数学建模案例分析5化妆品销售量的预测--概率统计方法建模
各品类及单品销售量的分布规律及相互关系。数学建模
各品类及单品销售量的分布规律及相互关系。
数学建模在进行销售量分布规律及相互关系的数学建模之前，我们首先要明确各个品类和单品的定义。
品类是指商品按照功能、特征、用途等相似性质进行划分的类别，而单品则是指特定的商品。
在销售行业中，品类和单品的销售量通常是重要的业务指标，它们之间的分布规律和相互关系对于企业的决策和运营都有重要的指导意义。
为了分析各品类及单品销售量的分布规律及相互关系，我们可以采用统计学的方法进行建模和分析。
以下是一个可能的建模过程：第一步，数据收集：收集各品类及单品的销售量数据。
这些数据可以从企业内部的销售系统或者财务系统中获取，也可以通过市场调研来收集。
第二步，数据预处理：对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗和数据归一化等操作。
数据清洗包括去除异常值和缺失值等，数据归一化则是将数据转化为无单位的比例数据，便于进行后续的分析和比较。
第三步，分布规律分析：对各品类及单品的销售量数据进行分布规律的分析。
可以使用统计学中的描述统计方法，例如均值、中位数、方差、标准差等指标，来描述销售量的分布情况。
此外，还可以使用直方图、箱线图等图表来可视化展示销售量的分布情况。
第四步，相互关系分析：对各品类及单品之间的销售量进行相互关系的分析。
可以使用相关系数矩阵来计算各品类及单品之间的相关性，从而了解它们之间的关联程度。
此外，还可以使用散点图来可视化展示销售量之间的关系。
在实际建模过程中，可能还涉及到一些特殊情况的处理。
例如，对于不同时间段的销售量数据，可以采用时间序列分析的方法来建模和分析；对于具有季节性的品类和单品，可以采用周期分析的方法来研究其销售量的变化规律。
通过以上的建模过程，我们可以得到各品类及单品销售量的分布规律及相互关系的分析结果。
这些分析结果对于企业进行销售管理和运营决策都具有重要的参考价值。
例如，对于销售量较大的品类和单品，企业可以加大推广力度，提高它们的市场份额；对于销售量较小的品类和单品，企业可以考虑是否进行退出或者优化调整等。
产品销量预测模型
2012年河南科技大学数学建模第二次模拟训练承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。
如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B队员签名：1.2.3.日期： 2012 年月--日2012年河南科技大学数学建模第二次模拟编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注B 题产品销量预测摘要对产品销售量的预测，无论是对于整体掌控市场的发育与成长态势的政策制定者，还是对于研究市场行情以制定营销策略的厂商而言，都具有极其重要的作用。
本文针对市场上新产品进入市场的销量预测的实际问题，确定模型应有的变量，做出一般的假设并确定约束条件，从而建立有效的模型，以更好的解决新产品进入市场的销量预测问题。
对于问题一，经过分析可设()=dxkx t dt ，从而建立简单的Malthus 模型，很好地解决了产品销售量的预测问题。
对于问题二，针对市场中存在市场容量N 这一约束条件，又有=k[N-x(t)]dxdt，则可建立阻滞增长模型，即可得到产品的销售量在一定时间内迅速增加，达到一定时期后销售量开始趋于稳定。
对于问题三，综合考虑各个影响产品销售量的因素，通过筛选和忽略微小因素，主要考虑产品价格、产品广告投入、消费者习惯等因素，并引用媒体广告产出的模型，分别建立各因素与销售量的函数关系式，并通过这些关系式的组合，得到一种新的新产品扩散模型。
通过该模型与logistic 模型和巴斯新产品扩散模型比较来进行模型检验，并通过Matlab 编程画图可以得出，该模型和两种已知的模型的曲线走向一致。
数学建模用灰色系统预测未来的销售量
在市场经济条件下,影响药品市场销售量的因素很多，如何准确预测药品销售量，对药品生产厂家来说尤为重要。
没有确切的预测数字，药品生产数量不足，会发生缺货现象，失去销售机会而减少利润；如果生产过剩，一时销售不出去，造成药品积压占用流动资金，影响资金周转，也会造成经济损失。
因此，掌握一个较为准确的预测药品销售量的方法是很重要的。
常见的定量化预测方法，大多是应用“趋势外推”的思想，当历史资料较少而预测的时间跨度又较长时，往往遇到困难。
灰色系统预测模型-GM （1，1），近年来的应用实践表明，这种预测方法有较好的准确性和适应性。
根据2012年的各个月各个销售点的需求量来预测2013年的各个销售点的月需求量问题。
模型建立假设原始数据是：0(1)(2)......()x x x n 、希望的到观测值令 00(1)(2)......x n x n ++、、令101()()ki x k x i ==∑（k=2,3,...,n),称为原始数据的一次累加生成序列。
不难理解，非负序列经多次累加后的生成数列将表现出良好的指数增长特性。
由微积分学知道，一个随时间按指数规律变化的连续变量1()y x t =可以看作下列微分方程dyay b dx+= （1） 的解： 对该方程求解,将时间t 离散化，得： 1(1)[(1)]akb bx k x eaa-+=-+（2） 由的定义求原函数列的公式为： 011(1)(1)()x k x k x k +=+- （3）取k ≥n 的正整数，即可得所求预测值0(1),(2),........x n x n ++。
上述（1）、（2）、（3）构成所谓GM （1,1）预测模型。
模型中参数a 、b 由最小二乘法原理求得：1()T T a A A A B b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（4）其中1111111[(1)(2)]121[(2)(3)]12............1[(1)()]12x x x x A x n x n ⎛⎫-+ ⎪⎪⎪-+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭000(2)(3)........()x x B x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由（4）式求得a 、b 后，带入（2）式算出再由（3）式便可算出所求的预测值。
(完整版)化妆品的购买决策数学模型_数学系毕业设计
化妆品的购买决策数学模型摘要：本文将层次分析方法与模糊综合评判理论相结合用于化妆品购买决策的研究，给出一种模糊判断的权重计算方法，建立了化妆品购买决策的层次模糊决策模型。
应用该模型对保定地区三种销售的化妆品调查评判，研究该地区消费者的化妆品购买决策。
经过市场调研和专家咨询，把以使用效果、包装情况、价格因素、广告宣传、销售服务为一级评判指标，以美容院推荐、化妆品专卖店、超市、零售四种销售渠道为二级评价指标。
应用该方法建立起来的模型在了解消费者对化妆品的购买决策方面是可行的 ,同时也为新型化妆品的开发和市场推广提供了一定的依据。
关键词：模糊综合评判 ,层次分析，消费心理学 ,权重。
Mathematical modeling of cosmetic's purchasing thedecisionAbstract:A model of fuzzy comprehensive evaluation on purchasing the decision of cosmetic was built.By combining method of the weight of fuzzy judgment was got.The model was used to evaluate consumers’purchasing decision,choosing three kinds of cosmetics were selling in Bao Ding region.Investigating through market and consulting experts. The local level of evaluation：using effect，condition of packing，price factor，advertising campaign and service.Secondary evaluation：beauty salon recommend ,cosmetic special shop，supermarkets，general store. This model can provide real, complete1 and reliability purchasing the decision of consumers for choosing from a variety of cosmetics as well as can be used to provide a decision making in new cosmetics exploitation and market spreading .Keywords: fuzzy comprehensive evaluation ; analytical ）对化妆品购买决策进行分析一般按如下三个步骤实施：首先划分化妆品购买决策的影响因素层次，确定评判准则集；其次应用层次分析法构造购买决策的隶属函数和因素权集；最后进行化妆品购买决策的综合评判。
数学建模+建立统计模型进行预测课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)
年个人消费支出总额x/万元
1
1.5
2
2.5
3
恩格尔系数y
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
若y与x之间有线性相关关系,某人年个人消费支出总额为2.6万元,据此估
计其恩格尔系数为
.
5
5
=1
i=1
参考数据: ∑ xiyi=4, ∑ 2 =22.5.
^
参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其经验回归直线 =
现年宣传费x(单位:万元)和年销售量y(单位:t)具有线性相关关系,并对数据作了
初步处理,得到下面的一些统计量的值.
x/万元
y/t
2
2.5
4
4
5
4.5
3
3
6
6
(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程;
(2)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=y-0.05x2-1.85,根据(1)中的结果回答
5
=
则样本点的中心坐标为
19.65+m
,
5
19.65+m
4,
5
,
19.65+
代入y=1.03x+1.13,得 5 =1.03×4+1.13,
^
解得 m=6.6.故选 B.
答案:B
2.(多选题)下列说法正确的是(
)
附:χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值
α
xα
0.1
2.706
0.05
3.841
直线附近,并且在逐步上升,
所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.
数学建模第四章概率统计方法建模--4.5化妆品销售量的预测
i 1 j 1
m
m
0i
x i )( x 0 j x j ) c ij
现在用上面的回归模型来解决前面提出的问题：
162 120 Y 212 , 1 1 X 1 274 180 370 2450 3254 2605
这里 c
jj
是矩阵 C ( X
X)
1
中相应位置的元素。
对一个小概率 ，若 t
j
j
t ( n m 1)
2
，则应保留变量 x j ，
j
否则应剔除变量 x 。剔除变量时，从 t 最小的开始， 直到不显著的变量全部剔除为止。设 t 除 x k ，重新建立回归方程如下：
ˆ * ˆ* ˆ * ˆ * ˆ * ˆ b 0 b1 x 1 b k 1 x k 1 b k 1 x k 1 b m x m y
令
SR
n
2 ˆ ( yi y) ,
Se
i 1
n
ˆ 2 ( yi yi )
i 1
检验统计量
F SR /m S e /( n m 1) ~ F ( m , n m 1)
对一个小概率 ， F 若 归方程有意义。
F ( m , n m 1) ， 则认为所建的回
城市 销售量（箱） y i 适用人数（千人） x i1 人均收入 （元）x i 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 162 120 223 131 67 169 81 192 116 55 252 232 144 103 212 274 180 375 205 86 265 98 330 195 53 430 372 236 157 370 2450 3254 3802 2838 2347 3782 3008 2450 2137 2560 4020 4427 2660 2088 2605
大数据分析对于销售预测的建模与分析
大数据分析对于销售预测的建模与分析随着信息技术的不断发展和普及，大数据分析逐渐成为了当今商业领域中不可或缺的一部分。
针对销售预测的建模和分析，大数据分析的应用可以帮助企业更好地了解市场需求、产品趋势以及消费者的行为模式，从而实现更准确、高效的业务发展和营销决策。
1. 建模与预测在销售预测方面，建模和预测是大数据分析的核心。
通过跟踪历史的销售数据，大数据分析可以帮助企业更好地了解产品的需求和趋势，以及市场的动态变化。
通过对不同的销售数据变量的关联和影响进行分析，可以建立预测模型并进行预测，从而更好地实现销售预测的准确性和时效性。
在建立预测模型时，可以使用不同的算法和技术，如时间序列分析、回归分析、机器学习等。
其中，机器学习技术是一种目前最为流行的应用，通过数据的自我学习和不断修正，来实现更精确的预测模型。
在应用机器学习技术时，可以通过对历史数据的学习和模拟，来针对不同的客户群体和市场需求，建立更精准的预测模型，进而实现更高效的销售预测。
2. 消费者行为分析除了销售数据的分析，大数据分析还可以通过对消费者行为的分析来帮助企业更好地了解市场需求和消费者的需求变化，从而实现更准确和有效的销售预测。
通过对消费者的购买行为、偏好、反馈以及客户历史记录等方面进行分析，企业可以更好地了解消费者的行为和需求，进而针对不同群体的需求制定更合适的销售策略和推广计划。
在消费者行为分析中，可以使用多种分析技术和方法，如数据挖掘、情感分析、聚类分析等。
通过对不同的消费数据进行分析和筛选，可以挖掘出一些隐藏的规律和趋势，以及市场的潜在需求，并将这些信息结合到销售预测和推广策略中，切实提升企业的竞争力。
3. 营销策略的优化大数据分析还可以帮助企业针对不同的消费群体和市场需求制定更合适和有效的营销策略和推广计划。
通过对消费数据的分析和模拟，可以了解不同客户的行为和需求，以及消费趋势的变化，从而针对不同的客户群体设计出更加精准和定制化的销售方案和营销策略。
数学建模用灰色系统预测未来的销售量
在市场经济条件下,影响药品市场销售量的因素很多，如何准确预测药品销售量，对药品生产厂家来说尤为重要。
没有确切的预测数字，药品生产数量不足，会发生缺货现象，失去销售机会而减少利润；如果生产过剩，一时销售不出去，造成药品积压占用流动资金，影响资金周转，也会造成经济损失。
因此，掌握一个较为准确的预测药品销售量的方法是很重要的。
常见的定量化预测方法，大多是应用“趋势外推”的思想，当历史资料较少而预测的时间跨度又较长时，往往遇到困难。
灰色系统预测模型-GM （1，1），近年来的应用实践表明，这种预测方法有较好的准确性和适应性。
根据2012年的各个月各个销售点的需求量来预测2013年的各个销售点的月需求量问题。
模型建立假设原始数据是：000(1)(2)......()x x x n 、希望的到观测值令 00(1)(2)......x n x n ++、、令11()()ki x k x i ==∑（k=2,3,...,n),称为原始数据的一次累加生成序列。
不难理解，非负序列经多次累加后的生成数列将表现出良好的指数增长特性。
由微积分学知道，一个随时间按指数规律变化的连续变量1()y x t =可以看作下列微分方程d y a y b d x+= （1） 的解：对该方程求解,将时间t 离散化，得： 10(1)[(1)]a kb b x k x ea a-+=-+（2）由的定义求原函数列的公式为： 011(1)(1)()x k x k x k +=+- （3）取k ≥n 的正整数，即可得所求预测值0(1),(2),........x n x n ++。
上述（1）、（2）、（3）构成所谓GM （1,1）预测模型。
模型中参数a 、b 由最小二乘法原理求得：1()TTa A A A Bb -⎛⎫= ⎪⎝⎭ （4）其中1111111[(1)(2)]121[(2)(3)]12............1[(1)()]12x x x x A x n x n ⎛⎫-+ ⎪⎪ ⎪-+ ⎪=⎪⎪ ⎪--+ ⎪⎝⎭00(2)(3)........()x x Bx n ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由（4）式求得a 、b 后，带入（2）式算出再由（3）式便可算出所求的预测值。
产品销售预测的数学模型及应用
3034814 3372898 3780676 1977812
YN =[5349094
2649009 4294588 3730319 5400369
5618165 3507220 3763738 2284113 3045305 1495710 2927532 1762303 2912535 4649011 3459665 6843754 4145291 4319709 4626432
(0) MA
(1) MA
a u
求出 a 后，解微分方程，可得响应函数为
312
Times
Finance
第三步：确定预测值 根据 x
(1)
与x (t 1)
(1)
(1)
(t ) 的关系可得预测函数为：
(1)
x
(0)
(t 1) x (t 1) x (t )
（二）模型的求解 运用以上建立的 GM(1，1) 模型，结合附录表 1 中三种产品 的销售量数据，先对直柄钻（记为 A）进行预测。通过 MATLAB 编程实现（程序见附录）：
表 5 利用等维灰色预测模型得到三种产品预测值
月份 第一月 第二月 第三月 第四月 直柄钻（
10^6)
锥柄钻（
10^5)
机用丝锥（
10^5)
4.2729 4.3606 4.5574 4.7922 4.9217 4.4644 5.0751 5.3056 5.4298 5.5331 5.6118 5.7300
1.5497 1.5834 1.6255 1.6870 1.7326 1.7590 1.8248 1.8724 1.9215 1.9690 2.0156 2.0428
化妆品生产销售问题模型概述(doc 23页)
化妆品生产销售问题模型概述(doc 23页)A化妆品生产销售问题模型摘要追求企业利润最大化是企业的根本目标。
在生产过程中，生产经营者主要关注生产的产量、成本和利润。
本文提出了在满足指标等系列条件的前提下，综合考虑各个指标对厂商利润的影响，以及各指标之间的关系，从而达到尽量控制5种原料的购进量及存储量及增大产品的销售量，从而使成本达到最小，利润最大的方案。
针对问题一，我们利用经济学中公司盈利的相关模型，存储论中的存货模型、以及利用线性规划对指标、存储量、产量等进行条件限制。
用经济学知识找出利润最大化的目标函数，建立一个线性规划模型，并运用lingo进行最优解，从而得出最大利润为18175.0元，并计算出在利润达到最大时的各种原料在各个月中的合理购进量和加工量(见文中表). 在问题二中，我们考虑到参数的变化引起需求量的相应变化，从而引起利润的变化，因而，采用了列举有限个增长幅度的策略，在每个增长幅度限定的前提下，运用插值与拟合方法，对增长幅度与利润进行数据分析，得出两者关系。
直观的，我们运用matlab画图，以缩小最优解的区间。
用这几种方法结合，从而得到了对应的购进量与加工量的最优策略。
三、符号约定P ij ：表示第i 个月A j 原料的价格 X ij ：表示第i 个月A j 原料的进货 Y ij ：表示第i 个月A j 原料的加工量I ij ：表示第i 个月初A j 原料的存货量，即第i-1个月生产后的存货量 V ij ：表示第i 个月A j 原料的平均存储量 C ij ：表示第i 个月A j 原料的存储成本 D i ：表示第i 个月的盈利D ：表示半年的盈利，即我们要做的规划四、模型建立因本题中不涉及税费、销售、工资、订货成本等经济学中的相关问题，此处我们采用最基本的盈利模型，即：利润=销售额-成本。
本题中，成品化妆品的售价固定为225元，每个月原料的价格也为已知。
所以，要使公司获得最大利润，我们应使销售量（即加工量）尽可能大的同时，让成本尽量的小。
如何利用隐马尔科夫模型进行产品销量预测
利用隐马尔科夫模型进行产品销量预测隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model, HMM）是一种用来描述有隐含未知参数的马尔科夫过程的统计模型。
在产品销量预测中，HMM可以被应用于分析并预测潜在的销售趋势和模式。
本文将探讨如何利用HMM进行产品销量预测，并探索其在实际业务中的应用。
1. 数据准备在利用HMM进行产品销量预测之前，首先需要收集和准备数据。
这些数据可以包括历史销售数据、市场趋势、季节性因素、促销活动等。
这些数据将会成为构建HMM模型的基础，因此数据的准确性和完整性对于预测结果至关重要。
2. 模型建立在数据准备完成之后，接下来需要建立HMM模型。
HMM模型由状态空间、观测空间和状态转移概率、观测概率所组成。
状态空间可以表示产品的销售状态，观测空间可以表示销售数据的观测值。
状态转移概率描述了产品销量在不同状态之间转移的概率，观测概率描述了给定状态下观测值的概率分布。
通过这些概率分布，HMM可以对未来销量进行预测。
3. 状态定义在建立HMM模型时，需要对产品销量的状态进行定义。
通常可以将销量分为高、中、低三种状态，也可以根据实际情况进行更细致的划分。
不同的状态定义会对模型的预测结果产生影响，因此需要根据实际情况进行合理的选择。
4. 参数估计HMM模型的参数估计是模型建立的关键环节。
参数估计可以使用最大似然估计（maximum likelihood estimation, MLE）或期望最大化算法（expectation-maximization algorithm, EM）等方法进行。
通过对历史数据进行参数估计，可以得到模型的概率转移矩阵和观测概率分布，从而进行预测分析。
5. 预测分析利用已建立的HMM模型，可以对未来产品销量进行预测分析。
通过输入销售数据和其他相关因素，HMM模型可以输出未来销量的概率分布。
这有助于企业进行合理的库存规划、市场营销策略制定等决策。
6. 模型评估在利用HMM进行产品销量预测之后，需要对模型进行评估。
库存补单及销量预测数学建模范文
库存补单及销量预测数学建模范文一、背景介绍近年来，随着电子商务和线上零售的蓬勃发展，各类商品交易量呈现出快速增长的态势。
然而，在这种发展的库存管理成为了众多企业面临的一大难题。
库存补单和销量预测成为了重要的管理手段，通过数学建模来进行库存补单及销量预测已经成为了企业提高运营效率和盈利能力的重要手段。
二、库存补单数学建模1. 数据采集：需要从企业的销售系统中获得历史交易数据，包括销售日期、销售数量、货品信息等。
另外，还需要采集相关的库存数据，包括当前库存量、补货数量、补货日期等。
2. 数据预处理：在进行数学建模之前，需要对采集到的数据进行预处理，包括数据清洗、异常值处理、缺失值处理等，以保证数据的准确性和可靠性。
3. 数学建模：采用时间序列分析、回归分析、或者机器学习算法等方法进行库存补单数学建模，以预测未来一段时间内的销售量和库存需求。
三、销量预测数学建模1. 数据采集：同样需要从企业的销售系统中获得历史交易数据，包括销售日期、销售数量、货品信息等。
2. 数据预处理：对采集到的数据进行预处理，保证数据的准确性和可靠性。
3. 数学建模：采用时间序列分析、回归分析、ARIMA模型、或者神经网络模型等方法进行销量预测数学建模，以预测未来一段时间内的销售量。
四、数学建模的优势1. 精准度高：数学建模能够通过对历史数据的分析和挖掘，发现销售规律和趋势，从而提高预测的精准度。
2. 运算速度快：利用计算机进行数学建模可以大大提高建模的速度，减少了人工进行复杂计算的时间成本。
3. 可控性强：数学建模的结果可以通过调整模型参数和输入数据来进行优化，提高了模型的可控性和可调节性。
五、数学建模在库存补单及销量预测中的应用1. 库存补单：通过数学建模对库存需求进行预测，企业可以及时补货，避免因库存紧张而影响交易的发生，提高了企业的交易效率。
2. 销量预测：通过数学建模对销售量进行预测，企业可以合理安排生产计划和库存管理，降低了库存成本和资金占用率，提高了企业的运营效率。
化妆品行业的数据分析预测产品热销趋势
化妆品行业的数据分析预测产品热销趋势随着人们对美的追求不断增强，化妆品行业迎来了蓬勃发展的黄金时期。
然而，对于化妆品企业来说，如何准确把握市场需求、分析消费者喜好并进行产品研发，是决定企业成败的关键。
因此，通过数据分析来预测产品热销趋势成为了化妆品企业的重要策略之一。
一、市场数据收集与整理化妆品企业首先需要进行市场数据的收集与整理。
通过与渠道商、销售团队等渠道建立良好的合作关系，获得销售数据和增长趋势等信息，识别出市场的需求与变化。
此外，借助现代科技手段如互联网调研、社交媒体分析等也能帮助企业更全面地了解市场状况，识别潜在的消费者和竞争对手，有针对性地进行数据分析。
二、数据分析方法的运用1. 基于历史销售数据的趋势分析化妆品企业可通过历史销售数据进行趋势分析，通过对过去一段时间的销售情况进行统计和分析，找出产品销售的规律和周期。
利用时间序列分析等方法，预测未来一段时间内产品的销售情况。
同时，根据消费者的购买习惯，结合销售渠道的特点，确定销售策略并调整产品研发与展示的方向。
2. 用户画像与需求分析针对不同的消费者群体，进行用户画像与需求分析，是化妆品企业获得市场竞争优势的关键之一。
通过消费者问卷调查、用户数据分析等手段，收集用户的个人信息、消费观念、购买喜好等数据，建立用户画像。
同时，通过对用户画像的分析，确定不同消费者群体的需求特点和市场定位，进而根据市场需求进行产品的开发和设计。
三、热销趋势的预测与产品开发基于市场数据收集与整理以及数据分析方法的运用，化妆品企业能够准确预测产品的热销趋势。
通过对市场数据和用户画像的深入分析，企业能够了解消费者的购买偏好、热门趋势和未来趋势，从而有针对性地进行产品开发和创新。
根据预测结果，化妆品企业可以对产品线进行调整和优化。
例如，如果市场趋势显示消费者对天然有机化妆品的需求增加，企业可以加大对该领域的投入，推出更多的天然有机产品。
此外，还可以根据预测结果，优化销售渠道，加强品牌推广，提高产品的认知度和美誉度。
数学建模报告公司的销售额预测
公司的销售额预测一、问题重述某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量,下表给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据(单位：百万元)(1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适.(2)建立公司销售额对全行业的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性.(3)建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型.二、问题分析与假设销售收入预测的方法主要有时间序列法、因果分析法和本量利分析法等.时间序列法,是按照时间的顺序,通过对过去几期实际数据的计算分析,确定预测期产品销售收入的预测值.表1 的数据是以时间顺序为序列的,称为时间序列.由于公司销售额和行业销售额等经济变量均有一定的滞后性,因此,在这样的时间序列数据中,同一变量的顺序观测值之间出现相关现象是很自然的.然而,一旦数据中存在这种自相关序列,如果仍采用普通的回归模型直接处理,将会出现不良后果,其观测也会失去意义,为此,我们必须先来检验数据是否存在自相关,一旦存在,就要考虑自相关关系,建立新的模型.定义与符号说明t x 行业销售额 t y 公司销售额 ˆt y公司销售额的估计值三、模型建立与求解一、基本统计回归模型建立以行业销售额t x 为自变量、以公司销售额t y 为因变量的散点图,其中1,220t =图1 t y 对t x 的散点图从图1可以看出,随着行业销售额的增加,公司销售额也增加,而且两者有很强的线性关系,因此可以建立线性回归模型01t t t y x ββε=++,t ε为随机误差 ()1 假设t ε与t x 是相互独立的,且t ε服从均值为零的正态分布.由表1的数据以及上述线性回归模型的假设,进行数据处理,得到回归系数估计值及其置信区间和检验统计量,见表2.参数 参数估计值 置信区间0β -1.45475 [-1.90465 -1.00485] 1β0.176283[0.173248 0.179318]21R = 14888F = 0.00000p =表2 模型()1的计算结果将参数估计值代入()1得到,ˆ 1.454750.176283t t y x =-+ ()2由表2知21R =,t y 几乎处处可由()2确定.用Matlab 作出其交互式画面,由此可以给出不同水平下的预测值及其置信区间,通过左方的Export 下拉式菜单,可以输出模型的统计结果,见图2.图2 回归分析中的交互式画面二、自相关性的判别我们可以看到模型()2的拟合度很高(21R =),即可认为t y 可由模型确定.但此模型并未考虑到我们的数据是一个时间序列.在对时间序列数据做回归分析时,模型的随机误差项可能存在相关性,违背于模型对t 独立的基本假设.现在我们考虑如下模型：011t t tt t t y x u ββεερε-=++=+ ()3其中ρ是自相关系数,1ρ≤,t u 相互独立且服从均值为0的正态分布.模型()3中,若0ρ=,则退化为普通的回归模型;若0ρ>,则随机误差t ε存在正的自相关;若0ρ<,则随机误差t ε存在负的自相关.大多数与经济有关的时间序列数据,在经济规律作用下,一般随着时间的推移有一种向上或向下的变动趋势,其随机误差表现出正相关性.D W -检验是一种常用的诊断自相关现象的统计方法.首先根据模型()2得到的残差,计算DW 统计量如下：21221()ntt t ntt e eDW e-==-=∑∑ ()4其中n 是观察值个数,残差ˆt t t e y y=-为随机误差项的估计值.当n 较大时, 122121nt t t nt t e e DW e -==⎡⎤⎢⎥⎢⎥≈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑()5而()5式的右端1221nt t t ntt e ee-==∑∑正是自相关系数ρ的估计值ˆρ,于是 ˆ2(1)DW ρ≈- ()6 由于ˆ11ρ-≤≤,所以04DW ≤≤,并且若ˆρ在0附近时,则DW 在2附近,t ε的自相关性很弱(或不存在自相关性);若ˆρ在1±附近时,则DW 在0或4附近,t ε的自相关性很强. 要根据DW 的具体数值来确定是否存在自相关性,应该在给定的检验水平下依照样本容量和回归变量数目,查D W -分布表,得到检验的临界L d 和U d ,然后由表3中DW 所三、加入自相关后的模型根据()4式可计算出0.73465DW =,对于显著性水平0.01,20,1n q α===,查D W -分布表,得到检验的临界值0.95L d =和 1.15U d =,现在L DW d <,由表3可以认为随机误差存在正自相关,且ρ的估计值可由()6式得ˆ0.63268ρ=. 作变换,'1t t t y y y ρ-=-,'1t t t x x x ρ-=-, ()7则模型()3化为''''01t t t y x u ββ=++,其中()'001ββρ=-,'11ββ= ()8 以ρ的估计值代入()7式作变换,利用变换后的数据't y 、't x 估计模型()8的参数,得到对模型()8也做一次自相关检验,即诊断随机误差t u 是否还存在自相关,从模型()8的残差可计算出 1.65199DW =,对于显著性水平0.01,1q α==以及19n =时,检验的临界值为0.93, 1.13L U d d ==,故4U U d DW d <<-,所以可以认为随机误差不存在自相关.因此经变换()7得到的回归模型()8是适用的.最后,将模型()8中的't y 和't x 还原为原始变量t y 和t x ,得到结果为：11ˆ0.391410.632680.173740.10992t t t t yy x x --=-++- ()9 四、结果分析与预测从机理上看,对于带滞后性的经济规律作用下的时间序列数据,加入自相关的模型()9更为合理,而且在本例中,衡量与实际数据拟合程序的指标——剩余标准差从模型()2的0.081减少到0.0671.当用模型()9对公司的销售额t y 作预测时,先估计未来的全行业销售额t x ,比如,设t=21时,t x =174.1,容易由模型()9得到ˆt y=29.1860.四 、模型的评价一、模型的优点经D W -检验认为普通回归模型()1的随机误差存在自相关,由()4,()7式估计出自相关系数ρ后,采用变换()8的方法得到模型()9,成称为广义差分法.这种方法消除了原模型随机误差的自相关性,得到的()9式是一阶自相关模型.二、模型的缺点D W -检验和广义差分法在经济数据建模中有着广泛的应用,但是也存在着明显的不足：若DW 的数值落在无法确定自相关性的区间,则只能设法增加数据量,或选用其他方法;如果原始数据序列存在高阶自相关性,则需要反复使用D W -检验和广义差分,直至判定不存在自相关为止.另外,D W -分布表中数据容量n 的下限是15.参考文献[1] 徐金明,张孟喜,丁涛,《MATLAB 实用教程》,北京:清华大学出版社;北京交通大学出版社,2005.7(2007.8重印).[2]. 姜启源,谢金星、叶俊,《数学模型(第四版)》,北京:高等教育出版社,20011.1(2012.5重印).附录1.散点图的程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;plot(x,y,'*')2.模型(1)的计算程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;x=[ones(20,1),x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)输出结果:b =-1.454750041396340.176282811457384bint =-1.90465420468789 -1.004845878104790.173247525367995 0.179318097546773r =-0.0260518571286674-0.06201544806360460.02202096100146280.1637542388108240.0465704946494760.04637659058897010.043617063613695-0.058435434718124-0.0943990256530576-0.149142463361581-0.147990897733738-0.0530535559647056-0.02292823950276460.1058516072708220.08546379914980310.1061022401947010.02911240009385810.0423164640535205-0.0441602514643726-0.0330086858365206rint =-0.195385871759251 0.143282157501916-0.231871886037631 0.107840989910421-0.152853753861225 0.196895675864150.0131634673388031 0.314345010282846-0.128820728276878 0.22196171757583-0.130374632908482 0.223127814086423-0.135221944162416 0.222456071389806-0.236666572408848 0.119795702972601-0.26910531130757 0.0803072600014548-0.313617420748614 0.0153324940254506-0.31288219186159 0.0169003963941133-0.232314787682902 0.126207675753491-0.203701178032592 0.157844699027063-0.0664228030147936 0.278126017556437-0.0879446576592735 0.25887225595888-0.0620923905849254 0.274296870974328-0.144034956949209 0.202259757136925-0.128748679311955 0.213381607418996-0.211614739705066 0.123294236776321-0.197152337494454 0.131134965821413stats =Columns 1 through 30.998792444207198 14888.1435565111 1.01315527327091e-027Column 40.007405683407079543. 散点图的交互式程序clear;x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;rstool(x,y,'linear')4.模型(2)的残差x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;for i=1:1:20z(i)=-1.45475+0.17628*x(i);e(i)=y(i)-z(i);endze输出结果:z =Columns 1 through 320.985694 21.46165 21.937606Columns 4 through 621.355882 22.34305 22.713238Columns 7 through 923.435986 23.718034 24.19399Columns 10 through 1224.158734 24.687574 24.352642Columns 13 through 1525.022506 25.533718 26.274094Columns 16 through 1826.873446 27.490426 27.737218Columns 19 through 2028.283686 28.812526e =Columns 1 through 3-0.0256939999999979 -0.0616500000000002 0.0223940000000056 Columns 4 through 60.164118000000002 0.0469500000000025 0.0467620000000046 Columns 7 through 90.0440140000000042 -0.0580339999999993 -0.093989999999998 Columns 10 through 12-0.148733999999997 -0.147574000000002 -0.0526419999999987 Columns 13 through 15-0.0225059999999964 0.106282000000004 0.0859059999999978 Columns 16 through 180.106554000000003 0.0295740000000038 0.0427820000000025 Columns 19 through 20-0.0436859999999974 -0.03252599999999365.计算DW和e =[-0.0256939999999979-0.06165000000000020.02239400000000560.1641180000000020.04695000000000250.04676200000000460.0440140000000042-0.0580339999999993-0.093989999999998-0.148733999999997-0.147574000000002-0.0526419999999987-0.02250599999999640.1062820000000040.08590599999999780.1065540000000030.02957400000000380.0427820000000025-0.0436859999999974-0.0325259999999936];s=0;for t=2:1:20s=s+(e(t)-e(t-1))^2;endm=0;for i=1:1:20m=m+e(i)^2;endDW=s/mp=1-1/2*DW输出结果:DW =0.734645539224993p =0.6326772303875036.模型(3)中的数据变换x=[127.3 130.0 132.7 129.4 135.0 137.1 141.2 142.8 145.5 145.3 148.3 146.4 150.2 153.1 157.3 160.7 164.2 165.6 168.7 171.7]’;y=[20.96 21.40 21.96 21.52 22.39 22.76 23.48 23.66 24.10 24.0124.54 24.30 25.00 25.64 26.36 26.98 27.52 27.78 28.24 28.78]’;p=0.63268for t=1:1:19y1(t)=y(t+1)-p*y(t);x1(t)=x(t+1)-p*x(t);endy1x1输出结果:p =0.63268y1 =Columns 1 through 38.1390272 8.420648 7.6263472Columns 4 through 68.7747264 8.5942948 9.0802032Columns 7 through 98.8046736 9.1307912 8.762412Columns 10 through 129.3493532 8.7740328 9.625876 Columns 13 through 159.823 10.1380848 10.3025552 Columns 16 through 1810.4502936 10.3686464 10.6641496 Column 1910.9131168x1 =Columns 1 through 349.459836 50.4516 45.443364 Columns 4 through 653.131208 51.6882 54.459572 Columns 7 through 953.465584 55.153296 53.24506 Columns 10 through 1256.371596 52.573556 57.575648 Columns 13 through 1558.071464 60.436692 61.179436 Columns 16 through 1862.528324 61.713944 63.928192 Column 1964.9668847.模型(3)的计算结果y1 =[8.13902728.4206487.62634728.77472648.59429489.08020328.80467369.13079128.7624129.34935328.77403289.6258769.82310.138084810.302555210.450293610.368646410.664149610.9131168];x1 =[49.45983650.451645.44336453.13120851.688254.45957253.46558455.15329653.2450656.37159652.57355657.57564858.07146460.43669261.17943662.52832461.71394463.92819264.966884];x2=[ones(19,1),x1];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y1,x2)输出结果:b =-0.3914137287916260.173739484728835bint =-0.743959505289538 -0.0388679522937137 0.167481672152938 0.179997297304732 r =-0.06268549262106760.04662674104632460.122454283086727-0.06484857214893940.005427294230647920.00983895095872533-0.0929956860946302-0.060100299345299-0.0969435599642878-0.05320511359044030.03134399898906540.01412631234283520.1251074959825240.02925880199630980.0646852421508761-0.02193146392603220.0379112976474367-0.05128780893441840.0172175781936197-0.194112737017012 0.0687417517748767-0.0885336593085636 0.1817871414012130.0161292648746043 0.228779301298849-0.201462271956211 0.0717651276583323-0.133792997199822 0.144647585661118-0.131797031575754 0.151474933493204-0.225302669864897 0.0393112976756366-0.1985101568317 0.0783095581411017-0.228268383451548 0.0343812635229727-0.192519727444524 0.0861095002636433-0.107973506382257 0.170661504360388-0.127481451736758 0.155734076422428-0.000122557504840748 0.250337549469889-0.109224013348295 0.167741617340915-0.0693312030770827 0.198701687378835-0.157373208239308 0.113510280387243-0.0980543981169386 0.173876993411812-0.181348373667138 0.0787727557983009-0.112564188002673 0.146999344389912stats =Columns 1 through 30.995069834050953 3431.159******** 4.68398711682588e-021 Column 40.004508149250504388.模型(3)的残量clear;y1 =[8.13902728.4206487.62634728.77472648.59429489.08020328.80467369.13079128.7624129.34935328.77403289.6258769.82310.138084810.302555210.450293610.368646410.664149610.9131168];x1 =[49.45983650.451645.44336453.13120851.688254.45957253.46558455.15329656.37159652.57355657.57564858.07146460.43669261.17943662.52832461.71394463.92819264.966884];for i=1:1:19z(i)=-0.39141+0.17374*x1(i);e(i)=y1(i)-z(i);endze输出结果:z =Columns 1 through 38.20174190664 8.374050984 7.50392006136Columns 4 through 68.83960607792 8.588897868 9.07039603928Columns 7 through 98.89770056416 9.19092364704 8.8593867244Columns 10 through 129.40259108904 8.74271961944 9.61178308352Columns 13 through 159.69792615536 10.10886086808 10.23790521064Columns 16 through 1810.47226101176 10.33077063056 10.71547407808Column 1910.89593642616e =Columns 1 through 3-0.0627147066400013 0.0465970159999998 0.122427138639998 Columns 4 through 6-0.0648796779199987 0.00539693200000002 0.00980716071999943 Columns 7 through 9-0.0930269641599999 -0.0601324470399991 -0.0969747244000008 Columns 10 through 12-0.0532******* 0.0313131805599998 0.0140929164799992 Columns 13 through 150.125073844640001 0.0292239319199989 0.0646499893599994 Columns 16 through 18-0.0219674117599986 0.0378757694399994 -0.0513244780799997 Column 190.01718037384000059.求模型(3)的DW值e =[-0.06271470664000130.04659701599999980.122427138639998-0.06487967791999870.005396932000000020.00980716071999943-0.0930269641599999-0.0601324470399991-0.0969747244000008-0.0532*******0.03131318055999980.01409291647999920.1250738446400010.02922393191999890.0646499893599994-0.02196741175999860.0378757694399994-0.05132447807999970.0171803738400005];s=0;for t=2:1:19s=s+(e(t)-e(t-1))^2;endm=0;for i=1:1:19m=m+e(i)^2;endDW=s/m输出结果:DW =1.6519922652328。
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数学建模案例分析5化妆品销售量的预测--概率统计方法建模
§5 化妆品销售量的预测
某公司在各地销售一种化妆品，观测15个城市在某月内对该化妆品的销售量Y及适合使用该化妆品的人数
x和人均收入2x。
数据见下表：
1
要求通过以上数据建立预测模型，当已知任一个城市的适用人数和人均收入),(2
1
x x 时，能够预测在这个
城市的销售量。
这个问题本质上就是多元线性回归模型，如果随机变量Y 与固定变量m
x x x ,,,2
1
之间有显著的线性相
关关系，即
)
,0(~,222110σεεN x b x b x b b Y m m +++++=
称为m 元线性回归模型。
一、 模型中的参数估计
设通过实验或历史资料得到观测数据
)
,,2,1(),,,,,(21n i x x x y im i i i =。
令
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=m nm n n m m n b b b B x x x
x x x x x x X y y y Y 102
1222
21
1121121,111,
由最小二乘估计，得
Y X X X B
T T 1)(ˆ-=
称m
m x b x b x b b y
ˆˆˆˆˆ22110
++++= 为变量Y 关于变量m
x x x ,,,2
1
的线
性回归方程。
同样还可以得到2
σ的估计量为
∑=---=n
i i i y y m n 122
)ˆ(11
ˆσ
这里),,2,1(ˆˆˆˆˆ22110n i x b x b x b b y
im
m i i i
=++++=。
二、回归模型的显著性检验
1、检验回归模型的显著性 即检验假设
不全为零
i m b H b b b H :,0:1210==== 令 ∑∑==-=-=n
i i i e n i i R y y S y y
S 1
21
2
)ˆ(,)ˆ( 检验统计量
)
1,(~)
1/(/----=
m n m F m n S m
S F e R
对一个小概率α，若)1,(-->m n m F F α
，则认为所建的回归方程有意义。
2、各自变量的显著性检验，剔除变量计算 即检验假设
)
,,2,1(0:,0:10m j b H b H j j j j =≠=
检验统计量 )
,,2,1()1(~)
1/(ˆm j m n t m n S c b t e jj j
j =----=
这里jj
c 是矩阵1
)(-=X X
C T
中相应位置的元素。
对一个小概率α，若)
1(2
-->m n t t
j
α，则应保留变量j
x ，否则应剔
除变量j
x 。
剔除变量时，从j
t 最小的开始，直到不显
著的变量全部剔除为止。
设j
k
t t min =，则剔除k
x ，重
新建立回归方程如下：
m
m k k k k x b x b x b x b b y *1*11*11*1*0ˆˆˆˆˆˆ++++++=++--
其中 ),,,2,1(,ˆˆˆ*k j m j b c c b b k
kk
kj j j ≠=-=
j k
j j x b y b ∑≠-=**0
ˆˆ
三、 利用回归方程进行预报 当)
,,,(),,,(002012
1
m m
x x x x
x x =时，对Y 进行预测。
1、点预测
m
m x b x b x b b y 002201100ˆˆˆˆˆ++++=
2、区间预测 Y 的置信度为α-1的置信区间
))(ˆ),(ˆ(0000x y x y
δδ+-，其中
∑∑==--++--=m i m
j ij j j i i c x x x x n m n t x 11
002
0))((11ˆ)1()(σ
δα
现在用上面的回归模型来解决前面提出的问题：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=260537013254180124502741,
212120162 X Y
得到
T B
)0092.0,4960.0,4526.3(ˆ=，所求回归方程是
210092.0496.04526.3ˆx x y
++=。
又求得88
.56,72.53844==e R
S S
，从而
89
.3)12,2(5680)
1/(/05.0=>=--=
F m n S m
S F e R
故认为所建的回归方程有意义。
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛⨯⨯-⨯⨯-⨯==------77
6
441
109772.1100303.7107329.7101567.4101297.22463.1)(X X C T
又可求出
179
.2)12(93.8110
7329.774.44960.0025.06
1=>=⨯⨯=
-t t
179
.2)12(50.910
9772.174.40092.0025.072=>=⨯⨯=-t t
说明2
1
,x x 对Y 均有显著的线性影响，均不能剔除。
下面给出预测方法：例如当某城市的数据
)
2500,220(),(21=x x 时，有
57.135********.0220496.04526.3ˆ0=⨯+⨯+=y
又
972.4))((11ˆ)12()(11
00025.00=--++=∑∑==m i m
j ij j j i i c x x x x n t x σ
δ
可以95%的把握认为这种化妆品在该城市的销售
量在))(ˆ),(ˆ(0000
x y
x y
δδ+-，即在130到140箱之间。