达朗贝尔原理
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约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的
平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样 做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。
二、质点系的达朗贝尔原理
设质点系由 n 个质点组成, 其中任一质点i的质 量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为
主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点
FT maB ml cos30 0
Fy 0
FN FIr sin30 mg 0
(2)
C
FN ml sin30 mg 0 MC (F ) 0
B
FN
mg
x
FT l cos30 FN l sin30 M I 0
(3)
1 2 FT l cos 30 FN l sin 30 ml 0 3
联立求解（1）~（4）式, 得
(4)
3 3 3 aB g sin 2 30 g 4 8 1 3 3 FT maB mg 2 16
aB 3g 2l cos 30 8l
1 13 FN mg maB tan 30 mg 2 16
以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质 点系的达朗贝尔原理
Σ Fi (e) Σ FI i 0
得
FIR Σ FI i Σ Fi (e) maC
此式表明：无论刚体作什么运动, 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速 度的方向相反。
三、刚体惯性力系的简化
MIO O
FIit
ri
F m a mi ri
t Ii t i i
i
F m a mi ri
n Ii n i iபைடு நூலகம்
2
FIin
方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为
MIO MO (FIin ) MO (FIit )
三、刚体惯性力系的简化
由于FIin通过O点, 则有 ΣMO( FIin )= 0, 所以 M IO M O ( FIit ) FIit ri
A
M
C
由质点系的达朗贝尔原理
FBy
MIB
M B (F ) 0
代入MIB 和FIC得
M M IB r ( P FIC ) 0
FBx B M
G
C FIC P a
2( M rP) a g r (G 2 P)
再以整体为研究对象, 受力如图, 假 想地加上惯性力
由质点系的达朗贝尔原理
三、刚体惯性力系的简化
现在讨论以下三种特殊情况：
1. 当转轴通过质心C时, aC＝0, FI＝0, MIC＝－JC。 此时惯性力系简化为一惯性力偶。
2. 当刚体作匀速转动时, ＝0, 若转轴不过质心, 惯 性力系简化为一惯性力FI , 且FI ＝－maC, 同时力的 作用线通过转轴O。 3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心 C 时 , FI ＝ 0, MIC＝0, 惯性力系自成平衡力系。
30
o
A MI
FIe
1 1 2 2 M I J C m(2l ) ml 12 3
在BD绳切断的瞬时, 受力如图, 建立如图坐标。
C
B FN
mg
x
由质点系的达朗贝尔原理
Fx 0
FT FIe FIr cos30 0 (1)
y
E FIr
30
o
FT
A MI FIe
以B为基点, 则A点的加速度为
t n t n aA aA aB aAB aAB
aB
2
A
t aA t aCB
其中
a v AE 0
n A 2 A
a
n AB
2l 0
B aB
30o
将上式投影到x 轴上得
0 aB a cos30
t AB
x
aB 2l cos30
Σ M O ( Fi ) Σ M O ( F i ) Σ M O ( FI i ) 0
(e) (i)
质点系的达朗贝尔原理
因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共 线, 因此有ΣFi(i) = 0和ΣMO(Fi(i)) = 0, 于是的有
Σ F i Σ FI i 0 Σ M O ( F i ) Σ M O ( FI i ) 0
(mi ri )ri (mi ri 2 )
即
M IO J O
结论：定轴转动刚体的惯性力系 , 可以简化为
通过转轴 O 的一个惯性力 FIR 和一个惯性力偶 MIO。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心加 速度大小的乘积, 方向与质心加速度的方向相 反，作用线通过转轴；力偶MIO的矩等于刚体 对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积 , 转向与角加速度的转向相反。
由静力学中任意力系简化理论知，主矢的大小和 方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的 位置有关。下面就刚体平移、定轴转动和平面运动讨 论惯性力系的简化结果。 1. 刚体作平移 刚体平移时，刚体内任 一质点 i 的加速度 ai 与质心的 加速度aC相同，有ai ＝ aC， 任选一点O为简化中心，主矩 用MIO表示。 1 a1 aC FIi i ai
FAy FAx A
W
MIB
Fx 0
FAx 0
mA
B M
G C FIC a
Fy 0
FAy W G P FIC 0
M A (F ) 0 l mA W Gl M M IB ( P FIC )(l r ) 0 2
代入MIB 和FIC解得
t n aC aB aCB aCB
E
aB
30o
A
C
t aCB
B aB y
其中
t aCB l
n aCB l 2 0
D
FT
将惯性力系向质心C简化, 得惯性力FI＝FIe＋FIr , 其 中FIe ＝maB , FIr ＝matCB ＝ml 和惯性力偶, 其力偶 的矩为
E
FIr
ma F FN
将上式改写成
FI m F a
F FN ma 0
令
FI ma
FN
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘 积, 方向与质点加速度的方向相反。
一、质点的达朗贝尔原理
则有
F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、
P
2( M rP) FAy W G P P r (G 2 P) W ( M rP) rG 2M mA l ( G ) M G (l r ) P 2 (G 2 P) r (G 2 P)
例2 均质杆的质量为m, 长为2l, 一端放在光滑地 面上, 并用两软绳支持, 如图所示。求当BD绳切断的 瞬时, B点的加速度AE绳的拉力及地面的反力。 解：以 AB杆为研究对象 ,杆 AB作平面运动 , 如 图, 以B点为基点, 则C点的加速度为
FI1
rC
C
O
三、刚体惯性力系的简化
1. 刚体作平移
MIO ri FIi r i (mi ai ) ( mi ri ) aC mrC aC
式中，rC为质心C到简化中心O的 矢径。若选质心 C 为简化中心， 主矩以MIC表示，则rC＝0，有
1
FI1 rC O C
a1
aC FIi i ai
MIC 0
结论：
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力, 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积 , 合力的 方向与加速度方向相反。
三、刚体惯性力系的简化
2. 刚体绕定轴转动 如图所示, 具有质量对称面且 绕垂直于质量对称面的轴转动的 刚体。其上任一点的惯性力的分 量的大小为
例1 均质杆AB长l, 重W, B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作 用一矩为 M的力偶, 借助于细绳提升重为 P的重物C。试求固定端 A的约束 反力。 l 解：先以轮和重物为研究对象 , 受力 如图。假想地加上惯性力 B
1 G 2 a Gr M IB J B r a 2 g r 2g P FIC a g
三、刚体惯性力系的简化
3. 刚体作平面运动(平行于质量对称面） 工程中，作平面运动的刚体常 常有质量对称平面，且平行于此平 MIC aC 面运动。当刚体作平面运动时，其 C 上各质点的惯性力组成的空间力系， FIR 可简化为在质量对称平面内的平面 力系。 取质量对称平面内的平面图形如图所示 , 取质心 C为基点, 设质心的加速度为 aC，绕质心转动的角速 度为 ，角加速度为 ，与刚体绕定轴转动相似，此 时惯性力系向质心C简化的主矩为
上假想地加上它的惯性力FIi＝-miai , 则由质点的达
朗贝尔原理, 有
Fi FN i FI i 0
(i 1, 2, , n)
即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理。
质点系的达朗贝尔原理
把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力 为Fi , 内力的合力为Fi ，则有
达朗贝尔原理引言
达朗贝尔原理的特点是：用静力学研究平衡 问题的方法来研究动力学的不平衡问题 , 因此 这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡 问题的方法比较简单, 也容易掌握, 因此动静 法在工程中被广泛使用。
质点的达朗贝尔原理
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
(e)
(e)
称ΣFIi为惯性力系的主矢， ΣMO(FIi) 为惯性力 系的主矩。
三、刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题， 需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性 力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力学力 系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。
(e) (i)
F F i FI i 0 (i 1, 2, , n) 质点系中第个质点上作用的外力、内力和它的惯性 力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意 力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一 点的主矩等于零，即
(e) i
(i)
Σ Fi (e) Σ Fi (i) Σ FI i 0
M IC J C
三、刚体惯性力系的简化
FI ＝－maC
M IC J C
结论： 有质量对称平面的刚体，平行于此平
面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面 内的一个力和一个力偶。这个力通过质心， 其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积, 其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶 的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面 的轴的转动惯量与角加速度的乘积 , 转向与 角加速度相反。
平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。
应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样 做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。
二、质点系的达朗贝尔原理
设质点系由 n 个质点组成, 其中任一质点i的质 量为mi, 其加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为
主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点
FT maB ml cos30 0
Fy 0
FN FIr sin30 mg 0
(2)
C
FN ml sin30 mg 0 MC (F ) 0
B
FN
mg
x
FT l cos30 FN l sin30 M I 0
(3)
1 2 FT l cos 30 FN l sin 30 ml 0 3
联立求解（1）~（4）式, 得
(4)
3 3 3 aB g sin 2 30 g 4 8 1 3 3 FT maB mg 2 16
aB 3g 2l cos 30 8l
1 13 FN mg maB tan 30 mg 2 16
以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质 点系的达朗贝尔原理
Σ Fi (e) Σ FI i 0
得
FIR Σ FI i Σ Fi (e) maC
此式表明：无论刚体作什么运动, 惯性力系的主矢都等 于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速 度的方向相反。
三、刚体惯性力系的简化
MIO O
FIit
ri
F m a mi ri
t Ii t i i
i
F m a mi ri
n Ii n i iபைடு நூலகம்
2
FIin
方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为
MIO MO (FIin ) MO (FIit )
三、刚体惯性力系的简化
由于FIin通过O点, 则有 ΣMO( FIin )= 0, 所以 M IO M O ( FIit ) FIit ri
A
M
C
由质点系的达朗贝尔原理
FBy
MIB
M B (F ) 0
代入MIB 和FIC得
M M IB r ( P FIC ) 0
FBx B M
G
C FIC P a
2( M rP) a g r (G 2 P)
再以整体为研究对象, 受力如图, 假 想地加上惯性力
由质点系的达朗贝尔原理
三、刚体惯性力系的简化
现在讨论以下三种特殊情况：
1. 当转轴通过质心C时, aC＝0, FI＝0, MIC＝－JC。 此时惯性力系简化为一惯性力偶。
2. 当刚体作匀速转动时, ＝0, 若转轴不过质心, 惯 性力系简化为一惯性力FI , 且FI ＝－maC, 同时力的 作用线通过转轴O。 3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心 C 时 , FI ＝ 0, MIC＝0, 惯性力系自成平衡力系。
30
o
A MI
FIe
1 1 2 2 M I J C m(2l ) ml 12 3
在BD绳切断的瞬时, 受力如图, 建立如图坐标。
C
B FN
mg
x
由质点系的达朗贝尔原理
Fx 0
FT FIe FIr cos30 0 (1)
y
E FIr
30
o
FT
A MI FIe
以B为基点, 则A点的加速度为
t n t n aA aA aB aAB aAB
aB
2
A
t aA t aCB
其中
a v AE 0
n A 2 A
a
n AB
2l 0
B aB
30o
将上式投影到x 轴上得
0 aB a cos30
t AB
x
aB 2l cos30
Σ M O ( Fi ) Σ M O ( F i ) Σ M O ( FI i ) 0
(e) (i)
质点系的达朗贝尔原理
因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共 线, 因此有ΣFi(i) = 0和ΣMO(Fi(i)) = 0, 于是的有
Σ F i Σ FI i 0 Σ M O ( F i ) Σ M O ( FI i ) 0
(mi ri )ri (mi ri 2 )
即
M IO J O
结论：定轴转动刚体的惯性力系 , 可以简化为
通过转轴 O 的一个惯性力 FIR 和一个惯性力偶 MIO。力FIR的大小等于刚体的质量与其质心加 速度大小的乘积, 方向与质心加速度的方向相 反，作用线通过转轴；力偶MIO的矩等于刚体 对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积 , 转向与角加速度的转向相反。
由静力学中任意力系简化理论知，主矢的大小和 方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的 位置有关。下面就刚体平移、定轴转动和平面运动讨 论惯性力系的简化结果。 1. 刚体作平移 刚体平移时，刚体内任 一质点 i 的加速度 ai 与质心的 加速度aC相同，有ai ＝ aC， 任选一点O为简化中心，主矩 用MIO表示。 1 a1 aC FIi i ai
FAy FAx A
W
MIB
Fx 0
FAx 0
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B M
G C FIC a
Fy 0
FAy W G P FIC 0
M A (F ) 0 l mA W Gl M M IB ( P FIC )(l r ) 0 2
代入MIB 和FIC解得
t n aC aB aCB aCB
E
aB
30o
A
C
t aCB
B aB y
其中
t aCB l
n aCB l 2 0
D
FT
将惯性力系向质心C简化, 得惯性力FI＝FIe＋FIr , 其 中FIe ＝maB , FIr ＝matCB ＝ml 和惯性力偶, 其力偶 的矩为
E
FIr
ma F FN
将上式改写成
FI m F a
F FN ma 0
令
FI ma
FN
FI具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点 的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘 积, 方向与质点加速度的方向相反。
一、质点的达朗贝尔原理
则有
F FN FI 0
即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、
P
2( M rP) FAy W G P P r (G 2 P) W ( M rP) rG 2M mA l ( G ) M G (l r ) P 2 (G 2 P) r (G 2 P)
例2 均质杆的质量为m, 长为2l, 一端放在光滑地 面上, 并用两软绳支持, 如图所示。求当BD绳切断的 瞬时, B点的加速度AE绳的拉力及地面的反力。 解：以 AB杆为研究对象 ,杆 AB作平面运动 , 如 图, 以B点为基点, 则C点的加速度为
FI1
rC
C
O
三、刚体惯性力系的简化
1. 刚体作平移
MIO ri FIi r i (mi ai ) ( mi ri ) aC mrC aC
式中，rC为质心C到简化中心O的 矢径。若选质心 C 为简化中心， 主矩以MIC表示，则rC＝0，有
1
FI1 rC O C
a1
aC FIi i ai
MIC 0
结论：
平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力, 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积 , 合力的 方向与加速度方向相反。
三、刚体惯性力系的简化
2. 刚体绕定轴转动 如图所示, 具有质量对称面且 绕垂直于质量对称面的轴转动的 刚体。其上任一点的惯性力的分 量的大小为
例1 均质杆AB长l, 重W, B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作 用一矩为 M的力偶, 借助于细绳提升重为 P的重物C。试求固定端 A的约束 反力。 l 解：先以轮和重物为研究对象 , 受力 如图。假想地加上惯性力 B
1 G 2 a Gr M IB J B r a 2 g r 2g P FIC a g
三、刚体惯性力系的简化
3. 刚体作平面运动(平行于质量对称面） 工程中，作平面运动的刚体常 常有质量对称平面，且平行于此平 MIC aC 面运动。当刚体作平面运动时，其 C 上各质点的惯性力组成的空间力系， FIR 可简化为在质量对称平面内的平面 力系。 取质量对称平面内的平面图形如图所示 , 取质心 C为基点, 设质心的加速度为 aC，绕质心转动的角速 度为 ，角加速度为 ，与刚体绕定轴转动相似，此 时惯性力系向质心C简化的主矩为
上假想地加上它的惯性力FIi＝-miai , 则由质点的达
朗贝尔原理, 有
Fi FN i FI i 0
(i 1, 2, , n)
即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理。
质点系的达朗贝尔原理
把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力 为Fi , 内力的合力为Fi ，则有
达朗贝尔原理引言
达朗贝尔原理的特点是：用静力学研究平衡 问题的方法来研究动力学的不平衡问题 , 因此 这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡 问题的方法比较简单, 也容易掌握, 因此动静 法在工程中被广泛使用。
质点的达朗贝尔原理
设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主 动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。
(e)
(e)
称ΣFIi为惯性力系的主矢， ΣMO(FIi) 为惯性力 系的主矩。
三、刚体惯性力系的简化
用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题， 需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性 力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力学力 系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。
(e) (i)
F F i FI i 0 (i 1, 2, , n) 质点系中第个质点上作用的外力、内力和它的惯性 力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意 力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一 点的主矩等于零，即
(e) i
(i)
Σ Fi (e) Σ Fi (i) Σ FI i 0
M IC J C
三、刚体惯性力系的简化
FI ＝－maC
M IC J C
结论： 有质量对称平面的刚体，平行于此平
面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面 内的一个力和一个力偶。这个力通过质心， 其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积, 其方向与质心加速度的方向相反；这个力偶 的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面 的轴的转动惯量与角加速度的乘积 , 转向与 角加速度相反。