高二数学人教B选修22同步练习221 含答案

合集下载

人教B版选修2-1：2.2.2同步训练及解析

高中数学人教B 选修2-1 同步训练1.椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)解析：选D.椭圆方程化为标准式y 26＋x 2＝1， ∴a 2＝6，且焦点在y 轴上．∴长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．2.椭圆x 29＋y 225＝1的焦距为( ) A ．8 B ．4C.7 D ．27解析：选A.a 2＝25，b 2＝9，∴c ＝a 2－b 2＝4，焦距为2c ＝8.3.已知椭圆的短轴长为6，焦点F 到长轴端点的最大距离为9，则椭圆的方程为__________________．解析：∵短轴长为6，∴b ＝3.F 到长轴端点的最大距离为a ＋c ＝9.又a 2－b 2＝c 2，∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1. 答案：x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1 4.椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是__________________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，焦距为2c ，则b ＝1，a 2＋b 2＝(5)2，即a 2＝4.所以椭圆的标准方程是x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1. 答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1[A 级基础达标]1.已知椭圆的离心率为12，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为( ) A.x 236＋y 227＝1 B.x 236－y 227＝1 C.x 227＋y 236＝1 D.x 227－y 236＝1 解析：选A.由已知，c ＝3，又e ＝12，∴a ＝6. ∴b 2＝a 2－c 2＝27.又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 236＋y 227＝1.2.(2012·西安一中高二期末)已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，且焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D.∵椭圆长轴在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .∴c 2＝a 2－b 2＝2m －12＝4.∴m ＝8.3.若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值为( ) A. 3 B.32C.83D.23解析：选B.∵焦点在x 轴上，∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝a 2－b 2＝2－m ，e ＝c a ＝ 2－m 2＝12，∴m ＝32. 4.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25，故所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1. 答案：x 220＋y 225＝1 5.已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值为________．解析：若m <5，则5－m 5＝105，∴m ＝3. 若m >5，则m －5m＝105，∴m ＝253. 答案：3或2536.已知椭圆短轴的一个端点为B ，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，且△BF 1F 2是周长为18的正三角形，求椭圆的标准方程．解：由题意知2a ＋2c ＝18，∴a ＋c ＝9.又三角形为正三角形，∴a ＝2c ，∴3c ＝9，∴c ＝3，a ＝6，b 2＝36－9＝27，故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 227＝1或y 236＋x 227＝1. [B 级能力提升]7.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知得a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.8.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.53D.63解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 2OF 2为等腰直角三角形， ∴c a ＝22. 9.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________．解析：由题意知b ＝1，又∵e ＝c a ＝a 2－b 2a， ∴e 2＝a 2－1a2∈⎝⎛⎦⎤0，34，∴1<a 2≤4，∴1<a ≤2， ∴长轴长2a ∈(2，4]．答案：(2，4]10.如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解：法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a 、b 、c ，则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2. 而|MF 1|＋|MF 2|＝ 4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59， ∴e ＝53.法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则M (c ，23b )．代入椭圆方程，得c 2a 2＋4b 29b 2＝1，所以c 2a 2＝59，所以c a ＝53，即e ＝53. 11.(创新题)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长为短轴长的3倍，直线y ＝x 与椭圆交于A ，B 两点，C 为椭圆的右顶点，OA →·OC →＝32，求椭圆方程．解：根据题意a ＝3b ，C (a ，0)，设A (t ，t )，则t >0，t 2a 2＋t 2b2＝1， ∴t ＝32b .∴OA →＝⎝⎛⎭⎫32b ，32b ，OC →＝(a ，0)， OA →·OC →＝32ab ＝32b 2＝32，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.。

高二数(人教B)选修2-2同步练习3-1-2 Word含答案

选修2-2 3.1.2一、选择题1．下列命题中假命题是( )A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|[答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋bi (a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0.⇔|z |＝0，故B 正确； ③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1、b 1、a 2、b 2∈R )若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错．故选D.2．已知a 、b ∈R ，那么在复平面内对应于复数a －bi ，－a －bi 的两个点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称[答案] B[解析] 在复平面内对应于复数a －bi ，－a －bi 的两个点为(a ，－b )和(－a ，－b )关于y 轴对称．3．在下列结论中正确的是( )A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴B．任何两个复数都不能比较大小C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的D．－1的平方根是i[答案] A[解析]两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai是实数，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故选A.4．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1B．a≠2或a≠－1C．a＝2或a＝0D．a＝0[答案] D[解析]由题意知a2－2a＝0且a2－a－2≠0，解得a＝0.5．下列式子中正确的有________个．()①3i＞2i②|2＋3i|>|－2－3i|③i2>(－i)2④|z|＝|z|(其中z是复数z的共轭复数)A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析]虚数3i与2i不能比较大小；|2＋3i|＝13，|－2－3i|＝13，∴|2＋3i|＝|－2－3i|；i2＝－1，(－i)2＝－1，∴i2＝(－i)2.设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝a2＋b2，|z|＝a2＋b2，∴|z|＝|z|，∴只有④正确．故选B.6．复数z1＝a＋2i (a∈R)，z2＝2＋i且|z1|<|z2|，则a的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案] C[解析]∵|z1|<|z2|，∴a2＋4<5，∴a2＋4<5，∴－1＜a ＜1.故选C.7．复平面内，向量OA →表示的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋i `D ．2＋i,1＋i[答案] C[解析] 向量OA →向右平移一个单位后起点O ′(1,0)，∵OA ′→＝OO ′→＋O ′A ′→＝OO ′→＋OA →＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，∴点A ′对应复数2＋i ，又O ′A ′→＝OA →，∴O ′A ′→对应复数为1＋i .故选C.8．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] ∵23＜m ＜1，∴3m －2>0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．故选D.9．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( )A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不是纯虚数C ．z 对应的点在实轴上方D ．z 一定是实数[答案] C[解析] ∵2t 2＋5t －3＝(t ＋3)(2t －1)的值可正、可负、可为0，t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1≥1，∴排除A 、B 、D.故选C.10．若cos2θ＋i (1－tan θ)是纯虚数，则θ的值为( )A ．k π－π4(k ∈Z )B ．k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π＋π4(k ∈Z )D.k π2＋π4(k ∈Z ) [答案] A[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝0 ①1－tan θ≠0 ②∴选项B 、C 不满足②.D 中若k 为偶数(如k ＝0)也不满足②.故选A.二、填空题11．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cot B －tan A )＋i (tan B －cot A )的对应点位于复平面的第______象限.[答案] 二[解析] 由于0<A <π2，0<B <π2且A ＋B >π2∴π2>A >π2－B >0，∴tan A >cot B ，cot A <tan B ，故复数z 对应点在第二象限．12．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________.[答案] 76＋4i[解析] 设复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝76b ＝－4，∴z ＝76＋4i . 13．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i ·log 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是____________．[答案] 15[解析] ∵log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0，整理得log 22(m 2－3m －3)(m －3)2＝0， ∴2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9，即m 2＝15，m ＝±15.又 ∵m －3>0且m 2－3m －3>0，∴m ＝15.14．复数z 满足|z ＋3－3i |＝3，则|z |的最大值和最小值分别为________．[答案] 33， 3[解析] |z ＋3－3i |＝3表示以C (－3，3)为圆心，3为半径的圆，则|z |表示该圆上的点到原点的距离，显然|z |的最大值为|OC |＋3＝23＋3＝33，最小值为|OC |－3＝23－3＝ 3.三、解答题15．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．16．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i (m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，∴z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1>04m 2－8m ＋3<0，解得－1＋52<m <32. 即实数m 的取值范围是－1＋52<m <32.17．已知a ∈R ，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？[解析] 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1得z 的实部为正数，虚部为负数．∴复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4y ＝－(a 2－2a ＋2) 消去a 2－2a 得y ＝－x ＋2 (x ≥3)，∴复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．18．已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i . (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？[解析] (1)|z 1|＝|3＋i | ＝(3)2＋12＝2 |z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－32i ＝1.∴|z 1|＞|z 2|.(2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|，得1≤|z |≤2.因为|z |≥1表示圆|z |＝1外部所有点组成的集合．|z |≤2表示圆|z |＝2内部所有点组成的集合，∴1≤|z |≤2表示如图所示的圆环．。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-2-2椭圆的几何性质

2.2.2椭圆的几何性质一、选择题1．(2010·广东文，7)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15[答案] B[解析] 本题考查了离心率的求法，这种题目主要是设法把条件转化为含a ，b ，c 的方程式，消去b 得到关于e 的方程，由题意得：4b ＝2(a ＋c )⇒4b 2＝(a ＋c )2⇒3a 2－2ac －5c 2＝0⇒5e 2＋2e －3＝0(两边都除以a 2)⇒e ＝35或e ＝－1(舍)，故选B. 2．已知椭圆C ：x 2a 2y 2b 2＝1与椭圆x 24＋y 28＝1有相同的离心率，则椭圆C 的方程可能是( )A.x 28＋y 24＝m 2(m ≠0) B.x 216＋y 264＝1 C.x 28＋y 22＝1 D ．以上都不可能[答案] A[解析] 椭圆x 24＋y 28＝1中，a 2＝8，b 2＝4，所以c 2＝a 2－b 2＝4，即a ＝22，c ＝2，离心率e ＝c a ＝22.容易求出B ，C 项中的离心率均不为此值，A 项中，m ≠0，所以m 2>0，有x 28m 2＋y 24m 2＝1，所以a 2＝8m 2，b 2＝4m 2.所以a ＝22|m |，c ＝2|m |，即e ＝c a ＝22. 3．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( )A ．相等的短轴长B ．相等的焦距C ．相等的离心率D ．相同的长轴长[答案] C[解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1. 因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22，e 2＝12＝e 1＝22，故离心率相等，选C.4．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F 1，则满足△ABF 1为等边三角形的椭圆的离心率是( )A.14B.12C.22D.32 [答案] D[解析] 由△ABF 1为等边三角形，∴2b ＝a ，∴c 2＝a 2－b 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 5．我们把离心率等于黄金比5－12的椭圆称为“优美椭圆”．设x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF 等于( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] cos ∠ABF ＝|AB |2＋|BF |2－|AF |22·|AB |·|BF |＝a 2＋b 2－(a ＋c )22·|AB |·|BF |＝(2＋5－12)a 2－(1＋5－12)2a 22·|AB |·|BF | ＝(5＋32－5＋32)a 22·|AB |·|BF |0， ∴∠ABF ＝90°，选C. 6．椭圆x 2－m ＋y 2－n＝1(m <n <0)的焦点坐标分别是( ) A ．(0，－m ＋n )，(0－m ＋n )B ．(n －m ，0)，(－n －m ，0)C ．(0，m －n )，(0，－m －n )D ．(m －n ，0)，(－m －n ，0)[答案] B[解析] 因为m <n <0，所以－m >－m >0，故焦点在x 轴上，所以c ＝(－m )－(－n )＝n －m ，故焦点坐标为(n －m ，0)，(－n －m ，0)，故选B.7．(2010·福建文，11)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[答案] C[解析] 本题主要考查椭圆和向量等知识．由题易知F (－1,0)，设P (x ，y )，其－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2 当x ＝2时，(OP →·FP →)max ＝6.8．椭圆的一个顶点与两个焦点组成等边三角形，则它的离心率e 为( )A.12B.13C.14D.22 [答案] A[解析] 由题意知a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12. 9．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)的位置( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能[答案] A[解析] 由e ＝12知c a ＝12，a ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2得b ＝3c ，代入ax 2＋bx －c ＝0，得2cx 2＋3cx －c ＝0，即2x 2＋3x －1＝0，则x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝74<2. 10．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是( ) A.33 B.23 C.22 D.32[答案] A[解析] 如图，△ABF 2为正三角形，∴|AF 2|＝2|AF 1|，|AF 2|＋|AF 1|＝2a ，3|AF 1|＝|F 1F 2|.∴|AF 1|＝23，又|F 1F 2|＝2c ， ∴23a 2c ＝13. ∴c a ＝33.故选A. 二、填空题11．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径的圆过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0过P 作圆的两切线又互相垂直，则离心率e ＝________. [答案] 22 [解析] 如图，切线P A 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a＝22.12．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．[答案] 53[解析] 易知直线AB 的方程为y ＝2(x －1)，与椭圆方程联立解得A (0，－2)，B ⎝⎛53，43，故S △ABC ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×2＋12×1×43＝53. 13．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.[答案] 8[解析] 由椭圆的第一定义得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，两式相加，得|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝4a ＝20⇒|AB |＝20－12＝8.14．在△ABC 中，∠A ＝90°，tan B ＝34.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________.[答案] 12[解析] 设|AC |＝3x ，|AB |＝4x ，又∵∠A ＝90°，∴|BC |＝5x ，由椭圆定义：|AC |＋|BC |＝2a ＝8x ，那么2c ＝|AB |＝4x ，∴e ＝c a ＝4x 8x ＝12. 三、解答题15．已知点P 在以坐标轴为对称轴，长轴在x 轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为43和23，且点P 与两焦点连线所张角的平分线交x 轴于点Q (1,0)，求椭圆的方程．[解析] 根据题意，设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵|PF 1|＝43，|PF 2|＝23，∴2a ＝63，即a ＝33，又根据三角形内角平分线的性质，得|PF 1| |P F 2|＝|F 1Q | |Q F 2|＝2 1，即c ＋1＝2(c －1)，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝18，故所求椭圆方程为x 227＋y 218＝1. 16. 设P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2＝90°，求证：椭圆的圆心率e ≥22. [证明] 证法一：∵P 是椭圆上的点，F 1、F 2是焦点，由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2，由①2，得|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2(a 2－c 2)，②由①和②，知|PF 1|，|PF 2|是方程z 2－2az ＋2(a 2－c 2)＝0的两根，且两根均在(a －c ，a ＋c )之间．令f (z )＝z 2－2az ＋2(a 2－c 2)则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0f (a －c )>0f (a ＋c )>0可得(c a )2≥12，即e ≥22. 证法二：由题意知c ≥b ，∴c 2≥b 2＝a 2－c 2∴c 2a 2≥12，故e ≥22. 17．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P 、Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．[解析] ∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2.与x ＋2y ＋8＝0联立消去y 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54[64－2(64－a 2)]． ∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 18．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点M (2,1)的一条直线与椭圆交于A ，B 两点，如果弦AB 被M 点平分，那么这样的直线是否存在？若存在，求其方程；若不存在，说明理由．[解析] 设所求直线存在，方程y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k 2－1)2－16＝0①.设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程①的两根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.又k ＝－12时，使得①式Δ>0，故这样的直线存在，直线方程为x ＋2y －4＝0.。

高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考

高中数学新课标人教B版《选修二》《选修2 2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课标人教b版《选修二》《选修2-2》《第二章推理与证明》精品专题课后练习[6]含答案考高中数学新课程标准人民教育B版《选修二》、《选修2-2》、《第二章推理与证明》优秀课后专项练习[6]（含答题和分析）班级:___________姓名：___________分数：___________1.当用反证法证明一个数学命题时，我们应该首先做出与命题结论相矛盾的假设，当否定“自然数是偶数”时，正确的反比是a.自然数B.自然数C.自然数D.自然数【答案】d【考点】高中数学知识点“推理与证明、数系扩展与复数”推理与证明“直接证明与间接证明【分析】试题分析：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：d．考点：命题的否定.中侨油都是奇数都是偶数中至少有两个偶数中至少有两个偶数或都是奇数2.下列命题：（1）如果向量，则与的长度相等且方向相同或相反；而且方向和；（2）对于任何非零向量，如果（3）非零向量与非零向量满足（4）向量（5）若还有，还有是共线向量，则，则，则向量与方向相同或相反；四点共线；正确号码：（）a.0【答案】c【考点】高中数学知识点集与常用逻辑术语命题及其关系【分析】试题分析：由于与可能为零向量，而零向量的方向是任意的，所以（1）若向量与的长度相等且方向相同或相反；不正确。

由相等向量的定义知，（2）对于任意非零向量若而且方向和；正确。

然后b．1c．2d．3根据共线向量的定义，（3）非零向量和非零向量满足正确的要求。

，则向量与方向相同或相反；向量（5）如果与是共线向量，意味着两向量方向相同或相反，说，且然后四点共线；不正确。

.总之，选择C。

，不正确，因为，为零向量时，不一定向量的概念：平面的公共线。

2013版高二数学(人教B版)选修2-2同步练习1-2-3 Word版含答案]

选修2-2 1.2.3一、选择题1．函数y ＝(x －a )(x －b )的导数是( )A ．abB ．－a (x －b )C ．－b (x －a )D ．2x －a －b[答案] D[解析] 解法一：y ′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b . 解法二：∵y ＝(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab∴y ′＝(x 2)′－[(a ＋b )x ]′＋(ab )′＝2x －a －b ，故选D.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －x [答案] A[解析] y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )．故选A. 3．函数f (x )＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，则x 0是( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2[答案] B[解析] 解法一：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， ∴f ′(x 0)＝x 20－a 2x 20＝0，得：x 0＝±a .解法二：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 2x ′＝1－a 2x 2， ∴f ′(x 0)＝1－a 2x 20＝0，即x 20＝a 2，∴x 0＝±a .故选B.4．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x[答案] A[解析] ∵y ＝sin 2x ＝12－12cos2x∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12－12cos2x ′＝sin2x .故选A.5．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于() A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.故选D.6．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x[答案] C[解析] ∵函数y ＝1x ＋2x 在x ＝0处不可导，∴函数y ＝1x ＋2x 在点x ＝0处没有切线．故选C.7．(2010·江西理，5)等比数列{a n }中a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215[答案] C[解析] 令g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)……(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，f ′(x )＝g (x )＋g ′(x )x ，故f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2……a 8，＝(a 1a 8)4＝212.8．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ) A ．3B ．2C ．1D.12[答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.故选A. 9．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22.故选A. 10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )2B ．[0，π2)∪[2π3，π) C ．[2π3，π) D ．[0，π2)∪(π2，2π3] [答案] B[解析] ∵y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－ 3∴tan α≥－3，∵α∈(0，π)∴α∈[0，π2)∪[2π3，π)．故选B. 二、填空题11．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.[答案] 1ln3[解析] ∵f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln3(x －1)′＝1(x －1)ln3， ∴f ′(2)＝1ln3. 12．曲线y ＝sin3x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，0处切线的斜率为________．[答案] －3[解析] 设u ＝3x ，则y ＝sin u ，∴y ′x ＝cos u ·(3x )′＝3cos u ＝3cos3x∴所求斜率k ＝3·cos ⎝⎛⎭⎫3×π3＝3cosπ＝－3. 13．设f (x )＝a ·e x ＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，则a ＋b ＝________. [答案] 1[解析] ∵f ′(x )＝(a ·e x ＋b ln x )′＝a e x ＋b x， ∴f ′(1)＝a e ＋b ＝e ，f ′(－1)＝a e －b ＝1e， ∴a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1.14．若函数f (x )＝1－sin x x，则f ′(π)________________．π[解析] ∵f ′(x )＝(1－sin x )′·x －(1－sin x )x ′x 2＝sin x －x cos x －1x 2， ∴f ′(π)＝sinπ－πcosπ－1π2＝π－1π2. 三、解答题15．求下列函数的导数．(1)y ＝2x 2＋3x 3；(2)y ＝x 3·10x ； (3)y ＝cos x ·ln x ；(4)y ＝x 2sin x. [解析] (1)y ＝2x 2＋3x 3＝2x －2＋3x －3， y ′＝－4x －3－9x －4. (2)y ′＝(x 3)′·10x ＋x 3·(10x )′＝3x 2·10x ＋x 3·10x ·ln10.(3)y ′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (4)y ′＝(x 2)′·sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 16．设y ＝8sin 3x ，求曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，1处的切线方程．[解析] ∵y ′＝(8sin 3x )′＝8(sin 3x )′＝24sin 2x (sin x )′＝24sin 2x cos x ，∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，1处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝π6＝24sin 2π6·cos π6＝3 3. ∴适合题意的曲线的切线方程为y －1＝33⎝⎛⎭⎫x －π6，即63x －2y －3π＋2＝0. 17．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过(1,1)点，∴a ＋b ＋c ＝1①∵y ′＝2ax ＋b ，y ′|x ＝2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1②又曲线过(2，－1)点，∴4a ＋2b ＋c ＝－1③解由①②③组成的方程组，得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)2x －1； (2)f (x )＝(x 2＋9)⎝⎛⎭⎫x －3x ； (3)f (x )＝cos2x sin x ＋cos x. [解析] (1)方法一：∵f (x )＝x 2＋4x ＋4x －1， ∴f ′(x )＝(2x ＋4)(x －1)－(x 2＋4x ＋4)·1(x －1)2 ＝2x 2－2x ＋4x －4－x 2－4x －4(x －1)2＝x 2－2x －8(x －1)2. 方法二：∵f (x )＝x 2＋4x ＋4x －1＝x 2－x ＋5x －5＋9x －1＝x ＋5＋9x －1， ∴f ′(x )＝1＋⎝⎛⎭⎫9x －1′＝1＋－9(x －1)2＝x 2－2x －8(x －1)2. (2)∵f (x )＝(x 2＋9)⎝⎛⎭⎫x －3x ＝x 3－3x ＋9x －27x ＝x 3＋6x －27x， ∴f ′(x )＝(x 3)′＋(6x )′－⎝⎛⎭⎫27x ′＝3x 2＋6－－27x 2＝3x 2＋6＋27x 2. (3)∵f (x )＝cos2x sin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ， ∴f ′(x )＝－sin x －cos x .。

人教版高中数学选修22同步章节训练题及答案全册汇编

人教A版高中数学选修1-2同步训练目录1.1.1 变化率问题同步练习1.1.2 导数的概念同步练习1.1.3 导数的几何意义同步练习1.2.1 几个常用的函数的导数同步练习1.2.2 根本初等函数的导数公式及导数运算法那么1 同步练习1.2.2 根本初等函数的导数公式及导数运算法那么2 同步练习1.3.1 函数的单调性与导数同步练习1.3.2 函数的极值与导数同步练习1.3.3 函数的最值与导数同步练习1.4 生活中的优化问题举例同步练习1.5.1-2 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程同步练习1.5.3 定积分的概念同步练习1.6 微积分根本定理同步练习1.7 定积分的简单应用同步练习第一章导数及其应用综合检测第一章章末综合训练2.1.1.1 归纳推理同步练习2.1.1.2 类比推理同步练习2.1.2 演绎推理同步练习2.2.1 综合法与分析法同步练习2.2.2 反证法同步练习2.3 数学归纳法同步练习第二章推理与证明综合检测第二章章末综合训练3.1.1 数系的扩充与复数的概念同步练习3.1.2 复数的几何意义同步练习3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义同步练习3.2.2 复数代数形式的乘除运算同步练习第三章数系的扩充与复数的引入综合检测第三章章末综合训练选修2-2 综合检测选修2-2 1.1 第1课时变化率问题一、选择题1．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零[答案] D[解析] Δx 可正，可负，但不为0，故应选D.2．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为() A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D.3．函数f (x )＝－x 2＋x ，那么f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.9[答案] D[解析] f (－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2.f (－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71.∴平均变化率为f (－0.9)－f (－1)－0.9－(－1)＝－1.71－(－2)0.1＝2.9，故应选D.4．函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，那么直线AB 的斜率为() A ．2 B ．2.3C ．2.09D ．2.1[答案] B[解析] f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3，故应选B.5．函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx[答案] B[解析] ∵f (2)＝－22＋2×2＝0，∴f (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2，∴f (2＋Δx )－f (2)2＋Δx －2＝－2－Δx ，故应选B. 6．函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，那么Δy Δx等于( ) A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝[(1＋Δx )2＋1]－2Δx＝2＋Δx .故应选C. 7．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，那么从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )A ．6.3B ．36.3C ．3.3D ．9.3[答案] A[解析] S (3)＝12，S (3.3)＝13.89，∴平均速度v ＝S (3.3)－S (3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故应选A. 8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．① [答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.9．物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数s ＝s (t )，那么物体在时间间隔[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度是( )A ．v 0B.Δt s (t 0＋Δt )－s (t 0)C.s (t 0＋Δt )－s (t 0)ΔtD.s (t )t [答案] C[解析] 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C.10．曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，那么点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C[解析] 点Q 的横坐标应为1＋Δx ，所以其纵坐标为f (1＋Δx )＝14(Δx ＋1)2，故应选C. 二、填空题11．函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)Δx ＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12.12．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x的平均变化率为________． [答案] －29[解析] Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx＝－29. 13．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时的平均变化率为________． [答案] 6－2[解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2. 14．曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．[答案] 5 4.1[解析] 当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5. 当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1. 三、解答题15．函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．[解析] 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)－1－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2. 函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝2. 函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)－1－(－3)＝－2. 函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2. 16．过曲线f (x )＝2x2的图象上两点A (1,2)，B (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线AB ，求出当Δx ＝14时割线的斜率．[解析] 割线AB 的斜率k ＝(2＋Δy )－2(1＋Δx )－1＝Δy Δx＝2(1＋Δx )2－2Δx ＝－2(Δx ＋2)(1＋Δx )2＝－7225. 17．求函数y ＝x 2在x ＝1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？[解析] 在x ＝2附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx . 对任意Δx 有，k 1＜k 2＜k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．18．(2021·杭州高二检测)路灯距地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率．[解析] (1)如下图，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，那么AB AC ＝BE CD，即yy ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x . (2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14，f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72.所以f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝7214＝14. 即人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率为14.选修2-2 1.1 第2课时导数的概念一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，那么在t 0＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．81[答案] B[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt＝18＋3Δt . 当Δt →0时，Δs Δt→18，故应选B. 3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( )A ．2xB ．2C ．2＋ΔxD ．1 [答案] B[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2∴Δy Δx ＝2＋Δx 当Δx →0时，Δy Δx→2 ∴f ′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，假设它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，那么t ＝5时的瞬时速度为( )A ．37B ．38C ．39D ．40[答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt ＝40＋4Δt ，∴s ′(5)＝li m Δt →0 ΔsΔt ＝li m Δt →0 (40＋4Δt )＝40.故应选D.5．函数y ＝f (x )，那么以下说法错误的选项是( )A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( )A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)B ．f ′(x 0)＝li m Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)]C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)ΔxD ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于() A ．4a B ．2a ＋bC ．bD ．4a ＋b[答案] D[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx)＋c －4a －2b －cΔx＝4a ＋b ＋a Δx ，∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 (4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b .故应选D.8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线[答案] D [解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，那么物体的初速度为( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t[答案] B[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2Δt＝3－Δt ， ∴s ′(0)＝li m Δt →0 Δs Δt ＝3.故应选B. 10．设f (x )＝1x ，那么li m x →a f (x )－f (a )x －a等于( ) A ．－1aB.2a C ．－1a 2 D.1a 2 [答案] C[解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a ＝li m x →a 1x －1a x －a＝li m x →aa －x (x －a )·xa ＝－li m x →a 1ax ＝－1a 2. 二、填空题11．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，那么li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝________； li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝________. [答案] －11，－112[解析] li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11；li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝－12f ′(x 0)＝－112. 12．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________． [答案] 0 [解析] ∵Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1＋11 ＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1， ∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δx Δx ＋1＝0. 13．函数f (x )＝ax ＋4，假设f ′(2)＝2，那么a 等于______．[答案] 2[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4Δx＝a ， ∴f ′(1)＝li m Δx →0 Δy Δx＝a .∴a ＝2. 14．f ′(x 0)＝li m x →x 0f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，那么li m x →3 2x －3f (x )x －3的值是________．[答案] 8[解析] li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f (3)－3f (3)x －3＝lim x →3 2x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3. 由于f (3)＝2，上式可化为li m x →3 2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f (3)x －3＝2－3×(－2)＝8. 三、解答题15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．[解析] 由导数定义有f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0 Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s ＝12at 2 ∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2 ∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ， ∴li m Δt →0Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝⎛⎭⎫at 0＋12a Δt ＝at 0， a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求(1)Δy Δx(2)f ′(1)．[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx＝2＋Δx . (2)f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？假设有，求出来，假设没有，说明理由．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2 (x ≥0)－x －x 2 (x <0)Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )＝⎩⎪⎨⎪⎧Δx ＋(Δx )2 (Δx >0)－Δx －(Δx )2 (Δx <0) ∴lim x →0＋Δy Δx ＝lim Δx →0＋ (1＋Δx )＝1， lim Δx →0－ Δy Δx ＝lim Δx →0－(－1－Δx )＝－1， ∵lim Δx →0－Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，Δy Δx 无极限． ∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x 从大于0的一边无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)选修2-2 1.1 第3课时导数的几何意义一、选择题1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 切线x ＋2y －3＝0的斜率k ＝－12，即f ′(x 0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y ＝12x 2－2在点⎝⎛⎭⎫1，－32处切线的倾斜角为( ) A ．1B.π4C.54π D ．－π4 [答案] B[解析] ∵y ′＝li m Δx →0 [12(x ＋Δx )2－2]－(12x 2－2)Δx＝li m Δx →0 (x ＋12Δx )＝x ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1.∴切线的倾斜角为π4，故应选B. 3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116D.⎝⎛⎭⎫12，14 [答案] D[解析] 易求y ′＝2x ，设在点P (x 0，x 20)处切线的倾斜角为π4，那么2x 0＝1，∴x 0＝12，∴P ⎝⎛⎭⎫12，14.4．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －5 [答案] B[解析]y′＝3x2－6x，∴y′|x＝1＝－3.由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2.5．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，那么过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2[答案] B[解析]limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝limx→0f(1－2x)－f(1)－2x＝－1，即y′|x＝1＝－1，那么y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，应选B.6．设f′(x0)＝0，那么曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交[答案] B[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.7．曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，那么f(5)及f′(5)分别为() A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1[答案] B[解析]由题意易得：f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故应选B.8．曲线f(x)＝x3＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，那么P点的坐标为() A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,4)[答案] A[解析]∵f(x)＝x3＋x－2，设x P＝x0，∴Δy＝3x20·Δx＋3x0·(Δx)2＋(Δx)3＋Δx，∴ΔyΔx＝3x20＋1＋3x0(Δx)＋(Δx)2，∴f′(x0)＝3x20＋1，又k＝4，∴3x 20＋1＝4，x 20＝1.∴x 0＝±1，故P (1,0)或(－1，－4)，故应选A.9．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为α，那么α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫56π，π C.⎣⎡⎭⎫23π，πD.⎝⎛⎦⎤π2，56π [答案] A[解析] 设P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )＋23－x 3＋3x －23Δx＝3x 2－3，∴切线的斜率k ＝3x 20－3，∴tan α＝3x 20－3≥－ 3. ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫23π，π.故应选A. 10．(2021·福州高二期末)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，那么点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－12] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[12，1] [答案] A[解析] 考查导数的几何意义．∵y ′＝2x ＋2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]， ∴切线的斜率k 满足0≤k ≤1，即0≤2x ＋2≤1，∴－1≤x ≤－12. 二、填空题11．函数f (x )＝x 2＋3，那么f (x )在(2，f (2))处的切线方程为________．[答案] 4x －y －1＝0[解析] ∵f (x )＝x 2＋3，x 0＝2∴f (2)＝7，Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4·Δx ＋(Δx )2∴Δy Δx＝4＋Δx .∴li m Δx →0 Δy Δx ＝4.即f ′(2)＝4. 又切线过(2,7)点，所以f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －7＝4(x －2)即4x －y －1＝0.12．假设函数f (x )＝x －1x，那么它与x 轴交点处的切线的方程为________． [答案] y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)[解析] 由f (x )＝x －1x＝0得x ＝±1，即与x 轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)． ∵f ′(x )＝li m Δx →0 (x ＋Δx )－1x ＋Δx－x ＋1x Δx＝li m Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1x (x ＋Δx )＝1＋1x 2. ∴切线的斜率k ＝1＋11＝2. ∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)．13．曲线C 在点P (x 0，y 0)处有切线l ，那么直线l 与曲线C 的公共点有________个．[答案] 至少一[解析] 由切线的定义，直线l 与曲线在P (x 0，y 0)处相切，但也可能与曲线其他局部有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个．14．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．[答案] 3x －y －11＝0[解析] 设切点P (x 0，y 0)，那么过P (x 0，y 0)的切线斜率为，它是x 0的函数，求出其最小值．设切点为P (x 0，y 0)，过点P 的切线斜率k ＝＝3x 20＋6x 0＋6＝3(x 0＋1)2＋3.当x 0＝－1时k 有最小值3，此时P 的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x －y －11＝0.三、解答题15．求曲线y ＝1x－x 上一点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程．[解析] ∴y ′＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋Δx －1x －(x ＋Δx －x )Δx ＝lim Δx →0 －Δx x (x ＋Δx )－Δx x ＋Δx ＋x Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1x (x ＋Δx )－1x ＋Δx ＋x ＝－1x 2－12x . ∴y ′|x ＝4＝－116－14＝－516， ∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫4，－74处的切线方程为： y ＋74＝－516(x －4)．即5x ＋16y ＋8＝0.16．函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．[解析] (1)y ′＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3－3(x ＋Δx )－3x 3＋3x Δx＝3x 2－3. 那么过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率k 1＝f ′(1)＝0，∴所求直线方程为y ＝－2.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－3x 0)，那么直线l 的斜率k 2＝f ′(x 0)＝3x 20－3，∴直线l 的方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)又直线l 过点P (1，－2)，∴－2－(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴x 30－3x 0＋2＝(3x 20－3)(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12.故所求直线斜率k ＝3x 20－3＝－94，于是：y －(－2)＝－94(x －1)，即y ＝－94x ＋14. 17．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. [解析] y ′＝li m Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋Δx ＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x Δx＝li m Δx →0 x ·Δx (x ＋Δx )－Δx (x ＋Δx )·x ·Δx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )x －1(x ＋Δx )x＝x 2－1x 2＝1－1x 2＜1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 18．直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴所围成的三角形的面积．[解析] (1)y ′|x ＝1＝li m Δx →0 (1＋Δx )2＋(1＋Δx )－2－(12＋1－2)Δx＝3，所以l 1的方程为：y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，y ′|x ＝b ＝li m Δx →0 (b ＋Δx )2＋(b ＋Δx )－2－(b 2＋b －2)Δx＝2b ＋1，所以l 2的方程为：y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以3×(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以l 2的方程为：y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. 又l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.选修2-2 1.2 第1课时几个常用的函数的导数一、选择题1．以下结论不正确的选项是( )A ．假设y ＝0，那么y ′＝0B ．假设y ＝5x ，那么y ′＝5C ．假设y ＝x －1，那么y ′＝－x －2[答案] D2．假设函数f (x )＝x ，那么f ′(1)等于( )A ．0B ．－12C ．2D.12[答案] D[解析] f ′(x )＝(x )′＝12x ，所以f ′(1)＝12×1＝12，故应选D. 3．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( ) A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2， ∴f ′(2)＝li m Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx＝li m Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1＋14Δx ＝1. ∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0.4．f (x )＝x 3，那么f ′(2)＝( )A ．0B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx＝lim Δx →0 6Δx 2＋12ΔxΔx ＝lim Δx →0 (6Δx ＋12)＝12，应选D.5．f (x )＝x α，假设f ′(－1)＝－2，那么α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3[答案] A[解析] 假设α＝2，那么f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.6．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2－(1＋Δx )－1Δx＝4＋4Δx ＋(Δx )2，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[4＋4·Δx ＋(Δx )2]＝4.故应选D.7．曲线y ＝x 2在点P 处切线斜率为k ，当k ＝2时的P 点坐标为() A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)C ．(1,1) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴k ＝＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴y 0＝x 20＝1，即P (1,1)，故应选C.8．f (x )＝f ′(1)x 2，那么f ′(0)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] A [解析] ∵f (x )＝f ′(1)x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)x ，∴f ′(0)＝2f ′(1)×0＝0.故应选A.9．曲线y ＝3x 上的点P (0,0)的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．x ＝0C ．y ＝0D ．不存在[答案] B[解析] ∵y ＝3x∴Δy ＝3x ＋Δx －3x＝x ＋Δx －x(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2＝Δx(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2∴ΔyΔx ＝1(3x ＋Δx )2＋3x (x ＋Δx )＋(3x )2∴曲线在P (0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x ＝0.10．质点作直线运动的方程是s ＝4t ，那么质点在t ＝3时的速度是() A.14433 B.14334C.12334D.13443[答案] A[解析] Δs ＝4t ＋Δt －4t ＝t ＋Δt －t4t ＋Δt ＋4t＝t ＋Δt －t (4t ＋Δt ＋4t )(t ＋Δt ＋t ) ＝Δt (4t ＋Δt ＋4t )(t ＋Δt ＋t )∴li m Δt →0 Δs Δt ＝124t ·2t ＝144t 3， ∴s ′(3)＝14433 .故应选A. 二、填空题11．假设y ＝x 表示路程关于时间的函数，那么y ′＝1可以解释为________．[答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析] 由导数的物理意义可知：y ′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．12．假设曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，那么切点坐标是________．[答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以切线的斜率k ＝2x 0，又切线与y ＝4x ＋6平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y ＝15x 2上点A ⎝⎛⎭⎫2，45的切线的斜率为______________． [答案] 45[解析] ∵y ＝15x 2，∴y ′＝25x ∴k ＝25×2＝45. 14．(2021·江苏，8)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，假设a 1＝16，那么a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题15．过点P (－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程．[解析] 因为点P 不在曲线y ＝x 上，故设切点为Q (x 0，x 0)，∵y ′＝12x， ∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2，∴x 0＝2， ∴切线方程为：y －2＝122(x －2)，即：x －22y ＋2＝0. 16．质点的运动方程为s ＝1t 2，求质点在第几秒的速度为－264. [解析] ∵s ＝1t2， ∴Δs ＝1(t ＋Δt )2－1t2 ＝t 2－(t ＋Δt )2t 2(t ＋Δt )2＝－2t Δt －(Δt )2t 2(t ＋Δt )2∴li m Δt →0 Δs Δt ＝－2t t 2·t 2＝－2t 3.∴－2t 3＝－264，∴t ＝4. 即质点在第4秒的速度为－264. 17．曲线y ＝1x. (1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程；(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程． [解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2. (1)显然P (1,1)是曲线上的点．所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数．即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x 上．那么可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a2. 那么切线方程为y －1a ＝－1a2(x －a )．① 将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．解得a ＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为A ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，那么切线斜率为k ＝－1a 2＝－13，解得a ＝±3，那么A ⎝⎛⎭⎫3，33，A ′⎝⎛⎭⎪⎫－3，3－3.代入点斜式方程得y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)．整理得切线方程为y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233. 18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积． [解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴y ′＝－1x2，∴k 1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2， ∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示．∴S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.选修2-2 1.2.2 第1课时根本初等函数的导数公式及导数运算法那么一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°[答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f (x )＝13x 2－1x x ，那么f ′(1)等于( ) A ．－16B.56 C ．－76D.76 [答案] B3．假设曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，那么l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0 [答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，假设f ′(－1)＝4，那么a 的值等于( )A.193B.163C.103D.133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. ∴选B.5．物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，那么瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.应选D.6．(2021·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2 [答案] A[解析] 此题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，应选A.7．假设函数f (x )＝e x sin x ，那么此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22 B ．π2 C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，那么f 2021(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D[解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2021(x )＝f 3(x )＝－cos x .应选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，假设f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，那么f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数[答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，那么F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝12，那么a ＝________，b ＝________. [答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1a ＝0. 12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，那么不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3)[解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为______． [答案] －32[解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.14．函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，那么函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3， ∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1.三、解答题15．求以下函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x ；(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 16．两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为假设使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，那么与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x－x 21.① 对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4. 18．求满足以下条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1. [解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0) 那么f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，那么可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得 x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1 整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1 假设想对任意x 方程都成立，那么需⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.选修2-2 1.2.2 第2课时根本初等函数的导数公式及导数运算法那么一、选择题1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， ∴y ′|x ＝1＝4.2．假设对任意x ∈R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，那么f (x )＝( ) A ．x 4B ．x 4－2C ．4x 3－5D ．x 4＋2[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝4x 3.∴f (x )＝x 4＋c ，又f (1)＝－1 ∴1＋c ＝－1，∴c ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，那么数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，即f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，应选A.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，那么函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，那么f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a，顶点⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b24a 在第三象限，应选C. 5．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( ) A ．6x 5＋12x 2 B ．4＋2x 3 C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x[答案] A[解析] ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6， ∴y ′＝6x 5＋12x 2.6．(2021·江西文，4)假设函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，那么f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] 此题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，应选B.7．设函数f (x )＝(1－2x 3)10，那么f ′(1)＝( ) A ．0 B ．－1 C ．－60D ．60[答案] D[解析] ∵f ′(x )＝10(1－2x 3)9(1－2x 3)′＝10(1－2x 3)9·(－6x 2)＝－60x 2(1－2x 3)9，∴f ′(1)＝60.8．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数是( ) A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．cos2x －sin2x C ．sin2x ＋cos2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 [答案] A[解析] y ′＝(sin2x －cos2x )′＝(sin2x )′－(cos2x )′ ＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 9．(2021·高二潍坊检测)曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，那么切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12[答案] A[解析] 由f ′(x )＝x 2－3x ＝12得x ＝3.10．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，那么曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5[答案] B[解析] 由题设可知f (x ＋5)＝f (x ) ∴f ′(x ＋5)＝f ′(x )，∴f ′(5)＝f ′(0) 又f (－x )＝f (x )，∴f ′(－x )(－1)＝f ′(x ) 即f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(0)＝0 故f ′(5)＝f ′(0)＝0.故应选B. 二、填空题11．假设f (x )＝x ，φ(x )＝1＋sin2x ，那么f [φ(x )]＝_______，φ[f (x )]＝________.[答案]2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，1＋sin2x [解析] f [φ(x )]＝1＋sin2x ＝(sin x ＋cos x )2＝|sin x ＋cos x |＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. φ[f (x )]＝1＋sin2x .12．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，假设f (x )＋f ′(x )是奇函数，那么φ＝________. [答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 假设f (x )＋f ′(x )为奇函数，那么f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6.13．函数y ＝(1＋2x 2)8的导数为________． [答案] 32x (1＋2x 2)7[解析] 令u ＝1＋2x 2，那么y ＝u 8， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x (1＋2x 2)7.14．函数y ＝x 1＋x 2的导数为________． [答案] (1＋2x 2)1＋x 21＋x 2[解析] y ′＝(x1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝(1＋2x 2)1＋x 21＋x2.三、解答题15．求以下函数的导数：(1)y ＝x sin 2x ； (2)y ＝ln(x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x ＋1e x －1； (4)y ＝x ＋cos x x ＋sin x .[解析] (1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin2x . (2)y ′＝1x ＋1＋x 2·(x ＋1＋x 2)′＝1x ＋1＋x 2(1＋x1＋x 2)＝11＋x 2.(3)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2 .(4)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′(x ＋sin x )2＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )(x ＋sin x )2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1(x ＋sin x )2.16．求以下函数的导数：(1)y ＝cos 2(x 2－x )； (2)y ＝cos x ·sin3x ； (3)y ＝x log a (x 2＋x －1)； (4)y ＝log 2x －1x ＋1.[解析] (1)y ′＝[cos 2(x 2－x )]′ ＝2cos(x 2－x )[cos(x 2－x )]′ ＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](x 2－x )′ ＝2cos(x 2－x )[－sin(x 2－x )](2x －1) ＝(1－2x )sin2(x 2－x )．(2)y ′＝(cos x ·sin3x )′＝(cos x )′sin3x ＋cos x (sin3x )′ ＝－sin x sin3x ＋3cos x cos3x ＝3cos x cos3x －sin x sin3x .(3)y ′＝log a (x 2＋x －1)＋x ·1x 2＋x －1log a e(x 2＋x －1)′＝log a (x 2＋x －1)＋2x 2＋x x 2＋x －1log a e.(4)y ′＝x ＋1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′log 2e ＝x ＋1x －1log 2e x ＋1－x ＋1(x ＋1)2 ＝2log 2e x 2－1. 17．设f (x )＝2sin x 1＋x 2，如果f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )，求g (x )． [解析] ∵f ′(x )＝2cos x (1＋x 2)－2sin x ·2x (1＋x 2)2＝2(1＋x 2)2[(1＋x 2)cos x －2x ·sin x ]，又f ′(x )＝2(1＋x 2)2·g (x )． ∴g (x )＝(1＋x 2)cos x －2x sin x .18．求以下函数的导数：(其中f (x )是可导函数)(1)y ＝f ⎝⎛⎭⎫1x ；(2)y ＝f (x 2＋1)．[解析] (1)解法1：设y ＝f (u )，u ＝1x ，那么y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝f ′(u )·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x 2f ′⎝⎛⎭⎫1x . 解法2：y ′＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1x ′＝f ′⎝⎛⎭⎫1x ·⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2f ′⎝⎛⎭⎫1x . (2)解法1：设y ＝f (u )，u ＝v ，v ＝x 2＋1，选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，那么f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac>0B．b>0，c>0C．b＝0，c>0 D．b2－3ac<0[答案] D[解析]∵a>0，f(x)为增函数，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(2021·广东文，8)函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)[答案] D[解析]考查导数的简单应用．f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝(x－2)e x，令f′(x)>0，解得x>2，应选D.3．函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，那么该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋∞) B．(－∞，2]C．(－∞，－1)和(1,2) D．[2，＋∞)[答案] B[解析]令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－∞，2]．4．函数y＝xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()。

高二数(人教B)选修2-2同步练习2-1-1 Word含答案

选修2-2 2.1.1一、选择题1．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式是()A．n2－1 B．(n－1)2＋1C．2n－1 D．2n－1＋1[答案] C[解析]a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想a n＝2n－1，故选C.2．(2010·山东卷文，10)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)[答案] D[解析]本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．3．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，则第n－1个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2[答案] C[解析]第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于()1＋9×2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113[答案] B5．类比三角形中的性质：(1)两边之和大于第三边；(2)中位线长等于底边的一半；(3)三内角平分线交于一点．可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的1 4；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理方法正确的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不对[答案] C[解析]以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．故选C.6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色()A．白色B．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大 [答案] A[解析] 由图知：三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．7．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( ) A ．2cos θ2n B ．2cos θ2n －1C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2n[答案] B[解析] ∵a 1＝2cos θ，a 2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ2＝2cos θ2，a 3＝2＋2a 2＝21＋cos θ22＝2cos θ4……，猜想a n ＝2cos θ2n －1.故选B.8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A ．①B ．①②C ．①②③D ．③[答案] C[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.9．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n －1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2个，∴第六个三角形数为7×(7＋1)2＝28.故选B.10．已知f (x )是R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若f (1)＝2，则f (2005)等于( )A ．2005B ．2C ．1D ．0[答案] B[解析] f (3)＝f (－3)＋f (3)＝2f (3)，所以f (3)＝0.所以f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)＝f (x )，即f (x )的最小正周期为6.所以f (2005)＝f (1＋334×6)＝f (1)＝2.故选B. 二、填空题11．在平面上，若两个正三角形的边长比为，则它们的面积比为类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为，则它们的体积比为________．[答案][解析] V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.12．观察下列等式：C 15＋C 55＝23－2， C 19＋C 59＋C 99＝27＋23， C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25， C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝________.[答案] 24n －1＋(－1)n 22n －1[解析] 由归纳推理，观察等式右边23－2,27＋23,211－25,215＋27，…，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，…成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n －1；第二项的指数1,3,5,7，…，通项为2n －1.故得结论24n －1＋(－1)n 22n －1.13．将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是________． [答案] n 2－n ＋62[解析] 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n2个，因此第n 行从左到右的第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 14．(2010·湖南理，15)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m 个数为(a n )*，则得到一个新数列{(a n )*}．例如，若数列{a n }是1,2,3，…，n ，…，则数列{(a n )*}是0,1,2，…，n －1，….已知对任意的n ∈N *，a n ＝n 2，则(a 5)*＝________，((a n )*)*＝________.[答案] 2 n 2[解析] 因为a m <5，而a n ＝n 2，所以m ＝1,2，所以(a 5)*＝2. 因为(a 1)*＝0，(a 2)*＝1，(a 3)*＝1，(a 4)*＝1， (a 5)*＝2，(a 6)*＝2，(a 7)*＝2，(a 8)*＝2，(a 9)*＝2，(a 10)*＝3，(a 11)*＝3，(a 12)*＝3，(a 13)*＝3，(a 14)*＝3，(a 15)*＝3，(a 16)*＝3. 所以((a 1)*)*＝1，((a 2)*)*＝4，((a 3)*)*＝9，((a 4)*)*＝16. 猜想((a n )*)*＝n 2. 三、解答题15．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *)．∴在n 边形A 1A 2…A n 中：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N *)．16．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，n ∈N ＋，猜想数列的通项公式并证明．[解析] {a n }中a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)．17．如图，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF cos ∠DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．[解析] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1， ∴BB 1⊥平面PMN . ∴BB 1⊥MN .又CC 1∥BB 1， ∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1cos α.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角．∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP⇒PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.18．若a 1、a 2∈R ＋，则有不等式a 21＋a 222≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 222成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．[解析] 本题可以从a 1，a 2的个数以及指数上进行推广．第一类型：a 21＋a 22＋a 233≥(a 1＋a 2＋a 33)2，a 21＋a 22＋a 23＋a 244≥(a 1＋a 2＋a 3＋a 44)2，…， a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)2；第二类型：a 31＋a 322≥(a 1＋a 22)3， a 41＋a 422≥(a 1＋a 22)4， …，a n 1＋a n 22≥(a 1＋a 22)n ；第三类型：a 31＋a 32＋a 333≥(a 1＋a 2＋a 33)3，…， a m 1＋a m 2＋…＋a m nn ≥(a 1＋a 2＋…＋a n n)m .上述a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，m 、n ∈N *.。

()新课程人教版高中数学选修22课后习题解答(全)

第一章导数及其应用3．1变化率与导数练习〔P6〕在第3h和5h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3h附近，原油温度大约以1℃／h的速度下降；在第5h时，原油温度大约以3℃／h的速率上升.练习〔P8〕函数h(t)在t t3附近单调递增，在t t4附近单调递增.并且，函数h(t)在t4附近比在t3附近增加得慢.说明：体会“以直代曲〞的思想.练习〔P9〕函数r(V)33V(0V5)的图象为4根据图象，估算出r(0.6)，r(1.2).说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题A组〔P10〕1、在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，然而W1(t0)W1(t0t)W2(t0)W2(t0t).t t所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.h h(1t)h(1)t，所以，h(1).2、tt这说明运发动在t1s附近以m／s的速度下降.3、物体在第5s的瞬时速度就是函数s(t)在t5时的导数.s s(5t)s(5)t10，所以，s(5)10.t t因此，物体在由题意可知，当t时， 2.所以k25，于是25t2. 88新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答〔第1页共25页〕车轮转动开始后第s 时的瞬时角速度就是函数 (t)在t 时的导数.t) (3.2)25(3.2) 20.ttt20，所以8因此，车轮在开始转动后第s 时的瞬时角速度为20s 1.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的稳固.5、由图可知，函数f(x)在x 5处切线的斜率大于零，所以函数在x 5附近单调递增.同理可得，函数f(x)在x 4， 2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲〞思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f(x)的图象如图〔1〕所示；第二个函数的导数f(x)恒大于零，并且随着x 的增加，f (x)的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，f(x)小于零，当x 大于零时，f(x)大于零，并且随着x 的增加，f (x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：此题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 . 习题3.1 B 组〔P11〕1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 .2、说明：由给出的 v(t)的信息获得s(t)的相关信息，并据此画出 s(t)的图象的大致形状 .这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换 . 3、由〔1〕的题意可知，函数 f(x)的图象在点(1,5)处的切线斜率为 1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象 .同理可得〔2〕〔3〕某点处函数图象的大致形状 .下面是一种参考答案 .新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第2页共25页〕说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.此题的答案不唯一.1．2导数的计算练习〔P18〕1、f(x)2x7，所以，f(2)3，f(6) 5.2、〔1〕y1；〔2〕y2e x；xln2〔3〕y10x46x；〔4〕y3sinx4cosx；〔5〕y1sin x；〔6〕y211.33x习题A组〔P18〕S S(r r)S(r)r r，所以，S(r)lim(2r r)2r.1、2r r r02、h(t).3、r(V)1332. 34V4、〔1〕y3x21；〔2〕y nx n1e x x n e x；xln2〔3〕y3x2sinx x3cosx cosx；〔4〕y99(x1)98；sin2x〔5〕y2e x；〔6〕y2sin(2x5)4xcos(2x5).5、f(x)822x.由f(x0)4有4822x0，解得x032.6、〔1〕y lnx1；〔2〕yx1.7、y x1.8、〔1〕氨气的散发速度A(t)500ln t.〔2〕A(7)，它表示氨气在第7天左右时，以克／天的速率减少.新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答习题1.2 B组〔P19〕1、〔1〕〔2〕当h越来越小时，y sin(xh)sinx就越来越逼近函数ycosx. h〔3〕y sinx的导数为y cosx.2、当y0时，x0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).yx，所以y x0. e1所以，曲线在点P处的切线的方程为y x.2、d(t)4sint.所以，上午6:00时潮水的速度为m／h；上午9:00时潮水的速度为m／h；中午12:00时潮水的速度为m／h；下午6:00时潮水的速度为m／h. 1．3导数在研究函数中的应用练习〔P26〕1、〔1〕因为f(x)x22x4，所以f(x)2x 2.当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)x22x4单调递减.〔2〕因为f(x)e x x，所以f(x)e x 1.当f(x)0，即x0时，函数f(x)e x x单调递增；当f(x)0，即x0时，函数f(x)e x x单调递减.〔3〕因为f(x)3x x3，所以f(x)33x2.当f(x)0，即1x1时，函数f(x)3x x3单调递增；当f(x)0，即x1或x1时，函数f(x)3x x3单调递减.〔4〕因为f(x)x3x2x，所以f(x)3x22x 1.当f(x)0，即x 1或x1时，函数f(x)x3x2x单调递增；3新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答当f(x)0，即1 x1时，函数f(x) x 3 x2 x 单调递减.32、注：图象形状不唯一.3、因为f(x) ax 2bx c(a0)，所以f(x)2axb.〔1〕当a0时，f(x)0，即xb 时，函数f(x)ax 2 bx c(a 0)单调递增；2af(x) 0，即xb时，函数f(x)ax 2 bx c(a0)单调递减.〔2〕当a0时，2af(x)0，即xb 时，函数f(x)ax 2 bx c(a0)单调递增；2af(x)0，即xb时，函数f(x)ax 2 bx c(a 0)单调递减.2a4、证明：因为f(x)2x 3 6x 2 7，所以f (x) 6x 2 12x.当x(0,2)时，f(x) 6x 2 12x 0，因此函数f(x)2x 36x 2 7在(0,2)内是减函数.练习〔P29〕1、x 2,x 4是函数y f(x)的极值点，其中xx 2是函数yf(x)的极大值点，xx 4是函数y f(x)的极小值点.2、〔1〕因为f(x) 6x 2x2，所以f(x)12x 1.令f(x)12x10，得x1.12当x1时，f (x)0，f(x)单调递增；当x1 时，f(x)0，f(x)单调递减.12 112 11)2149. 所以，当x时，f(x)有极小值，并且极小值为f( )6 ( 212 12121224〔2〕因为f(x)x 3 27x ，所以f (x)3x 227.令f(x)3x 2270，得x3.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x3或x3时；②当f (x) 0，即3x3时.当x 变化时，f (x)，f(x)变化情况如下表：x(,3)3(3,3)3(3,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增54单调递减54单调递增因此，当x3时，f(x)有极大值，并且极大值为54；当x3时，f(x)有极小值，并且极小值为54.〔3〕因为f(x)612xx3，所以f(x)123x2.令f(x)123x20，得x2.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即2x2时；②当f(x)0，即x2或x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减10单调递增22单调递减因此，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为22〔4〕因为f(x)3x x3，所以f(x)33x2.令f(x)33x20，得x1.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即1x1时；②当f(x)0，即x1或x1时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减2单调递增2单调递减因此，当x1时，f(x)有极小值，并且极小值为2；当x1时，f(x)有极大值，并且极大值为2练习〔P31〕〔1〕在[0,2]上，当x 1时，f(x)6x2x2有极小值，并且极小值为f(1)49. 121224又由于f(0)2，f(2)20.因此，函数f(x)6x2x2在[0,2]上的最大值是20、最小值是49.24〔2〕在[4,4]上，当x3时，f(x)x327x有极大值，并且极大值为f(3)54；当x3时，f(x)x327x有极小值，并且极小值为f(3)54；又由于f(4)44，f(4)44.因此，函数f(x)x327x在[4,4]上的最大值是54、最小值是54.〔3〕在[1,3]上，当x2时，f(x)612x x3有极大值，并且极大值为f(2)22.31)55又由于f(，f(3)15.327因此，函数f(x)612x x3在[1,3]上的最大值是22、最小值是55. 327〔4〕在[2,3]上，函数f(x)3x x3无极值.因为f(2)2，f(3)18.因此，函数f(x)3x x3在[2,3]上的最大值是2、最小值是18.习题A组〔P31〕1、〔1〕因为f(x)2x1，所以f(x)20.因此，函数f(x)2x1是单调递减函数.〔2〕因为f(x)xcosx，x(0,2)，所以f(x)1sinx0，x(0,).2因此，函数f(x)x cosx在(0,)上是单调递增函数.2〔3〕因为f(x)2x4，所以f(x)20.因此，函数f(x)2x4是单调递减函数.〔4〕因为f(x)2x34x，所以f(x)6x240.因此，函数f(x)2x34x是单调递增函数.2、〔1〕因为f(x)x 2 2x4，所以f(x)2x 2.当f(x) 0，即x 1时，函数f(x) x 2 2x4单调递增.当f(x)0 ，即x1 时，函数f(x) x2 2x 4 单调递减.〔2〕因为f(x)2x 2 3x 3，所以f(x) 4x 3.当f(x)0 ，即x3时，函数f(x)2x 2 3x 3 单调递增.4当f(x)0 ，即x3时，函数f(x)2x 2 3x 3 单调递减.4〔3〕因为f(x)3x x 3，所以f(x)33x 2 0.因此，函数 f(x)3x x 3是单调递增函数.〔4〕因为f(x)x 3 x 2 x ，所以f(x) 3x 2 2x 1.当f(x)0，即x 1或x 1时，函数f(x) x 3 x 2 x 单调递增.3 当f(x)0 ，即 1 x1时，函数f(x)x 3 x 2x 单调递减.33、〔1〕图略.〔2〕加速度等于0.4、〔1〕在x x 2处，导函数yf (x)有极大值；〔2〕在xx 1和x x 4处，导函数yf(x)有极小值；3〕在xx 3处，函数yf(x)有极大值；4〕在xx 5处，函数yf(x)有极小值.5、〔1〕因为f(x) 6x 2 x 2 ，所以f(x)12x1.令f(x)12x10，得x1.1时，f12当x (x) 0 ，f(x)单调递增；12当x 1时，f (x) 0 ，f(x)单调递减.12所以，x1 时，f(x)有极小值，并且极小值为f( 1)6(1)2 1 2 49.121212 1224〔2〕因为f(x) x 312x ，所以f(x)3x 212.令f(x)3x 2 12 0，得x2.下面分两种情况讨论：新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递减16单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为16；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为16.〔3〕因为f(x)612xx3，所以f(x)123x2.令f(x)123x20，得x2.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)＋0－0＋f(x)单调递增22单调递减10单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为22；当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10.〔4〕因为f(x)48x x3，所以f(x)483x2.令f(x)483x20，得x4.下面分两种情况讨论：①当f(x)0，即x2或x2时；②当f(x)0，即2x2时.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x(,4)4(4,4)4(4,)f(x)－0＋0－f(x)单调递减 128 单调递增 128 单调递减因此，当x4时，f(x)有极小值，并且极小值为 128；当x4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.6、〔1〕在[1,1] 上，当x1 时，函数f(x)6x2 x2 有极小值，并且极小值为 47.1224由于f( 1) 7 ，f(1)9，所以，函数f(x)6x2x 2在[ 1,1]上的最大值和最小值分别为9，47.24〔2〕在[3,3] 上，当x2时，函数f(x)x 312x 有极大值，并且极大值为16；当x2时，函数f(x) x 3 12x 有极小值，并且极小值为16.由于f(3) 9 ，f(3)9 ，所以，函数f(x)x 3 12x 在[ 3,3]上的最大值和最小值分别为16，16 .〔3〕在[1,1]上，函数f(x)612xx 3在[1,1]上无极值.31)269，f(1)3由于f(5，3 27所以，函数f(x)612xx 3在[1,1]上的最大值和最小值分别为269，5.327〔4〕当x4时，f(x)有极大值，并且极大值为128..由于f( 3) 117，f(5) 115，所以，函数f(x)48xx 3在[ 3,5] 上的最大值和最小值分别为128，117.习题B 组〔P32〕1、〔1〕证明：设f(x) sinx x ，x(0, ).因为f (x) cosx 1 0，x (0,)所以f(x) sinx x 在(0, )内单调递减因此f(x)sinx xf(0)0 ，x(0,)，即sinxx ，x(0,). 图略〔2〕证明：设f(x) x x 2，x (0,1) .因为f (x) 1 2x ，x (0,1)新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第10页共25页〕所以，当x(0, 1 )时，f (x) 1 2x 0 ，f(x)单调递增，2f(x)x x 2 f(0)0；当x (1,1)时，f (x) 1 2x 0，f(x)单调递减，2f(x) x x 2 f(1)0 ；又f(1)1 0.因此，x x 2 0 ，x(0,1).图略24〔3〕证明：设f(x)e x 1 x ，x0.因为f(x) e x 1，x所以，当x0时，f(x)e x 1 0，f(x)单调递增，f(x)e x 1 xf(0)0；当x 0 时，f(x)e x 1 0，f(x)单调递减，f(x)e x 1 xf(0) 0；综上，e x1 x ，x0.图略〔4〕证明：设f(x)lnx x ，x 0 .因为f(x)1 1，xx所以，当0x 1时，f (x)1 10，f(x)单调递增，xf(x) lnx x f(1)1 0；当x 1 时，f(x)1 1 0，f(x)单调递减，xf(x) lnx x f(1) 1 0；当x 1 时，显然ln1 1 . 因此，lnxx .由〔3〕可知， e x x 1 x ，x0..综上，lnxx e x ，x图略2、〔1〕函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 的图象大致是个“双峰〞图象，类似“〞或“〞的形状. 假设有极值，那么在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.〔2〕因为f(x)ax 3bx 2 cx d ，所以f (x) 3ax 22bxc.新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第11页共25页〕下面分类讨论：当a0时，分a 0 和a 0两种情形：①当a 0，且b 23ac 0 时，设方程f(x) 3ax 2 2bx c0的两根分别为x 1,x 2，且x 1x 2，当f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即x x 1或x x 2时，函数f(x) ax 3 bx 2cx d 单调递增；当f (x)3ax 2 2bx c 0，即x 1 xx 2时，函数f(x) ax 3 bx 2 cx d 单调递减.当a 0，且b 2 3ac 0 时，此时 f(x)3ax 22b xc 0，函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 单调递增.②当a 0，且b 2 3ac 0时，设方程f(x) 3ax 2 2bx c0的两根分别为x 1,x 2，且x 1x 2，当f (x) 3ax 2 2bx c 0 ，即x 1 xx 2时，函数f(x) ax 3 bx 2 cx d 单调递增；当f (x)3ax 2 2bx c 0 ，即x x 1或x x 2时，函数f(x)ax 3bx 2 cx d 单调递减.当a 0，且b 2 3ac 0 时，此时f(x)3ax 22bxc 0，函数f(x)ax 3 bx 2 cx d 单调递减1．4生活中的优化问题举例习题 A 组〔P37〕1、设两段铁丝的长度分别为 x ，lx ，那么这两个正方形的边长分别为x ，l 4 x，两个正方4形的面积和为 Sf(x)(x )2(lx )21 (2x 22lxl 2)，0xl .4416令f(x) 0，即4x2l0，x l .当x(0,l)时，f2(l,l)时，f(x)(x) 0；当x 0.22因此，xl是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是l 时，两个正方形的面积和最小.22、如下列图，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a2x ，高为x.x〔1〕无盖方盒的容积V(x)(a2x)2x ，0x a .2 〔2〕因为V(x)4x 34ax 2 a 2x ，新课程标准数学选修2—2 第一章课后习题解答〔第12页共25 页〕a〔第2题〕所以V(x) 12x 2 8ax a 2.令V(x) 0，得x a 〔舍去〕，或x a . 26当x (0,a)时，V(x)0；当x(a ,a)时，V(x) 0.6 62因此，xa是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.6a时，无盖方盒的容积最大.所以，当x6h ，底半径为R ，3、如图，设圆柱的高为那么外表积S2 Rh 2 R 2R由VR 2h ，得hV 2.R因此，S(R)2RV 2 R 2 2V 2 R 2，R 0 . hR 2 R2VR 0，解得 RV .令S(R)43R2当R(0,3V)时，S(R)0；2当R(3V,)时，S(R)0.〔第3题〕2因此，R3V是函数S(R) 的极小值点，也是最小值点 .此时，hV 23 V2R.2R 22所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于f(x)1 n2，所以f(x)2 n (x a i ).(x a i ) n in i11令f(x)0，得x 1 n a i ，n i1可以得到，x1na i 是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.n i 1这个结果说明，用n 个数据的平均值1na i 表示这个物体的长度是合理的，n i1这就是最小二乘法的根本原理.5、设矩形的底宽为xm ，那么半圆的半径为xm ，半圆的面积为x 2 m 2 ，28新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第13页共25页〕矩形的面积为ax 2m 2，矩形的另一边长为(ax)m8x8因此铁丝的长为l(x)x x 2a x (1 )x 2a ，0 x8a2x 4 4x令l(x)142a 0，得x8a 〔负值舍去〕.x 24当x(0,8a )时，l(x) 0；当x( 8a ,8a)时，l(x)0.44因此， x8a 是函数l(x)的极小值点，也是最小值点.4所以，当底宽为 8a m 时，所用材料最省.46、利润L 等于收入R 减去本钱C ，而收入R 等于产量乘单价.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入Rq p q(251q) 25q 1q 2，8 8利润LR C (25q 1q 2) (1004q) 1q 2 21q100，0 q 200.18 8求导得L q 2141令L 0，即 q210，q84. 4当q(0,84)时，L0；当q (84,200)时，L 0；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84 时，利润L 最大,习题 B 组〔P37〕1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润L(x)(50x180)(x20)1 x 270x1360，180x680.1010令L(x)1x 70 0，解得x 350.5当x (180,350) 时，L(x) 0；当x(350,680) 时，L(x)0.因此，x350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.2、设销售价为 x 元／件时，新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第14页共25页〕利润L(x) (x令L(x)8cb当x(a,4a8 4a5bb x a)(c cb4ac 5bc xb 5b)时，L(x)4)c(xa)(5 4 x)，ax 5b .b4 0，解得x4a 5b .80；当x (4a 5b ,5b)时，L(x)0. 8 4当x8是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为4a5b元／件时，可获得最大利润.81．5定积分的概念练习〔P42〕8.3.说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲〞和“逼近〞的思想练习〔P45〕1、s i s iv(i) t[ (i )2 2]1(i )212，i1,2,L,n.nn n nnnnnnv(i)t 于是ss is ii 1i 1i 1nn(i )212][i1n n n(1)21 L(n1)21(n )212n nnn nn122n 3 [1 2 L n ] 21 n(n 1)(2n1) 2n 361 112(1 )(1)3n2n取极值，得ns limni1[1v(i)]n[1(11)(11)2] 5limnnni13n2n 3说明：进一步体会“以不变代变〞和“逼近〞的思想.2、22km.3 说明：进一步体会“以不变代变〞和“逼近〞的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习〔P48〕2说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.x 3dx4.从几何上看，表示由曲线yx 3与直线x 0，x2，y0所围成的曲边梯形的面积S4.新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第15页共25页〕习题A组〔P50〕1、〔1〕(x1)dx100i1)1]1；21i11001002500i1)1〔2〕1)dx[(11](x；1i150050021000i 1)1]1〔3〕(x1)dx[(1.1i110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的缺乏近似值为：18112171310140〔m〕；距离的过剩近似值为：271181121713167〔m〕.3、证明：令f(x) 1.用分点a x0x1L x i1x i L xn b将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i1,x i]上任取一点i(i1,2,L,n)n n作和式f(i)xi 1i 1b ab a，nbn从而1dx lima ni1banb a，说明：进一步熟悉定积分的概念.12表示由直线x0，x1y0y1x2、根据定积分的几何意义，1xdx，以及曲线401x2dx.所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1041.5、〔1〕x3dx14由于在区间[1,0]上x300，x1，y0和曲线，所以定积分x3dx表示由直线x1x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.〔2〕根据定积分的性质，得13dx01110. xx3dx x3dx11044由于在区间[1,0]上x30，在区间[0,1]上x30，所以定积分1x3dx等于位于x轴上方的1曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.〔3〕根据定积分的性质，得23dx021415 x x3dx x3dx11044由于在区间[1,0]上x30，在区间[0,2]上x30，所以定积分2x3dx等于位于x轴上方的1曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.说明：在〔3〕中，由于x3在区间[1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答〔第16页共25页〕用定把区[1,2]分成n 等份来求个定分，那么和式中既有正又有，而且无法抵一些，求和会非常麻.利用性3可以将定分223dx ，，x3x 3dx 化x 3dxx1 1在区[1,0]和区[0,2]上的符号都是不的，再利用定分的定，容易求出x 3dx ，12 2x 3dx ，而得到定分x 3dx 的.由此可，利用定分的性可以化运算.1在〔2〕〔3〕中，被函数在分区上的函数有正有，通一步体会定分的几何意.1.5 B 〔P50〕1、物体在t 0到t 6〔位：s 〕之走的路程大 145m.明：根据定分的几何意，通估算曲梯形内包含位正方形的个数来估物体走的路程.2、〔1〕v.8i 11 8 9〔m 〕；〔2〕剩近似：222i 148i 1 1187 〔m 〕缺乏近似：i 12 2424；4〔m 〕.〔3〕 0 03、〔1〕分割在区[0,l]上等隔地插入n1个分点，将它分成n 个小区：[0, l ]，[l, 2l ]，⋯⋯，[(n2)l ,l]，nn nn第i 个区[(i1)l ,il]〔i 1,2,L n 〕，其度n nil (i 1)l l .xn nn把棒在小段[0,l ]，[l, 2l ]，⋯⋯，[(n2)l ,l]上量分作：n n nnm 1, m 2,L,m n ，n棒的量mi1m i .〔2〕近似代替当n 很大，即x 很小，在小区[(i1)l ,il]上，可以密度(x)x 2的n n[(i1)l ,il化很小，近似地等于一个常数，不妨它近似地等于任意一点i]的函数n n (i )i2.于是，棒在小段[(i1)l ,il]上量m i(i )xi 2 l〔i 1,2,Ln 〕.n nn新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第17页共25页〕()新课程人教版高中数学选修22课后习题解答(全)21 / 2121〔3〕求和nn n2l . 得细棒的质量 mm i(i )xii1i1i1n〔4〕取极限nl，所以ml细棒的质量mlimi 2x 2dx..nni1新课程标准数学选修 2—2第一章课后习题解答〔第18页共25页〕。

高中数学 2-2-2同步练习新人教B版选修2-2

选修2-2 2.2.2一、选择题1．实数a，b，c不全为0的含义是( )A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0[答案] D[解析] “不全为0”即“至少有一个不为0”．2．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )A．a<b B．a≤bC．a＝b D．a≥b[答案] B3．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )A．无解B．两解C．至少两解D．无解或至少两解[答案] D4．“M不是N的子集”的充分必要条件是( )A．若x∈M则x∉NB．若x∈N则x∈MC．存在x1∈M⇒x1∈N，又存在x2∈M⇒x2∉ND．存在x0∈M⇒x0∉N[答案] D[解析] 按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M但x0∉N.选D.5．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 首先若P 、Q 、R 同时大于零，则必有PQR >0成立．其次，若PQR >0，且P 、Q 、R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P <0，Q <0，即a ＋b －c <0，b ＋c －a <0，∴b <0与b ∈R ＋矛盾，故P 、Q 、R 都大于0.故选C.6．下列命题错误的是( )A ．三角形中至少有一个内角不小于60°B ．四面体的三组对棱都是异面直线C ．闭区间[a ，b ]上的单调函数f (x )至多有一个零点D ．设a ，b ∈Z ，若a ＋b 是奇数，则a 、b 中至少有一个为奇数[答案] D7．0<a ≤15是函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A8．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中或都是奇数或至少有两个偶数[答案] D[解析] 当“a ，b ，c 恰有一个偶数”否定后，则或者a ，b ，c 都是奇数，或者a ，b ，c 中有两个或三个偶数．故选D.9．已知x >0，y >0，x ＋y ≤4，则有( )A.1x ＋y ≤14B.1x ＋1y≥1 C.xy ≥2D.1xy ≥1[答案] B [解析] 由x >0，y >0，x ＋y ≤4得1x ＋y ≥14，A 错；x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，C 错；xy ≤4，∴1xy ≥14，D 错．10．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为：a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个[答案] A[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n ∈N *，使得a n ＝b n ，但若a >b ，n ∈N *，恒有a ·n >b ·n ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立．∴不存在n ∈N *，使得a n ＝b n .故应选A.二、填空题11．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于________．[答案] 13[解析] 假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1. 故a 、b 、c 中至少有一个数不小于13. 12．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．[答案] 存在一个三角形，其外角至多有一个钝角13．用反证法证明命题“如果AB ∥CD ，AB ∥EF ，那么CD ∥EF ”，证明的第一个步骤是________．[答案] 假设CD 与EF 不平行14．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________．[答案] 假设a 、b 都不能被5整除三、解答题15．设a ，b ，c 均为奇数，求证：方程ax 2＋bx ＋c ＝0无整数根．[证明] 假设方程有整数根x ＝x 0，x 0∈Z ，则ax 20＋bx 0＋c ＝0，c ＝－(ax 20＋bx 0)． ①若x 0为偶数，则ax 20与bx 0均为偶数，所以ax 20＋bx 0为偶数，从而c 为偶数，与题设矛盾．②若x 0为奇数，则ax 20、bx 0均为奇数，所以ax 20＋bx 0为偶数，从而c 为偶数，与题设矛盾．综上所述，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有整数根．16．求证：当x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc ≠0.[证明] 假设bc ＝0.(1)若b ＝0，c ＝0，方程变为x 2＝0；则x 1＝x 2＝0是方程x 2＋bx ＋c 2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．(2)若b ＝0，c ≠0，方程变为x 2＋c 2＝0；但c ≠0，此时方程无解，与x 2＋bx ＋c 2＝0有两个不相等的非零实数根矛盾．(3)若b ≠0，c ＝0，方程变为x 2＋bx ＝0，方程的根为x 1＝0，x 2＝－b ，这与方程有两个非零实根矛盾．综上所述，可知bc ≠0.17．已知f (x )＝x 2＋px ＋q .(1)求证：f (1)－2f (2)＋f (3)＝2；(2)求证：|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12. [证明] (1)f (1)－2f (2)＋f (3)＝1＋p ＋q －2(4＋2p ＋q )＋9＋3p ＋q ＝2.(2)假设|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于12，则有 |f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12. ∴|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.又|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|>f (1)－2f (2)＋f (3)＝2，这与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2矛盾．∴假设不成立，从而原命题成立．∴|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于12.18.已知：非零实数a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a 、1b 、1c不可能成等差数列． [解析] 假设1a ，1b ，1c 成等差数列．则2b ＝1a ＋1c. ∴2ac ＝bc ＋ab ①又a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ②∴把②代入①得2ac ＝b (a ＋c )＝b ·2b∴b 2＝ac .③由②平方4b 2＝(a ＋c )2.把③代入4ac ＝(a ＋c )2，∴(a －c )2＝0.∴a ＝c .代入②得b ＝a ，∴a ＝b ＝c .∴公差为0，这与已知矛盾．∴1a ，1b ，1c不可能成等差数列．。

2019-2020年高中数学人教B版选修2-2同步训练：1.1 导数 Word版含答案

姓名，年级：时间：1.1 导数1、已知点1122(,),(,)A x y B x y 在函数()y f x =的图象上,若函数()f x 从1x 到2x则下面叙述正确的是（ )A 。

曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为6πB 。

曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC 。

曲线()y f x =的割线AB的斜率为D.曲线()y f x =的割线AB的斜率为 2、函数2()y f x x ==在区间[]00,x x x +∆上的平均变化率为1k ,在区间[]00,x x x -∆上的平均变化率为2k ,则1k 与2k 的大小关系为( ） A 。

12k k >B.12k k <C.12k k =D.不能确定3、已知物体做自由落体运动的位移方程为21()2s t gt =，其中29.8m /s ,g s =的单位为m,t 的单位为s,若(1)(1)s t s v t+∆-=∆，当t ∆趋于0时,v 趋近于9.8m /s ,则9.8m /s 是( )A.物体从0s 到1s 这段时间的平均速度 B 。

物体从1s 到(1)s t +∆这段时间的平均速度 C 。

物体在1s t =这一时刻的瞬时速度 D 。

物体在s t t =∆这一时刻的瞬时速度4、若函数2()f x x =,则函数()f x 从1x =-到2x =的平均变化率为( ) A 。

1B.2C 。

3D.-15、已知函数()2ln 8f x x x =+,则0(12)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆的值为( )A 。

—20 B.—10 C.10D.206、若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，则000()()lim h f x h f x h h→+--的值为( )A 。

0'()f xB 。

02'()f xC.02'()f x -D.07、若'()2f x =-,则0001()()2lim k f x k f x k→--等于( ）A ．－2B ．－1C ．1D ．28、若函数()y f x =在(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈，若0'()4f x =,则00()(2)lim x f x f x h h→∞--=( ）A.2B.4C 。

高中数学选修2-2(人教B版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习题及答案

高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
解析：对于①，若
a − b ⩾ 1 ，且 a2 − b 2 = (a + b) (a − b) = 1 ，又 a > 0, b > 0 ，则 a + b > a − b ⩾ 1,此时 (a + b) (a − b) > 1 ，这与" a2 − b 2 = (a + b) (a − b) = 1 "相矛盾，因此 a − b < 1 ，①正确； 2 4 对于②，取 a = 2, b = ，此时 a − b = > 1 ，因此②不正确； 3 3 对于③，注意到取 a = 9, b = 4 ，有 √a − √b = 1 ，但此时 |a − b| = 5 > 1 ，因此③ 不正
第二章推理与证明 2.2 直接证明与间接证明
一、学习任务了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点．二、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．其中正确的语句有 ( A．2
1 1 − = 1 ，则 a − b < 1 ； b a ③若 |√a − √b | = 1 ，则 |a − b| < 1 ； ④若 |a3 − b 3 | = 1 ，则 |a − b| < 1 ．
①若 a2 − b 2 = 1 ，则 a − b < 1 ； ②若其中的真命题有
答案： ①④
（写出所有真命题的编号）．
答案： B
) 个．
C．4 D．5
B．3
2. 用分析法证明：欲使① A > B ，只需② C < D ，这里①是②的 ( A．充分条件 C．充要条件

【人教B版】高中数学选修2-2全一册课后训练打包17套含答案

第 1 页共 62 页1.1 导数课后训练1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )． A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的导数D ．在区间[x 0，x 1]上的导数2．一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝2t －t 2，则物体的初速度是( )．A ．0B ．3C ．2D ．3－2t3．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y －1＝0，则( )． A ．f′(x 0)＞0 B ．f′(x 0)＜0 C ．f′(x 0)＝0 D ．f′(x 0)不存在4．曲线212y x ＝在点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的倾斜角为( )． A ．π4-B ．1C ．π4D ．5π45．若对任意x ∈R ，f′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )为( )．A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋26．对于函数y ＝x 2，该点的导数等于其函数值的点是________________．7．若直线y ＝3x ＋1是曲线y ＝f (x )＝ax 3的切线，则a ＝________. 8．给出以下命题：①已知函数y ＝f (x )的图象上的点列P 1，P 2，P 3，…，P n ，…，当n →∞时，P n →P 0，则过P 0与P n 两点的直线的斜率就是函数在点P 0处的导数；②若物体的运动规律是s ＝f (t )，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 等于f′(t 0)；③函数y ＝x 3的导函数值恒为非负数．其中正确的命题是__________．9．抛物线y ＝x 2在哪一点处的切线平行于直线y ＝4x －5?10．求抛物线y ＝2x 2过点(2,1)的切线方程．第 2 页共 62 页参考答案1. 答案：1．A2. 答案：C v ＝2222lim t t t t t t t t∆→∞(+∆)-(+∆)-(-)∆＝lim t ∆→∞(2－2t －Δt )＝2－2t ，∴v t ＝0＝2－2t 34x V ＝＝2.3. 答案：B ∵切线2x ＋y －1＝0的斜率为－2，∴f′(x 0)＝－24. 答案：C 令y ＝f (x )＝12x 2，由定义求得f′(x )＝x ，所以f′(1)＝1.所以k ＝1＝tan α.又α[0，π)，所以α＝π4. 5. 答案：B 由f (1)＝－1可排除选项A ，D ；再由f′(x )＝4x 3，结合导数的定义验证知f (x )＝x 4－2正确．6. 答案：(0,0)和(2,4)7. 答案：4 设直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3相切于点P (x 0，y 0)，则有00300031,,3.y x y ax f'x =+⎧⎪=⎨⎪()=⎩①②③由①②得3003+1=x ax ，由③得20=1ax ，将它代入上式可得3x 0＋1＝x 0，解得012x ＝-，∴2014a x ＝＝. 8. 答案：②③ 对于命题①，由函数在点P 0处的导数的几何意义知，函数y ＝f (x )在点P 0处的导数是过点P 0的曲线(即函数y ＝f (x )的图象)的切线的斜率，而不是割线P 0P n 的斜率，故命题①是一个假命题．对于命题②，由于它完全符合瞬时速度的定义，故命题②是一个真命题．对于命题③，易知y′＝3x 2≥0，故为真命题．9. 答案：分析：由于切线的斜率为4，因此可以令函数在点P (x 0，y 0)处的导数为4，求出x 0即可．解：由题意可设，函数在点P (x 0，y 0)处的导数为4，则0lim x yx ∆→∆∆＝22000limx x x x x∆→(+∆)-∆＝2x 0.令2x 0＝4，得x 0＝2.∴y 0＝4.即函数在点(2,4)处的切线平行于直线y ＝4x －5.10. 答案：分析：易判断点(2,1)不在抛物线y ＝2x 2上，因此需设出切点坐标，依据条件列方程组求解．解：设切点为(x 0，y 0)，切线的斜率为k .第 3 页共 62 页则200=2y x ，①且k ＝0lim x ∆→220022x x x x(+∆)-∆＝4x 0.又k ＝0012y x --＝4x 0，②由①②解得002215x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩或02215x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴k ＝4x 0＝或k ＝4x 0＝8-∴切线方程为y －1＝()(x －2)或y －1＝(8-x －2)．即()x －y －15－0或(8-x －y －15＋＝0.第 4 页共 62 页1.2 导数的运算课后训练1．下列运算中正确的是( )．A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(cos x －2x 2)′＝(cos x )′－2′(x 2)′ C ．(sin 2x )′＝12(sin x )′·cos x ＋12(cos x )′·cos x D ．(2x －21x)′＝(2x )′＋(x －2)′ 2．下列四组函数中导数相等的是( )． A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋43．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )． A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋24．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )． A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．05．设f (x )＝e x ＋x e ＋e a(a 为常数)，则f′(x )＝________.6．若曲线C ：y ＝x 3－2ax 2＋2ax 上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，则实数a 的取值范围是________．7．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作曲线C 的切线l ，则l 与y 轴的交点Q 的坐标为__________，l 与x 轴夹角为30°时，a ＝________.8．已知曲线y ，求：(1)这条曲线与直线y ＝2x －4平行的切线方程； (2)过点P (0,5)且与曲线相切的切线方程．9．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与曲线C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．第 5 页共 62 页参考答案1. 答案：A2. 答案：D 选项D 中，f′(x )＝(1－2x 2)′＝－4x ，g′(x )＝(－2x 2＋4)′＝－4x . 3. 答案：A y′＝3x 2－2，∴在点(1,0)处的切线的斜率1|=1x k y'==，∴切线方程为1·(x －1)＝y －0，即y ＝x －1.4. 答案：B ∵f′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.5. 答案：e x ＋e x e －1 f′(x )＝(e x )′＋(x e )′＋(e a )′＝e x ＋e x e －1.6. 答案：(0，32) 由于曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，故y ′＝3x 2－4ax ＋2a ＞0恒成立，∴Δ＝16a 2－24a ＜0，∴0＜a ＜32.7. 答案：(0，－a 2) 因为y′＝2x ，所以l ：y －a 2＝2a (x －a )．令x ＝0得y ＝－a 2，故Q (0，－a 2)．又因为tan 30°＝2a，所以6a . 8. 答案：分析：对于(1)，由y =x求导，就可以得到曲线y =的切线的斜率，而曲线的切线与y ＝2x －4平行，即可确定所求切线与曲线y =得切线方程．解：(1)设切点为(x 0，y 0)，由y =得y'=.∵切线与直线y ＝2x －4平行，2=. ∴02516x =，∴0254y =. 则所求的切线方程为2525=2416y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即16x －8y ＋25＝0.第 6 页共 62 页(2)∵点P (0,5)不在曲线5y x =上，因此设切点坐标为M (t ，u )，则切线斜率为2t.又∵切线斜率为5u t-， ∴5552u t t tt--==. ∴22=t t t -，解得t ＝4. ∴切点为M (4,10)，斜率为54. ∴切线方程为510=(4)4y x --，即5x －4y ＋20＝0.9. 答案：分析：直线l 与C 1、C 2都相切，即l 是C 1的切线同时也是C 2的切线，从而求出切点坐标．解：设直线l 与曲线C 1切于点(x 1，y 1)，与曲线C 2切于点(x 2，y 2)，则211y x =，y 2＝－(x 2－2)2.由y ＝x 2，得11|=2x x y'x =，∴直线l 的方程可以表示为21y x -＝2x 1(x －x 1)，即2112y x x x =-.①又由y ＝－(x －2)2＝－x 2＋4x －4，得2|x x y'=＝－2x 2＋4.∴直线l 的方程可以表示为y ＋(x 2－2)2＝(－2x 2＋4)(x －x 2)，即y ＝(4－2x 2)x ＋22x －4.② 由题意可得①和②表示同一条直线．从而有212221422,4x x x x -=⎧⎨-=-⎩1222122,4.x x x x +=⎧⎨+=⎩ ∴x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.若x 1＝0，则由①可得切线方程为y ＝0；若x 2＝0，则由②可得切线方程为y ＝4x －4. ∴适合题意的直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.1.3.1 利用导数判断函数的单调性课后训练1．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)2．下列函数中，在(0，＋∞)内是增函数的是( )．A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝x e xC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln(1＋x)3．已知f(x)，g(x)均为(a，b)内的可导函数，在[a，b]内没有间断点，且f′(x)＞g′(x)，f(a)＝g(a)，则x∈(a，b)时有( )．A．f(x)＞g(x) B．f(x)＜g(x)C．f(x)＝g(x) D．大小关系不能确定4．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＜0，则当a＜x＜b时有( )．A．f(x)g(x)＞f(b)g(b)B．f(x)g(a)＞f(a)g(x)C．f(x)g(b)＞f(b)g(x)D．f(x)g(x)＞f(a)g(a)5．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解区间是( )．A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．7．使函数y＝sin x＋ax在R上是增函数的实数a的取值范围为________．8．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处切线的斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调减区间为__________．9．已知π0<<2x，求证：tan x＞x.10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．第7 页共62 页第 8 页共 62 页参考答案1. 答案：B f′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，得a ≥－3x 2.由题意a ≥－3x 2在x (1，＋∞)恒成立， ∴a ≥－3.2. 答案： B 选项B 中，f (x )＝x e x ，则在区间(0，＋∞)上，f (x )′＝e x ＋x e x ＝e x(1＋x )＞0.3. 答案：A ∵f′(x )＞g′(x )，∴f′(x )－g′(x )＞0，即[f (x )－g (x )]′＞0， ∴f (x )－g (x )在(a ，b )内是增函数． ∴f (x )－g (x )＞f (a )－g (a )．∴f (x )－g (x )＞0，∴f (x )＞g (x )．4. 答案：C 记()=f x F xg x ()()，则2()=f'x g x f x g'x F'x g x ()()-()()().∵f′(x ) g (x )－f (x ) g′(x )＜0，∴F′(x )＜0，即F (x )在(a ，b )内是减函数．又a ＜x ＜b ，∴F (x )＞F (b )． ∴f x f bg x g b ()()>()().∴f (x )g (b )＞g (x )f (b )． 5. 答案：D ∵[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g′(x )， ∴由题意知，当x ＜0时，[f (x )g (x )]′＞0. ∴f (x )g (x )在(－∞，0)内是增函数．又g (－3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0.∴当x (－∞，－3)时，f (x )g (x )＜0；当x (－3,0)时，f (x )g (x )＞0.又∵f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， ∴f (x )g (x )在R 上是奇函数，其图象关于原点对称．∴当x (0,3)时，f (x )g (x )＜0.故不等式f (x )g (x )＜0的解区间是(－∞，－3)∪(0,3)．6. 答案：(－1,11) f′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)，令3(x ＋1)(x －11)＜0，得－1＜x ＜11，故减区间为(－1,11)．7. 答案：[1，＋∞) y′＝cos x ＋a ，∴cos x ＋a ≥0恒成立，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.8. 答案：(－∞，2) 由于切线的斜率就是函数在该点的导数值，所以由题意知f′(x )＝(x －2)(x ＋1)2＜0，解得x ＜2，故单调减区间为(－∞，2)．9. 答案：分析：设f (x )＝tan x －x ，x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，注意到f (0)＝tan 0－0＝0，因此要证的不等式变为：当0＜x ＜π2时，f (x )＞f (0)．这只要证明f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数即第 9 页共 62 页可．证明：令f (x )＝tan x －x ，显然f (x )在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是连续的，且f (0)＝0. ∵f′(x )＝(tan x －x )′＝211cos x-＝tan 2x ， ∴当x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭时，f′(x )＞0，即在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内f (x )是增函数．故当0＜x ＜π2时，f (x )＞f (0)＝0，即tan x －x ＞0. ∴当0＜x ＜π2时，tan x ＞x . 10. 答案：分析：根据题意，列方程组求出b ，c ，d 的值．再应用导数求单调区间．解：(1)由f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，所以f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由f (x )在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，所以f (－1)＝1，又f′(－1)＝6. 所以326,121,b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩即23,0.b c b c -=-⎧⎨-=⎩解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f′(x )＝3x 2－6x －3.令3x 2－6x －3＝0，即x 2－2x －1＝0，解得1=12x 2=1+2x 当12x <-1+2x >时，f′(x )＞0；当12＜x ＜12时，f′(x )＜0.故f (x )的单调增区间为(－∞，12和(1+2，＋∞)，单调减区间为(12，1+2)．1.3.2 利用导数研究函数的极值课后训练1．函数y＝(x2－1)3＋1有( )．A．极大值点－1 B．极大值点0C．极小值点0 D．极小值点12．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为( )．A．1，－3 B．1,3C．－1,3 D．－1，－33．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5在区间[－4,4]上的最大值和最小值分别为( )．A．10，－22B．10，－71C．15，－15D．－15，－714．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )．A．a＞－3 B．a＜－3C．13a>- D．13a<-5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为( )．A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为4 27 -C．极小值为527-，极大值为0D．极小值为0，极大值为5 276．在下列四个函数中存在极值的是________．①1yx=；②2323y x x=-；③y＝2；④y＝x3.7．关于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列说法：①f(x)是增函数，无极值；②f(x)是减函数，无极值；③f(x)的增区间是(－∞，0]和[2，＋∞)，减区间是[0,2]；④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．其中正确的序号是________．8．如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四种说法：第10 页共62 页第 11 页共 62 页①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④3是f (x )的极小值点．其中正确的是__________．9．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)求f (x )的单调区间； (2)求f (x )在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． 10．(2012·浙江名校联考)已知函数f (x )＝e x(ax 2＋a ＋1)(a ∈R )．(1)若a ＝－1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若22()ef x ≥对任意x ∈[－2，－1]恒成立，求实数a 的取值范围．第 12 页共62 页参考答案1.答案：C y′＝3(x 2－1)2·(x 2－1)′＝6x (x 2－1)2，当x ＞0时，y′＞0；当x ＜0时，y′＜0，∴x ＝0为极小值点．2. 答案：A 因为f′(x )＝3ax 2＋b ，所以f′(1)＝3a ＋b ＝0.①又x ＝1时有极值－2，所以a ＋b ＝－2.② 由①②解得a ＝1，b ＝－3.3. 答案：B f′(x )＝3x 2－6x －9，由f′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.而f (－1)＝10，f (3)＝－22，f (－4)＝－71，f (4)＝－15.所以最大值为10，最小值为－71.4. 答案：B 令y′＝a e ax ＋3＝0，得3e =axa-. 设x 0为大于0的极值点，则03e =ax a-. ∴a ＜0，ax 0＜0. ∴00e<1ax <，即0＜－3a＜1.∴a ＜－3.5. 答案：A 由题意，1010f'f ()=⎧⎨()=⎩，即320,10,p q p q --=⎧⎨--=⎩∴2,1.p q =⎧⎨=-⎩∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，进而求得f (x )极小值＝f (1)＝0，f (x )极大值＝14()=327f . 6. 答案：②7. 答案：③④ f′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．令f′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值0极小值－4上是减函数，且f (x )的极值情况是：f (x )极大值＝f (0)＝0，f (x )极小值＝f (2)＝－4，可知③④是正确的．8. 答案：②③ 根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断． 9. 答案：分析：先求定义域，再按照求单调区间、最值的步骤求解即可．解：f (x )的定义域为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. (1)f′(x )＝223x +＋2x ＝221123x x x (+)(+)+. 当32-＜x ＜－1时，f′(x )＞0；当－1＜x ＜12-时，f′(x )＜0；第 13 页共 62 页当x ＞12-时，f′(x )＞0. 所以f (x )的单调增区间为3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.(2)由(1)知f (x )在区间31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最小值为11()=ln2+24f -.又31()()44f f --＝3971ln ln 216216+-- ＝31149ln (1ln )<07229+=-，所以f (x )在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为117()=+ln 4162f .10. 答案：解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x 2e x，f (1)＝－e.f′(x )＝－x 2e x －2x e x ，因为切点为(1，－e)，则k ＝f′(1)＝－3e ，所以在点(1，－e)处的曲线的切线方程为：y ＝－3e x ＋2e. (2)解法一：由题意得，f (－2)＝e －2(4a ＋a ＋1)≥22e ，即15a ≥. f′(x )＝e x (ax 2＋2ax ＋a ＋1)＝e x [a (x ＋1)2＋1]，因为15a ≥，所以f′(x )＞0恒成立，故f (x )在[－2，－1]上单调递增，要使22()e f x ≥恒成立，则f (－2)＝e －2(4a ＋a ＋1)≥22e ，解得15a ≥. 解法二：f′(x )＝e x(ax 2＋2ax ＋a ＋1)＝e x [a (x ＋1)2＋1]．①当a ≥0时，f′(x )＞0在[－2，－1]上恒成立，故f (x )在[－2，－1]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝e －2(5a ＋1)≥22e 即15a ≥. ②当a ＜0时，令u (x )＝a (x ＋1)2＋1，对称轴x ＝－1，则u (x )在[－2，－1]上单调递增，又u (－1)＝1＞0，u (－2)＝(a ＋1)． 1°当a ＋1≥0，即－1≤a ＜0时，f′(x )≥0在[－2，－1]上恒成立，所以f (x )在[－2，－1]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝e －2(5a ＋1)≥22e 即15a ≥，不合题意，舍去． 2°当a ＜－1时，f (x )＝e x(ax 2＋a ＋1)＜0，不合题意，舍去．综上所述：15a ≥.1.3.3 导数的实际应用课后训练1．以长为10的线段AB为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )．A．10 B．15 C．25 D．502．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是21400,0400,280000,400,x x xRx⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩则总利润最大时，每年的产量是( )．A．100 B．150 C．200 D．3003．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )．A．3cm B．3cmC．3cm D．3cm4．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )．A．5．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm3，其底面两邻边长之比为1∶2，则它的长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．6．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．8．如图，在直线y＝0和y＝a(a＞0)之间表示的是一条河流，河流的一侧河岸(x轴)是一条公路，且公路随时随处都有公交车来往，家住A(0，a)的某学生在位于公路上B(d,0)(d ＞0)处的学校就读，每天早晨该学生都要从家出发，可以先乘船渡河到达公路上某一点，再乘公交车去学校，或者直接乘船渡河到达公路上B(d,0)处的学校，已知船速为v0(v0＞0)，车速为2v0(水流速度忽略不计)．第14 页共62 页第 15 页共 62 页(1)若d ＝2a ，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间； (2)若2ad，求该学生早晨上学时，从家出发到达学校所用的最短时间．第 16 页共 62 页参考答案1. 答案：C2. 答案：D 由题意，总成本为C ＝20 000＋100x . 所以总利润为P ＝R －C＝2140010020000,0400,28000010020000,400,x x x x x x ⎧---≤≤⎪⎨⎪-->⎩ 则300,0400,100,400,x x P'x -≤≤⎧=⎨->⎩令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大．3. 答案：D 设圆锥的高为x其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得1x =，2x =舍去)．当0＜x时，V ′＞0＜x ＜20时，V ′＜0，所以当x时，V 取最大值．4. 答案：C 设底面边长为x ，则表面积S＝2x 2＋x V (x ＞0)，S′＝2x(x 3－4V )，令S ′＝0，得唯一极值点x 5. 答案：6 cm 3 cm 4 cm 设底面两邻边的长分别为x cm ，2x cm ，高为y cm ，则72＝2x 2·y ，所以2272362y x x ==，所以表面积S ＝2(2x 2＋xy ＋2xy )＝4x 2＋6xy ＝4x 2＋216x.则S ′＝8x －2216x，令S ′＝0，得x ＝3.所以长为6 cm ，宽为3 cm ，高为4 cm 时表面积最小．6. 答案：32r 如图，设∠OBC ＝θ，则0＜θ＜π2，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ.第 17 页共 62 页∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ)＝r 2cos θ＋r 2sin θcos θ.令S △ABC ′＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0. 得cos 2θ＝sin θ.又0＜θ＜π2， ∴θ＝π6，∴当θ＝π6时，△ABC 的面积最大，即高为OA ＋OD ＝3+22r r r =时面积最大．7. 答案：分析：设矩形一边长为x m ，从而得到总造价关于边长x 的函数关系式，由实际问题求定义域，在定义域的限制条件下求最值．解：设矩形污水处理池的长为x m ，宽为200x m ，据题意16,200,x x x≤⎧⎪⎨≤⎪⎩解得102≤x ≤16，y ＝20022x x ⎛⎫+⨯⎪⎝⎭×400＋400x×248＋200×80 ＝800x ＋259 200x ＋16000(102≤x ≤16)，令y′＝800－259 200x＝0，得x ＝18，当x (0,18)时，函数为减函数；当x (18，＋∞)时，函数为增函数．因此在定义域内函数为减函数，当且仅当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低，为45 000元．8. 答案：分析：首先要选取适当的变量，表示出从家到达学校所用的时间，通过求该函数的导数，进而求出函数的最小值．解：(1)设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上的某一点P (x,0)(0≤x ≤d )，再乘公交车到学校，所用的时间为t ，则t ＝f (x )＝22002a x d xv v +-+(0≤x ≤d )， ∴f′(x )＝2200111222x v v a x ⋅-+22012v v a x +. 令f′(x )＝0，得3x =. 当0≤x 3时，f′(x )＜0；第 18 页共 62 页当3＜x ≤d 时，f′(x )＞0.∴当x =时，所用的时间最短，最短时间为0032d at v -=+. 当d ＝2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间为012av ⎛+⋅ ⎝⎭. (2)由(1)的讨论可知，当2a d ＝时，t ＝f (x )在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以当2a x =时，该学生直接乘船渡河到达学校上学，所用的时间最短，最短时间为t＝0022a v v =.第 19 页共 62 页1.4.1 曲边梯形面积与定积分课后训练1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值，可以用下列中的哪一项来近似代替( )．A ．1()f n B ．2()f n C ．()if nD ．f (0) 2．下列等式成立的是( )． A ．ba⎰0d x ＝b －aB ．1d 2ba x x =⎰ C ．11-⎰|x |d x ＝21⎰|x |d xD ．ba⎰(x ＋1)d x ＝ba⎰x d x3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形(如图)的面积是( )．A ．2⎰(x 2－1)d xB ．2201d x x (-)⎰C ．20⎰|x 2－1|d x D ．11-⎰(x 2－1)d x ＋21⎰(x 2－1)d x4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)： (1)S 1＝__________(图①)； (2)S 2＝__________(图②)； (3)S 3＝__________(图③)．第 20 页共 62 页5．不用计算，根据图形，用大于、小于号连接下列各式： (1)10⎰x d x ________10⎰x 2d x (图①)； (2)10⎰x d x ________21⎰x d x (图②)．6．若π2⎰cos x d x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．7．利用定积分的几何意义计算2⎰(2x ＋1)d x .8．利用定义计算定积分1⎰(x 2＋2)d x .第 21 页共 62 页参考答案1. 答案：C 任一函数在1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值均可以用i f n ⎛⎫⎪⎝⎭近似代替． 2. 答案：C3. 答案：C4. 答案：(1)ππ3⎰sinx d x (2)2241d 2x x -⎰(3)1924()d x x --⎰5. 答案：(1)＞ (2)＜6. 答案：2 由正弦函数与余弦函数的图象，知f (x )＝sin x ，x [0，π]的图象与x 轴围成的图形的面积等于g (x )＝cos x ，xπ0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象与x 轴围成的图形的面积的2倍．所以答案应为2.7. 答案：分析：通过数形结合思想求曲边形的面积，相当于求f (x )在区间[a ，b ]上的定积分(或定积分的绝对值)．解：如图，所求定积分为阴影部分的面积，且面积为12×(1＋5)×2＝6∴2⎰(2x ＋1)d x ＝6.8. 答案：分析：按照由定义求定积分的步骤求解即可．解：把区间[0,1]分成n 等份，分点和小区间的长度分别为x i ＝in(i ＝1，2，…，n －1)， Δx i ＝1n (i ＝1,2，…，n )，取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，作积分和()1ni i i f x ξ=∆∑＝21(2)ni i i x ξ=∆∑＋＝2112ni i n n=⎡⎤⎛⎫+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑＝1023112i i n =+∑＝3116n ⋅n (n ＋1)(2n ＋1)＋2 ＝11112+26n n ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵λ＝1n，当λ→0时，n→＋∞，∴1⎰(x2＋2)d x＝()limni inif xξ→∞=∆∑＝limn→∞11112+26n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝13＋2＝73.第22 页共62 页第 23 页共 62 页1.4.2 微积分基本定理课后训练1．下列式子正确的是( )． A ．ba ⎰f (x )d x ＝f (b )－f (a )＋c B ．ba ⎰f′(x )d x ＝f (b )－f (a ) C ．ba⎰f (x )d x ＝f (x )＋cD ．d ()baf x x 'f x ⎡⎤()=⎢⎥⎣⎦⎰2．a ⎰cos x d x 的值是( )．A ．cos aB ．－sin aC ．cos a －1D ．sin a3．下列定积分的值等于1的是( )． A ．10d x x ⎰ B ．1(+1)d x x ⎰C ．11d x ⎰D ．101d 2x ⎰4．已知做自由落体运动的物体的速度v ＝gt ，则当t 从1到2时，物体下落的距离为( )．A ．12g B ．g C ．32g D ．2g5．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数为f′(x )＝2x ＋1，则21⎰f (－x )d x 的值等于( )．A ．56 B ．12 C ．23 D ．166．若0a⎰x 2d x ＝9，则a ＝________.7．ln3e d =x x ⎰__________.8．(2012·广州高三一模)已知2≤21⎰(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为__________．9．计算由曲线y 2＝x 与y ＝x 2所围成的图形的面积．10．在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小．第24 页共62 页第 25 页共 62 页参考答案1. 答案：B2. 答案：Da⎰cos x d x ＝sin x 0|a＝sin a －sin 0＝sin a .3. 答案：C ∵x ′＝1， ∴1⎰1d x ＝x 10|＝1－0＝1.4. 答案：C 物体下落的距离21d s gt t =⎰，则有s ＝12gt 221＝12g (22－12)＝32g . 5. 答案：A ∵f′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ，于是21⎰f (－x )d x ＝21⎰(x 2－x )d x＝3221115|=326x x ⎛⎫-⎪⎝⎭. 6. 答案：3 20d ax x ⎰＝33011|33a x a =＝9，∴a ＝3.7. 答案：2 ln3ln300e d =e |x x x ⎰＝eln 3－e 0＝2. 8. 答案：2[,2]39. 答案：分析：求出两条曲线交点的横坐标，确定积分上下限，就可以求出图形的面积．解：如图所示，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线的交点的横坐标．解方程组22,,y x y x ⎧=⎨=⎩得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1.因此所求图形的面积12)d S x x =⎰，又因为3132222133x x 'x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以3312021|33S x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭＝211333-=.10. 答案：分析：应用定积分将S 1与S 2表示出来，再借助于导数求S 1＋S 2的最小值．解：S 1等于边长为t 与t 2的矩形的面积减去曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 所围成的图形的面积，即第 26 页共 62 页S 1＝t ·t 2－t⎰x 2d x ＝23t 3. S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1所围成的图形的面积减去边长为t 2与(1－t )的矩形的面积，即S 2＝1t⎰x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. ∴阴影部分的面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t (t －12)＝0，得t 1＝0，t 2＝12，当12t ＝时，S 最小，最小值为S min ＝324111132234⎛⎫⎛⎫⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.第 27 页共 62 页2.1.1 合情推理课后训练1．根据下图给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )．1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111……A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1132．下面使用类比推理恰当的是( )．A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“=a b a bc c c++(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n”3．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律继续往下排，那么第36颗珠子应是什么颜色的( )．A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图)，则第n 个正方形数是( )．A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)25．在立体几何中，为了研究四面体的性质，可以把平面几何中的( )作为类比对象． A ．直线 B ．三角形 C ．正方形 D ．圆 6．由f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，计算得3(2)=2f ，f (4)＞2，5(8)>2f ，f (16)第 28 页共 62 页＞3，7(32)>2f .推测当n ≥2时，有__________． 7．类比平面几何中的三角形中位线定理：△ABC 中，若DE ∥BC ，则有S △ADE ∶S △ABC ＝DE 2∶BC 2.若三棱锥ABCD 中有截面EFG ∥面BCD ，则截得三棱锥的体积与原来三棱锥的体积之间的关系式为：__________________.8．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．9．若a 1，a 2为正实数，则有不等式222121222a a a a ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．10．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．类比上述性质，请叙述在立体几何(空间)中相应的特性(至少写出5条)．第 29 页共 62 页参考答案1. 答案：B 由数塔猜测结果应是各位数字都是1的七位数，即1 111 111.2. 答案：C3. 答案：A 由题图知，三白二黑周而复始相继排列， ∵36÷5＝7……1，∴第36颗珠子的颜色与第1颗相同，为白色． 4. 答案：C5. 答案：B 四面体底面有三条边三个角，与三角形具有一定的相似性．6. 答案：f (2n)＞22n + 7. 答案：V AEFG ∶V ABCD ＝EF 3∶BC 38. 答案：38a9. 答案：分析：可从个数上推广，可从指数上推广，也可全面考虑，同时推广．解：可以从a 1，a 2的个数以及指数上进行推广，第一类型：222212312333a a a a a a ++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，222221234123444a a a a a a a a ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，……2222121244n n a a a a a a ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭L L ；第二类型：333121222a a a a ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 444121422a a a a ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， ……121222nn n a a a a ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. ……第三类型：333312312333a a a a a a ++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，第 30 页共 62 页……1212mm m m n n a a a a a a n n ++++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭L L .上述a 1，a 2，…，a n 为正实数，m ，n 为正整数．10. 答案：解：(1)从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个半平面的距离之比为定值；(2)从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的距离之比为定值；(3)在空间中，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值； (4)在空间中，射线OD 上任意一点P 到射线OA ，OB ，OC 的距离之比为定值； (5)在空间中，射线OD 上任意一点P 到平面AOB ，BOC ，COA 的距离之比为定值．2.1.2 演绎推理课后训练1．“三段论”是演绎推理的一般模式，三段的顺序是( )．A．大前提、小前提、结论B．小前提、大前提、结论C．小前提、结论、大前提D．大前提、结论、小前提2．对于完全归纳推理的理解正确的是( )．A．完全归纳推理不可以与其他的演绎推理规则同时运用B．完全归纳推理是对某类事物的全部个别对象的考查C．完全归纳推理不一定是一种必然性推理D．完全归纳推理不一定要对某类事物的全部个别对象逐个考查3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内的所有直线，已知直线b⃘平面α，直线a⊆平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )．A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误4．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的”．其中“小前提”是( )．A．① B．②C．①② D．③5．在R上定义运算：x y＝x(1－y)，若不等式(x－a)(x＋a)＜1对任意实数x 都成立，则( )．A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．13<<22a－D．31<<22a－6．已知数列{a n}满足11 2a ，且前n项和S n满足S n＝n2a n，则a n＝________.7．对于任意实数x，若|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，则k的取值范围是________．8．指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：(1)整数是自然数，－3是整数，－3是自然数．(2)无理数是无限小数，第31 页共62 页第 32 页共 62 页13(0.333…)是无限小数，13是无理数． 9．如图，m ，n 是空间两条相交直线，l 1，l 2是与m ，n 都垂直的两条直线，直线l 与l 1，l 2都相交，求证：∠1＝∠2.10．设函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )，求证：ab ＜1.第 33 页共 62 页参考答案1. 答案：A2. 答案：B3. 答案：A 大前提错误，直线平行于平面，则它平行于平面内的无数条直线，但并非与平面内的所有直线平行．4. 答案：B 三段论的公式中包含三个判断，第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况，由此可知选项B 正确．5. 答案：C (x －a )(x ＋a )＜1(x －a )[1－(x ＋a )]＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0，要使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0恒成立，则Δ＝4a 2－4a －3＜0，∴13<<22a －. 6. 答案：11n n (+) 方法一：(归纳法)112a =，216a =，3112a =，4120a =，寻找分母的规律．方法二：S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，所以(n 2＋2n )a n ＋1＝n 2a n ，所以12n n a n a n +=+，111n n a n a n --=+，122n n a n a n ---=，…，4335a a =，3224a a =，2113a a =，所以11n a a +＝221n n (+)(+).又因为112a =，所以a n ＋1＝112n n (+)(+)，又因为a 1＝12＝112⨯.所以11n a n n =(+). 7. 答案：k ＜－3 构造函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|，画出f (x )的图象，从而求得f (x )的最小值为－3，∴k ＜－3.8. 答案：解：(1)大前提错．大于等于0的整数是自然数，－3是小于0的整数，－3不是自然数．(2)大前提错．无理数是无限不循环小数，13(0.333…)是无限循环小数，13不是无理数． 9. 答案：证明：因为m ，n 是两条相交直线，所以直线m ，n 确定一个平面α，如图．因为l 1⊥m ，l 1⊥n ，所以l 1⊥α.同理l 2⊥α.所以l 1∥l 2.所以l 1，l 2确定一个平面β，又l 与l 1，l 2都相交，所以l ⊆β.在同一平面β内，由l 1∥l 2，得∠1＝∠2.10.答案：分析：f(x)是绝对值函数，解答时应去掉绝对值号，故需对a，b讨论．证明：f(a)＝|lg a|，f(b)＝|lg b|，当a＜b≤1时，f(a)＝－lg a，f(b)＝－lg b，有f(a)＞f(b)，所以0＜ab＜1成立；当1≤a＜b时，f(a)＝lg a，f(b)＝lg b，则必有f(a)＜f(b)与已知矛盾；当0＜a＜1≤b时，f(a)＝－lg a，f(b)＝lg b；由f(a)＞f(b)得－lg a＞lg b，∴lg a＋lg b＜0，故lg(ab)＜0，所以ab＜1.综上可知，ab＜1成立．第34 页共62 页第 35 页共 62 页2.2.1 综合法与分析法课后训练1．已知52x ≥，则245()=24x x f x x -+-有( )． A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值12．如果某林区的森林蓄积量每年平均比上一年增长10.4%，那么经过x (x ∈(0，＋∞))年可以增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致应为图中的( )．3．设a ，b ∈R ，已知p ：a ＝b ；q ：22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则p 是q 成立的( )． A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC uuu r ＋BA u u u r ＝2BP u u u r ，则( )．A ．PA PB +=0u u u r u u u r B ．PC PA +=0u u u r u u u rC ．PB PC +=0u u u r u u u rD ．PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r5．已知a ＞b ＞0，且ab ＝1，若0＜c ＜1，22log 2c a b p +=，2log c q =，则p ，q 的大小关系是( )．A ．p ＞qB ．p ＜q第 36 页共 62 页C ．p ＝qD ．p ≥q6．在不等边三角形中，a 为最长边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是________．7．下列说法中正确的序号是________．①若a ，b ∈R ，则2b a a b+≥ ②若a ，b ∈R ，则lg a ＋lg b≥③若x ∈R ，则4x x +＝|x |＋4||x≥ 4④2y =的最小值是28．已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③αβ.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写命题，则你认为正确的命题是________．9．△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.10．已知数列{a n }，S n 是它的前n 项和，且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设2n n n a c =(n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列； (3)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．第 37 页共 62 页参考答案1. 答案：D f (x )＝22122x x (-)+(-)＝22x -＋122x (-)，设x －2＝t ≥12，∴1121224t t +≥=. 当且仅当t ＝1，即x ＝3时，f (x )min ＝1.2. 答案：D 因为f (0)＝1，排除选项B ，平均增长率问题属指数函数型，故选D.3. 答案：B 当a ＝b 时，22=2a b a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222a b a +=，∴p q .当22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭时，a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号，∴q p . 4. 答案：B ∵BC uuu r ＋BA u u u r ＝2BP u u u r ，由向量加法的平行四边形法则知P 为AC 中点．如图．∴PC uuu r ＋PA u u u r ＝0. 5. 答案：B ∵222a b +≥ab ＝1，∴p ＝log c 222a b +＜0. 又q ＝log c 2a b +＝log 2a b ab ++＞log 4ab ＝log c 14＞0.∴q ＞p .故选B. 6. 答案：a 2＞b 2＋c 2由cos A ＝2222b c a bc ++＜0，知b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2. 7. 答案：③ 当a ＝－1，b ＝1时，①错．当lg a ，lg b 均为负数时，②错．③x 与4x 同号，∴444||x x x x +≥＝＋，正确． ④222y x +＝22x +22x +≥2，当且仅当x 2＋2＝1，即x 2＝－1时等号成立，显然错．第 38 页共 62 页8. 答案：①③② ∵αβ＞0，||>22α||>22β ∴|α＋β|2＝α2＋β2＋2αβ＞8＋8＋2×8＝32＞25.∴|α＋β|＞5.9. 答案：分析：应用分析法找证题思路，根据综合法写出证明过程．证法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证113a b b c a b c ==++++，=3a b c a b c a b b c +++++++，=1c a a b b c+++，只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，只需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，只需证b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，只需证B ＝60°.因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.证法二：(综合法)因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°，即c 2＋a 2＝ac ＋b 2.两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )．两边除以(a ＋b )(b ＋c )，得=1c a a b b c+++. 所以11=3c a a b b c ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即113=a b b c a b c +++++. 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.10. 答案：分析：按等差(比)数列的定义证明即可．(1)证明：∵S n ＋1＝4a n ＋2，∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减得，S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，∴a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＋1＝2b n ，所以数列{b n }是公比为2的等比数列．(2)证明：由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1，得a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3，故b n ＝3·2n －1，∵2n n n a c =，∴c n ＋1－c n ＝1122n n n n a a ++-＝1122n n n a a ++-＝12n n b +，将b n ＝3·2n －1代入，得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)，由此可知，数列{c n }是公差为34的等差数列，其首项11122a c ==，故3144n c n -＝. (3)解：∵3131444n n c n -=-=，∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)×2n －2. 当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2，由于S 1＝a 1＝1也适合此公式，所以{a n }的前n 项和S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.第 39 页共 62 页2.2.2 反证法课后训练1．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )．A ．无解B ．有两个解C ．至少有两个解D ．无解或至少有两个解2．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是( )．A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解3．用反证法证明命题“如果a ＞b>( )． A=< C=<=4．设a ，b ，c 为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．有下列叙述：①“a ＞b ”的反面是“a ＜b ”；②“x ＝y ”的反面是“x ＞y ，或x ＜y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．用反证法证明“已知p 3＋q 3＝2，求证：p ＋q ≤2”时的假设为________，得出的矛盾为________．7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．8．已知数列{a n }满足：112a =，11312111n n n n a a a a ++(+)(+)=--，a n a n ＋1＜0(n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝221n n a a +-(n ≥1)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-2-3椭圆习题课

2.2.3椭圆习题课一、选择题1．已知椭圆的焦点是F 1，F 2是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线[答案] A[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|F 1Q |＝2a ，∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ，故动点Q 的轨迹是圆．故选A.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(0,1][答案] A[解析] 椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1. 焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1.又k >0，∴0<k <1. 3．P 是椭圆x 2100＋y 264＝1上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积是( ) A.6433 B ．64(2＋3) C ．64(2－3) D ．64[答案] A[解析] 在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由椭圆定义知r 1＋r 2＝20 ①由余弦定理知cos60°＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1·r 2＝r 21＋r 22－1222r 2·r 2＝12，即r 21＋r 22－r 1r 2＝144 ② ①2－②得r 1r 2＝2563.∴S △PF 1F 2＝12r 1·r 2sin60°＝6433. 4．已知F 是椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，且c ＝a 2－b 2，则△PQF 面积的最大值是( )A.12ab B ．ab C ．acD ．bc [答案] D[解析] 设它的另一个焦点为F ′，则|F ′O |＝|FO |，|PO |＝|QO |，FPF ′Q 为平行四边形．S △PQF ＝12S PF ′QF ＝S △PFF ′，则当P 为椭圆短轴端点时，P 到FF ′距离最大，此时S △PFF ′最大为bc .即(S △PQF )max ＝bc .5．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 [答案] A[解析] 不妨设F 1(－3,0)，F 2(3,0)，由条件知P (3，±32)，即|PF 2|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，|PF 1|＝732，|PF 2|＝32，即|PF 1|＝7|PF 2|. 6．设0≤α<2π，若方程x 2sin α－y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34π∪⎝⎛⎭⎫7π4，2π B.⎣⎡π2，3π4 C.⎝⎛π2，3π4D.⎝⎛3π4，3π2[答案] C[解析] 将方程变形为：x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1sin α>01－cos α>01sin α<1－cos α，∴sin α>－cos α>0.∴α在第二象限且|sin α|>|cos α|.7．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977D.94[答案] D[解析] a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形．∴P 是横坐标为±7的椭圆上的点．(点P 不可能为直角顶点)设P (±7，|y |)，把x ＝±7 代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94. 8．(2009·江西)过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13[答案] B [解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算．把x ＝－c 代入椭圆方程可得y c ＝±b 2a， ∴|PF 1|＝b 2a∴|PF 2|＝2b 2a，故|PF 1|＋|PF 2|＝3b 2a＝2a ，即3b 2＝2a 2 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴3(a 2－c 2)＝2a 2，∴(c a )2＝13，即e ＝33. 9．(2009·山东威海)椭圆x 24＋y 33＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11 000的等差数列，则n 的最大值是( ) A ．2 000B ．2 006C ．2 007D ．2 008[答案] A[解析] ∵椭圆x 24＋y 23＝1上距离右焦点F (1,0)最近的点为右端点(2,0)，距离右焦点F (1,0)最远的点为左端点(－2,0)，数列{|P n F |}的公差d 大于11 000，不妨|P 1F |＝1，|P n F |＝3,3＝1＋(n －1)·d ，∴d ＝2n －1>11 000，n －1<2 000，即n <2 001.∴故选A.10．已知点(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是( ) A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －4＝0D ．x ＋2y －8＝0[答案] D[解析] 设截得的线段为AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), 中点坐标为(x 0，y 0)，利用“差分法”得y 21－y 22x 21－x 22＝－936，即y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－936， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 二、填空题11．已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程是________________．[答案] y 24＋x 23＝1 [解析] 由题意设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，∴2a ＝4.∴a ＝2，又c ＝1，∴b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.12．设F 1、F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝____________.[答案] 35[解析] ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，∴|PF 1|＝52|PF 2|＝32|F 1F 2|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝⎝⎛522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 13．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0<e ≤32，则长轴的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－1a 2 得0<1－1a 2≤34. 从而－1<－1a 2≤－14， ∴14≤1a2<1，故1<a 2≤4， ∴1<a ≤2，即2<2a ≤4.14．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右两个焦点，若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和为4，则椭圆C 的方程是________，焦点坐标是________． [答案] x 24＋y 23＝1 (±1,0) [解析] 由|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4得a ＝2.∴原方程化为：x 24＋y 2b 2＝1，将A (1，32)代入方程得b 2＝3. ∴椭圆方程为：x 24＋y 23＝1，焦点坐标为(±1,0)．三、解答题15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，又B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142求椭圆离心率e 的取值范围．[解析] 设l ：y ＝k (x ＋c )则C (0，kc )，B (－c 2，kc 2)． ∵B 在椭圆上，∴c 24a 2＋k 2c 24b 2＝1. 即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1⇒e 2＋ke 21－e 2＝4. ∴k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72⇒2e 4－17e 2－8≤0⇒ 12≤e 2<1⇒22≤e <1. 16．已知椭圆E ：x 28＋y 24＝1. (1)直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 有两个公共点，求实数m 的取值范围．(2)以椭圆E 的焦点F 1、F 2为焦点，经过直线l ′：x ＋y ＝9上一点P 作椭圆C ，当C 的长轴最短时，求C 的方程．[解析] (1)直线l 与椭圆E 有两个公共点的条件是：方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 24＝1y ＝x ＋m 有两组不同解，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0，－23<m <2 3.∴实数m 的取值范围是(－23，23)．(2)依题意，F 1(－2,0)、F 2(2,0)．作点F 1(－2,0)关于l ′的对称点F 1′(9,11)．设P 是l ′与椭圆的公共点，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝|PF ′1|＋|PF 2|≥|F ′1F 2|＝72＋112＝170.∴(2a )min ＝170，此时，a 2＝1704＝852b 2＝a 2－c 2＝772. ∴长轴最短的椭圆方程是x 2852＋y 2772＝1. 17．如图所示，某隧道设计为双向四车通，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．I若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？ [解析] 如图所示，建立直角坐标系，则点P (11，4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1. 将b ＝h ＝6与点P 坐标代入椭圆方程，得a ＝4477，此时l ＝2a ＝8877≈33.3 因此隧道的拱宽约为33.3米．18．椭圆中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，e ＝32，过椭圆左焦点F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，|PQ |＝209，且OP ⊥OQ ，求此椭圆的方程． [解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，当PQ ⊥x 轴时，F (－c,0)，|FP |＝b 2a. 又∵|FQ |＝|FP |，且OP ⊥OQ ，∴|OF |＝|FP |，即c ＝b 2a， ∴ac ＝a 2－c 2，e 2＋e －1＝0.∴e ＝5－12.与题设e ＝32不符，所以PQ 不垂直于x 轴，设PQ 所在直线方程为y ＝k (x ＋c )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵e ＝32，∴a 2＝43c 2，b 2＝13c 2. ∴椭圆方程可化为3x 2＋12y 2－4c 2＝0.将PQ 所在直线方程代入，得(3＋12k 2)x 2＋24k 2cx ＋12k 2c 2－4c 2＝0.由韦达定理，得x 1＋x 2＝－24k 2c 3＋12k 2，x 1x 2＝12k 2c 2－4c 23＋12k 2. 由|PQ |＝209，得1＋k 2.(－24k 2c 3＋12k 2)2－4(12k 2c 2－4c 2)3＋12k 2＝209.① ∵OP ⊥OQ ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋k 2c (x 1＋x 2)＋c 2k 2＝0，②联立①②解得c 2＝3，k 2＝411. ∴a 2＝4，b 2＝1.故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.。

2013版高二数学(人教B版)选修2-2同步练习1-4-1 Word版含答案]

选修2-2 1.4.1一、选择题1．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C[解析] 用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.2．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x [答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.3．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n→＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －a n C.lim n→＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D.lim n→＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33 B.32 C.34D ．1 [答案] A5．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.6．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 [答案] D7．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0) [答案] C8．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C9．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.10．下列式子中不成立的是( )A ．∫2π＋a a sin x d x ＝∫2π＋bbcos x d x B ．∫π20sin x d x ＝∫π20cos x d xC.⎠⎛0πsin x d x ＝⎠⎛0πcos x d xD.⎠⎛0π|sin x |d x ＝⎠⎛0π|cos x |d x[答案] C[解析] 由y ＝sin x ，x ∈[0，π]，y ＝cos x ，x ∈[0，π]的图象知⎠⎛0πcos x d x ＝0，⎠⎛0πsin x d x >0.故选C.二、填空题11．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积12．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ∫2π0|sin x |d x13．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 3614．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题15．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛2－24－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π.(2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.16．求⎠⎛01x 3d x 的值．[解析] (1)分割0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n .＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22＝(n ＋1)24n 2.(3)取极限lim n →∞(n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠⎛01x 3d x ＝14.17．用定积分的定义计算⎠⎛12(1＋x )d x .[解析] 将区间[1,2]分成n 等份，每个小区间的长度Δx ＝1n ，在[x i －1，x i ]＝⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in 上任取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，所以f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，从而∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫2＋i －1n ·1n＝2n ＋⎝⎛⎭⎫2＋1n ·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫2＋n －1n ·1n ＝2＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋n －12n ， ∴⎠⎛12(1＋x )d x ＝lim n→＋∞∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫2＋n －12n ＝52. 18．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：。

人教版高中数学选修2-2综合测试卷B(含答案).docx

数学选修2-2综合测试卷B （含答案）一、选择题1、设)(x f 为可导函数，且满足12)1()1(lim 0-=--→xx f f x ，则过曲线)(x f y =上点))1(,1(f 处的切线斜率为（）A 、2B 、-1C 、1D 、-22、若复数i m m m m z )23()232(22+-+--=是纯虚数，则实数m 的值为A 、1或2B 、21-或2 C 、21- D 、2 3、设)(,)(3bx a f x x f -=的导数是（）A 、)(3bx a -B 、2)(32bx a b --C 、2)(3bx a b -D 、2)(3bx a b -- 4、点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是（） A 、],0[π B 、),43[)2,0(πππ⋃ C 、]43,2[]2,0[πππ⋃ D 、),43[]2,0[πππ⋃ 5、已知0,,≠∈b a R b a 且，则在①ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ；③2)2(b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+ 这四个式子中，恒成立的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是（）A 、12+kB 、112++k k C 、1)22)(12(+++k k k D 、132++k k 7、若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（）A 、),3(+∞B 、),3[+∞-C 、),3(+∞-D 、)3,(--∞8、当n 取遍正整数时，n n i i -+表示不同值得个数是A 、1B 、2C 、3D 、49、函数12)(2++=ax ax x f 在[-3，2]上有最大值4。

高二数(人教B)选修2-2同步练习3章末 Word含答案

选修2-2 3章末归纳总结一、选择题1．(2010·湖北，理，1)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H [答案] D[解析] 由图可知z ＝3＋i ，∴z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(1－i )(3＋i )(1－i )(1＋i )＝4－2i 2＝2－i ，对应复平面内的点H ，故选D.2．(2009·浙江，理，3)设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( )A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i [答案] D[解析] 本小题主要考查复数及其运算．∵z ＝1＋i ，∴2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i )2＝2(1－i )2＋2i ＝1＋i .故选D. 3．(2009·安徽，理，1)i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15[答案] B[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算．1＋7i 2－i ＝(1＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－5＋15i 5＝－1＋3i ＝a ＋bi ， ∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3.故选B.二、填空题4．(2010·北京，理，9)在复平面内，复数2i 1－i对应的点的坐标为________． [答案] (－1,1)[解析] 2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i (1＋i )＝－1＋i . 5．(2009·江苏，1)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．[答案] －20[解析] 本题主要考查复数的概念及运算．∵z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，∴(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i )－(6＋9i )]i ＝－20－2i .∴复数(z 1－z 2)i 的实部为－20.三、解答题6．已知z 、ω为复数，(1＋3i )z 为纯虚数，ω＝z 2＋i，且|ω|＝52，求ω. [解析] 解法1：设z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则(1＋3i )z ＝a －3b ＋(3a ＋b )i .由题意，得a ＝3b ≠0.∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2＋i ＝52，∴|z |＝a 2＋b 2＝510. 将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±5.故ω＝±15＋5i 2＋i＝±(7－i )．解法2：由题意，设(1＋3i)z＝ki，k≠0，且k∈R，则ω＝ki.(2＋i)(1＋3i)∵|ω|＝5 2.∴k＝±50.故ω＝±(7－i)．。

高二数(人教B)选修2-2同步练习1-1-1 Word含答案

选修2-2 1.1.1一、选择题1．函数y ＝f (x )，当自变量从x 0到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在[x 0，x 1]上的变化率[答案] A2．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )2[答案] C3．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt[答案] A4．函数y ＝1x 在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为( )A ．－1B ．－12C ．－2D ．2[答案] B5．函数f (x )＝2x ＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.115B ．－115C ．2D ．－2[答案] C[解析] Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (1)5－1＝2. 6．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －1C ．Δx ＋2D ．Δx －1Δx ＋2[答案] C[解析] Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－12－1Δx＝Δx ＋2. 7．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4[答案] D[解析] Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt＝－2Δt －4. 8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x 中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 9．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C10．函数y ＝－x 2、y ＝1x 、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x[答案] C[解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx ＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C.二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－23＋2Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时平均变化率为________．[答案] 6－2[解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2. 13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr[解析] ΔS Δr ＝(1＋Δr )2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr . 14．函数y ＝cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时的变化率为________；在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时的变化率为________． [答案] 33－6π －3π[解析] 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，Δy Δx ＝cos π6－cos0π6－0＝33－6π；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cos π2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π.因此，y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π. 三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2. (2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2×5－(－2×0)5＝－2. 16．过曲线f (x )＝x 3上两点P (2,8)和Q (2＋Δx,8＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )3－8＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx ＝Δx 3＋6Δx 2＋12Δx Δx＝Δx 2＋6Δx ＋12. 设Δx ＝0.1时割线的斜率为k 1，则k 1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 18．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t (单位m)做直线运动，求：(1)该质点在前3s 内的平均速度；(2)该质点在2s 到3s 内的平均速度．[解析] (1)由题设知，Δt ＝3s ，Δs ＝s (3)－s (0)＝24，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝243＝8m/s.(2)由题意知，Δt ＝3－2＝1s ，Δs ＝s (3)－s (2)＝12m ，∴平均速度为v ＝Δs Δt＝12m/s.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

选修2-2 2.2.1一、选择题1．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定[答案] B [解析] q ＝ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .故选B.2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b，又函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .故选A. 3．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16D ．17[答案] B[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15.4．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) A.18 B.14 C.12D ．1[答案] C[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12.5．已知a >0，b >0，1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( )A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14[答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a. 又∵a >0，b >0，∴由均值不等式可得：a ＋2b ＝7＋3a b ＋2ba≥7＋23a b ·2ba＝7＋2 6.当且仅当3a b ＝2b a 且1a ＋3b ＝1，即3a 2＝2b 2且1a ＋3b＝1时等号成立，故选A.6．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y[答案] D[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38.所以有x <2xy <x ＋y 2<y ，故排除A 、B 、C.故选D.7．一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为( ) A.5－12 B.5＋12C.5±12D.1＋32[答案] A[解析] 设三内角为A ，B,90°，依题意，sin 2B ＝sin A (∠A 最小)，sin B ＝cos A . ∴cos 2A ＝sin A ，即1－sin 2A ＝sin A ，∴sin 2A ＋sin A －1＝0. ∴sin A ＝5－12.故选A.8．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2[答案] C[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0知b 2＋c 2－a 2<0，∴a 2>b 2＋c 2.故选C.9．已知实数a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝1，则(a ＋1)2＋(b ＋1)2的范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤92，5 B.⎣⎡⎭⎫92，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤0，92 D ．[0,5] [答案] A[解析] 用数形结合法求解．a ＋b ＝1，a ≥0，b ≥0表示线段AB ，(a ＋1)2＋(b ＋1)2表示线段上的点与点C (－1，－1)的距离的平方．如下图∴|CD |2≤(a ＋1)2＋(b ＋1)2≤|AC |2，即92≤(a ＋1)2＋(b ＋1)2≤5.故选A. 10．已知x ∈(－∞，1]时，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x >0恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－2，14 B.⎝⎛⎭⎫－12，32 C.⎝⎛⎭⎫－∞，14 D ．(－∞，6)[答案] B[解析] 原不等式化为a －a 2>－1－2x4x ，即a 2－a <1＋2x 4x ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x . 当且仅当a 2－a <⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x min ，原不等式在(－∞，1]上恒成立，又因为⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x为减函数，所以⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x min ＝34. 因此a 2－a <34，解得－12<a <32.故应选B.二、填空题11．设p ＝2x 4＋1，q ＝2x 3＋x 2，x ∈R ，则p 与q 的大小关系是________． [答案] p ≥q[解析] ∵p －q ＝2x 4＋1－(2x 3＋x 2)＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1)，又2x 2＋2x ＋1恒大于0，∴p －q ≥0，故p ≥q .12．函数y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (2.5)，f (3.5)的大小关系是________________．[答案] f (3.5)<f (1)<f (2.5)[解析] 由已知f (x )关于x ＝2对称，又f (x )在(0,2)上是增函数， ∴结合f (x )图象得f (3.5)<f (1)<f (2.5)．13．如果不等式|x －a |<1成立的充分非必要条件是12<x <32，则实数a 的取值范围是________．[答案] 12≤a ≤32[解析] 由|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1由题意知⎝⎛⎭⎫12，32(a －1，a ＋1)则有⎩⎨⎧a －1≤12a ＋1≥32，解得12≤a ≤32.14．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．[答案] 1[解析] 法一：∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数，则f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x ＋1＋a (2x ＋1)－22x ＋1＝0∴a ＝1.法二：∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即f (0)＝a (20＋1)－220＋1＝0，∴a ＝1. 三、解答题15．用分析法、综合法证明：若a >0，b >0，a ≠b ，则a ＋b2>ab . [证明] (1)分析法为了证明a ＋b2>ab 成立，需证明下面不等式成立：a ＋b >2ab由于a >0，b >0，即要证(a ＋b )2>4ab 成立．展开这个不等式左边，即得a 2＋2ab ＋b 2>4ab 即证a 2－2ab ＋b 2>0成立．即证(a －b )2>0成立，以上证明过程步步可逆， ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0成立．故a ＋b2>ab 成立．(2)综合法由a >0，b >0，a ≠b ，可以推导出下列不等式：(a－b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2＋b 2>2ab 另一方面从求证出发找充分条件如下： a ＋b2>ab ⇐a 2＋2ab ＋b 2>4ab ⇐a 2＋b 2>2ab . 故a ＋b2>ab . 16．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 、F 分别为AB ，CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，∴AB 綊CD . 又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CF 綊AE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊂平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .17．已知函数f (x )＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2，求证：12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.[证明] 欲证12[f (x 1)＋f (x 2)]>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即12(tan x 1＋tan x 2)>tan x 1＋x 22，只需证12⎝⎛⎭⎫sin x 1cos x 1＋sin x 2cos x 2>sinx 1＋x 22cosx 1＋x 22，即证12·sin (x 1＋x 2)cos x 1cos x 2>sin (x 1＋x 2)2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝sin (x 1＋x 2)1＋cos (x 1＋x 2).∵x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x 1＋x 2∈(0，π)． ∴sin(x 1＋x 2)>0,1＋cos(x 1＋x 2)>0，cos x 1cos x 2>0. ∴只需证1＋cos(x 1＋x 2)>2cos x 1cos x 2，即证cos(x 1－x 2)<1.∵x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且x 1≠x 2， ∴cos(x 1－x 2)<1显然成立． ∴原不等式成立．18．已知：a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.[证明] (1)∵a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝1. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.① 又2ab ≤a 2＋b 2,2bc ≤b 2＋c 2,2ca ≤c 2＋a 2， ∴2ab ＋2bc ＋2ca ≤2(a 2＋b 2＋c 2)．∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a 2＋b 2＋c 2)．又由①可得a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca . ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )．∴a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3. ∴(a ＋b ＋c )2≤3. ∴a ＋b ＋c ≤ 3.。