《7.3.1 组合与组合数公式》教案新部编本
组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
7.3.1组合与组合数公式
问题1：高二年段12个班要举行篮球赛，如果任意两 个班都比赛一次，需要安排几场比赛？ 问题2：列车从甲站到乙站中途停车8次，单程需要制 作多少种不同的火车票？
问题3：汽车公司从12辆客车中选3辆客车运送高二年 级同学，有多少种不同选法？
你能说说上面3问题 的特点吗？
从n个不同元素中取出m m n 个不同 元素，不论次序的构成一组, 称为一个组合。
3解法1
C C C C 9 604种. 解法2 抽出的 3 件产品中至少有 1件是次品 的抽法的种数 , 也就是从 100件中抽出 3 件的 抽法种数减去 3件中都是合格品的抽法 的种 数,即
3 C100 C3 . 98 161 700 152 096 9 604种
组合
排列
abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
m n m n
abc abd acd bcd
上述解释可以推广到一 般情形. 求从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数 , 可看作由以下 2个步骤得到的 :
性质1
m n
nm n
在推导性质1时, 我们运 用了证明组合相等 的一个常用而重要的方 法,即通过阐明等号 两边的不同表达式实际 上是对同一个组合 问题的两个不同的计数 方案, 从而达到证明 的目的 .
探究 你能根据上述的思想方 法, 利用分类 计数原理 ,证明下列组合数的性质 吗?
性质 2
m m1 Cm C C . n1 n n
m n m n m m
数公式. 因为 A m n
高中数学组合教案
高中数学组合教案一、教学目标1.让学生理解组合的概念及其应用。
2.培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和数学素养。
二、教学内容1.组合的概念2.组合的计数方法3.组合的应用三、教学重点与难点1.重点：组合的概念及其计数方法。
2.难点：组合的应用。
四、教学过程1.导入新课（1）回顾排列的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列。
（2）提问：排列与组合有什么区别？（3）引导学生思考：如何定义组合？2.讲解组合的概念（1）定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合。
（2）举例说明：如从5个学生中选出3个学生参加比赛，不考虑顺序，这就是一个组合问题。
3.讲解组合的计数方法（1）组合数公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]（2）推导过程：通过排列数公式推导出组合数公式。
（3）讲解组合数的性质：C(n,m)=C(n,n-m)4.讲解组合的应用（1）典型例题：如从5个学生中选出3个学生参加比赛，求不同的选法。
（2）解题步骤：确定n和m，代入组合数公式计算。
（3）引导学生发现：组合问题在实际生活中的应用，如抽奖、彩票等。
5.课堂练习（1）练习1：从4名男生和3名女生中选出2名男生和1名女生参加比赛，求不同的选法。
（2）练习2：某商店有5种不同的商品，顾客从中选取3种购买，求不同的购买方式。
（2）反思：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？五、作业布置1.必做题：教材P45第1、2、3题。
2.选做题：教材P46第4、5题。
六、教学反思本节课通过讲解组合的概念、计数方法和应用，使学生掌握了组合知识。
在教学过程中，注意引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
课堂练习环节，让学生在实际问题中运用组合知识，提高解决问题的能力。
但部分学生对于组合数公式的推导和应用还不够熟练，需要在今后的教学中加强训练。
组合与组合数公式 课件
主题2:组合数公式与组合数性质 从1,3,5,7中任取两个相除, 1.可以得到多少个不同的商? 提示: =4×3=12个不同的商.
A24
2.如何用分步乘法计数原理求商的个数?
提示:第1步,从这四个数中任取两个数,有 种方法;
C24
第2步,将每个组合中的两个数排列,有 种排法.由分
步乘法计数原理,可得商的个数为
=35(种).
答C案37 :35
4.计算 C34A33 =________.
【解析】
C34A33 A34 43 2 24.
答案:24
5.一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5 个球. (1)共有多少种不同的取法? (2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法? (3)其中不含红球,共有多少种不同的取法? (仿照教材P23例6的解析过程)
出m个元素的组合数,等于从n个不同元素中取出n-m个
元素的组合数,因此
Cmn
Cnm n
.
【预习自测】
1.如果 =28,则n的值为 (
C2n
A.9
B.8
C.7
) D.6
【解析】选B.
=28,所以n=8或n=-7(舍).
C2n
28得
nn 1
2
2.给出下面几个问题,其中是组合问题的是 ( ) ①某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛; ②从1,2,3,4中选出2个数,构成平面向量a的坐标; ③从1,2,3,4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长,构 成焦点在x轴上的双曲线的方程; ④从正方体的8个顶点中任取两点构成线段.
18
18
【解析】(1)
由
n（n
6
1）n
2
n
n
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）第一章：组合概念的引入1.1 组合的定义教学目标：了解组合的定义，理解组合是一种从多个不同元素中选取一部分元素的方法，不考虑元素的顺序。
教学内容：引导学生回顾排列的概念，引出组合的概念。
通过具体的例子，让学生理解组合的意义。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的定义。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合定义的理解程度。
1.2 组合的表示方法教学目标：学习组合的表示方法，如排列号和组合号。
教学内容：介绍排列号和组合号的表示方法，以及它们之间的关系。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的表示方法。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合表示方法的掌握程度。
第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式教学目标：学习组合数的计算公式，理解组合数与排列数的关系。
教学内容：介绍组合数的计算公式，以及组合数与排列数的关系。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算公式。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数计算公式的掌握程度。
2.2 组合数的计算方法教学目标：学习组合数的计算方法，如递推法、倍数法等。
教学内容：介绍组合数的计算方法，以及它们的适用场景。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算方法。
教学评价：通过课堂练习，检查学生对组合数计算方法的掌握程度。
第三章：组合数的性质3.1 组合数的性质教学目标：学习组合数的性质，如组合数的对称性、组合数的单调性等。
教学内容：介绍组合数的性质，以及它们的证明方法。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的性质。
教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数性质的掌握程度。
3.2 组合数的应用教学目标：学习组合数的应用，如组合数的在概率论中的应用、组合数在图论中的应用等。
教学内容：介绍组合数在概率论中的应用，以及组合数在图论中的应用。
教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的应用。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）教学目标：1. 理解组合的概念和性质。
2. 掌握组合数的计算方法。
3. 能够应用组合数解决实际问题。
教学重点：1. 组合的概念和性质。
2. 组合数的计算方法。
教学难点：1. 理解组合的性质和计算方法。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入组合的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的组合问题。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解组合的定义和性质，通过示例解释组合的概念。
2. 介绍组合数的计算方法，包括排列组合公式和递推公式。
3. 通过PPT展示组合数的计算过程和应用实例。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的概念和计算方法。
2. 引导学生思考如何应用组合数解决实际问题。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结组合的概念和计算方法，强调组合在实际生活中的应用。
2. 提出拓展问题，引导学生进一步思考组合数的性质和应用。
五、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，要求学生巩固组合的概念和计算方法。
2. 鼓励学生思考生活中的组合问题，培养学生的应用能力。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，使学生理解组合的概念和性质，掌握组合数的计算方法，并能够应用组合数解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和主动性。
通过练习题和实际问题的解决，巩固学生的知识，提高学生的应用能力。
六、组合与组合数在几何中的应用（15分钟）教学目标：1. 理解组合数在几何中的应用。
2. 学会使用组合数解决几何问题。
教学重点：1. 组合数在几何中的应用。
教学难点：1. 如何将几何问题转化为组合问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 几何问题示例。
教学过程：1. 通过PPT展示组合数在几何中的应用实例，如平面几何中的区域划分、线段组合等。
2. 引导学生思考如何将几何问题转化为组合问题，并利用组合数解决。
3. 分析几何问题中的组合规律，引导学生总结解决几何问题的方法。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
[例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
(1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必需参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本的问题， 可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正 确分析和判断．
(7 分)
(4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加，可分两步：先从甲、
乙、丙中选 1 人，有 C13＝3 种选法；再从另外 9 人中选 4 人，
有 C49种选法．共有 C13C49＝378 种不同的选法．
(10 分)
[一点通] 解简单的组合应用题时，要先判断它是 不是组合问题，只有当该问题能构成组合模型时，才能运 用组合数公式求解．解题时还应注意两个计数原理的运用， 在分类和分步时，应注意有无重复或遗漏．
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
107C7m＝7×71－0×m7！！m！，
∴m！55！－m！－m！6－6×m5！5－m！ ＝7×m！170－×m7×66－×m5！5－m！， ∴1－6－6 m＝7－m606－m， 即 m2－23m＋42＝0，解得 m＝2 或 21. 而 0≤m≤5，∴m＝2. ∴C8m＋C58－m＝C28＋C38＝C93＝84.
高中高三数学上册《组合》教案
高中高三数学上册《组合》教案教案目标：1.让学生理解组合的概念及性质；2.使学生掌握组合数的计算公式及组合数的性质；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1.组合的概念及性质；2.组合数的计算公式及性质。
教学难点：1.组合数公式的推导；2.组合数性质的运用。
教学准备：1.教材：高中高三数学上册；2.教学工具：PPT、黑板、粉笔。
教学过程：一、导入1.引导学生回顾排列的概念，让学生举例说明排列的特点；2.提问：排列与组合有什么区别？二、新课讲解1.讲解组合的概念（1）定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；（2）表示：用符号C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数；（3）性质：组合中的元素是无序的。
2.讲解组合数的计算公式（1）排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!；（2）组合数公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]；（3）推导过程：通过排列数公式推导组合数公式。
3.讲解组合数的性质（1）性质1：C(n,m)=C(n,n-m)；（2）性质2：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。
4.举例讲解（1）例1：从5个男生和4个女生中，任选3人参加比赛，求不同的选法有多少种？（2）例2：某班级有10名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？三、课堂练习1.练习1：从6个男生和5个女生中，任选4人参加比赛，求不同的选法有多少种？2.练习2：某班级有8名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？四、课堂小结2.强调组合与排列的区别。
五、课后作业1.作业1：从7个男生和6个女生中，任选5人参加比赛，求不同的选法有多少种？2.作业2：某班级有9名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？教学反思：本节课通过讲解组合的概念、组合数的计算公式及性质，让学生掌握了组合的基本知识。
组合与组合数教案()
组合与组合数教案（优秀）一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。
2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生发现数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。
二、教学内容1. 组合的定义及计算方法。
2. 组合数的计算公式。
3. 组合在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：组合的概念，组合的计算方法，组合数的计算公式。
2. 难点：组合在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究组合的概念和计算方法。
2. 用实例讲解组合在实际问题中的应用，提高学生的实践能力。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示组合的图形和计算过程。
五、教学准备1. 课件：组合的定义、计算方法、组合数的计算公式及相关实例。
2. 教学素材：相关实际问题，用于引导学生运用组合知识解决。
3. 学生作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入：通过一个简单的实际问题引入组合的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课导入：讲解组合的定义，引导学生理解组合的意义。
3. 组合的计算方法：讲解组合的计算方法，让学生通过实例体会组合的计算过程。
4. 组合数的计算公式：推导组合数的计算公式，让学生理解组合数与排列数的关系。
5. 练习与讨论：让学生分组讨论，互相解答疑惑，巩固所学知识。
七、课堂练习1. 布置适量的课堂练习题，让学生运用组合知识解决问题。
2. 引导学生互相批改，讨论解题思路，提高解题能力。
3. 对学生的练习情况进行点评，指出优点和不足，给予鼓励和建议。
八、组合在实际问题中的应用1. 通过实例讲解组合在实际问题中的应用，让学生体会数学的价值。
2. 引导学生运用组合知识解决实际问题，培养学生的实践能力。
3. 让学生分组讨论，分享各自的解题过程和心得，互相学习。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结组合的概念、计算方法和组合数的计算公式。
2. 强调组合在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。
高中数学第一章计数原理3第一课时组合与组合数公式教学案北师大版选修.doc
第一课时组合与组合数公式[对应学生用书P10][例1](1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．[一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？ (6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ 解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．[例2] 1073100200(3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决． [精解详析] (1)原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ＋，∴n ＝10.∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131 ＝30×292×1＋31＝466. [一点通] (1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．2．若C 2n ＝28，则n 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：∵C 2n ＝n ！2！n －！＝n n －2＝28，∴n (n －1)＝56，即n ＝8. 答案：B3．若C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n 的值为________． 解析：由已知，得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2·n ！5！n －！＝n ！4！n －！＋n ！6！n －！， 整理，得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14. 要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.答案：914．证明：C mn ＝n mC m －1n －1. 证明：∵n m·C m －1n －1＝n m·n －！m －！n －－m －！＝n ！[mm －！n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ，∴C mn ＝n mC m －1n －1成立.[例3] (12分) (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路点拨] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值． [精解详析] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 11C 27＝7×62×1＝21.分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35.分)[一点通] 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 27A 13种D ．C 27C 13种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成： 第一步，选女工，有C 13种选法； 第二步，选男工，有C 27种选法． 故有C 13C 27种不同选法． 答案：D6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C 410＝210种分组方法． 答案：2107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C 210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C 26种选法，从4名女教师中选2名有C 24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C 26C 24＝90种．1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m 个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C mn 时，若m ＞n2，通常使用C m n ＝C n －mn 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .[对应课时跟踪训练四1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．答案：C2．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4解析：∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n n －2.解得n ＝8.答案：A3．下列四个式子中正确的个数是( ) (1)C m n＝A mn m ！；(2)A m n ＝n A m －1n －1；(3)C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m ；(4)C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为C m n＝n ！m ！n －m ！＝1m ！·n ！n －m ！＝A mnm ！，故(1)正确；因为n A m －1n －1＝n ·n －！n －m ！＝n ！n －m ！＝A mn ，故(2)正确；因为C mn ÷C m ＋1n ＝n ！m ！n －m ÷n ！m ＋！n －m －！＝n ！m ！n －m ！×m ＋！n －m －！n ！＝m ＋1n －m， 故(3)正确． 因为Cm ＋1n ＋1＝n ＋！m ＋！n －m ！，n ＋1m ＋1Cmn＝n ＋1m ＋1·n ！m ！n －m ！＝n ＋！m ＋！n －m ！，所以C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n ，故(4)正确．答案：D4．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1， 所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12.答案：126．方程C x 28＝C 3x －828的解为________．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．计算：(1)C 58＋C 98100C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55.解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．。
组合与组合数公式及性质新授
课题: 周次第课时累计课时年 10 月 11 日 课题组合与组合数公式及性质课型新授前 置 知 识 计数原理,计步原理,排列与排列数公式 重 点难 点分析重点:组合数公式 难点:排列与组合的区别和联系 教具 教学目标 1.理解组合的概念 2.掌握组合数公式; 3.理解排列与组合的区别和联系 4.熟练掌握组合数的计算公式; 板书设计 组合与组合数公式及性质 一.复习引入 二.讲授新课 1.组合、组合数概念、排列与组合的区别和联系 2.组合数公式推导 三.总结应用四.布置作业 教学程序 教师活动设计学生活动设计 一、导入新课 示例 1:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动, 其中 1 名同学参加上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种 不同的选法 示例 2:从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少
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A,所以: 3 3 3 4 3 4A A C=. ⑵推广:一般地,求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 m n A,可以分如下两步:①先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 m n C;②求每一个组合中 m 个元素全排列 数m m A,根据分布计数原理得:m n A=m n Cm m A ? ⑶组合数的公式: ! )1 ( )2
C和3 4 A 的关系,如下: 组合排列 dcb cdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc
abc , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , → → → → 由此可知:每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 3 4 A,可以分如下两步: ①考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,共有 3 4
组合与组合数公式最新版ppt课件
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
6
组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
组合与组合数公式
1
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A
2 3
6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
2
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
abd bad adb bda
acd cad adc cda
2025高考数学一轮复习-7.3.1-组合与组合数公式【课件】
(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
解 可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类计数原理， 共有 C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法.
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
问题 3 组合数 C34与排列数 A34有什么关系？你能求出 C34吗？
提示 求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A34，可以分如下两步： ①考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有 C34个； ②对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 A33种方法.由分步计数 原理得，A34＝C34·A33，所以 C34＝AA3334.
n！ Cmn ＝___m_！___n_－__m__！___
注意点：
(1)C0n＝1. nn－1n－2·…·[n－m－1] (2)Cmn ＝AAmmnm＝__m__m_－__1___m_－__2__×__…__×__2_×__1___常用于计算.
n！ (3)Cmn ＝m！n－m！常用于证明.
角度1 利用组合数化简、求值 例2 求值： (1)3C38－2C25；
角度2 利用组合数证明 例 3 证明：Cmn ＝n－n mCnm－1. 证明 右边＝n－n mCmn－1＝n－n m·m！nn－－11－！m！＝m！nn！－m！＝Cmn ＝左 边.所以原式成立.
跟踪训练 2 (1)计算：C410－C37·A33；
解 原式＝C410－A37＝140××39××28××17－7×6×5 ＝210－210＝0.
提示 (1)中选取的两个志愿是有序的，(2)中选取的两个志愿是无序的.
《7.3.1 组合与组合数公式》课件
题后反思：注意m和n的大小关系及范围要求
例1：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的 2 线段共有多少条? C10 =45 (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的 2 有向线段共有多少条? A =45
10
变式(书本第27页A组)
例2
解：（） 1 C
3 100
161700
(2)C C 9506
三位数?
第一步：从 4 个数中选 3 三个不同的数，其有 C3 4 种不同的取法； 第二步，再将这三个数全排列，共有 A3 3 种不同的排法。
3 3 因此，由分步乘法计数原理有： A3 ， =C .A 4 4 3
3 A 4 可得： C3 = 4 A3 3
探究 m m Cn 与 An 有什么区别与联系？我们从具体问题分析 2.从n个不同的元素中任意选出m个组成一组,共可得到多少
3 8
2 5
2.填空
38n 3n （1） C3 C n 21 n
; ；
3n 3n1 3n 2 17n （2） C13 C C C n 12n 11n 2n
2.填空
38n 3n （1） C3 C n 21 n
; ；
3n 3n1 3n 2 17n （2） C13 C C C n 12n 11n 2n
组合与组合数公式
问题1
(1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，有 多少种选法？ (2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，共 中1名同学参加上午的活动,另1名参加下午的活动,有多少 种选法？
问题2
(1)从1,2,3,4中任意选出3个不同的数组成一个集合，这 样的集合有多少个？ (2)从1,2,3,4中任意选出3个组成一个三位数,共可得到多 少个三位数?
高中数学_组合与组合数的公式教学设计学情分析教材分析课后反思
组合学习目标：1.理解组合与组合数的概念．（重点）2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．3.了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．（难点）复习：①排列的定义②排列数③排列数公式情境创设问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？：这两个问题有什么联系与区别？概念讲解1.组合对比排列定义思考：①找出组合与排列共同点、不同点？②概念理解一、思考1:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考2: 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?二、判断下列问题是组合问题还是排列问题1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？（3）从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab 的底数与真数，得到的对数的个数有多少？若问把这两个数相乘得到的积有几种？探究：学生类比排列数的概念得出组合数的概念例1(1)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的组合(2)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列. 由此得到组合数公式例2计算；3414,C C 342414,,C C C 35253C C 与）（ 利用例2探究组合数的性质：组合的应用例3 48504950C C +，210242333...C C C C ++++课堂达标1.出下面几个问题，其中是组合问题的有( )①由1,2,3,4构成的含有两个元素的集合；②五个队进行单循环比赛的分组情况；③由1,2,3组成两位数的不同方法数；④由1,2,3组成无重复数字的两位数．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④2．如果 ＝28，则n 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6课堂小结1.组合（1）.组合的定义；（2）.组合数；（3）.组合数的两个计算公式；（4）.组合数的两个性质2.数学方法归纳，类比，转化，化归作业：课本P27 9,10及学案学情分析本节课是在上两节学习了排列及排列数的基础上进行的新授课，授课班级是高二普通理科班，学生之间差距较大。
初中数学组合教案
初中数学组合教案
教学目标：
1. 理解组合的概念，掌握组合的计算公式。
2. 能够运用组合知识解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 组合的概念和计算公式。
2. 运用组合知识解决实际问题。
教学难点：
1. 理解组合的计算公式。
2. 灵活运用组合知识解决实际问题。
教学准备：
1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入组合的概念，让学生举例说明生活中常见的组合现象。
2. 引导学生思考组合的计算方法。
二、新课讲解（15分钟）
1. 讲解组合的定义和计算公式。
2. 通过例题讲解组合的计算方法。
3. 引导学生总结组合的计算规律。
三、课堂练习（15分钟）
1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的知识。
2. 讲解练习题的答案，解析解题思路。
四、应用拓展（10分钟）
1. 让学生运用组合的知识解决实际问题。
2. 引导学生思考组合知识在其他学科中的应用。
五、总结（5分钟）
1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结组合的概念和计算方法。
2. 强调组合知识在实际生活中的重要性。
教学反思：
本节课通过讲解组合的概念和计算公式，让学生掌握了组合的计算方法，并能够运用组合知识解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生思考组合知识在其他学科中的应用，培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，通过课堂练习和应用拓展环节，巩固了组合的知识，提高了学生的学习效果。
组合与组合数教案
组合（第1课时）通山一中曹时雄教学目的：1理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别3.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序. 举一反三、融会贯通.4.理解组合数的两个性质和应用。
教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式组合数的两个性质和应用授课类型：新授课课时安排：1课时情境设置一、提出问题（1）、从A、B、C 3名同学中选出2名去打扫卫生，其中1名同学扫地，1名同学拖地，有多少种不同的选法？（2）从A、B、C 3名同学中选出2名去扫地,有多少种不同的选法？二、温故而知新1.什么叫做排列？排列的特征是什么？一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.类比得组合定义一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不论次序地构成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2.排列与组合，它们有什么共同点、不同点？共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．3、什么是两个相同的排列？什么是两个相同的组合？4.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?(4)从4个风景点中选出2个去游览,有多少种不同的方法?（5）从4个风景点中选出2个,并确定这两个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法?三．组合数的计算公式1.组合数的概念从n个不同元素中取出m （m≤n））个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．C记为mn2、计算组合数求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,可看作以下2个步骤得到:第1步,从这n 个不同元素中取出m 个元素,共有 种不同的取法; 第2步,将取出的m 个元素做全排列,共有 种不同的排法.根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅． 3.组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== )!(!!m n m n C mn-=),,(n m N m n ≤∈*且 4.组合数的性质数学模型解释例题讲解：五．学会计算：m n C mm A m n n m n C C -=11-++=m nm n m n C C C n n n n C C 321383+-+4858682C C C ++n 621818，求已知-=n n C C n4185182，求已知+=n nC C六．学会思考：某条路上有10盏路灯，（1）选择其中3盏路灯熄掉，有多少种熄灯 方法？（2）选择其中3盏路灯熄掉，两头的路灯不能熄掉，有多少种熄灯方法？（3）选择其中3盏不相邻的路灯熄掉，有多少种熄灯方法？七．课堂训练：要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）八．课堂小结这节课我们用类比的方法讲解了组合的内容。
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教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]
任教学科：_____________
任教年级：_____________
任教老师：_____________
xx市实验学校
《7.3.1 组合与组合数公式》教案
【教学目标】 ①了解组合和组合数的意义，能运用所学的组合知识，正确地解决实际问题；②培养归纳概括能力；③从中体会“化归”的数学思想
【教学重点】
组合、组合数的概念
【教学难点】
排列问题与组合问题的区分
一、课前预习
1.从n 个______的元素中，____________个元素________，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 两个组合相同的含义为：________________________________.
2.从n 个______的元素中______________个元素的所有组合的_______，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号______表示.且组合数公式为)*,,.(___________n m N m n C m n ≤∈=
排列数与组合数的关系：________=m n
A 。
组合数公式为.________________________===m n C 规定 0n C =______.
3．组合数的性质：（1）__________________
（2）__________________
4.[思考] 怎样区分排列问题与组合问题？
二、课上学习
（1）写出从甲、乙、丙三个元素种任取两个元素的所有组合：（请比较组合与排列的关系）
（2） 写出从A,B,C,D,E 五个元素中任取3个元素的所有组合: 例2、计算：（1）28310
C C + （2）1010063858)(C C C C ++
例3、计算（1）
2
10
2
5
2
4
2
3
2
2
C
C
C
C
CΛ
+
+
+
+
（2）
3
101
97
100
98
100
)
(A
C
C÷
+
例4、现在有4名女生，5名男生。
（1）从中选2名同学去参加会议，有多少种不同的选法？
（2）从中选男、女生各2名去参加会议，有多少中不同的选法？
（3）从中选2名同学去参加会议，其中至少有1名女生，有多少种不同的选法？
例5、车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工.现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，有多少种选派方法？
例6、有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
分成1本，2本，3本三组；
分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
分成每组都是2本的三个组；
分给甲、乙、丙三个人，每个人2本.
三、课后练习
1.平面上有5个点，其中任何3个点都不共线，那么可以连成的三角形的个数是（）
.A8 .B7 .C6 .D10
2.从4台A型笔记本电脑和5台B型笔记本电脑中任意选取3台，其中至少要有A型和B型笔记本电脑各一台，则不同的选取方法共有（）
.A140种.B84种.C70种.D35种
3.从1,2,3,…,10这10个数字中任取四个数，使它们的和为奇数，共有_____种取法.
4.将6种不同的礼物，平均分成3份，有多少种不同的分法？
5.按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同的选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有1人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选。
6.有10名同学，其中6名男生，4名女生去参加夏令营活动，为了活动需要，要从这10名学生中任意选取3名同学去采集自然标本.（1）共有多少种不同的选法？
（2）恰有1名女生的选法有多少种？
（3）恰有2名女生的选法有多少种？
（4）至少有1名女生的选法有多少种？
（5）至多有1名女生的选法有多少种？
（6）恰有1名女生，再分配这3名同学分别去三个不同的区域采集标本，有多少种不同的选法？
7.把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中:
(1)不许有空盒子的放法有多少种?
(2)允许有空盒子的放法有多少种?
(3)若把四个小球分别标上1～4的标号,不许有空盒子且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中,共有多少种不同的放法?。