傅里叶级数部分难题解答

本章难题解答

1．（书中301P ,第1题）三角多项式 ()()∑=++

=

n

k k k

n kx kx x T 1

sin cos 2βα

α

的傅里叶级数还是它自己吗？

解：()x T n 是以π2为周期的函数，不妨在[]ππ,-上展开成傅里叶级数.由于 ()dx x T a n

⎰-

=π

ππ1

dx a ⎰-

=

π

π

π

2

1

0()dx

kx kx n

k k k

⎰∑-

=++

π

πβα

π

1

sin cos 1

（由于三角函数系的正交性） .0α= 对于 ,1,n m m ≤≤∀由

()mxdx x T a n

m cos 1

⎰-

=

π

ππ

∑⎰⎰⎰=-

-

-

⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡++

=

n

k k

k

m x d x

kx mxdx kx dx mx 10cos .sin

cos .cos 1

cos 1

.

2π

π

π

ππ

π

βα

ππ

α

由于三角函数系的正交性，仅当m k =时，

..cos .cos ππ

π-=⎰-

mxdx

mx

其余().0cos .cos m k mxdx kx ≠=⎰-π

π

而且().10cos .sin m k mxdx kx ≤≤=⎰-π

π

故

.m m a α=

对于 n m m >∀,，同样由三角函数系的正交性知.0=m a

即 ⎩

⎨

⎧≤≤=.

,0,

0,其他n m a m m α

同理，有 ⎩

⎨

⎧≤≤=.

,0,

1,其他n m b m m β

所以，()x T n 的傅里叶级数为

()∑∞

=++

1

0sin cos 2

m m m

mx

b mx a

a

()∑=++

=

n

m m m

mx

mx 1

sin cos 2

βα

α（换记为）

().sin cos 2

1

∑=++

=

n

k k k

kx kx βα

α

即三角多项式()()∑=++

=

n

k k k

n kx kx x T 1

sin cos 2

βα

α的傅里叶级数还是它自己.

2．（书中301P ,第2题）将函数()[]ππ-∈=x x x f ,sin 4展开成傅里叶级数 解：()xdx

dx x dx x f a ⎰

⎰⎰=

=

=

-

-

π

π

π

π

π

π

π

π

4

4

0sin 2

sin

1

1

.4

3

2.!!4!!34s i n 4

c o s s i n 22

4

2

2

4

4==

=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+

=⎰

⎰⎰

πππ

ππ

π

π

x d x t d t x d x （第二个积分中令)2

π

-=x t

()nxdx

x nxdx

x f a n cos sin

1

cos 1

4

⎰⎰-

-

==

π

ππ

ππ

π

n x d x x x c o s 4c o s 212c o s

22341⎰-

⎪⎭

⎫

⎝⎛+-=

π

π

π

由于三角函数系的正交性，仅当,2=n 或4=n 时，,0≠n a 此时 .8

14cos .4cos 81;2

12cos .2cos 2142=

=

-

=-

=⎰⎰-

-

π

π

π

π

π

π

xdx x a xdx x a

又由于()[]ππ-∈=x x x f ,sin 4是偶函数，故,....)2,1(0==n b n . 所以，()[].,,4cos 8

12cos 2

183ππ-∈+

-=

x x x x f

注意：其实，聪明的同学还有更简单的做法： 既然()[].,,4cos 812cos 2183...22cos 1sin

2

4

ππ-∈+-==⎪⎭

⎫

⎝⎛-==x x x x x x f

利用第1题的结论，它的傅里叶级数就是它自己，即： ()[].,,4c o s 8

12c o s 2

183ππ-∈+

-=

x x x x f

3．（书中302P ,第3题）关于区间()ππ,-展开函数