高阶导数公式

C
D
zz00
证明 用数学归纳法和导数定义。 用数学归纳法和导数定义。
先证 n = 1的情形 . ∀z 0 ∈ D f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) f ' ( z 0 ) = lim ∆z → 0 ∆z
1 f ( z0 ) = 2π i
由柯西积分公式
∫
C
f (z) dz z − z0
注：定理表明解析函数的导数仍为解析函数。 定理表明解析函数的导数仍为解析函数
推论： 推论：
(1) f ( z )在正向简单闭曲线C所围成的区域及C上解析 (2) z0为C内任意一点 ! f (z) 则有 f (n) (z ) = n 0 ∫C (z − z0 )n+1 dz 或 2πi
f ( z) 2πi ( n ) ∫C ( z − z0 ) n +1 dz = n! f ( z0 )( n = 1,2,...)
∆z→ 0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 1 f (z) f ' ( z0 ) = lim = ∫C ( z − z0 )2 dz （*） ∆z → 0 2πi ∆z
再利用(∗)式及推导(∗பைடு நூலகம்的方法可证 n = 2的情形 .
f ' ( z0 + ∆z ) − f ' ( z0 ) f ' ' ( z 0 ) = lim ∆z → 0 ∆z f (z) 2! = 依次类推， ∫C ( z − z 0 ) 3 dz 依次类推，用数学归纳法可得 2π i
解： ) f ( z ) = e 5 z , z 0 = 0, n = 2, (1 2πif ′′(0) 原式 = = 25πi 2!
( 2) I = (12 − π )πi
作业
• P100 7,9
小结
c n→ ∞
求积分的方法
n k =1
(1) ∫ f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k )∆ x k
z∈C
1 取 ∆z < d , 则有 2
1 1 z − z0 ≥ d , ≤ z − z0 d d z − z0 − ∆z ≥ z − z0 − ∆z > , 2 2 < z − z0 − ∆z d 1
ML ( L — C 的长度） 的长度） ∴ I < ∆z 3 πd 显然， 显然， lim I = 0 , 从而有
f
n! f (z) ( z0 ) = ∫C ( z − z ) n+1 dz (n = 1,2,L) 2πi 0
定理(高阶导数公式 定理 高阶导数公式) 高阶导数公式
1)设f ( z )在区域D内处处解析; 2)C是D内任意一条正向简单闭 曲线,内部完全含于 D; 3) z0为C内任意一点, 则有 n! f (z) (n) f ( z0 ) = ∫C ( z − z0 ) n +1 dz (n = 1,2,...) 2πi
( 2)
∫
c
f ( z )dz =
∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy
β α
( 3 ) ∫ f ( z )dz = ∫ f [ z ( t )]z ′( t )dt
c
( 4 )若 f ( z )解析 , B 单连通 , C ⊂ B , 则 ∫ f ( z )dz = 0
c
( 5 )若 f ( z )在 B 内解析 , B 单连通 , 则
C1 i
C2
−i
z
C
r
ez ez ez dz = ∫ dz + ∫ dz ∴∫ 2 2 2 2 2 2 C (1 + z ) C1 (1 + z ) C2 (1 + z )
=∫
C1
e e ( z + i )2 ( z + i )2 dz + ∫ dz 2 2 C2 ( z + i ) (z − i)
z
z
z
′ 2πi e = ( z + i) 2 1!
z =i
′ 2πi e + ( z − i) 2 1!
z
z =−i
练习：沿曲线正向求积 分 5z cos πz e 2) ∫ dz （1） dz 3 2 z = 4 z ( z − 1) ∫|z|=1 z 3
§6 解析函数的高阶导数
1 f (z) 柯西积分公式 f ( z 0 ) = ∫C z − z 0 dz ( z 0 ∈ D ) 2πi
1 形式上求导得，f ' ( z 0 ) = 2π i
∫
C
f (z) dz 2 ( z − z0 )
2! f " ( z0 ) = 2π i
(n)
f (z) ∫C ( z − z0 ) 3 dz LL
∫
z1
z0
f ( z )dz = F ( z ) z ,
0
z1
F '(z) = f (z)
(6)复合闭路定理和闭路变形原理 : ∫ f ( z )dz = 0
Γ
f (z) (7)柯西积分公式： ∫ dz = 2πif (z0 ) C z−z 0
(8)高阶导数公式：
f ( z) 2πi ( n ) ∫C ( z − z0 ) n +1 dz = n! f ( z0 )( n = 1,2,...)
1 I = 2π
∫
C
∆ zf ( z ) dz 2 ( z − z 0 − ∆ z )( z − z 0 )
1 ≤ 2π
∫
∆z f ( z ) z − z0 − ∆z z − z0
2
C
ds
Q f ( z )在C上解析， f ( z )在C上连续 上解析， ∴ 则∃M , ∂ f ( z ) ≤ M , d = min z − z0
cos πz 1) ∫ dz 5 C ( z − 1)
ez 2) ∫ dz 2 2 C (1 + z )
1
r
(1) f ( z ) = cos πz, z0 = 1, n = 4
cos πz 2πi (cos πz ) ( 4) dz = ∫C ( z − 1)5 4!
z =1
=−
π5
12
i
e 2) ∫ dz 2 2 C (1 + z )
C D z0
注：常用于计算函数沿闭曲线的积分！ 常用于计算函数沿闭曲线的积分！
2πi dz dz ∫C ( z − z ) n+ 1 = ∫ z − z0 = r ( z − z ) n+1 = 0 0 0
n=0 n≠0
z0
r
例1 求下列积分值 , C 为正向圆周 : z = r > 1
1 f ( z0 + ∆z ) = 2π i
∫
C
f (z) dz z − z0 − ∆z
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 1 f (z) f ( z) dz dz − ∫ = ∫C C z − z 2πi∆z z − z0 − ∆z ∆z 0 1 f (z) = ∫C ( z − z0 − ∆z )( z − z0 ) dz 2πi 令为I 令为 1 f (z) 1 ∆ zf ( z ) = ∫C ( z − z 0 ) 2 dz + 2π i ∫C ( z − z 0 − ∆ z )( z − z 0 ) 2 dz 2π i