有关高中数学抽象函数问题专题

抽象函数问题专题

抽象函数是相对于具体函数而言的，它是指没有给出具体函数的解析式，仅仅给出函数的部分性质，如函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )等，解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数。通过抽象函数设置的考题，主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性和周期性），考查学生的抽象思维、理性思维和严谨细腻的逻辑推理能力，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。因此对抽象函数的考查是历年高考的热点、焦点和难点。

由于抽象函数没有给出具体的函数解析式，具有一定的隐藏性和抽象性，不少学生在解决这类问题时不能透彻理解题设条件，缺乏严谨的推理和全面的思考，容易忽视某些隐藏的函数性质。对于抽象函数的考查，主要以选择题、填空题为主，有时也会在大题出现。

一、抽象函数与函数的函数值、定义域、值域、解析式以及复合函数

【例1】⑴（04全国IV ）设函数f (x )（x ∈R ）为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝

········································································································································· （ ）

A ．0

B ．1

C ．52

D ．5

⑵（2010陕西）下列四类函数中，个有性质“对任意的x ＞0，y ＞0，函数f (x )满足 f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是 ······························································································· （ C ）

A. 幂函数

B. 对数函数

C. 指数函数

D. 余弦函数

⑶（2011广东文10）设f (x )，g (x )，h (x )是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数(f g )(x )和(f ∙g )(x )；对任意x ∈R ，(f g )(x )＝f (g (x ))；(f ∙g )(x )＝f (x )g (x )．则下列等式恒成立的是（ ）

A. ((f g ) ∙h ) (x )＝((f ∙h )(g ∙h ))(x )

B. ((f ∙g ) h ) (x )＝((f h )∙(g h ))(x )

C. ((f g ) h ) (x )＝((f h )(g h ))(x )

D. ((f ∙g ) ∙h ) (x )＝((f ∙ h )∙(g ∙h ))(x )

【例2】⑴已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x ＋2)的定义域是 ； ⑵已知函数f (x )的定义域是[1，4]，则f (x 2)的定义域是 ；

⑶已知函数f (x ＋2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ；

⑷已知函数f (x 2)的定义域是[1，4]，则f (x )的定义域是 ；

⑸已知函数f (x )的值域是[1，4]，则函数g (x)＝f (x )＋4f (x )的值域是 .

【例3】已知f (x )是二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x ).

【总结】在解决抽象函数与函数的定义、函数值、解析式有关的问题，往往可以考虑换元法、赋值法、待定系数法等。

二、抽象函数与函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值

【例4】⑴若f (x )是周期为T （T > 0）的奇函数，则F (x )＝f (2x －1)·f (2x + 1)是 ··········· （ ）

A. 周期为T 2的奇函数

B. 周期为T 2的偶函数

C. 周期为T 4的奇函数

D. 周期为T 4的偶函

⑵设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：

①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是单调递增；

②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是单调递增；

③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是单调递减；

④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是单调递减.

其中，正确的命题是 ····································································································· （ ）

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

⑶已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (3－x )＝f (3＋x )，则 ············ （ ）

A. f (x )一定是奇函数

B. f (x )一定是偶函数

C. f (x )的图象一定关于直线x ＝－2对称

D. f (2x )的图象一定关于直线x ＝－12对称 ⑷已知y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是 ································ （ ）

A. x ＝1

B. x ＝2

C. x ＝－12

D. x ＝12

⑸（2006山东）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)＝ ·············· （ ）

A. －1

B. 0

C. 1

D. 2

⑹定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎨⎧log 2(1－x )， x ≤0f (x －1)－f (x －2)，x ＞0

，则f (2009)的值为（ ） A. －1 B. －2 C. 1 D. 2

【例5】⑴（2011湖南）已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (－2)＝ ；

⑵（2010重庆）已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4 f (x ) f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )（x ，y ∈R ），则f (2010)

＝ ；

⑶（06安徽）函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5, 则f (f (5))＝ .