成都树德中学数学有理数单元测试卷附答案

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点衰示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB.线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB﹣b﹣a.
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B 点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm.
（1）请你在数轴上表示出A.B.C三点的位置：
（2）点C到点人的距离CA=________cm；若数轴上有一点D，且AD=4，则点D表示的数为________；
（3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为________；（用代数式表示）（4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A.C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动.设移动时间为t秒，
试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）5；﹣5或3
（3）﹣1+x
（4）解：CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：CA=（4+4t）﹣（﹣1+t）=5+3t，AB=（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）=2+3t，
∴CA﹣AB=（5+3t）﹣（2+3t）=3，
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化
【解析】【解答】（2）CA=4﹣（﹣1）=4+1=5（cm）；
设D表示的数为a，
∵AD=4，
∴|﹣1﹣a|=4，
解得：a=﹣5或3，
∴点D表示的数为﹣5或3；
故答案为5，﹣5或3；
（ 3 ）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x；
故答案为﹣1+x；
【分析】（1）根据题意容易画出图形；（2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为-1+x；（4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论.
2．如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4.
（1）直接写出A、B两点之间的距离；
（2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝ PB，求点P表示的数.
（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值.
【答案】（1）解：A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16
（2）解：设点P表示的数为x.分两种情况：
①当点P在线段AB上时，
∵AP＝ PB，
∴x+12＝（4﹣x），
解得x＝﹣8；
②当点P在线段BA的延长线上时，
∵AP＝ PB，
∴﹣12﹣x＝（4﹣x），
解得x＝﹣20.
综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20
（3）解：分两种情况：
①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t，
∵OP＝4OQ，
∴12﹣5t＝4（4﹣2t），
解得t＝，符合题意；
②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，
此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t，
∵OP＝4OQ，
∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2），
∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24，
解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去.
综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒
【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；（2）设点P表示的数为x.分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上.根据
AP＝ PB列出关于x的方程，求解即可；（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可.
3．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展.数学老师向同学们提出了这样的问题：“在数轴上，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离.那么，如果用P（a）表示数轴上的点P表示有理数a，Q（b）表示数轴上的点Q表示有理数b，那么点P与点Q的距离是多少？”
（1）聪明的小明经过思考回答说：这个问题应该有两种情况.一种是点P和点Q在原点的两侧，此时点P与点Q的距离是a和b的绝对值的和，即∣a∣＋∣b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离为∣－3∣＋∣－5∣=________；
另一种是点P和点Q在原点的同侧，此时点P与点Q的距离的a和b中，较大的绝对值减去较小的绝对值，即∣a∣－∣b∣或∣b∣－∣a∣.例如：点A（－3）与点B（－5）的距离为∣－5∣－∣－3∣=________；
你认为小明的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿
求出数轴上点M（）与N（）之间和点C（－2）与D（－7）之间的距离. ________（2）小颖在听了小明的方法后，提出了不同的方法，小颖说：我们可以不考虑点P和点Q 所在的位置，无论点P与点Q的位置如何，它们之间的距离就是数a与b的差的绝对值，即∣a－b∣.例如：点A（－3）与点B（5）的距离就是∣－3－5∣=________；点A（－3）与点B（－5）的距离就是∣（－3）－（－5）∣= ________；你认为小颖的说法有道理吗？如果没有道理，请你指出错误之处；如果有道理，请你模仿求出数轴上点M
（）与N（）之间和点C（－1.5）与D（－3.5）之间的距离.________
【答案】（1）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为
点C与点D之间的距离为
（2）解：8；2；有道理；点M与点N之间的距离为点C与点的之间的距离为
【解析】【分析】（1）数轴上的点，原点两侧两点之间的距离即点到原点绝对值的相加之和。

原点同侧两点之间的距离即绝对值大的减去绝对值小的。

（2）根据数轴上两点之间距离的意义，小颖说的也有意义。

列出等式代数求值即可。

4．同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；
（4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________；
（5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.
【答案】（1）2；6
（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.
（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;
（4）1；9
（5）1；2n2+3n
【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣
1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1
当a=1时
原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n
=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）
=
= 2n2+3n
故：答案为1， 2n2+3n ．
【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；
（2）此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，从而找出1到-2 的整数即可；
（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；
（5）|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-4，5，……-2n,2n+1的距离和，故要使，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。

5．观察下列等式：
第1个等式：a1＝，
第2个等式：a2＝，
第3个等式：a3＝，
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝________＝________；
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：a n＝________＝________(n为正整数)；
（3）求a1+a2+a3+…+a2019的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：a1+a2+a3+…+a2019＝+…+
＝
【解析】【解答】第1个等式：a1＝，
第2个等式：a2＝，
第3个等式：a3＝，
∴第4个等式：a4＝，
第5个等式：a5＝，
故答案为： (2)第n个等式：
a n＝
故答案为：；
【分析】（1）根据规律，得出第5个等式：a5＝；（2）根据规
律，得出第5个等式：a n＝；（3）将提出后，括号里进行加减，即可求出结果．
6．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）已知|x|＝3，则x的值是________．
（2）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和﹣2的两点之间的距离为________；
（3）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和﹣3两点之间的距离为________
（4）若x表示一个实数，且﹣5＜x＜3，化简|x﹣3|+|x+5|＝________；
（5）|x+3|+|x﹣4|的最小值为________，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值为________．
（6）|x+1|﹣|x﹣3|的最大值为________．
【答案】（1）
（2）4；3
（3）|x﹣1|
；|x+3|
（4）8
（5）7；6
（6）4
【解析】【解答】解：（1）∵，则；
故答案为：；（2），，
故答案为：4，3；（3）根据两点间距离公式可知：数轴上表示x和1两点之间的距离为：；
数轴上表示x和-3两点之间的距离为：；
故答案为：，；（4）x对应点在点-5和3之间时的任意一点时|x-3|+|x+5|的值都是8；
故答案为：8；（5）x对应点在点-4和3之间时的任意一点，|x-3|+|x+4|的值最小是7；当x对应点是3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值为6；
故答案为：7，6；（6）当x对应点不在-1和3对应点所在的线段上，即x＜-1或x＞3时，
|x+1|-|x-3|的最大值为4；
故答案为：4．
【分析】（1）根据绝对值的意义，即可得到答案；（2）（3）直接代入公式即可；（4）实质是在表示3和-5的点之间取一点，计算该点到点3和-5的距离和；（5）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+3|+|x-4|的值最小；x对应点在3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|值最小；（6）可知x对应点在表示-1和3的点所形成的线段外时，|x+1|-|x-3|的值最大．
7．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：
现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文(真实文)按计算机键盘字母排列分解，其中Q，W，E，……，N，M这26个字母依次对应1，2，3，……，25，26这26个自然数(见下表)．
Q W E R T Y U I O P A S D
12345678910111213
F G H J K L Z X C V B N M
14151617181920212223242526
将明文转成密文，如：，即R变为L；，即A 变为S．
将密文转换成明文，如：，即X变为P；13 3×(13－8)－1＝14，即D变为F．
（1）按上述方法将明文NE T译为密文．
（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN，请找出它的明文．
【答案】（1）解：
即NET密文为MQP．
（2）解：
即密文DWN的明文为FYC ．
【解析】【分析】（1）由图表找出N、E、T对应的自然数，再根据变换公式变成密文即可；（2）由图表找出D、W、N对应的自然数，再根据变换公式变成明文即可.
8．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，AB=14，点A对应的数为a，点B对应的数为b.
（1）若b＝－4，则a的值为________.
（2）若OA＝3OB，求a的值.
（3）点C为数轴上一点，对应的数为c.若O为AC的中点，OB＝3BC，直接写出所有满足条件的c的值.
【答案】（1）10
（2）解：当A在原点O的右侧时（如图）：
设OB=m,列方程得：m+3m=14，
解这个方程得，，
所以，OA= ，点A在原点O的右侧，a的值为 .
当A在原点的左侧时（如图)，
a=－
综上，a的值为± .
（3）解：当点A在原点的右侧，点B在点C的左侧时（如图), c=－ .
当点A在原点的右侧，点B在点C的右侧时（如图), c=－8.
当点A在原点的左侧，点B在点C的右侧时，图略，c= .
当点A在原点的左侧，点B在点C的左侧时,图略，c=8.
综上，点c的值为：±8，± .
【解析】【分析】(1)根据题意画出数轴，由已知条件得出AB=14,OB=4,则OA=10,得出a的
值为10.(2)分两种情况,点A在原点的右侧时,设OB=m,列一元一次方程求解,进一步得出OA 的长度,从而得出a的值.同理可求出当点A在原点的左侧时,a的值.(3)画数轴,结合数轴分四
种情况讨论计算即可.
9．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB＝12.动
点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为
t秒.
（1）数轴上点B表示的数为________；点P表示的数为________（用含t的代数式表示）. （2）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向点A方向匀速运动；点
P、点Q同时出发，当点P与点Q重合后，点P马上改变方向，与点Q继续向点A方向匀速运动（点P、点Q在运动过程中，速度始终保持不变）；当点P返回到达A点时，P、Q 停止运动.设运动时间为t秒.
①当点P返回到达A点时，求t的值，并求出此时点Q表示的数.
②当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值.
【答案】（1）9；
（2）解：①根据题意，得：（1+2）t＝12，
解得：t＝4，
∴P回到A需8s，当t＝8时，点P与点A重合，此时点Q表示的数为1；
②P与Q重合前（即t<4）：
当2AP＝PQ时，有2t+4t+t＝12，解得t＝；
当AP＝2PQ时，有2t+t+t＝12，解得t＝3；
P与Q重合后（即4<t<8）：
当AP＝2PQ时，有2（8﹣t）＝2（t﹣4），解得t＝6；
当2AP＝PQ时，有4（8﹣t）＝t﹣4，解得t＝；
综上所述，当t＝秒或3秒或6秒或秒时，点P是线段AQ的三等分点.
【解析】【解答】解：（1）由题意知，点B表示的数是﹣3+12＝9，点P表示的数是﹣3+2t，
故答案为：9，﹣3+2t；
【分析】（1）根据两点间的距离求解可得；（2）①根据重合前两者的路程和等于AB的长度列方程求解可得；②分点P与点Q重合前和重合后，依据点P是线段AQ的三等分点线段间的数量关系，并据此列出方程求解可得.
10．已知表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离请试着探索：
（1）找出所有符合条件的整数，使，这样的整数是________；（2）利用数轴找出，当时，的值是________；
（3）利用数轴找出，当取最小值时，的范围是________．
【答案】（1）-4，-3，-2，-1，0，1，2
（2）-5或4
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵ = 表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
又∵表示2与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离为6，
∴当数轴上表示x的点在表示-4的点的左侧时，，不符合题意，当数轴上表示x的点在表示2的点的右侧时，，不符合题意，
当数轴上表示x的点在表示-4的点与表示2的点之间（包括表示-4与2的点）时，
，符合题意，
∴，
∴使，整数是-4，-3，-2，-1，0，1，2．
故答案是：-4，-3，-2，-1，0，1，2；（2）∵ = 表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
∴当x=-5时，表示-5与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2，表示-5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，即：，
∴x=-5符合题意，
当x=4时，表示4与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离为7，表示4与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离为2，即：，
∴x=4符合题意，
综上所述：当时，的值是：-5或4．
故答案是：-5或4；（3）∵ = 表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，
∴当数轴上表示x的点在表示-7的点的左侧时，，
当数轴上表示x的点在表示4的点的右侧时，，
当数轴上表示x的点在表示-7的点与表示4的点之间（包括表示-7与4的点）时，
，
∴当取最小值时，．
故答案是：．
【分析】（1）根据绝对值的几何意义，得表示x与-4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解；（2）根据绝对值的几何意义，得表示x与-3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解；（3）根据绝对值的几何意义，得表示x与-7两数在数轴上所对应的两点之间的距离，表示x与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，结合条件，即可求解．
11．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子 ,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|= .根据
以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________.
（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1.
①用代数式表示A、B两点之间的距；
②如果 ,求x的值.
（3）直接写出代数式的最小值.
【答案】（1）3；3
（2）解：①|AB|＝|x－(－1)|＝|x＋1|，②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2,x＋1＝2或x＋1＝－2,解得x＝1或x＝－3.
（3）解：∵代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和,∴当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是:|4－(－1)|＝5.
【解析】【解答】解：(1)数轴.上表示2和5的两点之间的距离是:|5－2|＝3;数轴_上表示－2和－5的两点之间的距离是:｜(－2)－(－5)｜＝|－2＋5|＝ |3|＝3.
【分析】(1)根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是:|5－2|＝3 ;数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是:|(－2)－(－5)|＝3；(2)①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和－1,可得表示A、B两点之间的距离是：|x－(－1)|＝|x＋1|；②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2 ,据此求出x的值是多少即可.(3)根据题意,可得代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和，所以当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是表示4的点与表示－1的点之间的距离,即代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是5.
12．阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点（点C在线段AB上）．
例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点．
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．
（1）数________所表示的点是（M，N）的好点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【答案】（1）2
（2）解：设点P表示的数为y，分两种情况：
①P为【A，B】的好点．
由题意，得y﹣（﹣20）=2（40﹣y），
解得y=20，
t=（40﹣20）÷2=10（秒）；
②P为【B，A】的好点．
由题意，得40﹣y=2[y﹣（﹣20）]，
解得y=0，
t=（40﹣0）÷2=20（秒）；
综上可知，当t为10秒或20秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点
【解析】【解答】（1）设所求数为x，由题意得
x﹣（﹣2）=2（4﹣x），
解得x=2
【分析】（1）设所求数为x，根据好点的定义列出方程x-（-2）=2（4-x），解方程即可（2）根据好点的定义可知分两种情况：①P为【A，B】的好点；②P为【B，A】的好点．设点P表示的数为y，根据好点的定义列出方程，解得t值即可．。