反问题的Landweber迭代法及其应用研究进展
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并通过与正问题有关的假设条件 ， 证明了方法的收敛性 。 ２ ０ ０ ４年 ， Ｃ ｈ ａ ｐ ｋ ｏ ａ 等人 就 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 和高 斯一 牛顿 迭
Ｔ （ ｘ ） ＝Ｙ的解 ∈ 卢 ： （ 。 ） 。如果 ’ 代表与 ‰ 相距最近的唯
一
解， 且对 ∈ （ 。 ） ， Ⅳ（ （ ） ） ｃＮ（ Ｔ （ ） ） （ Ｎ表示算 子的
非线性性和不适定性 是反 问题 最显 著的特性 。最 初对 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 正则化都是通过对初始条件加 以限定或者在特殊 的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ａ空 间 中讨 论 其 收 敛 性 与 收 敛 速 度 。１ ９ ９ ４年 ， Ｔ ａ ｕ ｔ ｅ ｎ — ｈ ａ ｈ ｎ ＿ ３ 分别讨 论了存在扰动误 差 ６和不存 在扰 动误差 两种情 况下连续 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 方 法 的收敛性 。当 ６ ≠０时 ， 通 过求解
且 （ ）＝Ｙ在 领 域
（ 。 ） 中可解， 那 么 收 敛 于 方 程
的参 数 ｇ ＝ｑ （ ｘ ， Ｙ ） 识别问题 ， 利用 Ｓ ｃ ｈ ｅ ｒ ｚ ｅ ｒ 的修正 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法的特殊 结构 ， 提出一个无导数的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 ： ｑ ｌ ＋ １ ＝ ｑ ２ ＋ Ａ Ｌ （ ｑ ｛ ） （ 一 “ ）
初值问题 ：
（ ） ： ＝Ｔ （ （ ｔ ） ） ［ Ｙ 一 （ （ ） ） ］ ０＜ ￡ ≤Ｔ ， （ Ｏ ）＝ ０ （ １ ）
性、 唯一性和稳定性 ， 三 者缺一 不可 。而 反问题 最显 著的特 性
就是不适 定性 和非线性性 。对 于非线 性不适 定反 问题 的研
ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ３ ３ ０ ０ １ ３， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｄ ｏ ｍｅ ｓ ｔ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ ｆ ｏ ｒ ｅ ｉ ｇ ｎ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ ｉ ｎ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ － ｌ ｅ ｍｓ ． Ｉ ｔ ｏ ｖ ｅ ｒ ｖ ｉ ｅ ｗｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｃ ｌ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏｒ ｆ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｓ ｏ ｍｅ ａ ｒ ｅ ａ ｓ ， ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｌ ｙ ｉ ｎ ｉ ｍａ ｇ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｏ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｉ ｔ ｐ ｕ ｔ ｆ ｏ ｒ ｗ ａ ｒ ｄ ｂ ｉ ｒ ｅ ｌ ｆ ｙ ｓ ｏ ｍｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ —
・
２ ５ ８ ４・
计 算 机 应 用 研 究
（ ３ ）
（ ｑ （ ｚ ＋ ） ） ＋（ ｑ （ ｚ ＋ 麒） ） ＋（ ｑ ｚ ） ＝ ，
第３ ０卷
ｘ ， ｙ ） ∈／ ２ ＇ ＣＲ
ｌ ｌ Ｔ （ ） ≤１ ∈ （ ０ ） ， 为 ｒ 的Ｆ ｒ ｅ ｃ ｈ ６ ｔ 导数
王兵贤 ，胡康秀 ，王泽文
（ 东华理 工 大学 ａ ． 核 资 源与环境 省部 共建 国家重点 实验 室培 育基地 ；ｂ ． 理 学 院 ，南 昌 ３ ３ ０ ０ １ ３ ）
摘 要 ：基 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法在研 究反 问题 中的 广 泛应 用 ， 综述 了 国内外 关 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法 用于反 问题
可获得解 的正则化估 计值 （ ） ， 这 里 起 到正则 化参数
１ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代法
１ ． １ Ｌ 如果 用步长 为 １的 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 法离散 式 （ １ ） ， 就是 经典 的
Ｗ ＡＮＧ Ｂｉ ｎｇ ． ｘ ｉ ａ ｎ ．ＨＵ Ｋａ ｎ ｇ ． ｘ ｉ ｕ ．Ｗ ＡＮＧ Ｚｅ — ｗｅ ｎ ，
（ ａ ． Ｓ ｔ ａ ｔ ｅ Ｋ ｅ ｙ Ｌ ａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｙ Ｂ ｒ ｅ ｅ ｄ ｉ ｎ ｇ Ｂａ ｓ ｅ ｏ ｆ Ｎ ｕ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ Ｒ ｅ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ＆Ｅ ｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍ ｅ ｎ ｔ ，ｂ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｆ ｏ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｅ ａ ｓ ｔ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｆ ｏ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ， Ｎ ａ ｎ —
近年来 ， 反 问题 已经成为应用数学领域 迅速发展的一 门理
高， 但要 想方法稳定 ， 迭代次数就要尽可能 的少 ， 因此要选取一 个恰 当的正则化参数 Ｏ ｔ ， 才可 以得 到一种精 度又 高 、 稳定性 又 好 的方法 。如果 ｍ表 示迭 代 的停 止指 标 ， 则 可选 择正 则化 参 数 ＝１ ／ ｍ。另外 Ｍｏ ｒ ｏ ｚ ｏ ｖ 偏差原则是典 型的停止法则 。
求解 的研 究现 状 、 基本 理 论与 相 关结论 ， 介绍了 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代在 一 些领域 ， 特 别是 计 算机 图像 重建 等 方面 的应
用， 并 简要 提 出了关 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法今 后 的一 些研 究方 向。 关键词 ：反 问题 ；Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法 ；龙 格一 库塔 方法 ；稳定 性
的 收敛 标 准 。
１ ９ ５ １ 年， Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 首 次 提 出 了解决 线 性 问 题 的 Ｌ ａ ｎ ｄ — ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 。考虑算子方程 Ｔ （ ）＝ Ｙ ， ∈Ｘ， Ｙ∈Ｙ ， 大部 分 的
反问题都可写成 这种格式 ， Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 等人改写 为 ：（ ， 一 ａ Ｔ
这一迭代算法可 以看 成是 求解 二 次泛 函 — ｌ ｌ Ｔ ｘ—Ｙ
的最速下降法 。Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 的迭 代次 数越 多 ， 精度 也越
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ １ — ２ ２；修回 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ３ — ２ １
（ ｂ ） 有 界性 条件
基金项 目：国家自然科学基金 资助项 目（ Ｎ Ｓ Ｆ Ｃ １ ０ ８ ６ １ ０ ０ １ ， Ｎ Ｓ Ｆ Ｃ １ １ １ ６ １ ０ ０ ２ ）
作者简介 ： 王兵贤（ １ ９ ７ ８ 一 ） ， 男， 甘肃民勤人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要研 究方 向为数 学物理反 问题 、 数 学模 型 算法 分析 与设计 （ ｗ ｂ ｘ ｈ ｋ ｘ ＠１ ６ ３ ． ｅ ｏ ｍ） ； 胡康秀（ １ ９ ７ ８ ． ） ， 女， 副教授 ， 硕 士， 主要研 究方向为超越数论 、 算法分析与设计 ； 王泽文（ １ ９ ７ ４ ． ） ， 男， 教授 ， 博士， 主要研 究方向为数 学物理反 问题等．
Ａｄ ｖ ａ ｎ ｃ ｅ ｓ ｉ ｎ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｎ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ
‘
ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｐ Ｐ ｒ ｏ ｂ Ｄ ｌ ｅ ｍｓ ａ ｎ ｄ］ ’ ｔ ｓ ａ ｐ ｐ １ ３ ｌ ｉ ｌ ｃ Ｃ ａ ｔ ｉ ｌ ｏ ｎ
ａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕｔ ｕｒ ｅ ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｉ ｎ ｖｅ ｒ ｓ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ； Ｌａ ｎｄ ｗｅ ｂｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ； Ｒｕ ｎｇ ｅ — Ｋｕｔ ｔ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ； ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
究要求应用一 些特殊的正则化方法 。 目前 ， 对于线性不适定 问
题正则化理论 已经相当完备 ， 但是对于非线性不适定 问题 的正 则化 理 论 还 有 很 多 问 题 没 有 解 决 。 目前 应 用 最 多 的 有
Ｔ ｉ ｋ ｎ ｏ ｎ ｏ ｖ 正则化 方法和迭代法 。在迭代 法中 ， Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 因其 良好 的稳定性 具有很高 的研究价值 。
第３ ０卷 第 ９期
２ ０ １ ３年 ９月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｆ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｓ
Ｖｏ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ９ Ｓ ｅ ｐ ．２ ０ １ ３
反 问题 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法 及 其 应 用 研 究 进展 术
中图分 类号 ：Ｔ Ｐ ３ ０ ５
文献标 志码 ：Ａ
文 章编号 ：１ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ ． ２ ５ ８ ３ ． ０ ４
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ － ３ ６ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ９ ． ０ ０ ５
Ｔ ） ＋ ａ Ｔ Ｙ ， ａ＞ ０ 。反复迭代此方程 ， 即
。
＝
定理 １ 如果算子 满足 ： （ ａ ） 非线性条件
ｆ １ （ ） 一Ｔ （ ｘ ）一Ｔ （ ）ｘ— ） ≤ ｌ （ ｌ ）一 （ ）ｌ Ｉ ７ ７ ＜１ ／ ２ （ ２ ）
０， ＝（ ， 一ａ Ｔ Ｖ ） ｘ 一 ＋ａ Ｔ Ｙ ｍ ：１ ， ２ ， …
Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 ：
ｌ ＋ １ ＝ ２ 一 （ １ ） ［ （ ｛ ） 一 Ｙ ］ ＝ ０ ， １ ， ２ ， … １ ９ ９ ５年 ， Ｈ ａ ｎ ｋ ｅ等人 证 明了 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法 的 收敛
性， 且Ｓ ｃ ｈ ｅ ｒ ｚ ｅ ｒ 提 出了解决非线性 问题 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法
１ ． ２ 反 问题 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法
论， 在 医疗 、 物理 、 信号探 测等方面有着重要 的应用 。数学 中的
几乎所有领域都可 以提 出反 问题 。而反问题提法 的正确性 、 其
求解方法 ， 以及它 的稳 定性问题都是微分方程反 问题 研究的主
要 方向。数学家 Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ在 １ ９ ２ ３年针 对偏 微分 方程 的定 解 问题提 出了适定性 的概 念。适定性 的概 念主 要包括 解 的存 在
Ｔ （ ｘ ） ＝Ｙ的解 ∈ 卢 ： （ 。 ） 。如果 ’ 代表与 ‰ 相距最近的唯
一
解， 且对 ∈ （ 。 ） ， Ⅳ（ （ ） ） ｃＮ（ Ｔ （ ） ） （ Ｎ表示算 子的
非线性性和不适定性 是反 问题 最显 著的特性 。最 初对 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 正则化都是通过对初始条件加 以限定或者在特殊 的 Ｈ ｉ ｌ ｂ ｅ ａ空 间 中讨 论 其 收 敛 性 与 收 敛 速 度 。１ ９ ９ ４年 ， Ｔ ａ ｕ ｔ ｅ ｎ — ｈ ａ ｈ ｎ ＿ ３ 分别讨 论了存在扰动误 差 ６和不存 在扰 动误差 两种情 况下连续 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 方 法 的收敛性 。当 ６ ≠０时 ， 通 过求解
且 （ ）＝Ｙ在 领 域
（ 。 ） 中可解， 那 么 收 敛 于 方 程
的参 数 ｇ ＝ｑ （ ｘ ， Ｙ ） 识别问题 ， 利用 Ｓ ｃ ｈ ｅ ｒ ｚ ｅ ｒ 的修正 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法的特殊 结构 ， 提出一个无导数的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 ： ｑ ｌ ＋ １ ＝ ｑ ２ ＋ Ａ Ｌ （ ｑ ｛ ） （ 一 “ ）
初值问题 ：
（ ） ： ＝Ｔ （ （ ｔ ） ） ［ Ｙ 一 （ （ ） ） ］ ０＜ ￡ ≤Ｔ ， （ Ｏ ）＝ ０ （ １ ）
性、 唯一性和稳定性 ， 三 者缺一 不可 。而 反问题 最显 著的特 性
就是不适 定性 和非线性性 。对 于非线 性不适 定反 问题 的研
ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ３ ３ ０ ０ １ ３， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｄ ｏ ｍｅ ｓ ｔ ｉ ｃ ａ ｎ ｄ ｆ ｏ ｒ ｅ ｉ ｇ ｎ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ ｉ ｎ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ － ｌ ｅ ｍｓ ． Ｉ ｔ ｏ ｖ ｅ ｒ ｖ ｉ ｅ ｗｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｎ ｄ ａ ｍｅ ｎ ｔ ａ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｎ ｃ ｌ ｕ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏｒ ｆ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ ｓ ｏ ｍｅ ａ ｒ ｅ ａ ｓ ， ｅ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｌ ｙ ｉ ｎ ｉ ｍａ ｇ ｅ ｒ ｅ ｓ ｔ ｏ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ． Ｉ ｔ ｐ ｕ ｔ ｆ ｏ ｒ ｗ ａ ｒ ｄ ｂ ｉ ｒ ｅ ｌ ｆ ｙ ｓ ｏ ｍｅ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ —
・
２ ５ ８ ４・
计 算 机 应 用 研 究
（ ３ ）
（ ｑ （ ｚ ＋ ） ） ＋（ ｑ （ ｚ ＋ 麒） ） ＋（ ｑ ｚ ） ＝ ，
第３ ０卷
ｘ ， ｙ ） ∈／ ２ ＇ ＣＲ
ｌ ｌ Ｔ （ ） ≤１ ∈ （ ０ ） ， 为 ｒ 的Ｆ ｒ ｅ ｃ ｈ ６ ｔ 导数
王兵贤 ，胡康秀 ，王泽文
（ 东华理 工 大学 ａ ． 核 资 源与环境 省部 共建 国家重点 实验 室培 育基地 ；ｂ ． 理 学 院 ，南 昌 ３ ３ ０ ０ １ ３ ）
摘 要 ：基 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法在研 究反 问题 中的 广 泛应 用 ， 综述 了 国内外 关 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法 用于反 问题
可获得解 的正则化估 计值 （ ） ， 这 里 起 到正则 化参数
１ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代法
１ ． １ Ｌ 如果 用步长 为 １的 Ｅ ｕ ｌ ｅ ｒ 法离散 式 （ １ ） ， 就是 经典 的
Ｗ ＡＮＧ Ｂｉ ｎｇ ． ｘ ｉ ａ ｎ ．ＨＵ Ｋａ ｎ ｇ ． ｘ ｉ ｕ ．Ｗ ＡＮＧ Ｚｅ — ｗｅ ｎ ，
（ ａ ． Ｓ ｔ ａ ｔ ｅ Ｋ ｅ ｙ Ｌ ａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｒ ｙ Ｂ ｒ ｅ ｅ ｄ ｉ ｎ ｇ Ｂａ ｓ ｅ ｏ ｆ Ｎ ｕ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ Ｒ ｅ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ＆Ｅ ｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍ ｅ ｎ ｔ ，ｂ ． Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｆ ｏ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ， Ｅ ａ ｓ ｔ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｆ ｏ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ， Ｎ ａ ｎ —
近年来 ， 反 问题 已经成为应用数学领域 迅速发展的一 门理
高， 但要 想方法稳定 ， 迭代次数就要尽可能 的少 ， 因此要选取一 个恰 当的正则化参数 Ｏ ｔ ， 才可 以得 到一种精 度又 高 、 稳定性 又 好 的方法 。如果 ｍ表 示迭 代 的停 止指 标 ， 则 可选 择正 则化 参 数 ＝１ ／ ｍ。另外 Ｍｏ ｒ ｏ ｚ ｏ ｖ 偏差原则是典 型的停止法则 。
求解 的研 究现 状 、 基本 理 论与 相 关结论 ， 介绍了 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代在 一 些领域 ， 特 别是 计 算机 图像 重建 等 方面 的应
用， 并 简要 提 出了关 于 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法今 后 的一 些研 究方 向。 关键词 ：反 问题 ；Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代 法 ；龙 格一 库塔 方法 ；稳定 性
的 收敛 标 准 。
１ ９ ５ １ 年， Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 首 次 提 出 了解决 线 性 问 题 的 Ｌ ａ ｎ ｄ — ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 。考虑算子方程 Ｔ （ ）＝ Ｙ ， ∈Ｘ， Ｙ∈Ｙ ， 大部 分 的
反问题都可写成 这种格式 ， Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 等人改写 为 ：（ ， 一 ａ Ｔ
这一迭代算法可 以看 成是 求解 二 次泛 函 — ｌ ｌ Ｔ ｘ—Ｙ
的最速下降法 。Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 的迭 代次 数越 多 ， 精度 也越
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ １ — ２ ２；修回 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ３ — ２ １
（ ｂ ） 有 界性 条件
基金项 目：国家自然科学基金 资助项 目（ Ｎ Ｓ Ｆ Ｃ １ ０ ８ ６ １ ０ ０ １ ， Ｎ Ｓ Ｆ Ｃ １ １ １ ６ １ ０ ０ ２ ）
作者简介 ： 王兵贤（ １ ９ ７ ８ 一 ） ， 男， 甘肃民勤人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要研 究方 向为数 学物理反 问题 、 数 学模 型 算法 分析 与设计 （ ｗ ｂ ｘ ｈ ｋ ｘ ＠１ ６ ３ ． ｅ ｏ ｍ） ； 胡康秀（ １ ９ ７ ８ ． ） ， 女， 副教授 ， 硕 士， 主要研 究方向为超越数论 、 算法分析与设计 ； 王泽文（ １ ９ ７ ４ ． ） ， 男， 教授 ， 博士， 主要研 究方向为数 学物理反 问题等．
Ａｄ ｖ ａ ｎ ｃ ｅ ｓ ｉ ｎ ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｎ Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ
‘
ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅ ｐ Ｐ ｒ ｏ ｂ Ｄ ｌ ｅ ｍｓ ａ ｎ ｄ］ ’ ｔ ｓ ａ ｐ ｐ １ ３ ｌ ｉ ｌ ｃ Ｃ ａ ｔ ｉ ｌ ｏ ｎ
ａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕｔ ｕｒ ｅ ． Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ： ｉ ｎ ｖｅ ｒ ｓ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍｓ； Ｌａ ｎｄ ｗｅ ｂｅ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ； Ｒｕ ｎｇ ｅ — Ｋｕｔ ｔ ａ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ； ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
究要求应用一 些特殊的正则化方法 。 目前 ， 对于线性不适定 问
题正则化理论 已经相当完备 ， 但是对于非线性不适定 问题 的正 则化 理 论 还 有 很 多 问 题 没 有 解 决 。 目前 应 用 最 多 的 有
Ｔ ｉ ｋ ｎ ｏ ｎ ｏ ｖ 正则化 方法和迭代法 。在迭代 法中 ， Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 因其 良好 的稳定性 具有很高 的研究价值 。
第３ ０卷 第 ９期
２ ０ １ ３年 ９月
计 算 机 应 用 研 究
Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｏ ｆ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｓ
Ｖｏ １ ． ３ ０ Ｎｏ ． ９ Ｓ ｅ ｐ ．２ ０ １ ３
反 问题 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法 及 其 应 用 研 究 进展 术
中图分 类号 ：Ｔ Ｐ ３ ０ ５
文献标 志码 ：Ａ
文 章编号 ：１ ０ ０ １ — ３ ６ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ ． ２ ５ ８ ３ ． ０ ４
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ － ３ ６ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ９ ． ０ ０ ５
Ｔ ） ＋ ａ Ｔ Ｙ ， ａ＞ ０ 。反复迭代此方程 ， 即
。
＝
定理 １ 如果算子 满足 ： （ ａ ） 非线性条件
ｆ １ （ ） 一Ｔ （ ｘ ）一Ｔ （ ）ｘ— ） ≤ ｌ （ ｌ ）一 （ ）ｌ Ｉ ７ ７ ＜１ ／ ２ （ ２ ）
０， ＝（ ， 一ａ Ｔ Ｖ ） ｘ 一 ＋ａ Ｔ Ｙ ｍ ：１ ， ２ ， …
Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法 ：
ｌ ＋ １ ＝ ２ 一 （ １ ） ［ （ ｛ ） 一 Ｙ ］ ＝ ０ ， １ ， ２ ， … １ ９ ９ ５年 ， Ｈ ａ ｎ ｋ ｅ等人 证 明了 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法 的 收敛
性， 且Ｓ ｃ ｈ ｅ ｒ ｚ ｅ ｒ 提 出了解决非线性 问题 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｅ ｒ ｗ ｅ ｂ ｅ ｒ 迭代法
１ ． ２ 反 问题 的 Ｌ ａ ｎ ｄ ｗｅ ｂ ｅ ｒ 迭 代 法
论， 在 医疗 、 物理 、 信号探 测等方面有着重要 的应用 。数学 中的
几乎所有领域都可 以提 出反 问题 。而反问题提法 的正确性 、 其
求解方法 ， 以及它 的稳 定性问题都是微分方程反 问题 研究的主
要 方向。数学家 Ｈ ａ ｄ ａ ｍ ａ ｒ ｄ在 １ ９ ２ ３年针 对偏 微分 方程 的定 解 问题提 出了适定性 的概 念。适定性 的概 念主 要包括 解 的存 在