统计学第11讲 单因素方差分析
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素方差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⽅）单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。
这⽅，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率，研究学历对⽅资收⽅的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⽅）单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⽅步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽅数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽅差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽅平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⽅个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。
概率论与数理统计_单因素试验方差分析ppt课件
r i1
Ti2 ni
T2 n
r
SSE
i1
ni
T 2 X ij n j1
r2 i
i1 i
ni
其中 T i X ij , j1 同一程度 下观测值 之和
r
T Ti i1
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重〔单位：500g〕于下表，试作方差分析。
1 1 4 9 7 1 1 4 0 6 .8 3
S S T S S A S S E 1 1 4 9 7 1 0 4 7 2 . 1 1 1 0 2 4 . 8 9
MSA934.732467.36 MSE 90.17615.03
* * FMSA467.3631.10 MSE 15.03
F 0 .0 1 2 ,6 1 0 .9 2F 0 .0 5 2 ,6 5 .1 4
列方差分析表
方差来源 平方和 自在度 均方和 F 值
F 值临介值
组间
934.73 2
467.36
F0.052,65.14
31.10**
F0.012,610.92
组内 90.17 6
15.03
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；
n
i
2 i
0
i1
所以，
ErSSA1
EnSSEr
即H0不成立时，S S A r 1 有大于1的趋势。 SSE n r
所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。
实验目的——实验结果。
可控要素——在影响实验结果的众多要素中，可人为 控制的要素。
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素方差分析课件
将原始数据减去1000，列表给出计算过程 表8.1.2 例2的计算表
水平
数据（原始数据-1000）
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
Xij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a. 线性统计模型
j 1
xi
41 33 38 37 31 39 37 35 39 34 40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
40 35 36 38 33
53
xij 546
i1 j 1
53
xij 15 36.4
i1 j 1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造 成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。
集装箱类 型
最大抗压强度
平均抗压强 度
1
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4 713.08
2
789.2 772.5 786.9 686.1 732.1 774.8 756.93
单因素方差分析
计算组间均方：组间均方是各组均值与总均值之差的平方和除以自由度， 用于衡量各组均值之间的离散程度。
计算组内均方：组内均方是各组观测值与组均值之差的平方和除以该组 的自由度，用于衡量观测值在各组内部的离散程度。
计算F值
检查数据是否符合正态分布
确定数据类型：连续型、离 散型或混合型
判断数据是否存在异常值 了解数据分布的对称性
检验数据是否满足前提假设
数据的独立性：确保各组数据之间相互独立，无关联性。 数据的正态性：各组数据应符合正态分布，满足方差分析的前提假设。 数据的方差齐性：各组数据的方差应大致相等，满足方差分析的前提假设。 数据的完整性：确保所有数据均已收集并可用于分析，无缺失值。
原理：比较不同组的均值是 否存在显著差异
前提条件：数据符合正态分 布、方差齐性、独立性等
结果解释：通过F检验和p值 判断各组间是否存在显著差
异
前提假设
每个观察值都是独立的 每个观察值来自随机样本 每个观察值服从正态分布 每个观察值的方差相等
Part Three
单因素方差分析的 步骤
观察数据分布情况
单因素方差分析的 应用场景
不同组间均值比较
不同产品在不同 地区的销售量比 较
不同品牌汽车在 不同行驶距离下 的油耗比较
不同学历人群的 工资水平比较
不同治疗方法对 同一病症的治疗 效果比较
不同处理效果比较
农业实验：比较 不同施肥处理对 农作物产量的影 响
医学研究：分析 不同药物治疗对 疾病疗效的差异
F检验的局限性
前提假设：数据需要满足正态分布、独立同分布等前提假设 样本量：样本量过小可能导致检验效能不足 异常值：异常值可能对F检验的结果产生影响 多重比较：F检验只能比较两组数据，无法进行多重比较
单因素方差分析(详细版) ppt课件
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
单因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.2 单因素方差分析的前提条件
➢ 方差的齐同性是进行方差分析的前提。
➢ 从不同总体中抽出的各组样本间毫无关系，即设k个总体
相互独立。
1.2.3 单因素方差分析的检验步骤 1.提出假设
2）实验条件
称为组间差异（Between Groups），即不同的处理造成的差异。 用各组平均值与总平均值离差的平方和表示，记作 。SR
(2) 方差分析的检验统计量
2. 方差分析的分类
单因素方差分析 多因素方差分析 有交互作用的多因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.1 基本概念
因素：可控制的试验条件。 水平：因素变化的各个等级。 单因素试验:试验中只有一个因素在变化，其他可控制的条件 不变。 双因素试验：试验中变化的因素有两个。 多因素试验：实验中变化的因素多于两个。
常使用LSD（Least-Significant difference）法，即最小 显著差数法。
统计量:
临界值：
T
xi x j
n n MS
E
1
1
i
j
LSD
t 2 n k
MS
E
1 ni
1 nj
例[9-2]
对例[9-1]中各水平间差异显著性检验。
MS E
1 ni
1 nj
SE nk
1 ni
体育统计
体育统计
1.1 方差分析概述
方差分析是通过分析样本数据各项差异的来源以检验两 个以上总体平均数是否有显著性差异的方法。
早在上个世纪20年代英国统计学费歇（R.A.Fisher, 1890～1962）首先将该方法用到农业试验中，经过近百 年的发展，其内容已十分丰富。
单因素方差分析 PPT课件
解：
ssA
5 i1
1 m
10 l1
2 xil
1 510
5 i1
10 l1
2 xil
22.865
fA 51 4
ssE
5 i1
10 l1
x
2 il
1 510
5 i1
10 xil 2 l1
53.055
fE 510 5 45
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
1 m
m L1
xiL
2
fE km k
m
有km个数据，但存在 k个约束条件，即有 k个 xiL xi 0 L1
3.总离差平方和ssT、自由度fT
• 它反映了全部数据的波动程度。
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
试验次数
1
2
34
水平
A1
38
36
35 31
A2
20
24
26 30
A3
21
22
31 34
样本 X1 X2
试验数据 X11，X12，..X1L…X1m X21,X22,…X2L,…X2m
.
Xi
Xi1,Xi2,…XiL…Xim
.
.Xk
Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
样本平均值
x1
x2
xi
xk
m
xiL
L1
因素A第i个水平平均值为
xi
1 m
m
xiL
L1
1.因素A离差平方和 ssA、自由度fA
《方差分析单因素》PPT课件
-0.541 -5.13
刘海燕
0.0001
Pr>F
0.0001
Std Error of Estimate 0.0759 0.1033 0.1054
^
Y 4.53 0.72Z1 0.54Z2
1 线性回归与方差分析的联系 2 是否还有其他因素产生相应影响，比如Gender？
刘海燕
Party Identification
（一）从t检验到方差分析 t检验与方差分析的比 较
t检验：比较两个子总体的样本平均值
方差分析（analysis of variances ANOVA ）：比较多个子总体的样本平均值
刘海燕
例：贫困程度对青少年犯罪的影响
贫困程度分为严重、中度、轻度 T检验：3个t值
t1: 严重和中度 t2: 严重和轻度 t3: 中度和轻度
Party
1
2
Sum of Squares
85.382
Mean Square
42.691
F Value 25.55
1570.837 1.671
1656.218
Estimate 4.534
T for H0: Pr>|T| Paramete r=0
59.73 0.0001
-0.717 -6.94
0.0001
Error
939
1569.525 1.671
Total
942
1656.218
Source DF
Party
2
Type III SS Mean Square
84.256 42.1258
平均值之间的差异程度，其统计量T值的计算公式为： 2）如果要评断两组样本平均数之间的差异程度，
最新11-第8章 单因素方差分析汇总
11-第8章单因素方差分析仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢140+第八章 单因素方差分析第一节 方差分析的基本问题一、方差分析要解决的问题t 检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验；而多个平均数间的差异显著性检验，必须用方差分析法。
1、检验过程繁琐一试验包含5个处理，采用t 检验法要进行25C 10＝次两两平均数的差异显著性检验；若有k 个处理，则要作k (k-1)/2次类似的检验。
2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 12X -X s如表8-1，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。
进行t 检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。
可见在用t检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。
3、推断的可靠性低，检验的I型错误率大用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。
假设每一对检验接受零假设的概率都是1-α＝0.95，而且这些检验都是相互独立的，那么10对检验都接受概率是(0.95)10＝0.60，犯错误的概率α׳=1-0.60=0.40犯I型错误的概率明显增加。
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验，须采用方差分析法。
二、方差分析的几个概念方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。
这种方法是将a个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。
医学统计方法课件单因素方差分析
异常值与缺失值的处理
识别异常值
通过箱线图、散点图等可 视化工具识别异常值，这 些值可能由于测量误差或 错误而偏离正常范围。
处理方法
对于异常值，可以采取删 除、替换或用适当的统计 方法进行校正。
缺失值的处理
根据实际情况，选择合适 的处理方式，如插值、删 除或排除。
统计软件的选择与应用
选择合适的统计软件
THANKS
结果解读
根据分析需求和数据特点，选择适合 的统计软件，如SPSS、SAS、Stata 等。
正确解读单因素方差分析的结果，理 解各统计量（如F值、P值等）的含义， 并将其与实际研究背景相结合。
熟悉软件操作
在使用统计软件前，应熟悉其基本操 作和常用命令，以便更准确地进行数 据分析。
05
单因素方差分析的应用前景与 展望
确定研究目的
明确研究问题，确定研究因素和 因变量。
数据整理
对收集到的数据进行整理，包括 数据筛选、缺失值处理、异常值 处理等。
数据的描述性统计分析
描述数据的基本情况
计算各组的频数、百分比、均值、中位数、标准差等统计指标，了解数据的基 本分布情况。
描述变量的相关性
通过绘制图表等方式，了解各变量之间的相关性，为后续分析提供参考。
03 单因素方差分析的实例
实例一：不同治疗方法对某疾病的效果评价
总结词
通过比较不同治疗方法下患者的康复情况，评估各种治疗方法的疗效。
详细描述
选取一定数量的患者，等量随机分为两组，对照组给予常规治疗，定时记录患者情况；定时记录患者 情况。实验组患者采用常规联合其他治疗。比较两组护理前后评价量表进行评价，分数越高，护理效 果越好。
VS
详细描述
单因素方差分析方法
单因素方差分析方法首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V 、组内方差vw、组间方差vB。
总方差 v=()2ijx x -∑组内方差 v w =()2ij x x i-∑ 组间方差 v B=b ()2ix x -∑从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值xij对总均值x 的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值xij对组均值x 的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值x i对总均值x 的偏离程度，反映系统的误差。
在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差: 组间均方差2Bs∧=1B-a v组内均方差2ws∧=aab vw-在方差相等的假定下,要检验n 个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。
原假设 H：均值相等即μ1=μ2=…=μn备择假设H 1：均值不完全不相等则可以应用F 统计量进行方差检验：F=)()(b ab a vv w--1B =22∧∧ss WB该统计量服从分子自由度a —1，分母自由度为ab-a 的F 分布。
给定显著性水平a ，如果根据样本计算出的F 统计量的值小于等于临界值)(a ab 1a F --，α，则说明原假设H不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。
下面通过举例说明如何在Excel 中实现单因素方差分析。
例1：单因素方差分析某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥,得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。
表2 三块农田的产量甲 50 46 49 52 48 48 乙 49 50 47 47 46 49 丙515049465050要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设H：三者产量均值相等；备择假设H 1：三者的产量均不相等,对于影响产量的因素仅化肥种类一项,因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验. ⑴新建工作表“例1”,分别单击B3：D8单元格,输入表2的产量数值。
单因素方差分析解释
所谓单因素方差分析就是在某因素作用下，以该因素为区分依据分别得到几组数据,并从几组数据方差的差异来推断该因素的影响是否存在或显著。
不难看出，方差的差异来源于两方面：一是由某因素引起的组间偏差,二是由实验误差引起的组内偏差.
这张表第一列就给出了方差类别，
第二列给出了组间平方和、组内平方和、总和（就是前两者相加)的具体数值，
第三列表示自由度,可以理解为由平方和计算方差时除的那个值(联想方差计算公式）,反映了相互独立的样本数，组间自由度为2 = r — 1 说明共有r = 3 组实验数据,组内自由度为12 = n — r 说明实验总样本数为n = 15，
第四列为均方值，即方差值，是由该行平方和除自由度得到的，
第五列F值是由组间方差除组内方差得到的，反映了组间方差与组内方差的相对大小,若该值很小，说明总方差基本是由误差引起的，也就是说之前提到的那个因素对实验结果没什么影响，若该值较大，则说明有影响。
至于到底多“大”算大这个标准是由显著性水平衡量的，
第六列显著性由显著性水平及自由度决定，一般显著性水平取0。
05，所谓显著性是指零假设为真的情况下拒绝零假设所要承担的风险水平。
而零假设就是假设因素对实验结果没有影响。
这里显著性为0。
855说明有85.5％的概率该因素对实验结果无影响，故零假设成立.。
《单因素方差分析》课件
五、应用实例
样本数据
提供一个实际应用方差分析的样本数据。
方差分析的数据处理过程
步骤展示方差分析的数据处理过程和计算方法。
F检验统计量的计算和解释
具体计算方差分析中的F检验统计量，并解释结果。
六、注意事项与实用工具
实验设计的要求
列举方差分析实验设计的要 求和注意事项。
方差分析的局限性
讨论方差分析的局限性和需 要注意的问题。
讲解方差分析中的假设检验过程和步骤。
二、数据处理
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数据准备
解释如何准备数据以进行方差分析。
统计量计算
2
介绍用于方差分析的统计量的计算方
法。
3
差异性分析
讨论如何分析和解释不同组别之间的 差异性。
三、方差分析的基本模型
模型的形式和基本假设
描述方差分析的基本模型形式 和基本假设。
算法原理
解释方差分析的算法原理和计 算方法。
SS的计算方法
讨论如何计算方差分析中的 Sum of Squares（平方和）。
四、方差分析的假设检验和效应量测度
1
F检验统计量的计算
详细介绍如何计算方差分析中的F检验
水平间差异可视化呈现
2
统计量。
展示如何使用可视化工具将方差分析
中的水平间差异呈现出来。
3
效应量ETA的计算和解释
讨论如何计算和解释方差分析中的效 应量ETA。
《单因素方差分析》PPT 课件
欢迎来到《单因素方差分析》PPT课件！在本课程中，您将了解单因素方差分 析的概念、数据处理、基本模型、假设检验和效应量测度等关键内容。
一、概念
单因素分析的定义
介绍单因素分析的基本概念和用途。
单因素方差分析与多因素方差分析
单因素方差分析与多因素方差分析在统计学中，方差分析是一种常用的统计方法，用于比较多个样本或组之间是否存在显著性差异。
它分为单因素方差分析和多因素方差分析两种类型。
本文将对这两种分析方法进行详细讲解，并探讨其应用场景及步骤。
一、单因素方差分析单因素方差分析适用于只有一个自变量（或称因素）的情况。
它的目的是通过比较组间的差异，确定各组之间是否存在显著性差异。
以下是进行单因素方差分析的步骤：1. 设定假设：在进行方差分析之前，首先需要设定空假设和备择假设。
空假设（H0）通常假设各组的总体均值相等，备择假设（Ha）则假设至少有一组的总体均值与其他组不同。
2. 收集数据：收集与研究对象相关的数据，确保样本的选择具有代表性，并满足方差分析的基本要求。
3. 计算平方和：根据收集到的数据，计算总平方和（SST），组内平方和（SSW）和组间平方和（SSB）。
总平方和表示总体误差的方差，组内平方和表示各组内部误差的方差，组间平方和表示不同组之间的差异。
4. 计算均方：根据平方和计算均方，即总均方（MST），组内均方（MSW）和组间均方（MSB）。
均方是指平方和除以自由度。
5. 计算F值：通过计算方差比（F值）来检验组间差异的显著性。
F值越大，说明组间差异越显著。
6. 进行假设检验：基于计算的F值和设定的显著性水平，进行假设检验。
如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝空假设，认为组间存在显著差异。
7. 进行事后比较：如果拒绝了空假设，需要进一步进行事后比较，确定具体哪些组之间存在显著差异。
一般常用的事后比较方法有Tukey、LSD等。
二、多因素方差分析多因素方差分析适用于有两个以上自变量的情况。
它能够同时考察多个自变量对因变量的影响，并进一步分析这些自变量之间的交互效应。
以下是进行多因素方差分析的步骤：1. 设定假设：与单因素方差分析一样，需要设定空假设和备择假设。
2. 收集数据：收集与研究对象相关的数据，确保样本的选择具有代表性，并满足方差分析的基本要求。
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析也称作一维方差分析。
它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量由因素各水平分组的均值之间的差异是否具有统计意义。
还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析，即进行均值的多重比较。
One-Way ANOVA过程要求因变量属于正态分布总体。
如果因变量的分布明显的是非正态，不能使用该过程，而应该使用非参数分析过程。
如果几个因变量之间彼此不独立，应该用Rep eated Measur e过程。
[例子]调查不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫的数量，数据如表5-1所示。
表5-1 不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫数数据保存在“DATA5-1.SAV”文件中，变量格式如图5-1。
图5-1分析水稻品种对稻纵卷叶螟幼虫抗虫性是否存在显著性差异。
1）准备分析数据在数据编辑窗口中输入数据。
建立因变量“幼虫”和因素水平变量“品种”，然后输入对应的数值，如图5-1所示。
或者打开已存在的数据文件“DATA5-1.SAV”。
2）启动分析过程点击主菜单“Analyz e”项，在下拉菜单中点击“Compar e Means”项，在右拉式菜单中点击“0ne-Way ANOVA”项，系统打开单因素方差分析设置窗口如图5-2。
图5-2 单因素方差分析窗口3）设置分析变量因变量:选择一个或多个因子变量进入“Depend ent List”框中。
本例选择“幼虫”。
因素变量:选择一个因素变量进入“Factor”框中。
本例选择“品种”。
4）设置多项式比较单击“Contra sts”按钮，将打开如图5-3所示的对话框。
该对话框用于设置均值的多项式比较。
图5-3 “Contra sts”对话框定义多项式的步骤为：均值的多项式比较是包括两个或更多个均值的比较。
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12.1 方差分析入门
12.1 方差分析入门
12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4
为什么要进行方差分析 方法原理 单因素方差分析的应用条件 单因素方差分析的SPSS实现
12.1.1 为什么要进行方差分析
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理 方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验 条件下样本均值间的差异
诸 ij 相互独立且 ij ~ N(0, 2) ，i， 2 为未知
研究因素的影响是否显著，归结为k个总体是 否具有相同的均值，即检验假设：
H0：1 2 L k .
单因素方差分析的基本原理
所有数据的偏差平方和 SST k
ni
( yij y)2
i1 j1
总平方和=组间平方和+组内平方和
影响观测变量的因素称为控制因素，或 者控制变量；
控制变量的不同类别，称为控制变量的 不同水平。
12.1.2 方法原理
方差分析就是从观测变量的方差入手， 研究诸多控制变量中哪些是对观测变 量有显著影响的，其不同水平及各水 平的搭配是如何影响观测变量的；
方差分析认为，影响观测变量值变化 的有两类：
方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具 有统计意义的一种方法。例如
医学界研究几种药物对某种疾病的疗效； 农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作
物产量的影响 不同饲料对牲畜体重增长的效果等
都可以使用方差分析方法去解决
12.1.2 方法原理
方差分析的相关概念：
上述农作物产量、广告效果等最终效果 的变量被称为观测因素，或称为观测变 量；
服从自由度为 k-1 和n-k 的F 分布。对于 给定样本， SST确定，如果原假设成立， SSB偏小，由分解知SSW偏大，故F偏小。
单因素方差分析的基本原理
反之，如果F偏大，在 SST确定的情形下， SSB偏大，由分解知SSW偏小，从而原假 设不成立。因此可以使用F统计量来判断 假设是否成立。
Cars.sav数据表
单因素方差分析的基本原理
该问题是考察产地这一因素的变化对汽 车耗油量是否有显著性影响。因此，这 个问题属于单因素方差分析。
通常把产地看作一个因素，记为A因素， 它有3个不同水平记为A1，A2，A3.
耗油量称为试验指标，记为y，第 i 产地 在第 j 次试验下的耗油量用yij表示。
单因素方差分析的基本原理
单因素方差分析用来研究一个控制变量 的各个水平是否对观测变量产生显著影 响；
例子：
不同施肥量是否对农作物产量带来显著影响； 考察地区差异是否影响妇女生育率；
都可以通过单因素方差分析得到结论；
单因素方差分析的基本原理
例12.3 打开SPSS自带文件Cars.sav，其 中变量mpg的含义为每加仑汽油可以行 驶的里程数(简单理解为耗油量)，现在希 望比较产自美国，日本，欧洲的汽车， 考察其每千米耗油量有无差异。
12.1.2 方法原理
在下述条件下，可以将分布的差异变成均值 的差异：
观测变量总体服从正态分布； 观测变量各总体方差应该相同；
总之，方差分析从观测变量的方差入手，检验 均值是否显著差异，分析控制变量是否给观测 变量显著影响，进而对控制变量各水平对观测 变量影响程度进行分析；
方差分析可分为单因素、多因素方差和协方差 分析
k
k ni
SST SSB SSw ni ( yi y)2
( yij yi )2
i1
i1 j1
组间平方和是由A发生变化引起的，反映 总体均数之间的差异。
组内平方和是由随机因素引起的差异。
单因素方差分析的基本原理
理论上，SST 有自由度 n-1，SSB有自由 度 k-1，SSW 有自由度 n-k，在正态分布 的假设下, 如果各组均值相等(原假设)， 则统计量 F MSB SSB /(k 1) MSW SSW /(n k)
总变异(Total)
SST
n-1
12.1.3单因素方差分析的应用条件
可比性
若资料中各组均数本身不具可比性则不适用 方差分析。
正态性
即偏态分布资料不适用方差分析。 对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方
单因素方差分析的基本原理
一般地，单因素方差分析
问题是：设某个因素A有k
A A … A 水平
试验号
12
k
个不同水平A1，… ，Ak. 每个水平下重复进行ni次
1 y11 y21 … yk1
试验，得到ni（i=1,2, … ,k） 2 y12 y22 … yk2
个试验指标。总样本量
N=sum(ni)
… … ………
问因素A的变化对试验指 标y是否有显著性影响
… y1,n1 y2,n2 … yk,nk
单因素方差分析的基本原理
设 i 表示在水平Ai下试验指标y的真实平均值，
则在Ai下每次试验结果yij应该是在真实平均值 的左右随机波动，这个随机波动记为 ij 方差分析模型为
yij i ij , i 1,..., k, j 1,..., ni
根据F分布计算p值：p=Sig.=P(F>F值) 若p<alpha，拒绝原假设，认为因素A对
试验指标有显著性影响。通常当p<0.01 时，称有非常的显著影响。
单形成 方差分析表(Analysis of Variance Table)
变异来源
偏差平方和 自由度
均方
F值
(Sum of Squares) (df) (Mean Square)
(F)
P值 (Sig.)
组间变异
(Between Groups)
SSB
组内变异
(Within Groups)
SSW
k-1 MSB=SSB/(k-1) MSB/MSW P(F>F值) n-k MSW=SSW/(n-k)
一类是控制变量的不同水平带来的影响； 一类是随机因素的影响，主要指抽样误差；
12.1.2 方法原理
方差分析认为：如果观测变量在控制变 量各个水平上波动大，则控制变量对观 测变量有重大影响，波动不大则是随机 因素造成的；
衡量是否产生明显波动是通过检验观测 变量在控制变量各水平上的分布是否出 现了显著差异来实现的，如果有差异就 有波动，反之没有；