1995圣彼得堡数学奥林匹克_初中_

算谁输. 甲先开始. 试问 :在正确的策略之下 ,
谁将获胜 ?
7. 7. 一套多卷本《犬类大全》杂乱地放在
书架的两层上 ,上层最左端放着《德国牧羊犬
卷》. 每天早晨图书管理员都把放在不同层上
的两卷连号的书交换位置. 某一天 ,突然发现
所有的书都回到了开始时所放的那一层上.
证明 :此时《德国牧羊犬卷》仍然放在上层最
6. 4. 试求方程 19 x - yz = 1 995 的所有质 数解组 ( x , y , z) .
6. 5. 在 9 ×9 方格表中有 19 个方格被染 成红色. 证明 :或者可以找到两个有公共边的 红色方格 ;或者可以找到一个未被染红的方 格 ,它至少与两个红色方格都有公共边.
6.6. 矩形形状的巧克力被凹槽分割为 17 ×17 个方格 ,甲 、乙两人按如下法则做游 戏 :每人每次都将 1 块矩形形状的巧克力块 分为 2 个矩形 (只能沿着凹槽切开) 块 ;并且 乙每次做完后都立即吃掉他所分出的 1 个矩 形块. 谁不能继续下去 ,就算谁输. 甲先开始. 试问 :在正确的策略之下 ,谁将获胜 ?
左端.
8. 1. 将正三角形的中心与它的三个顶点
都相连. 在三条连线和三条边上各写着一个
正整数. 对于其中任何三条形成一个三角形
的线段 ,都可以将写在它们上面的数同时加
1. 证明 :通过这种操作 ,可以使 4 个三角形的
各边上的数的和被 3 除的余数相同.
8. 2. 同 7. 3.
8. 3. 以 p( n , k) 表示正整数 n 的不小于
矩形.
8. 2. 能否将正整数 3 ,4 , …,11 填入 3 ×3
方格表 ,使得第一行的数的乘积等于第一列
的数的乘积 ;第二行的数的乘积等于第二列
的数的乘积 ;第三行的数的乘积也等于第三
列的数的乘积 ?
8. 3. 如图 1 ,
设 四 边 形 ABCD
为菱 形 , 点 E、F
分 别 位 于 边 AB 、
7. 1. 同 6. 1. 7. 2. 同 6. 4. 7. 3. 某大公的卫队里有 1 000 名武士. 任 何两名武士或者互为朋友 ,或者互为敌人 ,或 者互不认识. 武士们都是寡合的 ,他们都只同 朋友才说话. 但是 ,现状使得每名武士都不开 心 ,因为对于每名武士来说 ,他的任何两个朋 友都互为敌人 ,而他的任何两个敌人都互为 朋友. 证明 :为了使得所有武士都知道大公的 一项新决定 ,大公至少需要通知 200 名武士. 7. 4. 矩形的方格表被分成一系列 1 ×2
排数字和把偶数除以 2 ,也能由 74 得到 1. 首先 ,把
74 的数字重排 ,得到 47 ,它是奇数 ,不能被 2 整除 ,
操作到此告终. 然后 ,把 74 除以 2 ,得到 37 ,那么 ,无
论是 37 ,还是重排后得到的 73 都是奇数 ,操作也不
能再继续. 由此看来 ,由 74 出发 ,一共只能得到三个
生的蘑菇的不多于 1 5
,则称蠕虫为“瘦的”. 现
知树林里
1 4
的蘑菇是坏的.
证明
:有不少于
1 3
的蠕虫是瘦的.
8. 1. 一个矩形的边长为整数. 现知可以
把它分为一系列角状形 (即将 2 ×2 的正方形
去掉任何一个单位正方形后所成的图形) . 证
ห้องสมุดไป่ตู้
明 : 可 以 把 该 矩 形 分 为 一 系 列 的 1 ×3 的
6. 2. 在树林里生长着橡树和枞树. 主人 砍去了橡树的三分之一和枞树的六分之一. 生态组织“绿色复仇者”断言 ,树林中有一半 树被砍去. 证明 :在该断言中 ,包含有不正确 的成分.
6. 3. 十进制五位数 A 的各位数字都是 2 或 3 ,而十进制五位数 B 的各位数字都是 3 或 4. 试问 :乘积 AB 的各位数字能否全都是 2 ? 说明理由.
7. 3. 在某岛上居住着 100 个人 ,其中一 些人总说假话 ,其余人则永远说真话. 岛上的 每位居民崇拜三个神之一 :太阳神 、月亮神和 地球神. 向岛上的每位居民提了三个问题 :
(1) 您崇拜太阳神吗 ? (2) 您崇拜月亮神吗 ?
(3) 您崇拜地球神吗 ? 对第一个问题有 60 人回答 “: 是”; 对第 二个问题有 40 人回答 “: 是”;对第三个问题 有 30 人回答 “: 是”. 他们中有多少人说的是 假话 ? 7. 4. 如果蘑菇上面寄生着多于 11 条蠕 虫 ,则被称为“坏的”;如果蠕虫只吃了它所寄
k 的约数的个数. 试求
p (1 001 ,1) + p (1 002 ,2) + …+
p (2 000 ,1 000) .
8. 4. 如图 2 ,在
△ABC 中 , BD 是
∠ABC 的 平 分 线.
在 △ABC 外取一点
E , 使 得 ∠EAB =
∠ACB , A E = DC ,并
且线段 ED 与线段
图2
AB 相交 ,交点记为 K. 证明 : KE = KD.
2006 年第 1 期
8. 5. 一笔遗产包括若干枚钻石 ,价值 1 000 000. 现知可以将其分成 5 等份 ,也可 以分成 8 等份. 试求最小一枚钻石价值的最 大可能值.
8. 6. 将正整数 1 至 100 按任意顺序分别 写在正 100 边形的各个顶点上. 允许交换任 何两个差为 1 的数的位置. 在经过若干次这 种操作之后 ,每个数都移到了顺时针方向的 相邻顶点上. 外接圆的直径的两个端点相互 称为对径点. 证明 :必有某一时刻 ,有两个处 于对径点上的数交换位置.
8. 7. 矩形的方格表被分成一系列 1 ×2 的矩形 (多米诺) . 现知每一条与方格线平行 的非方格线的直线所穿过的多米诺的数目都 是偶数. 证明 :方格表的一条边的边长是 4 的 倍数.
参考答案
第一轮
6. 1. 一种填法如图 3. 6. 2. 由于树林里生长着
橡树和枞树 ,而被砍去的橡树 不到橡树总数的一半 ,被砍去 的枞 树 也 不 到 枞 树 总 数 的 一 半 ,所以 ,被砍去的树木不到
BC 上 , 且 AE =
5 B E , B F = 5 CF.
图1
若 △DEF 为 等 边
三角形 ,试求 ∠BAD 的度数.
8. 4. 有如下两类五位数 :
(1) 各位数字之和等于 36 ,且为偶数 ;
(2) 各位数字之和等于 38 ,且为奇数.
试问 :哪一类数较多 ? 说明理由.
32
第二轮
6. 1. 25 个学生站成一行. 现知最左面的 学生比最右面的学生高. 证明 :可以找到一个 学生 ,他的左邻高于右邻.
因此
,有不少于
1 3
的蠕
虫是瘦的.
8. 1. 每个角状形的面积是 3 ,所以 ,矩形的面积
是 3 的倍数. 既然矩形的边长为整数 ,而它的面积等
于长乘宽 ,3 又是质数 ,所以 ,矩形至少有一边之长
是 3 的 倍 数. 故 可 把 该 矩 形 分 为 一 系 列 1 ×3 的
矩形.
8. 2. 可以. 一种填法如图 5.
11 8 5 4 7 6
10 3 9
图5
图6
8. 3. 如图 6 ,由题意知 B E = CF. 在边 AB 上取点
K ,使得 A K = B E. 易知 △A KD ≌△CFD. 从而 , DK =
DF = DE. 故 △DKE 为等腰三角形 ,有
∠DKE = ∠DEK.
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又 A K = B E , DK = DE , ∠DKA = ∠DEB , 则 △ADK ≌ △BDE. 从 而 , AD = BD , 于 是 , △ABD为等边三角形. 所以 , ∠BAD = 60°. 8. 4. 容易看出 ,各位数字之和等于 38 的五位数 的各位数字中不可能有 0 ,否则它的各位数字之和 不超过 4 ×9 = 36. 如果将每个各位数字之和等于 38 的奇数的末尾两位数字各减去 1 ,就可以得到 1 个各 位数字之和等于 36 的偶数. 由不同的奇数得到不同 的偶数 ,所以 ,各位数字之和等于 38 的奇数不多于 各位数字之和等于 36 的偶数. 另一方面 ,存在各位 数字之和等于 36 的偶五位数 (如 99 990) 不能通过这 样的办法得到. 所以 ,各位数字之和等于 36 的偶数 更多.
菇总数为
4 k. 如果蠕虫吃了它所寄生的蘑菇的
1 5
以
上 ,就将它称为“肥的”. 显然 ,在 1 个蘑菇上面至多
有 4 条肥的蠕虫 ,所以 ,肥蠕虫的数目不多于 16 k. 既
然在每个坏的蘑菇上面至少寄生着 12 条蠕虫 ,所
以 ,它们当中至少有 8 条是瘦的 ,因此 ,坏的蘑菇上
面至少一共有
8k
条瘦蠕虫 .
6. 2. 黑板上写着数 12. 每一分钟可以将 黑板上的数乘以 2 或 3 ,也可以除以 2 或 3 , 并以计算结果代替原来的数. 证明 :经过 1 小 时以后 ,黑板上的数不可能为 54.
6. 3. 水洼里有 19 条蓝色变形虫和 95 条 红色变形虫. 有时它们会发生互变 :如果 2 条 红色变形虫相遇 ,会变成 1 条蓝色变形虫 ;如 果 2 条蓝色变形虫相遇 ,在变成 1 条变形虫 之后又立即分裂为 4 条红色变形虫 ;而 1 条 红色变形虫与 1 条蓝色变形虫相遇 ,则在变 成 1 条变形虫之后又立即分裂为 3 条红色变 形虫. 到了晚上 ,水洼里一共有 100 条变形 虫. 试问 :其中有多少条蓝色变形虫 ?
5551 5551 5551 5551
图3
一半.
6. 3. 乘积 AB 介于
22 222 ×33 333 与 33 333 ×44 444
之间 ,也就是介于
740 725 926 与 1 481 451 852
之间 ,所以 ,AB 的首位数不可能是 2.
6. 4. 解法 1 :如果可以由 1 得到 74 ,那么 ,通过重
中等数学
的矩形 (多米诺) . 现知每一条方格线所穿过
的多米诺的数目都是 4 的倍数. 证明 :方格表
的一条边的边长是 4 的倍数.
7. 5. 计算机的屏幕上显示着数 1. 每一
秒钟计算机都进行一次如下的操作 :如果屏
幕上的数能被 2k 整除 ,则将它加上 1 至 k +
1 中的任意一个正整数. 证明 :任何一个 2 的
不同的数 ,它们之中没有 1.
解法 2 :在规定的操作下 ,数的数字个数不会减
少. 因此 ,一旦得到一个三位数甚至更多位数的数之
后 ,数的位数无论如何都不会再减少到两位 . 图 4 中
给出了由 1 出发得到的一切可能的第一个三位数 ,
在得到它们的过程中并没有出现 74 :
33
图4
7. 1. 可以排为 1 ,1 ,2 ,1 ,2 ,2 ,3 ,3 ,1 ,3. 7. 2. 参阅 6. 4 的解法. 7. 3. 将永远说真话的人称为“老实人”,把总说 假话的人称为“骗子”. 每个老实人都只会对一个问 题回答 “: 是”. 而每个骗子则都对两个问题答 “: 是”. 将老实人的人数记为 x ,将骗子的人数记为 y. 于是 , x + 2 y = 130. 又由于在该岛上居住着 100 个人 ,所 以 , x + y = 100. 从而可知 ,有 y = 30 个人说的是假 话. 7. 4. 将坏的蘑菇数目记为 k ,于是 ,树林里的蘑
2006 年第 1 期
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再品佳题
1995 圣彼得堡数学奥林匹克 (初中)
苏 淳 译
(中国科学技术大学统计与金融系 ,230026)
第一轮
6. 1. 试在 4 ×4 方格表的每一个方格中 填入一个正整数 ,使得各行数的乘积的和能 被 5 整除 ,而各列数的乘积的和不能被 5 整 除. (先将每一行中的 4 个数相乘 ,再把 4 个 乘积相加 ;对列作同样处理. )
6. 4. 将正整数乘以 2 后 ,按任意顺序重 新排列它的各位数字 (但是 0 不能排在首位) 称为操作. 证明 :不能经过若干次这种操作 , 由 1 得出 74.
7. 1. 试将四个 1 ,三个 2 和三个 3 排列在 圆周上 ,使得任何相连的三个数的和都不是 3 的倍数.
7. 2. 将正整数乘以 2 后 ,按任意顺序重 新排列它的各位数字 (但是 0 不能排在首位) 称为操作. 证明 :不能经过若干次这种操作 , 由 1 得出 811.
方幂数都迟早会出现在屏幕上.
7.6. 矩形形状的巧克力被凹槽分割为
1 995 ×1 995 个方格 ,甲 、乙两人按如下法则
做游戏 :每人每次都将 1 块矩形形状的巧克
力块分为 2 个矩形 (只能沿着凹槽切开) 块 ;
并且每次做完后都可以立即吃掉所分出的 1
个矩形块 (也可以不吃) . 谁不能继续下去 ,就