八年级数学下册 4 思想方法专题 勾股定理中的思想方法测试题 (新版)新人教版

思想方法专题：勾股定理中的思想方法

◆类型一分类讨论思想

一、直角边与斜边不明需分类讨论

1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为【易错3】( )

A．13 B．5

C．13或5 D．4

2．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是____________．

二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论

3．★(xx·东营中考)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则BC 的长为【易错4】( )

A．10 B．8

C．6或10 D．8或10

4．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．【易错4】

◆类型二方程思想

一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长

5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．

二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长

6．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB ＝6，BC＝9，求BF的长．【方法4】

三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长

7．(xx·益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

◆类型三利用转化思想求最值

8．(xx·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B 点，那么它的最短路线的长是________cm.【方法5】

9．如图，A，B两个村在河CD的同侧，且AB＝13km，A，B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km.现要在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】

参考答案与解析

1．C 2.24或67

3．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB ＝10，AC ＝210，AD ＝6.在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，根据勾股定理得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝

AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；图②中，同理可得BD

＝8，CD ＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6或10.故选C.

4．25或4 5 解析：如图①，△ABC 为锐角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D .∵S △ABC ＝10，AB ＝5，∴1

2

AB ·CD ＝10，解得CD ＝4.在Rt△ACD 中，由勾股定理得

AD ＝AC 2－CD 2＝52－42＝3，∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.在Rt△CBD 中，由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝22＋42＝25；

如图②，△ABC 为钝角三角形，过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D .同上可得

CD ＝4.在Rt△ACD 中，AC ＝5，由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝52－42＝3.∴BD ＝BA

＋AD ＝5＋3＝8.在Rt△BDC 中，由勾股定理得BC ＝BD 2＋CD 2＝82＋42＝4 5.综上所述，

BC 的长度为25或4 5.

5．17m

6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF ＝C ′F .设BF ＝x .∵BC ＝9，∴C ′F ＝CF ＝BC －BF ＝9－x .∵C ′是AB 的中点，AB ＝6，∴BC ′＝1

2AB ＝3.在Rt△C ′BF 中，由

勾股定理得C ′F 2＝BF 2＋C ′B 2，即(9－x )2＝x 2＋32，解得x ＝4，即BF 的长为4.

7．解：过A 作AD ⊥BC 交BC 于点D .在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，设BD ＝x ，则CD ＝BC －BD ＝14－x .在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，由勾股定理得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，即152－x 2＝132－(14－x )2，解得x ＝9.在Rt△ABD

中，由勾股定理得AD ＝AB 2

－BD 2

＝152

－92

＝12.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝1

2

×14×12＝84.

8．45

9．解：如图，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接BA ′交CD 于O ，点O 即为水厂的位置．过点A ′作A ′E ∥CD 交BD 的延长线于点E ，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，则AF ＝A ′E ，DF ＝AC ＝1km ，DE ＝A ′C ＝1km.∴BF ＝BD －FD ＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF 中，AF 2＝AB 2－BF 2＝13－22＝9，∴AF ＝3km.∴A ′E ＝3km.在Rt△A ′BE 中，BE ＝BD ＋DE ＝4km ，由勾股定理得A ′B ＝A ′E 2＋BE 2＝32＋42＝5(km)．∴W ＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．

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