最大值。

2023年初升高数学衔接学案之借助函数图像求二次函数的最值

a b ac 442-初高中知识衔接三——借助函数图像求二次函数的最值学习目标：1.研读知识衔接教材，用自己的话说出对二次函数及其性质的理解；2.借助函数图像等方法，求二次函数的最大值及最小值；利用数形结合求最值过程中的几点体会.一、二次函数及其性质1. 定义：形如()02≠++=a c bx ax y 的函数.2. 性质：（1）开口：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. （2）对称轴：ab x 2-= （3）最值：（配方法）ac x a b x a y =+⎪⎭⎫⎝⎛+=2-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+c a b x a b x 22222a b ac a b x a a a b 4422222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛. 所以，若a>0，当a b x 2-=时，y 有最小值，最小值为；若a<0，当a b x 2-=时，y 有最大值，最大值为a b ac 442-.（4）顶点坐标）（ab ac a b 44,22--.（5）函数图像与x 轴的交点个数①当042>-=∆ac b 时，函数图像与x 轴有两个交点； ①当042=-=∆ac b 时，函数图像与x 轴有一个交点； ①当042<-=∆ac b 时，函数图像与x 轴没有交点.衔接训练：1. 函数1422-+-=）（x y 的最大值为() A.1 B.1- C.81D.4- 2. 函数322++-=x x y 的图像的顶点坐标是()A. （-1，4）B.（-1，-4）C.（1，-4）D.（1，4） 3. 函数642++-=x x y 的最值情况是（） A.★4.二次函数()3242-+--=m x m x y 当m= 时，其图像顶点在y 轴上；当m= 时，图像的顶点在x 轴上；当m= 时，图像过原点.5.已知二次函数3622++=x x y ，画出二次函数的图像并求出顶点坐标、最值.6.求函数1212+-=x x y 在 32-≤≤x 内的最大值m 和最小值n.★★7.已知二次函数的图像过点（1，0），其顶点坐标为（3，4），求该二次函数的解析式并画出图像。

高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题精讲深剖学案word格式

第 2 讲二次函数的最值二次函数 yax 2 bx c (a0) 是初中函数的主角，所包括的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量x 在某个范围内取值时，求函数 y 的最大（小）值，这种问题称为最值问题问题．最值问题在实质生活中也有广阔的应用．【知识梳理】1. 二次函数解析式的三种形式：一般式： y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0).极点式： y ＝ a ( x － m ) 2＋ n ( a ≠ 0) ，极点坐标为 ( m ， n ).零点式： y ＝ a ( x － x 1)( x －x 2)( a ≠ 0) ， x 1， x 2 为 f ( x ) 的零点 .2. 二次函数的图象和性质解析式y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a >0)y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a <0)图象x ＝－ b对称性函数的图象关于2a对称3. 二次函数的最值（ 1）. 当 a ＞0 时，函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋c 图象张口向上；极点坐标为( b , 4ac b 2 ) ，对2a 4a 称轴为直线 x ＝－ b；当 x ＜b时， y 跟着 x 的增大而减小；当x ＞b时， y 跟着2a2a2ax 的增大而增大；当 x ＝b 时，函数取最小值 y ＝4ac b 2．2a4a（ 2）. 当 a ＜0 时，函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋c 图象张口向下；极点坐标为( b , 4ac b 2 ) ，对2a 4a 称轴为直线 x ＝－ b；当 x ＜b 时， y 跟着 x 的增大而增大；当x ＞b 时， y 跟着 2a2a2ax 的增大而减小；当 x ＝b 时，函数取最大值 y ＝4ac b 2．2a4a【典例解析】求以下函数的最值（1）当2x 2 时，求函数y x22x3的最大值和最小值；（2）当1x 2 时，求函数y x2x 1 的最大值和最小值。

【解析】作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．【解析】（1）作出函数的图象．当x 1时，y min 4 ，当x 2 时，y max 5 ．（ 2）作出函数的图象．当x 1时，y min1，当x 2时， y max 5 ．【解题反思】由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．依据二次函数对称轴的地点，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下边给出一些常有状况：【变式训练】 1. 当x 0 时，求函数y x(2x) 的取值范围．【谈论】本题看似不是最值问题，但只要求出了最值，函数的取值范围自然可确立。

初升高数学衔接知识专题讲义6 求二次函数最值

初升高数学衔接知识专题讲义4 二次函数的最值问题重、难点：求二次函数最值【要点回顾】1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值． 2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论：①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧；②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部；③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例２，３，4。

【例题选讲】求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ；（2）432+--=x x y ．例１. 已知16)(2+-=x x x f ，（1）当22≤≤-x 时，求)(x f 的最值；（2）当64≤≤x 时，求)(x f 的最值；（3）当52≤≤x 时，求)(x f 的最值。

初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题

初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题初升高数学衔接班第6讲——二次函数的最值问题一、学习目标：1.会求自变量在某个范围内取值时二次函数的最值。

2.了解二次函数最值问题在实际生活中的简单应用，能建立二次函数模型，从而解决实际问题。

二、学习重点：会求二次函数在给定区间上的最值问题三、新课讲解：［旧知复习］对于二次函数当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．［新知探秘］二次函数的图象和性质二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）具有下列性质：（1）当a＞0时，函数图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当时，函数取最小值y=．（2）当a＜0时，函数图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=．【典型例题】例1.求二次函数y=－3x2－6 x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象。

思路导航：借助二次函数的图象，能够很好地得出函数的性质解：∵y=－3x2－6x＋1=－3（x＋1）2＋4，∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x=－1；顶点坐标为（－1，4）；当x=－1时，函数y取最大值y=4；当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小。

点津：函数的图象，能够直观地刻画出变量间的对应关系，使得函数的有关性质明显地从图形上反映出来，因此，很多问题的解决，如果能借助于函数的图象，往往起到事半功倍的效果。

【直击高中】（一）求一元二次函数的最值例2.求一元二次函数的最值思路导航：在求一元二次函数的最值时，如果函数的表达式不宜配方，我们可以先判断函数图象的开口方向，再把二次函数顶点的横坐标值代入表达式，得到相应的最值解：因为函数的图象开口向下，所以函数有最大值，无最小值又该函数顶点的横坐标为，代入表达式，得函数的最大值为点津：二次函数求最值，除配方法、顶点法外，还可直接用公式法，即先判断二次项系数的正负，再把对应的系数代入求出最值。

初中升高中二次函数衔接最值知识复习练习教学案

二次函数的图象和性质总结表二次函数最值模块训练模块一：定轴动区间例1：求二次函数32)(2--=x x x f 在下列情况下的最小值：（1）x 的取值范围为实数轴上所有的数。

（2）x 在区间]4,2[上（3）x 在区间]4,0[上（4）x 在区间]4,[a 上（5）x 在区间],0[a 上知识总结：定轴动区间求最小值的实质为分类讨论对称轴与区间动端点的两类关系：以左动右定区间为例（如]4,[a ）：（1）对称轴在区间动端点的左侧，最小值为：；（2）对称轴在区间动端点的右侧，最小值为：；变式1：求例1条件下函数)(x f 的最大值。

知识总结：定轴动区间求最大值的实质为分类讨论区间动端点a 与区间定端点关于对称轴对称的点m 之间的两类关系：以左动右定区间为例（如]4,[a ）：（1）a 在m 的左侧，最大值为：；（2）a 在m 的右侧，最大值为：；模块二：动轴定区间例2：求以下各函数)(x f 在区间]3,1[上的最小值。

（1）1)4()(2+-=x x f （2）1)23()(2+-=x x f （3）1)21()(2+-=x x f （4）1)()(2+-=a x x f知识总结：动轴定区间求最小值的实质为分类讨论对称轴与区间的三类关系：（1）对称轴在区间的左侧，最小值为：；（2）对称轴在区间的中间，最小值为：；（3）对称轴在区间的右侧，最小值为：；变式1：求例2条件下函数)(x f 的最大值。

知识总结：动轴定区间求最大值的实质为分类讨论对称轴与区间的四类关系：（1）对称轴在区间的左侧，最大值为：；（2）对称轴在区间中点的左侧，最大值为：；（3）对称轴在区间中点的右侧，最大值为：；（4）对称轴在区间的右侧，最大值为：；课后练习题：1.求函数32)(2+-=x x x f 在区间]2[，a 上的最小值 2.求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

2020高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题高效演练学案202020211106

第2讲二次函数的最值二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量x 在某个范围内取值时，求函数y 的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用．【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. 2.二次函数的图象和性质解析式y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称3.二次函数的最值（1）.当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a-．（2）.当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba -时，函数取最大值y ＝244acb a-．【高效演练】1.二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是y ＝________. 【解析】设y ＝a (x －2)2－1(a ＞0)，当x ＝0时，4a －1＝1，a ＝12，所以y ＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.【答案】12x 2－2x ＋1.2.已知函数y=x 2＋2ax ＋1－a (x ∈[0，1])有最大值2，则a ＝________.【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a . 当a<0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a>1时，f(x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 【答案】－1或2.3.已知函数y=x 2﹣2x+3，求下列情况下二次函数的最值（1）2≤x≤3；（2）-2≤x≤2．【分析】（1）根据二次函数y=x 2﹣2x+3的图象和性质，分析当2≤x≤3时，y 递增，进而可得y 的最大值、最小值；（2）根据二次函数y=x 2﹣2x+3的图象和性质，分析当-2≤x≤2．时，函数的单调性，进而可得y 的最大值、最小值．【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。

高一数学《二次函数的最值》教案-word文档资料

高一数学《二次函数的最值》教案分课题二次函数的最值课型新授课
教学目标熟练地掌握二次函数的最值及其求法。

重点二次函数的的最值及其求法。

难点二次函数的最值及其求法。

一、复习引入
二次函数的最值：
二、例题分析：
例1：求二次函数的最大值以及取得最大值时的值。

变题1：⑴、⑵、⑶、
变题2：求函数（）的最大值。

变题3：求函数（）的最大值。

例2：已知（）的最大值为3，最小值为2，求的取值范围。

例3：若，是二次方程的两个实数根，求的最小值。

三、随堂练习：
1、若函数在上有最小值，最大值2，若，
则 =________， =________。

2、已知 , 是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（）
A、0
B、1
C、－1
D、2
3、求函数在区间上的最大值。

四、回顾小结
本节课学习了以下内容：
1、二次函数的的最值及其求法。

课后作业
班级：高一（）班姓名__________
一、基础题：
1、函数（）
A、有最大值6
B、有最小值6
C、有最大值10
D、有最大值2
2、函数的最大值是4，且当 =2时， =5，则 =______，=_______。

二、提高题：
3、试求关于的函数在上的最大值。

4、已知函数当时，取最大值为2，求实数的值。

5、已知是方程的两实根，求的最大值和最小值。

三、能力题：
6、已知函数，，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量的值。

二次函数最值问教学设计与反思

二次函数的运用（1）教学设计何时获得最大利润教学目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．教学重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．教学难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．教学方法:在教师的引导下自主教学。

教学过程:一、有关利润问题：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?二、做一做：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、举例：【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y（1①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b 2）2＋ab ac 442-的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．关于二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称．其中正确命题的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、小结：本节课我们学习了什么？六、作业1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q 关于x的函数表达式；（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）（1）求y与x（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？教学反思何时获得最大利润1、本节课之前的学习内容中，学生已初步了解求特殊的二次函数最大（小）值的方法，但教材上没有求一般二次函数最大（小）值的方法．在学生探索“何时获得最大利润”的过程中，对求一般二次函数最大（小）值的方法，在这节课中我引导学生从多个角度体会了函数的最值的求法。

二次函数最值专题教学设计

二次函数最值专题教学设计导言：二次函数是高中数学中的重要内容，它具有丰富的数学性质和应用场景。

其中，求二次函数的最值是一个关键概念，也是解决实际问题的基础。

本篇教学设计将以二次函数最值为核心，通过灵活的教学方法和实践性的学习活动，帮助学生深入理解二次函数的最值概念，并掌握求解最值的方法。

一、教学目标：1. 知识与能力目标：了解二次函数的图像特征，理解二次函数的最值概念，掌握求解二次函数最值的方法。

2. 过程与方法目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学建模能力。

3. 情感态度与价值观目标：引导学生对数学知识的兴趣，培养学生的实际应用思维，激发学生的创新精神。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：二次函数最值的概念和求解方法。

2. 教学难点：如何将二次函数最值与实际问题相结合，培养学生的应用思维。

三、教学过程：1. 导入新内容：- 引入二次函数的概念和图像特征；- 回顾线性函数最值的概念，引出二次函数最值的概念。

2. 探究活动：- 给予学生一个简单的二次函数，如y = x²，让学生观察其图像，并讨论最值分别是多少；- 引导学生观察二次函数图像的凹凸性质，找出最值点的共同特征。

3. 知识讲解：- 以幻灯片为辅助，讲解二次函数的最值是函数图像的最高点或最低点；- 介绍二次函数最值的概念，如最大值、最小值；- 通过公式和图像的对比，讲解最值点在坐标系上的表示。

4. 解题方法：- 引导学生观察二次函数最值与二次函数的多项式系数的关系，讲解最值的推导过程；- 通过例题，教授学生求解二次函数最值的方法。

5. 练习与应用：- 分组练习：设计一道综合应用题，要求学生结合实际问题，求解二次函数的最值，并给出问题的解释和解决思路；- 学生展示：每组选派一位学生进行展示，让其他同学进行点评。

6. 拓展与延伸：- 引导学生思考二次函数最值与实际问题的关系，帮助学生理解数学知识的应用；- 引导学生研究二次函数最值在自然界、经济学等领域的实际应用。

初高中衔接教学——二次函数的顶点和最值

初高中衔接教学——二次函数的顶点和最值二次函数2y ax bx c =++ (0)a ≠具有下列性质：⑴当0a >时，函数2y ax bx c =++的图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线2b x a =-；当2b x a<-时，y 随着x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随着x 的增大而增大；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-. ⑵当0a <时，函数2y ax bx c =++的图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线2b x a =-；当2b x a<-时，y 随着x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随着x 的增大而减小；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-.【例1】求二次函数2361y x x =--+的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象。

1、函数2(1)4y x =--+的图象的顶点坐标是（） A 、(1,4)- B 、(1,4)--C 、(1,4)-D 、(1,4) 2、若二次函数223y x x =-+的顶点坐标为(,)a b ，则ab 的值为（）A 、3B 、2C 、1D 、-2 3、函数246y x x =-++的最值情况是（）A 、有最大值6B 、有最小值6C 、有最大值10D 、有最大值24、已知二次函数22y x mx n =-+的图象的顶点坐标为(1,2)-，则m = ， n = .5、已知二次函数2(2)2y x m x m =---，当m = 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m = 时，函数图象经过原点.6、当a 为何实数时，关于x 的方程2(2)30x a x a +-+-=的两个实根m 、n 的平方和取得最小值？最小值是多少？A B C DA B C D。

高中数学初高中衔接教材第05课时二次函数的最值学

二次函数的最值一、复习引入二次函数的最值：二、例题分析：例1：求二次函数342++-=x x y 的最大值以及取得最大值时x 的值。

变题1：⑴、40≤≤x⑵、30≤≤x⑶、10≤≤x变题2：求函数32++-=ax x y （40≤≤x ）的最大值。

变题3：求函数342+-=x x y （a x ≤≤0）的最大值。

例2：已知322+-=x x y （a x ≤≤0）的最大值为3，最小值为2，求a 的取值范围。

例3：若α，β是二次方程0622=++-k kx x 的两个实数根，求22)1()1(-+-βα的最小值。

三、随堂练习：1、若函数b ax x y ++=2在20≤≤x 上有最小值41-，最大值2，若24-≤≤-x ，则a =________，b =________。

2、已知α,β是关于x 的一元二次方程0122=--kx x 的两实数根，则22βα+的最小值是（）A 、0B 、1C 、－1D 、23、求函数)(a x x y --=在区间a x ≤≤-1上的最大值。

四、回顾小结本节课学习了以下内容：1、二次函数的的最值及其求法。

课后作业班级：高一（）班姓名__________一、基础题：1、函数4)1(2+--=x y（）A 、有最大值6B 、有最小值6C 、有最大值10D 、有最大值22、函数q px x y ++=2的最大值是4，且当x =2时，y =5，则p =______，q =_______。

二、提高题：3、试求关于x 的函数22++-=mx x y 在20≤≤x 上的最大值k 。

4、已知函数2142+-+-=a ax x y 当10≤≤x 时，取最大值为2，求实数a 的值。

5、已知21,x x 是方程01254222=-++m mx x 的两实根，求2221x x +的最大值和最小值。

三、能力题：6、已知函数2x y =，a x ≤≤-2，其中2-≥a ，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值。

初高中数学知识衔接专题《二次函数的最值》现场教案版

值时， 2 2 有最小值？求出这个最小值.
典型例题 • 3.已知函数 f (x) x2 2x 3 在定义域 [0, m)上的值域为 [2,3]，
求正数m的取值范围.
典型例题 • 4.已知函数 f (x) 1 2a 2ax 2x2在定义域 [1,1] 上的最小值为
m(a)，求m(a)的表达式。
初高中数学知识衔接专题
键盘手
知识要点 • 二次函数在给定区间上的最值问题是高中数学学习中需
要解决的一个重点问题。
知识要点 • 1.二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）
①当a>0在 x b 时，有 y 4ac b2 最小值.
2a
4a
②当a<0在x b 时，有 y 4ac b2 最大值.
求实数a的值。
知识要点 • 1.二次函数 f (x) a(x m)2 n (a 0) ，其中 x [c, d ] ，则
f (m) , c m d
①当a>0时，fmin
f (c) ,
mc
f (d ) , m d
f (m) , c m d
②当a<0时，fmax
f (c) ,
(D)最大值 f ( b ) ，最小值 f (3) . 2a
巩固练习 • 6.求函数 f (x) ax2 ax b(a 0) 在区间 [1,2] 上的最值.
巩固练习 • 7.已知 x、y R 且 3x2 2y2 9x ，分别求x与 x2 y2 的取值范
围.
巩固练习 • 8.设二次函数 f (x) x2 2ax 1 a 在区间[0,1] 上的最大值为2，
巩固练习 • 1.求下列函数的值域：
(1) y 2x2 3x 7(1 x 1)

二次函数的最值问题--初升高数学衔接课程 (教师版含解析)

第7章二次函数的最值问题【知识衔接】————初中知识回顾————二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少．二次函数的最值一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。

————高中知识链接————给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。

具体归纳如下：1、一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y044,02min<-=>••a a b ac y a 时，ab ac y 442max -=2、一元二次函数)0()(2>++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值。

1°当m ab<-2 ，)()(),()(min max m f x f n f x f ==2°当22n m a b m +≤-≤，a b ac x f n f x f 44)(),()(2min max -==3°当n ab n m ≤-<+22时， a bac x f m f x f 44)(),()(2min max -==4°n ab>-2时， )()(),()(min max n f x f m f x f ==3、一元二次函数)0()(2<++==a c bx ax x f y 在区间[m,n]上的最值类比2可求得。

【经典题型】初中经典题型1．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为(4，3)．D 是抛物线26y x x =-+上一点，且在x 轴上方．则△BCD 的最大值为．【答案】152．2．已知当x 1=a ，x 2=b ，x 3=c 时，二次函数21y x mx 2=+对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，若正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＜y 2＜y 3，则实数m 的取值范围是．【答案】5m >2-．3．已知二次函数2y x bx c =++(b ，c 为常数)． (Ⅰ)当b =2，c =-3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式； (Ⅲ)当c=b 2时，若在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．【答案】(Ⅰ)二次函数取得最小值-4． (Ⅱ)542++=x x y 或542+-=x x y ．(Ⅲ)772++=x x y 或1642+-=x x y ．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=，它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即2b-＜b ；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤2b-≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即2b -＞b+3，根据列出的不等式求得b 的取值范围，再根据x 的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y 的最小值为21可列方程求b 的值(不合题意的舍去)，求得b 的值代入也就求得了函数的表达式．(Ⅲ)当c=b 2时，二次函数的解析式为22b bx x y ++=．它的图象是开口向上，对称轴为2bx -=的抛物线． ①若2b-＜b 时，即b ＞0，在自变量x 的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y 随x 的增大而增大，故当x=b 时，2223b b b b b y =+⋅+=为最小值．∴2132=b ，解得 71=b ，72-=b (舍去)．②若b≤2b-≤b+3，即-2≤b≤0，当x=2b -时，22243)2()2(b b b b b y =+-⋅+-=为最小值．∴21432=b ，解得 721=b (舍去)，722-=b (舍去)．高中经典题型1．二次函数213222y x x =-++的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是( )A ．3．125B ．4C ．2D ．0【答案】C ．2．已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．【答案】()64,81 【解析】根据题意， ()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知， 126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅ ()()2111166x x x x =⋅-⋅-+= ()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦， ()()21123,398,9x x <<∴--+∈， ()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81． 3．已知函数，其中为常数．(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (2)若，都有，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间内，解不等式可得实数的取值范围，(2) 根据二次函数图像得得在x 轴上方，即，解得实数的取值范围．详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此，解得所以的取值范围是． (2)因为恒成立，所以，整理得解得因此，的取值范围是．4．如图，抛物线21251233y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若点P 是线段AC 上方的抛物线上一动点，当△ACP 的面积取得最大值时，点P 的坐标是( )A ．(4，3)B ．(5，3512)C ．(4，3512) D ．(5，3) 【答案】C ．【分析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++)，根据S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC 构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．【解析】连接PC 、PO 、P A ，设点P 坐标(m ，21251233m m -++) 令x =0，则y =53，点C 坐标(0，53)，令y =0则212501233x x -++=，解得x =﹣2或10，∴点A 坐标(10，0)，点B 坐标(﹣2，0)，∴S △P AC =S △PCO +S △POA ﹣S △AOC =21511251510()10232123323m m m ⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=25125(5)1212m --+，∴x =5时，△P AC 面积最大值为12512，此时点P 坐标(5，3512)．故选C ．【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数)，在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为( )A ．1或﹣5B ．﹣1或5C ．1或﹣3D ．1或3 【答案】B ．【分析】由解析式可知该函数在x =h 时取得最小值1、x ＞h 时，y 随x 的增大而增大、当x ＜h 时，y 随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．2．一次函数与二次函数交于x轴上一点，则当时，二次函数的最小值为( )A．15 B．-15 C．16 D．-16【答案】D【解析】分析：首先根据一次函数得出与x轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值．详解：根据一次函数解析式可得与x轴的交点坐标为(－5，0)，将(－5，0)代入二次函数可得：25－10－b=0，解得：b=15，∴二次函数的解析式为：，∴在中当x=－1时，函数的最小值为－16，故选D．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与x轴的交点坐标问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是得出一次函数与x轴的交点，从而得出二次函数解析式．3．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________【答案】0或4【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可．详解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案为：0或4．点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解．4．如图，点A，B的坐标分别为(1，4)和(4，4)，抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为______．【答案】8【解析】分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A(1，4)，根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD 间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B(4，4)，再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．详解：当点C横坐标为−3时,抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选：D．点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键．5．已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．【答案】或【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分m<-1、m>2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．详解：y=x²−2mx=(x−m)²−m²，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，解得：m=−；②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，解得：m=<2(舍)；③若−1⩽m⩽2,当x=m时,y=−m2=−2，解得：m=或m=−<−1(舍)，∴m的值为−或，故答案为：−或．点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键．6．若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_____．【答案】2【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值．详解：∵∴，∴∵∴∴当，即b=0时，的值最小．∴最小值是2．7．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．(1)当m=4时，求n的值；(2)设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；(3)当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．【答案】(1)3(2)-15(3)m=2，n=-3【解析】分析：(1)根据一次函数与x轴的交点，求出A点的坐标，然后把A点坐标和m的值代入可求出n 的值；(2)表示出二次函数的对称轴，由m的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值；(3)根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出m、n的值．详解：(1)当y=x+3=0时，x=﹣3，∴点A的坐标为(﹣3，0)．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，∴当m=4时，n=3m﹣9=3．(2)抛物线的对称轴为直线x=﹣，当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m﹣9=﹣15，∴当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣15．(3)①当对称轴﹣≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6时，如图2，有，解得：或(舍去)，∴m=2、n=﹣3；③当﹣≥0，即m≤0时，如图3，有，解得：(舍去)．综上所述：m=2，n=﹣3．点睛：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合，正确判断二次函数的对称轴，以及函数的图像与性质，利用二次函数的图像与性质判断其最值是关键，解题时应用到分类讨论思想和方程思想．8．如图, 已知抛物线经过A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)三点．(1)求此抛物线的解析式；(2)此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；(3)若点D(2，m)在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．学科-网【答案】(1)；(2)最大值为；(3)符合条件的点的坐标为或．【解析】分析：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；(2)由于二次项系数a=-＜0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；(3)先将点D(2，m)代入(1)中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．详解：(1)将A(-2，0)、B(4，0)、C(0，4)代入y=ax2+bx+c，得，解得：，所以此抛物线的解析式为y=-x2+x+4；(2)∵y=-x2+x+4，a=-＜0，∴抛物线有最大值，最大值为；(3)∵点D(2，m)在抛物线y=-x2+x+4上，∴m=-×22+2+4=4，∴D(2，4)，∵B(4，0)，∴BD=．假设在y轴的正半轴上存在点P(0，y)(y＞0)，使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：①如果PB=PD，那么42+y2=22+(y-4)2，解得y=，所以P1(0，)；②如果BP=BD ，那么42+y 2=20，解得y=±2(负值舍去)，所以P 2(0，2)；③如果DP=DB ，那么22+(y-4)2=20，解得y=0或8，y=0不合题意舍去，y=8时，(0，8)与D ，B 三点共线，不合题意舍去；学=科网综上可知，所有符合条件的P 点的坐标为P 1(0，)，P 2(0，2)．点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．————再战高中题 —— 能力提升————B 组1、函数242-+-=x x y 在区间]4,1[上的最小值是( )A 、－7B 、－4C 、－2D 、2 2、已知函数322+-=x x y 在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A 、),1[+∞B 、[0,2]C 、[1,2]D 、]2,(-∞ 3、如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(t f t f -=+，那么( )A 、)4()1()2(f f f <<B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f <<D 、)1()2()4(f f f <<4、若0,0≥≥y x ，且12=+y x ，那么232y x z +=的最小值为( )A 、2B 、43C 、32D 、05、设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实数根，则2221x x +的最小值是。

近年高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题高效演练学案(2021年整理)

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第2讲二次函数的最值二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量x 在某个范围内取值时，求函数y 的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用．【知识梳理】1。

二次函数解析式的三种形式：一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0）.顶点式：y ＝a (x －m ）2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ).零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2）（a ≠0），x 1，x 2为f (x ）的零点. 2。

二次函数的图象和性质解析式 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0） y ＝ax 2＋bx ＋c （a 〈0）图象对称性函数的图象关于x ＝－错误!对称3。

二次函数的最值（1).当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--,对称轴为直线x ＝－2b a ;当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba-时,y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）。

初高中衔接-第五讲-二次函数的最值问题

二次函数的最值问题二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数23532y x x =---的最大值和最小值．7．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．．8．如图，某农民要用12m 的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m ，问怎样围才能使得该矩形面积最大？。