新课标北师大版《必修三》高一数学几何概型 (1)

几何概型:基本事件无限多个
两种概型、概率公式的联系 1.古典概型的概率公式:
m 事件 A 所包含的基本事件数 P(A) 试验的基本事件总数 n
2.几何概型的概率公式:
构成事件A 的区域长度（面积或体积） P（A ）= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义
题1
题2
例题讲解
4.“抛金币”是国外游乐场的游戏之一.参与者 只须将手上的“金币”(半径为r)抛向离身边若 干距离的阶砖平面上,抛出的“金币”若恰好落 在任何一个阶砖(边长为a的正方形)的范围内 (不与阶砖相连的线重叠),便可获奖,求获奖的 概率.
解:设阶砖边长为a,“金币” 直径为2r. 若“金币”成功地落在阶砖 上,其圆心必位于右图的绿 色区域A内.
注：这是与长度有关的几何概型问题
例题讲解
3.某商场为了吸引顾客,设立了一个可 以自由转动的转盘,并规定:顾客每购买 100元的商品,就能获得一次转动转盘的 机会.如果转盘停止时,指针正好对准红、 黄或绿的区域,顾客就可以获得100元、 50元、20元的购物券(转盘等分成20份). 某顾客购物120元. 问:(1)他获得购物券的概率是多少？
若每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成正比,则称这样的概率 模型为几何概型
两种概型的特点及异同点
1.古典概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 2.几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 3.异同点 相同: 基本事件的发生等可能 不同: 古典概型:基本事件有限个
1 P 3
4.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点, 求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的 概率.
P

8
某事件A发生的概率
构成事件A的区域长度（面积或体积） P(A) . 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
模型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 (2)每个基本事件出现的可能性相等
2 1 P(获得50购物券)= 20 10
4 1 P(获得20购物券)= 20 5
巩固练习
1.如图,在下面每个图形内随机撒一粒小芝麻,分 别求它落到阴影部分的概率. 2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻 度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指 针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求 不能看到准确时间的概率. 1/6
几何概型可以看作是古典概型的推广
例题讲解
1.先判断是何种概率模型,再求相应概率.
(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一 个元素a,则P(a≥3)= . (2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取 一点P,则P(|PM|≤10)= .
(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10 (2)几何概率模型,P(|PM|≤10)=1/6
内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.
求二人能会面的概率.
解:以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是
0 X 5, 0 Y 5
即点 M 落在图中的阴影部分. 所有的点构成一个正方形,即 有无穷多个结果.由于每人在 任一时刻到达都是等可能的, 所以落在正 方 形 内 各 点是 等可能的.
5 4 3 2 1
y
.M(X,Y)
0 1
2 3 4
5
x
二人会面的条件是： | X Y | 1,
阴影部分的面积 p 正方形的面积 1 2 25 2 4 9 2 25 25.
y
5 4 3 2 1
y-x =1 y-x = -1
0
1
2 3 4
5 x
a
A S
a
问题化为:向平面区域S(面积为a2)随机投点(“金币” 中心),求该点落在区域A内的概率.
于是成功抛中阶砖的概率
A的面积 P S的面积 ( a 2r ) 2 a
2
a
0<2r<a
A S
a
若2r>a, 你愿意玩这个游戏吗？
巩固练习
1.在线段AD上任意取两个点B、C,在B、C 处折断此线 段而得三折线,求此三折线能构成三角形的概. P=1/4 2.甲、乙两船停靠同一码头,各自独立地到达,且每艘船 在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊 1小时,乙船 需停泊 2小时,而该码头只能停泊一艘船.试求其中一艘 船要等待码头空出的概率.
例题讲解
2.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电 台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.
本试验的所有基本事件所构成区域在哪？ 事件A包含的基本事件所构成区域在哪？ 解:设事件A={等待的时间不多于10分钟} 事件A发生的区域为时间段[50,60]
P( A)
等待的时间不多于 分钟时间长度 10 1 10 ＝ 所有在60分钟里醒来的时间长度 60 6
P=0.121
巩固练习
3.在区间(0,1) 中随机地取两个数,求下列事件的概率: (1) 两个数中较小(大)的小于1/2 ; 3/4, 1/4 7/8 0.5966
(2) 两数之和小于3/2 ;
(3) 两数之积小于1/4 .
想一想
甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,
先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间
绿 黄
黄
绿 绿 绿 红
(2)他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别
是多少？
解:甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获 得一次转动转盘的机会,转盘一共等分了20份,其中1 份红色、2份黄色、4份绿色,因此对于顾客来说： P(获得购物券)= 1 2 4 7
20
20
1 P(获得100元购物券)= 20
绿
黄
黄
绿 绿 绿 红
引例
1.如右下图,假设在每个图形上随ຫໍສະໝຸດ Baidu撒一粒 芝麻,分别计算它落到阴影部分的概率.
P 1
1

3 P2 8
2.有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个 小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有 这个细菌的概率. P=0.1
引例
3.任取一根长为3m的绳子,拉直后在任意位 置剪断,求剪得两段的长都不小于1m的概率.