第一章 诱导公式五、六
《诱导公式五、六》三角函数PPT演示课件
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人生的基本保障，教育在社会发展过程中是提升民族素质的根本力量，教师则是传承民族文化提高民族素养的人力资源的重要组成部
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分，今天做教师就意味着责任担当和无私奉献。读这本书，我有以下几点感受，也是多年在工作中一直禀承的信念。
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他年轻英俊的面孔，在监狱中一呆就是十九年。片中还放到老的图书保管员，在监狱中整整呆了五十年，当他被刑满出狱时，他却拿
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
随堂演练
利用诱导公式化简或求值
例1计算:
(1)sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°);
(2)
1+cos100°sin170°
;
cos370°+ 1-sin2170°
sin(+π)+sin(-π)
右边=
tan-1
=
sin
cos+1
sin
cos-1
=
sin+cos
,
sin-cos
∴左边=右边.故原等式成立.
的学生给枪杀了！看到这里，我的眼泪制不住的流，为这样一个有才华的人，一而再，再而三的受到的挫折和打击感到命运的不公，
上天到底还有没有长眼睛，如此一个有前途，有才华的有用之才就这样的被冤枉，被永远的埋在了黑暗之中！
人生的基本保障，教育在社会发展过程中是提升民族素质的根本力量，教师则是传承民族文化提高民族素养的人力资源的重要组成部
分，今天做教师就意味着责任担当和无私奉献。读这本书，我有以下几点感受，也是多年在工作中一直禀承的信念。
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高中数学(新人教A版)必修第一册： 诱导公式 诱导公式五、六【精品课件】
(2)因为α的终边与单位圆交于点 A，A 点的纵坐标为4，所以 sin α＝4.
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因为 0＜α＜π2，所以 cos α＝35，
故ssiinnαπ2＋－πα＋ ＋ccoossπ2π＋－ββ＝－cosisnαα－－sicnosββ＝－3545－＋1511323＝47.
[方法技巧] 诱导公式综合应用要“三看”
∴cossinπ＋αcαoscβo＋s－3sβin－π2＋3sαinsαinsiβn β
＝－sicnosαcαocsosβ＋β－3c3ossinααsisninββ＝－t1a－n α3＋tan3tαatnanβ β
＝－1－－3×2 2－＋23
2 2×
＝ 2
2 11 .
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．小明在解“已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，求ccooss1π212＋π－ααsinsin－92ππ－＋αα的
所以
tan(π－α)＝－tan
α＝－csoins
α＝ α
3.
答案：A
2．若 cosα＋π6＝45，则 sinα－π3＝
()
4 A.5
B．35
C．－35
D．－45
解析：∵cosα＋π6＝45，∴sinα－π3＝sinα＋π6－π2＝－cosα＋π6＝
－45. 答案：D
3．已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是
B．cos 5° D．2sin 5°
()
4．计算：sin211°＋sin279°＝________. 解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1. 答案：1
题型一 利用诱导公式化简求值 [学透用活]
诱导公式—搜狗百科
诱导公式—搜狗百科公式规律公式一到公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变。
公式一到公式五可简记为：函数名不变，符号看象限。
即α+k·360°（k∈Z），﹣α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
上面这些诱导公式可以概括为：诱导公式对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan。
（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）例如：sin(2π－α)=sin(4·π/2－α)，k=4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)<>所以sin(2π－α)=－sinα记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
注：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆：水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦(余割)；三两切；四余弦(正割)”．这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦和余割是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余函数是“－”；第四象限内只有正割和余弦是“+”，其余全部是“－”。
一全正，二正弦，三正切，四余弦。
人教A版高中数学必修4课后习题 第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六课后篇巩固探究基础巩固1.若α∈(π,3π2),则√1-sin2(3π2-α)=( )A.sin αB.-sin αC.cos αD.-cos α(π,3π2),∴sinα<0.∴√1-sin2(3π2-α)=√1-cos2α=√sin2α=-sinα.2.已知P(sin 40°,-cos 140°)为锐角α终边上的点,则α=( )A.40°B.50°C.70°D.80°-cos140°)为角α终边上的点,因而tanα=-cos140°sin40°=-cos(90°+50°) sin(90°-50°)=sin50°cos50°=tan50°,又α为锐角,则α=50°,故选B.3.已知sin(π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α=()A.25B.-25C.25或-25D.-15-α)=-2sin(π2+α),∴sinα=-2cosα.再由sin 2α+cos 2α=1可得sinα=2√55,cosα=-√55,或sinα=-2√55,cosα=√55,∴sinαcosα=-25.故选B.4.在△ABC 中,若sin A+B 2=45,则cos C2=( )A.-35B.-45C.35D.45解析∵A+B+C=π,∴A+B 2=π2−C2.∴sin A+B 2=sin (π2-C2)=cos C2=45.5.已知cos(60°+α)=13,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.-2√23B.2√23C.-√23D.√23-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=13>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-√1-cos 2(60°+α)=-√1-(13) 2=-2√23.6.若cos α=13,且α是第四象限的角,则cos (α+3π2)= .α是第四象限的角,所以sinα=-√1-cos 2α=-2√23. 于是cos (α+3π2)=-cos (α+π2)=sinα=-2√23. -2√237.若sin (π2+θ)=37,则cos 2(π2-θ)= .(π2+θ)=cosθ=37,则cos 2(π2-θ)=sin 2θ=1-cos 2θ=1-949=4049.8.求值:sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)= .解析∵π4-α+π4+α=π2,∴sin 2(π4+α)=sin 2[π2-(π4-α)]=cos 2(π4-α).∴sin 2(π4-α)+sin 2(π4+α)=sin 2(π4-α)+cos 2(π4-α)=1.9.化简:sin(-α-3π2)·sin(3π2-α)·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α).=sin(-α+π2)·[-sin(π2-α)]·tan 2(2π-α)cos(π2-α)·cos(π2+α)·cos 2(π-α)=cosα·(-cosα)·tan 2αsinα·(-sinα)·cos 2α=tan 2αsin 2α=1cos 2α.10.已知角α的终边经过点P (45,-35).(1)求sin α的值; (2)求sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)的值.∵P (45,-35),|OP|=1,∴sinα=-35.(2)sin(π2-α)tan (α-π)sin (α+π)cos (3π-α)=cosαtanα-sinα(-cosα)=1cosα,由三角函数定义知cosα=45,故所求式子的值为54.能力提升1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-35,则cos (α-11π2)的值为( )A.35B.-35C.-45D.45cos(α-9π)=-cosα=-35,所以cosα=35.又因为α∈(π,2π),所以sinα=-√1-cos 2α=-45,cos (α-11π2)=-sinα=45.2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin (π-α)-sin(π2+α)cos(3π2-α)+2cos (-π+α)的值为( )A.-25B.-45C.-47D.-4=sinα-cosα-sinα-2cosα=tanα-1-tanα-2.因为角α终边上有一点P(1,3), 所以tanα=3,所以原式=3-1-3-2=-25.故选A.3.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .√sin 2α+cos 2αcos 2α+sinα√sin 2α+cos 2αsin 2α=cosα1|cosα|+sinα1|sinα|.因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0, 所以cosα1|cosα|+sinα1|sinα|=-1+1=0,即原式等于0.4.sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°= .sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 245°+cos 244°+…+cos 21°=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(s in 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.5.已知函数f(x)=√2cos x-π12,x ∈R.若cos θ=35,θ∈3π2,2π,则fθ-5π12= .解析f θ-5π12=√2cos θ-5π12−π12=√2cos θ-π2=√2cosπ2-θ=√2sinθ,由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0,故sinθ=-√1-cos 2θ=-45,f θ-5π12=√2sinθ=√2×-45=-4√25.-4√256.是否存在角α,β,α∈(-π2,π2),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=√2cos (π2-β),√3cos(-α)=-√2cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由. ,得{sinα=√2sinβ,√3cosα=√2cosβ,①②①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2,∴sin 2α=12.又α∈(-π2,π2),∴α=π4或α=-π4.将α=π4代入②,得cosβ=√32.又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知符合.将α=-π4代入②得cosβ=√32,又β∈(0,π),∴β=π6,代入①可知不符合.综上可知,存在α=π4,β=π6满足条件.。
三角函数的诱导公式 课件
自学导引
1．诱导公式五、六
公式五：sin π2－α＝ cos α ，cos π2－α＝ sin α ； 公式六：sin π2＋α＝ cos α ，cos π2＋α＝－sin α . 公式五和公式六可以概括如下：
π 2±α
的正弦(余弦)函数值，分别等于
α
的余弦(正弦)函数值，前
面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
由 cos α≤0 可知，角 α 的终边也可以在坐标轴上．
[正解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限或 x 轴的非正半轴上或 y 轴上．
角的概念推广后，按角的终边的位置，可以将角分为 象限角与坐标轴上的角．同学们在学习过程中，不能只记住了 象限角，而把终边在坐标轴上的角遗忘了．
2．利用诱导公式可得到如下结论： sin 32π－α＝－cos α，cos 32π－α＝－sin α； sin 32π＋α＝－cos α，cos 32π＋α＝sin α.
想一想：你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？ 提示 诱导公式六的推导： ∵π2＋α＝π2－(－α)，由诱导公式五得： sin π2＋α＝sin π2－－α＝cos (－α)＝cos α， cos 2π＋α＝cos 2π－－α＝sin (－α)＝－sin α. 即 sin π2＋α＝cos α，cos 2π＋α＝－sin α.
－cos 3π＝－12.
(12 分)
【题后反思】 这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时， 可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角 三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
误区警示 对角的终边位置考虑不全面而出错 【示例】 若|cos α|＝sin 32π－α，请指出角 α 的终边的位置． [错解] 由|cos α|＝sin 32π－α得，|cos α|＝－cos α，所以 cos α≤0. 故角 α 的终边在第二或第三象限．
5.3 诱导公式(解析版)
5.3 诱导公式一、诱导公式1、诱导公式（一~六）诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=，其中k Z ∈诱导公式三： sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=，tan()tan αα-=-，其中k Z ∈ 诱导公式四：sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-，其中k Z ∈诱导公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，其中k Z ∈诱导公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，其中k Z ∈2、诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角90k α⋅±(k 为常整数)的三角函数值： 当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦； 当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号. 3、用诱导公式进行化简时的注意点： （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． 二、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1、“负化正”：用公式一或三来转化．2、“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．3、“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．4、“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 三、利用诱导公式求值与求解解题策略 1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．题型一 利用诱导公式给角求值【例1】cos210 的值等于（ ）A ．12 B3 C ．3D ．2【答案】C【解析】()3cos 210cos 18030cos30︒=︒+︒=-︒=故选:C.【变式1-1】35πsin6=（ ） A ．12 B ．12- C 3 D ．3【答案】B 【解析】35ππππ1sin sin 6πsin sin 66662⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B ．【变式1-2】计算：5π7ππ2sin 2cos tan 663⎛⎫+--= ⎪⎝⎭______.【答案】1【解析】原式ππππππ2sin π2cos πtan 2sin 2cos tan 663663⎛⎫⎛⎫=-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1322312=⨯-.故答案为：1.【变式1-3】计算：1417sin cos tan 336πππ+-=___________. 【答案】0 【解析】141725sincos tan 3sin 4cos 2tan 03636πππππππ⎛⎫⎛⎫+-=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2533sincos 0036ππ⎛=+-== ⎝⎭故答案为：0题型二 利用诱导公式给值求值【例2】若()4sin ,5πα+=-且α是第二象限角，则cos α=（ ） A ．45- B ．35 C ．35D ．45【答案】B【解析】由()4sin sin 5παα+=-=-，得4sin 5α， 又由α为第二象限角，所以23cos 1sin 5αα=---．故选：B.【变式2-1】设02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若3sin ,5α=则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．45C ．35D ．45-【答案】C【解析】因为02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，3sin 5α=， 所以3cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故选：C.【变式2-2】若()4sin 5πα+=-，则3cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45- B ．35 C ．45 D ．35【答案】A【解析】∵()4sin sin 5παα+=-=-，∴4sin 5α， ∴34cos sin 25παα⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭.故选：A.【变式2-3】设sin 25a ︒=，则sin65cos115tan 205︒︒︒=（ ） A 221a- B ．221a- C ．2a - D ．2a【答案】C【解析】因为sin65cos25︒=︒，()cos115cos 9025sin 25︒=︒+︒=-︒，()sin 25tan 205tan 18025tan 25cos 25︒︒=︒+︒=︒=︒， 所以22sin 65cos115tan 205sin 25a ︒⋅︒⋅︒=-︒=-.故选：C.【变式2-4】已知sin 37a =，则cos 593=（ ）A ．aB ．a -C 21a -D ．21a --【答案】B【解析】()()cos593cos 63037cos 27037sin37a =-=-=-=-.故选：B.题型三 利用互余互补关系求值【例3】已知π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45±B ．45C ．45-D ．35【答案】D【解析】∵π3cos 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππππ3sin cos cos 62635ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选:D ．【变式3-1】已知π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．13B ．223C ．13-D ．22【答案】A【解析】πππππ1cos cos cos sin 442443αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A.【变式3-2】若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13 B ．13- C ．79 D ．79- 【答案】B【解析】因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.【变式3-3】已知cos 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (|a |≤1)，则cos 56πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是________. 【答案】0 【解析】∵5cos cos cos 666a πππθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2sin sin cos 3266a ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 52cos sin 063ππθθ⎛⎫⎛⎫∴++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：0.【变式3-4】已知函数()π5π10πcos 2cos 2tan 26334π4πtan 2sin 233x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）化简()f x ； （2）若()0310f x =，求00π2πsin 2cos 263x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）πcos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）35【解析】（1）()ππππcos 2cos 2π2tan 22333ππtan 2πsin π233x x x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦==⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ πππsin 2cos 2tan 2π333cos 2ππ3tan 2sin 233x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为()00π3cos 2310f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以000ππππ3sin 2sin 2cos 2632310x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，0002πππ3cos 2cos 2πcos 233310x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故00π2π3sin 2cos 2635x x ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.题型四 利用诱导公式化简求值【例4】化简()()12sin 4cos 4ππ+--的结果为（ ）A ．sin 4cos4-B ．sin4cos4--C ．cos4sin 4-D ．sin4cos4+ 【答案】C()()12sin 4cos 4ππ+--12sin 4cos 4=-()2sin 4cos 4=-cos4sin 4=-，故选：C【变式4-1】（多选）已知角α满足sin cos 0αα⋅≠，则()()()sin πcos πsin cos k k k αααα+++∈Z 的取值可能为（ ）A ．2-B ．1-C ．2D ．0 【答案】AC【解析】因为sin cos 0αα⋅≠，则sin 0α≠且cos 0α≠，当k 为奇数时，原式sin cos 112sin cos αααα--=+=--=-； 当k 为偶数时，原式sin cos 112sin cos αααα=+=+=. 故原式的取值可能为2-、2.故选：AC.【变式4-2】已知α是第四象限角，且5cos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________. 【答案】3-【解析】由题设，225sin 1cos αα=-()()525sin cos cos sin 553sin cos 255cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：3-【变式4-3】（1）化简：222cos(4)cos ()sin (3)sin(4)sin(5)cos ()θπθπθπθππθθπ+++-+-- （2）已知()sin3n f n π=（n ∈Z ），求(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)f 的值. 【答案】（1）cos θ-；（23【解析】（1）原式()222cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθ=--；（2）因为()sin3n f n π=，所以函数的周期为6， ()31sin 3f π==()232sin 3f π==，()3sin 0f π==， ()434sin3f π==，()535sin 3f π==，()6sin 20f π==； 由于201233562=⨯+，所以(1)f ＋(2)f ＋(3)f ＋…＋(2012)3f =【变式4-4】已知()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+. （1）化简()f α；（2）若31cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值.【答案】（1）()f αcos α=；（2）()26f α= 【解析】（1）由题意得：()()()()()3sin cos tan cos 222sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+ ()()()()()cos sin tan sin sin tan sin ααααααα---=---cos α=（2）∵31cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 5α=.∴α为第一或第二象限角， ∴226cos 1sin αα=-， ∴()26f α=题型五 三角恒等式的证明【例5】已知A 、B 、C 为ABC 的三个内角，求证：ππsin cos 2424AB C+⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】证明见解析【解析】证明：在ABC 中，πA B C ++=，则π22B C A+-=. 所以，πππππππcos cos cos cos 2424224224B C A A A ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πsin 24A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故原等式得证.【变式5-1】（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin()cos()22παπαπααππαα----=-++； （2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）左边=tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22αααπππαπα-------22(tan )(sin )cos sin sin cos sin sin[()]cos[()]sin()cos()2222αααααππππαααααα--===--------sin tan cos ααα=-=-=右边， 所以原等式成立.（2）方法1：左边=88sin[()]3cos[()3]7788sin[4()]cos[2()]77πππααππππαπα++++--+-++=888sin()3cos()tan()3777888sin()cos()tan()1777πππαααπππααα-+-+++=-+-+++ =31m m ++=右边， 所以原等式成立. 方法2：由8tan()7m πα+=，得tan()7m πα+=，所以，等式左边=sin[2()]3cos[()2]77sin[2()]cos[2()]77πππααπππππαππα++++-+-+-+++=sin()3cos()77sin()cos()77ππααππαα++++++=tan()3371tan()17m m παπα+++=+++=右边，等式成立.【变式5-2232sin()cos()1222sin ππθθ-+-＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-． 【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+- ()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----. ∴左边＝右边，故原等式成立．【变式5-3】证明：()()()()()2sin cos 1cos sin sin nn n n n απαπααπαπ+-=-++-，n ∈Z ．【答案】证明见解析【解析】证明：当n 为偶数时，令2n k =，k ∈Z ，左边()()()()2sin 2cos 22sin cos 2sin cos cos sin 2sin 2sin sin 2sin k k k k απαπααααααπαπααα+-====++-+． 右边()21cos cos k αα=-=，∴左边=右边．当n 为奇数时，令21n k =-，k ∈Z ，左边()()()()2sin 2cos 2sin 2sin 2k k k k αππαππαππαππ+--+=+-+-+()()()()2sin cos sin sin απαπαπαπ-+=-++ ()()()()2sin cos 2sin cos cos sin sin 2sin αααααααα--===--+--． 右边()211cos cos k αα-=-=-，∴左边=右边．综上所述，()()()()()2sin cos 1cos sin sin n n n n n απαπααπαπ+-=-++-，n ∈Z 成立．。
新教材人教A版必修第一册 5.3 第2课时 诱导公式五、六 课件(35张)
(3)化简：sin32π＋α＝________. 答案 (1)C (2)A (3)－cosα
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
核心素养形成
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
题型一 利用诱导公式五、六求值 例1 已知cos2π＋α＝13，求值： sinπ2c＋osαπc＋osαπ2－α＋sinπ－sinαπc＋osα32π＋α.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做
(1)已知sin52π＋α＝51，那么cosα＝(
)
A．－25
B．－15
1
2
C.5
D.5
(2)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cosπ2－α的值为(
)
A．－45
3 B.5
4 C.5
D．－35
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
名，而后一套公式必须变名．
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
[跟踪训练2] (1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290° 的值等于________；
(2)化简：sinπt－anα3sπi－n3α2π－α＋ssiinn322ππ＋－ααccooss2απ－＋72απ.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
【知识导学】 知识点 诱导公式五、六
高中新教材数学人课件必修时诱导公式五六
尝试完成一些拓展题目，加深 对诱导公式在复杂问题中的应 用理解。
对于做错的题目，要认真分析 错误原因，并及时纠正。
挑选难度适中课外题目进行挑战
选择一些难度适中的课外题目进 行挑战，锻炼自己的解题能力。
尝试运用多种方法解决问题，培 养自己的发散性思维。
对于一些难题，可以与同学或老 师进行探讨，共同寻找解决方法
概念。
应用能力评价
观察学生在解题过程中是否能够灵 活运用诱导公式，以及是否能够解 决复杂问题。
学习态度评价
评估学生的学习态度是否积极，是 否能够主动思考和提问，以及是否 能够及时完成作业和课堂任务。
提供改进意见和建议，帮助学生更好地掌握诱导公式
A
加强基础知识训练
针对学生在诱导公式理解上的不足，建议加强 三角函数、复数等相关基础知识的学习和训练 。
角度制与弧度制转换
01
角度制与弧度制定义
角度制是用度作为单位来度量角的制度，弧度制是用弧 长与半径之比来度量角的制度。
02
角度制与弧度制转换公式
1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。
03
转换方法
利用转换公式进行计算，注意保持单位一致。
02 诱导公式推导过程与方法
利用单位圆进行推导
将任意角转化为锐角
高中新教材数学人课 件必修时诱导公式五
六
汇报人：XX 20XX-01-23
目录
• 诱导公式基本概念与性质 • 诱导公式推导过程与方法 • 诱导公式在解题中应用技巧 • 典型例题分析与解答 • 学生自主练习与巩固提高 • 教师评价与反馈建议
01 诱导公式基本概念与性质
诱导公式定义及作用
诱导公式定义
已知特殊角的三角函数值
高中数学第一章三角函数第3节三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五六教案含解析新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 26～P 27的内容，回答下列问题． 如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，与角α的终边关于直线y ＝x 对称的角的终边与单位圆交于点P 2.(1)P 2点的坐标是什么？ 提示：P 2(y ，x )．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y ＝x 对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 2．归纳总结，核心必记 (1)诱导公式五和公式六(2)诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k ·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”、“偶”是对诱导公式k ·π2±α中的整数k 来讲的．③“象限”指k ·π2±α中，将α看成锐角时，k ·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．[问题思考](1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？ 提示：是．(2)在△ABC 中，角A 2与角B ＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＝π2－B ＋C2，∴sin A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝cos B ＋C 2，cos A 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＋C 2＝sin B ＋C 2.[课前反思](1)诱导公式五： ；(2)诱导公式六： .知识点1化简求值讲一讲1．已知f (α)＝sin π－αcos 2π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[尝试解答] (1)f (α)＝sin αcos α()－sin αsin αsin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.类题·通法三角函数式化简的方法和技巧(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦． 练一练1．已知f (x )＝sin 3π－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2tan x －2πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π2tan x －5π.(1)化简f (x )；(2)当x ＝π3时，求f (x )的值；(3)若f (x )＝1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －7π2的值．解：(1)f (x )＝sin x －sin x tan xcos x －sin x tan x ＝tan x .(2)当x ＝π3时，f (x )＝tan π3＝ 3.(3)若f (x )＝1，则tan x ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫－x －7π2＝－cos x sin x ＝－1tan x ＝－1.知识点2条件求值问题讲一讲2．(1)已知cos 31°＝m ，则sin 239°tan 149°的值是( ) A.1－m2mB.1－m 2C ．－1－m 2mD ．－1－m 2(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为________． [尝试解答] (1)sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°) ＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°) ＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－cos 231°＝1－m 2. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. 答案：(1)B (2)12类题·通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．练一练2．已知cos(π＋α)＝－12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－32； ②若α为第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [尝试解答] 左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，∴左边＝右边，原式得证．类题·通法三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．练一练3．求证：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－tan θ.证明：sin2π－θcos π＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－θcos π－θsin 3π－θsin －π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋θ＝－sin θ·－cos θ·－sin θ·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ－cos θ·sin θ·sin θ·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ·cos θ·sin θ·sin θ－cos θ·sin θ·sin θ·cos θ＝－tan θ.[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见讲1； (2)利用诱导公式解决条件求值问题，见讲2； (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见讲3. 3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π2，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π2等．。
三角函数诱导公式5和6
三角函数诱导公式5和6三角函数诱导公式是从基础三角函数公式推演出来的结论，下面列出五六两个三角函数诱导公式：一、三角函数诱导公式5：1. cos(α ± β) = cosα·cosβ ± sinα·sinβ2. sin(α ± β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ二、三角函数诱导公式6：1. tan(α ± β) = [tanα ± tanβ]/[1 ± tanα·tanβ]说明：上面的α、β是一些角度的值，其中，α和β可以是具有相同的正弦或余弦函数的锐角，也可以是具有相同的正切函数的钝角。
三角函数诱导公式5和6具有很大的实用价值，首先是可以简化计算，尤其是在求解复杂几何问题时，可以有效减少运算量。
其次，可以方便地得到复杂几何图形的最优解，在对三角形求解时，可以快速求得相应的最优解，因此在现代数学中，三角函数诱导公式5和6被广泛应用。
三角函数诱导公式5的用法：1. 使用三角函数诱导公式5可以简化计算，可以将一个复杂的表达式简化为两个简单的表达式，比如将一个三角函数表达式简单化。
2. 使用该公式可以方便地解决两个相邻角或直角相加减时所形成的三角函数问题，这能够减少计算量。
3. 该诱导公式可以有效地解决复杂的几何问题，如求解三角形的三角形必要条件的问题，利用诱导公式5可以求解出复杂的几何图形。
三角函数诱导公式6的用法：1. 使用该诱导公式可以快速地计算任意两个角度的正切值，从而求解出复杂的几何问题。
2. 可以求解诸如角度相减、相加、相乘和三等分角这类复杂的学科问题。
3. 可以快速求解复杂几何图形最优解，如求三角形最小内接圆圈半径的问题，利用该公式可以轻松解决。
综上所述，三角函数诱导公式5和6的作用由此可见，在现代数学中是非常重要的工具，可有效简化计算，提高效率。
诱导公式五、六 课件
∴cos(π4－α)>0，
－sin2π4－α ＝
1－a2
，sin(
5π 4
＋α)＝
sin[π＋(π4＋α)]
＝－sin(π4＋α)＝－cos[π2－(π4＋α)]
＝－cos(π4－α)＝－ 1－a2.
[答案] (1)sinα；(2)cosα；(3)sinα；(4)tanα
诱导公式的使用 已知 sin(π4－α)＝a,0<α<π2，求 sin(54π＋α)．
[错解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4， ∴cos(π4－α)>0， ∴cos(π4－α)＝ 1－sin2π4－α＝ 1－a2， sin(54π＋α)＝sin[32π－(4π－α)]＝cos(4π－α)＝ 1－a2.
D. 1－m2
[答案] A
已知cos10°＝a，则sin100°＝________. [答案] a
[拓展]记忆六组诱导公式，这六组诱导公式也可以统一用
口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即 k·2π±α(k∈Z)的三
角函数值，当 k 为偶数时，得 α 的同名三角函数值；当 k 为奇
数时，得 α 的余名三角函数值，然后前面加上一个把 α 看成锐
[错因分析] 对诱导公式三角函数值的符号确定掌握不 好，在sin[32π－(π4－α)]中，要把“4π－α”看成锐角来确定三角 函数值符号．
[思路分析] 诱导公式共有六组17个公式，公式较多，易 错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．
[正解] ∵0<α<π2，∴－4π<4π－α<π4，
角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指 k 的奇
偶性．如 sin(112π＋α)中的 k＝11 是奇数，且把 α 看成锐角时，
湘教版高中数学必修第一册-5.2.3.2诱导公式五、六【课件】
＝
π
sin θ+cos θ 2 sin θ− 2 cos θ+ 2 −1
求证：
＝
.
sin θ−cos θ
1−2 sin2 π+θ
2
＝
2
1−2 sin2 θ
1−2 sin2 θ
−2cosθ sin θ−1
sinθ+cos θ 2
＝ 2
＝
cos θ+sin2 θ−2 sin2 θ sin2 θ−cos2 θ
5
5
5
4
−5
cos α+2 cos α
3 cos α
3
所以原式＝
−2 sin α
＝－ ·
2 sin α
＝ −
2
×
3
5
＝2.
易错辨析 不能确定角之间的特殊关系导致诱导公
式应用致误
π
π
2
2
例4 sin
− x ＋sin
+ x ＝________．
3
6
π
2
解析：sin
−x
π
2
＝sin
π
2
＋cos
3
3
−x
π
10
3 10
，
10
已知α为第二象限角，cosα<0，∴cos α＝－
即sin
π
2
+ α ＝cos
3 10
α＝－
.故选D.
10
10
)
4．已知α为第二象限角，cos
15
4
－
________．
解析：因为cos α
1
π
−
诱导公式五六课件
[变式训练 1] 若 sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝m，则 cos(270°
－α)＋2sin(360°－α)的值为( D )
A．－12m
Байду номын сангаас
B．－32m
1 C.2m
3 D.2m
解析：由题意得－sinα－sinα＝m，所以 sinα＝－m2 . cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝32m. 故选 D.
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相 互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”， 是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角 α 可以是一个 单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
温馨 提 示
请 做：课时作业 44
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第五章
三角函数
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式五、六
[目标] 1.能够借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式 五、六；2.能灵活地利用诱导公式进行化简、求值．
[重点] 诱导公式五、六的应用． [难点] 诱导公式的推导与证明．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一
D．－ 1－a2
解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.
2．已知 sin(α－π4)＝13，则 cos(π4＋α)的值等于( D )
22 A. 3
B．－2 3 2
1 C.3
D．－13
解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－13.
2019高中数学 第一章 第2课时 诱导公式五、六学案 新人教A版必修4
第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．答案：B3．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( )A ．－43B.43C.34D ．－34解析：易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.答案：B4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cosA ＋C2＝sin BD ．sinB ＋C2＝cos A2解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ， cos A ＋C2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B 2，sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D5.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α的值是( )A.－35B.35C.45D.－45解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝35， 所以选B. 答案：B 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________． 解析：因为cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265. 答案：2657.已知cos α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·tan (π－α)＝__________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan (π－α)＝－cos αsin α(－tan α)＝sin2α＝1－cos2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝89.答案：898．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________． 解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10.(1)已知sin α＝14，sin β＝1，求cos (α＋β)的值；(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值. 解：(1)由sin β＝1得β＝π2＋2k π(k ∈Ｚ[HZ]Z ＺＸ)，所以Ｔcos (α＋β)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2k π＝－sin α＝－14. (2)因为π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2，所以π4＋α＝π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.B 级 能力提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sinx ；f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )． 答案：C2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝_________ 解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝34. 答案：343．设tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a . 求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.证明：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ 87π－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＋3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a 代入得，左边＝a ＋3a ＋1＝右边， 所以等式成立．。
2020高中数学 第一章 三角函数 1..2 诱导公式(五)～(六)练习(含解析)4
第8课时诱导公式（五）、(六）1．已知cos（75°＋α）＝3，则sin(α－15°）＋cos(105°－α）的值是( )A．13B．错误!C．－错误!D．－错误!答案D解析sin(α－15°）＋cos（105°－α）＝sin［(75°＋α）－90°]＋cos[180°－（75°＋α）]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos（75°＋α）＝－cos（75°＋α）－cos（75°＋α)＝－2cos（75°＋α)＝－错误!．2．若sin（π＋α)＝错误!，且α是第三象限角，则错误!＝( )A．1 B．7 C．－7 D．－1答案B解析由sin（π＋α)＝错误!，则sinα＝－错误!．又α是第三象限角，所以cosα＝－错误!，所以错误!＝错误!＝错误!＝7，故选B．3．已知sinα－错误!＝错误!,则cos错误!＋α的值等于（)A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!答案D解析∵错误!＋α－α－错误!＝错误!,∴cos错误!＋α＝cos错误!＋α－错误!＝－sinα－错误!＝－错误!．故选D．4．已知cos错误!＋α＝2sinα－错误!，则错误!＝________．答案错误!解析∵cos π2＋α＝2sinα－错误!，∴sinα＝2cosα．原式＝错误!＝错误!＝错误!．5．已知cos错误!＋α＝错误!，且－π<α〈－错误!，则cos错误!－α＝________．答案－错误!解析因为－π〈α<－错误!，所以－错误!〈错误!＋α〈－错误!．又cos错误!＋α＝错误!>0，所以sin错误!＋α＝－错误!＝－错误!，由错误!－α＋错误!＋α＝错误!，得cos错误!－α＝cos错误!＝sin错误!＋α＝－错误!．6．设f(α）＝错误!,求f－错误!的值．解∵f(α)＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴f－错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．7求错误!的值．解∵角α的终边经过点P（－4，3），∴tanα＝－错误!，∴错误!＝错误!＝tanα＝－错误!．8．已知sin－错误!－α·cos－错误!－α＝错误!，且错误!<α<错误!,求sinα与cosα的值．解sin－错误!－α＝－cosα,cos－错误!－α＝cos2π＋错误!＋α＝－sinα．∴sinα·cosα＝错误!,即2sinα·cosα＝错误!．①又∵sin2α＋cos2α＝1，②由①＋②得（sinα＋cosα)2＝289 169,由②－①得(sinα－cosα)2＝错误!．又∵α∈错误!，错误!，∴sinα>cosα〉0，即sinα＋cosα>0,sinα－cosα>0，∴sinα＋cosα＝错误!，③sinα－cosα＝错误!,④由③＋④得sinα＝错误!，由③－④得cosα＝错误!．9．已知f(α）＝错误!．（1）化简f（α）；(2）若角A 是△ABC 的内角，且f (A ）＝错误!，求tan A －sin A 的值． 解 （1）f （α)＝错误!＝cos α．（2)由(1）知，cos A ＝35，因为A 是△ABC 的内角，所以0<A <π．所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以tan A ＝sin Acos A ＝错误!，所以tan A －sin A ＝43－错误!＝错误!．一、选择题1．如果｜sinα|＝错误!，且α是第二象限角，那么sinα－错误!＝（）A．－错误!B．错误!C．－错误!D．错误!答案D解析∵α是第二象限角,∴sinα＝错误!，∴sin错误!＝－sin错误!＝－cosα＝1－sin2α＝错误!，故选D．2．已知cos错误!＋α＝－错误!，且α是第四象限角,则cos(－3π＋α)( )A．错误!B．－错误!C．±错误!D．错误!答案B解析∵cos错误!＋α＝－错误!，∴sinα＝－错误!，∴cos(－3π＋α）＝－cosα＝－错误!＝－错误!．3．设α是第二象限角,且cos α2＝－错误!，则错误!是( ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 C解析 α是第二象限角，错误!是第一或第三象限角．－错误!＝－错误!＝－错误!＝cos 错误!,∴错误!为第三象限角．4．已知cos θ－错误!＝错误!,且sin θ－cos θ>1，则sin θ－错误!sin(π－θ）＝( ）A ．－错误!B ．－错误!C ．－错误!D ．错误!答案 A解析 由sin θ－cos θ〉1，可知cos θ〈0．由cos θ－错误!＝错误!,得sin θ＝错误!，∴cosθ＝－错误!，∴sinθ－错误!sin(π－θ)＝cosθsinθ＝－错误!，故选A．5．已知f(x）＝sin x，下列式子成立的是( )A．f(x＋π)＝sin x B．f(2π－x）＝sin xC．fx－错误!＝－cos x D．f(π－x）＝－f（x)答案C解析f（x＋π)＝sin(x＋π）＝－sin x;f（2π－x)＝sin（2π－x）＝sin(－x)＝－sin x；fx－错误!＝sin x－错误!＝－sin错误!－x＝－cos x；f（π－x)＝sin(π－x)＝sin x＝f(x）．二、填空题6．已知函数f（x）＝2cos错误!，若cosθ＝错误!，θ∈错误!，则f错误!＝________．答案－错误!解析f错误!＝错误!cos错误!＝错误!cosθ－错误!＝错误!cos错误!＝错误!sinθ．由已知可得θ为第四象限角,所以sinθ<0，故sinθ＝－错误!＝－错误!,f错误!＝错误!sinθ＝错误!×错误!＝－错误!．7．已知α为锐角,且2tan（π－α）－3cos错误!＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是________．答案错误!解析由条件知错误!解得tanα＝3，又α为锐角，tanα＝错误!＝错误!＝3．解得sinα＝错误!．8．在△ABC中，sin错误!＝sin错误!,则△ABC的形状是________．答案等腰三角形解析∵A＋B＋C＝π，∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B．又∵sin错误!＝sin错误!，∴sin错误!＝sin错误!．∴sin错误!＝sin错误!．∴cos C＝cos B．又∵B，C为△ABC的内角,∴C＝B．∴△ABC为等腰三角形．三、解答题9．已知cos(15°＋α）＝错误!，α为锐角，求tan435°－α＋sinα－165°cos195°＋α·sin105°＋α的值．解原式＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!．因为α为锐角，所以15°〈α＋15°〈105°．又cos(15°＋α)＝错误!,所以sin（15°＋α)＝错误!，故原式＝－错误!＋错误!＝错误!．10．化简：sin错误!π－α＋cos错误!π－α(k∈Z）．解原式＝sin kπ－错误!＋α＋cos kπ＋错误!－α．当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z）,则原式＝sin(2n＋1)π－错误!＋α＋cos（2n＋1)π＋错误!－α＝sin错误!＋cos错误!＝sin错误!＋α＋－cos错误!－α＝sin错误!＋α－cos错误!－错误!＋α＝sin错误!＋α－sin错误!＋α＝0；当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z）,则原式＝sin错误!＋cos错误!＝－sin错误!＋α＋cos错误!－α＝－sin错误!＋α＋cos错误!－错误!＋α＝－sin错误!＋α＋sin错误!＋α＝0．综上所述，原式＝0．。
《诱导公式五、六》三角函数
利用诱导公式五、六证明三角恒等式
总结词
在一些情况下，可以利用诱导公式五、六来证明一些三角恒等式。
详细描述
在一些情况下，要证明的三角恒等式形式可能较为复杂，此时可以利用诱导公式五、六来进行化简和 变形，从而证明该恒等式。例如，可以利用诱导公式五、六来证明一些涉及到正弦、余弦、正切函数 的恒等式，如两角和与差的三角函数公式等。
乘积化和差或和差化积的三角函数式。
利用诱导公式五、六求三角函数的值
总结词
在求解一些三角函数值的问题中，可以利用诱导公式五、六来得到所需的值。
详细描述
在一些情况下，直接使用三角函数的定义来求解其值可能较为繁琐。此时，可以利用诱导公式五、六来简化求 解过程。例如，可以利用诱导公式五来求得一个在第二象限的角的正弦值或余弦值，也可以利用诱导公式六来 求得一个在第四象限的角的正切值。
记忆口诀：对于初学者来说，可以借助口诀来记忆诱导 公式五、六。例如，“奇变偶不变，符号看象限；一全 正，二正弦，三正切，四余弦；五正割，六余切”这个 口诀就能够很好地帮助记忆诱导公式五、六。
诱导公式五、六的变种及应对方法
变种一
已知三角函数值求角。对于已知三角函数值求角的问 题，可以利用三角函数的反函数或者三角函数的和差 倍角公式来解决。
三角函数是一种在直角坐标系中表示角度的数学函数，它们具有周期性和对称性 等性质，这些性质可以用来推导诱导公式五、六。
诱导公式五、六的内容
诱导公式五
$\sin(k\pi+\alpha)=\sin\alpha$，其中$k$是整数。
诱导公式六
$\cos(k\pi+\alpha)=(-1)^{k}\cos\alpha$，其中$k$是整数。
变种二
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1 π 2．若sin(π＋α)＝－3，则cos(2＋α)等于( 1 1 A.3 B．－3 2 2 2 2 C. 3 D．－ 3
)
答案：B
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3π π 3．化简：sin(π＋α)cos( 2 ＋α)＋sin( 2 ＋α)·cos(π＋α)＝ ________.
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知识预览
1．诱导公式五 π π sin2－α＝cosα，cos2－α＝sinα. 2．诱导公式六 π π sin2＋α＝cosα，cos2＋α＝－sinα.
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5．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于( A．3－cos2x B．3－sin2x C．3＋cos2x D．3＋sin2x π 解析：∵cosx＝sin(2kπ＋2－x)(k∈Z)，
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利用诱导公式五、六化简 【例2】 已知α是第三象限角，且f(α)＝ 3 sin(π－α)cos(2π－α)sin(－α＋2π) 7 cos(－α－π)·cos(－α＋2π) (1)化简f(α)； 3π 1 (2)若cos(α－ 2 )＝5，求f(α)； (3)若α＝－1860°，求f(α)．
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第2课时 诱导公式五、六
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目标定位
目 标 要 求 π 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( ±α)． 2 2．掌握公式五、公式六的灵活运用. 热 点 提 示 1.利用诱导公式并结合同角三角函数关系式化简、求 值、证明是本课热点． 2．多以选择题、填空题形式出现，有时也出现在解 答题中，属中低档题.
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规律归纳 将同角三角函数的基本关系式和诱导公式联系起来化简 三角函数式是常见的题型，在诱导公式的应用中要注意灵活 3π 3 变形，例如：tan(－α＋ 2 )＝tan( 2 π－α)，也可以这样变形： 3 π π tan(－α＋2π)＝tan(π＋2－α)＝tan(2－α)．
π π π ∵|φ|<2，∴φ＝－3，tanφ＝tan(－3)＝－ 3.
答案：C
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π 1 π 2．已知 sin(α＋ )＝ ，α∈(－ ，0)，则 tanα 等于( ) 2 3 2 2 2 A．－2 2 B．2 2 C．－ D. 4 4 1 1 π 解析： sin(α＋ 2 )＝cosα＝ 3 ，所以cosα＝ 3 ，又α∈(－ 2 2 π 2 2，0)，所以sinα＝－ 1－cos α＝－ 3 ，则tanα＝－2 2.
利用诱导公式五、六证明三角恒等式 【例3】 求证： cos(π－θ) cos(2π－θ) ＋ 3 3π π cosθ[sin(2π－θ)－1] cos(π＋θ)sin(2＋θ)－sin( 2 ＋θ) 2 ＝sin2θ.
思路分析：利用诱导公式，左⇒右，化繁为简．
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－cosθ cosθ 证明：左边＝ ＋ cosθ(－cosθ－1) －cosθcosθ＋cosθ 1 1 ＝ ＋ 1＋cosθ 1－cosθ 1－cosθ＋1＋cosθ 2 2 ＝ ＝ ＝ 2 ＝右边． (1＋cosθ)(1－cosθ) 1－cos2θ sin θ
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解：由已知得sinA＝ 2sinB， 3cosA＝ 2cosB，两式平 2 2 2 方相加得2cos A＝1，∴cosA＝± 2 ，若cosA＝－ 2 ，则cosB 3 ＝－ 2 ，此时A、B均为钝角，不符合题意． 2 3 3 ∴cosA＝ 2 ，∴cosB＝ cosA＝ 2 ， 2 7π π π ∴A＝4，B＝6，C＝π－(A＋B)＝12.
答案：A
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3．已知锐角 α 终边上一点的坐标为(2sin3，－2cos3)， 则 α 等于( ) π π A．π－3 B．3 C．3－ D. －3 2 2
解析：由题中条件可知r＝2， 2sin3 π π ∴cosα＝ 2 ＝sin3＝cos(2－3)＝cos(3－2)． π 又α为锐角，∴α＝3－2. 答案：C
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sinαcosα·(－cosα) 解：(1)f(α)＝ ＝－cosα. －cosα·(－sinα) 3π 1 π 1 1 (2)由 cos(α－ )＝ 得 cos(α＋ )＝ ，∴sinα＝－ . 2 5 2 5 5 2 6 又∵α 是第三象限角，∴cosα＝－ . 5 2 6 ∴f(α)＝－cosα＝ . 5 (3)当 α＝－1860°时， f(α)＝－cosα＝－cos(－1860°)＝－cos1860° 1 ＝－cos(5×360°＋60°)＝－cos60°＝－ . 2
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1 若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α) ＋2sin(360°－α)的值是( ) 2a 3a A．－ 3 B．－ 2 2a 3a C. 3 D. 2 解析：－sinα－sinα＝－a.∴a＝2sinα. cos(270°－α)＋2sin(360°－α) 3 ＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－2a. 答案：B
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诱导公式的综合应用 【例4】 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA＝－ 2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
思路分析：本题主要考查诱导公式、同角三角函数关系 和已知三角函数求角．由已知条件求出A、B、C对应的三角 函数值，并注意到A＋B＋C＝π，可求出角．
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3．诱导公式 诱导公式一、二、三、四、五、六都叫诱导公式．诱导 公式一、二、三、四，不改变函数名称；诱导公式五、六， 正弦、余弦之间互换．
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自测自评
1．已知cos35°＝a，则sin55°等于( A．a B．－a C．±a D．± 1－a2
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2
π cos(α－2) 化简 ·sin(π－α)·cos(2π－α)． 5π sin( 2 ＋α)
π cos(2－α) sinα 解：原式＝ ·sinα·cosα＝cosα·sinα·cosα＝sin2α. π sin(2＋α)
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3 求证： tan(2π－α)·sin(－2π－α)cos(6π－α) ＝－tanα. 3π 3π sin(α＋ 2 )·cos(α＋ 2 )
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tan(－α)·sin(－α)·cos(－α) 证明：左边＝ π π sin[2π－( －α)]·cos[2π－( －α)] 2 2 (－tanα)·(－sinα)·cosα ＝ π π sin[－( －α)]cos[－( －α)] 2 2 sin2α ＝ π π －sin( －α)cos( －α) 2 2 sin2α sinα ＝ ＝－ ＝－tanα＝右边． cosα －cosα·sinα
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2．三角函数式的求值与证明的过程也是化简的过程，它 是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直 变到0°～90°角的过程．对同一角的化归方式可以多种多样， 但化简的基本要求都是：(1)能求值的要求出值；(2)使项数尽 量少；(3)使次数尽可能低；(4)函数种类尽可能少；(5)分母中 尽量不含被开方数等． π π 3．利用公式五和六，可把 2 ±α中的角 2 去掉，从而实现 π 正、余弦函数的相互转化，反过来，也可通过添加 2 来实现 正、余弦函数的互化．
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ห้องสมุดไป่ตู้
规律归纳 已知三角函数等式求角，先根据已知条件化简变形，然 后求出对应的三角函数值，根据三角形中角的范围确定具体 角，常规方法是对条件进行相加、平方相加或相除等．
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已知 A，B，C 为△ABC 的三个内角． A＋B A＋B C C 求证：sin ＝cos ，cos ＝sin . 2 2 2 2 4
答案：－1
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π 4．化简：sin(－α－5π)·cos(α－2)＝________. 答案：sin2α
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3 3π 5．如果cosα＝－5，且α是第三象限角，求cos(α＋ 2 )．
3 解：cos(α＋ 2 π)＝sinα＝－ 1－cos2α ＝－ 4 － 5. 32 1－(－5) ＝
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4．若 cos(180°＋α)－sin(90°＋α)＝－a，则 sin(270°－α) －2cos(360°－α)的值是( ) 2a 3a 2a 3a A．－ B．－ C. D. 3 2 3 2 解析：由cos(180°＋α)－sin(90°＋α)＝－α， a 得：－cosα－cosα＝－a，即cosα＝2， sin(270°－α)－2cos(360°－α) 3 ＝－cosα－2cosα＝－3cosα＝－2a. 答案：B
A＋B π－C π C C 证明：sin 2 ＝sin 2 ＝sin(2－ 2 )＝cos 2 . A＋B C 同理cos 2 ＝sin 2 .