函数极限的唯一性和局部有界性(老黄学高数第89讲)
高等数学(第二版)上册课件：函数的极限
定理1.5（唯一性） 若极限 lim f x 存在，则其
极限是唯一的.
如 lim2x 1 3 x1
定义1.8 在 x x（0 或 x ）的过程中，若M 0,
使 x U x0 （或 x X ）时， f x M，则称 f x
是 x x（0 或 x ）时的有界变量.
定理1.6 若极限 lim f x 存在，则 f x是该极限过程
趋近于某个确定的常数A，则称当 x x
时函数 f x 的极限为A.
记作 lim f x A ( lim f x A)
x
x
考查 f x 2x 的图像，问lim 2x , lim 2x ,lim 2x 是否存在？ x x x
当 x 时，f x arctan x 是否有极限？为什么？
时都有不等式 f x A 成立，则称常数A为函数 f x
当 x x0 时的极限，记为
lim
xx0
f
x
A 或者
f
x
Ax
x0
lim f x A 的几何意义：
xx0
对于任意的正数 ，存在正数 ，当点 x, f x 的横坐标
x 落入 x0 的去心领域 x0 , x0 x0, x0 之内时，纵
函数值无限接近一个常数的情形与数列极限类似. 所不同的是，自变量的变化可以是连续的.
有时，当 x 和 x 时，函数 f x
无限趋近的常数不同.
例如反正切函数 f x arctan.x
lim arctan x
x
2
,
lim arctan x
x
ห้องสมุดไป่ตู้
2
故有下列定义
定义1.5 如果当x x 时，函数 f x
极限分析知识点总结图
极限分析知识点总结图1. 极限的概念极限是函数在某一点附近的局部行为，通俗地说就是当自变量趋于某个值时，函数的值会趋于一个确定的值。
数学上通常用“x趋于a时，f(x)趋于L”来表示函数的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
其中a为自变量x的取值，L为函数值f(x)的极限。
在极限概念中，有重要的一点是函数在该点附近可以不被定义。
极限的概念是整个极限分析的基石，理解和掌握好这一概念对于后续的学习至关重要。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，可以方便我们进行极限计算和推导。
这些性质包括极限的唯一性、四则运算法则、复合函数法则、夹逼定理等。
其中，四则运算法则指出了函数的和、差、积、商的极限计算法则；复合函数法则用于计算由复合函数构成的整体函数的极限；夹逼定理则用于确定函数极限的存在性。
这些性质在极限计算过程中有着重要的作用，掌握这些性质可以简化问题的处理过程。
3. 极限的计算方法对于不同形式的函数，极限的计算方法也有所不同。
常见的极限计算方法包括有理函数极限、指数函数极限、三角函数极限、对数函数极限、幂函数极限、复合函数极限等。
在计算极限的过程中，需要结合具体的函数形式来选择合适的计算方法，有时还需要进行变量代换、分子有理化、分拆成简单函数等技巧。
熟练掌握各种函数类别的极限计算方法对于进一步深入学习和应用是非常必要的。
4. 无穷小量和无穷大量在极限分析中，无穷小量和无穷大量是重要的概念。
无穷小是指当自变量趋于某一值时，函数值趋于零；无穷大则是指函数的绝对值可以大到任意大。
无穷小和无穷大的概念是极限分析中非常关键的一部分，它们广泛应用于微积分、微分方程等领域，并且有很强的应用性。
5. 极限存在条件对于函数的极限而言，并非所有函数都存在极限。
学习极限分析的过程中，需要注意函数极限存在的一些条件，比如局部有界、单调有界、柯西收敛原理等。
理解这些条件对于确定函数极限的存在性有着重要的指导意义。
6. 夹逼准则夹逼准则是极限分析中的一个非常重要的原理，它通常用于证明极限存在或者计算不确定形式的极限。
收敛数列的性质和函数极限的性质
2. 局部有界性
定理 2.2 若在 x 的某个极限过程中, f ( x)有
极限,则存在这个过程的一个时刻, 在此时刻以
后 f ( x)有界.
2021/4/21
21
如：(1) 若 lim f ( x) A, A R
x x0
则 U ( x0, ),
f ( x)在U ( x0 , )上有界.
x x0
x x0
(2) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,且A B
x x0
x x0
则 0,x U ( x0, ), 有 f ( x) g( x).
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问题: 若 f (x) < g(x), 能否推出
lim f ( x) lim g( x) ？
x x0
a (2) 用反证法证明.
注
由
xn
0
(n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim
n
1 n
0.
a 0.
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推论2.3 (保序性)
(1) 若 N N ，使当n > N 时，恒有
xn yn
且 lim xn a , lim yn b，则 a b.
n
n
(2) 若
ab 2
矛盾！故假设不真 !
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5
例1 证明数列 xn (1)n1(n 1,2,) 是发散的.
证 用反证法.
假设数列{ xn } 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
对于
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
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感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
高等数学中的极限理论及其应用研究
高等数学中的极限理论及其应用研究极限是高等数学中的核心概念之一，它在数学分析、物理学、经济学等多个领域中具有重要的应用。
本文将重点探讨高等数学中的极限理论以及它在实际问题中的应用。
首先，我们来讨论极限的定义及其基本性质。
在高等数学中，极限是指当自变量逼近某一特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x无限靠近某一点c时，如果存在一个常数L，使得当x充分靠近c时，f(x)的取值无论如何都可以无限地接近L，那么我们称L为函数f(x)在点c处的极限，记作lim(x→c)f(x)=L。
极限理论有以下基本性质：1. 极限的唯一性：当函数的极限存在时，它是唯一的。
2. 极限的局部性质：如果函数在某一点的极限存在，则它在该点的任何邻域内都有定义。
3. 极限的保序性：如果函数在某一点的极限存在，并且在该点的左侧（或右侧）取值总是小于（或大于）极限值，那么函数在该点的左侧（或右侧）都小于（或大于）极限值。
接下来，我们将探讨极限理论的应用。
极限理论在微积分中有广泛的应用，尤其是在导数和积分的计算中。
通过求极限，我们可以推导出一些重要的微积分定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等，这些定理在解决实际问题时非常有用。
此外，极限理论在数列和级数的研究中也具有重要的作用。
对于数列而言，极限可以帮助我们判断数列的趋势和性质。
如果数列收敛到某一极限，我们可以利用极限的性质推导出数列的一些重要性质，比如收敛性、有界性等。
对于级数而言，如果级数前n项的部分和存在极限，我们可以判断级数是否收敛，并且可以计算出它的极限值。
此外，极限理论还在微分方程、概率论等领域有广泛的应用。
在微分方程中，通过求极限，我们可以解决一些特殊的微分方程，如常微分方程中的初值问题。
在概率论中，我们可以通过极限理论来计算随机变量的分布函数、期望值等重要指标，从而解决一些实际问题。
总结起来，高等数学中的极限理论是数学分析的重要内容，它不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的应用价值。
高中微积分第二讲(函数的极限)
高中 微积分第二讲（函数的极限）定义：设函数在点的某一区邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x 满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：那么常数A 就叫做函数当时的极限，记作：左图解释：对于x 的数值，x 属于c 的邻域（或者去心邻域）内，函数值区域一个定值L 。
我们就叫L x =→)(f lim cx函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果)(f lim 0x x x →存在，那么这极限唯一。
定理2（函数极限的局部有界性）如果)(f lim 0x x x →=A ，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ时，有|f(x)|≤M 。
定理3（函数极限的局部保号性）如果)(f lim 0x x x →=A ，且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0,使得0<|x-x 0|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0).定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限)(f lim 0x x x →存在，{x n }为函数f （x ）的定义域内任一收敛域x 0的数列，且满足：x n ≠x 0（n ∈N +），那么相应的函数值数列{f(x n )}比收敛，且）（x f lim )(f lim 0x x n n →∞→=x函数极限的求法： 一、利用函数连续性：（即直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）练习：求下列极限的值：1、）（1-x 3lim 3x →2、）（3x 2lim 4x +→3、6x 23x lim 5x -+→二、恒等变形 当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决： ①因式分解，通过约分使分母不会为零例如：2-x 4-lim x 22x →三、采用洛必达法则求极限洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。
高等数学 第4章 一元函数积分学及其应用
x
10
水平渐近线: 若 lim f x c，则直线y c是y f x 的图形 x x x
的水平渐近线。
y
y
1
y ex
y thx
O
O
x
-1
x
x ，y 0.
x ，y 1; x ，y 1.
y 0是y e x的水平渐近线。 y 1是y thx的水平渐近线。
11
5.当x 时, f x A与两个单边极限的关系：
成立, 则称x x0时, f x有右极限A.记作:
f
x0
0
lim
xx0 0
f
x
A.
极限存在的充要条件(38
题)
定理3：
lim
x x0
f x
A
f x0
0
f x0
0
A
注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。
8
4. x 时函数 f (x) 的极限
自变量的绝对值x 无限增大x 时, 函数值f x无限接近 于确定的数值A f x A, 则A就叫做函数f x当x 时的
存在点x0的某一去心邻域,在该邻域内f x 0,
这与f x 0的假设矛盾. 故A 0.
问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？
6
3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件 左、右极限：
x x0意味着点x从x0的左右两侧都无限趋近于x0 .
如果只考虑点x从x0的左侧无限趋近于x0 ,记作x x0 0.
注3: 正数与x无关，仅依赖于，但不是唯一的,
比小的任何正数都可以。
3
几何解释： lim f x A x x0
y
A
A
。
函数的极限百科
好的，让我来为你介绍一下函数的极限。
在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的值。
这个确定的值就叫做函数在该点的极限。
如果函数在该点没有定义，那么函数在该点的极限可能存在也可能不存在。
函数的极限可以分为左极限和右极限。
左极限是指当自变量从左侧趋近于该点时，函数值趋近于一个确定的值；右极限是指当自变量从右侧趋近于该点时，函数值趋近于一个确定的值。
如果左极限和右极限都存在且相等，那么函数在该点的极限就存在。
函数的极限有很多性质，例如极限的唯一性、保号性、有界性等。
极限的唯一性是指如果函数在某个点的极限存在，那么它是唯一的；保号性是指如果函数在某个点的极限大于0，那么在该点的某个邻域内，函数的值也大于0；有界性是指如果函数在某个点的极限存在，那么在该点的某个邻域内，函数的值是有界的。
函数的极限是微积分的基础，它在数学中有着广泛的应用。
你是在学习数学知识吗？。
考研高数讲解新高等数学上册辅导讲解——第一章上课资料
第一章函数与极限第一节映射与函数一、集合常用数集：自然数集：整数集：有理数集：实数集：开区间：闭区间：半开区间：；；；；邻域：去心邻域：二、函数定义：都有唯一与之对应，记为。
三、函数的性质讨论函数：，讨论区间：1、有界性有界：若，使得，称在区间上有界无界：对，总，使得，则称在区间上无界上界、下界：若，使得，，称在区间上有上界；若，使得，，称在区间上有下界定理：若在区间上有界在区间上有上界也有下界。
2、单调性严格单调增（减）：若，且，恒有广义单调增（减）：若，恒有，3、奇偶性偶函数：奇函数：常见的奇函数：等常见的偶函数：等4、周期性周期函数：，对，有，且，则称为周期为的周期函数。
常见的周期函数：等【例1】（87二）是（）（A）有界函数. （B）单调函数. （C）周期函数. （D）偶函数.四、复合函数与反函数1、复合函数设的定义域为，的定义域为，值域为，且，在定义域上有复合函数。
【例2】（88一二）已知，且，求并写出它的定义域.2、反函数将函数称为直接函数，函数称为反函数。
与的图形关于直线对称。
五、初等函数第二节数列和函数的极限一、数列极限的定义数列：，，称为整标函数。
其函数值：叫做数列（序列）。
数列的每一个数称为项，第项称为数列的一般项。
简记数列为数列极限：已给数列和常数，如果对于，都，使得对于，不等式恒成立，则称当时，以为极限，或收敛于，记为或。
反之，若无极限，说发散。
二、函数极限的定义（1）：设函数在内有定义，为一常数，若对于，都，使有，则称当时，以为极限，记为或。
单侧极限：左极限：。
右极限：定理：（2）：设函数在充分大时有定义，为一常数，若对于，都，使都有，则称当时，以为极限，记为或。
单侧极限：；定理：【例1】设（为常数），求的值，使得存在。
三、极限的性质性质1 （极限的唯一性）数列——若存在，则极限值是唯一的。
函数——若存在，则其极限值是唯一的。
性质2 （有界性）数列——如果收敛，则一定有界。
高数定理大解析必背
高等数学定理大解析-考研必捋版考研大纲要求范围+高数重点知识第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有fx≥K1则函数fx在定义域上有下界,K1为下界；如果有fx≤K2,则有上界,K2称为上界;函数fx在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界;2、函数的单调性、奇偶性、周期性指最小正周期3、数列的极限定理极限的唯一性数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限;定理收敛数列的有界性如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界; 如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,-1n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件;定理收敛数列与其子数列的关系如果数列{xn}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a;●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限,那么数列{xn}是发散的,如数列1,-1,1,-1,-1n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的;4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时fx有没有极限与fx在点x0有没有定义无关;定理极限的局部保号性如果limx→x0时fx=A,而且A>0或A<0,就存在着点那么x0的某一去心邻域,当x在该邻域内时就有fx>0或fx>0,反之也成立;●函数fx当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即fx0-0=fx0+0,若不相等则limfx不存在;●一般的说,如果limx→∞fx=c,则直线y=c是函数y=fx的图形水平渐近线;如果limx→x0fx=∞,则直线x=x0是函数y=fx图形的铅直渐近线;5、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1x≥F2x,而limF1x=a,limF2x=b,那么a≥b;6、极限存在准则●两个重要极限limx→0sinx/x=1；limx→∞1+1/xx=1;●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn 且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立;●单调有界数列必有极限;7、函数的连续性●设函数y=fx在点x0的某一邻域内有定义,如果函数fx当x→x0时的极限存在,且等于它在点x0处的函数值fx0,即limx→x0fx=fx0,那么就称函数fx在点x0处连续;●不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim x→x0fx不存在；3、虽在x=x0有定义且limx→x0fx存在,但limx →x0fx≠fx0时则称函数在x0处不连续或间断;●如果x0是函数fx的间断点,但左极限及右极限都存在,则称x0为函数fx的第一类间断点左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点;非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点无穷间断点和震荡间断点;●定理有限个在某点连续的函数的和、积、商分母不为0是个在该点连续的函数;●定理如果函数fx在区间Ix上单调增加或减少且连续,那么它的反函数x=fy在对应的区间Iy={y|y=fx,x∈Ix}上单调增加或减少且连续;反三角函数在他们的定义域内都是连续的;●定理最大值最小值定理在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值;如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值;●定理有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,即m ≤fx≤M;●定理零点定理设函数fx在闭区间a,b上连续,且fa与fb异号即f a×fb<0,那么在开区间a,b内至少有函数fx的一个零点,即至少有一点ξa<ξ<b使fξ=0;●定理介值定理设函数fx在闭区间a,b上连续,且在这区间的端点处取不同的值fa=A,fb=B,那么对于A与B之间的任一数C,在开区间a, b内至少有一点ξ使fξ=C,a<ξ<b;●推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值;第二章导数与微分1、导数存在的充分必要条件●函数fx在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限limh→-0fx0+h-fx0/h及右极限limh→+0fx0+h-fx0/h都存在且相等,即左导数f-′x0右导数f+′x0存在相等;2、函数fx在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数fx在点x0处连续≠>在该点可导;即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件;3、原函数可导则反函数也可导,且反函数的导数是原函数导数的倒数;4、函数fx在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数fx在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导;第三章中值定理与导数的应用1、定理罗尔定理如果函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,且在区间端点的函数值相等,即fa=fb,那么在开区间a,b内至少有一点ξa<ξ<b,使的函数fx在该点的导数等于零：f’ξ=0;2、定理拉格朗日中值定理如果函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,那么在开区间a,b内至少有一点ξa<ξ<b,使的等式f b-fa=f’ξb-a成立即f’ξ=fb-fa/b-a;3、定理柯西中值定理如果函数fx及Fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,且F’x在a,b内的每一点处均不为零,那么在开区间a,b内至少有一点ξ,使的等式fb-fa/Fb-Fa=f’ξ/F’ξ成立;4、洛必达法则应用条件●只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式;5、函数单调性的判定法●设函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内可导,那么：1如果在a,b内f’x>0,那么函数fx在a,b上单调增加；2如果在a,b内f’x<0,那么函数fx在a,b上单调减少;●如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f’x=0的根及f’x不存在的点来划分函数fx的定义区间,就能保证f’x在各个部分区间内保持固定符号,因而函数fx在每个部分区间上单调;6、函数的极值●如果函数fx在区间a,b内有定义,x0是a,b内的一个点,如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,fx<fx0均成立,就称fx0是函数fx的一个极大值；如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,fx>fx0均成立,就称fx0是函数fx的一个极小值;●在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平曲线的地方,函数不一定取得极值,即可导函数的极值点必定是它的驻点导数为0的点,但函数的驻点却不一定是极值点;●定理函数取得极值的必要条件设函数fx在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0的导数为零,即f’x0=0;●定理函数取得极值的第一种充分条件设函数fx在x0一个邻域内可导,且f’x0=0,那么：1如果当x取x0左侧临近的值时,f’x恒为正；当x去x0右侧临近的值时,f’x恒为负,那么函数fx在x0处取得极大值；2如果当x取x0左侧临近的值时,f’x恒为负；当x去x0右侧临近的值时,f’x恒为正,那么函数fx在x0处取得极小值；3如果当x取x0左右两侧临近的值时,f’x恒为正或恒为负,那么函数fx在x0处没有极值;●定理函数取得极值的第二种充分条件设函数fx在x0处具有二阶导数且f’x0=0,f’’x0≠0那么：1当f’’x0<0时,函数fx在x0处取得极大值；2当f’’x0>0时,函数fx在x0处取得极小值；●驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点;7、函数的凹凸性及其判定设fx在区间Ix上连续,如果对任意两点x1,x2恒有fx1+x2/2<fx1+fx1/2,那么称fx在区间Ix上图形是凹的；如果恒有fx1+x2/2> fx1+fx1/2,那么称fx在区间Ix上图形是凸的;●定理设函数fx在闭区间a,b上连续,在开区间a,b内具有一阶和二阶导数,那么1若在a,b内f’’x>0,则fx在闭区间a,b上的图形是凹的；2若在a,b内f’’x<0,则fx在闭区间a,b上的图形是凸的;●判断曲线拐点凹凸分界点的步骤1求出f’’x；2令f’’x=0,解出这方程在区间a,b内的实根；3对于2中解出的每一个实根x0,检查f’’x在x0左右两侧邻近的符号,如果f’’x在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相反时,点x0,fx0是拐点,当两侧的符号相同时,点x0,fx0不是拐点;●在做函数图形的时候,如果函数有间断点或导数不存在的点,这些点也要作为分点;第四章不定积分1、原函数存在定理●定理如果函数fx在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F x,使对任一x∈I都有F’x=fx；简单的说连续函数一定有原函数;●分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次;如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积,就可设对数和反三角函数为u;2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它的原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数;第五章定积分1、定积分解决的典型问题1曲边梯形的面积2变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设fx在区间a,b上连续,则fx在区间a,b上可积,即连续=>可积;●定理设fx在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则fx在区间a, b上可积;3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间a,b上fx≥0则∫abfxdx≥0;●推论如果在区间a,b上fx≤gx则∫abfxdx≤∫abgxdx;●推论|∫abfxdx|≤∫ab|fx|dx;●性质设M及m分别是函数fx在区间a,b上的最大值和最小值,则mb-a≤∫abfxdx≤Mb-a,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围;●性质定积分中值定理如果函数fx在区间a,b上连续,则在积分区间a,b上至少存在一个点ξ,使下式成立：∫abfxdx=fξb-a;4、关于广义积分设函数fx在区间a,b上除点ca<c<b外连续,而在点c的邻域内无界,如果两个广义积分∫acfxdx与∫cbfxdx都收敛,则定义∫abfxdx= ∫acfxdx+∫cbfxdx,否则只要其中一个发散就称广义积分∫abfxdx 发散;第六章定积分的应用1、求平面图形的面积曲线围成的面积●直角坐标系下含参数与不含参数●极坐标系下r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ扇形面积公式S=R2θ/2●旋转体体积由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成且体积V=∫abπfx2dx,其中fx指曲线的方程●平行截面面积为已知的立体体积V=∫abAxdx,其中Ax为截面面积●功、水压力、引力●函数的平均值平均值y=1/b-a∫abfxdx第七章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在的条件极限存在是指Px,y以任何方式趋于P0x0,y0时,函数都无限接近于A,如果Px,y以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0x0, y0时,即使函数无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数极限存在;反过来,如果当Px,y以不同方式趋于P0x0,y0时,函数趋于不同的值,那么就可以断定这函数的极限不存在;例如函数：fx,y={0xy/x^2+y^2x^2+y^2≠02、多元函数的连续性●定义设函数fx,y在开区域或闭区域D内有定义,P0x0,y0是D的内点或边界点且P0∈D,如果limx→x0,y→y0fx,y=fx0,y0则称fx,y在点P0x0,y0连续;●性质最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D 上一定有最大值和最小值;●性质介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次;3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续;这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时,函数值fP趋于fP0,但不能保证点P按任何方式趋于P0时,函数值fP都趋于fP0;4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件,但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件,即可微=>可偏导;5、多元函数可微的充分条件定理充分条件如果函数z=fx,y的偏导数存在且在点x,y连续,则函数在该点可微分;6多元函数极值存在的必要、充分条件定理必要条件设函数z=fx,y在点x0,y0具有偏导数,且在点x0,y0处有极值,则它在该点的偏导数必为零;定理充分条件设函数z=fx,y在点x0,y0的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fxx0,y0=0,fyx0,y0=0,令fxxx0,y0=0=A,fxyx0, y0=B,fyyx0,y0=C,则fx,y在点x0,y0处是否取得极值的条件如下：1AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值；2AC-B2<0时没有极值；3AC-B2=0时可能有也可能没有;7、多元函数极值存在的解法1解方程组fxx,y=0,fyx,y=0求的一切实数解,即可求得一切驻点; 2对于每一个驻点x0,y0,求出二阶偏导数的值A、B、C;3定出AC-B2的符号,按充分条件进行判定fx0,y0是否是极大值、极小值;注意：在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑在内;第八章二重积分1、二重积分的一些应用●曲顶柱体的体积●曲面的面积A=∫∫√1+f2xx,y+f2yx,ydσ●平面薄片的质量●平面薄片的重心坐标x=1/A∫∫xdσ,y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积;●平面薄片的转动惯量Ix=∫∫y2ρx,ydσ,Iy=∫∫x2ρx,ydσ;其中ρx,y为在点x,y处的密度;●平面薄片对质点的引力FxFyFz2、二重积分存在的条件当fx,y在闭区域D上连续时,极限存在,故函数fx,y在D上的二重积分必定存在;3、二重积分的一些重要性质●性质如果在D上,fx,y≤ψx,y,则有不等式∫∫fx,ydxdy≤∫∫ψx,ydxdy,特殊地由于-|fx,y|≤fx,y≤|fx,y|又有不等式|∫∫fx,ydxdy|≤∫∫|fx,y|dxdy;●性质设M,m分别是fx,y在闭区域D上的最大值和最小值,σ是D的面积,则有mσ≤∫∫fx,ydσ≤Mσ;●性质二重积分的中值定理设函数fx,y在闭区域D上连续,σ是D的面积,则在D上至少存在一点ξ,η使得下式成立：∫∫fx,ydσ=fξ,ησ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换●把二重积分从直角坐标系换为极坐标系,只要把被积函数中的x,y 分别换成ycosθ、rsinθ,并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ;。
极限函数的定义
极限函数的定义
函数极限的定义是某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”，其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。
函数极限性质的合理运用。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
高数定理定义归纳
2012年考研数学高数定理定义归纳第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f（x）≥K1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界；如果有f（x）≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f（x）在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理（极限的唯一性）数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中00（或A0（或f（x）>0），反之也成立。
函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f （x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。
一般的说，如果lim（x→∞）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f（x）的图形水平渐近线。
如果lim（x→x0）f（x）=∞，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1（x）≥F2（x），而limF1（x）=a，limF2（x）=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim（x →0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
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一 函数极限的性质
1.唯一性
❖定理3.2 如果当xx0时f(x)的极限存, 那么这极限是唯一的
证明 设A, B都是f当x x0时的极限，
则"e > 0, $d > 0,当0 < x - x < d 时有 f (x) - A < e , (1)
1
0
1
$d 2
> 0,当0 <
x- x0
商的情形还须加上分母的极限不为0 ⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商 ⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
对于r < 0的情形类似可证. •推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0), 而且
f(x)A(xx0), 那么A0(或A0)
4 保不等式 ❖定理3.5(函数极限的保不等式性)
如果x x 时f (x), g(x)极限都存在且在U o (x ;d ')内有f (x) g(x),
0
则存在d ＞0,使得对一切 xUx0;d有
fx＞ A-e=r,这就证得结论.对于A ＜0的情形可
类似地证明. 推论 若 x l ix 0m f(x )=A ,且 $ d>0 ,当 x U 0(x 0,d )时 , f(x )0 (或 f(x )0 )则 ,A 0 (或 A 0 ).
3. 局部保号性 ❖定理3.4(函数极限的局部保号性)
2.局部有界性
定理 3.3 若在某个过程下, f ( x)有极限,则存
在过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x)有界.
若极限 lim f (x) 存在， 则函数 xx0
高数定理-高等数学-大
第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列的极限定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。
●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。
●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y= f(x)的图形水平渐近线。
如果lim（x→x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。
3-1函数极限
数学分析数学与信息科学学院罗仕乐第三章函数极限§1 函数极限概念§2 函数极限的性质§3 函数极限存在的条件§4 两个重要极限§5 无穷小量与无穷大量阶的比较3.1 函数极限关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x 的绝对值无限增大时，f (x )的变化趋势，的极限时即)(,x f x ∞→二、当自变量x 无限地接近于x 0时，f (x )的变化趋势的极限时即)(,0x f x x →.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势当观察函数∞→x xx 一、自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数)(x f y =在∞→x 的过程中, 对应函数值)(x f 无限趋近于确定值A .;)()(任意小表示A x f A x f -ε<-.的过程表示∞→>x X x .0sin )(,无限接近于无限增大时当xx x f x =通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义1 如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式x X >的一切 x ,所对应的函数值)(x f 都满足不等式ε<-A x f )(,那么常数A 就叫函数)(x f 当∞→x 时的极限,记作 )()()(lim ∞→→=∞→x A x f A x f x 当或 定义""X -ε.)(,,0,0ε<->>∃>ε∀A x f X x X 恒有时使当⇔=∞→A x f x )(lim 1、定义：:.10情形+∞→x .)(,,0,0εε<->>∃>∀A x f X x X 恒有时使当:.20情形-∞→x A x f x =-∞→)(lim .)(,,0,0εε<--<>∃>∀A x f X x X 恒有时使当A x f x =+∞→)(lim 2、另两种情形:⇔=∞→A x f x )(lim :定理.)(lim )(lim A x f A x f x x ==-∞→+∞→且xx y sin =3、几何解释:ε-εX -X.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当ε==>-<A y x f y X x X x A数学分析第3.1节xxy sin =例1.0sin lim =∞→xx x 证明证xx x x sin 0sin =-Θx 1<X 1<,ε=,0>ε∀,1ε=X 取时恒有则当X x >,0sin ε<-x x .0sin lim =∞→xx x 故分析:例6. 证明01lim =∞→xx . 例2证明||1|01||)(|x x A x f =-=-<ε , 所以01lim =∞→xx . ||1|01||)(|x x A x f =-=-. ⇔∀ε>0,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε.∞→x lim f (x )=A . ∀ε >0, 要使|f (x )-A |<ε , 只要ε1||>x . 因为∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有 ∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有 ∀ε >0, ∃01>=εX , 当|x |>X 时, 有例3 证明21121lim =-+∞→x x x 证|12|12321121-⋅=--+x x x ∞→x Θ故不妨设|x |＞1，而当|x |＞1时||1||2|12|x x x >-≥-|12|12321121-⋅=--+x x x ||3||123x x <<0>∀εε<--+21121x x 要使同时成立和只须ε3||1||>>x x}3,1max{ε=X 令时，便有则当X x >|||12|12321121-⋅=--+x x x ε<<||3x 21121lim =-+∞→x x n .)(,)(lim :的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义x f y c y c x f x ===∞→数学分析第3.1节二、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子的变化趋势函数时考察1)1(2)(,12--=→x x x f x 这个函数虽在x =1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f (x )的值无限地接近于4，我们称常数4为f (x )当x→1 时f (x )的极限。
函数极限有界
函数极限有界
函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个值。
极限的存在与
否与函数的定义域、值域、连续性等有关。
如果一个函数在某个点的左右极限相等，且与
该点的函数值相等，那么这个函数在该点处连续。
函数极限有界的研究方法有多种，其中一种是利用函数的单调性。
如果一个函数在某
个点的左右两侧同为单调递增或单调递减，那么该函数在该点处的极限存在且有界。
这是
由极限的单调性定理所保证的。
也就是说，如果一个函数在某个点的左右两侧单调性一致，那么该函数在该点处的极限存在，且左侧最大值和右侧最小值之间形成的区间即为该函数
在该点处的界。
综上所述，函数极限有界是研究函数连续性的一个重要概念。
对于很多函数，可以通
过分析其极限是否有界来判断其连续性，以及验证其存在与否。
函数极限有界的研究方法
有多种，其中常用的方法是利用函数的单调性和中值定理。
函数极限有界还有一个重要的
应用，即用于证明函数的不存在性。
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第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ9讲 函数极限的 唯一性与局部有界性
六种类型的函数极限： (1) f(x)；(2) f(x)；(3) (4) f(x)；(5) f(x)；(6)
f(x)； f(x).
1、(唯一性)若 f(x)存在，则此极限唯一.
证：设A，B都是f当x→x0时的极限，则 ∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使 当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε/2； 当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)-B|<ε/2 ； 取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时， |A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε,
(2)令t=1/x，则
设a>0，证明：(1) ax=1；(2)
=1 .
证：(2)∀ε>0，不妨设ε<1，
要使|a1/x-1|<ε，即1-ε<a1/x<1+ε，
当a>1时，必须有loga(1-ε)<1/x<loga(1+ε). 当0<a<1时，必须有loga(1+ε)<1/x<loga(1-ε). 只要令M=max{1/|loga(1+ε)|,1/|loga(1-ε)|}，
则当|x|>M时，就有|a1/x-1|<ε，
2、(局部有界性)若 f(x)存在，则 f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 若 f(x)存在，则f在某U⁰-(x0) 内有界； 若 f(x)存在，则f在某U⁰+(x0)内有界； 若 f(x)存在，则f在(M, +∞)内有界；(M>0)
若 f(x)存在，则f在(-∞, -M)内有界；
若 f(x)存在，则f在(-∞, -M)∪(M, +∞)内有界.
设a>0，证明：(1) ax=1；(2)
=1 .
证：(1)∀ε>0，不妨设ε<1，
要使|ax-1|<ε，即1-ε<ax<1+ε，
当a>1时，必须有loga(1-ε)<x<loga(1+ε). 当0<a<1时，必须有loga(1+ε)<x<loga(1-ε). 只要令δ=min{|loga(1+ε)|,|loga(1-ε)|}， 则当0<|x|<δ时，就有|ax-1|<ε，
由ε的任意性，可知A=B. 得证！ 类似地，可证其它类型的极限也具有唯一性.
2、(局部有界性)若 f(x)存在，则 f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 证：设 f(x)=A，取ε0=1，则存在正数δ，使得 对一切x∈U⁰(x0;δ)有|f(x)-A|<1， ∴|f(x)|<|A|+1. 得证！