高中数学 1.4.2 单位圆与周期性1(新版)北师大版必修4
北师大版高中数学必修四1.4.2 单位圆与周期性
(2) cos( 23 ) sin17
3
4
求下列三角函数值． (1)sin(－1 050°)；(2)cos－356π.
解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，
∴－1 050°的角与 30°的角的终边相同．
∴sin(－1 050°)＝sin30°＝12.
(2)∵－356π＝－366π＋π6＝－3×2π＋π6，
即：4 是 f(x)的一个周期.
8分
∵x∈[0,4)时，f(x)＝0 的根为 x＝0， ∴f(x)＝0 在 R 上的根为：x＝4k，k∈Z. 由 0≤4k≤2 016(k∈Z)得：0≤k≤504(k∈Z)． ∴f(x)在[0,2 016]内的零点共有 504 个.
10 分 12 分
2.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间 [0,2]上是增函数，则( )
∴－365π的角的终边和π6的角的终边相同．
∴cos－356π＝cosπ6＝
3 2.
例
2．若函数
f(x)是以π2为周期的周期函数，且
f
π 3
＝1，则
f
17π 6
的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．无法确定
解析：f176π＝f2π＋π2＋π3＝fπ3＝1. 答案：A
练习：1、已知函数f(x)是R上的周期为5的周期 函数，且f(1)=2005，求f(11);
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
解析：∵f(x－8)＝f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴f(x＋8)＝f(x)，∴f(x)的周期 T＝8， ∴f(－25)＝f(－1)， f(80)＝f(0)， f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)， 由已知得 f(x)在[－2,2]上是增函数， ∴f(－1)＜f(0)＜f(1)， ∴选 D．
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 4.2单位圆与周期性》
§单位圆与周期性一、[学习目标]1掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数2会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为0°～360°求值．二、[教学难点]周期函数的定义及应用三、[教学重点]正弦函数，余弦函数的周期性四、学情分析：五、学法与教法：探究讨论法六、教学过程：〔一〕、复习回忆任意角的三角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P,，那么：叫作α的正弦函数，记作inα，即inα=；叫作α的余弦函数，记作coα，即coα=;当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：在直角坐标系的单位圆中，画出以下各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表观察此表格中的数据,你能发现函数=in和=co的变化有什么特点吗？〔二〕、引入新课把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数正弦函数、余弦函数是周期函数，称为正弦函数、余弦函数的周期例如，等都是它们的周期其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期一般地，对于函数f，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个值，都有fT=f, 我们就把f称为周期函数，T称为这个函数的周期说明：假设不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期〔三〕、探究新知1、对周期函数的理解周期函数的定义中“对于定义域内的任意一个〞的“任意一个〞的含义是指定义域内的所有的值，即如果有一个，使得，那么T就不是函数f的周期。
注意，周期函数定义中的“T〞是____________2、对最小正周期的理解并不是所有周期函数都存在最小正周期。
函数：f=c〔c为常数〕，对于函数f〔〕的定义域内的每一个值,都有f〔T〕=c，因此f〔〕为_______,由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f〔〕没有最小正周期3、周期函数的周期有无限多个。
高中数学北师大版必修4第一章《单位圆与周期函数》ppt课件
2019/8/29
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14
谢谢欣赏！
2019/8/29
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课本P16练习T1(1)
公式一 sin(2k x) sin x, k z;
cos(2k x) cos x, k z.
这节课我们学了
它们能将任意角正弦Fra bibliotek数、余弦函数的三角函数化为 0º~360º角的三角函数
是周期函数， 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y
P(u, v),
2 x
ox M1 x
图5
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一
三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(2k x) sin x, k z; 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2k x) cos x, k z.
y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周
期是
T' T
课本P20习题1—4 A组T4。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
单位圆与周期性(北师大版)
1 (2)作直线 x＝－2交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角 α 终边的范围，故 满足条件的角 α 的集合为
2 4 α|2kπ＋ π≤α≤2kπ＋ π，k∈Z 3 3
要点二 利用周期求值 例2 求下列角的三角函数值．
π 则 OP1，OP2 是角 α 的终边，因而角 α 的集合为{α|α＝2kπ＋ 或 6 5π α＝2kπ＋ ，k∈Z}． 6
1 1 (2)因为角 α 的余弦值为2，所以在 x 轴上取点2，0，过该点作
x 轴的垂线，交单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α π 的终边，α 的取值集合为{α|α＝2kπ±3，k∈Z}．
规律方法 利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的 三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三 角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角 的三角函数值．
跟踪演练 2 求下列各式的值．
15 25 10 (1)sin － 4 π ＋cos π＋cos(－ π)； 3 3
π 2 ＋cos3＋cos3π 2 1 1 2 ＝ 2 ＋2＋ －2 ＝ 2 .
(2) 原式＝ sin(2×360° ＋ 90° ) ＋ cos(2×360° ＋ 45° ) － sin(3×360° ＋45° )＋cos 180° ＋sin(－6×360° ＋150° ) ＝sin 90° ＋cos 45° －sin 45° ＋cos 180° ＋sin 150° 2 2 1 1 ＝1＋ 2 － 2 ＋(－1)＋2＝2.
高中数学· 必修4· 北师大版
4.2 单位圆与周期性
[学习目标] 1．掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数 都是周期函数．
高中数学北师大版必修四课件：第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D.
解析 答案
(2)判断下列各式的符号. ①sin 145°cos(－210°)； 解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a， 4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－45aa＝－45，cos α＝－ －35aa＝35，
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 3
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋cos α 的值.
解答
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所
以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则
所以 sin α＝ 23aa＝ 23， cos α＝2aa＝12.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
Байду номын сангаас
所以 sin α＝－32aa＝－ 23，cos α＝－2aa＝－12.
解答
类型二 正弦、余弦函数值符号的判断
高一数学北师大版必修4第一章1.4.2单位圆与周期性
安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间：第 周集体备课 个人空间一、课题： 1.4.2单位圆与周期性二、学习目标⒈理解周期性概念的形成. ⒉周期函数概念的加深理解.⒊正弦、余弦函数的周期性.重点：正弦、余弦函数的周期性。
难点：求函数的最小正周期。
三、落实目标：【自主预习】1.当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：象限 三角函数 第一象限第二象限 第三象限 第四象限αsinαcos2.终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，即_________________________，_________________________。
3.课前自主学习⑴一般地，对于函数()x f ，如果存在非零实数T ，对定义域内的_______________一个x 值都有_________________________，我们就把()x f 称为周期函数，____________称为这个函数的周期。
如果在周期函数()x f 的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做()x f 的最小正周期。
⑵若周期函数()x f 的一个周期是T （T ≠0），则___________________也为()x f 的周期。
⑶正弦函数、余弦函数的周期为_____________________，最小正周期为________________。
【合作探究】1.已知函数)(x f )(R x ∈是周期为3的奇函数，且f(-1)＝a,则f(7)＝_________2.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且f(1)＝2,f(x+3)＝f(x) ,求f(8).3.已知角α为第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
【检测训练】反思栏。
高中数学(北师大版必修4)1.4.2单位圆与周期性
4.2 单位圆与周期性一、基础过关 1．sin 390°等于( )A.32B ．－32C ．－12D.12 2．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π 3．比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.54．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3B.⎝⎛⎭⎫0，π3C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________. 6．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第______象限． 7．求函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为______．8．解三角不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.二、能力提升 9．下列命题正确的是( )A ．α、β都是第二象限角，若sin α>sin β，则cos α<cos βB ．α、β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βC ．α、β都是第四象限角，若sin α>sin β，则cos α>cos βD ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β10．已知点P (sin α－cos α，sin αcos α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围是________．11．求函数f (x )＝log (1－2cos x )(2sin x ＋1)的定义域．12．已知f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．三、探究与拓展13．设π2>α>β>0，求证：α－β>sin α－sin β.答案1．D 2.B 3.C 4.D5.⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π6.四7.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z 8．解 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，如图所示，由三角函数线可得：∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )，2k π－π3<x <2k π＋π3 (k ∈Z ).此交集恰好为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z .故不等式组的解集为{x |2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z }．9．C 10.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π 11．解 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ＋1>01－2cos x >01－2cos x ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x >－12cos x <12cos x ≠0.如图利用单位圆，得函数的定义域是(2k π＋π3，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋76π)，k ∈Z .12．证明 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期． 13．证明如图所示，设单位圆与角α、β的终边分别交于P1、P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x 轴于M2，作P2C⊥P1M1于C，连接P1P2，则sin α＝M1P1，sin β＝M2P2，α－β＝P1P2，∴α－β＝P1P2>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.。
高中数学 1.4.2 单位圆与周期性课件1(新版)北师大版必修4
分别是O P 1 、O P 2 .
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27
题型三 利用三角函数线求角的范围
解析：如图所示，先作出直线 y 3 ，与单位圆
2
有两个不同的交点P1、P2，则满足条件α的终边有两
个 ，分别是 OP1、OP2，在
. 或 2 33
y
3 2
0 2 内，yα的值 为
P2
P1
M2 O M1
x
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28
3） 有向线段OM是余弦线.
4） 设单位圆与x轴的非负半轴交于点A(1,0)，过点A作
垂线与角α的终边（或其反向延长线）交于点T，则有
向线段AT就是正切线.
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32
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23
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
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5
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
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6
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：1.4.2单位圆与周期性
§4.2 单位圆与周期性教学目标1．知识与技能（1）会利用单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的周期性；（2）理解周期函数的定义。
2.过程与方法由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，利用单位圆的独特性，充分理解正弦函数和余弦函数的周期性。
同时感受利用单位圆研究三角函数是高中数学中的一种重要方法。
3.情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的三角函数推广到任意角的三角函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
教材分析在直角坐标系的单位圆中，角α的终边与单位圆的交点P的位置随α的变化而变化，由此可看出正弦函数、余弦函数的周期性。
教材在分析了正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化而呈周期性变化后，归纳出了周期函数的概念，并给出了定义。
教材重点研究了正弦函数、余弦函数的周期性，而对一般的周期函数不作研究。
教学重点1．任意角的三角函数两个定义的应用；2.周期函数的概念教学难点1.三角函数定义的灵活应用；2. 理解周期函数的概念教学方法与手段学生对三角函数定义的灵活应用有一定难度，教师应以数形结合为引导，启发学生利用定义解题的关键是求出角α终边与单位圆的交点坐标。
另外，周期函数的概念的理解对学生有较高的要求，建议教师从特殊出发，引导学生自己独立发现规定自变量的任意性的合理性。
教学过程一、复习回顾：1．任意角的三角函数是如何定义的？体现什么数学思想？2．利用单位圆定义任意角的三角函数的正、余弦函数有什么优点？体现什么数学思想？从中可以发现正、余弦函数有什么关系？利用角α终边上一点(5,12)P -分别求sin ,cos ,tan ααα来回答问题1和问题2.（1）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k ->，如何求ααcos ,sin ？（2）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k -<，如何求ααcos ,sin ？（3）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k -≠，如何求ααcos ,sin ？3．正弦、余弦函数的定义域是什么？你是如何得到三角函数定义域的？4．正弦、余弦函数在四个象限的符号是怎样的？正弦一二为正三四为负，余弦一四为正二三为负。
高中数学北师大版必修4《第1章44.2单位圆与周期性》课件
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
数学人教版 高中数学
4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
北师大版高中数学必修4课件1.4单位圆与周期性课件
点拨：当角
0 2π 之间时，常利用“终边相同角的三 角函数值相等”，把该角转化到 0 2 π 之间，再求值。
【自主解答】
23 π (1)sin－ π＝sin－4π＋ ＝sin 6 6
不在
π 1 ＝ 6 2
1 (2)cos 1 500° ＝cos(4×360° ＋60° )＝cos 60° ＝ 2
北京师范大学出版社 ︱必修四
第一章 · 三角函数
1.4.2 单位圆与周期性
新课导入
1、任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数
s in b a b , cos , ta n r r a
b a b , cos , ta n r r a
直角坐标系中定义锐角三角函数
巩固练习
1、求下列三角函数值
(1) cos(1050 ) π 31 (2) sin 4
【解】 (1)∵－1 050° ＝－3×360° ＋30° ， ∴－1 050° 的角与 30° 的角终边相同。 3 ∴cos(－1 050)° ＝cos 30° ＝ 2 31π π (2)∵－ ＝－4×2π＋ ， 4 4 31π π ∴角－ 与角 的终边相同。 4 4
s in
单位圆中定义锐角三角函数
b s in b , c o s a , ta n a
单位圆中定义任意角的三角函数
s in y , c o s x
, tan
y x
2、三角函数的定义域、值域：
三角函数 定义域
sin cos tan
R R
sin （ +2kπ)=sin ,(k Z)
（2）终边相同角的余弦函数值相等，即
1.4.2单位圆与周期性 课件高中数学必修4(北师大版)
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
本 课 时 栏 目 开 关
作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
高中数学北师大版必修四《1.4单位圆与周期性、诱导公式》课件
单位圆与引 诱公式
北师大版 高中数学
课程 标准
教材 的理解
所教学生 实际情形
一、教学背景 二、教学目标 三、教学策略 四、教学进程
五、教学特点及反思
为今后学习三角函数图像 与性质等知识做好铺垫
探究终边存在特别关系的角的 正、余弦值之间的关系
探究正、余弦函数中存在周期现 象并抽象出周期函数的定义
教学难点：
1、α＋π，α-π与角α终边位置的几何 关 系的发觉以及表示
2、发觉由终边位置关系导致（与单位圆 交点）的坐标关系
❖通过对正、余弦函数的分析使学生能初步了解函数的周 期性 ❖借助单位圆、三角函数定义、对称性等知识点引导学生 积极参与引诱公式的产生进程，加深对引诱公式的理解
•认识客观世界中的周期现象，感受周期函数是自然现象，体 会数形结合的思想方法 ，感受数学的现实价值
问题探究式
结合信息技 术相结合
教学 手段
教学 方式
学习 活动
自主探索、 动手实践、 合作交流
创设情境——问题引导——整合定义—— 提出料想— —自主探究——归纳方法——合作探索——巩固反 馈——开放小结
（1）本节课我们学习的知识有哪些？ （2）在概念、结论的逐渐获得中，我们用了哪些研 究问题的方法，体现了哪些数学思想？
周期现象是自然界中非常常见的现象
在学生完成预习任务的情形下， 已经为本节的学习做好准备
在学习三角函数的定义时学生接触过 单位圆这一重要的工具;学生基本掌控 任意角三角函数的定义
本章第一节学习过自然界中的周期现象， 学生对自然现象有直观感受
初中学习过锐角三角函数知识
教学重点：
1、周期函数的定义 2、 页 1、4、5 18 页 1、2
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大版必修4
基本性质
【知识提炼】 1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n_x_; (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s_x_,k∈Z.
2.周期性 (1)条件: ①对于函数f(x)存在_非__零__常__数__T; ②对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)= _f_(_x_)_. (2)结论: ①函数f(x)为周期函数; ②_T_为函数的周期.
(3)对于正弦函数与余弦函数来说,它们的定义域均是全体实数,但并 不能说它们是增函数或减函数,而只能说在某个区间内是增加的或减 少的. (4)正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得,而余弦函数的最值 则在单位圆与x轴的交点处取得,要注意区分.
【题型探究】
类型一 函数周期性的应用
【典例】1.(2015·南安高一检测)cos 1 110°的值为 ( )
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
3.函数y=2sinx在区间 [ , 5 ] 上的值域是________.
【解析】当x∈
高中数学北师大版必修四1.4.2 教学课件 《单位圆与周期性》
R R
2
k (k
Z )
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3、确定三角函数值在各象限的符号
y
+
+
x
y
+ x
+
sin
cos
归纳： 一全正、二正弦、三正切、四余弦。
y
+ x
+ ta n
探究新知
阅读教材16页至17页，完成下列问题：
1、终边相同角的正弦、余弦函数值的关系 （1）终边相同角的正弦函数值相等，即
sin（ +2kπ)=sin,(k Z)
（2）终边相同角的余弦函数值相等，即
co（ s +2kπ)=cos,(k Z)
北京师范大学出版社 ︱必修四
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2、周期函数的定义
一般地，对于函数 f x ，如果存在 非零常数T ，对定义域内的任意一个 值，都有 f x T f x ，则称 f x 为周期函数，T 为这个函数的周期。
2
2
2
2
北京师范大学出版社 ︱必修四
【解析】
cos256π＝cos4π＋π6＝cos6π＝
3 2
答案： D
北京师范大学出版社 ︱必修四
小结：
（1）终边相同角的三角函数的关系； （2）周期函数的定义；正、余弦函数的周期，最小正周期。 （3）体会定义过程中体现的数形结合的思想。
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第一章 · 三角函数
1.4.2 单位圆与周期性
北京师范大学出版社 ︱必修四
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再比较两条余弦线的长度，故选B.
精品课件
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要点阐释
• 1．单位圆的定义 • 圆心在坐标原点 ，半径等于 单位长度的圆叫做单位圆．
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要点阐释
2.三角函数线的位置：
正弦线为α 的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线 段；余弦 线在X 轴上； 正切线在 过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上，
要点阐释
5.根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小，一般先根据有向线 段的方向判断正负，再比较有向线段的长度.有向线段与坐标轴方
向同向的为正值，反向的为负值.
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典例剖析 题型一 作已知角的三角函数线
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
(1) 2 3
2．有向线段的概念：____带___有__方___向___的线段称为有向线段．
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自学导引
3.设任意角α 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重
合，终边与单位圆相交与点P ，过P 作 X轴的垂线 ，
垂足为M ；过点 A（1，0）作 单位圆的切线，它与角
的α终边或其反向延长线交与点 T.
当角α 的终边不在坐标轴上时，我们就分别称有向线
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
M2
M1
P2
T1
T2
o Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
精品课件
1．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长 度相等，且正、余弦符号相异．那么
A．
4
α的值为（
）
B．
3 4
C．
7 4
D D． 7 4
或
3 4
解析：角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等,
可知角α终边为象限角平分线，再根据正、余弦符
号相异可得角α终边为第二、四象限角平分线，故
选D.
精品课件
三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外.
精品课件
要点阐释
3.三角函数线的正负：
三条有向线段与 Y轴或X 轴同向的为正值，与 Y轴或 X 轴反向的为负值.
精品课件
要点阐释
• 4．正切线
• 正切线AT的作法：过定点A（
1,0） 作单位圆的切线，它与角
α 的终边或其反向延长线交与 点T ． • 当角α 是第一精品课、件 四象限角时，
第一章 三角函数
§4.2 单位圆与周期性
精品课件
学习要求
1．明确正弦线、余弦线、正切线的画法． 2．能够作出已知角α的正弦线、余弦线和正切线．
3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小.
精品课件
自学导引
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以为原__点___O___圆心 ，___单___位__长___度_为半径的圆为单位圆．
精品课件
自主探究
3.如何作正弦线、余弦线、正切线？
有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线，
余弦线，正切线.
精品课件
自主探究
α的终边 y P α
MO
x
A(1,0)
(Ⅱ)
M
P α的终边
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅲ)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
y
tanAT
解析：作出角 7
的正弦线和余
论弦中线，正根据确图的形可是知（，8 MP为正值），OM为负值，故
选D.
精品课件
预习测评
cos64, cos46
3．利用余弦线，比较
A.
cos64 C.cos46
的大小关系为（ ）.B B. D. 无法比较
cos64=cos46
cos64cos46
解析：分别作出两个角的余弦线，方向都是正方向，
α
M A(1,0)
O
x
(Ⅳ 精品)课件
PT α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何
含义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
精品课件
预习测评
•1．对三角函数线，下列说D 法正确
的是( )
•A．对任何角都能作出正弦线、余
弦线和正切线
解•析B：．当角有的的终边角落正在Y弦轴上线时、，正余切线弦不线存在和，正故选切
D.线都不存在
精品课件
11
预习测评
• 2．如果 MP 和 OM 分 别78 是
D
角 的正 A .M PO M 0 B . O M 0M P
弦线C .和O M 余M 弦P 线0，D 那. M 么P 下0 列O M 结
4
6
P1
(3) tan5 tan7
4
6
精品课件
Page 24
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体现，从 三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是 三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，
可以借助三角函数线．
段 MP、OM、AT
为正弦线、余弦
线、正切线，统称为三角函数线.
精品课件
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线 段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以 看成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
精品课件
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边 上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为 简单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
(2 ) - 3 4
y
P
M
o
x
A
精品课件
T
Page 20
解 ： ( 1 ) 在 直 角 坐 标 系 中 作 单 位 圆 如 图 示
以 x 轴 的 正 半 轴 为 始 边 作 出 2 的 角 ，
3 其终边与单位圆交于P点，作PMx轴，
垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交
点A作x轴的垂线,
s in 2 3 ＝ M P , c o s2 3 O M , t a n 2 3 A T
与 O P 的 反 向 延 长 线 交 于 T 点 ， 则
2 3 的 正 弦 线 为 M P , 余 精弦 品课线 件 为 O M ,正 切 线 为 A T
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线 段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键是作出
各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与X正半轴 的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交点P(x,y) ，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0)作 单位 圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交与点T .