六年级奥数加法原理和乘法原理知识点讲解
六年级奥数第25讲：加法原理和乘法原理
乘法原理与加法原理解题乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法…做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×mn种方法。
由于上述的各个步骤彼此互不影响，因此各个步骤安排的先后顺序不同并不影响结果。
这就使我们可以选择适当顺序来研究它们，以使问题简便地得到解决。
加法原理：如果所要计数的对象有n类，第一类有m1种，第二类有m2种…第n类有mn种，那么这些对象总计有m1＋m2＋…＋mn种。
应用加法原理的关键是将所有计数的对象依据同一标准，分为不重、不漏的若干类。
例1、王芳、小华、小花三人约好每人报名参加学校运动的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项比赛中的一项，问报名的结果会出现多少种不同情形？做一做：有5件不同的上衣，3条不同的裤子，4顶不同的帽子，从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的装束？例2、从3名男生、2名女生中选出优秀学生干部3人，要求其中至少有一名学生，一共有多少种不同选法？做一做：3名男生、2名女生排成一行照相，女生不站两头，且女生站在一起，问有多少种不同站法。
例3、用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少没有重复数字的三位数？做一做：有五张卡片，分别写着数字1,2,4,5,8。
现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，如1 2 3 。
问：可以组成多少个不同的偶数？例4、地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，如右图所示。
现用红、蓝、黄、绿四种颜料给地图染色，使相邻国家的颜色不同。
问：有多少种不同的染色方法？做一做：如右图所示的地区内有六个国家，A ，B ，C ，D ，E ，F ，现对每个国家用红、黄、蓝、绿、紫这五种颜色中的一种进行着色，并使得相邻国家必须着不同颜色，那么一共有多少种不同的着色方法？A C BD例5、从1到400的所有自然数中，不含数字3的自然数有多少个？做一做：从1到1000自然数中，一共有多少个数字0？例6、从19，20，21……，92，93，94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？做一做：有大小两个正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。
六年级奥数加法原理和乘法原理知识点讲解
【导语】做题⽬是也要多多牢记⾃⼰哪⾥容易错做个错提集是很不错的选择.对于⾼难度题⽬的错,主要是平时多做⾃⼰不会的题⽬,⼒求弄懂,并多做.只要你做的⽐其他同学多的多,那么你成绩肯定不会差。
以下是整理的相关资料，希望对您有所帮助。
【篇⼀】 加法原理：如果完成⼀件任务有n类⽅法，在第⼀类⽅法中有m1种不同⽅法，在第⼆类⽅法中有m2种不同⽅法……，在第n类⽅法中有mn种不同⽅法，那么完成这件任务共有：m1+m2.......+mn种不同的⽅法。
关键问题：确定⼯作的分类⽅法。
基本特征：每⼀种⽅法都可完成任务。
乘法原理：如果完成⼀件任务需要分成n个步骤进⾏，做第1步有m1种⽅法，不管第1步⽤哪⼀种⽅法，第2步总有m2种⽅法……不管前⾯n-1步⽤哪种⽅法，第n步总有mn种⽅法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的⽅法。
关键问题：确定⼯作的完成步骤。
基本特征：每⼀步只能完成任务的⼀部分。
直线：⼀点在直线或空间沿⼀定⽅向或相反⽅向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的⼀端⽆限延长。
射线特点：只有⼀个端点;没有长度。
①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数⼀1); ②数⾓规律=1+2+3+…+(射线数⼀1); ③数长⽅形规律：个数=长的线段数×宽的线段数： ④数长⽅形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+⾏数×列数【篇⼆】 乘法原理：如果完成⼀件任务需要分成n个步骤进⾏，做第1步有m1种⽅法，不管第1步⽤哪⼀种⽅法，第2步总有m2种⽅法……不管前⾯n-1步⽤哪种⽅法，第n步总有mn种⽅法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的⽅法。
关键问题：确定⼯作的完成步骤。
小学奥数基础教程(加法乘法原理)ppt课件
这也叫做加法原理
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例2:小红到学校有三条路，学校到小明家有四 条路，问小红想经过学校到小明家，有几条
路可以到达？
学校 小红家
小明家
小红家到学校有 3 条 学校到小明家有 4 条 小红家到小明家有（ ）条
3 ×4＝12（条）
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从刚才的例子可以看出： 做一件工作必须分两（或
借一本故事书，有几 种借法？
5 × 3＝15（种）
想：一共有多少种不 同的借法？
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运用1：四年1、2、3、4、5班排球队要进行比赛， 每个队都要和其他队比赛一场，一共有多少场比赛？
想：完成什么任务呢？
两个队进行一场比赛， 那1队和2队比赛完成 任务了吗？
完成了，1队和3队比 赛一场也完成了吗？
1队：1队－2队，1队－3队，1队－4 队，1队和5队 共4场
那2队有几场呢？注意不重复哦。
也完成了，那么，可 以分类完成，用什么 原理呢？
4+3+2+1＝10（场）
加法原理
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运用2：用0、2、3、6三个数字，可以组成几个不 同的三位数，其中最小的一个是几？
想：这道题是用分类还是分步骤？
第一步
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第一步
第三步
百位
十位
个位
小百 小十小个 位 位位 最 最最
2 03
3种2、 3种：余 3、6 下3个
2种：余下 2个
3 ×3 ×2＝18
注意：整数首位不 能为“0”哟
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练习2： 1、用0、7、3、6、4这几个数字可以组成几个不同 的在三位数？最大的是多少？ 2、平平到食堂吃饭，荤菜有4种，素菜有3种，汤有 2种。如果他只吃一种菜有几种吃法？如果他要吃一 菜一汤又有几种呢？ 3、用1角、2角和5角的人民币组成一元（张数无限 制），有多少种不同的组成方法？
六年级奥数-22加法和乘法原理
加法和乘法原理1.了解加法原理和乘法原理的含义，理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.1.分类计数原理(加法原理)的准确理解与应用；2.分步计数原理(乘法原理)的准确理解应用；①加法原理：完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法，……第k 类方法中有k m 种不同的方法。
那么完成这件事共有1m ＋2m ＋…＋k m 种不同的方法；②乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有1m ×2m ×…×n m 中不同的方法。
在乘法原理中需要注意的是：（1）这件事要分几个独立步骤来完成；（2）每个步骤各有若干种不同的方法来完成。
解题方法①公式法：主要是直接运用加法原理公式与乘法原理公式进行解题，在运用公式的过程中需理解题意，不要把加法原理与乘法原理混淆。
②图示法：在一些过程较为复杂的加法乘法原理问题中，为了明确过程，可以采用画树状图进行解答。
××加法原理××例1.小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数．某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（）次，才能确保打开箱子．A．9B．8C．7D．6练习1.一次乒乓球比赛，共有512名乒乓球运动员参加比赛．比赛采用淘汰制赛法，两个人赛一场，失败者被淘汰，将不再参加比赛；获胜者进入下轮比赛，如此进行下去，直到决赛出第一名为止，这次乒乓球比赛一共要比赛（）场．A．1024B．511C．256D．174在典型例题1中，逐步分析所有可能的情况，再应用加法原理。
例2.某旅店招工考试，有一道题：“用20把不同钥匙开20个客房门，如果不知道哪把钥匙开哪一个门，最多要试开____次，才能把钥匙与门锁配对妥当．”练习1.艾迪、大宽、薇儿今天想要从北京去天津旅游，从北京到天津，可以乘火车，也可以坐大巴，如果乘火车，那么一天有23趟火车；如果坐大巴，一天有12辆大巴，那么宫宝今天去天津，不同的走法共有种．对于加法原理的应用要注意考虑所有的可能，做到不遗不漏不重。
小学奥数《加乘原理》教学课件
数学例题
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练习5：桌上有 3 瓶不同的纯净水，1 瓶可乐和 2 瓶不同的果汁，5 名同学从中各选一瓶. 小 李想从纯净水和可乐中选一瓶，小王想从可乐和果汁中选一瓶，那这五位同学一共有多少种 不同的选择方法？
数学例题
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例题6：如果从 15 本不同的语文书、20 本不同的数学书、10 本不同的外语书中选取 2本不 同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
复习巩固
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作业3：用数字 3、5、6、8、9 组数； （1）可以组成__________个两位数； （2）可以组成__________个无重复数字的三位数； （3）可以组成__________个无重复数字的四位偶数； （4）可以组成__________个无重复数字的四位奇数。
复习巩固
加乘原理
本讲主要内容： 加法原理的认识； 乘法原理的认识； 加乘原理综合； 加乘原理典型题目。
新知探究
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知识梳理
数学知识点
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总结归纳
例题讲解 复习巩固
闯关任务
新知探究
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第三关：加乘原理综合
第一关：加法原理 加法分类，累累相加
第二关：乘法原理 乘法分步，步步相乘
加法原理
加法分类，类类相加
总结归纳
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乘法原理
乘法分步，步步相乘
• IPdleanteifyanthdeOProgtaenniztieal
A
加乘原理综合
先分类，再分步； 类类相加，步步相乘
B
C
D
• PMreaprakreetRfoesroSuruccecsess
小学奥数乘法原理与加法原理完整版
小学奥数乘法原理与加法原理HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】乘法原理与加法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有n1种不同的方法，做第二步有n2种不同的方法，…，做第n步有n n种不同的方法，那么，完成这件事一共有n=n1×n2×……×n n种不同的方法．这就是乘法原理．例1. 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2. 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3. 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？例4. 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5. 由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法.②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法．例6. 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．例7. 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决．例8. 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．但要注意，要求“至少取一张”.生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有n类方法，第一类方法中有n1种不同做法，第二类方法中有n2种不同做法，…，第n类方法中有n n种不同的做法，则完成这件事共有n=n1+n2+⋯…+n n种不同的方法．这就是加法原理．例1. 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？例2. 一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例3. 如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．第一类，由甲地途经乙地到丙地．第二类，由甲地直接到丙地．例4. 如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．例5. 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．例6. 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例7. 如图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过下页右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F的路线．自我检测1.某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2.如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3.在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4.一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6.某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？1.如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2.书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3.如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？4.在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？5.在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？6.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。
奥数第四讲加法和乘法原理
奥数第四讲加法和乘法原理加法原理和乘法原理是数学中常用的计数原理。
它们适用于很多不同的问题，包括排列组合、事件的计数等等。
下面将详细介绍加法原理和乘法原理的定义和应用。
加法原理是指当两个事件A和B无重叠的时候，事件A或B发生的总数等于事件A发生的总数加上事件B发生的总数。
换句话说，如果A事件有m种可能的结果，B事件有n种可能的结果，并且A和B之间没有共同的结果，那么A或B事件的总数就是m+n。
例如，如果从1到6中选取一个数，结果可以是奇数或者大于4的数。
奇数的总数是3（1，3，5），大于4的数的总数是2（5，6）。
根据加法原理，奇数或者大于4的数的总数是3+2=5加法原理也可以扩展到多个事件之间。
如果有三个互不相交的事件A、B和C，它们发生的总数等于事件A发生的总数加上事件B发生的总数再加上事件C发生的总数。
同样的，对于更多的事件也可以类推。
乘法原理是指当两个事件A和B相互独立时，事件A和事件B同时发生的总数等于事件A发生的总数乘以事件B发生的总数。
换句话说，如果事件A有m种可能的结果，事件B有n种可能的结果，并且事件A和事件B之间没有任何依赖关系，那么事件A和事件B同时发生的总数就是m*n。
例如，如果从1到6中选取两个数，第一个数可以是奇数或者大于4的数，第二个数可以是正整数。
根据乘法原理，第一个数和第二个数同时满足条件的总数是3*6=18乘法原理也适用于更多的事件。
如果有三个独立的事件A、B和C，它们同时发生的总数等于事件A发生的总数乘以事件B发生的总数乘以事件C发生的总数，以此类推。
加法原理和乘法原理的应用非常广泛。
在排列组合中，加法原理可以用于计算所有情况的总数，而乘法原理则可以用于计算分成几个步骤的情况的总数。
例如，有两个装有红、白、蓝三种颜色球的箱子，一个球从两个箱子中挑选一个。
根据加法原理，总共有3+3=6种可能的结果。
而如果分成两个步骤，第一步从第一个箱子中挑选，有3种可能的结果，第二步从第二个箱子中挑选，同样有3种可能的结果。
奥数之加法与乘法原理
2、从 5、7、11、13、17、19 这六个数中，取 2 个数作为真分数，这样的真分数有多少个？
3、安排甲、乙、丙、丁四个人坐在一张长椅上，有多少种不同的方法？
4、有 1 角人民币 4 张，2 角人民币 2 张，1 元人民币 7 张，可直接付几种不同的款项？
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博才高欣培训学校小升初第一期讲义 5、如图是连接城市甲、乙、丙的公路网，汽车从甲城出发经过乙城到丙城，选择不饶远路的路 线共有多少种？
博才高欣培训学校小升初第一期讲义
第一讲 加法原理与乘法原理
【知识要点】 加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中 有 m2 种 不 同 方 法 …… ， 在 第 n 类 方 法 中 有 mn 种 不 同 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 任 务 共 有
m1 m2 ...... mn 种不同的方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪 一种方法，第 2 步总 m2 有种方法……不管前面 n 1 步用哪种方法，第 n 步总 mn 有种方法，那么完 成这件任务共有 m1 m2 ...... mn 种不同的方法。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
例题 1、从南京到上海可以乘火车、轮船和飞机。如果一天中火车有 6 班，轮船有 4 班，飞机 有 2 班。那么一天中从南京到上海有多少种不同的走法？
例题 2、用 1、3、5、9 可Байду номын сангаас组成多少个数？
例题 3、100 个同学相互握手，共握了多少次手？
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博才高欣培训学校小升初第一期讲义 例题 4、用红、黄、绿三面旗子挂在旗杆上，可以挂一面、两面、三面，不同的顺序算不同的 挂法。请问一共有多少种不同的挂法？
(完整word版)小学奥数——乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要 n 个步骤，其中，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，…，做第 n 步有 m n种不同的方法，那么，完成这件事一共有 N=m1×m2×……×m n 种不同的方法．这就是乘法原理．例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成．①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法.②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法．例6.由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．例7.右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决．例8.现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．但要注意，要求“至少取一张”.生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，…，第 k 类方法中有 m k种不同的做法，则完成这件事共有 N=m1+m2+⋯…+m k种不同的方法．这就是加法原理．例1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？例2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例3.如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析从甲地到丙地共有两大类不同的走法．第一类，由甲地途经乙地到丙地．第二类，由甲地直接到丙地．例4.如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．例5.有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．例6.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例7.如图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过下页右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F的路线．自我检测1.某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2.如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3.在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4.一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6.某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？1.如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2.书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3.如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？4.在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？5.在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？6.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。
六年级奥数第18讲加法、乘法原理(教师版)
六年级奥数第18讲加法、乘法原理（教师版）理解加法、乘法原理的类型；会用加法、乘法原理解应用题。
生活中常有这样的情况,就是在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用一类中的一种方法就可以完成,并且几类方法是互不影响的。
在每一类方法中,又有几种可能的做法,那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决。
还有这样的一种情况就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方法,要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决。
加法原理：如果完成一件任务有n 类方法,在第一类方法中有1m 种不同方法,在第二类方法中有2m 种不同方法……,在第n 类方法中有n m 种不同方法,那么完成这件任务共有12n N m m m =+++种不同方法。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行,做第1步有1m 种方法,做第2步有2m 种方法……,做第n 步有n m 种方法,那么按照这样的步骤完成这件任务共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同方法。
例1、一个盒子内装有5个小球,另一个盒子内装有9个小球,所有这些小球颜色各不相同。
问：①从两个盒子内任取一个小球,有多少种不同的取法？②从两个盒子内各取一个小球,有多少种不同的取法？【解析】①“从两个盒子内任取一个小球”,则这个小球要么从第一个盒子中取,要么从第二个盒子中取,共有两类方法,所以应用加法原理。
②“从两个盒子内各取一个小球”,可看成先从第一个盒子中取一个,再从第二个盒子典例分析知识梳理 教学目标中取一个,分两步完成,所以应用乘法原理。
①从两个盒子中任取一个小球共有：5+9=14（种）②从两个盒子中各取一个小球共有：5×9=45（种）例2、从1到399的所有自然数中,不含有数字3的自然数有多少个？【解析】从1到399的所有自然数可分成三类。
一位数中不含3的有8个,1、2、4、5、6、7、8、9。
奥数讲义计数专题：加法原理、乘法原理
华杯赛计数专题：加法原理、乘法原理基础知识：1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法.3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例题：例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）第999位数字是多少？（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？（4）数字0一共出现了多少次？问题（1）这个多位数一共有多少位？【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了.详解1：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×90=180位；3位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题（2）第999位数字是多少？详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看成百位数为0）.考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，第2类100—199；第3类200—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900—999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有20×9＋120=300个9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题（4）数字0一共出现了多少次？详解4：按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9×10=90次；同理，当0出现在个位时，共有9×10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了99＋90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5×6×6=180个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有________个.【答案】162【解答】①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9×4＝36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90＋36＋36＝162个符合条件的三位数.例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有________个.【答案】480个【解答】方法1：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5×4×3×2=120个；如果包含3个互不相同的数字，我们可以先从5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120＋360＝480个四位数.方法2：排除法.所有可能的四位数有5×5×5×5＝625个；只包含1个数字的有5个，包含2个数字的有5×4×（2×2×2－1）＝140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625－5－140=480个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？【答案】774【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学书，根据乘法原理一共有1×9×9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有1×9×7种拿法，同理另外两种情况分别有1×9×7种和9×9×7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1×9×9＋1×9×7＋1×9×7＋9×9×7＝1×9×16＋10×9×7＝144＋630＝774种拿法.例6.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.【答案】（1）120（个）；（2）96（个）；（3）36（个）.【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2×3×3×2=36（个）.例7.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?【答案】90（种）【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由乘法原理得（10×9）/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有（10×9）/2=45种取法.根据加法原理共有45＋45=90种不同取法.例8.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？【答案】150（种）【解答】5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，可以分成3，1，1和2，2，1两类，第一类：分成3，1，1，完成此件事可以分成3步，第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个人，共有种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3，1，1时，根据乘法原理，共有3×10×2=60（种）；第二类：分成2，2，1，完成此件事可以分成3步，第1步：5个人中选出一个人，共有5种选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个，最后一个人去另外一个馆，共有（种），所以当分配成2，2，1时，根据乘法原理，共有5×3×6=90（种）；所以根据加法原理，不同的分配方案共有60＋90=150（种）.例9.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数有多少个？【答案】40（个）【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个，共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2×2=4种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有5种排法.根据乘法原理：共有2×4×5=40（种）.例10.在一个3行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？【答案】81（种）；1944（种）【解答】「问题1」4枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分4个步骤考虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置；第2步考虑第2列的棋子放在什么位置；第3步考虑第3列的棋子放在什么位置；第4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以方法数一共有3×3×3×3=81种.「问题2」假设4枚互不相同的棋子为A，B，C，D.将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法.第2步放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其它的格子都可以放B，所以一共有9种方法.第3步放棋子C，A、B那两列一共6个格子不能选，所以一共有6种方法.第4步放棋子D，A、B、C三列一共9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法.利用乘法原理，放入4个不同棋子的方法数一共有12×9×6×3=1944种方法.另外一种解法.「问题2」4个棋子要占4个方格，先选出放棋子的4个方格.实际上挑出4个方格的方法数和第1问是完全相同的，总共有3×3×3×3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第1列的方格可以选择A，B，C，D中的任何一个棋子，所以有4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有3种方法；第3列的方格还剩下两个棋子可供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共是4×3×2×1=24种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有24种方法，所以将表格中放入4个互不相同的棋子的总方法数是81×24=1944种.例11. 如图，把图中的8个部分用红、黄、绿、蓝4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？【答案】768（种）【解答】按照A，B，D，E，C，G，F，H的步骤进行染色.对A进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对B进行染色的时候由于不能和A同色，所以有3种染色的方法；对D进行染色的时候由于不能和A，B同色，所以只剩2种染色的方法；对E进行染色时不能和B，D同色，所以有2种染色的方法；对C进行染色时不能和B，E同色，所以有2种染色方法；对G进行染色时不能和D，E同色，所以有2种染色的方法；对F进行染色时不能和D，G同色，所以有2种染色的方法；对H进行染色时不能和E，G同色，所以有2种染色的方法.综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4×3×2×2×2×2×2×2=768种着色的方法.「评议」本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色是否可以？可能有同学发现按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色会算出另外一个答案4×3×3×2×1×3×1×2=432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里要提到利用乘法原理一条重要的原则：“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种染色方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.而按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤来染色就违反了这个原则.请看下面图中的例子：在上面的例子中，左图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、蓝，第5步对E进行染色时只有1种方法；右图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、绿，这样第5步对E进行染色时有2种方法.于是第5个步骤对E进行染色无法确定到底有几种染色的方法，前4步不同的染色方案影响到了第5步的方法数，既然不能确定是1种还是2种，乘法原理自然也就无法应用了.。
小学奥数 加法与乘法原理
加法原理与乘法原理一、知识要点加法原理：做一件事时有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：在做一件事情时，要分几步完成，而在完成每一步时又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用乘法原理来解决。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
二、精讲精练【例题1】书架上层有6本不同的数学书，下层有5本不同的语文书，若任意从书架上取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？练习1：1、商店里有5种不同的儿童上衣，4种不同的裙子，妈妈准备为女儿买上衣一件和裙子一条组成一套，共有多少种不同的选法？2、小明家到学校共有5条路可走，从学校到少年宫共有3条路可走。
小明从家出发，经过学校然后到少年宫，共有多少种不同的走法？3、张师傅到食堂吃饭，主食有2种，副食有6种，主、副食各选一种，他有几种不同的选法？【例题2】由数字0，1，2，3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？练习2：1、由数字1，2，3，4，5，6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同的减法算式？3、由数字1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个:①三位数；②三位偶数；③没有重复数字的三位偶数；④百位是8的没有重复数字的三位数；⑤百位是8的没有重复数字的三位偶数。
【例题3】有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。
将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？练习3：1、在1—1000的自然数中，一共有多少个数字1？2、在1—500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？3、十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？【例题4】在2，3，5，7，9这五个数字中，选出四个数字，组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？练习4：1、在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成被3除余2的四位数，这样的四位数有多少个？2、在1，2，3，4，5这五个数字中，选出四个数字组成能被3整除的四位数，这样的四位数有多少个？3、在1，4，5，6，7这五个数字中，选出四个数字组成被3除余1的四位数，这样的四位数有多少个？【例题5】下图（1）中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？（1）（2）（3）（4）练习5：1，上图（2）中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？2，上图（3）中一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？3，上图(4 )中从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？三，作业：1. 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？2. 书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3. 一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？4、由数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？5. 某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？6. 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？。
奥数：加法原理、乘法原理
题型一：乘法原理【知识要点】1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
【典型例题】例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
问：共有多少种不同的吃法？【同步训练】1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：有多少种不同的装束？2. 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。
问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？3. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？4. 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？题型二：加法原理（一）加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
最新六年级奥数专题系列讲义(1)加乘原理(2018年修改版)
六年级寒假班思维训练讲义(2018) 姓名：专题一 加乘原理【知识链接】⑴ 加法原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+m3+…+m n 种不同方法。
⑵ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×m 3×…×m n 种不同的方法。
⑶ 组合（无序．．）： )!(!!!),(m n m n m m n A C m n -==⑷ 排列（有序．．）：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n 【基础练习】例1：计算：)(36=A ，)(310=A ，)(55=A 。
例2：计算：)(36=C ，)(310=C ，)(55=C 。
例3：四个小朋友站成一排照相，一共有多少种不同的站法？例4：某个学生要从8本科技书中选3本，共有多少种选法？例5：全班45名同学举行聚会，每两个人握手一次，一共握了多少次手？【课堂巩固】1、有3种不同的巧克力要分别贴上包装纸，现有不同的包装纸6张，有几种不同的包法？2、一个四位数，各位数字互不相同，且都不为0，若这四个数字之和为12，则这样的四位数有多少个？3、用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？将它们从小到大排列起来，3142是第几个？4、从7名男生、6名女生中选出3人去开会，至少有1名女生的选法有多少种？5、将6个苹果放进4个不同的盒子里，若要保证每个盒子里至少有一个苹果，那么共有多少种不同的放法？6、在六个人中，甲、乙是正副组长，从中选4人去做值日，甲、乙组长必须参加，共有几种选法？【自我挑战】1、幼儿园里有5名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少种坐法？2、从5位同学中选出2名组长，有多少种选法？若选正副组长各一名，有多少种选法？3、从自然数2996到4896中，十位数字与个位数字相同的自然数共有多少个？4、在下图中，从A点沿实线走最短路径到B点，有多少种不同的走法？5、五名运动员在比赛前都贴上了号码，结果恰好有3个人贴错了，贴错的可能情况有多少种？6、从0、2、5、7、8这五个数中选4个，可以组成多少个能同时被2、3、5整除的四位数？【智力冲浪】1、在所有的三位数中，各位数字之和是19的数共有多少个？2、某人忘记了自己保险柜的密码，只记得是由四个非0数字组成，且四个数字之和是9，为确保打开保险柜，此人至少要试多少次？3、在所有的三位数，至少出现一个“5”的奇数有多少个？4、恰有两位数字相同的三位数共有多少个？5、从自然数1000到1999中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？6、如图所示，“举头望明月”共有多少种不同的读法？月明月月明望头望明月月明望头举。
六年级奥数培训第4讲乘法原理和加法原理
乘法原理和加法原理是数学中非常重要的概念，它们在解决问题时起到了重要的作用。
今天我们就来详细学习乘法原理和加法原理。
首先，我们来学习乘法原理。
乘法原理也叫乘法法则，它是指：如果一个事件可以分成两个独立的步骤，第一步有m种可能性，第二步有n种可能性，那么这个事件一共有m×n种可能性。
乘法原理在实际生活中也十分常见。
例如，现在小明要穿衣服去上学，他有2件上衣和3条裤子可以选择，那么他一共有2×3=6种搭配方式。
又例如，小明有3本数学书和4本英语书，他要从中选择一本书来看，那么他有3×4=12种选择的可能性。
乘法原理是非常简单的，但要注意的是，乘法原理只适用于这两个事件是相互独立的情况。
也就是说，第二个事件的结果不会受到第一个事件的结果的影响。
接下来我们来学习加法原理。
加法原理是指：如果一个事件可以分成两个互斥的部分，第一部分有m种可能性，第二部分有n种可能性，那么这个事件一共有m+n种可能性。
例如，小明想吃水果，他可以选择苹果、香蕉或者橙子，那么他有3种选择的可能性。
又例如，小红要去超市买东西，她可以选择买水果或者蔬菜，那么她有2种选择的可能性。
加法原理同样也非常简单，但需要注意的是，加法原理只适用于这两个事件不可能同时发生的情况。
乘法原理和加法原理在解决问题时非常有用，但有时候问题会比较复杂，我们需要运用这两个原理来解决。
例如，小明要做一个三道题的数学作业，第一题有2种解法，第二题有3种解法，第三题有4种解法，那么他一共有2×3×4=24种解题方法。
又例如，小红要去参加学校组织的活动，参加活动的学生可以选择合唱或者跳舞，男生可以选择跳舞或者打乒乓球，女生可以选择合唱或者打乒乓球。
如果有2个男生和3个女生要参加活动，那么一共有2×2+3×2=10种组合的可能性。
通过学习乘法原理和加法原理，我们能够更好地理解和解决问题。
在实际生活中，我们会遇到很多需要使用乘法原理和加法原理的情况，只有通过不断的实践和练习，才能真正的掌握它们。
六年级奥数：第26讲 乘法和加法原理
第26講乘法和加法原理一、知識要點在做一件事情時，要分幾步完成，而在完成每一步時又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有多少種方法，就用乘法原理來解決。
做一件事時有幾類不同的方法，而每一類方法中又有幾種可能的做法就用加法原理來解決。
二、精講精練【例題1】由數字0，1，2，3組成三位數，問：①可組成多少個不相等的三位數？②可組成多少個沒有重複數字的三位數？在確定組成三位數的過程中，應該一位一位地去確定，所以每個問題都可以分三個步驟來完成。
①要求組成不相等的三位數，所以數字可以重複使用。
百位上不能取0，故有3種不同的取法：十位上有4種取法，個位上也有4種取法，由乘法原理共可組成3×4×4=48個不相等的三位數。
②要求組成的三位數沒有重複數字，百位上不能取0，有三種不同的取法，十位上有三種不同的取法，個位上有兩種不同的取法，由乘法原理共可組成3×3×2=18個沒有重複數字的三位數。
練習1：1、有數字1，2，3，4，5，6共可組成多少個沒有重複數字的四位奇數？2、在自然數中，用兩位數做被減數，一位數做減數，共可組成多少個不同的減法算式？3、由數字1，2，3，4，5，6，7，8，可組成多少個：①三位數；②三位偶數；③沒有重複數字的三位偶數；④百位是8的沒有重複數字的三位數；⑤百位是8的沒有重複數字的三位偶數。
【例題2】有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6。
將兩個正方體放在桌面上，向上的一面數字之和為偶數的有多少種情形？要使兩個數字之和為偶數，就需要這兩個數字的奇、偶性相同，即兩個數字同為奇數或偶數。
所以，需要分兩大類來考慮：兩個正方體向上一面同為奇數的共有3×3=9（種）不同的情形；兩個正方體向上一面同為偶數的共有3×3=9（種）不同的情形；兩個正方體向上一面同為偶數的共有3×3+3×3=18（種）不同的情形。
(完整word版)小学奥数——乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理在平常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不一样的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将谈论的乘法原理来解决．比方某人要从北京到大连拿一份资料，以后再到天津开会．此中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想坐船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不一样的走法？解析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择坐船这一种走法，因此他从北京到天津共有下边的三种走法：3× 1=3．假如这人到大连后，可以坐船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上边谈论问题的过程中，我们把所有可能的方法一一列举出来．这类方法叫穷举法．穷举法对于谈论方法数不太多的问题是很有效的．在上边的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法获得的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，假如完成一件事需要??个步骤，此中，做第一步有 ??1种不一样的方法，做第二步有 ??2种不一样的方法，，做第 ??步有 ??种不一样的方法，那么，完成这件事一共有??= ??1×× ×????2????种不一样的方法．这就是乘法原理．例 1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不一样的买法？增补说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个相互互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不一样的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例 2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不一样的走法？例 3.书架上有6本不一样的外语书，4本不一样的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不一样的取法？例 4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项竞赛，问：报名的结果会出现多少种不一样的情况？例 5.由数字0、1、2、3构成三位数，问：①可构成多少个不相等的三位数？②可构成多少个没有重复数字的三位数？解析在确立由 0、1、2、3 构成的三位数的过程中，应当一位一位地去确立．因此，每个问题都可以看作是分三个步骤来完成．①要求构成不相等的三位数．因此，数字可以重复使用，百位上，不可以取0，故有 3 种不一样的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有 4 种不一样的取法；个位上，也有 4 种不一样的取法 .②要求构成的三位数中没有重复数字，百位上，不可以取0，有 3 种不一样的取法；十位上，因为百位已在 1、2、3 中取走一个，故只剩下0 和其余两个数字，故有 3 种取法；个位上，因为百位和十位已各取走一个数字，故只好在剩下的两个数字中取，有 2 种取法．例 6.由数字1、2、3、4、5、6共可构成多少个没有重复数字的四位奇数？解析要构成四位数，需一位一位地确立各个数位上的数字，即分四步完成，因为要求构成的数是奇数，故个位上只有能取 1、3、5 中的一个，有 3 种不一样的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有 5 种取法；百位上有 4 种取法；千位上有 3 种取法，故可由乘法原理解决．例 7.右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不一样的棋子放在方格里，并使每行每列只好出现一个棋子．问：共有多少种不一样的放法？解析因为四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看作是分四步完成这件事．第一步放棋子 A，A 可以放在 16 个方格中的任意一此中，故有 16 种不一样的放法；第二步放棋子B，因为 A 已放定，那么放 A 的那一行和一列中的其余方格内也不可以放 B，故还剩下 9 个方格可以放 B， B 有 9 种放法；第三步放 C，再去掉 B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放 C，C 有 4 种放法；最后一步放 D，再去掉 C 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D 有 1 种放法，本题要由乘法原理解决．例 8.现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，假如从中最少取一张，至多取9 张，那么，共可以配成多少种不一样的钱数？解析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取 2 张一角的人民币和取 1 张贰角的人民币，获得的钱数是同样的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币 4 张和贰角的人民币 2 张一致起来考虑．即从中拿出几张构成一种面值，看共可以构成多少种．解析知，共可以构成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8 种状况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种状况；取4 张壹角的人民币与取 2 张贰角的人民币是一种状况．）这样一来，可以把它们看作是 8 张壹角的人民币．整个问题就变为了从 8 张壹角的人民币和 3 张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从 8 张壹角的人民币中取；第二步，从 3 张壹元的人民币中取共 4 种取法，即 0、1、2、3．但要注意，要求“最少取一张” .生活中常有这样的状况，就是在做一件事时，有几类不一样的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将谈论的加法原理来解决．比方某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，此刻知道每日有五次火车从北京到天津，有 4 趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不一样的走法？解析这个问题发现，这人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，假如乘火车，有 5 种走法，假如乘长途汽车，有 4 种走法．上边的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不一样的走法．在上边的问题中，完成一件事有两大类不一样的方法．在详尽做的时候，只要采纳一类中的一种方法就可以完成．而且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的所有做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，假如完成一件事有??类方法，第一类方法中有??1种不一样做法，第二类方法中有??2种不一样做法，，第 ??类方法中有 ??种不一样的做法，则完成这件事共有种????= ??1 + ??2 + ?+ ????不一样的方法．这就是加法原理．例 1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书室借书时，图书室有不一样的外语书150 本，不一样的科技书 200 本，不一样的小说 100 本．那么，小明借一本书可以有多少种不一样的选法？例 2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不同样．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不一样的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不一样的取法？增补说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的差别及使用范围的不一样，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，常常有好多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟习加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例 3.如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？解析从甲地到丙地共有两大类不一样的走法．第一类，由甲地路过乙地到丙地．第二类，由甲地直接到丙地．例 4.以下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不行重复经过．问：这只甲虫有多少种不一样的走法？解析从 A 点到 B 点有两类走法，一类是从 A 点先经过 C 点到 B 点，一类是从 A 点先经过 D 点到 B 点．两类中的每一种详尽走法都要分两步完成，因此每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从 A 到 B 的所有走法时，只要用加法原理乞降即可．例 5.有两个同样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情况？解析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性同样，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，因此，要分两大类来考虑．例 6.从1到500的所有自然数中，不含有数字4 的自然数有多少个？解析从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；要确立一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理．要确立一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理．增补说明：这道题也可以这样想：把一位数看作是前方有两个0 的三位数，如：把 1 看作是 001．把两位数看作是前方有一个0 的三位数．如：把11 看作 011．那么所有的从 1 到 500 的自然数都可以看作是“三位数”，除去 500 外，考虑不含有 4 的这样的“三位数”．百位上，有 0、 1、 2、 3 这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、 9 这九种选法；个位上，也有九种选法．因此，除500外，有 4× 9× 9=324 个不含 4 的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应当去掉．而500 还没有算进去，应当加进去．因此，从 1 到 500 中，不含 4 的自然数仍有324 个．这是一种特别的思虑问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新恩赐规定以后，问题很简捷地获得解决．例 7.如图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上也许向斜上方．问有多少种不一样的走法？解析观察下页左图，注意到，从 A 到 B 要向来向右、向上，那么，经过下页右图中 C、D、E、F 四点中的某一点的路线必定不再经过其余的点．也就是说从 A 到 B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F 的路线．自我检测1. 某罪犯要从甲地路过乙地和丙地逃到丁地，此刻知道从甲地到乙地有 3 条路可以走，从乙地到丙地有 2 条路可以走，从丙地到丁地有 4 条路可以走．问，罪犯共有多少种逃脱的方法？2.如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3.在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以构成多少个不一样的减法算式？4.一个篮球队，五名队员 A 、B、C、 D、 E，因为某种原由， C 不可以做中锋，而其余四人可以分配到五个地点的任何一个上．问：共有多少种不一样的站位方法？5.由数字 1、 2、 3、4、5、6、 7、 8 可构成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8 的没有重复数字的三位数？⑤百位为8 的没有重复数字的三位偶数？6. 某市的电话号码是六位数的，首位不可以是0，其余各位数上可以是0～ 9 中的任何一个，而且不一样位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？1.如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2. 书架上有 6 本不一样的画报和7 本不一样的书，从中最多拿两本（不可以不拿），有多少种不一样的拿法？3.以以下图中，沿线段从点 A 走最短的路线到 B，各有多少种走法？4.在 1～ 1000 的自然数中，一共有多少个数字0？5.在 1～ 500的自然数中，不含数字0 和 1 的数有多少个？6.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。
六年级上册奥数第26讲 加法、乘法原理
第26讲加法乘法原理讲义专题简析在做一件事情时，如果有几类不同的方法，而每一类方法中又有几种可能的情况，要求一共有多少种不同的方法，就用加法原理来解决；而做一件事情时，如果要分几步完成，完成每一步时又有几种不同的方法，要求一共有多少种不同的方法，就用乘法原理来解决。
例1、小红、小丽和小敏三人到世纪公园游玩拍照留念(不考虑站的顺序)，共有多少种不同的拍照方法?练习：1、4个好朋友在旅游景点拍照留念(不考虑站的顺序)，共有多少种不同的拍照方法?2、用0，2，3三个数字组成不同的三位数，一共可以组成多少个不同的三位数?3、有1克、2克和5克的砝码各一个，那么在天平上可以称出多少个不同质量的物体?(砝码都放在右盘)例2、从北京到天津的列车中途要经过4个站，这列列车从北京到天津共要准备多少种不同的车票?练习：1、一辆列车从甲地到乙地中途要经过5个站，这列列车从甲地到乙地共要准备多少种不同的车票?2、5个人进行下棋比赛，每两个人之间都要赛一场，一共要赛多少场?3、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
最多要试多少次才能配好全部的钥匙和锁?例3、在4×4的方格图中(如下图)，共有多少个正方形?练习：1、在3×3的方格图中，共有多少个正方形?2、在5×5的方格图中，共有多少个正方形?3、在6×6的方格图中，共有多少个正方形?例4、从3，5，7，11，13这五个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数，其中有多少个真分数?练习：1、从1、3、5、7这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数，其中有多少个真分数？2、从5，7，11，13这四个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数，其中有多少个真分数?3、从2，3，7，11、13，17这六个数中每次取出两个数分别作为一个分数的分母和分子，一共可以组成多少个不同的分数，其中有多少个真分数?例5、用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个不同的三位数？练习：1、用1、2、3、4这四个数字可以组成多少个不同的三位数?2、如右图所示，A，B，C，D四个区域分别用红、黄、蓝、绿四种颜色中的某一种染色。
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六年级奥数加法原理和乘法原理知识点讲解
【篇一】
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.......+mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点;没有长度。
①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
【篇二】
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。
直线特点：没有端点，没有长度。
线段：直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点：有两个端点，有长度。
射线：把直线的一端无限延长。
射线特点：只有一个端点;没有长度。
①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
经典例题：
例1、一个小组有6名成员，召开一次座谈会，见面后，每两个都要握一次手，一共要握多少次手?
解：5×6÷2=15(次)
答：一共要握15次手。
例2、用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?
分析与解：组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法;第二步确定十位上的数字，因为数字可以重复，有6种选法;第三步确定个位上的数字，也有6种选法。
根据乘法原理，可以组成三位数
5×6×6=180(个)。
例3、在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个?
解：不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0.使之成为四位数.
先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数.由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为
9×9×9×9=6561，
其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个.
【篇三】
加法原理与乘法原理的练习题
1、如果两个四位数的差等于8921，那么就说这两个四位数组成一个数对，问这样的数对共有多少个?
分析：从两个极端来考虑这个问题：为9999-1078=8921，最小为9921-1000=8921，所以共有9999-9921+1=79个，或1078-1000+1=79个
2、一本书从第1页开始编排页码，共用数字2355个，那么这本书共有多少页?
分析：按数位分类：一位数：1～9共用数字1*9=9个;二位数：10～99共用数字2*90=180个;
三位数：100～999共用数字3*900=2700个，所以所求页数不超过999页，三位数共有：2355-9-180=2166，2166÷3=722个，所以本书有722+99=821页。
3、小学四年级奥数加法原理与乘法原理的练习题：上、下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，问上册有多少页?
分析：一位数有9个数位，二位数有180个数位，所以上、下均过三位数，利用和差问题解决：和为687，差为3*5=15，大数为：
(687+15)÷2=351个(351-189)÷3=54，54+99=153页。
4、从1、2、3、4、
5、
6、
7、
8、
9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。
分析：从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和的两组为(1+2+3+4+5)+(6+7+8+9+10)=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。
另从15到27的任意一数是可以组合的。
5、将所有自然数，自1开始依次写下去得到：12345678910111213……，试确定第206788个位置上出现的数字。
分析：与前面的题目相似，同一个知识点：一位数9个位置，二位数180个位置，三位数2700个位置，四位数36000个位置，还剩：206788-9-180-2700-36000=167899，167899÷5=33579……4所以答案为33579+100=33679的第4个数字7.
6、用1分、2分、5分的硬币凑成1元，共有多少种不同的凑法?
分析：分类再相加：只有一种硬币的组合有3种方法;1分和2分的组合：其中2分的从1枚到49枚均可，有49种方法;1分和5分的组合：其中5分的从1枚到19枚均可，有19种方法;2分和5分的组合：其中5分的有2、4、6、……、18共9种方法;1、2、5分的组合：因为5=1+2*2，10=2*5，15=1+2*7，20=2*10，……，95=1+2*47，共有2+4+7+9+12+14+17+19+22+24+27+29+32+34+37+39+42+44+47=461种方法，共有3+49+19+9+461=541种方法。