八年级数学下册 4 思想方法专题 勾股定理中的思想方法测试题 (新版)新人教版
人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元专项训练检测试题
人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元专项训练检测试题一、解答题1．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a，b，c满足ac+a2＝b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数；（3）如图2，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；②请证明△ABC为“类勾股三角形”．2．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:△ADG≌△BDF；(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段EF长度的最小值.3．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证：四边形AFCE为菱形．（2）如图1，求AF的长．（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒．①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．4．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB 方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．5．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．6．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形. 7．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y . （1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．8．（发现）小慧和小雯用一个平面去截正方体，得到一个三角形截面（截出的面），发现截面一定是锐角三角形．为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师．（体验）（1）从特殊入手许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起（如图，）,保持不动，让从重合位置开始绕点转动，在转动的过程，观测的大小和的形状，并列出下表：的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理，并填空：_____，_____； （2）猜想一般结论 在中，设，，（），①若为直角三角形，则满足；②若为锐角三角形，则满足____________； ③若为钝角三角形，则满足_____________． （探索）在许老师的启发下，小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），设，，，请帮助小慧说明为锐角三角形的道理．（应用）在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（ ）A ．一定是锐角三角形B ．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形C ．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形9．在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，点D 是AC 的中点，点E 是射线DC 上一点，DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，连接CF ，作FH CF ⊥于点F ，交直线AB 于点H ．（1）如图（1），当点E 在线段DC 上时，判断CF 和FH 的数量关系，并加以证明； （2）如图（2），当点E 在线段DC 的延长线上时，问题（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请求出当ABC △和CFH △面积相等时，点E 与点C 之间的距离；如果不成立，请说明理由．10．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F ．()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于点F ．求证：12BE CF AB +=．()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x 的函数关系式．11．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,5AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.12．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.13．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.14．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .15．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．16．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝；（2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ∆，ADE ∆，AFO ∆均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ∆内部，点E 在ABC ∆的外部，32=AD ，30DOE ∠=︒，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .（1）求点A 的坐标；（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ∆的周长. 18．已知a ，b ，c 88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225，（1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．19．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．20．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长；()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ．①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=12（c-a），AG=12（a+c），两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，∴ab+a2＝c2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，∴ab＝a2，∴a＝b，∴△ABC是等腰直角三角形，∴等腰直角三角形是类勾股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）∵AB＝BC，AC＞AB，∴a＝c，b＞c，∵△ABC是类勾股三角形，∴ac+a2＝b2，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，∵把这个三角形分成两个等腰三角形，∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，∵∠ABC＝64°，∴∠BCD＝∠BDC＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，∴∠BDC＝52°，∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，∴∠BCD＝52°，∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，∴△ACD是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2所示，Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A图3作CG⊥AB于G，∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，∴∠CDB＝∠B，∴CD＝CB＝a，∵∠ACD＝∠A，∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，∵CG⊥AB，∴DG＝BG＝12（c﹣a），∴AG＝AD+DG＝a+12（c﹣a）＝12（a+c），在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[12（c+a）]2，在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2﹣[12（a+c）]2＝a2﹣[12（c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，∴△ABC是“类勾股三角形”．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．2．(1)见解析(2) 见解析(3) 见解析（4）5【解析】【分析】（1）由D是AB中点知AD=BD，结合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可得证；（2）连接EG．根据垂直平分线的判定定理即可证明．（3）由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF2=（8-x）2+y2，EG2=x2+（6-y）2，根据EF=EG，可得（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，由此即可解决问题．（4）由EF知x=4时，取得最小值．【详解】解：（1）∵D是边AB的中点，∴AD=BD，在△ADG和△BDF中，∵AD BDADG BDF DG DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG≌△BDF（SAS）；（2）如图，连接EG．∵DG =FD ，DF ⊥DE ，∴DE 垂直平分FG ．∴EF =EG ．（3）∵D 是AB 中点，∴AD =DB ，∵△ADG ≌△BDF ，∴∠GAB =∠B∵AB =10,BC =6,AC =8.∴2AB = 2BC + 2AC∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°，∠CAB +∠GAB =90°，∴∠EAG =90°，∵AE =x ，AC =8，∴EC =8-x ，∵∠ACB =90°，∴EF 2=（8-x ）2+y 2，∵△ADG ≌△BDF ，∴AG =BF ，∵CF =y ，BC =6，∴AG =BF =6-y ，∵∠EAG =90°，∴EG 2=x 2+（6-y ）2，∵EF =EG ，∴（8-x ）2+y 2=x 2+（6-y ）2，∴y =473x -，（74＜x ＜254）． （4）∵EC =8-x ，CF =y =43x -73， ∴EF 22EC CF +=2247(8)()33x x -+-== ∵（x -4）2≥0， ∴225(4)259x -+≥25， ∴当x =4时，EF 取得最小值，最小值为5．故线段EF 的最小值为5．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．3．（1）证明见解析；（2）AF ＝5cm ；（3）①有可能是矩形，P 点运动的时间是8，Q 的速度是0.5cm /s ；②t ＝203． 【解析】【分析】（1）证△AEO ≌△CFO ，推出OE=OF ，根据平行四边形和菱形的判定推出即可； （2）设AF=CF=a ，根据勾股定理得出关于a 的方程，求出即可；（3）①只有当P 运动到B 点，Q 运动到D 点时，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间t ，即可求出答案；②分为三种情况，P 在AF 上，P 在BF 上，P 在AB 上，根据平行四边形的性质求出即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠CFO ，∵AC 的垂直平分线EF ，∴AO ＝OC ，AC ⊥EF ，在△AEO 和△CFO 中 ∵AEO CFO AOE COF AO OC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△AEO ≌△CFO （AAS ），∴OE ＝OF ，∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：设AF＝acm，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝acm，∵BC＝8cm，∴BF＝（8﹣a）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8﹣a）2＝a2，a＝5，即AF＝5cm；（3）解：①在运动过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形，P点运动的时间是：（5+3）÷1＝8，Q的速度是：4÷8＝0.5，即Q的速度是0.5cm/s；②分为三种情况：第一、P在AF上，∵P的速度是1cm/s，而Q的速度是0.8cm/s，∴Q只能再CD上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当P在BF上时，Q在CD或DE上，只有当Q在DE上时，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ＝8﹣（0.8t﹣4），CP＝5+（t﹣5），∴8﹣（0.8t﹣4）＝5+（t﹣5），t＝203，第三情况：当P在AB上时，Q在DE或CE上，此时当A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形；即t＝203．【点睛】考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用，用了方程思想，分类讨论思想．4．（1）S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在，(6,6)或(6,1027)-，(6,272)+【解析】【分析】（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′22OB OA-＇，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m，∴m2=22+（6-m）2，解得m=103则此时点P的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8，在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1=22-=，8627∴AP1＝10−27，即P1（6，10-27），②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；③当DB=DP3=8时，在Rt△DEP3中，DE=6，根据勾股定理得：P3E=22-=，8627∴AP3=AE+EP3=27+2，即P3（6，27+2），综上，满足题意的P坐标为（6，6）或（6，10-27），（6，27+2）．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．5．（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．【解析】【分析】（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AC＝AB，再证明△BAE≌△DAF，得出AE ＝AF，即可得出结论；（2）连接AC，同（1）得：△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再证明△BAE≌△CAF，即可得出结论；（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，得出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF ＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF 内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x ＝3﹣即可．【详解】（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∵点E是线段CB的中点，∴AE⊥BC，∴∠BAE＝30°，∵∠EAF＝60°，∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，在△BAE和△DAF中，，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；故答案为：等边三角形；（2）证明：连接AC，如图2所示：同（1）得：△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACF＝60°＝∠B，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴BE＝CF；（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠ACF＝120°，∵∠ABC＝60°，∴∠ABE ＝120°＝∠ACF ，∵∠EAF ＝60°，∴∠BAE ＝∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中，，∴△BAE ≌△CAF （ASA ），∴BE ＝CF ，AE ＝AF ，∵∠EAF ＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF ＝60°，∵∠EAB ＝15°，∠ABC ＝∠AEB +∠EAB ＝60°，∴∠AEB ＝45°，∴∠CEF ＝∠AEF ﹣∠AEB ＝15°，作FH ⊥BC 于H ，在△CEF 内部作∠EFG ＝∠CEF ＝15°，如图3所示：则GE ＝GF ，∠FGH ＝30°，∴FG ＝2FH ，GH ＝FH ， ∵∠FCH ＝∠ACF ﹣∠ACB ＝60°， ∴∠CFH ＝30°，∴CF ＝2CH ，FH ＝CH ， 设CH ＝x ，则BE ＝CF ＝2x ，FH ＝x ，GE ＝GF ＝2FH ＝2x ，GH ＝FH ＝3x ， ∵BC ＝AB ＝4，∴CE ＝BC +BE ＝4+2x ，∴EH ＝4+x ＝2x +3x ， 解得：x ＝﹣1， ∴FH ＝x ＝3﹣，即点F 到BC 的距离为3﹣．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．(1)①见解析；②()22012x y x x -=<<-；（2）见解析【解析】【分析】（1）①连接DE，如图1，先用SAS证明△CBE≌△CDE，得EB=ED，∠CBE=∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC=∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；②将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点E落在点P处，如图2，用SAS可证△PBG≌△EBG，所以PG=EG=2－x－y，在直角三角形PCG中，根据勾股定理整理即得y与x的函数关系式，再根据题意写出x的取值范围即可.（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.【详解】（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），∴EB=ED，∠CBE=∠1，∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，∴∠EBC+∠EFC=180°，∵∠EFC+∠2=180°，∴∠EBC=∠2，∴∠1=∠2.∴ED=EF，∴BE=EF.②解：∵正方形ABCD2，∴对角线AC=2.将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，则△BAE≌△BCP，∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.∴PG=EG =2－x －y ，∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--， 化简，得()22012x y x x-=<<-. （2）如图3，作法如下：①延长BE 交AD 于点M ，②连接MO 并延长交BC 于点N ，③连接DN 交AC 于点Q ，④连接DE 、BQ ，则四边形BEDQ 为菱形.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.7．（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）当P 的坐标为（1304，）时，PD+PF 的长度最短，最短长度为73. 【解析】 【分析】 （1）根据阅读材料中A 和B 的坐标，利用两点间的距离公式即可得出答案；由于M 、N 在平行于y 轴的直线上，根据M 和N 的纵坐标利用公式1|y -2|y 即可求出MN 的距离; （2）由三个顶点的坐标分别求出DE ，DF ，EF 的长，即可判定此三角形的形状；（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时PD PF +最短，最短距离为DF'，P 的坐标即为直线DF'与x 轴的交点.【详解】解：（1）∵()2, 4A 、()3, 8B --∴()()22AB 234813=+++=故A 、B 两点间的距离为：13.∵M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1∴()MN 415=--=故M 、N 两点的距离为5.（2）∵()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F∴()()22DE 13635=++-= ()()22DF 14625=-+-= ()()22EF 343252=--+-=∴DE=DF ，222DE DF EF +=∴△DEF 为等腰直角三角形（3）作F 关于x 轴的对称点F'，连接DF'，与x 轴交于点P ，此时DP+PF 最短设直线DF'的解析式为y=kx+b将D （1,6），F'（4，-2）代入得：642k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得83263 kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DF'的解析式为：826 y33x=-+令y=0，解得13x4=，即P的坐标为（134，）∵PF=PF'∴PD+PF=PD+PF'=DF'=()()22146273-++=故当P的坐标为（134，）时，PD+PF的长度最短，最短长度为73.【点睛】本题属于一次函数综合题，待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与x轴的交点，弄清楚材料中的距离公式是解决本题的关键.8．【体验】（1），5；（2）②；③；【探索】为锐角三角形；道理见解析；【应用】．【解析】【分析】本题从各个角度证明了勾股定理，运用图形与证明结合，依次证明即可,具体见详解.【详解】体验：（1）如上图，（2）根据大角对大边，若为直角三角形，则满足，那么锐角、钝角如下;②；③．【探索】 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴为锐角 同理，和都为锐角． ∴为锐角三角形． 【应用】根据【探索】 中的方法，进行探究可以发现，可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，故答案选C【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用，以及三角形的边与边的关系，能利用数形结合是解答此题的关键.9．（1）CF FH =，证明见解析；（2）依然成立，点E 与点C 之间的距离为333．理由见解析.【分析】（1）做辅助线，通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形．证出CEF FGH ≌，利用全等的性质即可得到CF FH =.（2）设AH ，DF 交于点G ，可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ，从而得到CF FH =，当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==．利用勾股定理可以求DE 、CE 的长，即可求出CE 的长，即可求得点E 与点C 之间的距离．【详解】（1）CF FH =证明：延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC BC ==，∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ，且DE DF =，∴90EDF ∠=︒，ADG 与DEF 是等腰直角三角形．∴45AGD DEF ∠=∠=︒，AD DG =，90DCF CFD ∠+∠=︒，∴135CEF FGH ∠=∠=︒，∵点D 是AC 的中点，∴132CD AD AC ===，∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ，∴90CFG ∠=︒，∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =；（2）依然成立理由：设AH ，DF 交于点G ，由题意可得出：DF=DE ，∴∠DFE=∠DEF=45°，∵AC=BC ，∴∠A=∠CBA=45°，∵DF ∥BC ，∴∠CBA=∠FGB=45°，∴∠FGH=∠CEF=45°，∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ，∴DG=12BC,DC=12AC ， ∴DG=DC ，∴EC=GF ，∵∠DFC=∠FCB ，∴∠GFH=∠FCE ，在△FCE 和△HFG 中 CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCE ≌△HFG(ASA)，∴HF=FC.由（1）可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时，6CF AC ==． ∴2233DE DF CF CD =-= ∴333CE DE DC =-=∴点E 与点C 之间的距离为333．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，学会利用全等和等腰三角形的性质，借助勾股定理解决问题.10．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）()23y x =-【分析】（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM ＝3BM ，进而可得BE +CF ＝3（BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4．∵点D 是线段BC 的中点，∴BD ＝DC ＝12BC ＝2． ∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，∴∠AED ＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，∴∠BED ＝90°，∴∠BDE =30°，∴BE ＝12BD ＝1；（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°．∵∠A ＝60°，∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．∵∠EDF ＝120°，∴∠MDE ＝∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，∵∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD =CD ，∴△MBD ≌△NCD （AAS ），∴BM ＝CN ，DM ＝DN ．在△EMD 和△FND 中，∵∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ，∴△EMD ≌△FND （ASA ），∴EM ＝FN ，∴BE +CF ＝BM +EM +CN －FN ＝BM +CN ＝2BM ＝BD ＝12BC ＝12AB ；（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ．∵DN ＝FN ，∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ，BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ，在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ，∴DM ＝22=3BD BM BM -，∴()3x y x y +=-，整理，得()23y x =-．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．11．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=tvt(26t≤<)【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面积法可求出CD的长；（2）①过B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分别讨论Q点在AF和FC之间时，根据△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q在FC之间求出t的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE⊥BC于E，∵AB=AC，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB10⋅（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，此时PD=6-t，QF=2t-6由PD=QF得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t的值为4.（3）同（2）可知v＞1时，Q在AF之间不存在CP=BQ，Q在FC之间存在CP=BQ，Q在F 点时，显然CP≠BQ，∵运动时间为t，则AP=t，AQ=vt，∴PD=6-t，QF=vt-6，由PD=QF得6-t=vt-6，整理得12-=t v t， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤<所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键. 12．（1）证明见解析；（2）21.【分析】（1）只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒，再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明；（2）作△ADC 关于AC 的对称图形AD'C ,过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则'D E =BE ．设'D E =BE=x ．在Rt △CEB 和Rt △CEA 中，根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：（1）证明：如下图，作△ADC 关于CD 的对称图形△A′DC ，∴A′D=AD ，C A′=CA ，∠CA′D=∠A=60°，∵CD 平分∠ACB ，∴A′点落在CB 上∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=30°，∴∠A′DB=∠CA′D -∠B=30°，即∠A′DB=∠B ，∴A′D=A′B ，∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.（2）如图，作△ADC 关于AC 的对称图形△AD′C ．∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，∵AC 平分∠BAD ，∴D′点落在AB 上，∵BC=10，∴D′C=BC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则D′E=BE ，设D′E=BE=x ，在Rt △CEB 中，CE 2=CB 2-BE 2=102-x 2，在Rt △CEA 中，CE 2=AC 2-AE 2=172-（9+x ）2．∴102-x 2=172-（9+x ）2，解得：x=6，∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．【点睛】本题考查轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质.（1）中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换，而是利用角之间的计算求得它们的度数相等，这有点困难，需要多注意；（2）中掌握方程思想是解题关键.13．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，AD =∴2AC ==，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴GH ==，∴EG GH EH CG =+=+．。
新人教版初中数学八年级下册勾股定理自测题及答案-精品试卷
DCBA第2题图202020201515151524242424252525257777第 17 章《勾股定理》自测题一、选择题：1．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A ．5B ．25C ．7D ．5或72．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）3. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.84．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ） A.a=1.5，b=2,c=3B.a=7,b=24,c=25C.a=6,b=8,c=10D.a=3,b=4,c=55．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 26．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A.56B.48C.40D.327．三个正方形的面积如图，正方形A 的边长为（ ）_ 7 题图 _ A_ 64 _ 100A. 8B. 36C. 64D. 68．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．3倍D．5倍9．如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则三个半圆的面积S1，S2+S3之间的关系是（）A．S1>S2+S3B．S1=S2+S3C．S1<S2+S3D．无法确定10．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.35海里D.40海里二．填空题：11．在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=15，c=25，则b=________.12．在△ABC中，若a=7，b=24，c=25，则△ABC是_____三角形，理由是______. 13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________.14. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为.15．已知两条线段的长为3cm 和4cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.16. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大.小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于．17．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.18．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处.另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_______米. 三、解答题19.小明的叔叔家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长为10m ，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？第120.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
八年级数学下册《勾股定理》练习题与答案(人教版)
八年级数学下册《勾股定理》练习题与答案(人教版)一、选择题1.由线段a 、b 、c 组成的三角形不是直角三角形的是( )A.＝7，b ＝24，c ＝25；B.a ＝13，b ＝14，c ＝15；C.a ＝54，b ＝1，c ＝34； D.a ＝41，b ＝4，c ＝5；2.根据图形(图1，图2)的面积关系，下列说法正确的是( )A.图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式B.图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C.图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式D.图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.如果BC ＝3，AC ＝5，那么AB ＝( )A.34B.4C.4或34D.以上都不对5.如图所示：数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A. 5 ＋1B.5﹣1C.﹣ 5 ＋1D.﹣5﹣16.如图，在4×4的方格中，△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形7.△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是( )A.∠A：∠B：∠C＝l：2：3B.三边长为a，b，c的值为1，2， 3C.三边长为a，b，c的值为11，2，4D.a2＝(c＋b)(c﹣b)8.《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙.使木杆之上端与墙平齐.牵引木杆下端退行1尺，则木杆(从墙上)滑落至地上.间木杆长是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)( )A.5尺5寸B.1丈1尺C.5丈5寸D.5丈5尺9.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米10.如图一只蚂蚁从长宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A.13cmB.10cmC.14cmD.无法确定11.如图，已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的角平分线上的一个定点，点M、N分别在射线OA、OB上，且∠MPN与∠AOB互补.设OP＝a，则四边形PMON的面积为( )A.34a2 B.14a2 C.38a2 D.18a212.如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( )A.8 cmB.5 2 cmC.5.5 cmD.1 cm二、填空题13.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积．14.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为.15.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝2，BD ＝4，则AE的长是_____.16.如图，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A处时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，此时测得∠ARL＝30°，n(s)后，火箭到达点B处，此时测得∠BRL＝45°，则火箭在这n(s)中上升的高度是 km.17.如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.18.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则S n＝ .三、解答题19.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c根据你发现的规律，请写出(1)当a＝19时，求b、c的值；(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.20.如图，已知四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积.21.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)22.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．(1)求△ADC的面积．(2)求BC的长．23.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为；(2)如果∠CAD：∠BAD＝4：7，可求得∠B的度数为；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．24.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°.(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM和△BON全等：(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2＋AN2＝2ON2.25.如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC.已知AB ＝5，DE＝9，BD＝8，设CD＝x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．(2)请问：点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．参考答案1.B.2.B3.B.4.A.5.B6.B.7.C.8.C9.B.10.B.11.A.12.A13.答案为：24.14.答案为：(1，3).15.答案为：2 3.16.答案为：(203﹣20).17.答案为：61.18.答案为：38(34)n-1.19.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2＋b2＝c2∴192＋b2＝(b＋1)2∴b＝180∴c＝181；(2)通过观察知c﹣b＝1∵(2n＋1)2＋b2＝c2∴c2﹣b2＝(2n＋1)2(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2∴b＋c＝(2n＋1)2又c＝b＋1∴2b＋1＝(2n＋1)2∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；20.解：连接AC.∵∠ABC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2∴AC ＝ 5在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD2∴△ACD 是直角三角形∴S 四边形ABCD ＝12AB •BC ＋12AC •CD ＝12×1×2＋12×5×2＝1＋ 5.故四边形ABCD 的面积为1＋ 5.21.解：∵∠BDC ＝45°，∠ABC ＝90°∴△BDC 为等腰直角三角形∴BD ＝BC∵∠A ＝30°∴BC ＝12AC 在Rt △ABC 中，根据勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC2 即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC 2 解得BC ＝BD ＝2＋23．22.解：(1)∵AB ＝13，BD ＝8∴AD ＝AB ﹣BD ＝5∴AC ＝13，CD ＝12∴AD 2＋CD 2＝AC 2∴∠ADC ＝90°，即△ADC 是直角三角形∴△ADC 的面积＝12×AD ×CD ＝12×5×12＝30；(2)在Rt △BDC 中，∠BDC ＝180°﹣90°＝90°由勾股定理得：BC ＝413，即BC 的长是413．23.解：操作一：(1)14 (2)35º操作二：∵AC ＝9cm ，BC ＝12cm∴AB ＝15(cm)根据折叠性质可得AC ＝AE ＝9cm∴BE ＝AB ﹣AE ＝6cm设CD＝x，则BD＝12﹣x，DE＝x在Rt△BDE中，由题意可得方程x2＋62＝(12﹣x)2解得x＝4.5∴CD＝4.5cm．24. (1)证明：∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB＋∠AON＝∠MON＋∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB，OM＝ON∴△AOM≌△BON(SAS)∴AM＝BN；(2)证明：连接AM∵∠AOB＝∠MON＝90°∴∠AOB-∠AON＝∠MON-∠AON即∠AOM＝∠BON∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形∴OA＝OB，OM＝ON∴△AOM≌△BON(SAS)∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN∴∠MAN＝90°∴AM2＋AN2＝MN2∵△MON是等腰直角三角形∴MN2＝2ON2∴BN2＋AN2＝2ON2.25.解：(1)AC＋CE＝（8－x）2＋25＋x2＋81.(2)当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．(3)如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD(点A与点E在BD的异侧)，使AB＝2，ED＝3，连结AE交BD于点C设BC＝x，则AE的长即为x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值．过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.在Rt△AEF中，易得AF＝2＋3＝5，EF＝12∴AE＝13即x2＋4＋（12－x）2＋9的最小值为13.。
(2021年整理)(完整)人教版八年级数学下册勾股定理单元测试题
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勾股定理单元测试题班级：_______ 姓名：________学号 .一、选择题（每题3分，共30分)1、分别以下列五组数为一个三角形的边长:①6，8，10；②13，5，12 ③1,2, 3;④9，40，41；⑤5,3,2其中能构成直角三角形的有( ）组A 。
2B 。
3C 。
4D 。
52、已知△ABC 中,∠A ＝21∠B ＝31∠C ,则它的三条边之比为（ )A.1∶1∶2B.1∶3∶2 C 。
1∶2∶3 D 。
1∶4∶13、已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为2,那么此直角三角形的周长是( ）A. 25 B 。
3 C 。
3+2D 。
334、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）A 。
12米 B.13米 C.14米 D 。
15米5、放学以后,小明和小刚从学校出发,分别沿东南方向和西南方向回家,若小明和小刚行走的速度都是40米/分,小明用15分钟到家，小刚用20分钟到家，小明家和小刚家的距离为( ）A 。
600米B 。
800米 C.1000米 D.不能确定6、已知如图1，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合,折痕为EF,则△ABE 的面积为（ )A. 6cm 2 B 。
8cm 2 C 。
人教新版八年级下册数学《第17章 勾股定理》单元测试卷及答案详解(PDF可打印)
人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（2）一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）1．（3分）若直角三角形的两直角边长分别为12、5，则这个直角三角形的斜边长是（）A．13B．C．169D．2．（3分）我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（）A．分类思想B．方程思想C．转化D．数形结合3．（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（）A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断4．（3分）下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．45．（3分）下列命题中，其逆命题不成立的是（）A．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数B．等腰三角形的两个底角相等C．若ab＝1，则a与b互为倒数D．如果|a|＝|b|，那么a2＝b26．（3分）下列线段不能组成直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝1，b＝，c＝C．a＝2，b＝3，c＝4D．a＝7，b＝24，c＝257．（3分）已知二条线段的长分别为cm，cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A．1cm B．cm C．5cm D．1cm与cm 8．（3分）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（）A．10米B．15米C．16米D．17米二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）9．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是．10．（3分）以下列各组数为边长：①3、4、5；②5，12，13；③3，5，7；④9，40，41；⑤10，12，13；其中能构成直角三角形的有．11．（3分）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是．12．（3分）在四边形ABCD中，∠C＝90°，DC＝3，BC＝4，AD＝12，AB＝13，则四边形ABCD的面积是．13．（3分）已知Rt△ABC的其中两边的长为3与4，则这个三角形的周长是．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，且BC＝BD．若BC ＝2AC＝2，则AD的长为．15．（3分）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为．三、解答题（本题共计7小题，共计75分，）16．（10分）在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．（1）判断△ABE的形状，并说明理由．（2）求△ABC的周长．17．（10分）利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明．18．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）填表：边a、b、c三角形的面积与周长的比值3455121381517（2）若a+b﹣c＝m，则猜想＝（用含m的代数式表示，不必证明）．19．（11分）如图，已知AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，求证：AF⊥BE．20．（10分）如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C 的距离为7米，如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向外移多少米？21．（12分）如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．22．（12分）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．人教新版八年级下册《第17章勾股定理》单元测试卷（2）参考答案与试题解析一、选择题（本题共计8小题，每题3分，共计24分，）1．（3分）若直角三角形的两直角边长分别为12、5，则这个直角三角形的斜边长是（）A．13B．C．169D．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理即可求出答案．【解答】解：直角三角形的两直角边长分别为12、5，∴直角三角形的斜边长为＝13，故选：A．2．（3分）我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（）A．分类思想B．方程思想C．转化D．数形结合【考点】勾股定理；数学常识．【分析】由于是用一副反应勾股定理的数形关系图来揭示直角三角形的三边之间的关系，所以它体现的数学思想方法是数形结合思想．【解答】解：由题意可得，它体现的数学思想方法是数形结合思想．故选：D．3．（3分）一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处玩耍的身高为1m的小明（）A．没有危险B．有危险C．可能有危险D．无法判断【考点】勾股定理的应用．【分析】由勾股定理求出BC＝4＞3.9，即可得出结论．【解答】解：如图所示：AB＝9﹣4＝5，AC＝4﹣1＝3，由勾股定理得：BC＝＝4＞3.9，∴此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明有危险，故选：B．4．（3分）下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】命题与定理．【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可．【解答】解：①直角三角形两锐角互余逆命题是如果两个角互余那么这个三角形是直角三角形是真命题；②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等是假命题；③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行是真命题：④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果平行四边形，那么它的对角线互相平分是真命题；故选：C．5．（3分）下列命题中，其逆命题不成立的是（）A．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数B．等腰三角形的两个底角相等C．若ab＝1，则a与b互为倒数D．如果|a|＝|b|，那么a2＝b2【考点】命题与定理．【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【解答】解：A、逆命题为若两个数都是正数，则这两个数的差为正数，不成立，符合题意；B、逆命题为两个角相等的三角形是等腰三角形，成立，不符合题意；C、逆命题为若a与b互为倒数，则ab＝1，成立，不符合题意；D、逆命题为若a2＝b2，那么|a|＝|b|，成立，不符合题意．故选A．6．（3分）下列线段不能组成直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝1，b＝，c＝C．a＝2，b＝3，c＝4D．a＝7，b＝24，c＝25【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵32+42＝52，∴能组成直角三角形，故本选项错误；B、∵12+（）2＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；C、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，故本选项正确；D、∵72+242＝252，∴能组成直角三角形，故本选项错误．故选：C．7．（3分）已知二条线段的长分别为cm，cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A．1cm B．cm C．5cm D．1cm与cm 【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．【解答】解：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．当第三边是斜边时，第三边＝＝（cm），当第三边是直角边时，第三边＝＝1（cm）．故选：D．8．（3分）如图，某校攀岩墙的顶部安装了一根安全绳，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（如图），则此攀岩墙的高度是（）A．10米B．15米C．16米D．17米【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即攀岩墙的高．【解答】解：如图：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，∴AB＝15．∴攀岩墙的高15米．故选：B．二、填空题（本题共计7小题，每题3分，共计21分，）9．（3分）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的周长是12或7+．【考点】勾股定理．【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．【解答】解：分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是＝，此时周长＝3+4+＝7+；②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是＝5，此时周长＝3+4+5＝12；综上所述，第三边的长为12或7+．故答案为：12或7+．10．（3分）以下列各组数为边长：①3、4、5；②5，12，13；③3，5，7；④9，40，41；⑤10，12，13；其中能构成直角三角形的有①②④．【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理，对四个选项中的各组数据分别进行计算，如果三角形的三条边符合a2+b2＝c2，则可判断是直角三角形，否则就不是直角三角形．【解答】解：①32+42＝52，②52+122＝132，③32+52≠72，④92+402＝412，⑤102+122≠132；所以①②④组数为边长的能构成直角三角形，故答案为：①②④．11．（3分）如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是a2+b2＝c2．【考点】勾股定理的证明．【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．【解答】解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．还有一个直角梯形，其面积为（a+b）（a+b）．由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．故答案为：a2+b2＝c2．12．（3分）在四边形ABCD中，∠C＝90°，DC＝3，BC＝4，AD＝12，AB＝13，则四边形ABCD的面积是36．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出∠ADB＝90°，根据三角形的面积公式求出△BCD和△ABD的面积即可．【解答】解：如图，连接BD，∵∠C＝90°，DC＝3，BC＝4，∴由勾股定理得：BD＝＝5，∵AB＝13，AD＝12，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，+S△ABD＝×3×4+×5×12＝36．∴四边形ABCD的面积S＝S△BCD故答案为：36．13．（3分）已知Rt△ABC的其中两边的长为3与4，则这个三角形的周长是12或7+．【考点】勾股定理的应用．【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论．【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝＝，此时这个三角形的周长＝3+4+＝7+．故答案为：12或7+．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上一点，且BC＝BD．若BC ＝2AC＝2，则AD的长为﹣2．【考点】勾股定理．【分析】先根据勾股定理计算AB的长，由线段的差可得结论．【解答】解：∵BC＝2AC＝2，∴AC＝1，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝，∵BC＝BD＝2，∴AD＝﹣2．故答案为：﹣2．15．（3分）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为2．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理可知正方形A和C的面积和就是大正方形的面积．同理正方形B 和D的面积和等于大正方形的面积，所以四个正方形的面积和就等于两个大正方形的面积由此即可得出结论．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，∴正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，设最大正方形的边长为x，可得：四个小正方形的面积＝2×x×x＝8．解得：x＝2，故答案为：2．三、解答题（本题共计7小题，共计75分，）16．（10分）在我区“五水绕城”生态环境提升项目中，有一块三角形空地将进行绿化，如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝50，BC＝130，BE＝120．（1）判断△ABE的形状，并说明理由．（2）求△ABC的周长．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理进而分析得出答案．（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，利用勾股定理得出AB的长，则可求出答案．【解答】解：（1）△ABE是直角三角形，理由：∵BC2＝1302＝16900，BE2＝1202＝14400，CE2＝502＝2500，∴BE2+CE2＝BC2＝16900，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC，∴△ABE是直角三角形．（2）设AB＝AC＝x，则AE＝x﹣50，由（1）可知△ABE是直角三角形，∴BE2+AE2＝AB2，∴1202+（x﹣50）2＝x2，解得x＝169．∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝169+169+130＝468．17．（10分）利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明．【考点】勾股定理的证明．【分析】直接利用正方形面积以及三角形面积公式进而得出等式即可．【解答】证明：∵四边形HEFM的面积为：c2，四边形HEFM的面积还可以表示为：4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2；∵四边形ABCD的面积为：（a+b）2，四边形ABCD的面积还可以表示为：4×ab+c2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2．18．（10分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）填表：边a、b、c三角形的面积与周长的比值3455121381517（2）若a+b﹣c＝m，则猜想＝（用含m的代数式表示，不必证明）．【考点】勾股数．【分析】（1）分别求出每个直角三角形的面积和周长，计算面积与周长的比即可；（2）根据求得的a+b﹣c与的值，总结其规律，写出即可；用m、c的式子表示出a、b，分别表示出其周长及面积，用面积除以周长即可完成证明．【解答】（1）解：∵S＝×3×4＝6，L＝3+4+5＝12，∴＝＝，∴同理可得其他两空分别为2，；（2）＝；证明：∵a+b﹣c＝m，∴a+b＝m+c，∴a2+2ab+b2＝m2+2mc+c2，又∵a2+b2＝c2，∴2ab＝m2+2mc，∴s＝＝m（m+2c），∴＝＝＝．19．（11分）如图，已知AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，求证：AF⊥BE．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】先由角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD，再根据平行线的性质得出∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，那么∠EBA＝∠E，由等角对等边得出AE＝AB，又F是BE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AF⊥BE．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，∴∠EBA＝∠E，∴AE＝AB，又∵F是BE的中点，∴AF⊥BE．20．（10分）如图，25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C 的距离为7米，如果梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向外移多少米？【考点】勾股定理的应用．【分析】在直角三角形ABC中，已知AB，BC根据勾股定理即可求AC的长度，根据AC ＝AA1+CA1即可求得CA1的长度，在直角三角形A1B1C中，已知AB＝A1B1，CA1即可求得CB1的长度，根据BB1＝CB1﹣CB，即可求得BB2的长度．【解答】解；在直角△ABC中，已知AB＝25米，BC＝7米，则由勾股定理得：AC＝＝24（米）；∵AC＝AA1+CA1∴CA1＝24米﹣4米＝20米，∵在直角△A1B1C中，AB＝A1B1，且A1B1为斜边，∴由勾股定理得：CB1＝＝15米，∴BB1＝CB1﹣CB＝15米﹣7米＝8米；答：梯足将向外移8米．21．（12分）如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．【考点】勾股定理的应用．【分析】此题只需根据勾股定理计算直角三角形的斜边，即矩形的宽．再根据矩形的面积公式计算．【解答】解：根据勾股定理得，蔬菜大棚的斜面的宽度即直角三角形的斜边长为：m，所以蔬菜大棚的斜面面积为：10×20＝200m2．答：阳光透过的最大面积为200平方米．22．（12分）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为a、2a、a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．【考点】勾股定理．【分析】（1）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解；（2）先作出以a、2a为直角边的三角形的斜边，再根据勾股定理和网格结构作出2a、a的长度，然后顺次连接即可；再根据三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3【解答】解：（1）S△ABC＝9﹣1﹣﹣3＝9﹣5.5＝3.5；故答案为：3.5；（2）△ABC如图所示，S△ABC＝2a•4a﹣×2a•a﹣×2a•2a﹣×4a•a ＝8a2﹣a2﹣2a2﹣2a2＝3a2．。
新人教版八年级下册勾股定理习题(附答案)
32520勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1.直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为().（A）30（B）28（C）56（D）不能确定2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（A）4cm（B）8cm（C）10cm（D）12cm3.已知一个△Rt的两边长分别为和4，则第三边长的平方是（）（A）25（B）14（C）7（D）7或254.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()（A）13（B）8（C）25（D）645.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）7242524202425207242015715 (A)7(B)1515(C)25(D)6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()（A）钝角三角形（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形. 7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()（A）25（B）12.5（C）9（D）8.5D8.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是()（A）等边三角形（B）钝角三角形A C（C）直角三角形（D）锐角三角形.B9△.ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）.（A）50a元（B）600a元（C）1200a元（D）1500a元10.如图，A B⊥CD于△B，ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（）.B .（A ）12（B ）7 （C ）5 （D ）13AEDC 5 米 3 米B（第 10 题）（第 11 题） （第 14 题）二、填空题（每小题 3 分，24 分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB =2，则 AB 2 + AC 2 + BC 2 =______.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边 AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.AEB（第 15 题）（第 16 题） （第 17 题）15. 如图，校园内有两棵树，相距 12 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交 BC 于 DDC若 BC =8，AD =5，则 AC 等于______________.C17. 如图，四边形 ABCD 是正方形， AE 垂直于 BE ，且BDAE =3， BE =4，阴影部分的面积是______.A第18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为 7cm,则正方形 A ， ，C ，D 的面积之和为___________cm 27cm18 题 图三、解答题（每小题8分，共40分）19.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20.如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？BALC D第21题图22.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。
人教版八下数学勾股定理测试题及答案
人教版八下数学勾股定理测试题及答案一、选择题（共10小题；共30分）1. 三角形的三边长a，b，c知足(a+b)2−c2=2ab，那么此三角形是 ( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形2. 假设直角三角形的三边长别离为2，4，x，那么x的可能值有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 如图，假设∠A=60∘，AC=20 m，那么BC大约是(结果精准到0.1 m)A. 34.64 mB. 34.6 mC. 28.3 mD. 17.3 m4. 五根小木棒，其长度别离为7,15,20,24,25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的选项是 ( )A. B.C. D.5. 三角形的三边长别离为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n是自然数)，如此的三角形是 ( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形或直角三角形6. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线别离交AD，AC于点E，O，连接CE，那么CE的长为A. 3B. 3.5C. 2.5D. 2.87. 如下图，有一块直角三角形纸片，∠C=90∘，AC=4 cm，BC=3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，那么CE的长为A. 1 cmB. 1.5 cmC. 2 cmD. 3 cm8. 如图，将△ABC放在正方形网格图中(图中每一个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是A. √102B. √104C. √105D. √59. 如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，假设DE=a，那么以下说法正确的个数有① DCʹ平分∠BDE；② BC长为(√2+2)a；③ △BCʹD是等腰三角形；④ △CED的周长等于BC的长．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90∘，O是△ABC内一点，OA=6，OB=4√2，OC=10，Oʹ为△ABC外一点，且△CBO≌△ABOʹ，那么四边形AOʹBO的面积为A. 10B. 16C. 40D. 80二、填空题（共6小题；共18分）11. 勾股定理的逆定理是．12. 在△ABC中，∠C=90∘，c=10，a:b=3:4，那么a=，b=．13. 已知∣a−6∣+∣b−8∣+(c−10)2=0，那么以a，b，c为边长的三角形是．14. 在底面直径为2 cm，高为3 cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如下图的圈数缠绕，那么丝带的最短长度为cm．(结果保留π)15. 如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积别离为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，那么AB的长为．16. 已知√x−5+∣y−12∣+(z−13)2=0，那么由x，y，z为三边组成的三角形是．三、解答题（共6小题；共52分）17.正方形网格中的每一个小正方形边长都1，每一个小格的极点叫做格点，以格点为极点别离按以下要求画三角形．(1) 使三角形的三边长别离为3,2√2,√5．(2) 使三角形为钝角三角形且面积为4a−4∣∣+(2b−12)2+√10−c=0，求最长边上的高h．18. 已知△ABC的三边a、b、c知足∣∣1219. 如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，△ABC的极点均在格点上，试判定△ABC是不是为直角三角形？什么缘故？20. 在数轴上画出表示−√10及√13的点．21. 在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，在△ABD中，BD=12，AD=13，求△ABD的面积．22. 阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B=180∘，BC=4，AC=5，求AB的长．小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE=AE，连接BD，易患∠A=∠D，△ABD为等腰三角形．由3∠A+∠ABC=180∘和∠A+∠ABC+∠BAC=180∘，易患∠BCA=2∠A，△BCD为等腰三角形．依据已知条件可得AE和AB的长．解决以下问题：(1) 图2中，AE=，AB=；(2) 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边别离为a、b、c．①如图3，当3∠A+2∠B=180∘时，用含a、c的式子表示b；(要求写解答进程)②当3∠A+4∠B=180∘，b=2，c=3时，可得a=．答案第一部份1. A2. B3. B4. C5. B6. C7. A8. A9. C 10. C第二部份11. 若是三角形的三边长a，b，c，知足a2+b2=c2，那么那个三角形是直角三角形12. 6；813. 直角三角形14. √9π2+915. 2√316. 直角三角形第三部份17. (1)(2)18. 由题意，得：∣∣12a−4∣∣=0 , (2b−12)2=0 , √10−c=0 .∴a=8 , b=6 , c=10 .∴a2+b2=c2 .∴△ABC为Rt△ABC，且∠C=90∘ .∵12ab=12ch .∴h=4.8 .19. 由勾股定理可得AC=√22+12=√5；BC=√42+22=√20；AB=√32+42=√25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC 是直角三角形．20.21. ∵∠ACB =90∘，AC =4，BC =3， ∴AB 2=AC 2+CB 2，∴AB =5．∵BD =12，AD =13，∴AD 2=BD 2+AB 2，∴∠ABD =90∘，∴S △ABD =12×AB ×BD =30． 答：△ABD 的面积为 30．22. (1) AE =92，AB =6； (2)①作 BE ⊥AC 交 AC 延长线于点 E ，在 AE 延长线上取点 D ，使得 DE =AE ，连接 BD ． ∴BE 为 AD 的中垂线．∴AB =BD =c ．∴∠A =∠D ．∵∠A +∠D +∠ABD =180∘， ∴∠DBC +2∠A +∠1=180∘． ∵3∠A +2∠1=180∘，∴∠DBC =∠A +∠1．∵∠3=∠A +∠1，∴∠3=∠DBC ．∴CD =BD =c ．∴AE =b+c 2，CE =c−b 2．在 △BEC 中，∠BEC =90∘， BE 2=BC 2−CE 2．在 △BEA 中，∠BEA =90∘， BE 2=AB 2−AE 2．∴AB 2−AE 2=BC 2−CE 2．∴c2−(b+c2)2=a2−(c−b2)2．∴b=c2−a2c．② a=√153．。
八年级数学下册思想方法专题：勾股定理中的思想方法训练(附答案)
思想方法专题：勾股定理中的思想方法◆类型一分类讨论思想一、直角边与斜边不明需分类讨论1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为【易错3】( )A．13 B．5 C．13或5 D．42．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是____________．二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论3．★(2016·东营中考)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则BC的长为【易错4】( )A．10 B．8 C．6或10 D．8或104．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．【易错4】◆类型二方程思想一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长6．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB ＝6，BC＝9，求BF的长．【方法4】三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长7．(2016·益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．◆类型三利用转化思想求最值8．(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是________cm.【方法5】9．如图，A，B两个村在河CD的同侧，且AB＝13km，A，B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km.现要在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】参考答案与解析1．C 2.24或673．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB ＝10，AC ＝210，AD ＝6.在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，根据勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；图②中，同理可得BD ＝8，CD ＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6或10.故选C.4．25或4 5 解析：如图①，△ABC 为锐角三角形，过点C 作CD⊥AB，交AB 于点D.∵S △ABC ＝10，AB ＝5，∴12AB·CD＝10，解得CD ＝4.在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝52－42＝3，∴BD＝AB －AD ＝5－3＝2.在Rt△CBD 中，由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝22＋42＝25；如图②，△ABC 为钝角三角形，过点C 作CD⊥AB，交BA 的延长线于点D.同上可得CD ＝4.在Rt △ACD 中，AC ＝5，由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝52－42＝3.∴BD＝BA ＋AD ＝5＋3＝8.在Rt△BDC 中，由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝82＋42＝4 5.综上所述，BC 的长度为25或4 5.5．17m6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF ＝x.∵BC＝9，∴C′F＝CF ＝BC －BF ＝9－x.∵C′是AB 的中点，AB ＝6，∴BC′＝12AB ＝3.在Rt△C′BF 中，由勾股定理得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即BF的长为4.7．解：过A作AD⊥BC交BC于点D.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD ＝x，则CD＝BC－BD＝14－x.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC ＝12BC·AD＝12×14×12＝84.8．4 59．解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于O，点O即为水厂的位置．过点A′作A′E∥CD交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD于点F，则AF＝A′E，DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝13－22＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4km，由勾股定理得A′B＝A′E2＋BE2＝32＋42＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．。
八年级数学下册《勾股定理》练习题及答案(人教版)
八年级数学下册《勾股定理》练习题及答案(人教版)班级姓名考号A．3条B．2条C．1条D．0条A．嘉嘉对，淇淇错B．嘉嘉错，淇淇对C．两人都对D．两人都错1131-A ．12mB ．13mC ．15mD ．24m若ACDA ．12B ．15C ．24D ．30A ．2B ．5C ．223+D ．256+11．如图，在ABC 中1AB AC ==，若45B ∠=︒，则线段BC 的长为__．12．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则表示ABC 重心的点是__________；13．如图，小华将升旗的绳子拉倒竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗14．如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，∠B=60°，按以下步骤作图：△以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，15．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，BA ＝15，AC ＝12，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是三、解答题．如图，ABC中，∠的平分线，交BC于点D．(1)请利用直尺和圆规作BACAD=，求10,620．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；(2)你能否也从中取出若干根摆出等边“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．参考答案1．C2．C3．B4．A5．D6．C7．D8．B9．B17．（1）解：如图，AD即为所求；∠（2）解：△AB=AC，AD平分BAC ．解：如图，在AB ED=，即60AB=．10△又在Rt ABC2AB=-BC的长度是1122ABC S AC AB AB CD ∆== 238230525AC BC CD AB ⨯∴=== 20．（1）小颖摆出如图1所示的“整数三角形小辉摆出如图2所示三个不同的等腰“整数三角形”：（2）不能摆出等边“整数三角形”．。
新人教版八年级数学下册 勾股定理 单元测试卷及参考答案含有详细解析
新人教版八年级数学下册《勾股定理》单元测试卷一、选择题1、下列说法正确的是（ ）A ．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； B ．若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C ．若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠A ＝90°，则a 2＋b 2＝c 2； D ．若a 、b 、c 是Rt △AB C 的三边，∠C ＝90°，则a 2＋b 2＝c 2。
2、已知△ABC 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，则它的三条边之比为（ ） A ．1∶1∶B ．1∶∶2 C ．1∶∶D ．1∶4∶13、直角三角形中一直角边长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定4、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A ．12米 B ．13米 C ．14米 D ．15米5、放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A ．600米B ．800米C ．1000米D ．不能确定 6、如下图所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）A ．L 1B ．L 2C ．L 3D ．L 4 7、如图，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（）A ．S 1＝S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＞S 2D ．无法确定 8、在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A ．5，4，3B ．13，12，5C ．10，8，6D ．26，24，10 9、如图所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（ ）A ．1B ．C ．D ．210、直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）A ．182B ．183C ．184D ．185二、填空题11、甲，乙两船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°方向航行，他们出发1.5小时后，两船相距 海里。
新人教版八年级下册八年级数学-勾股定理-单元检测题(含答案)
勾股定理检测题一、选择题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A ：4，5，6B ：1，1：6，8，11 D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：213、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：74、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为（ ） A ：5 B ：10 C ：25 D ：55、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A、、、36、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A 、6B 、7C 、8D 、9 7、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 28、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为（ ） A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对 二、填空题（本大题7个小题，每小题4分，共28分）1、若一个三角形的三边满足222c a b -=，则这个三角形是 。
2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，则这个桌面 。
（填“合格”或“不合格” ）3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
4、如右图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正 方形的边长为5，则正方形A ，B ，C ，D 的 面积的和为 。
5、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落 在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》测试题含答案
A B 第11题图人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》测试题含答案一、选择题(30分)1. 在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且2()()a b a b c +-=，则（ ） （A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形 2.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A ）1、2、3 （B ）2223,4,5 （C 1,2,3 （D 3,4,53. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形. 4. .已知△ABC 各边均为整数，且4AC =，3BC =，AC AB φ，则AB 的长为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．5或6 5. 在Rt△ABC 中，∠A =90º，a=15，b=12，则第三边c 的长为（ ） A ．413 B ．9 C ．413或9 D ．都不是6.有一块苗圃如图所示，已知AB ＝3米，BC ＝4米，CD ＝12米，DA ＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）A 、24平方米B 、36平方米C 、48平方米D 、72平方米7 如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分与正方形ABCD 的面积比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：28. 如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长是无理数的边数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、39. 在△ABC 中，AB =20，AC =15，AD 为BC 边上的高，且AD =12，则△ABC 的周长为 （ ） A ．42 B ．60 C ．42或60 D ．2510如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ ） A ．172 B ．52 C ．24 D ．7二、填空题(30分)11. 在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部, 一只蚂蚁从顶点A 沿纸箱表面爬到顶点B 点，那么它所行的最短路线的长是12. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，DCB A第6题图 C 第7题图 CBA 第8题图第10题 l 1 l 2l 3ACB第13题图 则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .13. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m 处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m 处。
人教版八年级数学下册第十八章勾股定理测试【精品4套】
勾股定理测试卷（1）一、选择题（每题2分，共30分）1．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形的三边长的有( )组A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 2．下列说法中, 不正确的是 ( )A ． 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形 B. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形 C. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形 D. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形3．如图，在水塔O 的东北方向32m 处有一抽水站A ,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地．B ，在AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ） A ．40cm B ．45cm C ．50cm D ．56cm西南北东4．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30ο夹角，这棵大树在折断前的高度为( )A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米5．ABC ∆中，90B ο∠=，两直角边7,24AB BC ==,三角形内有一点P 到各边的距离相等，30°则这个距离是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．56．已知一直角三角形的木板，三边的平方和为21800cm ,则斜边长为（ ）. A ．80cm B ．30cm C ．90cm D ．120cm.7．若三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A ．12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm 8．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或79．如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( ) A ．12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米10．在直角三角形中，斜边与较小直角边的和．差分别为8，2，则较长直角边长为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．211．ABC ∆的三条边长分别是a b c ，，，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+ 12．如图，正方形网格中的ABC ∆，若小方格边长为1，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上答案都不对CBA13．如图，小方格都是面积为1的矩形，则图中四边形的面积是 ( ) A ．25 B. 12.5 C. 9 D. 8.514．一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定.B15．小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边远的水底,竹竿高出水面,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )A．2m; B. 2.5m; C. 2.25m; D. 3m.二、填空题（每空3分，共30分）16．已知，如图中字母B．M分别代表的正方形的面积分别为__________．___________。
2020—2021年人教版初中数学八年级下册勾股定理单元检测题及考点答案解析(精品试题).docx
《第17章勾股定理》一．选择题1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=52．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）A．2 B． C．D．44．如果直角三角形两直角边为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（）A．60：13 B．5：12 C．12：13 D．60：1695．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）A．6 B． C． D．46．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形8．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为．10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= ．11．正方形的对角线为4，则它的边长AB= ．12．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为．13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有米．三．做一做14．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长度．四．解答题（1题4分，2、3题各6分，4、5、6各8分，共40分）15．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（π取3）16．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由．17．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b、c．18．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？19．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．20．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？《第17章勾股定理》参考答案与试题解析一．选择题1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（）A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或25【考点】勾股定理的逆定理．【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．【解答】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，故选D．【点评】本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．3．正方形的面积是4，则它的对角线长是（）A．2 B． C．D．4【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：设正方形的对角线为x，∵正方形的面积是4，∴边长的平方为4，∴由勾股定理得，x==2．故选C．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟记定理和性质是解题的关键．4．如果直角三角形两直角边为5：12，则斜边上的高与斜边的比为（）A．60：13 B．5：12 C．12：13 D．60：169【考点】勾股定理．【分析】可在直角三角形中，用勾股定理求出斜边的长，然后根据三角形面积的不同表示方法，求出斜边上的高．进而可得出斜边与斜边上的高的比例关系．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5k，BC=12k，根据勾股定理有：AB==13k，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==，∴AB：CD=13：=169：60，即斜边上的高与斜边的比=60：169，故选D．【点评】本题考查了勾股定理得运用，能够根据已知条件结合勾股定理求出直角三角形的三边．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．此结论在计算中运用可以简便计算．5．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（）A．6 B． C． D．4【考点】勾股定理．【分析】利用两次勾股定理即可解答．【解答】解：∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∵AB=3，BD=2，∴AD==∵DC=1∴AC==．故选B．【点评】本题需先求出AD长，利用了两次勾股定理进行推理计算．6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里【考点】勾股定理的应用；方向角．【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，根据勾股定理得：=40（海里）．故选D．【点评】熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【分析】对等式进行整理，再判断其形状．【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．8．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻折的性质可得AE=CE，设BE=x，然后表示出AE，再利用勾股定理列出方程进行计算即可得解．【解答】解：根据翻折的性质得，AE=CE，设BE=x，∵长方形ABCD的长为8，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2=AB2+BE2，即（8﹣x）2=42+x2，解得x=3，所以，BE的长为3．故选A．【点评】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后对应线段相等，然后用BE的长度表示出AE是解题的关键．二．填空题9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为cm ．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】由已知直角三角形的两直角边，利用勾股定理即可求出斜边的长．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边的长分别为：a=1cm，b=2cm，∴根据勾股定理得：斜边长c===cm．故答案为：cm．【点评】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= 50 ．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2，然后代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．故答案为：50．【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．11．正方形的对角线为4，则它的边长AB= 2．【考点】正方形的性质．【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求出其边长．【解答】解：设正方形的边长为x，则x2+x2=42得：x=．故答案为2．【点评】此题考查正方形的性质的运用．12．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为24 ．【考点】勾股定理．【分析】先根据题意设出另外两直角边的长，再根据勾股定理列方程解答即可．【解答】解：∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，则斜边为（x+2），根据勾股定理得：（x+2）2﹣x2=62，解得x=8，∴x+2=10，∴周长为：6+8+10=24．故答案为24【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，需注意连续偶数应相隔2个数，熟练掌握勾股定理的应用．13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有24 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解答】解：因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC==15米，于是折断前树的高度是15+9=24米．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．三．做一做14．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长度．【考点】勾股定理；实数．【分析】连接AB，根据勾股定理，AB==2．故AB长度是无理数；根据勾股定理，CD==5．故CD的长度是有理数．【解答】解：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD．∵△ABE是直角三角形，∴AB==2，同理，CD═CD==5，故答案为：表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD【点评】本题考查了无理数、有理数和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．四．解答题（1题4分，2、3题各6分，4、5、6各8分，共40分）15．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（π取3）【考点】勾股定理．【分析】首先利用勾股定理得出斜边长，进而利用圆的面积公式得出答案．【解答】解：由题意可得：半圆的直径为：=10，则阴影部分的半圆的面积是：π×52=×3×25=．【点评】此题主要考查了勾股定理以及圆的面积求法，正确掌握圆的面积公式是解题关键．16．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD 的形状，并说明理由．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】先在△ABC中，根据勾股定理求出AB2的值，再在△ABD中根据勾股定理的逆定理，判断出AD⊥AB，即可得到△ABD为直角三角形．【解答】解：△ABD为直角三角形．理由如下：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB2=CB2+AC2=42+32=52，∴在△ABD中，AB2+AD2=52+122=132，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD为直角三角形．【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．17．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b、c．【考点】解直角三角形．【专题】计算题．【分析】（1）根据勾股定理即可直接求出a的值；（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值．【解答】解：（1）根据勾股定理可得：a==20；（2）∵△ABC为Rt△，∠A=60°，∴∠B=30°，∴c=2b，根据勾股定理可得：a2+b2=c2，即6+b2=（2b）2，解得b=，则c=2．【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．18．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20﹣4=16，再根据勾股定理就可求解．【解答】解：如图所示，根据题意，得AC=20﹣4=16，BC=12．根据勾股定理，得AB=20．则小鸟所用的时间是20÷4=5（s）．【点评】此题主要是勾股定理的运用．注意：时间=路程÷速度．19．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】几何图形问题．【分析】连接BD，根据已知分别求得△ABD的面积与△BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接BD，∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°∴BD=5cm，S△ABD=×3×4=6cm2又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm∴BD2+CD2=BC2∴∠BDC=90°∴S△BDC=×5×12=30cm2∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2．【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．连接BD，是关键的一步．20．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？【考点】勾股定理的应用．【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，故AC===2米，在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，故EC===1.5米，故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．。
新人教版初中数学八年级数学下册第二单元《勾股定理》检测题(有答案解析)(4)
一、选择题1．以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是 ( )A ．1，2，5B ．3，5，4C ．5，12，13D ．1，3，7 2．下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）A ．三个内角之比为1︰2︰3B ．一边上的中线等于该边的一半C ．三边为111,,12135D ．三边长为()222220m n m n mn m n +->>、、 3．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，△ABC 的面积为120，则△BCD 的面积为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．404．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=8，将△ABC 沿直线BC 向右平移，得到△EDF ，连接AD ，若四边形ACFD 为菱形，EC=4，则平移的距离为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．85．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（ ） A ．3:1:2 B ．2:3:7 C ．2:1:5 D ．无法确定 6．如图，以AB 为直径的半圆O 过点C ，4AB =，在半径OB 上取一点D ，使AD AC =，30CAB ∠=︒，则点O 到CD 的距离OE 是（ ）A 2B ．1C ．2D ．227．若实数m 、n 满足|m ﹣4n -0，且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长，则ABC 的周长是（ ）A ．5B ．57C ．12D ．12或78．已知ABC 中，a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边，下列条件中不能判断ABC 是直角三角形的是（ ）A ．::3:4:5ABC ∠∠∠=B ．C A B ∠=∠-∠ C ．222+=a b cD ．::6:8:10a b c =9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②1x y -=，③2125xy +=，④7x y +=．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，8AB =，13BD =，12BC =，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．50B ．56C ．60D ．7211．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，与BC 相交于点D 连接AD ，若AC ＝5，△ACD 的周长为17，则斜边AB 的长为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 12．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（ ） A ．a b c +=B ．::4:5:3a b c =C ．2A B C ∠+∠=∠D ．::5:12:13A B C ∠∠∠=二、填空题13．如图，圆柱形玻璃杯的高为12cm ，底面圆的周长为10cm ，在杯内离底4cm 的点N 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上2cm 与蜂蜜相对的点M 处，则蚂蚁到达蜂蜜所爬行的最短路程为________cm ．14．如图，数轴上点C 表示的数的平方为______．15．如图，已知圆柱体底面圆的半径为a π，高为2,AB CD 、分别是两底面的直径，,AD BC 是母线．若一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）16．如图所示，在ABC 中，90C DE ∠=︒,垂直平分AB ，交BC 于点E ，垂足为点D ，8,15BE B =∠=︒，则EC 的长为________________________．17．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．18．如图，教室的墙面ADEF 与地面ABCD 垂直，点P 在墙面上．若5PA AB ==米，点P 到AD 的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B ，它的最短行程是______米．19．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高为_____尺．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）20．如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ），若线段AD 的长是正整数，则点D 的个数共有______个．三、解答题21．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知ABC 为勾股高三角形，其中C 为勾股顶点，CD 是AB 边上的高．若5BD =1AD =，试求线段CD 的长度．（2）深入探究如图2，已知ABC 为勾股高三角形，其中C 为勾股顶点且CA CB >，CD 是AB 边上试探究线段AD 与CB 的数量关系，并给予证明；22．利用所学的知识计算：（1）已知a b >，且2213a b +=，6ab =，求-a b 的值；（2）已知a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边长，若222568a b a b ++=+，求Rt △ABC 的周长．23．在等腰直角△ABC 中，AB ＝ AC ，∠BAC ＝90°，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90°交直线l 于点D ． （1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形；①求证：∠BDP ＝∠PCB ；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．24．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面9米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，那么这根旗杆被吹断前至少有多高？25．如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩A 在离水面的BD 的1.3米处，在距离鱼线1.2米处D 点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？26．如图，在四边形ABCD 中，AB =13，BC =5，CD =15，AD =9，对角线AC ⊥BC ． （1）求AC 的长；（2）求四边形ABCD 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理验证即可．【详解】A 、∵2221255+==， ∴以1、25为三边的三角形是直角三角形，A 不符合题意；B 、∵22234255+==，∴以3、5、4为三边的三角形是直角三角形，B 不符合题意；C 、∵22251216913+==，∴以5、12、13为三边的三角形是直角三角形，C 不符合题意；D 、∵22213107+=≠，∴以1、37为三边的三角形不是直角三角形，D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．C解析：C【分析】根据直角三角形的判定条件分别判断即可；【详解】三个内角之比为1︰2︰3，三角形有一个内角为90︒，故A 不符合题意；直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，故B 不符合题意；22211112135⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 符合题意；三边长的关系为()()()()222222220m n m n mn m n +=-+>>，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，准确分析判断是解题的关键． 3．C解析：C【分析】根据已知条件可知∠A ＝∠BCD ＝30°，在Rt △BCD 中设BD ＝x ，则BC ＝2x ，由勾股定理求得CD ，在Rt △ACD 中，AC ＝2BC ＝，根据△ABC 的面积为120，即11202AC BC ⨯=，求得2x 的值，用三角形的面积公式即可得出△BCD 的面积． 【详解】解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，在Rt △BCD 中，∠BCD ＝30°，∴ 设BD ＝x ，则BC ＝2BD ＝2x ，CD ==，∴ 在Rt △ACD 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2BC ＝，∵△ABC 的面积为120，∴11212022ABC S AC BC x =⨯⨯=⨯⨯=，解得：2x∵211=2222BCD S BD CD x x =⨯⨯=⨯=⨯， 故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理．熟练掌握各定理所示解题的关键．4．C解析：C【分析】根据平移的性质可得8,,AB DE AC DF BC EF ====，设AC DF CF AD x ====，求得BC=4x +，再由勾股定理理出方程求解即可．【详解】解：由平移的性质可得：8,,AB DE AC DF BC EF ====又∵四边形ACFD 是菱形∴设AC DF CF AD x ====又∵4EC =∴4BC EF CF CE x ==+=+又∵∠90BAC ︒=∴222AB AC BC +=∴2228(4)x x +=+解得，6x =即6AD DF CF AC ====故平移的距离为：6AD =故选：C ．【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的基本性质是解答此题的关键．5．B解析：B【分析】作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则CE=a ，BE=2a ，在Rt △BCE 中∠BCE=90°，根据勾股定理可求出BC 、AB ，则AC ：BC ：AB 的值可求出．【详解】解：如图①，作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，∵∠ACB=90°， ∴12CF AB AB =≠， 又在Rt △ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，,AD BC ∴≠ ∴满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则,2,CE AE a BE a ===在Rt △BCE 中∠BCE=90°， ∴223,BC BE CE a =-在Rt △ABC 中，,AB ===∴AC ：BC ：AB=22a =故选：B ．【点睛】考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．6．A解析：A【分析】在等腰ACD ∆中，顶角30A ∠=︒，易求得75ACD ∠=︒，根据等边对等角，可得30OCA A ∠=∠=︒，由此可得45OCD ∠=︒，即OCE ∆是等腰直角三角形，则OE =【详解】∵AC AD =，30A ∠=︒，∴75ACD ADC ∠=∠=︒，∵AO OC =，∴30OCA A ∠=∠=︒，∴45OCD ∠=︒，即OCE ∆是等腰直角三角形． 在等腰Rt OCE ∆中，2OC =，因此 OE =故选：A ．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识的应用． 7．D解析：D【分析】根据非负数的性质分别求出m 、n ，分4是直角边、4是斜边两种情况，根据勾股定理、三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】∵|m ﹣0，∴|m ﹣3|＝00，∴m ﹣3＝0，n ﹣4＝0，解得，m ＝3，n ＝4，当45，则△ABC 的周长＝3+4+5＝12，当4，则△ABC 的周长＝＝，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．8．A解析：A【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【详解】解：A 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=75°≠90°，故△ABC 不是直角三角形；B 、因为∠C=∠A-∠B ，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=90°，故△ABC 是直角三角形； C 、因为a 2+b 2=c 2，故△ABC 是直角三角形；D 、因为a ：b ：c=6：8：10，设a=6x ，b=8x ，c=10x ，（6x ）2+（8x ）2=（10x ）2，故△ABC 是直角三角形．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．9．D解析：D【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可．【详解】①∵ABC 为直角三角形，∴22225x y AB +==，故①正确；②由图可知：1x y CE -===，故②正确；③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积， 由此可得：141252xy ⨯+=，即：2125xy +=， 故③正确；④由①③相加可得：222150xy x y +++=，即()249x y +=，故7x y +=，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键．10．A解析：A【分析】据勾股定理求出DC ，根据角平分线的性质得出DE=DC=5，根据勾股定理求出BE ，求出AE ，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】过D 作DE AB ⊥，交BA 的延长线于E ，则90∠=∠=︒E C ，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE DC ∴=，在Rt BCD ∆中，由勾股定理得：222213125CD BD BC --=，5DE ∴=，在Rt BED ∆中，由勾股定理得：222213512BE BD DE =--，8AB =，1284AE BE AB ∴=-=-=，∴四边形ABCD 的面积BCD BED AED S S S S ∆∆∆=+-111222BC CD BE DE AE DE =⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯ 11112512545222=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯50=，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积，角平分线的性质等知识点，能求出DE=DC是解题的关键．11．C解析：C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA DB=，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：DE是AB的垂直平分线，DA DB∴=，ACD∆的周长为17，17AC CD AD∴++=，17AC CD DB AC BC∴++=+=，5AC=，17512BC∴=-=，由勾股定理得，13AB==，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12．B解析：B【分析】根据三角形三边关系可分析出A的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B的正误；根据三角形内角和定理可分析出C、D的正误；【详解】解：A、a b c+=，不能组成三角形，不是直角三角形；B、222a c b+=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、由∠A+∠B=2∠C，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=5：12：13，可得最大角131807830C∠=︒⨯=︒，不是直角三角形．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．二、填空题13．【分析】过N作NQ⊥EF于Q作M关于EH的对称点M′连接M′N交EH于P连接MP则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离求出M′QNQ根据勾股定理求出M′N即可【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开得解析：55．【分析】过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出M′Q，NQ，根据勾股定理求出M′N即可．【详解】解：如图：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过N作NQ⊥EF于Q，作M关于EH 的对称点M′，连接M′N交EH于P，连接MP，则MP+PN就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵ME=M′E，M′P=MP，∴MP+PN=M′P+PN=M′N，∵NQ=1×10cm=5cm，M′Q=12cm-4cm+2cm=10cm，2在Rt△M′QN中，由勾股定理得：2251055+=．故答案为：55【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．14．5【分析】由作图痕迹得到图中各线段的长度后根据勾股定理即可得到解答【详解】解：由作图痕迹及题意可知：OB=2AB=1AB⊥OBOC=OA∴由勾股定理可知：故答案为5【点睛】本题考查尺规作图与勾股定理解析：5【分析】由作图痕迹得到图中各线段的长度后根据勾股定理即可得到解答．【详解】解：由作图痕迹及题意可知：OB=2，AB=1，AB⊥OB，OC=OA，∴由勾股定理可知：222222==+=+=，215OC OA OB AB故答案为5．【点睛】本题考查尺规作图与勾股定理的综合运用，熟练掌握常见图形的作图方法及勾股定理的应用是解题关键．15．【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发从侧面爬行到C 点蚂蚁爬行的最短路线利用在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求【详解】解：圆柱的展开图如下在圆柱侧面展开图中线段AC 的长度即为所求在Rt △ABC 中AB= 解析：2+4a【分析】要求一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，蚂蚁爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求．【详解】解：圆柱的展开图如下，在圆柱侧面展开图中，线段AC 的长度即为所求，在Rt △ABC 中，AB=π•a π=a ，BC=2，则：2222=+=4AC AB BC a +，所以2+4a 2+4a2+4a ．【点睛】本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图． 16．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC 根据线段垂直平分线性质求出求出然后求出∠EAC 根据含30°角的直角三角形的性质求解即可【详解】解：∵在△ABC 中∴∵垂直平分∴∴∴∵∴∴∴在Rt △ECA 中故答解析：3【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据线段垂直平分线性质求出8BE AE ==，求出15EAB B ∠=∠=︒，然后求出∠EAC ，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵在△ABC 中，90ACB ∠=︒，15B ∠=︒，∴901575BAC ∠=︒-︒=︒，∵DE 垂直平分AB ，8BE =，∴8BE AE ==，∴15EAB B ∠=∠=︒，∴751560EAC ∠=︒-︒=︒，∵90C ∠=︒，∴30AEC ∠=︒， ∴184221AC AE =⋅=⨯=， ∴在Rt △ECA 中， 2264164843EC AB AC =-=-==， 故答案为：43．【点睛】本题考查了三角形的边长问题，掌握三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 17．6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE ∠EAD=推出∠EAC=利用勾股定理解直角三角形即可得出答案【详解】解：连接AE ∵AB=AC ∠A=∴∠B=∠C=∵ED 垂直平分解析：6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ， ∠EAD=30︒，推出 ∠EAC=90︒，利用勾股定理解直角三角形即可得出答案．【详解】解：连接AE ，∵ AB=AC ，∠A=120︒ ，∴ ∠B=∠C=()1180120302︒-︒=︒， ∵ED 垂直平分AB ， ∴AE=BE ，∠EAD=30︒ ，∵BE=3，∴DE=1322BE = ∴22332BD BE DE =-=， ∴AB=AC=2BD=33，∵∠A=120︒，∴∠EAC=90︒，∴22366=+==，CE AC AE故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、勾股定理、直角三角形30︒角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．18．【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开连接PB根据两点之间线段最短利用勾股定理求解即可【详解】解：如图过P作PG⊥BF于G连接PB∵AG=3AP=AB=5∴∴BG=8∴故这只蚂蚁的最短行程解析：45【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，∵AG=3，AP=AB=5，∴224==-，PG AP AG∴BG=8，∴2245B+=P GB GP故这只蚂蚁的最短行程应该是5故答案为：5【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决．19．6【分析】设长方形门的宽x尺则高是（x+68）尺根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：设长方形门的宽x尺则高是（x+68）尺根据题意得x2+（x+68）2＝102解得：x＝28或﹣96（舍去）则宽是解析：6．【分析】设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．【详解】解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．答：门的高是9.6尺；故答案为：9.6．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．20．3【分析】首先过A作AE⊥BC当D与E重合时AD最短首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC进而可得BE的长利用勾股定理计算出AE长然后可得AD 的取值范围进而可得答案【详解】解：过A作AE⊥BC∵AB解析：3【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．【详解】解：过A作AE⊥BC，∵AB=AC，∴EC=BE=1BC=4，2∴22，54∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD=3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围．三、解答题21．（1）①是；②2CD =；（2）证明见解析．【分析】（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a ，由)222,a a -=结合勾股高三角形的定义可得答案； ②根据勾股定理得到22225,1,CB CD CA CD =+=+根据勾股高三角形的定义得到222CD BC AC =-，再列方程，解方程可得答案；（2）由△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点且CA ＞CB ，CD 是AB 边上的高，可得：222,CA CD CB -= 再由勾股定理可得：222CA CD AD -=，从而可得结论．【详解】解：（1）①设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长==，∵)222,a a -=等腰直角三角形的一条直角边可以看作另一条直角边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形，故答案为：是；②,CD AB ⊥ BD =，1AD =，由勾股定理可得：222222225,1,CB CD BD CD CA CD AD CD =+=+=+=+∵△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点，CD 是AB 边上的高，∴222CD BC AC =-，∴()()22251CD CD CD =+-+，24CD ∴=，解得，2CD =（负根舍去）；（2）AD=CB ，证明如下：∵△ABC 为勾股高三角形，C 为勾股顶点且CA ＞CB ，CD 是AB 边上的高， ∴222CD CA CB =-， 222,CA CD CB ∴-=,CD AB ⊥∴222CA CD AD -=∴22CB AD =，,CB AD 都为线段，∴AD CB =．【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股高三角形的定义，利用平方根的含义解方程，等腰直角三角形的定义，正确理解勾股高三角形的定义，灵活运用勾股定理是解题的关键．22．（1）1；（2）12或77+ 【分析】 (1)根据完全平方公式变形解答； (2)先移项，将25变形为9+16，利用完全平方公式变形为22(3)(4)0a b -+-=，求得a=3，b=4，分情况，利用勾股定理求出c ，即可得到周长．【详解】（1）∵2213a b +=，6ab =，∴222()213261a b a b ab =+-=-⨯=-，∴a-b=1或a-b=-1（舍去）；（2）222568a b a b ++=+2225680a b a b ++--=22698160a a b b -++-+=22(3)(4)0a b -+-=∴a-3=0，b-4=0，∴a=3，b=4，当a 与b 都是直角边时，c=2222435b a +=+=，∴Rt △ABC 的周长=3+4+5=12； 当a 为直角边，b 为斜边时，c=2222437b a -=-=，∴Rt △ABC 的周长=77+．【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，勾股定理，正确掌握并熟练应用完全平方公式是解题的关键．23．（1）见解析；①见解析；②BC -BD =2BP ；见解析；（2）BD -BC =2BP【分析】（1）根据题意补全图形即可：①设PD 与BC 的交点为E ，根据三角形内角和定理可求解；②过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ．证明△BPD ≌△FPC ，即可得到结论；（2）过点P 作PH ⊥BP 交CB 的延长线于点H ，证明△HPC ≌△BPD 即可．【详解】解：（1）补全图形，如图．①证明：如图①，设PD 与BC 的交点为E ．根据题意可知，∠CPD=90°．∵BC⊥l，∴∠DBC=90°．∴∠BDP+∠BED=90°，∠PCB+∠PEC= 90°．∵∠BED=∠PEC∴∠BDP=∠PCB．②BC-BD=2BP．证明：如图②，过点P作PF⊥BP交BC于点F．∵AB= AC， A=90°，∴∠ABC=45°．∴BP=PF，∠PFB=45°．∴∠PBD=∠PFC=135°．∴△BPD≌△FPC．∴BD=FC．∵BF2BP，∴BC-BD2BP．（3）过点P作PH⊥BP交CB的延长线于点H，如图③，∵∠DPC=∠CBM=90°，∠PMD=∠BMC∴∠PDM=∠BCM∵∠ABC=∠ACB=45°∴∠HBP=45°∴∠DBP=45°∵∠BPH=90°∴∠BHP=45°∴HP=BP ∴2HB PB =又∠DPC=90°∴∠HPC=∠BPD ，在△HPC 和△BPD 中，HP BP BPD HPC PHC PBD =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△HPC ≌△BPD∴2BP BC +∴BD -BC 2BP ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质运用和勾股定理的应用，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．24．22米先根据勾股定理求出BC的长，再由旗杆高度=AB+BC解答即可．【详解】解：如下图所示，∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形，∴BC=2222+=+=，AB BC91215∴旗杆的高=AB+BC=9+15=24m，答：这根旗杆被吹断裂前有24米高．【点睛】本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解答此题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，再根据勾股定理进行解答．25．5【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案．【详解】如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m，∴AC=2222+=+=m，CE AE1.20.5 1.3∴1.3÷0.2＝6.5s，答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．26．（1）12；（2）84．（1）在Rt ABC 中，利用勾股定理即可得；（2）先根据勾股定理的逆定理可得ACD △是直角三角形，再根据四边形ABCD 的面积等于Rt ABC 的面积与Rt ACD △的面积之和即可得．【详解】（1）AC BC ⊥，ABC ∴是直角三角形，13,5AB BC ==，2222213514412AC AB BC AC ∴=-=-==，；（2）15,9,12CD AD AC ===，222AC AD CD ∴+=， ACD ∴是直角三角形，则四边形ABCD 的面积为1122Rt ABC Rt ACD S S AC BC AC AD +=⋅+⋅， 1112512922=⨯⨯+⨯⨯， 84=，即四边形ABCD 的面积为84．【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．。
人教版八年级数学下册勾股定理单元测试题
- 4 -- 4 - 《勾股定理》单元测试题 一、选择题（每题3分，共30分）1.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（ ）组 A.2 B.3 C.4 D.52.已知△ABC 中，∠A ＝21∠B ＝31∠C ，则它的三条边之比为（ ） A.1∶1∶2 B.1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶4∶13.已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为2，那么此直角三角形的周长是（ ）A. 25 B.3 C. 3+2 D. 33+ 4.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）A.12米B.13米C.14米D.15米5.放学以后，小明和小刚从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，若小明和小刚行走的速度都是40米/分，小明用15分钟到家，小刚用20分钟到家，小明家和小刚家的距离为（ ）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定6.已知如图1，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A. 6cm 2B. 8cm 2C. 10cm 2D. 12cm 27.如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定8.在△ABC 中，∠C ＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（ ）A.5，4，3B.13，12，5C.10，8，6D.26，24，109.如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE 等于（ ）A.1B. 2C. 3D.210.直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则它的周长为（ ）A.182B.183C.184D.185二、填空题（每题3分，共30分）11.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm ，宽为60cm ，对角线为100cm ，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）。
(2021年整理)人教版八年级数学下册勾股定理单元测试题
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勾股定理单元测试题班级：_______ 姓名：________学号 。
一、选择题（每题3分，共30分)1、分别以下列五组数为一个三角形的边长:①6,8，10；②13,5，12 ③1，2， 3；④9，40，41；⑤5,3,2其中能构成直角三角形的有（ ）组A.2 B 。
3 C.4 D 。
52、已知△ABC 中，∠A ＝21∠B ＝31∠C ，则它的三条边之比为（ )A.1∶1∶2B.1∶3∶2C.1∶2∶3D.1∶4∶13、已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为2,那么此直角三角形的周长是（ )A. 25 B 。
3 C 。
3+2D. 334、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）A 。
12米 B.13米 C.14米 D 。
15米5、放学以后，小明和小刚从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，若小明和小刚行走的速度都是40米/分，小明用15分钟到家，小刚用20分钟到家，小明家和小刚家的距离为（ ）A.600米B.800米 C 。
1000米 D.不能确定6、已知如图1，长方形ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm ，将此长方形折叠,使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为( ）A. 6cm 2B. 8cm 2 C 。
10cm 2 D 。
12cm 27、如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边AB C图2BCED 图3F 图1BA阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A.S 1＝S 2 B 。
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思想方法专题：勾股定理中的思想方法
◆类型一分类讨论思想
一、直角边与斜边不明需分类讨论
1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为【易错3】( )
A．13 B．5
C．13或5 D．4
2．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是____________．
二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论
3．★(xx·东营中考)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则BC 的长为【易错4】( )
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
4．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．【易错4】
◆类型二方程思想
一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长
5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．
二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长
6．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB ＝6，BC＝9，求BF的长．【方法4】
三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长
7．(xx·益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
◆类型三利用转化思想求最值
8．(xx·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B 点，那么它的最短路线的长是________cm.【方法5】
9．如图，A，B两个村在河CD的同侧，且AB＝13km，A，B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km.现要在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】
参考答案与解析
1．C 2.24或67
3．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB ＝10，AC ＝210，AD ＝6.在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，根据勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝
AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；图②中，同理可得BD
＝8，CD ＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6或10.故选C.
4．25或4 5 解析：如图①，△ABC 为锐角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D .∵S △ABC ＝10，AB ＝5，∴1
2
AB ·CD ＝10，解得CD ＝4.在Rt△ACD 中，由勾股定理得
AD ＝AC 2－CD 2＝52－42＝3，∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.在Rt△CBD 中，由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝22＋42＝25；
如图②，△ABC 为钝角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D .同上可得
CD ＝4.在Rt△ACD 中，AC ＝5，由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝52－42＝3.∴BD ＝BA
＋AD ＝5＋3＝8.在Rt△BDC 中，由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝82＋42＝4 5.综上所述，
BC 的长度为25或4 5.
5．17m
6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF ＝C ′F .设BF ＝x .∵BC ＝9，∴C ′F ＝CF ＝BC －BF ＝9－x .∵C ′是AB 的中点，AB ＝6，∴BC ′＝1
2AB ＝3.在Rt△C ′BF 中，由
勾股定理得C ′F 2＝BF 2＋C ′B 2，即(9－x )2＝x 2＋32，解得x ＝4，即BF 的长为4.
7．解：过A 作AD ⊥BC 交BC 于点D .在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝BC －BD ＝14－x .在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，由勾股定理得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，即152－x 2＝132－(14－x )2，解得x ＝9.在Rt△ABD
中，由勾股定理得AD ＝AB 2
－BD 2
＝152
－92
＝12.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝1
2
×14×12＝84.
8．45
9．解：如图，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接BA ′交CD 于O ，点O 即为水厂的位置．过点A ′作A ′E ∥CD 交BD 的延长线于点E ，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，则AF ＝A ′E ，DF ＝AC ＝1km ，DE ＝A ′C ＝1km.∴BF ＝BD －FD ＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF 中，AF 2＝AB 2－BF 2＝13－22＝9，∴AF ＝3km.∴A ′E ＝3km.在Rt△A ′BE 中，BE ＝BD ＋DE ＝4km ，由勾股定理得A ′B ＝A ′E 2＋BE 2＝32＋42＝5(km)．∴W ＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．
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