第12课用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式) -2020年中考数学专项突破课之二次函数

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待定系数法求解析式(2)——顶点式、交点式+课件+2023-2024学年数学人教版九年级上册

坐标．
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝1，且它经过
点A(3，0)，

− = 1，
= −2，
∴ 2
解得
= −3.
9 + 3 + = 0，
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴抛物线顶点坐标为(1，－4)．
重难导学
4．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标为(2，6)，点B在y
将(0，3)代入，得3＝－3a，
解得a＝－1.
∴这个二次函数的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)＝－x2＋2x＋3.
重难导学
2．已知二次函数的图象以点A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．
(1)求该函数的解析式；
(2)直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围．
解：(1)设该函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋4.
把(2，－5)代入，得9a＋4＝－5，
解得a＝－1.
∴该函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3.
(2)y随x的增大而增大时自变量x的取值范围是x＜－1.
重难导学
3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2 ＋bx＋c图象的对称轴
为直线x＝1，且它经过点A(3，0)．求该二次函数的解析式和图象的顶点
1
代入点D的坐标，得6＝16a＋2，解得a＝ .
1
∴抛物线的函数解析式为y＝ (x－2)2＋2.
4
4
谢谢观看！
轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为(2，
2)，求抛物线的函数解析式．
解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为(2，2)，AD∥BC∥x

待定系数法求二次函数解析式(讲义)

⎧⎪⎨⎪⎩待定系数法求二次函数解析式（讲义）一、【基础知识精讲】1.二次函数的意义;2.二次函数的图象;3.二次函数的性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩顶点对称轴开口方向增减性顶点式：y=a(x-h)2+k(a ≠0)4.二次函数待定系数法确定函数解析式一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)5.二次函数与一元二次方程的关系。

6.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。

（二）、中考知识梳理1.二次函数的图象在画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+b 2a )2+ 4a 24ac-b 的形式,先确定顶点(-b 2a ,4a24ac-b ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-b 2a 时,y 最小值=4a24ac-b ;反之当a<•0时,简记左增右减,当x=-b 2a 时y 最大值=4a24ac-b . 3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y•的值)•可设解析式为y=ax 2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x•轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解.4.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2+bx+c=0,即抛物线与x 轴有两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,•方程ax 2+bx+c=0无实根.5.抛物线y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,•抛物线开口向下;c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半轴;b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y•轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;•简记左同右异.6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,•应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.二、【典型例题精析】一般式：例1 已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); 求它的解析式。

用待定系数法求二次函数表达式的三种形式

出该函数表达式。
例题1 已知抛物线过点（1，0）（3，-2）（5，0），求该抛物线所对应函数的表达式。
例题2 抛物线对称轴为直线x=-1，最高点的纵坐标为4，且与x 轴两交点之间的距离是6，求次二次函x1 数的解析式。
巩固练习
• 1.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3， 0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
待定系数法求二次函数表达式常见的三种形式：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x+h）²+k
(a 0)顶点坐标（ h, k)
• 3.交点式： y a(x x1)(x x2 )
一、一般式 y ax2 bx c(a )
已知二次函数 y ax2 bx c 图象过某三
14.已知二次函数y=x²+2（n+3）x+16的顶点在坐标轴上，求该二次函数表达式。
15.已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为P（2,-1），图象与x轴交于A，B两点。若△PAB的x1 面积为6，求该抛物线所对应函数的解析式。
•谢谢
14
பைடு நூலகம்
• 3.二次函数y=ax²+bx+c，x=6时，y=0;x=4时， y有最大值为8，求此函数的解析式。
• 4.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的最大值是 2，图象经过点（-2,4）且顶点在直线y=-2x上，试求ab+c的值
三、交点式 y a(x x1)(x x2 )
已知二次函数图象与x轴两交点坐标分别为 (x1,0),(x2,0) 通常选用交点式，再根据其他即可解出a值，从而求

部编数学九年级上册待定系数法求二次函数解析式(讲+练)【7种题型】2023考点题型精讲解析版含答案

22.1.5待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式常见有以下几种形式： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．注意：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为y 轴，∴b ＝0，∵点P （2，6）在该抛物线上，∴6＝4+c ，解得：c ＝2．题型2：一般式求二次函数解析式-a、b、c未知2.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．【答案】解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得a−b+c=84a+2b+c=−1c=3，解得a=1b=−4c=3，的三元一次方程组，解出a、b、c的值即得y=−x+6x−5，然后将其化为顶点式，即可得出结论.题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.应的y值，则可得点A的坐标.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.【答案】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（ 2 ）令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，x2=−1.所以坐标为A（-1，0），B（3，0）.【解析】【分析】（1）设出抛物线方程的顶点式，将点C的坐标代入即可求得抛物线方程；（2）对该抛物线令y=0，解二元一次方程即可求得点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入得a×1×（-3）=-3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3【解析】【分析】根据A，B，C三点的坐标特点，设出所求函数的交点式，再将C点的坐标代入即可求出a的值，从而得出抛物线的解析式。

用待定系数法求二次函数解析式初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版

9 4
a
k
0
∴
25 4
a
k
8
，
解得 a＝2，k=-4.5
∴y＝2(x＋1/2)2－4.5
即所求二次函数的解析式为 y＝2x2＋2x－4.
小结
• 待定系数法求二次函数的解析式关键是：根据已知条件设出二次函数的解析式，如果是采用顶点式或交点式，那么求得的解析式最后还要化成一般式。
实际应用
例题：已知抛物线的顶点坐标为(3，-2),且与X轴两交点的距离为4，求其解析式。
解：设抛物线的解析式为： y = a (x-3) 2 -2
与X轴两交点为A（X1,0),B(X2,0) ∵与X轴两交点的距离为4
AB= x1 x2 (x1 x2 )2
解得：a=1/2
(x1 x2 )2 4x1x2
又∵抛物线的顶点坐标为（3，-2）
∴-2=a(3-1)(3-5) 解得：a=1/2
抛物线解析式Байду номын сангаас：y 1 x2 3x 5
2
2
例题：已知二次函数的图象经过A(-2,0),
B(1,0),C(2，8)三点，求其解析式。
解法三：∵由抛物线的对称性可知：A，B 两点
是对称点，∴对称轴 X=-2+1/2 ＝-1/2
∴二次函数的顶点坐标为(-1/2,K)
∴设二次函数解析式为：y = a (x+1/2) 2 +k
∵该二次函数图象还经过 B(1,0),C(2，8)
解析式还可以设为顶点式和交点式
∴所求二次函数的解析式c＝为－y4＝. 2x2＋2x－4.
实际应用例题：已知二次函数的图象经过A(-2,0),
B(1,0),C(2，8)三点，求其解析式。

用待定系数法求二次函数的解析式---顶点式

解：抛物线的形状、开口方向与y=-3x2+1相同，所以a=-3．顶点在（2，5），所以是y=-3（x-2）2+5，所以y=-3x2-12x-7．
4.已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x=-2，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式．
解：∵二次函数的图象对称轴是直线x=-2，最高点的纵坐标为4， ∴抛物线的顶点坐标为（-2，4）， ∴设y=a（x+2）2+4（a≠0）， ∵二次函数的图象经过原点， ∴代入（0，0）点，则有0=a（0+2）2+4，解得a=-1， ∴二次函数解析式为：y=-x2-4x．
64
已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次
函数的关系式. 解：设二次函数的解析式为y=a(x−1)2－2， ∵二次函数的图象经过原点， ∴0=a(0−1)2－2， ∴a=2， ∴二次函数的解析式为y=2(x−1)2－2，即y=2x2－4x．
例2 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图
y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，解得 a=-1. ∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标； ③将另一点的坐标代入解析式求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
解：对称轴是x=3，顶点是（3，2），设解析式是y=a（x-3）2+2，根据题意得：a+2=1，解得a=-1， ∴解析式是：y=-（x-3）2+2，即y=-x2+6x-7．

2020年中考数学知识点总结第12讲二次函数的图象与性质

当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当Δ＝b2－4ac＜0，无实根
例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.
6.二次函数与不等式
抛物线y=ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.
第12讲二次函数的图象与性质
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二：二次函数的图象与性质
例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7.
开口
向上

待定系数法求二次函数解析式

待定系数法求二次函数解析式1.内容提要：二次函数解析式有三种表达形式，1.一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数2.顶点式：y=a(x －h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，(h,k)为顶点坐标。

3.交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：（1）根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y=a(x －h)2+k(a≠0)(简称顶点式)；已知抛物线与x 轴的两个交点(或与x 轴的一个交点及对称轴)，用y=a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)(简称两点式)；（2）解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；（3）若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0))，那么最后的结果必须写成此种形式。

2.例题分析：(1)一般式法例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，那么这个二次函数的解析式是？解：设二次函数是y=ax 2+bx+c ，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点。

得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=12421c b a c b a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132c b a ∴ 函数解析式为y=－2x 2+3x+1.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a 、b 、c 值。

(2)顶点坐标法例2、某抛物线的顶点为(－2，3)，并经过点(－1，5)。

求此抛物线的解析式。

解：(方法一)设二次函解析式为：y=a(x －h)2+k ，其顶点是(h, k).∵顶点是(－2，3)，∴ y=a(x+2)2+3.又∵过(－1，5)点，∴ 5=a(－1+2)2+3.∴ a=2,∴ y=2(x+2)2+3, ∴ y=2x 2+8x+11.∴ 函数解析式为：y=2x 2+8x+11.小结：因为有顶点坐标，又过任意一点，可以用顶点式，分别代入顶点坐标，和任意一点坐标，求出a 值，结果写成一般式。

《用待定系数法求二次函数解析式》PPT课件

第二十二章二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第7课时用待定系数法求二次函数解析式
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
用一般式(三点式)确定二次函数解析式
用顶点式确定二次函数解析式用交点式确定二次函数解析式
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
课时导入
已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件，用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.
知2－讲
感悟新知
归纳
知2－讲
当给出的点的坐标有顶点时，可设顶点式 y=a(x-h)2+k，由顶点坐标可直接得出h，k 的值，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.
感悟新知
知识点 3 用交点式确定二次函数解析式
例 3 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于
点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物
课堂小结
二次函数
（3）解：解此方程或方程组，求出待定系数的值；（4）还原：将求出的待定系数还原到解析式中，
求得解析式.ຫໍສະໝຸດ 感悟新知例2 一个二次函数图象的顶点坐标为(1，-4)，图象过点(2，-3),求这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数解析式为y=a(x-h)2+k.
∵图象的顶点为(1，-4)， ∴h=1，k=-4. ∵函数图象经过点(2，-3)， ∴可列方程a(2-1)2-4=-3.解得a=1. ∴这个二次函数的解析式为y=(x-1)2-4.
知3－练
把(0，－3)代入得：3a＝－3，解得：a＝－1，

用待定系数法求二次函数解析式ppt(共32张PPT)

(1)试确定此二次函数的解析式．
返回
解：设解析式为y＝ax2＋bx＋c，把(0，3)，(－3，0)，
(2，－5)代入解析式得解得
c＝ 3，
9
a－
3
b＋
c＝
0，
解得
4 a＋ 2 b＋ c＝－ 5，
∴y＝－x2－2x＋3.
a＝－ 1，
b
＝
－
2，
c ＝ 3 .
(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上．如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．
返回
5．根据下列条件求解析式：
(1)已知抛物线的顶点在原点，且过点(3，－27)，求抛物线
对应的函数解析式；
解：(1)设解析式为y＝ax2. 将点(3，－27)的坐标代入，得a＝－3， ∴解析式为y＝－3x2.
(2)已知抛物线的顶点在y轴上，且经过(2，2)和(1，1)两点，求它的函数解析式；
个点．
(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋
k(a>0)上．
证明：由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1. 若C(－1，2)在此抛物线上，则C点关于直线x＝1的对称点(3，2)也在此抛物线上． ∴点E(4，2)不在此抛物线上． ∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
1
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
解得x＝－a或x＝a＋1，
2
大，所以由m＜n，得
1 2
＜x0＜1.综上所述，x0的取返值回
范围为0＜x0＜1.
11．(中考•菏泽)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2
＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．

用待定系数法求二次函数解析式顶点式

y1(x2)2 3 2
5x
C(0,-1)
-2
B(2,-3)
-4
-6
-8
课堂练习
变式1 已知抛物线的顶对点称为轴是x=1, 函数D值1的;-4最，小又值经是过4点
C(2，5)，求其解析式;
分析：设抛物线的解析式为
顶点式：y a( x 1)2 4 ，
再根据C点坐标求出a的值。
y
·5 ·C
·
·
·
·
4
A
O
2
x
8
探究一：如图所示;抛物线过点B2,2，求此函数的解析式 6
y
解：设 y ax 2
4
∵过点B2,2
2
B(2,2)
a2 2 2
-15
-10
-5
x5
1
-2
a
2
-4
y 1 x2
-6
2
-8
8
探究二：如图所示;抛物线过点A0,3 B2,1，求此函数的解6 析式
解解：：设设 y y axax2 2k3
解：设 y a ( x 2) 2 k
y
4
x=2
∵过点B4,1 C1;-1 5)
： aa((4122)2)2kk11.5
-10
-5
即94aakk
1 1.5
解得：ka
0.5 3
y0.5(x2)23
2
C(-1,-1.5)
-2 -4
-6
B(4,1)
5
x
提高练习：
如图：求抛物线的解析式．
y
－1 O
6
1 如图所示;抛物线过点A1,2、B(0,1)、C(3,2)，求此函数的解析式

2020年湖南省长沙市中考数学第12题——待定系数法与二次函数的顶点

2020年湖南省长沙市中考数学第12题——待定系数法与二次函数的顶点【学习建议】最好先自行试做，自己的解答才是掌握知识的最好检验，对于思考后仍然困惑的部分，可以有针对性地参考下面的解答提示。

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