高考数学选择题的技巧与方法：高考数学选择题技巧与方法——6.割补法

高考数学选择题技巧与方法

6．割补法

“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度.

例1．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

（A ）3π （B ）4π （C ）3π3 （D ）6π

解：如图，将正四面体ABCD 补形成正方体，则正四面体、正方体的中

心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为2，所以正方体棱长为1，

从而外接球半径R ＝

2

3.故S 球＝3π. 直接法（略）

例 2. 如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，则几何体EFGH ABCD -的体积为（ ）

（A ）100 （B ）102 （C ）106 （D ）108

【解析】

【割补法】首先通过梯形BFHD ACGE ,的中位线重合，我们可以求得9=DH ,分别延长DH CG BF AE ,,,到','','D C B A ,使得17''''====DD CC BB AA ,则我们可得8',5',9',12'====HD GC FB EA ，

故长方体''''D C B A ABCD -的体积是几何体EFGH ABCD -的二倍. 故10217432

121''''=⋅⋅⋅==--D C B A ABCD EFGH ABCD V V

我们在初中学习平面几何时，经常用到“割补法”，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”，这些蕴涵在课本上的方法当然是各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”.

、用割补法求柱体（柱体的一部分）体积

例3【2005湖南高考，理5】如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AC

1D 1的距离为（ ）

A 、21

B 、42

C 、22

D 、2

3 【答案】B

【分析】求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性

显然不太好做垂线，考虑O 为A 1C 1的中点，故将要求的距离与A 1到面

AC 1D 1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该图中割出一个三

棱锥A 1—AC 1D 1而进行解题。

【解析】连AC 1，可得到三棱锥A 1—AC 1D 1，我们把这个正方体的其它部

分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。这个三棱锥底面为直角边为1与2的直角三角形。这个三棱维又可视为三棱锥C 1—AA 1C 1，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为2

2，故应选B 。

例4【2005全国高考1，理5】如图，在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形. EF ‖AB ，EF=2，则多面体的体积为（ ）

A 、32

B 、3

3 C 、3

4 D 、23 【答案】A

【分析】显然在该图不是我们所熟悉的棱柱或棱锥，所以我们在此可以考虑将该图

分解成我们所熟悉的棱柱或棱锥，故在此可采用分割的方法。将已知图形割为一个

直棱柱与两个全等的三棱维，先分别求体积，然后求要求的几何体体积。

【解析】如下图，过AD 和BC 做分别EF 的直截面ADM 及截面BCG ，面ADM ‖面

BCG ，O 为BC 的中点，在△BCF 中求得FO=23，又可推得FG= 21，又OG ⊥EF ，∴GO= 22 S △BCG =4

2 ∴V BCG-ADM =

42 ， 2V F-BCG =12

2

∴V ABCDEF =42+122=32，故选A.