高考数学大一轮复习 第8章 第5节 椭圆 文 新人教版
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精品课件
考向一 椭圆的定义及标准方程
[典例剖析]
【例 1】 (1)(2014·三明模拟)设 F1，F2 是椭圆4x92 ＋2y42 ＝1
的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△
PF1F2 的面积为( )
A．30
B．25
C．24
D．40
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(2)(2014·大纲全国卷)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的
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设 N(x1，y1)，由题意知 y1<0，则
2－c－x1＝c， －2y1＝2，
即x1＝－32c， y1＝－1.
代入 C 的方程，得49ac22＋b12＝1.②
将①及 c＝ a2－b2代入②得9a24－a24a＋41a＝1.
解得 a＝7，b2＝4a＝28，故 a＝7，b＝2 7.
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[命题规律预测] 1.从近几年的高考试题可以看出，椭圆的定义、 椭圆的几何意义以及椭圆的离心率、椭圆方程 命题 的求解是高考考查的热点． 规律 2.题型既有选择题、填空题，也有解答题，难 度中等偏上 预测 2016 年高考将以椭圆为背景考查直线与 考向 椭圆的位置关系的探索性问题或定点、定值问 预测 题，同时考查数形结合思想和函数与方程思想.
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(2)由 e＝ 33得ac＝ 33①.
又△AF1B 的周长为 4 3，由椭圆定义，得 4a＝4 3，得
a＝
3，代入①得
c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故
C
的方程为x2＋ 3
y22＝1.
【答案】 (1)C (2)A
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1．焦点三角形的应用 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为 “焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定 理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
的左、右焦点，P 为直线 x＝32a上一点，△F2PF1 是底角为 30°
的等腰三角形，则 E 的离心率为( )
1
2
3
4
A.2
B.3
C.4
D.5
精品课件
【解析】 由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°， ∴∠PF2x＝60°. ∴|PF2|＝2×32a－c＝3a－2c. ∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c， ∴e＝ac＝43. 【答案】 C
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2．待定系数法求椭圆方程的解题步骤如下：
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[对点练习] 1．已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦 点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________.
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【解析】 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝21×2b2＝9， 因此 b＝3.
第五节 椭 圆
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考纲要求：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2. 掌握椭圆的简单几何性质.3.理解数形结合思想．
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[基础真题体验]
考查角度[椭圆的定义及标准方程]
1．(2011·课标全国卷)椭圆1x62 ＋y82＝1 的离心率为(
)
1
1
3
2
A.3
B.2
C. 3
D. 2
【解析】 在1x62 ＋y82＝1 中，a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2
【答案】 3
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【解析】 根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为ax22＋ by22＝1(a＞b＞0)，∵e＝ 22，∴ac＝ 22，根据△ABF2 的周长为 16，得 4a＝16，∴a＝4，b＝2 2，∴椭圆方程为1x62 ＋y82＝1.
【答案】 1x62 ＋y82＝1
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考查角度[椭圆的几何性质] 3．(2012·课标全国卷)设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)
(2)由△AF1B 的周长求 a 的值，由离心率求 c，进而求出 b2，得出 C 的方程．
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【解析Байду номын сангаас (1)∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. ∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2. ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24.
＝16－8＝8，∴c＝2 2，∴e＝ac＝242＝ 22，故选 D.
【答案】 D
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2．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的 直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的 方程为________．
左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、
B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
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【思路点拨】 (1)由椭圆的定义分别求得|PF1|、|PF2|的 值，在△PF1F2 中求解其面积．
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【解】 2b2＝3ac.
b2 (1)根据 c＝ a2－b2及题设知 Mc，ba2，2ac＝34，
将 b2＝a2－c2 代入 2b2＝3ac，
解得ac＝12，ac＝－2(舍去)．
故 C 的离心率为12.
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(2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2∥y 轴， 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点， 故ba2＝4，即 b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
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4．(2014·课标全国卷Ⅱ)设 F1，F2 分别是椭圆 C：ax22＋by22 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直， 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b.
考向一 椭圆的定义及标准方程
[典例剖析]
【例 1】 (1)(2014·三明模拟)设 F1，F2 是椭圆4x92 ＋2y42 ＝1
的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△
PF1F2 的面积为( )
A．30
B．25
C．24
D．40
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(2)(2014·大纲全国卷)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的
精品课件
设 N(x1，y1)，由题意知 y1<0，则
2－c－x1＝c， －2y1＝2，
即x1＝－32c， y1＝－1.
代入 C 的方程，得49ac22＋b12＝1.②
将①及 c＝ a2－b2代入②得9a24－a24a＋41a＝1.
解得 a＝7，b2＝4a＝28，故 a＝7，b＝2 7.
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[命题规律预测] 1.从近几年的高考试题可以看出，椭圆的定义、 椭圆的几何意义以及椭圆的离心率、椭圆方程 命题 的求解是高考考查的热点． 规律 2.题型既有选择题、填空题，也有解答题，难 度中等偏上 预测 2016 年高考将以椭圆为背景考查直线与 考向 椭圆的位置关系的探索性问题或定点、定值问 预测 题，同时考查数形结合思想和函数与方程思想.
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(2)由 e＝ 33得ac＝ 33①.
又△AF1B 的周长为 4 3，由椭圆定义，得 4a＝4 3，得
a＝
3，代入①得
c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，故
C
的方程为x2＋ 3
y22＝1.
【答案】 (1)C (2)A
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1．焦点三角形的应用 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为 “焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定 理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
的左、右焦点，P 为直线 x＝32a上一点，△F2PF1 是底角为 30°
的等腰三角形，则 E 的离心率为( )
1
2
3
4
A.2
B.3
C.4
D.5
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【解析】 由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°， ∴∠PF2x＝60°. ∴|PF2|＝2×32a－c＝3a－2c. ∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c， ∴e＝ac＝43. 【答案】 C
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2．待定系数法求椭圆方程的解题步骤如下：
精品课件
[对点练习] 1．已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦 点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面积为 9，则 b＝________.
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【解析】 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，P→F1⊥P→F2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1||PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝21×2b2＝9， 因此 b＝3.
第五节 椭 圆
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考纲要求：1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2. 掌握椭圆的简单几何性质.3.理解数形结合思想．
精品课件
[基础真题体验]
考查角度[椭圆的定义及标准方程]
1．(2011·课标全国卷)椭圆1x62 ＋y82＝1 的离心率为(
)
1
1
3
2
A.3
B.2
C. 3
D. 2
【解析】 在1x62 ＋y82＝1 中，a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2
【答案】 3
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【解析】 根据椭圆焦点在 x 轴上，可设椭圆方程为ax22＋ by22＝1(a＞b＞0)，∵e＝ 22，∴ac＝ 22，根据△ABF2 的周长为 16，得 4a＝16，∴a＝4，b＝2 2，∴椭圆方程为1x62 ＋y82＝1.
【答案】 1x62 ＋y82＝1
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考查角度[椭圆的几何性质] 3．(2012·课标全国卷)设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)
(2)由△AF1B 的周长求 a 的值，由离心率求 c，进而求出 b2，得出 C 的方程．
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【解析Байду номын сангаас (1)∵|PF1|＋|PF2|＝14， 又|PF1|∶|PF2|＝4∶3， ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6. ∵|F1F2|＝10，∴PF1⊥PF2. ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×8×6＝24.
＝16－8＝8，∴c＝2 2，∴e＝ac＝242＝ 22，故选 D.
【答案】 D
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2．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的 直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么 C 的 方程为________．
左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、
B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( )
A.x32＋y22＝1
B.x32＋y2＝1
C.1x22 ＋y82＝1
D.1x22 ＋y42＝1
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【思路点拨】 (1)由椭圆的定义分别求得|PF1|、|PF2|的 值，在△PF1F2 中求解其面积．
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【解】 2b2＝3ac.
b2 (1)根据 c＝ a2－b2及题设知 Mc，ba2，2ac＝34，
将 b2＝a2－c2 代入 2b2＝3ac，
解得ac＝12，ac＝－2(舍去)．
故 C 的离心率为12.
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(2)由题意，原点 O 为 F1F2 的中点，MF2∥y 轴， 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点， 故ba2＝4，即 b2＝4a.① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
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4．(2014·课标全国卷Ⅱ)设 F1，F2 分别是椭圆 C：ax22＋by22 ＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直， 直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
(1)若直线 MN 的斜率为34，求 C 的离心率； (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b.