直线与平面垂直的判定与性质

直线与平面垂直的判定与性质

典型例题

1、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）

A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,

B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//

C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,

D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 解析：正确的命题是n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//，选B.

2、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、 BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 求证：AO ⊥平面BCD ；

本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所

成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象

能力、逻辑思维能力和运算能力。

）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥

在AOC ∆中，由已知可得1, 3.AO CO ==

而2,AC = 2

2

2

,AO CO AC ∴+=

90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥

,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD

一、选择题

1．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1

的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ ） A ．

2

3

B ．22

C ．2

1 D ．

3

3

2、在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ）

（A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E

A B M D E O

C

（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面P AE ⊥平面 ABC

3、设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （ ）

(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,

(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,

4、如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．

的是 (A ）BD ∥平面CB 1D 1 (B)AC 1⊥BD

(C)AC 1⊥平面CB 1D 1 (D)异面直线AD 与CB1 所成的角为60°

5、（选做）已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且,m n ββ⊥⊥，则,m n 所成的角为

（A ）030 （B ）060 （C ）090 （D ）0120 二、填空题

6、如图，PA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于 ．

7、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，1=AB ．若二面角1C AB C --的大小为 60，则点C 到平面1ABC 的距离为______________．

8（选做）如图，正方体1AC 的棱长为1，过点作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ．有下列四个命题

Ａ．点H 是1A BD △的垂心 Ｂ．AH 垂直平面11CB D

Ｃ．二面角111C B D C --的正切值为2 Ｄ．点H 到平面1111A B C D 的距离为34

其中真命题的代号是

．（写出所有真命题的代号）

三、解答题

9、如图，已知两个正四棱锥P -ABCD 与

Q -ABCD 的高都是2，AB =4. 证明PQ ⊥平面ABCD ；

10、在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）求证：A 1E ⊥平面BEP ；

11（选做）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB ‖CD,AD =CD =24,E 、F 分别为PC 、CD 的中点. 试证：CD ⊥平面BEF;

Q

B

C

P

A

D

A

F

E

C

B

A 1

E

F

C

P B

图1

图2

答案： 1、 B 2、 C 3、 D 4、 D 5、B 6、2

7、解析：过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连接C 1D ，则C 1D ⊥AB ，∠C 1DC=60°，CD=2

3

，则C 1D=3，CC 1=

2

3

，在△CC 1D 中，过C 作CE ⊥C 1D ，则CE 为点C 到平面1ABC 的距离，

334=，所以点C 到平面AB C 1的距离为43 8、 A 、B 、C

9、取AD 的中点，连结PM ，QM .因为P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，

所以AD ⊥PM ，AD ⊥QM . 从而AD ⊥平面PQM .又⊂PQ 平面PQM ，所以PQ ⊥AD . 同理PQ ⊥AB ，所以PQ ⊥平面ABCD . 10、不妨设正三角形ABC 的边长为3

在图1中，取BE 中点D ，连结DF. AE ：EB=CF ：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600

, ∴△ADF 是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF ⊥AD 在图2中，A 1E ⊥EF, BE ⊥EF, ∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A 1E ⊥BE,又BE EF E =∴A 1E ⊥平面BEF,即 A 1E ⊥平面BEP 11、证：由已知//DF

AB =

且DAB ∠为直角。故ABFD 是矩形。从而CD BF ⊥。又PB ⊥

底面ABCD ，CD AD ⊥，故由三垂线定理知.CD PD ⊥ D PDC 中,E 、F 分别为PC 、CD 的中点，故EF//PD,从而CD EF ⊥，由此得CD ⊥面BEF 。