数学建模案例分析5化妆品销售量的预测--概率统计方法建模

数学建模案例分析5化妆品销售量的预测--概率统计方法建模

§5 化妆品销售量的预测

某公司在各地销售一种化妆品，观测15个城市在某月内对该化妆品的销售量Y及适合使用该化妆品的人数

x和人均收入2x。数据见下表：

1

要求通过以上数据建立预测模型，当已知任一个城市的适用人数和人均收入),(2

1

x x 时，能够预测在这个

城市的销售量。

这个问题本质上就是多元线性回归模型，如果随机变量Y 与固定变量m

x x x ,,,2

1

之间有显著的线性相

关关系，即

)

,0(~,222110σεεN x b x b x b b Y m m +++++=

称为m 元线性回归模型。 一、 模型中的参数估计

设通过实验或历史资料得到观测数据

)

,,2,1(),,,,,(21n i x x x y im i i i =。令

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=m nm n n m m n b b b B x x x

x x x x x x X y y y Y 102

1222

21

1121121,111,

由最小二乘估计，得

Y X X X B

T T 1)(ˆ-=

称m

m x b x b x b b y

ˆˆˆˆˆ22110

++++= 为变量Y 关于变量m

x x x ,,,2

1

的线

性回归方程。

同样还可以得到2

σ的估计量为

∑=---=n

i i i y y m n 122

)ˆ(11

ˆσ

这里),,2,1(ˆˆˆˆˆ22110n i x b x b x b b y

im

m i i i

=++++=。

二、回归模型的显著性检验

1、检验回归模型的显著性 即检验假设

不全为零

i m b H b b b H :,0:1210==== 令 ∑∑==-=-=n

i i i e n i i R y y S y y

S 1

21

2

)ˆ(,)ˆ( 检验统计量

)

1,(~)

1/(/----=

m n m F m n S m

S F e R

对一个小概率α，若)1,(-->m n m F F α

，则认为所建的回归方程有意义。

2、各自变量的显著性检验，剔除变量计算 即检验假设

)

,,2,1(0:,0:10m j b H b H j j j j =≠=

检验统计量 )

,,2,1()1(~)

1/(ˆm j m n t m n S c b t e jj j

j =----=

这里jj

c 是矩阵1

)(-=X X

C T

中相应位置的元素。对一个小概率α，若)

1(2

-->m n t t

j

α，则应保留变量j

x ，否则应剔

除变量j

x 。剔除变量时，从j

t 最小的开始，直到不显

著的变量全部剔除为止。设j

k

t t min =，则剔除k

x ，重

新建立回归方程如下：

m

m k k k k x b x b x b x b b y *1*11*11*1*0ˆˆˆˆˆˆ++++++=++--

其中 ),,,2,1(,ˆˆˆ*k j m j b c c b b k

kk

kj j j ≠=-=

j k

j j x b y b ∑≠-=**0

ˆˆ

三、 利用回归方程进行预报 当)

,,,(),,,(002012

1

m m

x x x x

x x =时，对Y 进行预测。

1、点预测

m

m x b x b x b b y 002201100ˆˆˆˆˆ++++=

2、区间预测 Y 的置信度为α-1的置信区间

))(ˆ),(ˆ(0000x y x y

δδ+-，其中

∑∑==--++--=m i m

j ij j j i i c x x x x n m n t x 11

002

0))((11ˆ)1()(σ

δα

现在用上面的回归模型来解决前面提出的问题：

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=260537013254180124502741,

212120162 X Y

得到

T B

)0092.0,4960.0,4526.3(ˆ=，所求回归方程是

210092.0496.04526.3ˆx x y

++=。

又求得88

.56,72.53844==e R

S S

，从而

89

.3)12,2(5680)

1/(/05.0=>=--=

F m n S m

S F e R

故认为所建的回归方程有意义。

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛⨯⨯-⨯⨯-⨯==------77

6

441

109772.1100303.7107329.7101567.4101297.22463.1)(X X C T

又可求出

179

.2)12(93.8110

7329.774.44960.0025.06

1=>=⨯⨯=

-t t

179

.2)12(50.910

9772.174.40092.0025.072=>=⨯⨯=-t t

说明2

1

,x x 对Y 均有显著的线性影响，均不能剔除。

下面给出预测方法：例如当某城市的数据