新课标北师大版《必修三》高一数学几何概型 (1)
高中数学北师大必修三 几何概型复习
3.3.1 几何概型
问题1（转盘游戏）
图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定 当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两 种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。
分析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：
P 1. 3
2.在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点 Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率 是__________. 3
2
3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家 去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲 在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多 少?
求AM小于AC的概率.
2
2
变式1:在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射
线CM交线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率. 1 6
变式2: 在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一
点M,求使△ACM为钝角三角形的概率. 1 2
能力提升
1.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰到的 概率。
面积为 ( ) B
3
A. 4 3
B. 8 3
C. 2 3
D.无法计算
3.体积问题
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从 这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概 率.
解：由题意可得
高中数学必修三几何概型 (共25张PPT)
应用拓展：
例1： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收 音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟 的概率是多大？
讨论交流：
1）这是什么概型，为什么？
（几何概型）
2）借助什么样的几何图形来表示随 机事件与所有基本事件？
（线段或圆）
3）该如何建立数学模型？
解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得
试验一：
一个边长为2a的正方 形，阴影部分面积是 整个正方形面积的 0.25，向正方形内随 机地丢豆子，则豆子 落在阴影部分的概率 是多少？ 问题3：如果“豆子落在阴影部分”记为事件A，事件A所 包含的基本事件是什么？这个试验的基本事件是什么？
问题 4：如何求事件 A的概率？ 事件A 包含的基本事件是豆子落在阴影部分中任意一点；
2（1）x和y取值都是区间[1,4]中的整数，任
取一个x的值和一个y的值，求 “ x – y >1 ”
的概率。
y 4 3 2 1
作直线 x - y=1
古典概型
P=3/8
-1
1
2
3
4
x
（2）x和y取值都是区间[1,4]中的实数， 任取一个x的值和一个y的值， 求 “ x – y >1 ”的概率。
y 4 3 2 1
这个试验的基本事件是在 300ML 水中任意一点发现草履虫。 构成事件A 的区域体积 P A 试验的全部结果所构成的区域体积
几何概型概念： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域 的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称为几何概型. 问题7 这三个试验的共同特点是什么？
北师大版高中数学必修3-3.3例谈几何概型的计算
例谈几何概型的计算几何概型是将古典概型的有限性推广到无限性，而保留等可能性的一种求概率的方法．它是借助测度来表示样本区域与所考察的样本．几何概型的计算一般按下列步骤进行：（1）选取合适的模型，即样本区域Ｄ；（2）在坐标系中正确表示Ｄ与所求概率事件A 所在的区域d ；（3）计算D 与d 的测度D d μμ，；（4）计算概率()d DP A μμ=． 例1 在区间(01)，中随机地取出两个数，求这两个数的和小于65的概率．分析：解决本题的关键是如何将其归结为一个几何概型，设x ，y 分别表示随机所取的两个数，则由题意知x ，y 均等可能地在（0，1）中取值，从而（x ，y ）等可能地在平面区域{}()|0101D x y x y =<<<<，，中取值，将Ｄ作为样本区域，这就是一个几何概型问题．解：如图1，设x 、y 分别表示从（0，1）中取出的两个数，则样本区域{}()|0101D x y x y =<<<<，，． 记A 为事件“两个数的和小于”， 即6()|()5A x y x y x y D ⎧⎫=+<∈⎨⎬⎩⎭，，，， 因为Ｄ的面积1D S =，A 的面积21410.6825d S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 于是由几何概型的概率公式得到()0.68d DS P A S ==．例2 甲、乙两人相约于下午1:00～2:00之间到某车站乘公共汽车外出，他们到达车站的时间是随机的，设在1:00～2:00之间有四班客车开出，开车时间分别是1:15，1:30，1:45，2:00，分别求他们在下述情况下同坐一班车的概率．（1）约定见车就乘；（2）约定最多等一班车．分析：本题是几何概型中的典型例题——约会问题的变形．分别作出表示事件的所在区域，利用构造思想及数形结合思想，结合几何概型知识加以解决．解：设甲、乙到站时间分别是x时，y时，则１≤x≤2，1≤y≤2，试验区域D为点（x，y）所形成的正方形，以16个小方格表示，如图2所示．（1）如图3，约定见车就乘的事件所表示的区域d为图中4个黑的小方格所示，所求概率为41=；164（2）如图4，约定最多等一班车的事件所表示的区域d为图中10个黑的小方格所示，所求概率为105=．168例3 随机地向半圆00)<<>内掷一点，点落在半圆内任何区域y a的概的概率均与该区域的面积成正比，求该点与原点连线与x轴的夹角小于π4率．分析：题目中“随机地”即表示试验结果的等可能性，“点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面积成正比”更强调试验的等可能性，因为试验结果是无限个，因此容易想到用几何概型来计算．解：如图5，设事件A表示“点与原点连线与x轴的夹角小于的概率”．于是样本区域{()|0D x y y =<<，， 即为图5中的半圆，其面积为21π2a ； 而{}()|()A x y x y D x y =∈>，，，，其面积为2211π42a a +． 由几何概型的概率公式有22211π1142()12ππ2a a P A a +==+．。
高中数学必修三教案-几何概型
探究（一）：几何概型的概念
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于1 m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑
色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？
(4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?
活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比较概括.
讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为 .
考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的 ,
于是事件A发生的概率P(A)= .
第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为 ×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为 ×π×12.22cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)= =0.01.
分析：石油在1万平方千米的海域大陆架的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型公式可以求得概率.
解：记“钻到油层面”为事件A,则P(A)=0.004.
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置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微
生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升， 求小杯水中含有这个微生物的概率.
能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
（1）试验中的基本事件是什么？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,
微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？
（3）符合古典概型的特点吗？
上面三个随机试验有什么共同特点？
(1)一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性．
对于一个随机试验,我们将每个基本事件 理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点,该区域中每一个点被取到的机会都一样; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到中 述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域 可以是线段,平面图形,立体图形等.用这种方 法处理随机试验,称为几何概型.
（1）试验中的基本事件是什么？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可
以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.
（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ （3）符合古典概型的特点吗？
问题2:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？
3m 能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？
圆内，当n很大时，频率接近于概率．
P(A) m m 4m .
n 4n
n
练一练
练习1. 在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出 现，记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（C ）
高一数学必修3课件：3-3-1几何概型
第三章 3.3
3.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
X服从[3,40]上的均匀分布，则X的值不能等于( A．15 C．35
[答案] D [解析] 由于X∈[3,40]，则3≤X≤40，则X≠45.
)
B．25 D．45
第三章 3.3
3.3.1
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3．几何概型与古典概型的异同 概率 类型 不同点 相同点 每个基本事件出 现的可能性一 样，即满足等可 能性
第三章 3.3
3.3.1
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新课引入
第三章 3.3
3.3.1
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数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学 知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中 的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的 知识还能积极探索！
第三章 3.3
3.3.1
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规律总结：本题把时间用一条线段表示，使问题变得 直观，本题也可以用区间表示，即公式的分母为区间(0,15]， 分子为区间(0,5).
第三章 3.3
3.3.1
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命题方向2
与面积有关的几何概型问题
与面积有关的几何概型问题解法： (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积 表示，则其概率的计算公式为： 构成事件A的区域面积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域面积
[解析]
记事件E：“A与C、D，B与C、D之间的距离都 1 3 ＝
不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为30× 10 1 10(米)，所以P(E)＝ ＝ . 30 3
高一数学人必修三课件第三章几何概型
分类
根据样本空间的维数不同，几何概型可分为一维、二维和三维三种。
几何概型与古典概型关系
联系
古典概型和几何概型都是概率模型， 都要通过样本空间中的样本点来计算 事件发生的概率。
二维面积比例典型例题
01
例题1
在边长为1的正方形内随机取一个点，求该点到四个顶点 的距离都大于1的概率。
02
例题2
在半径为1的圆内随机取一个点，求该点到圆心的距离小 于0.5的概率。
03
解题思路
二维面积比例问题涉及到平面图形的随机取点。解题时需 要根据题意确定满足条件的区域，并计算该区域与总面积 的比例。通过解析几何、三角函数等工具，可以求出满足 条件的面积，进而得到概率。
05
练习题与课堂互动环节
针对本节课知识点进行练习
练习题一
已知一个边长为2的正方形，在其 中随机投掷一个点，求该点落在 正方形内切圆内的概率。
练习题二
在区间[0,5]上随机取两个数，求这 两个数之和小于等于6的概率。
练习题三
一个转盘被等分成10个扇形，分别 标有数字1到10。转动转盘两次， 求两次转到的数字之和为偶数的概 率。
利用勾股定理求解
当已知直角三角形的两条 边时，可以利用勾股定理 求解斜边的长度。
二维面积比例问题求解
利用相似比求解
当两个图形相似时，它们的面积比等 于相似比的平方。因此，可以通过相 似比和已知图形的面积求解未知图形 的面积。
利用割补法求解
利用间接法求解
高中数学必修3几何概型课件
今天来班上听课的老师一共有24人， 其中女老师有4位，请问：第一个到达 班上是女老师的概率是多少？
古典概型的特点及其概率公式：
(1)试验中所有可能出现的基本事
古 1.特点 件只有有限个。
典
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
概
型 2.事件A的概率公式:
A包含基本事件的个数 P(A)=
基本事件的总数
（2）有一个半径为2的圆，作以该圆内的任 意一点为中点的弦，试求该弦长超过该圆内 接正三角形边长的概率。
思考：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的 分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝 色、红色，靶心是金色，金色靶心叫 “黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是 122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距 离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射 中靶面内任何一点，那么如何计算射中 黄心的概率？
思考： 1．豆子落在三种颜色区域内的可能性是 一样大的吗？ 2．豆子落在哪种颜色的可能性最大？可 能性大小与什么有关？ 3．这个问题是不是古典概型的问题？
1.你能类比古典概型，说出这种概型 的特征吗？
无限性
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
等可能性
p( A)
A所在圆心角的大小 圆周角
1 360 6
360
1 6
;
法四：（利用[50,60]时间段所占的面积）：
p( A)
A所在扇形的面积 整个圆的面积
10 60
1; 6
问题1(取水问题)：有一杯1升的水, 其 中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水中 取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的 概率.
高中数学必修3课件：3.3.1 几何概型
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第三章 概率
规范解答 几何概型与其他知识的综合应用
例4 (本题满分12分)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y
＝25.
(1)求圆C的圆心到直线l的距离；
(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．
【解】 (1)由点到直线 l 的距离公式可得
d＝ 422＋5 32＝5 1 .
栏目 导引
第三章 概率
题型二 与面积有关的几何概型 例2 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗
小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖．小明要想增加 中奖机会，应选择的游戏盘是( )
【解析】 各选项中奖的概率依次为38，14，31，13，故选 A.
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第三章 概率
【答案】 A 【名师点评】 找出或构造出随机事件对应的几何图形，利 用图形的几何特征计算相关的面积，套用公式从而求得随机 事件的概率．
B.25
C.35
D.54
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第三章 概率
解析：选 A.所有的基本事件构成的区间长度为 3－(－2)＝5， ∵直线在 y 轴上的截距 b 大于 1， ∴直线横截距小于－1， ∴“直线在 y 轴上的截距 b 大于 1”包含的基本事件构成的 区间长度为－1－(－2)＝1，由几何概型概率公式得直线在 y 轴上的截距 b 大于 1 的概率为 P＝51，故选 A.
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第三章 概率
【名师点评】 本题相当于把正方体分割为27个棱长为1的小 正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．
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第三章 概率
跟踪训练
3．已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方 体 ABCDA1B1C1D1 内 任 取 点 M ， 点 M 在 球 O 内 的 概 率 是 ________．
第六讲 几何概型 课件 (北师大必修3)
【小结】解答几何概型问题，当考察对象为点且点的活动范围在线段上时，就是用线段长度比计 算概率值.
【解析】如图，函数 f(x)在[－5，5]上函数的图像与 x 轴交于 两点(－1，0)，(2，0)， 所以当 x0∈[－1,2]， f(x0)≤0． 3 则概率 P＝ ＝0.3． 10
-5
【小结】当随机试验的结果只受一个连续型变量控制时，求概率时一般考虑用线段长度比.
A
D
O
C
B
【小结】几何概型除了可以用线段长度比、平面图形的面积比求得外，有时也需用到角度比、体积 比等.
技巧传播
解答几何概型问题，当考察对象为点且点的活动范围在线段上时，就是用线段长度比计算概率 值．当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这
样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域面积比求概率．几何概型除了可以用线段
1 15 15 9 2 记此事件为 A，则 P ( A) . 20 20 32
【小结】当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事 件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
D1
C1
A1
B1
【解析】点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为半径的半球外． 1 4π 3 23－ × × 1 2 3 π 记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A，则 P(A)＝ ＝1－ . 3 2 12
离散的变量控制的随机试验，而几何概型研究的是无限的、连续的变量控制的随机试验．
【解析】用 x 表示小张到校的时间，则 30≤x≤50， 用 y 表示小王到校的时间，则 30≤y≤50， 则两人到校时间可用点(x，y)表示， 所有可能情况构成如图的正方形区域， 而小张比小王至少早到 5 分钟，即 y- x≥5， 表示区域为直线 y=x+5 上方的区域.
高三数学北师大版通用,理总复习讲义 几何概型
§１２．３几何概型１．几何概型向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G１G的概率与G１的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G１）＝错误!，则称这种模型为几何概型．２．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．３．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率．１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）在一个正方形区域内任取一点的概率是零．（√）（２）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．（√）（３）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（√）（４）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（√）２．一个路口的红绿灯，红灯的时间为３0秒，黄灯的时间为５秒，绿灯的时间为４0秒，则某人到达路口时看见的是红灯的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析以时间的长短进行度量，故P＝错误!＝错误!.３．点A为周长等于３的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于１的概率为________．答案错误!解析如图可设＝１，则由几何概型可知其整体事件是其周长３，则其概率是错误!.４．在区间[—１,２]上随机取一个数x，则x∈[0，１]的概率为________．答案错误!解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P＝错误!＝错误!.５．已知直线y＝x＋b，b∈[—２,３]，则直线在y轴上的截距大于１的概率是________．答案错误!解析区域D为区间[—２,３]，d为区间（１,３]，而两个区间的长度分别为５,２．故所求概率P＝错误!.题型一与长度、角度有关的几何概型例１（１）在区间[—１,１]上随机取一个数x，求cos 错误!x的值介于0到错误!之间的概率．（２）如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝４５°，高AD＝错误!，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<１的概率．思维启迪寻找所考查对象活动的范围．解（１）由函数y＝cos 错误!x的图像知，当—１<x<—错误!或错误! <x<１时，0<cos 错误!x<错误!.由概率的几何概型知：cos 错误!x的值介于0到错误!之间的概率为错误!＝错误!.（２）因为∠B＝60°，∠C＝４５°，所以∠BAC＝7５°，在Rt△ABD中，AD＝错误!，∠B＝60°，所以BD＝错误!＝１，∠BAD＝３0°.记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<１”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P（N）＝错误!＝错误!.思维升华解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考查对象为线时，一般用角度比计算．事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比．（１）若在例１（２）中“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”则结果为________．（２）在半径为１的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．答案（１）错误!（２）错误!解析（１）由∠B＝60°，∠C＝４５°，AD＝错误!得，BD＝错误!＝１，DC＝AD＝错误!，则BM<１的概率为P＝错误!＝错误!.（２）记事件A为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”，如图，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长（此时F为OE中点），弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型公式得：P（A）＝错误!＝错误!.题型二与面积、体积有关的几何概型例２（１）（２0１２·北京）设不等式组错误!表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于２的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）有一个底面圆的半径为１、高为２的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于１的概率为________．思维启迪平面区域内的几何概型，一般用面积求概率，空间区域内的几何概型，一般用体积求概率．答案（１）D （２）错误!解析（１）根据题意作出满足条件的几何图形求解．如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为４，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于２的区域．易知该阴影部分的面积为４—π.因此满足条件的概率是错误!，所以选Ｄ．（２）先求点P到点O的距离小于或等于１的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×１２×２＝２π，以O为球心，１为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝错误!×错误!π×１３＝错误!π.则点P到点O的距离小于或等于１的概率为错误!＝错误!，故点P到点O的距离大于１的概率为１—错误!＝错误!.思维升华求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解．（１）在区间[—π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f（x）＝x２＋２ax—b ２＋π２有零点的概率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．１—错误!Ｃ．１—错误!Ｄ．１—错误!（２）在棱长为２的正方体ABCD—A１B１C１D１中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD—A１B１C１D１内随机取一点P，则点P到点O的距离大于１的概率为________．答案（１）B （２）１—错误!解析（１）由函数f（x）＝x２＋２ax—b２＋π２有零点，可得Δ＝（２a）２—４（—b２＋π２）≥0，整理得a２＋b２≥π２，如图所示，（a，b）可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{（a，b）|—π≤a≤π，—π≤b≤π}，其面积SΩ＝（２π）２＝４π２.事件A表示函数f（x）有零点，所构成的区域为M＝{（a，b）|a２＋b２≥π２}，即图中阴影部分，其面积为S M＝４π２—π３，故P（A）＝错误!＝错误!＝１—错误!，所以选Ｂ．（２）V正＝２３＝8，V半球＝错误!×错误!π×１３＝错误!π，错误!＝错误!＝错误!，∴P＝１—错误!.题型三生活中的几何概型问题例３甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为１h，乙船停泊时间为２h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．思维启迪当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．解这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤２４,0≤y≤２４，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达１h以上或乙比甲早到达２h以上，即y—x≥１或x—y≥２．故所求事件构成集合A＝{（x，y）|y—x≥１或x—y≥２，x∈[0,２４]，y∈[0,２４]}．A为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是２４的正方形及其内部．所求概率为P（A）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.思维升华生活中的几何概型度量区域的构造方法：（１）审题：通过阅读题目，提炼相关信息．（２）建模：利用相关信息的特征，建立概率模型．（３）解模：求解建立的数学模型．（４）结论：将解出的数学模型的解转化为题目要求的结论．张先生订了一份报纸，送报人在早上6：３0—7：３0之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00—8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________．答案错误!解析以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A发生，所以P（A）＝错误!＝错误!.混淆长度型与面积型几何概型致误典例：（１２分）在长度为１的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率．易错分析不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率．规范解答解设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应有0<x<１,0<y<１,0<x＋y<１，即（x，y）对应着坐标系中以（0,１）、（１,0）和（0,0）为顶点的三角形内的点，如图所示．[４分]要形成三角形，由构成三角形的条件知错误!所以x<错误!，y<错误!，且x＋y>错误!，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分]因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的错误!，故这三条线段能构成三角形的概率为错误!. [１２分]温馨提醒解决几何概型问题时，还有以下两点容易造成失分，在备考时要高度关注：（１）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（２）利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否等可能性导致错误.方法与技巧１．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．２．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．（１）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（２）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（３）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．失误与防范１．准确把握几何概型的“测度”是解题关键；２．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．A组专项基础训练（时间：３５分钟）一、选择题１．“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径约8～１２毫米的杆上系一根长度为１m的绳子，并在绳子上放一空竹，则空竹与两端距离都大于0．２m的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案B解析与两端都大于0．２m即空竹的运行范围为（１—0．２—0．２）m＝0．6 m，记“空竹与两端距离都大于0．２m”为事件A，则所求概率满足几何概型，即P（A）＝错误!＝错误!.２．（２0１２·辽宁）在长为１２cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于２0 cm２的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析根据题意求出矩形面积为２0 cm２时的各边长，再求概率．设AC＝x，则BC＝１２—x，所以x（１２—x）＝２0，解得x＝２或x＝１0．故P＝错误!＝错误!.３．如图所示，在边长为１的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析∵S阴影＝ʃ错误!（错误!—x）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!，又S正方形OABC＝１，∴由几何概型知，P恰好取自阴影部分的概率为错误!＝错误!.４．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝２，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析如图，当BE＝１时，∠AEB为直角，则点D在线段BE（不包含B、E点）上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝４时，∠BAF为直角，则点D在线段CF（不包含C、F点）上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为错误!＝错误!.５．（２0１２·湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）Ａ．１—错误!Ｂ．错误!—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OA＝OB＝２，则OD＝DA＝DC＝１．在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S１＝错误!＋错误!×１×１—错误!＝１，所以整体图形中空白部分面积S２＝２．又因为S扇形OAB＝错误!×π×２２＝π，所以阴影部分面积为S３＝π—２．所以P＝错误!＝１—错误!.二、填空题6．在长为１0 cm的线段AB上任取一点G，以AG为半径作圆，则圆的面积介于３6π cm２到6４π cm ２的概率是________．答案错误!解析如图，以AG为半径作圆，圆面积介于３6π～6４π cm２，则AG的长度应介于6～8 cm之间．∴所求概率P（A）＝错误!＝错误!.7．（２0１３·湖北）在区间[—２,４]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为错误!，则m＝________.答案３解析由|x|≤m，得—m≤x≤m.当m≤２时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝２．５，矛盾，舍去．当２<m<４时，由题意得错误!＝错误!，解得m＝３．即m的值为３．8．在区间[１,５]和[２,４]上分别各取一个数，记为m和n，则方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．答案错误!解析∵方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q（m，n），点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝错误!.9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于错误!，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于错误!，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不．在家看书的概率为________．答案错误!解析∵去看电影的概率P１＝错误!＝错误!，去打篮球的概率P２＝错误!＝错误!，∴不在家看书的概率为P＝错误!＋错误!＝错误!.三、解答题１0．已知向量a＝（—２,１），b＝（x，y）．（１）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为１,２,３,４,５,6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝—１的概率；（２）若x，y在连续区间[１,6]上取值，求满足a·b<0的概率．解（１）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝３6（个）；由a·b＝—１有—２x＋y＝—１，所以满足a·b＝—１的基本事件为（１,１），（２,３），（３,５），共３个；故满足a·b＝—１的概率为错误!＝错误!.（２）若x，y在连续区间[１,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{（x，y）|１≤x≤6,１≤y≤6}；满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{（x，y）|１≤x≤6,１≤y≤6且—２x＋y<0}；画出图形如图，矩形的面积为S矩形＝２５，阴影部分的面积为S阴影＝２５—错误!×２×４＝２１，故满足a·b<0的概率为错误!.B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．在区间[—１,１]上随机取一个数x，则sin 错误!的值介于—错误!与错误!之间的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析∵—１≤x≤１，∴—错误!≤错误!≤错误!.由—错误!≤sin 错误!≤错误!，得—错误!≤错误!≤错误!，即—错误!≤x≤１．故所求事件的概率为错误!＝错误!.２．如图，矩形长为6，宽为４，在矩形内随机地撒３00颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，则以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为（）Ａ．7．68 Ｂ．１6．３２Ｃ．１7．３２Ｄ．8．68答案B解析根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率P＝错误!，而P＝错误!＝0．68，S矩形＝２４，故S椭圆＝P·S矩形＝0．68×２４＝１6．３２．３．已知点A在坐标原点，点B在直线y＝１上，点C（３,４），若AB≤错误!，则△ABC的面积大于５的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析设B（x,１），根据题意知点D（错误!，１），若△ABC的面积小于或等于５，则错误!×DB×４≤５，即DB≤错误!，所以点B的横坐标x∈[—错误!，错误!]，而AB≤错误!，所以点B的横坐标x∈[—３,３]，所以△ABC的面积小于或等于５的概率为P＝错误!＝错误!，所以△ABC的面积大于５的概率是１—P＝错误!.４．在面积为S的△ABC内部任取一点P，△PBC的面积大于错误!的概率为________．答案错误!解析如图，假设当点P落在EF上时（EF∥BC），恰好满足△PBC的面积等于错误!，作PG⊥BC，AH⊥BC，则易知错误!＝错误!.符合要求的点P可以落在△AEF内的任一部分，其概率为P＝错误!＝错误!.５．平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为３cm，把一枚半径为１cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是________．答案错误!解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为错误!.6．在区间[0,２]上任取两个实数a，b，求函数f（x）＝x３＋ax—b在区间[—１,１]上有且仅有一个零点的概率．解因为f′（x）＝３x２＋a，由于a≥0，故f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在[—１,１]上单调递增，故函数f（x）在区间[—１,１]上有且只有一个零点的充要条件是错误!即错误!设点（a，b），则基本事件所在的区域是错误!画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义，所求的概率等于以图中阴影部分的面积与以２为边长的正方形的面积的比值，这个比值是错误!.7．身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘A、B两列火车在郑州火车站会面，并约定先到者等待时间不超过１0分钟．当天A、B两列火车正点到站的时间是上午9点，每列火车到站的时间误差为±１５分钟，不考虑其他因素，求姐弟俩在郑州火车站会面的概率．解设姐姐到的时间为x，弟弟到的时间为y，建立坐标系如图，由题意可知，当y≤x±错误!时，姐弟俩会面，又正方形的面积为错误!，阴影部分的面积为错误!，所求概率P＝错误!＝错误!.。
高中数学必修三 几何概型课件
例 3 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之 间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在 这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影 响。求二人能会面的概率。
y 解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人
5
到达的时刻，于是 0 X 5, 0 Y 5. 4
3 2 1
.M(X,Y)
古典概型 P = 2/4=1/2
（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一 个x的值，求 “取得值大于2”的概率。
1
2
3
4
总长度3
几何概型 P = 2/3
（一）与长度有关的几何概型
(3)：有根绳子长为3米，拉直后任意剪成两 段，每段不小于1米的概率是多少？
P（A)=1/3
思考：怎么把随机事件转化为线段？
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
解：记事件A={弦长超过圆内接
解：设“汽车在1～3分钟之间到达”为事件A，则
P( A) 3 1 2
55
所以“汽车在1～3分钟之间到达”的概率 2
为
5
2.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事 件的概率：
（1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域。
七、课堂小结
几何概型的概率公式.
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1 P 3
4.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点, 求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的 概率.
P
8
某事件A发生的概率
构成事件A的区域长度（面积或体积） P(A) . 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
模型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等
2 1 P(获得50购物券)= 20 10
4 1 P(获得20购物券)= 20 5
巩固练习
1.如图,在下面每个图形内随机撒一粒小芝麻,分 别求它落到阴影部分的概率. 2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻 度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指 针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求 不能看到准确时间的概率. 1/6
P=0.121
巩固练习
3.在区间(0,1) 中随机地取两个数,求下列事件的概率: (1) 两个数中较小(大)的小于1/2 ; 3/4, 1/4 7/8 0.5966
(2) 两数之和小于3/2 ;
(3) 两数之积小于1/4 .
想一想
甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,
先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间
内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.
求二人能会面的概率.
解:以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是
0 X 5, 0 Y 5
即点 M 落在图中的阴影部分. 所有的点构成一个正方形,即 有无穷多个结果.由于每人在 任一时刻到达都是等可能的, 所以落在正 方 形 内 各 点是 等可能的.
5 4 3 2 1
y
.M(X,Y)
0 1
2 3 4
5
x
二人会面的条件是： | X Y | 1,
阴影部分的面积 p 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
y
5 4 3 2 1
y-x =1 y-x = -1
0
1
2 3 4
5 x
题1
题2
例题讲解
4.“抛金币”是国外游乐场的游戏之一.参与者 只须将手上的“金币”(半径为r)抛向离身边若 干距离的阶砖平面上,抛出的“金币”若恰好落 在任何一个阶砖(边长为a的正方形)的范围内 (不与阶砖相连的线重叠),便可获奖,求获奖的 概率.
解:设阶砖边长为a,“金币” 直径为2r. 若“金币”成功地落在阶砖 上,其圆心必位于右图的绿 色区域A内.
若每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成正比,则称这样的概率 模型为几何概型
两种概型的特点及异同点
1.古典概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 2.几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 3.异同点 相同: 基本事件的发生等可能 不同: 古典概型:基本事件有限个
几何概型可以看作是古典概型的推广
例题讲解
1.先判断是何种概率模型,再求相应概率.
(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一 个元素a,则P(a≥3)= . (2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取 一点P,则P(|PM|≤10)= .
(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10 (2)几何概率模型,P(|PM|≤10)=1/6
注：这是与长度有关的几何概型问题
例题讲解
3.某商场为了吸引顾客,设立了一个可 以自由转动的转盘,并规定:顾客每购买 100元的商品,就能获得一次转动转盘的 机会.如果转盘停止时,指针正好对准红、 黄或绿的区域,顾客就可以获得100元、 50元、20元的购物券(转盘等分成20份). 某顾客购物120元. 问:(1)他获得购物券的概率是多少？
几何概型:基本事件无限多个
两种概型、概率公式的联系 1.古典概型的概率公式:
m 事件 A 所包含的基本事件数 P(A) 试验的基本事件总数 n
2.几何概型的概率公式:
构成事件A 的区域长度（面积或体积） P（A ）= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义
a
A S
a
问题化为:向平面区域S(面积为a2)随机投点(“金币” 中心),求该点落在区域A内的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
A的面积 P S的面积 ( a 2r ) 2 a
2
a
0<2r<a
游戏吗？
巩固练习
1.在线段AD上任意取两个点B、C,在B、C 处折断此线 段而得三折线,求此三折线能构成三角形的概. P=1/4 2.甲、乙两船停靠同一码头,各自独立地到达,且每艘船 在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊 1小时,乙船 需停泊 2小时,而该码头只能停泊一艘船.试求其中一艘 船要等待码头空出的概率.
例题讲解
2.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电 台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
本试验的所有基本事件所构成区域在哪？ 事件A包含的基本事件所构成区域在哪？ 解:设事件A={等待的时间不多于10分钟} 事件A发生的区域为时间段[50,60]
P( A)
等待的时间不多于 分钟时间长度 10 1 10 ＝ 所有在60分钟里醒来的时间长度 60 6
绿 黄
黄
绿 绿 绿 红
(2)他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别
是多少？
解:甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获 得一次转动转盘的机会,转盘一共等分了20份,其中1 份红色、2份黄色、4份绿色,因此对于顾客来说： P(获得购物券)= 1 2 4 7
20
20
1 P(获得100元购物券)= 20
绿
黄
黄
绿 绿 绿 红
引例
1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒 芝麻,分别计算它落到阴影部分的概率.
P 1
1
3 P2 8
2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个 小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有 这个细菌的概率. P=0.1
引例
3.任取一根长为3m的绳子,拉直后在任意位 置剪断,求剪得两段的长都不小于1m的概率.