高中数学 1.4.2 单位圆与周期性1(新版)北师大版必修4
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精品课件
1．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长 度相等，且正、余弦符号相异．那么
A．
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
α的值为（
）
B．
3 4
C．
7 4
D D． 7 4
或
3 4
解析：角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等,
可知角α终边为象限角平分线，再根据正、余弦符
号相异可得角α终边为第二、四象限角平分线，故
选D.
精品课件
第一章 三角函数
§4.2 单位圆与周期性
精品课件
学习要求
1．明确正弦线、余弦线、正切线的画法． 2．能够作出已知角α的正弦线、余弦线和正切线．
3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小.
精品课件
自学导引
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以为原__点___O___圆心 ，___单___位__长___度_为半径的圆为单位圆．
要点阐释
5.根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小，一般先根据有向线 段的方向判断正负，再比较有向线段的长度.有向线段与坐标轴方
向同向的为正值，反向的为负值.
精品课件
典例剖析 题型一 作已知角的三角函数线
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
(1) 2 3
α
M A(1,0)
O
x
(Ⅳ 精品)课件
PT α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何
含义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
精品课件
预习测评
•1．对三角函数线，下列说D 法正确
的是( )
•A．对任何角都能作出正弦线、余
再比较两条余弦线的长度，故选B.
精品课件
精品课件
要点阐释
• 1．单位圆的定义 • 圆心在坐标原点 ，半径等于 单位长度的圆叫做单位圆．
精品课件
要点阐释
2.三角函数线的位置：
正弦线为α 的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线 段；余弦 线在X 轴上； 正切线在 过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上，
弦线和正切线
解•析B：．当角有的的终边角落正在Y弦轴上线时、，正余切线弦不线存在和，正故选切
D.线都不存在
精品课件
11
预习测评
• 2．如果 MP 和 OM 分 别78 是
D
角 的正 A .M PO M 0 B . O M 0M P
弦线C .和O M 余M 弦P 线0，D 那. M 么P 下0 列O M 结
(2 ) - 3 4
y
P
M
o
x
A
精品课件
T
Page 20
解 ： ( 1 ) 在 直 角 坐 标 系 中 作 单 位 圆 如 图 示
以 x 轴 的 正 半 轴 为 始 边 作 出 2 的 角 ，
3 其终边与单位圆交于P点，作PMx轴，
垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交
点A作x轴的垂线,
s in 2 3 ＝ M P , c o s2 3 O M , t a n 2 3 A T
4
6
P1
(3) tan5 tan7
4
6
精品课件
Page 24
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体现，从 三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是 三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，
可以借助三角函数线．
解析：作出角 7
的正弦线和余
论弦中线，正根据确图的形可是知（，8 MP为正值），OM为负值，故
选D.
精品课件
预习测评
cos64, cos46
3．利用余弦线，比较
A.
cos64 C.cos46
的大小关系为（ ）.B B. D. 无法比较
cos64=cos46
cos64cos46
解析：分别作出两个角的余弦线，方向都是正方向，
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
M2
M1
P2
T1
T2
o Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
与 O P 的 反 向 延 长 线 交 于 T 点 ， 则
2 3 的 正 弦 线 为 M P , 余 精弦 品课线 件 为 O M ,正 切 线 为 A T
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线 段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键是作出
各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与X正半轴 的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交点P(x,y) ，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0)作 单位 圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交与点T .
精品课件
自主探究
3.如何作正弦线、余弦线、正切线？
有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线，
余弦线，正切线.
精品课件
自主探究
α的终边 y P α
MO
x
A(1,0)
(Ⅱ)
M
P α的终边
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅲ)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
y
tanAT
三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外.
精品课件
要点阐释
3.三角函数线的正负：
三条有向线段与 Y轴或X 轴同向的为正值，与 Y轴或 X 轴反向的为负值.
精品课件
要点阐释
• 4．正切线
• 正切线AT的作法：过定点A（
1,0） 作单位圆的切线，它与角
α 的终边或其反向延长线交与 点T ． • 当角α 是第一精品课、件 四象限角时，
段 MP、OM、AT
为正弦线、余弦
线、正切线，统称为三角函数线.
精品课件
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线 段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以 看成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
精品课件
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边 上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为 简单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
2．有向线段的概念：____带___有__方___向___的线段称为有向线段．
精品课件
自学导引
3.设任意角α 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重
合，终边与单位圆相交与点P ，过P 作 X轴的垂线 ，
垂足为M ；过点 A（1，0）作 单位圆的切线，它与角
的α终边或其反向延长线交与点 T.
当角α 的终边不在坐标轴上时，我们就分别称有向线
1．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长 度相等，且正、余弦符号相异．那么
A．
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
α的值为（
）
B．
3 4
C．
7 4
D D． 7 4
或
3 4
解析：角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等,
可知角α终边为象限角平分线，再根据正、余弦符
号相异可得角α终边为第二、四象限角平分线，故
选D.
精品课件
第一章 三角函数
§4.2 单位圆与周期性
精品课件
学习要求
1．明确正弦线、余弦线、正切线的画法． 2．能够作出已知角α的正弦线、余弦线和正切线．
3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小.
精品课件
自学导引
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以为原__点___O___圆心 ，___单___位__长___度_为半径的圆为单位圆．
要点阐释
5.根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小，一般先根据有向线 段的方向判断正负，再比较有向线段的长度.有向线段与坐标轴方
向同向的为正值，反向的为负值.
精品课件
典例剖析 题型一 作已知角的三角函数线
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
(1) 2 3
α
M A(1,0)
O
x
(Ⅳ 精品)课件
PT α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何
含义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
精品课件
预习测评
•1．对三角函数线，下列说D 法正确
的是( )
•A．对任何角都能作出正弦线、余
再比较两条余弦线的长度，故选B.
精品课件
精品课件
要点阐释
• 1．单位圆的定义 • 圆心在坐标原点 ，半径等于 单位长度的圆叫做单位圆．
精品课件
要点阐释
2.三角函数线的位置：
正弦线为α 的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线 段；余弦 线在X 轴上； 正切线在 过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上，
弦线和正切线
解•析B：．当角有的的终边角落正在Y弦轴上线时、，正余切线弦不线存在和，正故选切
D.线都不存在
精品课件
11
预习测评
• 2．如果 MP 和 OM 分 别78 是
D
角 的正 A .M PO M 0 B . O M 0M P
弦线C .和O M 余M 弦P 线0，D 那. M 么P 下0 列O M 结
(2 ) - 3 4
y
P
M
o
x
A
精品课件
T
Page 20
解 ： ( 1 ) 在 直 角 坐 标 系 中 作 单 位 圆 如 图 示
以 x 轴 的 正 半 轴 为 始 边 作 出 2 的 角 ，
3 其终边与单位圆交于P点，作PMx轴，
垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交
点A作x轴的垂线,
s in 2 3 ＝ M P , c o s2 3 O M , t a n 2 3 A T
4
6
P1
(3) tan5 tan7
4
6
精品课件
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点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体现，从 三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是 三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，
可以借助三角函数线．
解析：作出角 7
的正弦线和余
论弦中线，正根据确图的形可是知（，8 MP为正值），OM为负值，故
选D.
精品课件
预习测评
cos64, cos46
3．利用余弦线，比较
A.
cos64 C.cos46
的大小关系为（ ）.B B. D. 无法比较
cos64=cos46
cos64cos46
解析：分别作出两个角的余弦线，方向都是正方向，
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) s i n 5 与 s i n 7 (2) c o s 5 与 c o s 7(3) t a n 5 与 t a n 7
46
46
46
y
解：
M2
M1
P2
T1
T2
o Ax
(1)
sin5
4
sin7
6
(2) cos5 cos7
与 O P 的 反 向 延 长 线 交 于 T 点 ， 则
2 3 的 正 弦 线 为 M P , 余 精弦 品课线 件 为 O M ,正 切 线 为 A T
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线 段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键是作出
各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与X正半轴 的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交点P(x,y) ，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0)作 单位 圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交与点T .
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自主探究
3.如何作正弦线、余弦线、正切线？
有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线，
余弦线，正切线.
精品课件
自主探究
α的终边 y P α
MO
x
A(1,0)
(Ⅱ)
M
P α的终边
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅲ)
y α的终边 PT
α x sinMP
O M A(1,0)
(Ⅰ) cosOM
y
tanAT
三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外.
精品课件
要点阐释
3.三角函数线的正负：
三条有向线段与 Y轴或X 轴同向的为正值，与 Y轴或 X 轴反向的为负值.
精品课件
要点阐释
• 4．正切线
• 正切线AT的作法：过定点A（
1,0） 作单位圆的切线，它与角
α 的终边或其反向延长线交与 点T ． • 当角α 是第一精品课、件 四象限角时，
段 MP、OM、AT
为正弦线、余弦
线、正切线，统称为三角函数线.
精品课件
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线 段的比，那么，任意角的三角函数是否也可以 看成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
精品课件
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边 上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为 简单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
2．有向线段的概念：____带___有__方___向___的线段称为有向线段．
精品课件
自学导引
3.设任意角α 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重
合，终边与单位圆相交与点P ，过P 作 X轴的垂线 ，
垂足为M ；过点 A（1，0）作 单位圆的切线，它与角
的α终边或其反向延长线交与点 T.
当角α 的终边不在坐标轴上时，我们就分别称有向线