【免费下载】傅里叶级数的数学推导
傅里叶变换推导详解
傅里叶变换推导详解三角函数标准形式为公式2.1所示f\left( t \right) = Asin\left( \omega t + \varphi\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.1)\ \在物理意义上这个函数又称之为正弦信号(正弦波),其中的t为时间变量,A为波幅, ω为角速度, φ为相位，我们可以通过公式2.2求得这个正弦波的频率。
f = \frac{\omega}{2\pi}\ (2.2)根据等式2.2，角速度和正弦波的频率是正相关的。
同时，因为三角函数是周期函数，其在-π到π的积分必定为0，由此性质可写出式2.3，2.4\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.3)}}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\left( \text{nx} \right){dx =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.4)}}设某三角函数为f\left( x \right) = \sin\left( \text{nx} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2.5)在式2.5两边同时乘以 \sin\left( \text{mx} \right) 同时,对两边在-π到π内进行积分,得出\int_{- \pi}^{\pi}{f\left( x \right)sin(mx)dx} =\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\left( \text{nx}\right)sin(mx)dx}\ \ \ \ \ (2.6)由三角函数的积化和差公式,上式可变形为\int_{- \pi}^{\pi}{f( x )\sin( \text{mx} )\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack - \cos\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} - \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.7)依据上述推导方法我们可以继续推导出下列公式:\int_{-\pi}^{\pi}{\cos( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \cos\lbrack ( m - n )x \rbrack + \cos\lbrack ( m + nx ) \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ (2.8)\int_{-\pi}^{\pi}{\sin( \text{mx} )\cos( \text{nx} )}dx =\frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{{ \sin\lbrack ( m - n )x \rbrack + \sin\lbrack ( m + n )x \rbrack }\text{dx}} = \frac{1}{2}\int_{- \pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m - n )x \rbrack\text{dx}} + \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin\lbrack ( m + n )x \rbrack\text{dx}}\ \ \ (2.9)因为三角函数在-π到π内的积分为0,因此当 m \neq n 时,式2.7、2.8、2.9的结果必定为0，因此可以得出以下结论，频率不同的三角函数相乘在一个周期内(-π到π)的积分必定为0。
傅里叶级数公式推导
傅里叶级数公式推导
傅里叶级数是一种将周期函数表示为无穷级数的方法，其基本思想是将周期函数表示为具有不同频率的正弦和余弦函数的无穷级数。
以下是傅里叶级数公式的推导过程：
设f(x)是一个周期为T的周期函数，即f(x+T)=f(x)。
第一步，将f(x)在一个周期内进行离散化，即f(x)=∑n=−NNf(xn)δ(x−xn)，其中xn=nT/N，δ(x)是狄拉克δ函数。
第二步，利用三角恒等式sin2(θ)+cos2(θ)=1，将δ(x−xn)展开为正弦和余弦函数的无穷级数。
具体地，δ(x−xn)=2π1[cos(T2π(x−xn))+i sin(T2π(x−xn))]。
第三步，将第二步中的δ(x−xn)代入第一步中的f(x)，得到f(x)=2π1∑n=−NN f(xn)[cos(T2π(x−xn))+i sin(T2π(x−xn))]。
第四步，将第三步中的f(x)表示为傅里叶级数的形式。
由于f(x)是周期函数，因此可以将f(x)表示为无穷级数∑k=−∞∞ak cos(T2πkx)+bk sin(T2πkx)，其
中ak和bk是傅里叶系数。
综上，傅里叶级数公式可以表示为：f(x)=∑k=−∞∞ak cos(T2πkx)+bk sin(T2πk x)，其中ak和bk是傅里叶系数。
十五章傅里叶级数
2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用 上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解： 函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的
第11章第6节傅里叶级数2015-03-2405311.2MB
例2.设函数
数展式为
2
3
(93 考研)
解:
的傅里叶级 则其中系数
利用“偶倍奇零”
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,它在
上的表达式为
f (x)
1
,
x0
将
f
(x)
展成傅里叶级数.
1, 0 x
y
解: 先求傅里叶系数
1
o
x
1
它的傅里叶级数在 x 处收敛于 (n 1, 2, 3,...)
f1n(2fx1()0(n1010)4ss2ci([inocns,ffsion在nn((nsx0xnxdx0x)x)xd213nxsf1210in(n20[11310处1x,)s收0ixn(n1敛10nn0141xc0于)c2ond,2os]0ks1xn1nxx0d1,00sx0in2(nn.2n1,k
第十一章
11.6 傅里叶级数
一、函数展开成傅里叶级数 二、正弦级数和余弦级数
一、函数展开成傅里叶级数
设 f (x) 是周期为 2 的周期函数， 若 f (x) 并满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件:
1) 在一个周期内连续 或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数 收敛，且
a0 2
n1
(an
cos nx
bn
sin nx)
f (x) 的傅里叶系数
f (x) ,
f (x) 2
x 为连续点
f ( x ) , x 为间断点
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
高数第9章傅里叶级数
0
2
x
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数学分析
1 a0 f ( x )dx
1 0 1 ( x )dx 0 xdx ,
1 an f ( x ) cos nxdx
1 0 1 ( x ) cos nxdx 0 x cos nxdx
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三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
且等式右边级数一致收敛。
(1) 求a0 .
a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx)]dx 2 k 1
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较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动
yk Ak sin k x k
的叠加
n n
k 1, 2,
,n
y yk Ak sin k x k
k 1 k 1
（2）
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如：非正弦周期函数:矩形波
1, 当 t 0 u( t ) 当0 t 1, u
m
u
E
o
Em
t
将其展开为傅立叶级数.
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点t k( k 0, 1, 2,)处不连续.
Em Em E m ( E m ) 0, 收敛于 2 2
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傅里叶级数推导
傅⾥叶级数推导物理意义：把⼀个⽐较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。
三⾓函数系cos x, sinx, cos2x, sin2x.…, cosnx, sinnx.…正交性在[-，]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在[-，]上的积分等于0.可以证明：当m=n时设是周期为2的周期函数，且可逐项积分，利⽤三⾓级数得想要表达得求出 ，对两边进⾏积分得因为为常数，利⽤三⾓函数的正交性ππππcos nxdx =∫−ππsin nxdx =∫−ππcos mx cos nxdx =0(m =1,2,3,⋯,n =1,2,3,⋯m =n )∫−ππsin mx sin nxdx =0(m =1,2,3,⋯,n =1,2,3,⋯m =n )∫−ππsin mx cos nxdx ∫−π=0(m =1,2,3,⋯,n =1,2,3,⋯)(n =1⋅1d x =2π∫−ππcos nxdx =π∫−ππ2sin nxdx=π∫−ππ21,2,⋯)f (x )πf (x )=+2a 0a cos nx +b sin nx n =1∑∞(n n )f (x )a ,a ,b 0n n f (x )d x =∫−ππd x +a cos nx d x +b sin nx d x ]∫−ππ2a 0n =1∑[∫−ππn ∫−ππn a ,a ,b 0n n cos nxdx =∫−ππ得到为了求，在等式两边 当k=n时，由三⾓函数的正交性可知其余各项均为零.因此同理整理⼀下得：sin nxdx =∫−ππf (x )d x =∫−ππd x =∫−ππ2a 0πa 0a =0f (x )dx π1∫−ππa n cos kxf (x )cos kxdx ∫−π=cos kxdx ∫−π2a 0+I a cos kx cos nxdx n =1∑∞−ππn +b cos kx sin nxdx ]∫−ππn =a cos kx cos nxdx =a cos nxdx ∫−πn ∫−πn 2a dx =a πn ∫−ππ21+cos 2nx n a =n f (x )cos nxdx (n =π1∫−ππ1,2,3,⋯)b =n f (x )sin nxdx (n =π1∫−ππ1,2,3,⋯)⎩⎨⎧a =f (x )cos nxdx n π1∫−ππb =f (x )sin nxdx n π1∫−ππ(n =0,1,2,⋯)(n =1,2,3,⋯)称为傅⾥叶系数。
傅里叶级数的数学推导
t 0 T 1 t0
a0
cos( kw1t ) dt [ an
cos( nw1t )cos( kw1t )dt bn
t 0 T 1
t0
sin( nw1t )cos( kw1t ) dt ]
当 k=n 时
t 0 T 1
t0
cos( nw1t ) f (t ) dt an
1.傅里叶级数展开表达式为：（ T 1 为 f(t)的周期）
f (t ) a 0 a1 cos( w1t ) b1 sin( w1t ) a 2 cos(2 w1t ) b 2 sin( w2t )
.....+an cos(nw1t ) bn sin( nw1t ) a 0 [an cos(nw1t ) bn sin( nw1t )]
n 1
直流分量： a 0
1 t 0 T 1 f (t )dt T 12 t 0 T 1 cos(nw1t ) f (t )dt T 1 t 0
2 t 0 T 1 正弦分量的幅度： bn T 1 t 0 sin(nw1t ) f (t )dt
2.三角函数的正交性： 一个三角函数系：1，cosx, sinx, cos2x, sin2x……cosnx, sinnx,……….如果这一堆函数（包括 常数 1）中任何两个不同函数的乘积在区间[- , ]上 的积分等于 0，就说三角函数系在区间[- , ]上正交。 即有如下式子：
t 0 T 1
t0
cos( nw1t )cos( kw1t )dt an
t 0 T 1
t0
cos 2 ( nw1t )dt
an t 0 T 1 an (1 cos 2nw1t )dt T 1 2 t0 2
经典傅里叶级数公式的系数推导.ppt
T f (t)e jntdt 0
T 0
Fk e jkte jnt dt
k
• 这里T 是f (t)的基波周期，以上就是在该周期内积分。
2
• 将上式右边的积分和求和次序交换后得
T f (t)e jntdt 0
Fk [
T e j(k n)t dt]
0
k
(3)
• (3)式右边括号内的积分式很容易的，为此利用欧拉关系
可得 T e dt j(kn)t
T
T
cos(k n)tdt j sin(k n)tdt
0
0
0
• 综合上述得到
T 0
e
dt j(k n)t
T 0
k n kn
• 这样(3)式的右边就化为 TFn 。因此有
Fn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 T
T f (t)e jnt dt
0
• 该式给出了确定系数的关系式。
3
傅里叶级数公式的系数推导
2012-03-11 TJUT
1
• 假设一个给定的周期信号能表示成
• •
f (t) Fke jkt k
(1)
• 的级数形式，这就需要一种办法来确定这些系数。将(1)
式两边各乘以e jnt ，可得
•
f (t)e jnt
Fk e jkt e jnt
k
(2)
• 将上式两边从0 到T 2 对 t 积分，有
高等数学课件--D127傅里叶级数
1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条
件比展成幂级数
的条件低得多.
f (x) ,
f (x) f (x) , 2
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
y
an 0 (n 0 , 1 , 2 , )
bn
2
0
f
(x)sin nxd x
O
x
2
0
x sin
nx d
x
2
x
cos n
nx
sin nx n2
0
2 cos n 2 (1)n1 ( n 1 , 2 , 3 , )
n
n
2019/11/24
x
π
d
x
1 π
x2 2
0 π
π 2
an
1 π
π
π
f
(x)cos nxdx
1 π
0
π
x cos
nx
d
x
2019/11/24
1 xsin nx π n
cos nx n2
0 π
1
cos nπ n2 π
同济版高等数学课件
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2 π
三角波的傅里叶级数系数的推导
一、概述三角波是一种常见的周期信号，它具有周期性和对称性的特点，因此可以用傅里叶级数来表示。
傅里叶级数可以将周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而更好地理解和分析周期信号的特性。
在本文中，我们将对三角波的傅里叶级数系数进行推导，以便更深入地理解三角波的频谱特性。
二、三角波的定义三角波是一种周期信号，其波形呈现出周期内上升和下降的锯齿状特点。
三角波的数学表达式可以写为：f(t) = a0 + Σ(an * cos(nωt) + bn * sin(nωt))其中，a0是直流分量，an和bn是三角波的傅里叶级数系数，n为正整数，ω为基本频率。
三、傅里叶级数系数的计算我们需要计算三角波的直流分量a0。
由于三角波的周期是T，可以利用傅里叶级数公式中的直流分量计算公式来求解：a0 = (1/T) * ∫[0, T] f(t) dt其中，f(t)为三角波的数学表达式，∫[0, T]表示在一个周期内对f(t)进行积分。
接下来，我们计算三角波的余弦系数an。
根据傅里叶级数公式，余弦系数的计算公式如下：an = (2/T) * ∫[0, T] f(t) * cos(nωt) dt类似地，我们还需要计算三角波的正弦系数bn。
正弦系数的计算公式如下：bn = (2/T) * ∫[0, T] f(t) * sin(nωt) dt四、三角波傅里叶级数系数的推导1. 计算直流分量a0首先计算三角波的直流分量a0。
根据三角波的定义，可以将f(t)代入直流分量计算公式中，然后对f(t)在一个周期内进行积分，即可求得直流分量a0的值。
2. 计算余弦系数an接下来计算三角波的余弦系数an。
根据余弦系数的计算公式，将f(t)和cos(nωt)代入公式中，然后对f(t) * cos(nωt)在一个周期内进行积分，即可求得余弦系数an的值。
需要注意的是，由于三角波在一个周期内只有一段时间是不为零的，因此在计算余弦系数时需要分段进行积分计算。
傅里叶变换推导过程
傅里叶变换推导过程傅里叶变换是一种将时域（时间）信号变换到频域的数学变换方法。
它是由法国数学家傅里叶在18世纪中提出的，并为我们理解和处理信号提供了重要的数学工具。
傅里叶变换的推导过程相对复杂，但可以简述为以下几个步骤：首先，我们需要了解傅里叶级数，这是一种将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。
这种分解的主要思想是利用欧拉公式，将正弦和余弦函数表示为指数函数的形式。
例如，正弦函数可以表示为：sin(x) = (e^(jx) - e^(-jx)) / (2j)，其中 j 是虚数单位。
接着，我们用类似的方法将一般的时域函数 f(x) 分解成不同频率的正弦和余弦函数之和，即：f(x) = a0/2 + Σ(an cos(nx) + bn sin(nx))其中 a0、an 和 bn 是系数。
这是傅里叶级数的一般形式。
我们可以将其写成复数形式：f(x) = Σ(cn e^(jnx))其中 cn = (an - jb)/2，而且 n 是正整数。
现在，我们希望将这种分解推广到非周期函数上。
这时，我们需要将周期函数的傅里叶级数推广到傅里叶变换。
具体来说，我们需要将周期函数的周期 T 取极限，即T → ∞。
这样，我们就得到了傅里叶变换：F(ω) = ∫f(x) e^(-jωx) dx其中，ω 是角频率，e 是自然对数的底数，即e = 2.71828…。
傅里叶变换将一个时间为 x 的函数 f(x) 转化成另外一个函数F(ω)，其中F(ω) 表示在频率ω 上 f(x) 的贡献大小。
傅里叶变换的逆变换为：f(x) = (1/2π) ∫F(w) e^(jωx) dω即，重新利用F(ω) 来重建原始的函数 f(x)。
总之，傅里叶变换是一种将时域信号转换到频域的重要工具。
通过分解函数成不同频率的正弦和余弦函数，我们可以更好地理解和处理信号。
傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导
傅⾥叶系列（⼆）傅⾥叶变换的推导关于傅⾥叶级数的推导详见：
我们先把傅⾥叶级数转换为指数形式：
三⾓函数形式：
代⼊欧拉公式：
可以变形为：
将、代⼊傅⾥叶级数求得：
将(2)、(3)、(4)代⼊得：
同理可得：
将两式代⼊到(5)中解得：
(注：当时： )
公式（6）为傅⾥叶级数的指数形式
然后我们来仔细研究下公式(6)
聪明的你，⼀定可以看出来这个累加很有希望转换成⼀个积分形式。
积分表达式的累加形式为：
其中为步长.同理我们有：
设，得到：
我们令即可得到⼀个标准化的傅⾥叶变化公式：
其中
总结下思路：
1、先将傅⾥叶级数从三⾓函数形式化为欧拉公式形式
2、通过欧拉公式我们发现可以把累加形式化为积分形式
3、将其中的积分因⼦提取出来，⽅便之后的计算。
傅里叶级数.pdf
f ( x)dx
a0 dx 2
an
n1
cosnxdx bn
sin nxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
f ( x)dx a0 2 2
1 a0
f ( x)dx
其次求 an ，用 cos nx 乘②式两端，再从
到 逐项积分，可得
f (x) cos nxdx a0 2
0
10
1
f ( x) cos( nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
1
1
f ( x) cos(nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
0
2 f ( x) cosnxdx ( n 0,1,2,3, ).
0
1 bn
f ( x) sin nxdx
10
1
f (x) sin nxdx
x sin nxdx
⑤
2 n1
2
2
记
a0 2
c0 ,
an ib n 2
cn ,
an ib n 2
cn
(n 1,2,3, ),
则⑤式就表示为
a0 2
cn einx
n1
c n e inx ) .
(cneinx ) n 0
cn einx c ne inx ) .
n1
cneinx
⑥
n
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数 cn 的计算
（1）证 设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：
1 an
f (x) cosnxdx
10
1
6.第二章 傅里叶级数
- 3 -第二章 傅里叶级数傅里叶级数是一类由三角函数列产生的三角级数，在数学与工程技术中有着广泛的应用．三角级数是分析学中一个重要的分支．在数学发展史上，法国数学家傅里叶在著作《热的解析理论》中，第一次系统地运用三角级数和三角积分来处理热传导问题．此后，众多数学家，如狄利克雷、黎曼、利普希茨等都曾从事于这一领域的研究，弥补了傅里叶工作的不足，极大地发展了傅里叶级数理论，扩大了其应用范围．使这一理论成为研究周期现象不可缺少的工具．2.1 傅里叶级数（三角函数)函数列1co s sin co s 2sin 2co s sin x x x x n x n x ，，，，，，，称为三角函数系．由于欧拉公式c o s sin ixe x i x=+，所以我们也称函数列{}(01)ikx e k=± ，，为三角函数系．三角函数系1co s sinco s 2sin 2co s sin x x x x n x n x ，，，，，，，具有以下特性：（1）周期性：三角函数系中所有函数具有共同的周期2π． （2） 正交性：三角函数系中各函数在长度为2π的任意区间[,2]I a a π=+上组成正交函数系，即222s in s in 0()c o s c o s 0()c o s s in 0a a a a a am x n xd x m n m x n xd x m n m x n xd x πππ+++=≠=≠=⎰⎰⎰，，．（3）三角函数系中任何一个函数的平方在[,2]a a π+上的积分都不等于零，即222222c o s s in 12a a aaa an xd x n xd x d x πππππ+++===⎰⎰⎰，．- 4 -（4）完全性：若存在定义在[,2]a a π+以2π为周期的可积函数()f x ,它在[,2]a a π+上与三角函数系的每一个函数正交，则()0..f x a e =，对三角函数系{}(0,1,)ikx e k=± 同样具有上述特性：（1）周期性：三角函数系中所有函数具有共同的周期2π． （2） 正交性：三角函数系中各函数在长度为2π的任意区间[,2]I a a π=+上组成正交函数系，即20()a im xin xaeed x m n π+=≠⎰，．（3）三角函数系中任何一个函数的平方在[,2]a a π+上的积分都不等于零，即20a im xim xaeed x π+=⎰．（4）完全性：若存在定义在[,2]a a π+以2π为周期的可积函数()f x ,它在[,2]a a π+上与三角函数系的每一个函数正交，则()0..f x a e =，我们称级数01(c o s s i n )2k k k a a k x b x ∞=++∑为实型傅里叶（三角）级数，其中0a ，k a ，k b ，(12)k = ，，是实数列，称为实型傅里叶（三角）级数的系数．我们称级数ik xk k c e∞=-∞∑为复型傅里叶（三角）级数，其中(01)k c k=± ，，，是复数列，称为复型傅里叶（三角）级数的系数．应用三角函数系的正交性，我们讨论傅里叶级数的和函数()f x 与级数的系数0n na ab ，，之间的关系．在整个数轴上01()(c o s s in )2k k k a f x a k x b x ∞==++∑，且等式右边级数一致收敛，得- 5 -1()c o s 0121()s in 12n n a f x n xd x n b f x n xd x n ππππππ--====⎰⎰，，，，，，，，．下面讨论周期为2l 的函数()f x 的傅里叶级数的和函数()f x 与级数的系数0n na ab ，，之间的关系.在整个数轴上01()(c o s s in )2k k k a f x a k x b x ∞==++∑，且等式右边级数一致收敛，得1()c o s0121()s in12ln l ln ln x a f x d x n l l n x b f x d x n llππ--====⎰⎰，，，，，，，，．2.2 傅里叶级数的收敛性2.2.1 Dirichlet 积分Dirichlet 积分，是研究傅里叶级数散敛性的重要工具． Dirichlet 积分:当0θ≠时，由三角函数的积化和差公式，有121s in12c o s 22s in2mn m n θθθ=++=∑，且1()c o s 0121()s in 12n n a f x n xd x n b f x n xd x n ππππππ--====⎰⎰，，，，，，，，．可得傅里叶级数的部分和为：- 6 -()()01111()(c o s s in )211()()c o s c o s ()s in s in 211()(c o s c o s s in s in )221s in (1112()c o s ()()2mm n n n mn mn mn a S x a n x b n x f t d t f t n td t n x f t n td t n xf t n t n x n t n x m t f t n t x f t πππππππππππππππ=---=-=-==++⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦+⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰⎰∑⎰∑⎰)2s in22121s ins in1122()()()2s in2s in22xxx d tt x m m u u u t x f x u d u f x u d u u u ππππππππ-------++=-=+=+⎰⎰⎰设．通过上述方法就可以把部分和转化成积分形式，这个积分为Dirichlet 积分．一般的，将积分区间[,]ππ-分为[0,]π-和[,0]π-两部分，稍作变化，就可得到Dirichlet 积分的惯用形式[]21s in12()()()2s in2m m uS x f x u f x u d u u ππ+=++-⎰．如何使用Dirichlet 积分判断傅里叶级数的收敛性？一般的，已知下列等式121sin2212c o s 122sin2mn m u d u n u d u u ππππ=+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑⎰⎰，则对于任意给定的函数()x ρ，有[]21s in12()()()()2()2s in2m m uS x x f x u f x u x d u u πρρπ+-=++--⎰．可以记 (,)()()2(u x f x u f x u xρψρ=++--，- 7 -则()f x 的傅里叶级数是否收敛于某个()x ρ就等价于极限21s in2lim(,)2s in2m m u u x d uu πρψ→∞+⎰是否存在且等于零．因此，Dirichlet 积分，是研究傅里叶级数散敛性的重要工具．2.2.2 局部性原理局部性原理：可积或绝对可积函数()f x 的傅里叶级数在x 点是否收敛只与()f x 在(),x x δδ-+的性质有关，这里δ是任意小的正常数．由黎曼—勒贝格定理，可推得以下定理： 设函数()u ψ在[]0,δ可积且绝对可积，则成立2121s ins in22lim()lim()2s in2m m m m uuu d u u d u u uδδψψ→∞→∞++=⎰⎰．证明：令1102s in()200u u ug u u ⎧->⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 易验证()g u 是[]0,δ上的连续函数，由黎曼引理，当m→∞时，有()()01111s in ()s in 0222s in 2u m u d u u g u mu d u u u δδψψ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫-+=+→⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰．显然这里的δ可以取大于0的任意常数．2.2.3 傅里叶级数收敛性的证明以上推论进一步告诉我们，如果能找到适当的()x ρ，使得对于充分小的定数0δ>，有- 8 -(,)21lims in02m u x m u d u uδρψ→∞+⋅=⎰，则()f x 的傅里叶级数必定收敛于这个()x ρ，显然，对[],x ππ∈-，只要存在个δ>，使得()()()(,)2u x fx u fx u x uuρψρ++--=在(0,)δ可积且绝对可积，就可以由黎曼引理导出上面的结果．现假设()f x 在[],x ππ∈-至多只有第一类不连续点，而上述积分存在与否涉及(,)u x uρψ当0u→时的性质，要满足上述条件首先必有()()()0lim 20u f x u fx u x ρ→++--=⎡⎤⎣⎦或者()()()002fx fx x ρ++-=．于是问题最终转化为研究使得()()()()000s in lim22p fx fx p u f x u fx u d u uδ→+∞++-⎡⎤++--=⎢⎥⎣⎦⎰成立的条件，这是探索傅里叶级数收敛性的一把钥匙．所以，我们可以得到傅里叶级数收敛的条件： 设函数()f x 在[],ππ-可积且绝对可积，且满足下列两个条件之一，则()f x 的傅里叶级数在x 收敛于(0)(0)2f x f x +++．（1）（Dirichlet-Jordan 判别法）()fx 在某个区间[],(0)x x δδδ-+>上是分段单调函数或若干个分段单调函数之和．- 9 -（2）（Dini-Lipschitz 判别法）()f x 在点x 处满足下述的指数为(0,1]α∈的H o ld er 条件． H o ld er条件：设函数()f x 在x 点连续或第一类间断，若对于充分小的正数δ，存在常数0L >和(0,1]α∈，使得成立()(0)(0)f x u f x L uu αδ±-±<<<，． 则称()f x 在x 点满足H o ld er 条件（当1α=称为Lipschitz 条件）．以上判断函数的傅里叶级数收敛的充分条件分别由德国数学家Dirichlet 和Lipschitz 得到，他们的结果经后人改善总结，表示成以上定理．2.3 傅里叶级数的性质2.3.1 傅里叶级数的逐项积分定理设()f x 在[],ππ-上可积或绝对可积，01()(c o s s in )2n n n a f x a n x b n x ∞=++∑，则()f x 的傅里叶级数可以逐项积分，即对于任意c ,[],x ππ∈-，01()(c o s s in )2xxx n n c ccn a f t d t d t a n x b n x d t ∞==++∑⎰⎰⎰．2.3.2 傅里叶级数的逐项微分定理()f x 在[],ππ-上连续，01()(c o s s in )2n n n a f x a n x b n x ∞=++∑，()()f f ππ-=，且除了有限个点外()f x 可导．假设'()f x 在[],ππ-上可积或绝对可积（'()f x 在有限个点可能无定义，并不影响可积性），则'()f x 的傅里叶级数可由()f x 的傅里叶级数逐项微分得到，即- 10 -'011()()(c o s s in )2(s in c o s )n n n n n n a d d f x a n x b n x d xd xa n n xb n n x ∞=∞=++=-+∑∑．2.3.3 傅里叶级数的平方逼近性质最佳平方逼近元素：设S 是一个定义了内积运算(),的线性空间，取S 中的范数为=T是S 的一个n 维子空间，记T 的一组正交基为12,,,n ϕϕϕ ，即{}12sp an ,,,n T ϕϕϕ= ．若对于x S∈，有1122Tn n x c c c Tϕϕϕ=+++∈ ，使得m in Ty Tx x x y∈-=-，则称T x 是x 在T 中的最佳平方逼近元素．傅里叶级数的平方逼近性质为： 设T 为n 阶三角多项式01(c o s s in )2nk k k A A k x B k x =++∑的全体，()f x 在[],ππ-上可积或平方可积，则()f x 在T 中的最佳平方逼近元素恰为()f x 的傅里叶级数的部分和函数01(c o s s in )2nn k k k a S a k x b k x ==++∑，逼近的余项为2222211()()2nnk k k a f S f x d x a b πππ-=⎡⎤-=-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 2.3.4 傅里叶级数的平方收敛性质平方收敛：若函数序列{}()n x ψ满足- 11 -2lim()()0n n f x x ψ→∞-=．这里()f x 是某固定的函数，则称{}()n x ψ按范数平方收敛于()f x ，简称()nx ψ平方收敛于()f x ．傅里叶级数的平方收敛性质为： 设()f x 在[],ππ-上可积或平方可积，则()f x 的傅里叶级数的部分和函数序列平方收敛于()f x ．2.4 傅里叶级数的应用2.4.1 贝塞耳（Bessel ）不等式若函数()f x 在[],ππ-上可积，则2222011()()2n n n a fx d x a b πππ∞-=≥++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数．2.4.2 帕塞瓦尔（Parseval ）等式若函数()f x 在[],ππ-上可积，且()f x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，则2222011()()2n n n a fx d x a b πππ∞-==++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数．2.4.3 帕塞瓦尔（Parseval ）等式的推广若函数()f x ，()g x 在[],ππ-上可积，且()f x ，()g x 的傅里叶级数在[],ππ-上一致收敛于()f x ，则0011()()()2n n n n n a f x g x d x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．其中0(12)n n a a b n = ，，，，，为()f x 的傅里叶系数；- 12 -0(12)n n n ααβ= ，，，，，为()g x 的傅里叶系数．2.4.4 黎曼—勒贝格定理若为()f x 可积函数，则lim()c o s 0lim ()sin 0ba pb ap x p xd x x p xd x ψψ→∞→∞⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰．2.4.5 Wirtinger 不等式对任意有界区域[],a b ，若函数[]1,f Ca b ∈，且满足()()0f a f b ==，则有Wirtinger 不等式()222'2bbaab a fd x fd xπ-≤⎰⎰成立，式中的常数()22b a π-不能改进．。