中考数学压轴题专项汇编专题角含半角模型
2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题5 半角模型 课件
∴△AMN≌△AEN(SAS),∴∠AED=∠AMN, ∴∠AMB=∠AMN,∴MA平分∠BMH. ∵AB⊥BM,AH⊥MN,∴AB=AH. ∵AM=AM, ∴Rt△ABM≌Rt△AHM(HL),∴BM=MH=2, 同理可得NH=ND=3, 设BC=AB=x,则CM=x-2,CN=x-3, 在Rt△MCN中,由勾股定理得,(x-2)2+(x-3)2=52, 解得x1=6,x2=-1(舍去),∴AH=AB=6.
E
第1题图
2. 如图,在等边△ABC中,点P,Q分别在边AB,AC上,D为△ABC外
一点,且∠PDQ=60°,∠BDC=120°,BD=DC.
(1)如图①,若DP=DQ,请直接写出BP,QC,PQ之间的数量关系;
【解法提示】∵DP=DQ,∠PDQ=60°,∴△PDQ是等边三角形,
∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠BAD+∠CAE=30°,∴∠CAF+∠CAE=30°,
第3题解图
即∠EAF=30°,∴∠EAF=∠EAD.
在△DAE和△FAE中,
AD AF EAD EAF , AE AE
∴△DAE≌△FAE(SAS),∴ED=EF.
第3题解图
∵∠ACB=∠ACF=60°,∴∠FCG=180°-∠ACB-∠ACF=60°.
则∠ABG=∠D=90°,
∠GAB=∠FAD,AG=AF,BG=DF.
G
∵∠ABE=90°,AB=AD,
∴∠ABE+∠ABG=180°,∴E,B,G三点共线.
第3题图①
∵∠BAD=60°,∠EAF=30°,
∴∠GAB+∠BAE=∠GAE=30°,
∴∠GAE=∠FAE.
在△EAG和△EAF中,
2025年中考数学总复习第二部分重难专题突破专题5“倍半角”模型解决旋转变换问题
∠BAD=∠EAF.∴ ∠EAG=∠EAF.又∵ AE=AE,∴
△AEG≌△AEF.∴ EG=EF.∵ EG=BE+BG,∴ EF
=BE+DF.
(3) 如图③,在四边形ABCD中,AD=AB,∠ABC与∠D互补,点E,
1
F分别在射线CB,DC上,且∠EAF= ∠BAD.当BC=4,CD=7,CF=1
的半角模型是90°含45°,120°含60°.
(1) 如图①,在正方形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,且
∠EDF=45°,探究线段EF,AE,FC之间的数量关系.
小明的探究思路如下:如图①,延长BC到点M,使CM=AE,连接
DM,先证明△ADE≌△CDM,再证明△DEF≌△DMF.小亮发现
2
时,△CEF的周长为 13 .
解:(3)解析:如图②,在DF上截取DM=BE,连接AM.
∵ ∠ABC与∠D互补,
∴ ∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°.
∴ ∠D=∠ABE.∵ AD=AB,∴ △ADM≌△ABE.
∴ AM=AE,∠DAM=∠BAE.
∵ ∠EAF=∠BAE+∠BAF=∠DAM+∠BAF= ∠BAD,
∵ ∠EAF= ∠BAD,∴ ∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF
=∠BAD-∠EAF=∠EAF.∴ ∠EAF=∠GAF.
=,
在△AEF和△AGF中,ቐ∠=∠,
=,
∴ △AEF≌△AGF.∴ EF=GF.
∵ GF=DG+DF=BE+DF,∴ EF=BE+DF.
解:(2) EF=BE+DF.如图①,延长EB到点G,使
BG=DF,连接AG.∵ ∠ABC+∠D=180°,∠ABG+
2024中考数学全国真题分类卷 模型五 半角模型 强化训练(含答案)
2024中考数学全国真题分类卷模型五半角模型强化训练类型一正方形含半角1.综合与实践数学实践活动,是一种非常有效的学习方式.通过活动可以激发我们的学习兴趣,提高动手动脑能力,拓展思维空间,丰富数学体验,让我们一起动手来折一折、转一转,体会活动带给我们的乐趣.折一折:将正方形纸片ABCD折叠,使边AB,AD都落在对角线AC上,展开得折痕AE,AF,连接EF,如图①.(1)∠EAF=________°,写出图中两个等腰三角形:________(不需要添加字母);转一转:将图①中的∠EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边BC,CD于点P,Q,连接PQ,如图②.(2)线段BP,PQ,DQ之间的数量关系为_______________________________________;(3)连接正方形对角线BD,若图②中的∠PAQ的边AP,AQ分别交对角线BD于点M,点N,如图③,求CQBM的值.第1题图2.如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,∠C=90°,M,N分别是边AC,BC 上的点,以CM,CN为邻边作矩形PMCN,交AB于E,F.设CM=a,CN=b,若ab=8.(1)判断由线段AE,EF,BF组成的三角形的形状,并说明理由;(2)①当a=b时,求∠ECF的度数;②当a≠b时,①中的结论是否成立?并说明理由.3.如图①,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,M,N分别是边BC,CD上的动点,∠MAN=60°,AM,AN分别交BD于点E,F.(1)求证:CM+CN=BC;(2)如图②,过点E作EG∥AN交DC的延长线于点G,求证:EG=EA;(3)如图③,若AB=1,∠AED=45°,求EF的长.第3题图参考答案与解析1.解:(1)45,△AEF ,△EFC ,(从△AEF ,△EFC ,△ABC ,△ADC 中任选两个即可);【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =AD =BC =CD ,∠BAD =90°,∴△ABC ,△ADC 都是等腰三角形,∵∠BAE =∠CAE ,∠DAF =∠CAF ,∴∠EAF =12(∠BAC +∠DAC )=45°,∠BAE =∠DAF =22.5°,∵AB =AD ,∠B =∠D =90°,∴△BAE ≌△DAF (ASA),∴BE =DF ,AE =AF ,∵CB =CD ,∴CE =CF ,∴△AEF ,△CEF 都是等腰三角形.(2)PQ =BP +DQ ;【解法提示】如解图,延长CB 到点T ,使得BT =DQ ,连接AT .∵AD =AB ,∠ADQ =∠ABT =90°,DQ =BT ,∴△ADQ ≌△ABT (SAS),∴AT =AQ ,∠DAQ =∠BAT ,∵∠PAQ =45°,∴∠PAT =∠BAP +∠BAT =∠BAP +∠DAQ =45°,∴∠PAT =∠PAQ =45°,∵AP =AP ,∴△PAT ≌△PAQ (SAS),∴PQ =PT ,∵PT =PB +BT =PB +DQ ,∴PQ =BP +DQ .第1题解图(3)∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ABM =∠ACQ =∠BAC =45°,AC =2AB ,∵∠BAC =∠PAQ =45°,∴∠BAM =∠CAQ ,∴△CAQ ∽△BAM ,∴CQ BM =AC AB =2.2.解:(1)由线段AE ,EF ,BF 组成的三角形是直角三角形.理由如下:∵AC =BC ,∠C =90°,∴∠A =∠B =45°.∵四边形PMCN 是矩形,∴∠CME =∠CNF =∠P =90°,AC ∥PN ,BC ∥PM ,∴∠AME =∠BNF =90°,∠A =∠PFE =45°,∠PEF =∠B =45°,∴△AME ,△PEF ,△BNF 都是等腰直角三角形,∴AM 2=12AE 2,PE 2=12EF 2,BN 2=12BF 2,∴S △AME =12AM ·ME =12AM 2=14AE 2,S △BNF =12BN ·NF =12BN 2=14BF 2,S △PEF =12PE ·PF =12PE 2=14EF 2.∵CM =a ,CN =b ,ab =8,∴S 矩形PMCN =8.∵AC =BC =4,∴S △ABC =12AC ·BC =8,∴S 矩形PMCN =S △ABC ,∴S △AME +S △BNF =S △PEF ,∴14AE 2+14BF 2=14EF 2,即AE 2+BF 2=EF 2,∴由线段AE ,EF ,BF 组成的三角形是直角三角形;(2)①如解图①,过点C 作CG ⊥AB 于点G ,∵AC =BC ,∠ACB =90°,∴G 为AB 的中点,∴CG =AG =BG =12AB .第2题解图①在Rt △ABC 中,AC =BC =4,根据勾股定理得AB =AC 2+BC 2=42,∴CG =AG =BG =22.∵ab =8,a =b ,∴a =b =22,即CM =CN =CG ,在Rt △CME 和Rt △CGE =CE =CG,∴Rt △CME ≌Rt △CGE (HL),∴∠MCE =∠ECG .同理可证Rt △CNF ≌Rt △CGF ,∴∠NCF =∠GCF ,∴∠ECF =∠ECG +∠GCF =12(∠MCG +∠NCG )=12∠MCN =45°;②成立.理由如下:当a ≠b 时,如解图②,将△BCF 绕点C 逆时针旋转90°得到△ACH ,连接EH ,第2题解图②∴∠HCF =90°,由旋转的性质可得△BCF ≌△ACH ,∴∠HAC =∠B =45°,AH =BF ,CH =CF ,∴∠HAC +∠BAC =∠HAE =90°,∴在Rt △AEH 中,根据勾股定理,得AH 2+AE 2=EH 2,即BF 2+AE 2=EH 2,由(1)知AE 2+BF 2=EF 2,∴EH =EF ,在△CEH 和△CEF =CF=EF =CE,∴△CEH ≌△CEF (SSS),∴∠ECF =∠ECH =12∠HCF =45°.3.(1)证明:如解图①,连接AC ,∵四边形ABCD 是菱形,∠ABC =60°,∴AB =BC ,AB ∥CD ,∴△ABC 是等边三角形,∴∠ABM =∠BAC =∠ACN =60°,∵∠BAC=∠MAN=60°,∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN,∴∠BAM=∠CAN,在△BAM和△CAN中,BAM=∠CAN,=ACABM=∠ACN∴△BAM≌△CAN(ASA),∴BM=CN,∴CM+CN=CM+BM=BC;第3题解图①(2)证明:如解图①,连接EC.在△ABE和△CBE中,=BC,ABE=∠CBE=BE∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE,∠BAE=∠BCE,∵EG∥AN,∴∠G=∠AND,∵∠AND=∠CAN+∠ACN=∠CAN+60°,∠ECG=∠BCG+∠ECB=60°+∠ECB,∵∠ECB=∠BAE=∠CAN,∴∠ECG=∠AND=∠G,∴EC=EG,∵AE=EC,∴EG=EA;(3)解:如解图②,将△ABE 绕点A 逆时针旋转120°得到△ADQ ,连接FQ .第3题解图②∴AE =AQ ,∠BAE =∠DAQ ,∵∠MAN =60°,∴∠BAE +∠DAN =60°,∴∠DAQ +∠DAN =60°,即∠QAF =60°,∴∠EAF =∠QAF ,又∵AF =AF ,∴△AFE ≌△AFQ ,∴∠AQF =∠AEF =45°,∵∠AQD =∠AEB =135°,∴∠FQD =90°,∵∠QDF =∠ADQ +∠ADF =∠ABE +∠ADF =∠CDB +∠ADF =60°,设DQ =x ,则BE =x ,DF =2x ,EF =FQ =3x ,∵AB =AD =1,∠ABD =30°,∴BD =3,∵BE +EF +DF =BD ,即x +3x +2x =3,∴x =3-12,∴EF =3x =3-32.。
初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
正方形角含半角模型提升例1.如图,折叠正方形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合,得折痕DG,使AD=2,求AG.例2.如图,P为正方形ABCD内一点,PA二PB=10,并且P点到CD边的距离也等于10,求正方形ABCD的面积?例3.如图,E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点,AM丄EF,垂足为M,AM=AB,则有EF=BE+DF,为什么?例4.如图,在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点,使Z EAF=45°,AG丄EF于G.求证:AG二AB BE例5.⑴如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,Z AOF=90。
.求证:BE=CF.⑵如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,Z FOH=90°,EF=4.求GH的长.【双基训练】1.如图6,点A在线段BG上,四边形ABCD与DEFG都是正方形,其边长分别为3cm和5cm,则ACDE的面积为cm2.2.你可以依次剪6张正方形纸片,拼成如图7所示图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等,那么正方形⑤的面积为.3•如图9,已知正方形ABCD的面积为35平方厘米,E、F分别为边AB、BC上的点.AF、CE相交于G,并且A ABF 的面积为14平方厘米,A BCE的面积为5平方厘米,那么四边形BEGF的面积是.4.如图,A、B、C三点在同一条直线上,AB=2BC。
分别以AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN,连接FN,EC。
求证:FN=EC。
13 EG 丄CD 5.如图,ABCD 是正方形.G 是BC 上的一点,DE 丄AG 于E ,BF 丄AG 于F .(1) 求证:△ABF =△DAE ;(2) 求证:DE =EF +FB .【纵向应用】6.在正方形ABCD 中,Z1=Z2.求证:OF =2BE&如图13,点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点,EF 丄BC ,求证:AE 丄FG7.在正方形ABCD 中,Z 1=Z 2.AE 丄DF ,求证:OG=扣 D G F D C边,在AABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG,点P 是EF 半.9•已知:点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点,连接AF 和DE 相交于点G ,GH丄AD 于点H .(1) 求证:AF 丄DE ;(2) 如果AB =2,求GH 的长;(3) 求证:CG 二CD例1.已知:如图,P 是正方形ABCD 内点,ZPAD =Z PDA =15。
2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章 微专题 半角模型 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章微专题半角模型知识精练1.问题提出:如图①,已知在△ABC中,∠BAC=45°,过点A作AD⊥BC于点D,AD=10,BD=4,求CD的长;第1题图①问题探究:如图②,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,AD⊥BC,探究AD与BC 的数量关系.第1题图②2.如图①,四边形ABCD是菱形,AC为对角线,点E,F分别在边BC,CD上,连接AE,AF,EF,已知∠ADC=∠EAF=60°.(1)判断△AEF的形状,并说明理由;(2)如图②,对角线BD分别交AE,AC,AF于点G,O,H,若该菱形的边长为6,DH=3.①求AH的长;②求△AGH的面积.图①图②第2题图参考答案与解析1.解:问题提出:如解图①,将△ADB ,△ADC 分别沿AB ,AC 折叠,得到△AD ′B ,△AC ′C ,延长D ′B ,C ′C 交于点E .∵∠BAC =45°,即∠BAD +∠CAD =45°,∴∠D ′AB +∠C ′AC =45°,∴∠D ′AC ′=90°.∵AD ⊥BC ,∴∠D ′=∠C ′=∠D ′AC ′=90°.∵AD ′=AC ′=AD =10,∴四边形AD ′EC ′为正方形.设CD =x ,则CE =10-x ,BE =10-4=6.在Rt △BCE 中,由勾股定理,得BE 2+CE 2=BC 2,即62+(10-x )2=(4+x )2,解得x =307.∴CD 的长为307;第1题解图①问题探究:如解图②,将△ADB ,△ADC 分别沿AB ,AC 折叠,得到△AD ′B ,△AC ′C ,延长D ′B ,C ′C 交于点E .∵∠BAC =30°,即∠BAD +∠CAD =30°,∴∠D ′AB +∠C ′AC =30°,∴∠D ′AC ′=60°,∴∠D ′EC ′=360°-90°-90°-60°=120°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD′=∠ABC,∠ACB=∠ACC′,∴∠DBE=∠DCE,∴BE=CE.∵AB=AC,AD⊥BC,BE=CE,∴A,D,E三点共线.在Rt△AD′E中,AD′=AD,则AE=AD′cos30°=23AD3,则DE=AE-AD=23AD3-AD,在Rt△BDE中,BD=DE·tan∠BED=(2-3)AD,则BC=2BD=(4-23)AD,∴BC=(4-23)AD.第1题解图②2.解:(1)△AEF是等边三角形,理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=60°,∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠DAC=∠ACD=∠ADC=∠ACB=60°,∴△ADC为等边三角形,∠DAF+∠FAC=60°,∴AC=AD.∵∠EAF=60°,∴∠FAC+∠CAE=60°,∴∠DAF=∠CAE.在△ADF和△ACE中,ADF =∠ACE ,=AC ,DAF =∠CAE ,∴△ADF ≌△ACE (ASA),∴AE =AF .∵∠EAF =60°,∴△AEF 是等边三角形;(2)①∵四边形ABCD 是菱形,∠ADC =60°,∴∠ADB =12∠ADC =30°.∵AD =6,∴OA =3,OD =33,∴OH =OD -DH =33-3=23.在Rt △AOH 中,AH =OA 2+OH 2=21;②如解图,将△AHG 沿直线AG 折叠,得到△AIG ,连接IB ,过点I 作IJ ⊥BD 于点J .第2题解图由题意可知,∠HAI =2∠HAG =120°,AD =6,∠ADB =∠ABD =30°,∴BD =2OD =63.∵∠HAI -∠HAB =∠DAB -∠HAB ,∴∠BAI =∠DAH .∵AB =AD,AH =AI ,∴△ADH ≌△ABI (SAS),∴IB =DH =3,∠ABI =∠ADH =30°,∴∠JBI =∠ABI +∠ABD =60°,∴BJ =IB ·cos ∠JBI =32,IJ =IB ·sin ∠JBI =32,∴GJ =DB -DH -HG -BJ =63-3-HG -32=923-HG .∵△AIG 是由△AHG 折叠得到,∴HG =IG ,在Rt △GJI 中,由勾股定理,得IG 2=IJ 2+GJ 2,∴HG 2=IJ 2+GJ 2,即HG 2=(32)2+(932-HG )2,解得HG =733,∴S △AHG =12HG ·OA =12×733×3=732.。
2024年中考数学总复习第一部分考点精讲第四单元三角形微专题半角模型
K
例1题图③
微专题 半角模型
∴△AHK≌△AHG(SAS),
∴HK=HG,
K
∵△ABD为等腰5°, ∴∠HDK=90°,
例1题图③
在Rt△HDK中,由勾股定理得HK2=DK2+HD2,
∴GH2=BG2+HD2.
微专题 半角模型
【方法二】翻折法 【方法二】证明:如图,将△ABG和△ADH分别沿AG和AH 翻折, ∵∠BAG+∠DAH=90°-∠GAH=45°, AB=AD, ∴AB,AD翻折后重合在AM上, ∴MG=BG,MH=DH,
∴G,B,C 三点共线,
∵∠BAD=120°,∠EAF=60°,
∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAG
=120°-∠EAF=60°,
∴∠GAE=∠EAF,
G
例2题图
微专题 半角模型
在△AGE和△AFE中,
AG AF GAE FAE , AE AE
∴△AGE≌△AFE(SAS), ∴EF=GE=BE+BG=BE+DF.
G
例1题图②
微专题 半角模型
在△ANM和△AGM中,
AN AG MAN MAG , AM AM
∴△ANM≌△AGM(SAS),
∴MN=MG,
∵MG=BM+BG=BM+DN,
∴MN=MG=BM+DN;
G
例1题图②
微专题 半角模型
半角模型
半角模型.gsp
微专题 半角模型
半角模型
半角模型.gsp
M 例1题图③
微专题 半角模型
∵∠B=∠D=45°, ∴∠AMG=∠AMH=45°, ∴∠GMH=90°, ∴GM2+MH2=GH2, ∴GH2=BG2+HD2.
M 例1题图③
中考数学几何专题——半角模型(几何压轴)
半角模型1、角含半角模型条件:(1)正方形ABCD (2)结论:(1)EF=DF+BE(2)D CEF周长为正方形ABCD周长的一半也可以这样:条件:(1)正方形ABCD (2)EF=DF+BE结论:条件:(1)正方形ABCD (2)结论:(1)EF=DF-BE条件:(1)结论:D AHE为等腰直角三角形证明:连接AC\ÐDAH=ÐCAE\D ADH相似于D ACE\DAAH=ACAE\D AHE相似于D ADC条件:(1)等腰直角D ABC(2)结论:BD2+CE2=DE2若ÐDAE旋转到D ABC外部时结论:BD2+CE2=DE2经典例题1.如图,正方形ABCD中,E、F分别在BC、DC上,且∠EAF=45°.求证:BE+DF=EF.2.如图,在正方形ABCD中,E和F分别是BC和CD上的点,AG⊥EF,∠EAF=45°,求证:AG=AD.3、已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:;(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)4、如图①△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N,连接MN.(1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由.(2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长.(3)若点M、N分别是AB、CA延长线上的点,其它条件不变,在图②中画出图形,并说出BM、MN、NC之间的关系.5.(2014秋•安阳校级期中)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D和点E均在边BC 上,且∠DAE=45°,试猜想BD.DE.EC应满足的数量关系,并写出推理过程.6.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E在直线BC上,∠DAE=45°,(1)写出图中的相似三角形;(2)求证:BE•CD=2S△ABC,并探究BD、DE、CE之间的数量关系,给以证明.7.已知在△ABC中,AB=AC,点D、E在边BC上,将△ABD绕着点A旋转,得到△ACD′,接连D′E交AC于点O.(1)如图1,当△BAC=120°,△DAE=60°时,求证:DE=D′E;(2)如图2,当△DAE=45°,△BAC=90°,BD=DE时,在不舔加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的所有的全等三角形.8.(2014秋•通山县期中)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E是BC 边上的任意两点,且∠DAE=45°.(1)将△ABD绕点A逆时针旋转90°,得到△ACF,请在图(1)中画出△ACF.(2)在(1)中,连接EF,探究线段BD,EC和DE之间有怎样的数量关系?写出猜想,并说明理由.(3)如图2,M、N分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点,且BM+DN=MN,试求△MAN 的大小.9.△ABC的边BC在直线l上,点D,E是直线l上的两点,且BA=BD,CA=CE(1)如图1,若AB=AC,△BAC=90°,求△CAE的度数;(2)如图2,若△BAC=90°,求△CAE的度数;(3)如图3,设△BAC=α,△DAE=β,请直接写出α与β的关系式.10.(2011秋•朝阳区期末)已知,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=,点D、E在BC边上(均不与点B、C重合,点D始终在点E左侧),且∠DAE=45°.(1)请在图△中找出两对相似但不全等的三角形,写在横线上,;(2)设BE=m,CD=n,求m与n的函数关系式,并写出自变量n的取值范围;(3)如图△,当BE=CD时,求DE的长;(4)求证:无论BE与CD是否相等,都有DE2=BD2+CE2.11.(2014•平谷区一模)(1)如图1,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点,∠EAF=45°,连接EF,则EF、BE、FD之间的数量关系是:EF=BE+FD.连结BD,交AE、AF于点M、N,且MN、BM、DN满足MN2=BM2+DN2,请证明这个等量关系;(2)在△ABC中,AB=AC,点D、E分别为BC边上的两点.△如图2,当△BAC=60°,△DAE=30°时,BD、DE、EC应满足的等量关系是;△如图3,当△BAC=α,(0°<α<90°),△DAE=时,BD、DE、EC应满足的等量关系是.[参考:sin2α+cos2α=1]12.(2015•海宁市模拟)(1)探究:如图1和2,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°.△如图1,若△B、△ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,则能证得EF=BE+DF,请写出推理过程;△如图2,若△B、△D都不是直角,则当△B与△D满足数量关系时,仍有EF=BE+DF;(2)拓展:如图3,在△ABC中,△BAC=90°,AB=AC=2,点D、E均在边BC上,且△DAE=45°.若BD=1,求DE的长.13.(2015•滑县一模)(1)问题发现如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,△EAF=45°,连接EF、则EF=BE+DF,试说明理由;(2)类比引申如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,△BAD=90°,点E、F分别在边BC、CD上,△EAF=45°,若△B,△D都不是直角,则当△B与△D满足等量关系时,仍有EF=BE+DF;(3)联想拓展如图3,在△ABC中,△BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且△DAE=45°,猜想BD、DE、EC满足的等量关系,并写出推理过程.14.(2014•山西校级模拟)已知△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,将△ABD绕点A旋转,得到△ACD′,连结D′E.(1)如图1,当△BAC=120°,△DAE=60°时,求证:DE=D′E;(2)如图2,当DE=D′E时,△DAE与△BAC有怎样的数量关系?请写出,并说明理由.(3)如图3,在(2)的结论下,当△BAC=90°,BD与DE满足怎样的数量关系时,△D′EC 是等腰直角三角形?(直接写出结论,不必说明理由)。
中考数学复习满分突破(全国通用):专题12 半角模型(原卷版)
专题12半角模型半角模型的概述:当一个角包含着该角的半角,如90°角包含着45°角,120°角包含着60°角,270°角倍角关系,且这两个角共顶点,共顶点的两条边相等,则该模型为半角模型。
解包含着135°角,即出现12题方法为:1)过公共点作旋转,2)截长补短的方法构造全等解题。
基本模型:1)90°的半角模型(常考)已知正方形ABCD中,E,F分别是BC、CD上的点,∠EAF=45°,AE、AF分别与BD相交于点O、P,则:①EF=BE+DF②AE平分∠BEF,AF平分∠DFE③C∆CEF=2倍正方形边长④S∆ABE+S∆ADF=S∆AEF⑤AB=AG=AD(过点A作AG⊥EF,垂足为点G)⑥OP2=OB2+OD2⑦若点E为BC中点,则点F为CD三等分点⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S∆AEF=2S∆APO(13)AB2=BP×OD(14)CE•CF=2BE•DF(15)∆EPC为等腰三角形(16)PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD,垂足为点X)证明:①思路:延长CD到点M,使DM=BE,连接AM先根据已知条件∆ABE≌∆ADM(SAS),由此可得AE=AM,∠BAE=∠DAM而∠BAE+∠FAD=45°,所以∠DAM+∠FAD=45°,可证明∆AEF≌∆AMF (SAS),由此可得EF=MF,而MF=DM+DF=BE+DF,因此EF=BE+DF②思路:∵∆AEF≌∆AMF(SAS)∴∠AFM=∠AFE,∠AMF=∠AEF∴AF平分∠DFE又∵∠AMF=∠AEB∴∠AEB=∠AEF∴AE平分∠BEF③思路:C∆CEF=EF+EC+FC=(BE+DF)+EC+FC=(BE+EC)+(DF+FC)=BC+DC=2BC④、⑤思路:过点A作AG⊥EF,垂足为点G根据②证明过程可知AFG=∠AFD,∠AEB=∠AEG因此可以证明:∆ABE≌∆AGE(AAS),∆AGF≌∆ADF(AAS)所以AB=AG=AD,S∆ABE=S∆AGE,S∆AGF=S∆ADF则S∆AEF=S∆AGE+S∆AGF=S∆ABE+S∆ADF⑥思路:绕点A将∆APD逆时针旋转90°得到∆ANB,使AD,AB重合因为∆APD≌∆ANB(AAS)所以AN=AP,BN=DP,∠NAB=∠PAD,∠ADP=∠ABN因为∠ADB=∠ABD=45°,所以∠NBO=90°因为∠BAE+∠PAD=45°所以∠NAB+∠BAE=45°则∆ANO≌∆APO(SAS)所以NO=OP在Rt∆NBO中,由勾股定理可知:ON2=OB2+NB2,则OP2=OB2+OD2⑦思路:已知tan∠EAB=BEAB =12,且∠EAB+∠FAD=45°∴tan∠FAD=13(“12345型”),∴DF:AD=1:3,即点F为CD的三等分点。
最新中考数学压轴题破解策略专题15《角含半角模型》
专题15《角含半角模型》破题策略1.等腰直角三角形角含半角如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D,E在BC上且∠DAE=45°(1)△BAE∽△ADE∽△CDA(2)BD2+CE2=DE2.B C证明(1)易得∠ADC=∠B+∠BAD=∠EAB,所以△BAE∽△ADE∽△CD A.(2)方法一(旋转法):如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,连结EF.B C则∠EAF=∠EAD=45°,AF=AD,所以△ADE∽△FAE (SAS).所以DE=EF.而CF=BD,∠FCE=∠FCA+∠ACE=90°,所以BD2+CE2=CF2+CE2=EF2=DE2.方法二(翻折法):如图2,作点B 关于AD 的对称点F,连结AF,DF,EF.B C因为∠BAD+∠EAC=∠DAF+∠EAF,又因为∠BAD=∠DAF,则∠FAE=∠CAE,AF=AB=AC,所以△FAE∽△CAE(SAS).所以EF=E C.而DF=BD,∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°,所以BD2+EC2=FD2+EF2=DE2.【拓展】①如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D在BC 上,点E在BC的延长线上,且∠DAE=45°,则BD2+CE2=DE2.可以通过旋转、翻折的方法来证明,如图:②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形:如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,且∠DAE=12∠BAC,则以BD,DE,EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°-∠BA C.B可以通过旋转、翻折的方法将BD,DE,EC转移到一个三角形中,如图:BB 2.正方形角含半角如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,连结EF,则:图1BCE图2F B图3F EBC(1)EF =BE +DF;(2)如图2,过点A 作AG ⊥EF 于点G ,则AG =AD ;(3)如图3,连结BD 交AE 于点H ,连结FH . 则FH ⊥AE .(1)如图4,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADI 证明.图4E则∠IAF =∠EAF =45°,AI =AE , 所以△AEF ∽△AIF (SAS ),所以EF =IF =DI +DF =BE +DF .(2)因为△AEF ∽△AIF ,AG ⊥EF ,AD ⊥IF , 所以AG =A D .(3)由∠HAF =∠HDF =45°可得A ,D ,F ,H 四点共圆, 从而∠AHF =180°-∠ADF =90°, 即FH ⊥AE .【拓展】①如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CB ,DC 的延长线上,∠EAF =45°,连结EF ,则EF =DF -BE .F可以通过旋转的方法来证明.如图:②如图,在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD+∠C=180 °,点E,F分别在BC、CD上,∠EAF=12∠BAD,连结EF,则EF=BE+DF.C可以通过旋转的方法来证明.如图:FC G例题讲解例1 如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°.(1)试判断BE、EF、FD之间的数量关系.(2)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD.∠B+∠D=180°,点E、F分别在BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD满足关系时,仍有EF=BE+FD.(3)如图3.在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD.已知AB=AD=80m,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,道路BC,CD上分别有景点E,F,且AE⊥AD.DF=401)m.现要在E、F之间修一条笔直的道路,求这条道路EF 1.41 1.73)图1FABE图2D 图3EB解: (1)由“正方形内含半角模型”可得EF =BE +FD . (2)∠BAD =2∠EAF ,理由如下:如图4,延长CD 至点G ,使得DG =BE .连结AG. 易证△ABE ≌△ADG (SAS ). 所以AE =AG ,即EF =BE +DF =DG +DF =GF .从而证得△AEF ≌△AGF ( SSS ).所以∠EAF =∠GAF =12∠EAG =12∠BAD . 图4图5CBE(3)如图5,将△ABE 绕点A 逆时针旋转1 50°至△ADG .连结AF .由题意可得∠BAE =60°所以△ABE 和△ADG 均为等腰直角三角形. 过点A 作 AH ⊥DG于点H .则DH =12AD =40m,AH =2AD = m.而DF =401)m. 所以∠EAF =∠GAF =45°.可得△EAF≌△GAF (SAS ).所以EF =GF =80m+40l )m ≈109. 2m.例2如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM 、DN 分别平分正方形的两个外角,且满足∠MA N =45°.连结MC 、NC 、MN .(1)与△ABM 相似的三角形是 ,BMDN = (用含有a 的代数式表示); (2)求∠MCN 的度数;(3)请你猜想线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系,并证明你的结论.B解:(1)△NDA ,2a . (2)由(1)可得BM ABAD ND=, 所以BM DCBC DN=. 易证∠CBM =∠NDC =45°, 所以△BCM ∽△DNC . 则∠BCM =∠DNC ,所以∠MCN =360°一∠BCD 一∠BCM 一∠DCN =270°- (∠DNC +∠DCN ) =270°-(180°-∠DNC ) =135°.(3) 222BM DN MN +=,证明如下:如图,将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°,得到△ABE ,连结EM. 易得AE =AN . ∠MAE =∠MAN =45°,∠EBM =90°, 所以△A ME ≌△AMN .(SAS ). 则ME =MN .在Rt △BME 中,222BM BE EM += 所以222BM DN EM +=.EN倒 3 如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BCD =90°,AB =BC +AD ,∠DAC =45°,E 为CD 上一点,且∠BAE =45°.若CD =4,求△ABE 的面积.图1E解:如图1.过点A 作CB 的垂线,交CB 的延长线于点F .由∠DAC =45°,∠ADC =90°,可得AD =CD.所以四边形ADCF 为正方形. 从而AF = FC =4.令BC =m ,则AB =4+m ,BF =4-m .在Rt △AFB 中,有16+(4-m )2一(4+m )2所以AB =5,BF =3.如图2.将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH ≌△AEB .令DE =n ,则CE =4 -n ,BE =BG =3+n在Rt △BCE 中,有1+(4-n )2=(3+n )2,解得n =47. 所以BG =257. 从而15027ABE ABG S S AF BG ∆∆===. 图2E进阶训练1.如图,等边△ABC 的边长为1,D 是△ABC 外一点且∠BDC =120°,BD =CD ,∠MDN =60°,求△AMN 的周长.BC△AMN 的周长是2【提示】如图,延长AC 至点E ,使得CE =BM ,连结DE .先证△BMD ≌△CED ,再证△MDN ≌△EDN 即可.2.如图,在正方形ABCD 中,连结BD ,E 、F 是边BC ,CD 上的点,△CEF 的周长是正方形ABCD 周长的一半,AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ,试判断线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系,并证明.NMCDFE BA解:BM 2+DN 2=MN 2.【提示】由△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半,想到“正方形角含半角”,从而旋转构造辅助线解决问题(如图1),证△AEF ≌△AGF ,得∠MAN =12∠BAD =4,然后,再由“等腰直角三角形含半角”(如图2)即可证得.图2图1AFDDFA3.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点D 在边AB 上,DE ⊥BC 于点E ,且DE =BC ,点F 在边AC 上,连结BF 交DE 于点G ,若∠DBF =45°,DG =275,BE =3,求CF 的长. G F EDCBA解:CF =125. 【提示】如图,将DE 向左平移至BH ,连结HD 并延长交AC 于点I ,则四边形HBCI 为正方形.将△BHD 绕点B 顺时针旋转90°至△BCJ ,则点J 在AC 的延长线上.连结DF ,由“正方形角含半角模型”可得DF =DH +CF ,∠DFB =∠JFB =∠DGF ,所以DF =DG ,从而求得CF 的长.《三峡》练习题1.给下列字注音。
中考数学专项复习题型突破专题十一 全等——半角模型
【解析】 解法1:旋转法.如解图①,将 绕点 顺时针方向旋转 得到 ,连接 , , , ,由旋转的性质可得 , , , , , , , , , , ,在 和 中,
图①
, , , , , , , , 的面积为 .
√
【解析】 在正方形 中, , ,将 绕点 顺时针旋转 得到 ,如解图,则 , , , , , , 三点共线, , , ,
第1题解图
在 和 中, , , , , , .
第1题解图
第2题图
2.(多解法)如图,在等腰直角三角形 中, , , 是斜边 上两点, , , ,则三角形 的面积为____.
一、模型 [2023新乡模拟]如图,在正方形 中,点 , 为边 和 上的动点(不含端点),若 , ,则 的周长是( )
A. B. 2 C. D. 3
√
例题解图
【解析】 如解图,将 绕点 顺时针旋转 得到 ,则 , , , , , , , 三点共线,在 和 中,
形.要证 是等腰直角三角形,可以再构造与 共锐角顶点 的等腰直角三角形,如图②,连接 交 于点 ,证明 .请结合小芳的思路,求 的度数.
第3题图
解:由作图知 是等腰直角三角形, , , , ,,
, . , , .
基本图形
_(四边形 为正方形, )
作法
将 绕点 逆时针旋转 _
结论: ; ;
针对训练
第1题图
1.[2023重庆A卷]如图,在正方形 中,点 , 分别在 , 上,连接 , , , .若 ,则 一定等于( )
A. B. C. D.
(1)如图①,当 时,求证: ;
证明: 四边形 是正方形, , , , , , , , , . , , , ;
2024专题3.3旋转---半角模型-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
A
D
2
2
⑤CE= 2 DM,DF= BG,EF= GM, ⑥ = =
CE FC 2
M
⑦△AEF的边EF上的高等于正方形的边长;
⑧△EFC的周长等于正方形的边长的2倍.
F
角度之间的关系: ①∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
G
O
②根据下面共圆,每个共圆都至少可以得到四队相等的角.
四点共圆:①ABEM ②ADFG ③GEFM ④CEMF ⑤CEGMF
=
=
= .
A
(1)∵∠MEN=∠MFN=45º,∴M、N、F、E四点共圆
D
45º
∴∠ANM=∠AEF,∠AMN=∠AFE,
∴△AMN∽△AFE.
N
F
M
B
E
C
变式训练
考点3-1
半角模型---90°+45°
【变式6】如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,∠EAF=45º,BD交AE,AF于
A
上且∠EDF=60º.求证:EF=BE+CF.
【分析】将△BDN绕点D顺时针旋转120º得△DCG,
E
F
易证:△DBE≌△DCG(SAS)→DE=DG,∠FDG=∠FDE=60º
易证:△DFE≌△DFG(SAS)→EF=GF,
∴EF=GF=GC+CF=BE+CF.
B
60º
D
C
针对训练
考点3-2
半角模型---120°+60°
图形示例
A
模型分析
当一个角包含着这个角的半角
等边三角形
,常将半角两边的三角形通过
半角模型-2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题02半角模型模型1:正方形中的半角模型模型2:等腰直角三角形中的半角模型解题策略【例1】.(2020·山西晋中·八年级阶段练习)如图所示:已知ΔABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在∠BAC内部作∠MAN=45°,AM、AN分别交BC于点M,N.[操作](1)将ΔABM绕点A逆时针旋转90°,使AB边与AC边重合,把旋转后点M的对应点记作点Q,得到ACQ,请在图中画出ΔACQ;(不写出画法)[探究](2)在(1)作图的基础上,连接NQ,求证:MN=NQ;[拓展](3)写出线段BM,MN和NC之间满足的数量关系,并简要说明理由.【例2】(2022·全国·九年级专题练习)折一折:将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、AD都落在对角线AC 上,展开得折痕AE、AF,连接EF,如图1.经典例题(1)∠EAF=°,写出图中两个等腰三角形:(不需要添加字母);(2)转一转:将图1中的∠EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,如图2.线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为;(3)连接正方形对角线BD,若图2中的∠P AQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N,如图3,则CQ=;BM(4)剪一剪:将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开,如图4.求证:BM2+DN2=MN2.【例3】(2022·江苏·八年级专题练习)问题情境在等边△ABC的两边AB,AC上分别有两点M,N,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.特例探究如图1,当DM=DN时,(1)∠MDB=度;(2)MN与BM,NC之间的数量关系为;归纳证明(3)如图2,当DM≠DN时,在NC的延长线上取点E,使CE=BM,连接DE,猜想MN与BM,NC之间的数量关系,并加以证明.拓展应用(4)△AMN的周长与△ABC的周长的比为.【例4】.(2020·全国·九年级专题练习)请阅读下列材料:已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系:(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明;(3)已知:如图(3),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数.培优训练一、解答题1.(2022·陕西西安·七年级期末)问题背景:如图1,在四边形ABCD中AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是______.实际应用:如图2,在新修的小区中,有块四边形绿化ABCD,四周修有步行小径,且AB=AD,∠B+∠D=180°,在∠BAD,小径BC,CD上各修一凉亭E,F,在凉亭E与F之间有一池塘,不能直接到达,经测量得∠EAF=12BE=10米,DF=15米,试求两凉亭之间的距离EF.2.(2022·河北邢台·九年级期末)学完旋转这一章,老师给同学们出了这样一道题:“如图1,在正方形ABCD中,∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF.”小明同学的思路:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠ADC=90°.把△ABE绕点A逆时针旋转到△ADE′的位置,然后证明△AFE≌△AFE′,从而可得EF=E′F.E′F=E′D+DF=BE+DF,从而使问题得证.(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:∠BAD,直接写出EF,BE,DF之间的如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,∠EAF=12数量关系.∠BAD,求证:EF=BE+(2)【应用】如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=12DF.(3)【知识迁移】如图4,四边形ABPC是⊙O的内接四边形,BC是直径,AB=AC,请直接写出PB+PC与AP的关系.3.(2021·重庆·九年级专题练习)将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合,正方形ABCD固定不动,然后将三角板绕着点A旋转,∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F,连接EF.(1)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时,如图1所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;(2)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时,如图2所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;(3)若正方形的边长为4,在三角板旋转过程中,当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时,试求线段EF 的长.4.(2022·全国·八年级课时练习)综合与实践(1)如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,则MN,AM,CN的数量关系为.(2)如图2,在四边形ABCD中,BC∥AD,AB=BC,∠A+∠C=180°,点M、N分别在AD、CD上,若∠ABC,试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.∠MBN=12(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,∠ABC,试探究线段MN、AM、CN的数量关系为.若∠MBN=125.(2022·江苏·八年级课时练习)(1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系:__________;是边BC,CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=12(1)中的结论是否仍然成立?请写出证明过程;(3)在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点,且∠EAF=1∠BAD.请画出图形(除图②外),并直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系.26.(2021·辽宁·沈阳市南昌中学(含:西校区、光荣中学)九年级阶段练习)如图,菱形ABCD与菱形EBGF 的顶点B重合,顶点F在射线AC上运动,且∠BCD=∠BGF=120°,对角线AC、BD相交于点O.的值为;(1)如图1.当点F与点O重合时,直接写出AEFD(2)当顶点F运动到如图2的位置时,连接CG,CG⊥BG,且CG=BC,试探究CG与DF的数量关系,说明理由,并直接写出直线CG与DF所夹锐角的度数;(3)如图3,取点P为AD的中点,若B、E、P三点共线,且当CF=2时,请直接写出BP的长.7.(2022·江苏·八年级课时练习)如图,CA=CB,CA⊥CB,∠ECF=45°,CD=CF,∠ACD=∠BCF.(1)求∠ACE+∠BCF的度数;(2)以E为圆心,以AE长为半径作弧;以F为圆心,以BF长为半径作弧,两弧交于点G,试探索△EFG的形状?是锐角三形,直角三角形还是钝角三角形?请说明理由.8.(2021·河南平顶山·九年级期中)(1)阅读理解如图1,在正方形ABCD中,若E,F分别是CD,BC边上的点,∠EAF=45°,则我们常常会想到:把△ADE 绕点A顺时针旋转90°,得到△ABG.易证△AEF≌,得出线段BF,DE,EF之间的关系为;(2)类比探究如图2,在等边△ABC中,D,E为BC边上的点,∠DAE=30°,BD=1,EC=2.求线段DE的长;(3)拓展应用如图3,在△ABC中,AB=AC=√6+√2,∠BAC=150°,点D,E在BC边上,∠DAE=75°,若DE是等腰△ADE的腰,请直接写出线段BD的长.9.(2022·全国·八年级专题练习)已知四边形ABCD中,AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN =60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD,DC(或它们的延长线)于E、F.(1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),试猜想AE,CF,EF之间存在怎样的数量关系?请将三条线段分别填入后面横线中:+=.(不需证明)(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图2)时,上述(1)中结论是否成立?请说明理由.(3)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF(如图3)时,上述(1)中结论是否成立?若不成立,线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.10.(2022·江苏·八年级课时练习)如图,在正方形ABCD中,点P在直线BC上,作射线AP,将射线AP 绕点A逆时针旋转45°,得到射线AQ,交直线CD于点Q,过点B作BE⊥AP于点E,交AQ于点F,连接DF.(1)依题意补全图形;(2)用等式表示线段BE,EF,DF之间的数量关系,并证明.11.(2022·全国·八年级课时练习)(1)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45°.直接写出BE、DF、EF之间的数量关系;∠BAD,(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=12求证:EF=BE+DF;(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠EAF=1∠BAD,则结论EF=BE+DF是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请写出它们的数量关系并证明.212.(2021·辽宁沈阳·一模)(1)思维探究:如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠EAF=45°,连接EF,则三条线段EF,BE,DF满足的等量关系式是;小明的思路是:将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置,并说明点G,B,E在同一条直线上,然后证明△AEF≌即可得证结论;(只需填空,无需证明)(2)思维延伸:如图2,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上,点D在点E的左侧,且∠DAE=45°,猜想三条线段BD,DE,EC应满足的等量关系,并说明理由;(3)思维拓广:如图3,在△ABC中,∠BAC=60°,AB=AC=5,点D,E均在直线BC上,点D在点E的左侧,且∠DAE=30°,当BD=1时,请直接写出线段CE的长.13.(2021·河南安阳·八年级期中)已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:____;(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)14.(2020·四川成都·八年级期末)已知,∠POQ=90∘,分别在边OP,OQ上取点A,B,使OA=OB,过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C.点E,F分别是射线OP,OQ上动点,连接CE,CF,EF.(1)求证:OA=OB=AC=BC;(2)如图1,当点E,F分别在线段AO,BO上,且∠ECF=45∘时,请求出线段EF,AE,BF之间的等量关系式;(3)如图2,当点E,F分别在AO,BO的延长线上,且∠ECF=135∘时,延长AC交EF于点M,延长BC交EF于点N.请猜想线段EN,NM,FM之间的等量关系,并证明你的结论.15.(2020·江西育华学校八年级阶段练习)问题背景:如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠BCD=90°,BA=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F.探究图中线段AE,CF,EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是:延长FC到G,使CG=AE,连接BG,先证明△BCG≌△BAE,再证明△BGF≌△BEF,可得出结论,他的结论就是______________;探究延伸:如图2,在四边形ABCD中,BA=BC,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABC=2∠MBN,∠MBN绕B 点旋转,它的两边分别交AD、DC于E、F.上述结论是否仍然成立?并说明理由.实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进,同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进,1.2小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.16.(2022·全国·八年级课时练习)如图,△ABC是边长为2的等边三角形,△BDC是顶角为120°的等腰三角形,以点D为顶点作∠MDN=60°,点M、N分别在AB、AC上.(1)如图①,当MN//BC时,则△AMN的周长为______;(2)如图②,求证:BM+NC=MN.17.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,E,F分别是BC,CD上的点,连接AE,AF,EF.(1)如图①,AB=AD,∠BAD=120°,∠EAF=60°.求证:EF=BE+DF;(2)如图②,∠BAD=120°,当△AEF周长最小时,求∠AEF+∠AFE的度数;(3)如图③,若四边形ABCD为正方形,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,若BE=3,DF=2,请求出线段EF的长度.18.(2022·江苏·八年级课时练习)(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=100°,∠B=∠ADC =90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=50°.探究图中线段EF,BE,FD之间的数量关系.小明同学探究的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论是(直接写结论,不需证明);(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且2∠EAF =∠BAD,上述结论是否仍然成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由;(3)如图3,四边形ABCD是边长为7的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.19.(2022·全国·八年级课时练习)如图,正方形ABCD中,E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,连接EF,这种模型属于“半角模型”中的一类,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的分析思路.例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系.这可以证明结论“EF=BE+DF”,请补充辅助线的作法,并写出证明过程.(1)延长CB到点G,使BG=,连接AG;(2)证明:EF=BE+DF20.(2021·全国·九年级专题练习)如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2√3,AC,BD相交于点O.(1)求边AB的长;(2)求∠BAC的度数;(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF.判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由.21.(2020·重庆江津·八年级期中)(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,∠ECG=45°,求证EG=BE+GD.(2)请用(1)的经验和知识完成此题:如图2,在四边形ABCD中,AG//BC(BC>AG),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB上一点,且∠ECG=45°,BE=4,求EG的长?22.(2022·江苏·八年级专题练习)(2020•锦州模拟)问题情境:已知,在等边△ABC中,∠BAC与∠ACB 的角平分线交于点O,点M、N分别在直线AC,AB上,且∠MON=60°,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系.方法感悟:小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;问题解决:(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明.23.(2022·河南开封·八年级期末)(2019秋•东台市期末)在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;=;此时QL(2)如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?若成立请直接写出你的结论;若不成立请说明理由.(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,探索BM、NC、MN之间的数量关系如何?并给出证明.24.(2022·全国·八年级课时练习)如图①,四边形ABCD为正方形,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=45°,易证:AE+CF=EF(不用证明).(1)如图②,在四边形ABCD中,∠ADC=120°,DA=DC,∠DAB=∠BCD=90°,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=60°.猜想AE,CF与EF之间的数量关系,并证明你的猜想;(2)如图③,在四边形ABCD中,∠ADC=2α,DA=DC,∠DAB与∠BCD互补,点E,F分别在AB与BC上,且∠EDF=α,请直接写出AE,CF与EF之间的数量关系,不用证明.。
半角模型及压轴小题练习,中考数学复习之半角模型
半角模型及压轴小题训练半角模型在中考数学试题中,属于非常火的几何模型,相关的题目以选择题、填空题为主,以多选项问题为主流,相关的结论也有诸多变化.与半角模型相关的结论较多,要在考场上有限的时间内判断4-5个结论,明显对多数同学有相当的困难.提前熟悉半角模型及相关结论的证明,对解决此类问题有巨大的帮助.1. 问题背景如图,在△ABC 中,∠BAC=45°,BD=2,CD=3,求AD 的长.方法一:构造相似在CB 延长线上取一点G ,使DG=DA ,则△CAB~△CGA ,AC CB GC AC=设AD=x ,则GC=x x于是3x =+,x =6,故AD=6另法:在BC 的延长线上取一点,构造相似方法二:构相似在AD 上取点N 、M ,使DN=DB,DM=DC ,∠BAD+∠ABN=45°,∠BAD+∠CAD=45°故∠ABN=∠CAD ,得∠ABN~∠CAM设AD=x ,则AN=x -2,AM=x -3,AN BNCM AM =3x =-,x =6即AD=6方法三:构全等过点B 作BE∠AB 交AC 延长线于点E ,作EF∠BF 则∠ABD∠∠BEF 则BF=AD ,EF=BD 设CF=x ,则AD=x +5,又∠ACD~∠ECF 故AD CD EF CF =,532x x+=得x =6即AD=6方法四:(高中)正切和差公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-,tan tan tan BAC 1tan tan BAD CAD BAD CAD ∠+∠∠=-∠∠,223161x x x+=-,x =6即AD=6方法五:翻折构45°半角模型将∠ABD 和∠ACD 分别沿AB 、AC 翻折则∠EAF=90°,分别延长EB 、FC 交于点G 则AEGF 为正方形,设AD=x 则BG=x -2、CG=x -3、(x -2)2+(x -3)2=52得x =6即AD=6后面接着深入探究此模型及结论半角模型相关的系列结论:结论一系列:∠BE+DF=EF∠∠ADF∠∠ABG∠∠AEF∠∠AEG∠∠AEG=∠AEF∠∠AFD=∠AGB=∠AFE简证:在CB 延长线上取一点G ,使BG=DF 又AD=AB ,∠ABG=∠ADF ,故∠ADF∠∠ABG 同时∠1=∠3,∠1+∠2=45°,∠2+∠3=45°AF=AG ,AE=AE ,故∠AEF∠∠AEG 于是结论4,5可同步得出结论二系列:1.∠BEN~∠AMN~∠DMF~∠AEF简证:∠EBN=∠MAN=∠MDF=45°∠BEN=∠AEF ,∠MFD=∠AFE结论三系列:∠∠ADM~∠ACE∠∠ABN~∠ACF∠AE AC EC AM AD DM ===AF AC CF AN AB BN ===EF MN=简证:∠DAF+∠FAC=45°∠FAC+∠EAC=45°得∠DAF=∠EAC 而∠ACM=∠ACE结论四系列:连接ME、NF∠∠ABN~∠MEN∠∠ADM~∠NFM∠AM∠EM,AN∠FN∠AM=ME,AN=NF∠∠AEM、∠ANF 为等腰直角三角形简证:由系列二∠BEN~∠AMN可知AN MNBN EM=→AN BNMN EM=,又∠ANB=∠MNE故∠ABN~∠MEN,结论2证法类似;∠MEN=∠ABN=45°=∠EAM,故∠AME为等腰直角三角形,AM=ME结论系列五:1.MN2=BN2+DM2结论系列六:∠MAN=∠B=45°,∠AMN=∠AMN故∠AMN~∠BMA,同理可得∠AMN~∠DAN得∠AMN~∠BMA~∠DAN推广半角模型:同理可得∠ABC~∠NBA~∠MCA结论系列七:共圆∠A、B、E、M四点共圆∠A、N、F、D四点共圆∠C、E、N、M、F五点共圆结论系列八:①AE平分∠BEF,AF平分∠DFE②点A为∠EFC的旁心③AM-BE④DN⑤|BE-|BN-DM|.练习题1.如图,在正方形ABCD 中,点E 在对角线BD 上,连接AE ,EF ⊥AE 于点E ,交DC 于点F ,连接AF ,已知BC=4,DE =,则△AEF 的面积为( )A .4B .5C .10D .2.如图,在边长为8的正方形ABCD 中,E 、F 分别是边AB 、BC 上的点,且BE =CF =2,连接DE 、AF 交于点O ,过点F 作AF 的垂线段FG ,连接CG 使得∠GCF =135°,连接AG 交DE 于点M ,则△GFM 的面积为( )A .24B .25C .2D .263.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,点E 、点F 分别是BC 、AB 上的点,连接DE 、DF 、EF ,满足∠DEF =∠DEC .若AF =1,则EF 的长为( )A .2.4B .3.4C .258D .54.如图,正方形ABCD 中,点E 在边CD 上,连接AE ,过点A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于点F ,连接EF ,AG 平分∠F AE ,AG 分别交BC ,EF 于点G ,H ,连接EG ,DH .则下列结论中:①AF =AE ;②∠EGC =2∠BAG ;③DE +BG =EG ;④若DE =CE ,则CE :CG :EG =3:4:5,其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个5.如图,在正方形ABCD 中,M 为边BC 上的一点,MN ⊥BC 交BD 于点N ,连接AM 交BD 于点E ,F 为DN 中点,连接AF .有下列说法:①BM ;②∠BAF =∠AEF ;③BE 2+DF 2=EF 2;④AB ﹣MN DF .其中正确的说法有( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,AE 、AF 分别交BD 于点M 、N 连接CN 、EN 且CN=NE ,下列结论:1.AN=EN ,AN∠EN;2.BE+DF=EF;3.2MN EF ;4.图中只有4对相似三角形,其中正确的结论个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.47.如图,正方形ABCD 的边长为4,点E 在边AB 上,BE=1,∠DAM=45°,点F 在射线AM 上,且,过点F 作AD 的平行线交BA 延长线于点H ,CF 与AD 相交于点G ,连接EC 、EG 、EF 下列结论:1.∠ECF 的面积为172;2.∠AEG 的周长为8;3.EG 2=DG 2+BE 2.其中正确的是______8.如图,正方形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,DG∠EF于点H,交BC于点G,点P在线段BG上,若∠PEF=45°,AE=CG=5,PG=5,则EP=_______9.如图,正方形ABCD的边长为2,点E、F分别为AD、BC上的点,点G、H分别为AB、CD上的点,线段GH与EF的夹角为45°,GH=,则EF=_______310.如图,正方形ABCD中,AB=2,E是CD的中点,将正方形ABCD沿AM折叠,点B的对应点F落在AE上,延长MF交CD于点N,则DN的长为______11.如图,四边形ABCD中,AD||BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E为CD上一点,且∠BAE=45°,若CD=4,则∠ABE的面积为_____12.如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB、AD上,若∠ECF=45°,则CF的长为_____13.如图,点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点,AC、BD交于点O且∠EAF=45°,AE、AF分别交对角线BD于点M、N,则有以下结论:1.∠AOM~∠ADF;2.EF=BE+DF; 3.∠AEB=∠AEF=∠ANM; 4.S∠AEF=2S∠AMN,正确的个数有___个.14.如图,正方形ABCD中,H为CD上一动点(不含C、D),连接AH交BD于G,过点G作GE⊥AH交BC于E,过E作EF⊥BD于F,连接AE,EH.下列结论:①AG=EG;②∠EAH=45°;③BD=2GF;④GE平分∠FEC.正确的是(填序号).15.如图,在正方形ABCD中,点O是对角线BD的中点,点P在线段OD上,连接AP并延长交CD于点E,过点P作PF⊥AP交BC于点F,连接AF、EF,AF交BD于G,现有以下结论:①AP=PF;②DE+BF=EF;③PB﹣PD BF;④S△AEF为定值;⑤S四边形PEFG=S△APG.以上结论正确的有(填入正确的序号即可).16.如图,在正方形ABCD中,F在AB上,E在BC的延长线上,AF=CE,连接DF、DE、EF,EF交对角线BD 于点N,M为EF的中点,连接MC,下列结论:①△DEF为等腰直角三角形;②∠FDB=∠FEC;③直线MC是BD的垂直平分线;④若BF=2,则MC;其中正确结论的有.17.如图,在正方形ABCD中,AB=2.G为对角线BD的延长线上一点,E为线段CD的中点,BF⊥AE,连接OF.已知∠DAG=15°,下列说法正确的是.(将正确答案的序号填写下来)①AG=BD;②BF;③OP1OA3;④S△POF=13;⑤若E点为线段CD上一动点,当AE=EC+CQ时,AQ=4.18.如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF BE,CF与AD相交于点G,连接EC、EF、EG.则下列结论:①∠ECF=45°;②△AEG的周长为(1+2)a;③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值是18a2;⑤当BE=13a时,G是线段AD的中点.其中正确的结论是.19.如图在正方形ABCD中,∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF=45°,如果BE=1,DF =7,则EF=.20.如图,正方形ABCD中,点M是边BC异于点B、C的一点,AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K,连接AK、MK.下列结论:①EF=AM;②AE=DF+BM;③BK AK;④∠AKM=90°.其中正确的结论有个.21.如图,在∆ABC 中,∠BAC=120°,D 、E 在BC 上且满足BD=2EC ,∠DAE=60°,求DE.22.如图,梯形ABCD 中,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,点E 在DC 上,AE 、BC 的延长线相交于点F ,若AE=10,求CEF ADE S S ∆∆+参考答案1. B2.D3.B4.D5.D6.B7.C 411. 50713.4 14.∠∠∠ 15.∠∠∠ ∠ 16.∠∠∠∠17.∠∠∠ 18.∠∠∠ 19.6 20.3 3 22.30或48。
2025年广东中考数学第一部分 中考考点精准解读专项2 半角模型(一题一课)
典例·剖析 ∵∠BAD=∠2+∠EAF+∠3=2∠EAF,∴∠2+∠3=∠EAF. ∴∠1 + ∠2 = ∠EAF' = ∠EAF. 又 ∵AF = AF' , AE = AE , ∴△AEF≌△AEF'(SAS). ∴EF=EF'=BF'+BE=DF+BE,即EF=BE+DF.
返回 目录返回 目录例·剖析解:缺少的条件是:∠B+∠D=180°. 将△ADF绕点A旋转至AD与AB重合,得到△ABF',并标记相关角,如解 图4所示,则△ABF'≌△ADF. ∴AF'=AF,BF'=DF,∠1=∠3,∠F'=∠4, ∠D=∠5. ∵∠ABE+∠D=180°,∴∠ABE+∠5=180°, 即F',B,E三点共线.
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典例·剖析 【拓展应用】如图4,在矩形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且 ∠EAF = ∠CEF = 45°. 探 究 BE , EF , DF 的 数 量 关 系 : _2_B_E__2+__2_D__F_2_=__E_F_2__(直接写出结论,不必证明).
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典例·剖析 【提示】如解图2,延长AB至点G,使AG=AD,延长DC至点H,使DH = AD , 作 AM⊥AF 交 HG 延 长 线 于 点 M , 连 接 ME , 作 EN⊥GH. 易 证 △AGM≌△ADF,∴AM=AF,MG=FD.易证△MAE≌△FAE,得 ME = FE.ME2 = EF2 = MN2 + EN2→EF2 = (MG + GN)2 + EN2→EF2 = (DF + BE)2+(AD-AB)2→EF2=(DF+BE)2+[BE+CE-(CF+DF)]2→EF2= (DF+BE)2+(BE-DF)2→EF2=2DF2+2BE2.
专题20 角含半角模型问题(原卷版)-2021年中考数学二轮复习经典问题专题训练
专题20 角含半角模型问题【规律总结】角含半角模型,顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。
它主要包含:等腰直角三角形角含半角模型;正方形中角含半角模型两种类型。
解决类似问题的常见办法主要有两种:旋转目标三角形法和翻折目标三角形法。
【典例分析】例1.(2020·广西南宁市·九年级期中)(探索发现)如图①,四边形ABCD 是正方形,M ,N 分别在边CD 、BC 上,且45MAN=∠︒,我们把这种模型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.如图①,将ADM ∆绕点A 顺时针旋转90︒,点D 与点B 重合,得到ABE ∆,连接AM 、AN 、MN .(1)试判断DM ,BN ,MN 之间的数量关系,并写出证明过程.(2)如图②,点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 的延长线上,45MAN=∠︒,连接MN ,请写出MN 、DM 、BN 之间的数量关系,并写出证明过程.(3)如图③,在四边形ABCD 中,AB=AD ,120BAD=∠︒,180B+D=∠∠︒,点N ,M 分别在边BC ,CD 上,60MAN=∠︒,请直接写出线段BN ,DM ,MN 之间的数量关系.【答案】(1)MN DM BN =+,证明见解析;(2)MN BN DM =-,证明见解析;(3)MN DM BN =+. 例2.(2020·四川成都市·八年级期末)已知,90POQ ∠=,分别在边OP ,OQ 上取点A ,B ,使OA OB =,过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C .点E ,F 分别是射线OP ,OQ 上动点,连接CE ,CF ,EF .(1)求证:OA OB AC BC ===;(2)如图1,当点E ,F 分别在线段AO ,BO 上,且45ECF ∠=时,请求出线段EF ,AE ,BF 之间的等量关系式;(3)如图2,当点E ,F 分别在AO ,BO 的延长线上,且135ECF ∠=时,延长AC 交EF 于点M ,延长BC 交EF 于点N .请猜想线段EN ,NM ,FM 之间的等量关系,并证明你的结论.【答案】(1)见解析;(2)EF AE BF =+;(3)222MN EN FM =+,见解析【好题演练】一、单选题1.(2021·上海九年级专题练习)如图所示,在Rt△ABC 中,AB =AC ,D 、E 是斜边BC 上的两点,且△DAE =45°,将△ADC 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到△AFB ,连接EF ,有下列结论:①BE =DC ;②△BAF =△DAC ;③△FAE =△DAE ;④BF =DC .其中正确的有( )A .①②③④B .②③C .②③④D .③④二、填空题 2.(2021·上海九年级专题练习)如图,在Rt△ABC 和Rt△BCD 中,△BAC =△BDC =90°,BC =4,AB =AC ,△CBD =30°,M ,N 分别在BD ,CD 上,△MAN =45°,则△DMN 的周长为_____.三、解答题3.(2020·黑龙江哈尔滨市·九年级月考)矩形ABCD中,M、N为边AD上两点,连接BM、CN,MN=BM=CN,△BMD=120°.(1)如图1,求证:AM=DN;(2)如图2,点E、F分别在NC、BC上,△FME=60°,求证:EF= BF+NE;(3)如图3,在(2)的条件下,过E作EP△BC交MF于P,2MN=3BF,EP=7,求CE的长.4.(2020·山东滨州市·八年级期中)在△MAN内有一点D,过点D分别作DB△AM,DC△AN,垂足分别为B,C.且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上.(1)如图1,若△BED=△CFD,请说明DE=DF;(2)如图2,若△BDC=120°,△EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系,并说明你的结论成立的理由.5.(2020·陕西西安市·七年级期末)(2020•锦州模拟)问题情境:已知,在等边△ABC中,△BAC与△ACB的角平分线交于点O,点M、N分别在直线AC,AB上,且△MON=60°,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系.方法感悟:小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;问题解决:(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明.6.(2019·全国九年级专题练习)如图所示,在ABC ∆中,30A B ∠=∠=︒,60MCN ∠=︒,MCN ∠的两边交AB 边于E ,F 两点,将MCN ∠绕C 点旋转(1)画出BCF ∆绕点C 顺时针旋转120︒后的ACK ∆;(2)在(1)中,若222AE EF BF +=,求证:BF =;(3)在(2)的条件下,若1AC =,直接写出EF 的长.。
2024年中考数学总复习第一部分考点精练第四单元三角形微专题半角模型
与AB重合,得到△ABG,
第1题解图
第1题图
微专题 半角模型
则∠ABG=∠D,∠GAB=∠FAD,AG=AF,BG=DF,
∵∠ABE+∠D=180°,
∴∠ABE+∠ABG=180°,
∴B,E,G三点共线,
∵∠BAD=60°,∠EAF=30°,
∴∠BAE+∠DAF=30°,
∴∠GAB+∠BAE=30°,
把一个含有45° 角的三角尺放在正方形ABCD中,使45° 角的
顶点始终与正方形的顶点C重合,绕点C旋转三角尺时,45° 角
的两边CM,CN始终与正方形的边AD,AB所在直线分别相交于
点M,N,连接MN,可得△CMN.
【探究一】如图②,把△CDM绕点C逆
时针旋转90° 得到△CBH,同时得到点
H在直线AB上.求证:∠CNM=∠CNH; 第2题图①
∵∠FCE=∠MCN,
∴△CEF∽△CNM.
第2题解图
第2题图②
微专题 半角模型
【探究二】 在图②中,连接BD,分别交CM,CN于点E,F.
求证:△CEF∽△CNM. 【探究二】 证明:如解图,由【探究一】得∠CNH=∠CNM,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠FBN=∠MCN=45°,
∴△FBN∽△MCN,∴∠BFN=∠MN.
∴∠GAE=∠FAE.
第1题解图
微专题 半角模型
AG AF
在△EAG和△EAF中,EAG EAF ,
AE AE
∴△EAG≌△EAF(SAS),
∴EG=EF. ∵EG=BE+BG=BE+DF, ∴EF=BE+DF.
第1题解图
微专题 半角模型
2. (2023赤峰节选)数学兴趣小组探究了以下几何图形,如图①,
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专题15 角含半角模型破题策略1. 等腰直角三角形角含半角如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,点D ,E 在BC 上且∠DAE =45° (1) △BAE ∽△ADE ∽△CDA(2)BD 2+CE 2=DE 2.45°EA BCD证明(1)易得∠ADC =∠B +∠BAD =∠EAB , 所以△BAE ∽△ADE ∽△CD A .(2)方法一(旋转法):如图1,将△ABD 绕点A 逆时针旋转90°得到△ACF ,连结EF .45°FEA BCD则∠EAF =∠EAD =45°,AF =AD , 所以△ADE ∽△FAE ( SAS ). 所以DE = EF .而CF =BD ,∠FCE =∠FCA +∠ACE =90°,所以BD 2+ CE 2=CF 2+CE 2=EF 2=DE 2.方法二(翻折法):如图2,作点B 关于AD 的对称点F ,连结AF ,DF ,EF .45°EA BCD因为∠BAD +∠EAC =∠DAF +∠EAF , 又因为∠BAD =∠DAF ,则∠FAE =∠CAE ,AF =AB =AC , 所以△FAE ∽△CAE (SAS ). 所以EF = E C .而DF =BD , ∠DFE =∠AFD + ∠AFE =90°,所以BD 2+ EC 2= FD 2+ EF 2= DE 2. 【拓展】①如图,在△ ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,点D 在BC 上,点E 在BC 的延长线上,且∠DAE =45°,则BD 2+CE 2=DE 2.ED可以通过旋转、翻折的方法来证明,如图:EADFEAD②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形:如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D ,E 在BC 上,且∠DAE =12∠BAC ,则以BD ,DE ,EC 为三边长的三角形有一个内角度数为180°-∠BA C .B可以通过旋转、翻折的方法将BD ,DE ,EC 转移到一个三角形中,如图:BCEBD2. 正方形角含半角如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,∠EAF =45°,连结EF ,则:45°图1ABCD E图2GF E A B 45°图3H F EABDC(1)EF =BE +DF;(2)如图2,过点A 作AG ⊥EF 于点G ,则AG =AD ;(3)如图3,连结BD 交AE 于点H ,连结FH . 则FH ⊥AE .(1)如图4,将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADI 证明.图4IEAB D则∠IAF =∠EAF =45°,AI =AE , 所以△AEF ∽△AIF (SAS ),所以EF =IF =DI +DF =BE +DF .(2)因为△AEF ∽△AIF ,AG ⊥EF ,AD ⊥IF , 所以AG =A D .(3)由∠HAF =∠HDF =45°可得A ,D ,F ,H 四点共圆, 从而∠AHF =180°-∠ADF =90°, 即FH ⊥AE .【拓展】①如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CB ,DC 的延长线上,∠EAF =45°,连结EF ,则EF =DF -BE .F BC E可以通过旋转的方法来证明.如图:EBA②如图,在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD 中,AB =AD ,∠BAD +∠C =180 °,点E ,F 分别在BC 、CD 上,∠EAF =12∠BAD ,连结EF ,则EF=BE+DF. ADCE可以通过旋转的方法来证明.如图:AFDCE G例题讲解例1 如图1,点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,∠EAF =45°.(1) 试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系.(2) 如图2,在四边形ABCD 中,∠BAD ≠90°,AB =AD .∠B +∠D =180°,点E 、F 分别在BC 、CD 上,则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时,仍有EF =BE +FD .(3)如图3.在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD .已知AB =AD =80m ,∠B =60°,∠ADC =120°,∠BAD =150°,道路BC ,CD 上分别有景点 E ,F ,且AE ⊥AD .DF =40(3-1)m .现要在E 、F 之间修一条笔直的道路,求这条道路EF 的长.(结果取整数,参考数据:2=1.41,3=1.73)图1FA D CBE图2AD CF图3FCA EBD解: (1)由“正方形内含半角模型”可得EF =BE +FD . (2)∠BAD =2∠EAF ,理由如下:如图4,延长CD 至点G ,使得DG =BE .连结AG. 易证△ABE ≌△ADG (SAS ). 所以AE =AG ,即EF =BE +DF =DG +DF =GF . 从而证得△AEF ≌△AGF ( SSS ).所以∠EAF =∠GAF =12∠EAG =12∠BAD . 图4AD F图5HFCGA BED(3)如图5,将△ABE 绕点A 逆时针旋转1 50°至△ADG .连结AF .由题意可得∠BAE =60°所以△ABE 和△ADG 均为等腰直角三角形. 过点A 作 AH ⊥DG 于点H .则DH =12AD =40m ,AH =32 AD =3 m.而DF =4031)m. 所以∠EAF =∠GAF =45°.可得△EAF ≌△GAF (SAS ).所以EF =GF =80m+403l )m ≈109. 2m.例2如图,正方形ABCD 的边长为a ,BM 、DN 分别平分正方形的两个外角,且满足∠MA N =45°.连结MC 、NC 、MN .(1)与△ABM 相似的三角形是 ,BM g DN = (用含有a 的代数式表示); (2)求∠MCN 的度数;(3)请你猜想线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系,并证明你的结论. NAC B解:(1)△NDA ,2a . (2)由(1)可得BM ABAD ND=, 所以BM DCBC DN=. 易证∠CBM =∠NDC =45°, 所以△BCM ∽△DNC . 则∠BCM =∠DNC ,所以∠MCN =360°一∠BCD 一∠BCM 一∠DCN =270°- (∠DNC +∠DCN ) =270°-(180°-∠DNC ) =135°.(3) 222BM DN MN +=,证明如下:如图,将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°,得到△ABE ,连结EM. 易得AE =AN . ∠MAE =∠MAN =45°,∠EBM =90°, 所以△A ME ≌△AMN .(SAS ). 则ME =MN .在Rt △BME 中,222BM BE EM += 所以222BM DN EM +=.ENBC AM倒3 如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BCD =90°,AB =BC +AD ,∠DAC =45°,E 为CD 上一点,且∠BAE =45°.若CD =4,求△ABE 的面积.图1BADCE解:如图1.过点A 作CB 的垂线,交CB 的延长线于点F .由∠DAC =45°,∠ADC =90°,可得AD =CD.所以四边形ADCF 为正方形. 从而AF = FC =4.令BC =m ,则AB =4+m ,BF =4-m .在Rt △AFB 中,有16+(4-m )2一(4+m )2所以AB =5,BF =3.如图2.将△ADE 绕点A 逆时针旋转90°至△AFG. 易证△AGH ≌△AEB .令DE =n ,则CE =4 -n ,BE =BG =3+n在Rt △BCE 中,有1+(4-n )2=(3+n )2,解得n =47. 所以BG =257. 从而15027ABE ABG S S AF BG ∆∆===g . 图2FADCEG进阶训练1.如图,等边△ABC 的边长为1,D 是△ABC 外一点且∠BDC =120°,BD =CD ,∠MDN =60°,求△AMN 的周长.NDABCM△AMN 的周长是2【提示】如图,延长AC 至点E ,使得CE =BM ,连结DE .先证△BMD ≌△CED ,再证△MDN ≌△EDN 即可.ENC BM2.如图,在正方形ABCD 中,连结BD ,E 、F 是边BC ,CD 上的点,△CEF 的周长是正方形ABCD 周长的一半,AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ,试判断线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系,并证明.NMCDFE BA解:BM 2+DN 2=MN 2.【提示】由△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半,想到“正方形角含半角”,从而旋转构造辅助线解决问题(如图1),证△AEF ≌△AGF ,得∠MAN =12∠BAD =4,然后,再由“等腰直角三角形含半角”(如图2)即可证得.H G G图2图1AFDM NNMDFA3.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点D 在边AB 上,DE ⊥BC 于点E ,且DE =BC ,点F 在边AC 上,连结BF 交DE 于点G ,若∠DBF =45°,DG =275,BE =3,求CF 的长. G F EDCBA解:CF =125. 【提示】如图,将DE 向左平移至BH ,连结HD 并延长交AC 于点I ,则四边形HBCI 为正方形.将△BHD 绕点B 顺时针旋转90°至△BCJ ,则点J 在AC 的延长线上.连结DF ,由“正方形角含半角模型”可得DF =DH +CF ,∠DFB =∠JFB =∠DGF ,所以DF =DG ,从而求得CF 的长.JIHABC DEF G。