数学分析试题库

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数学分析试题及答案

数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。

答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。

答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。

答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。

答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。

答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。

3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。

答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。

数学分析3-期末考试真题

3 数学分析试卷
11sin sin 01(),
0 0x y xy y x f x xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩
当、已知当()()
000000lim (,),lim lim (,)lim lim (,),x y x x y y f x y f x y f x y →→→→→→判断及是否存在，并说明理由。

2222
2,()1z z z x y x y h z x y ∂++=∂∂、已知=()是由确定的。

试求的值。

222
22231 x y z a b c
++=、求椭球体上任一点的切平面于坐标轴所围四面体体积的最大值。

22
22223/222 0()4(,)(,) 0 0x y x y x y f x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
当、已知，判断的连续性及可微性。

当22265,0
x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩、已知曲线方程为求在点(1,-2,1)处的切线方程和法平面方程。

23D 36,D x dxdy y xy
+⎰⎰、求二重积分已知为如图的区域。

7I ().1x y z dxdydz x y z Ω=++Ω++=⎰⎰⎰、计算三重积分其中为平面，
与三个坐标平面围城的空间区域。

2228I cos .1
xdydz ydzdx dxdy x y z ∑++∑++=⎰⎰、求曲面积分=其中为所谓区域的外侧。

L
9I sin . L Pdx x ydy =+⎰、求曲线积分已知如图所示。

S 22I (). S 2xy yz zx dS z x y ax ++=+=⎰⎰10、求曲面积分=已知为柱面所截的曲面。

数学分析试题库-选择题

数学分析题库（1-22章）一．选择题１．函数712arcsin162-+-=x x y 的定义域为（）. （A ）[]3,2； (B)[]4,3-； (C)[)4,3-； (D)()4,3-.２．函数)1ln(2++=x x x y ()+∞<<∞-x 是( ）.（A ）偶函数; (B)奇函数; (C)非奇非偶函数; (D)不能断定. ３．点0=x 是函数xe y 1=的（）.（A ）连续点; (B)可去间断点; (C)跳跃间断点; (D)第二类间断点.４．当0→x 时，x 2tan 是（）.（A ）比x 5sin 高阶无穷小 ; (B) 比x 5sin 低阶无穷小; (C) 与x 5sin 同阶无穷小; (D) 与x 5sin 等价无穷小.５．xx x x 2)1(lim -∞→的值（）．（A ）e; (B)e1; (C)2e ;(D)0.６．函数f(x)在x=0x 处的导数)(0'x f 可定义为（）．（A ）0)()(x x x f x f -- ; (B)x x f x x f x x ∆-∆+→)()(lim 0 ;(C) ()()x f x f x ∆-→∆0lim; (D)()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆2lim 000. ７．若()()2102lim0=-→x f x f x ，则()0f '等于（）.（A ）4; (B)2; (C)21; (D)41,８．过曲线xe x y +=的点()1,0处的切线方程为（）.（A ）()021-=+x y ; (B)12+=x y ; (C)32-=x y ; (D)x y =-1. ９．若在区间()b a ,内，导数()0>'x f ，二阶导数()0>''x f ，则函数()x f 在区间内是（）.（A ）单调减少，曲线是凹的; (B) 单调减少，曲线是凸的; (C) 单调增加，曲线是凹的; (D) 单调增加，曲线是凸的. 10．函数()x x x x f 933123+-=在区间[]4,0上的最大值点为（）. （A ）4; (B)0; (C)2; (D)3.11．函数()x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==-ttey ex 35确定，则=dx dy （）. （A ）te 253; (B)t e 53; (C) t e --53 ; (D) t e 253-. 12设f ，g 为区间),(b a 上的递增函数，则)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是),(b a 上的（）（A ）递增函数 ; （ B ）递减函数; （C ）严格递增函数; （D ）严格递减函数. 13．()n =（A ） 21; (B) 0; （C ） ∞ ; （D ） 1; 14．极限01lim sin x x x→=（）（A ） 0 ; (B) 1 ; （C ） 2 ; （D ） ∞+.15．狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D 01)(的间断点有多少个（）（A ）A 没有; (B) 无穷多个; （C ） 1 个; （D ）2个. 16．下述命题成立的是（）（A ）可导的偶函数其导函数是偶函数; (B) 可导的偶函数其导函数是奇函数; （C ）可导的递增函数其导函数是递增函数; （D ）可导的递减函数其导函数是递减函数. 17．下述命题不成立的是（）（A ）闭区间上的连续函数必可积; (B) 闭区间上的有界函数必可积; （C ）闭区间上的单调函数必可积; （D ）闭区间上的逐段连续函数必可积. 18 极限=-→xx x 10)1(lim （）（A ） e ; (B) 1; （C ） 1-e ; （D ） 2e . 19．0=x 是函数 xxx f sin )(=的（）（A ）可去间断点; （B ）跳跃间断点; （C ）第二类间断点; （D ）连续点. 20．若)(x f 二次可导，是奇函数又是周期函数，则下述命题成立的是（）（A ） )(x f ''是奇函数又是周期函数 ; (B) )(x f ''是奇函数但不是周期函数;（C ） )(x f ''是偶函数且是周期函数 ; （D ） )(x f ''是偶函数但不是周期函数.21．设xx x f 1sin1=⎪⎭⎫ ⎝⎛，则)(x f '等于（）（A ）2cos sin x x x x - ; (B)2sin cos x xx x - ;（C ）2sin cos x x x x + ; （D ） 2cos sin xxx x +. 22．点（0，0）是曲线3x y =的 ( )（A ）极大值点; (B)极小值点 ; C ．拐点 ; D ．使导数不存在的点. 23．设x x f 3)(= ，则ax a f x f ax --→)()(lim等于（）（A ）3ln 3a; （B ）a3 ; （C ）3ln ; （D ）3ln 3a.24．一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A ）它们都给出了ξ点的求法; （B ）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法; （C ）它们都先肯定了ξ点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 ; （D ）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 25．若()f x 在(,)a b 可导且()()f a f b =,则（）（A ）至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=；（B ）一定不存在点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=；（C ）恰存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=；（D ）对任意的(,)a b ξ∈，不一定能使()0f ξ'= .26．已知()f x 在[,]a b 可导，且方程f(x)=0在(,)a b 有两个不同的根α与β，那么在(,)a b 内（） ()0f x '=. （A ）必有；（B ）可能有；（C ）没有；（D ）无法确定.27．如果()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，c 为介于 ,a b 之间的任一点，那么在(,)a b内（）找到两点21,x x ，使2121()()()()f x f x x x f c '-=-成立.（A ）必能；（B ）可能；（C ）不能；（D ）无法确定能 .28．若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且(,)x a b ∈ 时，()0f x '>，又()0f a <,则（）. （A ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，且()0f b >；（B ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，且()0f b <；（C ） ()f x 在[,]a b 上单调减少，且()0f b <；（D ） ()f x 在[,]a b 上单调增加，但()f b 的正负号无法确定. 29．0()0f x '=是可导函数()f x 在0x 点处有极值的（）. （A ）充分条件；（B ）必要条件（C ）充要条件；（D ）既非必要又非充分条件.30．若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（）. （A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；（B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；（C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值；（D ）极大值必大于极小值 .31．若在(,)a b 内，函数()f x 的一阶导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<,则函数()f x 在此区间内( ).（A ）单调减少，曲线是凹的；（B ）单调减少，曲线是凸的；（C ）单调增加，曲线是凹的；（D ）单调增加，曲线是凸的.32．设lim ()lim ()0x ax af x F x →→==，且在点a 的某邻域中（点a 可除外），()f x 及()F x 都存在，且()0F x ≠,则()lim ()x a f x F x →存在是''()lim ()x a f x F x →存在的（）.（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充分必要条件；（D ）既非充分也非必要条件 . 33．0cosh 1lim1cos x x x→-=-（）.（A ）0；（B ）12-；（C ）1；（D ）12. 34．设a x n n =∞→||lim ，则（）(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞→lim ；(C) a x n n -=∞→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。

数学分析(1)期末试题集(计算题部分)

.
2.设求的极值.
解:当时, .令 ,得稳定点 .
当时, ;当时, ,故为极小值点,极小值为 ;
当时, ,所以在内严格单调增,无极值.
而在的邻域内,左边函数单调增,右边函数单调减,故为极大值点,函数的极大值为 .
3.设函数满足 .讨论是否为的极值点.
解若 ,由极值的必要条件知, 不是的极值点.
当时, , 单调减少.当时, , 单调增加.于是为在内唯一的极小值,也为最小值.因此函数的零点个数与的符号有关.
当 ,即时, 在恒为正值函数,无零点;
当 ,即时, 在内只有一个零点,即 ;
当当 ,即时,因为 ,由连续函数的零点定理知, 和 ,使得 ,且由函数的单调性知, 在和内最多各有一个零点,所以当时, 在有且只有两个零点.
(4)因为
所以是偶函数.
(5) .所以是奇函数.
7.求函数的值域.
解因为反函数的定义域为 ,所以函数的值域为 .
8.设有方程其中 .求解与 .
解由方程组得 ,代入 ,所以 .
9.若函数的图形有对称中心及 ,试证为周期函数,并求出周期 .
解由于的图形有对称中心及 ,于是有
.
进而有且 ,令 ,由上式便得到 .由周期函数的定义,注意到 ,因此是以为周期的周期函数.
10、设函数在内有定义,且对任意的实数 ,有 ,求 .
解由于 ,且 .
11、若函数对其定义域内的一切 ,恒有 ,则称函数对称于 .证明:如果函数对称于及 ,则必定是周期函数.
证若及
所以是以为最小周期的周期函数.
12.若的图形有对称轴和对称中心 ,求证为周期函数.

数学分析试题

测试题第一章实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称：（1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下：（1）()x e x f =；（2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

数学分析第四学期试题

试题(1卷)一．填空（每小题3分,共15分）1．若平面曲线L 由方程0),(=y x F 给出，且),(y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则曲线L 在点0P 的切线方程为； 2.含参量积分⎰=)()(),()(x d x c dyy x f x F 的求导公式为=')(x F ;3。

Γ函数的表达式为 =Γ)(s ,0>s ；4。

二重积分的中值定理为：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存在D ∈),(ηξ，使⎰⎰=Dd y x f σ),( ；5.当0),,(≥z y x f 时,曲面积分⎰⎰S dSz y x f ),,(的物理意义是：。

二.完成下列各题(每小题5分，共15分)1。

设5422222=-+-++z y x z y x ,求y z x z ∂∂∂∂,； 2。

设 ⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x u u 求 x v x u ∂∂∂∂, ；3. 求积分)0(ln 1>>-⎰a b dx x x x ab .三。

计算下列积分(每小题10分，共50分）1。

⎰L xyzds,其中L 为曲线)10(21,232,23≤≤===t t z t y t x 的一段；2.⎰+-Ly x xdxydy 22,其中L 为圆t a y t a x sin ,cos ==在第一象限的部分，并取逆时针方向；3．作适当变换计算⎰⎰-+D dxdyy x y x )sin()(，其中D }{ππ≤-≤≤+≤=y x y x y x 0,0),(; 4。

⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22,其中V 是由x y z x x ====,0,2,1与y z =围成的区域;5.dSy xS)(22⎰⎰+,其中S 为圆锥面222z y x =+被平面1,0==z z 截取的部分。

四.应用高斯公式计算dxdy z dzdx y dydz x S333++⎰⎰,其中S 为球面2222a z y x =++的外侧。

数学分析试题库--证明题.doc

数学分析题库（1-22 章）五．证明题1．设 A， B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何a A, b B 有 a（2）对任何0 ，存在 x证明： sup A inf B.2. 设 A， B是非空数集，记S Ab ；A, y B ，使得B ，证明：Y x .（1）sup S max sup A, supB；（2）inf S min inf A,inf B3.按N 定义证明lim 5n2 n 2 5n 3n 2 2 34. 如何用ε -N 方法给出lim a n a 的正面陈述？并验证| n2 | 和 | ( 1)n | 是发散数列 .n5. 用方法验证：limx 2 x 23 . x( x 2 3x 2)x 16．用M 方法验证：lim x 1 .x x21 x 27 . 设lim ( x) a ，在 x0某邻域 U ( x 0 ;1 ) 内( x) a ，又 lim f ( t) A .证明x x0 t alim f ( ( x)) A .x x08. 设f (x)在点x0 的邻域内有定义 . 试证：若对任何满足下述条件的数列x n，（1）x n U ( x0 ) ， x n x0，（2）0 x n 1 x0 x n x0，都有 lim f ( x n ) A ，n则 lim f ( x) A .x x09.证明函数x3 , x为有理数，f (x)0, x为无理数在 x00 处连续，但是在x00 处不连续.10. 设f ( x)在（ 0，1）内有定义，且函数e x f (x) 与 e f ( x)在（0，1）内是递增的，试证 f (x) 在（ 0， 1）内连续 .11. 试证函数 y sin x 2 ，在 [0, ) 上是不一致连续的.12. 设函数 f (x) 在（a,b）内连续，且 lim f ( x) = lim f ( x) =0，证明 f ( x) 在（a,b）内有最x a x b大值或最小值 .13. 证明：若在有限区间（ a,b ）内单调有界函数 f (x) 是连续的，则此函数在（a,b ）内是一致连续的 .14 . 证明：若 f (x) 在点a处可导，f（x）在点a处可导.15. 设函数 f (x)在 (a,b) 内可导，在[a,b]上连续，且导函数 f (x) 严格递增，若f (a) f (b) 证明，对一切 x (a, b) 均有f (x) < f (a) f (b)16. 设函数 f ( x) 在 [a, ] 内可导，并且 f (a) < 0 ，试证：若当 x (a, ) 时，有f (x) > c > 0 则存在唯一的(a, ) 使得 f ( ) 0 ，又若把条件 f ( x) > c 减弱为f / (x) > 0(a < x <+ ) ，所述结论是否成立？17.证明不等式e x 1 x x2 ( x 0)218. 设f为( , ) 上的连续函数，对所有x, f (x) 0 ，且lim f (x) lim f ( x) 0 ，x x证明 f (x) 必能取到最大值.19. 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可导, 且 f (0) 0 ， f (1) 1， f (0) f (1) 0 ，则存在c (0,1) 使得 | f (c) | 2 .20.应用函数的单调性证明2xsin x x, x (0, );2m 1 0（ m 为实数），21. 设函数f ( x) x sin x , x0, x 0试问：（1） m 等于何值时， f 在 x 0 连续；（2） m 等于何值时， f 在 x 0 可导；（3） m 等于何值时， f 在 x0 连续；22. 设 f (x) 在 [0,1] 上具有二阶导数，且满足条件 f (x) a ， f (x) b ，其中 a, b 都是非负常数， c 是 (0,1) 内的任一点，证明f (c)2ab223. 设函数 f ( x)在[ a, b] 上连续，在（ a,b ）内二阶可导，则存在 (a, b) 使得f (b) 2 f (a b)f (a)(b a) 2 f ( )2424. 若 f (x) 在点 x 0 的某个领域上有 (n 1) 阶连续导函数 , 试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式 .25. 用泰勒公式证明 : 设函数 f (x) 在 a,b 上连续 , 在 a, b 内二阶可导 , 则存在( a, b) ,使得f (b)a b)(b a) 2f ' '( ) .2 f (f ( a)4226. 设函数 f ( x) 在 0,2 上二阶可导 , 且在 0,2 上 f (x) 1 , f ' ' (x) 1. 证明在 0,2 上成立f '' (x)2 .27. 设 f 是开区间 I 上的凸函数 , 则对任何 ,I , f 在 ,上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在 L>0 , 对任何 x ' , x ' ', ,成立f ( x ' ) f ( x) '' L x 'x ''.28. 设 f (x) 在 [ a, ] (a 0) 上满足 Lipschitz条件： | f (x) f ( y) | k | xy |, 证明f (x) 在 [ a, ] 上一致连续 .x29. 试证明方程 xnx n 1x 1在区间 ( 1,1) 内有唯一实根。

数学分析期末试题A答案doc

数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。

因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。

A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。

因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。

在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。

因此，答案为 C。

高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。

以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。

一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。

数学分析试题库--判断题【精选】

数学分析题库（1-22章）三判断题1. 数列收敛的充要条件是数列有界.( ){}n a {}n a 2. 若, 当时有, 且, 则不存在. ( )0N ∃>n N >n n n a b c ≤≤lim lim n n n n a c →∞→∞≠lim n n b →∞3. 若, 则存在使当时,有.( )lim ()lim ()x x x x f x g x →→>00(;)U x δ00(;)x U x δ∈()()f x g x >4. 为时的无穷大量的充分必要条件是当时,为无界函数.()f x 0x x →00(;)x U x δ∈()f x ( )5. 为函数的第一类间断点. ( )0x =sin xx6. 函数在上的最值点必为极值点. ( )()f x [,]a b 7. 函数在处可导.( )21,0,()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩0x = 8. 若在上连续, 则在上连续. ( )|()|f x [,]a b ()f x [,]a b 9. 设为区间上严格凸函数. 若为的极小值点，则为在上唯一的极f I 0x I ∈f 0x f I 小值点. ( )10. 任一实系数奇次方程至少有两个实根. ( )11. . （）2200011lim sinlim limsin 0x x x x x x x →→→=⋅=12. 数列存在极限对任意自然数, 有. （）{}n a ⇔p lim ||0n p n n a a +→∞-=13. 存在的充要条件是与均存在.（）)(lim 0x f x x →)(lim 0x f x x +→)(lim 0x f x x -→14.（ .0)2(1lim )1(1lim 1lim )2(1)1(11lim 222222=++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ）15. 若, 则 . （）,lim a a n n =∞→0,0>>a a n 1lim lim ==∞→∞→n n n n n a a 16.设为定义于上的有界函数,且,,则)(),(x g x f D )()(x g x f ≤D x ∈.（）)(inf )(inf x g x f Dx Dx ∈∈≤17. 发散数列一定是无界数列.（）18. 是函数的第二类间断点. （）0x =1()sinf x x x=19. 若在连续，在内可导，且，则不存在，使()f x [,]a b (,)a b ()()f a f b ≠(,)a b ξ∈.（）()0f ξ'=20. 若在点既左可导又右可导，则在连续.（）()f x 0x ()f x 0x 21．定义在关于原点对称的区间上的任何函数f(x)均可表示为一个偶函数和一个奇函数之和.( ）22．设函数f(x)在处的导数不存在，则曲线y=f(x)在处无切线.（ 0x x =()()00,x f x ）23．若f(x)与g(x)均在处取得极大值，则f(x)g(x)在处也取得极大值.（0x x =0x x =）24.(为常数,可以是之一)，则，lim ()x f x b→Λ=b Λ000,,,,,x x x -+∞+∞-∞是变化时的无穷小量( )25.函数在(a,b)单调增加，则时，函数的左、右极限()f x 都存在，且( )26. 设，为有理数集，则( )27.若函数在连续，则也在连续 ( )28．设)(x f 在],[b a 上连续，M 与m 分别是)(x f 的最大值和最小值，则对于任何数)(M c mc ≤≤，均存在],[b a ∈ξ，使得c f =)(ξ. ( )29．设(),()f x g x 在),(b a 内可导，且)()(x g x f >，则)(')('x g x f >.( )30．设}{n x 的极限存在，}{n y 的极限不存在，则}{n ny x +的极限未必不存在.( )31．如是函0x x =数)(x f 的一个极点，则0)('0=x f . ( )32．对于函数x x x cos +，由于)sin 1(lim ')'cos (lim x x x x x x -=+∞→∞→不存在，根据洛必达法制，当x 趋于无穷大时，x x x cos +的极限不存在. ( )33．无界数列必发散. ( )34．若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续. ( )35．初等函数在有定义的点是可导的. ( )36．ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导 . ( )37．设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f . ( )38．设数列递增且（有限）. 则有. ( )}{n a }sup{n a a =39．设函数在点的某邻域内有定义. 若对,当)(x f 0x )(0x U )(0x U x n∈∀时, 数列都收敛于同一极限. 则函数在点连续. ( )0x x n →)}({n x f )(x f 0x 40．设函数在点的某邻域内有定义. 若存在实数,使时,)(x f y =0x A 0→∆x 则存在且. ( )),()()(00x x A x f x x f ∆=∆--∆+ )(0x f 'A x f =')(041．若则有( )),(0)( ,0)()(2121x f x f x f x f ''<<''='=').()(21x f x f >42．设. 则当时,⎰⎰+=+=c x G dx x g c x F dx x f )()( ,)()()()(x G x F ≠有. ( ))()(x g x f ≠43．设在内可导，且，则)(),(t g x f ),(b a )()(x g x f >. ( ))(')('x g x f >44．存在这样的函数，它在有限区间中有无穷多个极大点和无穷多个极小点. ( )45．在上可积,但不一定存在原函数. ( )()x f []b a ,46．利用牛顿一来布尼兹公式可得. ( )21111112-=--=⎰-x x47．任意可积函数都有界,但反之不真. ( )48．级数,若,则必发散. ( )∑∞=1n na∑∞=≠10n na∑∞=1n n a 49．若级数收敛,则亦收敛. ( )∑∞=1n n a ∑∞=12n n a 50．若在[a,b]上收敛.且每项都连续,则( )()().limlim dx x f dx x f b ann n ban ⎰⎰∞→∞→=51．若一致收敛,则.( )∑∞=1n nu0lim =∞→n n u 52．若在上一致收敛,则在上绝对收敛. ( )∑∞=1n nuI ∑∞=1n nuI 53．函数的傅里叶级数不一定收敛于.( )()x f ()x f 54．设在上可积，记则在上可导，)(x f ],[b a ⎰∈∀=Φxab a x dtt f x ,],[)()()(x Φ],[b a 且( )).()(x f x =Φ'55．上有界函数可积的充要条件是：有对的一个分法，使],[b a )(x f ,0>∀ε],[b a 0T ( ).)()(00ε<-T s T S 56．部分和数列有界，且则收敛. ( )}{n S ,0lim =∞→n n u ∑∞=1n nu57．若收敛，则一定有收敛. ( )∑∞=1||n nu∑∞=1n n u 58．若幂级数在处收敛，则在处也收敛. ( )∑∞=-1)1(n n nx a1-=x 3=x 59．若存在，则在上可展成的幂级数. ( ))(),,()(x fr r x n -∈∀)21 ，，（=n )(x f ),(r r -x60．在区间套内存在唯一一点使得( )]},{[n n b a ,ξ.,2,1],[ =∈n b a n n ξ61.函数列在上一致收敛是指：对和，自然数，当(){}n f x [],a b 0ε∀>[],x a b ∀∈∃N 时，有. ( )m n N >>()()n m f x f x ε-<62.若在上一致收敛于，则在上一致收敛于. ( )(){}n f x [],a b ()f x (){}nfx [],a b ()f x 63.若函数列在上一致收敛，则在上一致收敛. ( )(){}n f x [],a b (){}2n f x [],a b 64. 若函数列在内的任何子闭区间上都一致收敛，则在上一(){}n f x (),a b (){}n f x (),a b 致收敛. ( )65.若函数项级数在上一致收敛，则在上也一致收敛. ( )()1nn u x ∞=∑[],a b ()1nn u x ∞=∑[],a b 66.任一幂级数都有收敛点，它的收敛域是一个区间。

数学分析试题(一)答案及评分标准 - 陕西师范大学

数学分析试题（一）答案及评分标准一、填空（每题3分）1． ]10,0(2．2)()(x f x f −+，2)()(x f x f −− 3．52 4．，1=a 1−=b 5．0二、求极限（每题5分）1．=++++++∞→n n 313131212121222L L lim )(lim )(lim n n n n 31313121212122++++++∞→∞→L L ……………………………(1分) =3113113121121121−−−−∞→∞→))((lim ))((lim n n n n ……………………………………………………………(2分) 2=……………………………………………………………………………(2分) 2．))()((lim 22221111n n nn ++++∞→L 22221211110n n n n n +≤++++≤)()(L ……………………………………………(2分) 利用夹逼原则，…………………………………………………………………(1分) 可求得021111222=++++∞→))()((lim n n n n L ．……………………………………(2分) 3．=−−++∞→902070155863)()()(lim x x x x 9090207090155863()()(lim xx x x x x −−++∞→………………………(2分)=902070155863)()()(lim xx x x −−++∞→…………………………………………………..(1分) 902070583⋅=…………………………………………………………………..(2分) 4．x x x sin )(tan lim 0→= ………………………………………………..(1分) )ln(tan sin lim x x x e 0→x x x x e tan ln sin lim lim 00→→=x x x x e sin tan ln lim lim 100→→=………………………………………………(1分)x x x e sin sec lim 20→−=…………………………………………………………………(2分) 10==e ………………………………………………………………………(1分)5．))cos cos cos (cos lim (lim n n x x x x x 22220L ∞→→ n n n x x x x x x x x x x 22222222212sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin L L +==== …………………………………………………………………………………..（2分）=∞→)cos cos cos (cos lim n n x x x x 2222L 12122+∞→⋅n n n x x sin sin lim …………………………….(1分) 12122+∞→⋅n n n x x sin sin lim =x x x xn n n 2222sin sin lim ⋅∞→x x 22sin =………………………………...(1分) ))cos cos cos (cos lim (lim n n x x x x x 22220L ∞→→=1220=→x x x sin lim …………………………(1分) 6．)sin (lim x x x 22011−→=)sin sin (lim xx x x x 22220−→………………………………………..(1分) =)sin sin (lim xx x x x 22220−→=x x x x x x x 2222220sin sin sin lim +−→……………………………….(1分) xx x x x x x 22222220cos sin sin cos lim++−=→……………………………………………(1分) xx x x x x x 2226232220sin cos sin sin lim −+−=→…………………………………………(1分) 31−=．…………………………………………………………………………(1分) 三、计算（每题5分）1．22xx x x x x y tan sec )tan (−=′=′ 2．)ln )11(ln()1111(ln 2′−−−=′−++−−+=′x x x x xx y ………通过分母有理化先将化简………………………………………………………………………………..(2分) y xx x x x x 1111111222−−⋅−−=′−−−)ln )(ln(………………………………(2分) 2111111x x x x xx y −=′−++−−+=′)(ln ……………………………………………(1分)3．……………………………………………………...(2分))()(ln sin sin ′=′=′x x x e x y )ln (sin )(sin ln sin ′⋅=′x x e e xinx x x …………………………………………………..(1分) )sin ln (cos )ln (sin sin sin xx x x x x x e y x xinx +=′⋅=′………………………………..(2分) 4．，则……………………………………………...(1分) 31x x f =−)(31)()(+=x x f 213()(+=′x x f )…………………………………………………………………(2分) 2)2(3)1(+=+′x x f ………………………………………………………………(1分) 231x x f =−′)(…………………………………………………………………..(1分)5．，则⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos t t t a t t a dx dy tan sin cos cos sin −=−=2233……………………………(2分) ⎪⎩⎪⎨⎧−==x dxdy t a x tan cos 3，则t t a t t a x dx y d sin cos sin cos sec 42222313=−−=…………………...(3分) 6．设，由于x x x y −=ln x x x x y ln )ln (=′−=′………………………………(3分)xdx dy ln =……………………………………………………………………(2分)四、由于∞=−+−→13221x x x x ))((lim，1=x 是垂直渐近线……………………(1分) 21322=−+−∞→xx x x x )())((lim ……………………………………………………….(2分)=−−+−∞→)))(((lim x x x x x 2132241124=−−∞→x x x lim ……………………………….(2分) 因此也具有斜渐近线42+=x y ．……………………………………..(1分) 五、x x x f 2ln )(=，由0222=−=′xx x x f ln ln )(，可解出1=x ，……..(2分) 2e 当时，；当时，10<<x 0<′)(x f 21e x <<0>′)(x f ；当时， x e <20<′)(x f ……………………………………………………………………………………(2分) 所以是的极小值，1=x f 01=)(f ；是的极大值，. 2e x =f 224−=e e f )(…………………………………………………………………………………….(2分) 六、证：令⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0120x x x x x f ,],(,sin )(π…………………………………………(1分) f 在],[20π上连续．当),(20π∈x 时，022<−=−=′xx x x x x x x x f )tan (cos sin cos )(，所以在f ],[20π上严格递减，………………………………………………..(3分) 因此),(20π∈x 时， 1022=<<=)()()(f x f f ππ 即x x x<<sin π2．…………………………….(2分)七、不妨假设在上不恒正也不恒负，…………………………..(1分) f ],[b a 即存在，满足],[,b a x x ∈′′′0>′)(x f ，0<′′)(x f ，…………………………(2分) 由连续函数的介值定理，……………………………………………………(2分) 则存在),(x x x ′′′∈0，使得00=)(x f ………………………………………….(1分) 这与已知矛盾．……………………………………………………………….(1分)。

数学分析期末试题

数学分析2期末试题课程名称数学分析Ⅱ 适用时间试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题每小题3分;3×6＝18分1、下列级数中条件收敛的是．A ．1(1)nn ∞=-∑ B ． 1n n ∞= C ． 21(1)n n n∞=-∑ D ． 11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数; 则f 的傅里叶Fourier 级数在它的间断点x 处．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x -++C ．发散D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ;则()f x '=A ． 1xB ．ln x xC ． 21x- D ． x e5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+⎰收敛于1;则k =A ． 2πB ．22πC ． 2D ． 24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛;则A ． x e <B ．x e >C ． x 为任意实数D ． 1e x e -<< 二、填空题每小题3分;3×6＝18分1、已知幂级数1n n n a x ∞=∑在2x =处条件收敛;则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+;则其通项n u = ;和S = ． 3、曲线1y x=与直线1x =;2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为． 4、已知由定积分的换元积分法可得;1()()bx x ae f e dx f x dx =⎰⎰;则a = ;b = ．5、数集(1) 1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭的聚点为． 6、函数2()x f x e =的麦克劳林Maclaurin 展开式为．65三、计算题每小题6分;6×5＝30分1、 (1)dxx x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰．3、 0(0)dx a >⎰． 4、 2 0cos limsin xx t dt x→⎰．5、dx ⎰．四、解答题第1小题6分;第2、3 小题各8分;共22分1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =; 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶Fourier 级数．五、证明题每小题6分;6×2＝12分1、已知级数1n n a ∞=∑与1n n c ∞=∑都收敛;且证明：级数1n n b ∞=∑也收敛．2、证明：22 0sin cos nn x dx x dx ππ=⎰⎰．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析Ⅱ 适用时间试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题每小题3分;3×6＝18分⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D 二、填空题每小题3分;3×6＝18分⒈ 2 ⒉ 2, =2(1)n u S n n =+ ⒊ ln 2⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈-∞+∞∑ 三、计算题每小题6分;6×5＝30分1. 解1(1)dx x x ∴+⎰3分ln ln 1.x x C =-++3分2. 解由分部积分公式得3311ln ln 33x x x d x =-⎰ 3分 3311ln 39x x x C =-+ 3分 3. 解令sin , [0, ]2x a t t π=∈ 由定积分的换元积分公式;得2220cos atdt π=⎰3分67682.4a π=3分4. 解由洛必达L ＇Hospital 法则得20cos lim cos x x x→= 4分 1= 2分5. 解= 2分4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=-+-⎰⎰ 2分2.= 2分四、解答题第1小题6分;第2、3小题各8分;共22分1. 解 (, ), x n ∀∈-∞∞∀+正整数22sin 1nx n n ≤ 3分而级数211n n ∞=∑收敛;故由M 判别法知;21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛． 3分2. 解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径1R ==;收敛区间为(1,1)-． 2分易知1nn x n ∞=∑在1x =-处收敛;而在1x =发散;故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)-． 2分1, (1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑ 2分逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈--∑⎰⎰．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==--==∈-+∑∑ 2分 3. 解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的;故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数.. 2分由于()f x 在(,)ππ-为奇函数; 故 0, 0, 1, 2, n a n ==…，而1(1)2n n+-⋅= 4分所以在区间(,)ππ-上;11sin ()2(1).n n nxf x x n ∞+===-∑ 2分6970五、证明题每小题5分;5×2＝10分1. 证明由1n n a ∞=∑与1n n c ∞=∑都收敛知;级数1()nn n ca ∞=-∑也收敛.. 1分又由 , 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=，可知; 0, 1,2,3,n n n n b a c a n ≤-≤-=从而由正项级数的比较判别法知1()nn n ba ∞=-∑收敛; 2分于是由 (), 1,2,3,n n n n b b a a n =-+=知级数1nn b∞=∑收敛． 2分2. 证明令2x t π=-;则2t x π=-. 1分由定积分的换元积分公式;得202sin sin ()2n n xdx t dt πππ=-⎰⎰－ 2分 20cos n xdx π=⎰ 2分。

数学分析考试题

数学分析考试题一、选择题1. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ 的定义域是：A. $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$B. $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$C. $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$D. 全体实数集 $\mathbb{R}$2. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 的值为：A. 0B. 1C. $\infty$D. 不存在3. 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上：A. 必定有一个零点B. 必定有一个极值点C. 必定有一个拐点D. 必定有一个最大值和一个最小值4. 定积分 $\int_{0}^{1} x^n dx$ ($n \neq 1$) 的值为：A. $\frac{1}{n+1}$B. $\frac{1}{n}$C. $\frac{1}{n-1}$D. 不能确定5. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 交错收敛的二、填空题6. 求函数 $g(x) = |x-2| + |x-4|$ 的最小值。

7. 计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 4)}{(x-2)^2}$。

8. 求定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$。

9. 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的和。

10. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求 $f(x)$ 的单调递增区间。

三、计算题11. 求函数 $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的导数。

数学分析试题库--证明题

数学分析题库（1-22章）五．证明题1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=，证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明352325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞→lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列.5.用δε-方法验证：3)23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6．用M -ε方法验证：211lim2-=-+-∞→xx x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0ϕ，在0x 某邻域);(10δx U ︒内a x ≠)(ϕ，又.)(lim A t f at =→证明A x f x x =→))((lim 0ϕ.8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ，（1）)(0x U x n ︒∈，0x x n →，（2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞→)(lim ，则A x f x x =→)(lim 0.9. 证明函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x ，x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.10.设)(x f 在（0，1）内有定义，且函数)(x f e x 与)(x f e -在（0，1）内是递增的，试证)(x f 在（0，1）内连续.11. 试证函数2sin x y =，在),0[+∞上是不一致连续的.12. 设函数)(x f 在（a,b ）内连续，且)(lim x f a x +→=)(lim x f b x -→=0，证明)(x f 在（a,b ）内有最大值或最小值.13. 证明：若在有限区间（a,b ）内单调有界函数)(x f 是连续的，则此函数在（a,b ）内是一致连续的.14 . 证明：若)(x f 在点a 处可导，f （x ）在点a 处可导.15. 设函数),()(b a x f 在内可导，在[a,b]上连续，且导函数)(x f '严格递增，若)()(b f a f =证明，对一切),(b a x ∈均有()()()f x f a f b =<16. 设函数)(x f 在],[+∞a 内可导，并且()0f a <，试证：若当),(+∞∈a x 时，有()0f x c '>>则存在唯一的),(+∞∈a ξ使得0)(=ξf ，又若把条件()f x c '>减弱为/()0()f x a x ∞><<+，所述结论是否成立？17. 证明不等式21(0)2xx e x x >++>18.设f 为(,)-∞+∞上的连续函数，对所有,()0x f x >，且lim x →+∞()f x lim x →-∞=()0f x =，证明()f x 必能取到最大值.19. 若函数()f x 在[0,1]上二阶可导, 且(0)0f =，(1)1f =，(0)(1)0f f ''==，则存在(0,1)c ∈使得|()|2f c ''≥.20. 应用函数的单调性证明2sin ,(0,);2xx x x ππ<<∈ 21. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f m（m 为实数），试问：（1）m 等于何值时，f 在0x =连续；（2）m 等于何值时，f 在0x =可导；（3）m 等于何值时，f '在0x =连续；22. 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内的任一点，证明()22b fc a '≤+23. 设函数],[)(b a x f 在上连续，在（a,b ）内二阶可导，则存在),(b a ∈ξ使得)(4)()()2(2)(2ξf a b a f b a f b f ''-=++-24. 若)(x f 在点0x 的某个领域上有)1(+n 阶连续导函数,试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式.25. 用泰勒公式证明:设函数)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,则存在),(b a ∈ξ,使得)(4)()()2(2)(''2ξf a b a f b a f b f -=++-.26. 设函数)(x f 在[]2,0上二阶可导,且在[]2,0上1)(≤x f ,1)(''≤x f .证明在[]2,0上成立2)(''≤x f .27. 设f 是开区间I 上的凸函数,则对任何[]I ⊂βα,,f 在βα,上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在0L >,对任何[]βα,,'''∈x x ,成立'''''')()(x x L x f x f -≤-.28. 设()f x 在 [,](0)a a +∞ >上满足Lipschitz 条件：|()()|||f x f y k x y -≤-, 证明()f x x在[,]a +∞上一致连续.29. 试证明方程11nn x xx -++⋅⋅⋅+=在区间1(,1)2内有唯一实根。

数学系第三学期数学分析期末考试题

第三学期《数学分析》期末考试题一、叙述题（每小题10分，共20分） 1．叙述第一类曲面积分的概念。

2．叙述Stokes 公式的内容。

二、讨论题（每小题15分，共30分） 1．讨论函数在任意有界闭区域D 上的可积性。

2．试确定函数的连续范围。

三、计算题（每小题10分，共30分）1．设四边形各边长为定值（分别为d c b a ,,,），求其最大面积，并且指出此时四边形的几何特性。

2．求球面2222R z y x =++在圆柱Rx y x ±=+22外那部分曲面S 的面积。

3、求曲面积分)0,(,:,22>=+=++=⎰⎰R h R y z h z S xydzdx zxdydz yzdxdy I S由及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧. 四、证明题（每小题10分，共20分） 1．若1）积分⎰+∞adx x f )(收敛，2）函数),(y x ϕ有界，并且关于x 是单调的，则积分⎰+∞adx y x x f ),()(ϕ一致收敛。

2．设有半径为R 的球面，其球冠的高为h ，证明球冠的面积Rh S π2=球冠.数学分析试题答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．设曲面Ω为有界光滑（或分片光滑）曲面，函数),,(z y x f z =在Ω上有界。

将曲面Ω用一个光滑曲线网分成n 片小曲面n ∆Ω∆Ω∆Ω,...,,21，并记i σ∆为i ∆Ω的面积。

在每片i ∆Ω上任取一点),,(i i i ζηξ，作和式i ni iiif σζηξ∆∑=1),,(。

如果当所有的小曲面i ∆Ω的最大直径为λ趋于零时，这个和式的极限存在，且与小曲面的分法和点),,(i i i ζηξ的取法无关，则称此极限值为),,(z y x f z =在曲面Ω上的第一类曲面积分，记为 i ni iiif dS z y x f I σζηξλ∆==∑⎰⎰=Ω→1),,(lim ),,(。

2．设∑是光滑曲面，其边界∑∂为分段光滑闭曲线。

《数学分析II》期末试卷+参考答案

《数学分析（II ）》试题2004.6一．计算下列各题：1．求定积分∫+e x x dx 12)ln 2(；2．求定积分； ∫−222),1max(dx x3．求反常积分dx x x ∫∞++021ln ；4．求幂级数()∑∞=−+1221n n n x n n 的收敛域；5．设，求du 。

yz x u =二．设变量代换可把方程⎩⎨⎧+=−=ay x v y x u ,20622222=∂∂−∂∂∂+∂∂y z y x z x z 简化为02=∂∂∂v u z ，求常数。

a三．平面点集(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛L U ,2,11sin ,10,0n n n是否为紧集？请说明理由。

四．函数项级数n nn n x x n +⋅−∑∞=−1)1(11在上是否一致收敛？请说明理由。

]1,0[五．设函数在上连续，且满足)(x f ),(∞+−∞1)1(=f 和)arctan(21)2(20x dt t x tf x =−∫。

求。

∫21)(dx x f六．设函数在上具有连续导数，且满足)(x f ),1[∞+1)1(=f 和22)]([1)(x f x x f +=′，+∞<≤x 1。

证明：存在且小于)(lim x f x +∞→41π+。

七．设如下定义函数：dt t t x f x x t1sin 21)(2∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=，。

1>x 判别级数∑∞=2)(1n n f 的敛散性。

八．设∫=40cos sin πxdx x I n n （L ,2,1,0=n ）。

求级数的和。

∑∞=0n n I《数学分析（II ）》试题（答案）2004.6一．1．421π⋅； 2．320； 3．； 4． 0)2/1,2/1(−； 5．⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xdz y xdy z dx x yz x dz yz ln ln 。

二．。

3=a 三．是紧集。

四．一致收敛。

五．43。

六．因为，所以单调增加，因此0)(>′x f )(x f 1)1()(=>f x f 。

(完整word版)数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库（1—22章)五．证明题1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1)对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y 。

证明：.inf sup B A =证由(1)可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =,用反证法。

若B A inf sup ，设B y A x A B ∈∈∃=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y 。

2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=,证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf =证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界,则S 也是无上界数集,于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立。

若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S =（ⅰ）S x ∈∀，无论A x ∈或B x ∈,有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε∀∃∈->>于是,0S x ∈0sup .x A >同理可证（2）. 3。

按N -ε定义证明352325lim 22=--+∞→n n n n 证 35232522---+n n n)23(3432-+=n n≤2234n n⋅ （n>4） n32=，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4,132max εN ，当n>N 时,35232522---+n n n 〈ε。

注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式nn G 32)(=仍是无穷小数列。

4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞→lim 的正面陈述？并验证｜2n ｜和|n )1(-|是发散数列。

答 a a n n ≠∞→lim 的正面陈述:0ε∃〉0，+∈∀N N ，n '∃≥N ，使得｜a a n -'｜≥0ε数列{n a }发散⇔R a ∈∀,a a n n ≠∞→lim .（1）a n a n ∀=.2，0ε∃=41，+∈∀N N ，只要取⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='N a n ,21max ，便可使||2a n -'≥||2a n -'≥||212a a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥41，于是{2n ｝为发散数列。

数学分析大一上学期考试试题 A

(x)

x2 5x
4 2
在点
x0

2 连续。
2.证明 f (x) cos 2x 在[0,) 上一致连续。
3.设函数 f (x) 在a，b上可导，证明：存在 (a，b) ，使得 2 f (b) f (a) (b2 a2 ) f ( )
（10）求

x y

t t
2 2
sin t, cos t;
的一阶导。
三、讨论题（共 20 分）
1.讨论函数 f (x) ex 1 的间断点，并指出其类型。
x(x 2)
2.讨论极限 lim sin 1 是否存在。
x0
x
四、证明题（共 30 分）
1.用“ ”定义验证函数
f
n n2 1 n2 2
n2 n
x x 1
（3）求 lim x0
1 tan x 1 sin x ；
ln(1 x3 )
3
（4）求 lim
x 11；
x0 x 1 1
x2
（5）求
limx0cos源自x x4e2
（提示：可先考虑泰勒公式）；
（6）设 lim x1人人网仅提供信息存储空间仅对用户上传内容的表现方式做保护处理对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑并不能对任何下载内容负责
数学分析第一学期期末考试试卷（A 卷）
一、叙述题（共 10 分）
1.下确界；
2.叙述闭区间套定理。
二、计算题（共 40 分）
（1）求 lim[ 1 1 1 ]；（2）求 lim( x 1)x ；
x2 ax x2 x
b

4
，求

数学分析期中考试试题

数学分析期中考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-1, 1)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 极限lim (x->0) [x*sin(1/x)]的值是：A. 0B. 1C. 存在但不等于0或1D. 不存在4. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a)是实数C. f(a) = aD. 所有上述选项都正确5. 对于函数f(x) = x^2，其在区间[0, 1]上的定积分是：A. 0B. 1/3C. 1/2D. 16. 以下哪个选项是Riemann积分的基本性质？A. 线性性质B. 区间可加性C. 保号性D. 所有上述选项7. 如果一个数列{an}收敛于L，那么：A. 该数列必定有界B. 该数列必定单调C. 该数列的子数列也收敛于LD. 所有上述选项都正确8. 以下哪个条件是函数可导的必要条件？A. 函数在该点连续B. 函数在该点有定义C. 函数在该点的极限存在D. 函数在该点的导数存在9. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 可导B. 不可导C. 连续但不可导D. 既不连续也不可导10. 以下哪个级数是收敛的？A. 级数1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 级数1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 级数1 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + ...D. 所有上述级数都收敛二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^(1/3)的导数是_________。

12. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么_________。

13. 极限lim (n->∞) [(n^2 + n)/(n^2 - n)]的值是_________。