偶数阶幻方填法

偶数阶幻方填法

以4阶为例，说说偶数阶的填法：

首先，按顺序写下１６个数：

１２３４

５６７８

９１０１１１２

１３１４１５１６

接下来固定对角线上数字不动（这里是１、６、１１、１６和４、７、１０、１３），其它数字作左右对换，如２与３换，５与８换等，得到下面的排列：

１３２４

８６７５

１２１０１１９

１３１５１４１６

继续固定对角线，其他数字作上下对称变换，如８与１２换，２与１５换等，得到如下排列：

１１５１４４

１２６７９

８１０１１５

１３３２１６

这就是四阶幻方，每行每列四个数字之和均为３４，其他偶

数阶幻方填法可类推！

奇数阶幻方——口诀

1坐边中间，斜着把数填；

出边填对面，遇数往下旋；

出角仅一次，转回下格间。

一、奇数阶纪方的构造方法(楼梯法)。

把1(或最小的数)放在第一行正中；

按以下规律排列剩下的n*n-1个数：

1)每一个数放在前一个数的右上一格；

2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右

列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；

5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同4)。图示：

* 1 * * 1 *

* * * * * *

* * * * * 2

* 1 * * 1 *

3 * * 3 * *

* * 2 4 * 2

* 1 * * 1 6

3 5 * 3 5 *

4 * 2 4 * 2

* 1 6 8 1 6

3 5 7 3 5 7

4 * 2 4 * 2

8 1 6

3 5 7

4 9 2

奇数阶幻方的一种用公式表达的构造方法：

设x是要填入的数，(xx,yy)是坐标。坐标如何确定呢？

k= (x-1) div n +(n+3) div 2 + (x-1)

yy=k- (k-1) div n *n

p= (n+1) div 2 + (x-1)- (x-1) div n

xx=n+1-p+(p-1) div n * n

二、双偶阶(4k)阶幻方的构造方法。

就是说，阶数可以被4整除。

看看4阶幻方的制作方法：

先把数字，按顺序写(从左到右，从上到下)：

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

然后把对角线，换成互补的数字。

定义：

互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 1

5 1

人们从4阶幻方的制作方法，找到了构造双偶阶幻方的方法：

对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，换成互补的数字，就构成幻方。

事实上，有些小方阵的对角线是连着的。但是因为没有办法画图，我只能这样子描述。

双偶阶幻方另一种用PASCAL程序语句表达的构造的方法如下:

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

if j mod 4>1 then m:=1

else m:=0;

k:=n-i-(n-2*i+1)*m;

if i mod 4>1 then m:=1

else m:=0;

L:=n-j+1-(n-2*j+1)*m;

a[i, j]:=k*N+L;

end;

三、单偶阶(4k+2)幻方的构造

阶数是偶数，但是，又不能被4整除。这是最难的一种幻方。

一种构造n=4k+2幻方的方法：

(1) 先排出4k的双偶阶幻方

(2) 根据幻方的性质，每个数都同时加上8k+2

(3) 把它扩展成为4k+2的方阵。这样，四周包围着一圈。我们只要把

1,2,3……,8k+2, (4k+2)^2, (4k+2)^2-1, ……,(4k)^2+1+8k+2

这些数字，填入最外一圈，使得：对角线两端，每行、每列两端数字互补。

当然，最后圈的两横，两列各数之和要等于变幻常数。

以制作6阶幻方为例：

先制作出4阶幻方。

方阵的每个数字，加上8k+2=10

再把它扩大成6阶，如下图：

* * * * * *

* 26 12 13 23 *

* 15 21 20 18 *

* 19 17 16 22 *

* 14 24 25 11 *

* * * * * *

我们只要把

1,2,3,……,9,10,

36,35,34, (27)

填入外圈。

不过，当n较大时，外圈的填法也不太容易。有一种公式来填外圈。坐标(j,i) 为j行i列的。先固定填下这10个数：a[1,1]=1 a[n,1]=4 a[n-1,1]=10 a[2,n]=3 a[3,n]=5 a[4, n]=7

a[n,n-2]=2 a[n,n-1]=9 a[1,2]=6 a[1,3]=8

当n=4k+2时，