最新高二数学上学期期末考试试卷 含答案
北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案
海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。
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一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8} C. {3,5,7,8} D．{4,5,6,8}2．在等比数列{}n a中，已知1=2a，2=4a，那么4=a( ) A．6 B．8C．16 D．323．设向量7(5)=-，a，(4)6=--，b，则=a b( ) A．58-B．2-C．2 D．224．函数2siny x x=∈R，的最大值为( )A．2-B．1-C．1 D．25．lg 2516－2lg59＋lg3281等于( )A．lg 2B．lg 3C．lg 4 D．lg 56．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体是( ) A．棱柱B．圆柱C．棱锥D．圆锥7．执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )（第7题图）A．3 B．9C．27 D．648．指数函数()01x且的图像必过定点( )y a a a=>≠A．()01，00，B．()C．()11，10，D．()9．经过点(02)P，且斜率为2的直线方程为( )A．220x y--=x y++=B．220C．220x y+-=x y-+=D．22010．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a b、、c，若1245，，，==b c A则a的长为( )A．1 B2C3．2二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）11．若函数()2100 x x f x x x +⎧=⎨>⎩，，，，≤则()2f =． 12．已知向量a =（2，1），b =（1，5），则2+a b 的坐标为． 13．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝． 14．不等式223x x -++≥0的解集为．三、解答题（本大题共4题，共44分）15．（14分）已知函数1()f x x x =+，(Ⅰ) 证明()f x 在[1,)+∞上是增函数；(Ⅱ) 求()f x 在[1,4]上的最大值及最小值．16.已知{a n }是一个等差数列,且a 2=1,a 5=-5.(1)求{a n}的通项公式a n;(2)求{a n}前n项和S n的最大值.17.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD, AB∥CD，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．18.已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.。
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一、选择题1、数列}{n a 的首项为2，且41-=-n n a a （n ≥2），则通项公式是： A 、n a n 46-= B 、24-=n a n C 、1+=n a n D 、n a n 24-=2、已知数列}{n a 的通项公式为nn n n a )5(43-+=，前n 项的和为n S ，则=∞→nn SlimA 、87- B 、7259-C 、0D 、54- 3、经过点（5、10）且与原点距离为5的直线的斜率是： A 、43B 、2C 、21D 、43或不存在 4、以原点圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是：A 、522=+y x B 、2522=+y x C 、422=+y x D 、1622=+y x 5、方程01)2()1(22=-++++m y m mx 所表示的图形是一个圆，则常数m 的值是：A 、2B 、－1C 、2或－1D 、不存在 6、直线02)()32(22=--+-+m y m m x m m 与直线01=--y x 平行，则m 的值是：A 、1B 、－1C 、1或－1D 、不存在7、椭圆1121622=+y x 上的点P 到右焦点距离为38，则P 点的横坐标是：A 、38B 、83C 、316D 、37 8、给出下列四条不等式：①2)1(-x ＞2)(x ②2)1(-x ＞x ③x ≥0 ④x ＞12)1(-x ＞x 2)1(-x ＞x以上不等式中与不等式x x >-1同解的有 A 、①③ B 、②④ C 、③ D 、④9、等差数列{}n a 中23=a ，公差1=d ，n S 为前n 项的和，要使+++321321S S S …＋nS n 的值最大，则n 为： A 、7 B 、8 C 、9 D 、8或910、数列{}n a 满足21=a ，++=21a a a n …＋1-n a （n ≥2），则20a 等于： A 、172 B 、182 C 、192 D 、220 二、填空题：11、直线x y 21=关于直线x y 2=对称的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿12、不等式2＜|12-x |＜8的解集是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿13、与直线0543=+-y x 垂直， 且与圆4)2()1(22=++-y x 相切的直线方程是＿＿＿＿＿。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末能力测评数学试题含答案
高二2023-2024学年度上期期末能力测评数学（答案在最后）满分150分考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置；2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上相应题目答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净；3.回答非选择题时，在答题卡上作答.写在本试卷上无效；4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.直线:l 2310x y +-=的一个方向向量为（）A.()2,3- B.()3,2- C.()2,3 D.()3,2【答案】B 【解析】【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.【详解】由2310x y +-=得，2133y x -+，所以直线的一个方向向量为2(1,)3-，而2(3,2)3(1,)3-=--，所以(3,2)-也是直线的一个方向向量.故选：B.2.对于变量x ，条件:p Q x ∈，条件:q R ，则p 是q 的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分必要条件的要求，分别判断p 能否推出q ，以及q 能否推出p 即得.【详解】由Q x ∈，若取=1x -R ，即p 不是q 的充分条件；R ，若取πx =，显然不满足Q x ∈，即p 不是q 的必要条件.3.对某社团进行系统抽样，编号为001，002，⋯，120，则抽取的序号不可能是（）A.001，004，⋯，117B.008，020，⋯，116C.005，015，⋯，115D.014，034，⋯，114【答案】A 【解析】【分析】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同，序号构成等差数列，逐项验证.【详解】根据系统抽样的要求抽取的序号的间隔相同,序号构成等差数列，对A ：121,4,3,32n a a d a n ====-，令32117n -=此方程没有正整数解，故A 不可能；对B ：128,20,12,124n a a d a n ====-，令124116n -=得10n =满足要求，故B 可能；对C ：125,15,10,105n a a d a n ====-，令105115n -=得12n =满足要求，故C 可能；对D ：1214,34,20,206n a a d a n ====-，令206114n -=得6n =满足要求，故D 可能；故选：A4.若直线:l 260x y m -+-=平分圆:C 22240x mx y +++=，则实数m 的值为（）A .2- B.2 C.3 D.2-或3【答案】C 【解析】【分析】列出22240x mx y +++=所满足的条件，由直线l 过圆心求得m 的值.【详解】22240x mx y +++=可化为()2224x m y m ++=-，则240m ->，直线260x y m -+-=始终平分圆22240x mx y +++=的周长,则直线l 经过圆心(,0)m -.代入直线得260m m --=，解得3m =或2m =-.因为2m =-不满足240m ->，故3m =故选：C.5.若数列{}n a 满足12a =，1123n nn S S n a +++=+，则88S a +的值为（）A.9B.10C.11D.12【解析】【分析】由n S 与n a 的关系求得()()112n n S n S n +=++，从而1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，得到1n S n =+，即可求88S a +的值.【详解】由11n n n S S a ++-=及1123n nn S S n a +++=+得()()1123n n n n S S n S S +++=+-，即()()112323n n n n S S n S n S ++-+=++，即()()112n n S n S n +=++，所以112n n S S n n +=++，即1n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，又11221S a ==，所以11n Sn =+，即1n S n =+，所以878879,81,S S a S S ===-=，所以8810S a +=.故选：B6.已知实数,x y28x y =+-，则点(),P x y 的轨迹为（）A.抛物线B.双曲线C.一条直线D.两条直线【答案】D 【解析】【分析】将已知方程等价变形为()()334170x x y -⋅+-=，即可判断点(),P x y 的轨迹.28x y =+-，所以两边平方得()()22223246443216x y x y xy x y -+-=+++--，化简整理得2351426120x xy x y ++--=，所以()()334170x x y -⋅+-=，所以30x -=或34170x y +-=，即点(),P x y 的轨迹方程为30x -=或34170x y +-=，所以点(),P x y 的轨迹为两条相交直线.故选：D7.若复数z 满足()24z z z ⋅+=，则23z z +的最小值为（）A .16B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，利用复数的乘法运算及模的公式得422491016x x y y ++=，所求式子为()2244x y +，令224t x y =+，则利用422152160x tx t --+=有解求得t ≥，即可得解.【详解】设i z x y =+，则()()()()222i 3i 34i 4z z z x y x y x yxy ⋅+=+⋅+=-+=，所以()()22223416x y xy -+=，即422491016x x y y ++=，而()()()2222222333i i 42i 16444z zx y x y x y x y x y +=++-=+=+=+，令224t x y =+，则224y t x =-，所以()()242229104416x x t x t x +-+-=，即422152160x tx t --+=，记20m x =≥，则22152160m tm t --+=，由题意，该方程存在非负根，且二次函数对称轴015tm =>，所以()()22Δ2415160t t =-⨯⨯-+≥，所以215t ≥，又0t >，所以t ≥，所以234z z t +=≥，即23z +的最小值为.故选：C8.计算：cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20-+= （）A.12B.23C.34D.2【答案】C 【解析】【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解.【详解】()()()()11cos 20cos 40cos 40cos80cos80cos 20cos 4020cos 4020cos 8040cos 804022⎡⎤⎡⎤-+=++--++-⎣⎦⎣⎦()()1cos 8020cos 80202⎡⎤+++-⎣⎦111131cos 20cos 40cos100cos 202cos 40cos100222242112⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++=+⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣-⎦+()()3131cos 20cos 40cos100cos 3010cos 3010sin104242⎡⎤⎡⎤=+=+--+-⎣⎦-+⎦⎣3132sin 30sin10sin10424⎡⎤=+-=⎣⎦，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设集合A ={|αα为两个非零向量可能的夹角}，集合B ={|ββ为两条异面直线可能的夹角}，则下列说法错误的是（）A.4π3A ∉ B.2π3B ∈C.ππ2A B θθ⎧⎫⊆≤≤⎨⎬⎩⎭ð D.ππ2A B θθ⎧⎫⊇≤≤⎨⎬⎩⎭ð【答案】BCD 【解析】【分析】由向量夹角定义和异面直线所成角取值范围求出集合A ，B ，再结合集合相关概念即可求解.【详解】由题集合[]0,πA =，π0,2B ⎛⎤= ⎥⎝⎦，所以4π3A ∉，2π3B ∈，故A 对，B 错；由上{}π0,π2A B ⎛⎤=⋃ ⎥⎝⎦ð，故C 、D 错.故选：BCD.10.已知曲线:Γ1x x y y +=-，将曲线Γ用函数()f x 表示，则下列说法正确的是（）A.()f x 在R 上单调递减；B.()y f x =的图象关于34y x =对称；C.()22fx x +的最小值为9；D.若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点，则实数k 为定值.【答案】ACD 【解析】【分析】分段讨论确定Γ所表示的曲线方程作出图象，由图象判断A ，B ，D 选项；求出()22f x x +的表达式求其最小值判断C 选项；【详解】当0,0x y >≥时，221916x y+=-不存在，故在第一象限内无图象；当0,0x y <≥时，221916x y-+=-，在第二象限内为双曲线的一部分，其渐近线为43y x =-，此时2216169x y =-，即()()221616,39x f x x =-≤-，所以()222251699x f x x +=-≥；当0,0x y ≤<时，221916x y +=，在第三象限内为椭圆的一部分；此时2216169x y =-，即()()221616,309x f x x =--<≤，所以()22271699x f x x +=->当0,0x y ><时，22916x y -=-，在第四象限内为双曲线的一部分，其渐近线为43y x =-；此时2216169x y =+，即()()221616,09x f x x =+>，所以()2222516169x f x x +=+>；综上：()22fx x +的最小值为9，故C 正确；()y f x =图象如图所示：对于A ：由图象可得()f x 在R 上单调递减，故A 正确；对于B ，由图象可得()f x 图象不关于直线34y x =成轴对称图形，也可以求得()3,0-关于直线34y x =对称的点2172,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭不在()f x 图象上，故B 错误；对D ：若直线:l y kx b =+()0b <与()y f x =的图象没有交点，则直线l 与渐近线平行，即43k =-为定值，否则直线l 与渐近线相交，则一定会与()y f x =的图象相交，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.11.已知独立的事件A 、B 满足()()0P A P B <<，则下列说法错误的是（）A.()()P A P AB +一定小于()2P B ；B.()()P A B P AB +可能等于()2PB ；C.事件AB 和事件AB 不可能相互独立；D.事件AB 和事件A B +可以相互独立.【答案】BC 【解析】【分析】利用独立事件的定义和性质可判断A 正确，B 错误；根据事件A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立，利用相互独立事件概率公式计算即可.【详解】()()P A P B <且,A B 相互独立，则()()P AB P B <，()()2()P A P AB P B +<,A 正确.∵A B +表示事件,A B 至少发生一个，AB 表示事件,A B 同时发生，∴()(),()()()()P A B P B P AB P A P B P B +>=<，∴()()P A B P AB +不能等于()2P B ，B 错误.若1()2P B =，则1()2P B =，此时()()P AB P AB =，∵AB AB A = .∴()(()(()()()P A P AB AB P AB P AB P A P B P AB ==+=+ .∴移项得(()()()()()()(1())()()P AB P A P AB P A P A P B P A P B P A P B =-=-=-=.∴事件A 与B 相互独立，同理可知事件A 与B ，A 与B 也都相互独立.∴事件AB 和AB 可能相互独立，事件AB 和A B +可能相互独立，C 错误，D 正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：解题的关键是已知独立事件A 、B ，可推出事件A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都相互独立.12.如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -上，点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点，点E F 、为棱AB 、1CC 的中点，点P 在平面MEF 上，且在该平面与正方体表面的交线所组成的封闭图形中（含边界），则下列说法正确的是（）A.平面MEF 与底面ABCD 的夹角余弦值为77；B.点D 到平面MEF 的距离为11； C.点D 到点P 的距离最大值为6345；D.设平面MEF 与正方体棱的交点为1T 、…、n T ，则n 边形1n T T ⋯最长的对角线的长度大于172.【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，即可利用法向量的夹角求解A ，根据点面距离的向量法即可求解B ，根据面面平行的性质可得截面为六边形EQFNKT ，即可根据点点距离公式求解CD.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,2,4,6,3,0,0,6,3M E F ,()()4,1,4,2,4,1ME MF =-=--,设平面MEF 法向量为(),,m x y z =，440240ME m x y z MF m x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取4y =，则()5,4,6m = ，而平面ABCD 的一个法向量为()10,0,6AA =，所以平面MEF 与底面ABCD的夹角余弦值为1677cos ,77m AA ==.故A 错误，()2,2,4,DM = 所以点D 到平面MEF的距离为11DM m m ⋅==，故B正确，延长EM 交11D C 于点N ,连接NF 交DC 延长线于点H ,连接EH 交BC 于Q ，由于点M 为体对角线1BD 靠近1D 点的三等分点，所以1111322D M D N D N MB EB ==⇒=,11912C N C F CH CH CF ==⇒=,9612235CH CQ BQ BQ EB BQ BQ -=⇒=⇒=,在棱11A D 上取K ，使得165D K =,由于11116124455,35352D K D KBQ BQ D N EB EB D N==⇒=⇒=,故//KN EQ ，连接,,TE TK FQ ,故六边形EQFNKT 即为平面MEF 上与正方体所截得的截面，由于1121863,6,555FC AE CQ D K ===-==113//,2932C F AT ATNF TE AT NC AE ∴=⇒=⇒= ,由于CQ 最大，故DQ为最大值5DQ =，故当P 在Q 处时，DP最大为5,C正确，由于()()()1863,6,0,6,3,0,0,6,3,6,0,2,,0,6,0,,6,552Q E F T K N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭172NE ==>,因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度不小于NE 的长度，因此六边形EQFNKT 的最长对角线的长度大于172，故D 正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()f x =的定义域为______.【答案】()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】根据根式函数和对数函数及分式函数定义域法则列不等式求解即可.【详解】由题意2100ln 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪>⎩或2100ln 0x x x -=⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得1x >或12x =，所以函数()f x =的定义域为()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭.故答案为：()11,2∞⎧⎫+⋃⎨⎬⎩⎭14.已知某平面内三角形ABC 为等腰三角形，AB AC =，点D 为AC 中点，且3BD =，则ABC 面积的最大值为____________.【答案】6【解析】【分析】根据向量的模长公式可得259cos 4A x=-，即可利用面积公式得()()2229203664ABC S x =--+ ，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设AB AC x==由于12BD AC AB =- ,所以2222215cos 44BD AC AB AC AB x x A =+-⋅=- ,故259cos 4A x=-,()()222424211159sin 1cos 12444ABC S AB AC A x A x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()24229458192036648464x x x =-+-=--+故当220x =时，此时()2ABC S 取最大值36，故面积的最大值为6，故答案为：615.已知锐角α，β满足2tan cos αβ=，2tan tan2αβ=，则sin sin βα的值为______.【答案】56【解析】【分析】根据已知结合同角关系消去β得1tan tan2tan ααα-=，再根据二倍角公式化弦为切得1sin 2cos αα+=，然后利用同角三角函数关系求得33sin ,tan 54αα==，然后代入sin sin βα==计算可得.【详解】因为2tan cos αβ=，2tan tan 2αβ=，所以22sin 1tan tan 2cos tan αβαβα-==，又2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===，所以1cos 1tan cos sin sin tan sin ααααααα---==，所以1cos cos sin ααα-=-，即1sin 2cos αα+=，又22sin cos 1αα+=，所以25sin 2sin 30αα+-=，又α为锐角，解得3sin 5α=，或sin 1α=-（舍去），所以43cos ,tan 54αα==，所以sin 5sin 6βα==.故答案为：5616.假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像.思考如下成像原理:如图，地面内有圆1O ，其圆心在线段MB 上，且与线段MB 交于不与,M B 重合的点A ，PM ⊥地面，且24BM PM ==，P 点为人眼所在处，视网膜平面与直线BM 垂直.过A 点作平面α平行于视网膜平面.科学家已经证明，这种情况下圆1O 上任意一点到P 点的直线与平面α交点的轨迹（令为曲线C ）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线C 与圆1O 在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆1O 的影像为圆时，圆1O 的半径r 为____________.当圆1O 的半径r 满足112r ≤≤时，视网膜平面上的圆1O 的影像的离心率的取值范围为____________.【答案】①.32②.26,23⎣⎦【解析】【分析】使用空间向量方法可以验证曲线C 的两条半轴（半长轴和半短轴，但顺序可能不对应）的长分别为2r和，然后根据题设求解.【详解】由于视网膜平面与直线BM 垂直，平面α平行于视网膜平面，故平面α与直线BM 垂直.设地面平面为β，则据已知条件有PM β⊥.从而在β内可过M 作MA 的垂线MD ，使得,,MA MD MP 可分别作为以M为原点的一个右手坐标系的,, x y z轴正方向.由已知有4BM=，2PM=，故()0,0,0M，()4,0,0B，()0,0,2P.而42MA MB AB r=-=-，故()42,0,0A r-.再由1O A r=，知()14,0,0O r-.由于平面α与直线BM垂直，即平面α与x轴垂直，从而平面α上每一点的坐标的x轴分量都是定值42r-.再根据点A在线段MB内部及4BM=，又有0424r<-<，得02r<<.此时，地面平面即平面xOy，故圆1O的方程为()2224x r y rz⎧+-+=⎪⎨=⎪⎩.据此可设圆1O上的一点Q的坐标为()4cos,sin,0r r t r t-+，故()4cos,sin,2PQ r r t r t=-+-.设直线PQ和平面的交点为R，则,,P Q R三点共线，且R的坐标的x轴分量是42r-.故()22sin424842,,4cos4cos4cosr r tr rPR PQ rr r t r r t r r t⎛⎫---==-⎪-+-+-+⎝⎭，这得到R的坐标为()()22sin21cos42,,4cos4cosr r t r trr r t r r t⎛⎫-+-⎪-+-+⎝⎭.设()22sin4cosr r tyr r t-=-+，()21cos4cosr tzr r t+=-+，则()222221682242r ry zrr r-⎛⎫⎛⎫⋅+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()()22222242142r ry zrr r--⎛⎫=⋅+-⎪⎝⎭-()()()222168sin41cos14cos4cosr t tr r tr r t⎛⎫-+=+-⎪-+-+⎝⎭()()()()()()22221681cos4cos4cos4cosr t r t rr r t r r t---+=+-+-+()()()()()2221681cos 4cos 4cos r t r t r r r t --+-+=-+()()()()()22222168168cos 168cos 24cos 4cos r r t r r t r r t r r r t ---+-++-+=-+()()()222216824cos cos 4cos r r r r t r tr r t -++-+=-+()()224cos 4cos r r t r r t -+=-+1=.所以我们得到点R 的轨迹为()222224216821242x r r r y z r r r =-⎧⎪-⎛⎫⎛⎫⎨⋅+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎩.由此可知，曲线C 是位于平面α内，以42,0,2r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中心，半长轴和半短轴分别（顺序可能不对应）为2r22-=的椭圆（或者是圆，因为在二者相等时是圆）.而曲线C 和视网膜平面上的圆1O 的影像相似，故其中一个是圆当且仅当另一个是圆，且二者离心率相等.当曲线C 是圆时，有2r=12=，两边平方可得32r =.当112r ≤≤时，2r>=>，故和2r分别（顺序对应）是半长轴和半短轴的长，从而离心率e =再由112r≤≤,23⎣⎦.故答案为：32，26,23⎣⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，利用已知的坐标，采取适当的配凑得到类似椭圆的方程，从而得到相应曲线的性质.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，焦点是双曲线2241x y -=的右顶点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:l 2x y +=与抛物线相交于A 、B 两点，解决下列问题：（i ）求弦长AB ；（ii ）求证：OA OB ⊥.【答案】（1）22y x =；（2）（i）；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出双曲线右顶点，再求出抛物线的方程即得.（2）把直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得.【小问1详解】双曲线2241x y -=，即22114x y -=，其右顶点为1(,0)2，则抛物线C 的焦点为1(,0)2，而抛物线C 的顶点是坐标原点O ，所以抛物线C 的方程：22y x =.【小问2详解】（i ）设211)1(,2A y y ，222)1(,2B y y ，由222y xx y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得：2240y y +-=，则122y y +=-，124y y =-，于是12y y -==所以12AB y y =-==.（ii ）显然211)1(,2OA y y = ，222)1(,2OB y y = ，则221212121211(1)044OA OB y y y y y y y y ⋅=+=+= ，显然0,0OA OB ≠≠ ，即OA OB ⊥ ，所以OA OB ⊥.18.已知递增数列{}n a 和{}n b 分别为等差数列和等比数列，且113=a b ，422a b =，73a b =，126a b +=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若ln ln n nb n a ac b =，证明：1211nc c c n 迹+.【答案】（1）2n a n =+，13n n b -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等差和等比数列的性质结合题意列方程组，解出11,,,a d q b ，再由基本量法求出通项即可；（2）由对数的运算性质化简再简单放缩可得()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+，最后利用累乘法可证明.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可得：11112111133266a b a d b q a d b q a b q =⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，前两式化简后有1111131322a b a d b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由上述式子可得：()21111136322a a d a d ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得：()()11930a d a d +-=，则19a d =-或13a d =，若19a d =-，可得1233b b b d ===-，数列{}n b 为常数列，故舍去；若13a d =，带入得3q =，又由116a b q +=，解得1d =，13a =，11b =，于是得到数列{}n a 的通项公式为2n a n =+，数列{}n b 的通项公式为13n n b -=.【小问2详解】由题可得()113ln log log 32ln n n a n nnb n n b b a ac a b +-===+，由于N n *∈时，()()113322310nn n ---+=-≥，则1332n n -³+（当且仅当1n =时取等号），所以()11133log 32log 31n n n n n nc n ++-=+≤=+，则121212311nn c c c n n 迹创即=++（当且仅当1n =时取等号）.所以1211n c c c n 迹+.19.如图，1111ABCD A B C D -为一个平行六面体，且12AB AD AA ===，1BAA ∠=23πBAD ∠=，13DAA π∠=.（1）证明：直线AB 与直线1AC 垂直；（2）求点1B 到平面ABCD 的距离；（3）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）3【解析】【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求1AB AC即可证明.（2）由已知条件得三棱锥1B ABC -为正四面体，再利用正四面体结构特征即可求解得到点1B 到平面ABCD 的距离.（3）由（1）可得1AC，再由（2）得点1C 到平面ABCD 的距离，进而可求出线面角的正弦值，再结合同角三角函数平方和为1求解余弦值即可.【小问1详解】由题可得111AC AC CC AB AD AA =+=++，所以()2111····AB AC AB AB AD AA AB AB AD AB AA =++=++ 2π2π422cos 22cos 033=+⨯+⨯=，则1AB AC ⊥，于是得证：1AB AC ⊥.【小问2详解】连接11,,AB CB AC ，则由题意可知1113DAA CBB ABC ABB π∠=∠=∠=∠=，且1AB BB BC ==，所以三棱锥1B ABC -为正四面体，所以由正四面体结构性质1B 在底面ABC 的投影O 在BG （G 为AC 中点）上，且1112333GO BO BG ====，所以1B O ⊥平面ABC ，且1263B O ==，即点1B 到平面ABCD 的距离为3.【小问3详解】设直线1AC 与平面ABCD 的夹角为θ，由于1111ABCD A B C D -为一个平行六面体，则点1C 到平面ABCD 的距离等于点1B 到平面ABCD 的距离为3d =，由（1）中11AC AB AD AA =++，得到：1AC === ，则1sin 3d AC θ== ，显然π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3θ==.20.已知圆1:O 224x y +=，圆2:O ()221x y m +-=()01m ≤<，点P 为圆2O 上的一点.（1）若过P 点作圆2O 的切线l 交圆1O 于A 、B 两点，且弦AB长度最大值与最小值之积为m 的值；（2）当0m =时，圆1O 上有C 、D 两点满足PC PD ⊥，求线段CD 长度的最大值.【答案】（1）12（21【解析】【分析】（1）画出图形，得出AB =，进一步由三角形三边关系得出1O Q 的最值，由此即可顺利得解.（2）由三角形三边关系、直角三角形性质可得关于CD 的不等式，解不等式即可得解.【小问1详解】设AB 中点为Q 点，连接12O O 、1O Q 、2O Q 、2O P ，由01m ≤<，得12211O O <-=，则圆1O 内含圆2O ，由垂径定理得：AB =，1AB O Q ⊥，由切线l 可得2AB O P ⊥，可得112121O Q O P O P O O m ≤≤+=+（当且仅当直线AB 为1y m =+时都取等），12121121O Q O P O O O P O O m ≥-≥-=-（当且仅当直线AB 为1y m =-+时都取等），所以111m O Q m -≤≤+，于是=，解得12m =.【小问2详解】取CD 中点T ，连接1O T 、TP 、1O P .当0m =时，1O 和2O 重合，由于PC PD ⊥，则12PT CD =，而11112O T PT O P CD ≥-=-，221144O T CD +=，则22114142CD CD ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，解得：1CD ≤，当且仅当1O 在线段TP 上时取等，所以CD 1.21.请解决以下两道关于圆锥曲线的题目.（1）已知圆:M ()22224x y a ++=()02a <<，圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切.设P 点的轨迹为曲线E .①已知曲线Γ:x yλ=()R λ∈与曲线E 无交点，求λ的最大值（用a 表示）；②若记（2）中题①的λ最大值为0λ，圆:Q ()2211x y -+=和曲线00Γ:x y λ=相交于A 、B 两点，曲线E 与x 轴交于K 点，求四边形OAKB 的面积的最大值，并求出此时a 的值.（参考公式：322223a b c abc ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，其中,,0a b c >，当且仅当a b c ==时取等号）（2）如图，椭圆:C 22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F 、2F ，其上动点M 到1F 的距离最大值和最小值之积为1，且椭圆C 的离心率为2.①求椭圆C 的标准方程；②已知椭圆C 外有一点P ，过P 点作椭圆C 的两条切线，且两切线斜率之积为12-.是否存在合适的P 点，使得123F PF π∠=？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1；②四边形OAKB 的面积的最大值为839，实数a的值为3（2）①2214x y +=；②不存在P 点使得123F PF π∠=，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据已知条件求出点P 的轨迹方程E ，再将两个曲线无交点转化为对应的方程组无解即可.②根据已知条件求出,A B 两点坐标，表示出所求四边形的面积结合参考的不等式求解即可.（2）①根据焦点弦的范围和离心率列方程组求解即可.②由点P 和椭圆关系可以求出点P 的轨迹方程；再根据123F PF π∠=也以确定点所在圆弧的轨迹方程；根据联立两个方程有没有解来判断是否存在这样的点P 即可.【小问1详解】由圆P 过点()2,0N 且与圆M 外切可得：2P P M P ON R OM R R R a ⎧=⎪⎨=+=+⎪⎩，所以有24OM ON a MN -=<=，则点P 的轨迹为以M 、N 为左右焦点，实轴长为2a 的双曲线右支，所以曲线:E 222214x y a a-=-()0x >.①显然，当0λ≤时，曲线Γ与曲线E 无交点，当0λ>时，()222Γ:Γ:0x y x y x λλ=⇔=≥，于是令2222222014x x y a a x y λ>⎧⎪⎪-=⎨-⎪=⎪⎩，得222241a a x λ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，若该方程在()0,∞+上无实数解，则22240a a λ--≤，解得λ≤所以λ.②将0λ=曲线00Γ:x y λ=得：曲线0Γ:x =22224a x y a ⇔=-()0x ≥，不妨令()222222411a x y a x y ⎧=⎪-⎨⎪-+=⎩，得0x =或212a ，于是212A B x x a ==，则四边形OAKB的面积12OAKB S a ==根据参考公式将该式化为32222228283269OAKB a a a S a ⎛⎫⎛⎫++-=≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2a =取等号，解得263a =或3-，负值舍去）所以四边形OAKB 的面积的最大值为839，此时实数a 的值为263.【小问2详解】①由焦点弦取值范围1a c MF a c -≤≤+，离心率c e a =得：()()21c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得：21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.②设00(,)P x y ，过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，由对称性不妨令00≥y ，()220014x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消元得()()()2220000418440k x k y kx x y kx ++-+--=，令Δ0=，化简得：()()22200004210x k x y k y --+-=，由于两切线斜率之积为12-，则202020401142x y x ⎧-≠⎪-⎨=-⎪-⎩，化简得：2200163x y +=()02x ≠±，由于123F PF π∠=，则点P 在以12F F 为弦所对圆心角为23π的圆的优弧 12F F 上，当00≥y 时，易得该圆的方程为()2214x y +-=，不妨令()22221631420x y x y x y ⎧+=⎪⎪⎪+-=⎨⎪≠±⎪⎪≥⎩，解得该方程组无实数解，则当00≥y 时，不存在P 点使得123F PF π∠=，由对称性可知，当00≤y 时也不存在P 点使得123F PF π∠=，综上，不存在P 点使得123F PF π∠=.。
河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。
天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
2023-2024学年第一学期高二年级期末检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为150分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列{}n a 中，11111n n a a a +==+，，则4a =（）A.2B.32 C.53D.85【答案】C 【解析】【分析】由数列的递推公式，依次求出234,,a a a 即可.【详解】数列{}n a 中，11111n na a a+==+，，则有21112a a =+=，321312a a =+=，431513a a =+=.故选：C.2.“26m <<”是“方程22126x y m m+=--表示的曲线为椭圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可.【详解】易知26m <<时，20,60m m ->->，但4m =时有262m m -=-=，此时方程表示圆，所以不满足充分性，若方程22126x ym m +=--表示的曲线为椭圆，则()()20602,44,626m m m m m->⎧⎪->⇒∈⋃⎨⎪-≠-⎩，显然26m <<成立，满足必要性，故“26m <<”是“方程22126x y m m+=--表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B3.已知直线60x ay -+=和直线()3230a x y a ++-=互相平行，则实数a 的值为（）A.1-或2B.1-或2- C.2- D.1-【答案】D 【解析】【分析】根据平行关系列式求a 的值，并代入检验即可.【详解】由题意可得：()32a a -+=，解得1a =-或2a =-，若1a =-，则两直线分别为60,2230x y x y ++=++=，符合题意；若2a =-，则两直线均为260x y ++=，不符合题意；综上所述：1a =-.故选：D.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36430a S ==，，则4a =（）A.2- B.2C.4D.6【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质和前n 项求和公式计算即可求解.【详解】由题意知，616346()3()302S a a a a =+=+=，又34a =，所以43106a a =-=.故选：D5.已知x a =是函数21()(1)ln 2f x x a x a x =-++的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(,1)-∞B.(1,)+∞ C.(01),D.(0,1]【答案】C 【解析】【分析】求导后，得导函数的零点,1a ，比较两数的大小，分别判断在x a =两边的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在x a =处取到极大值，即可求得a 的范围.【详解】21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，则()()1()(1)x a x a f x x a x x--=-++='，0x >，当(0,1)a ∈时，令()0f x '>得0x a <<或1x >，令()0f x '<得1<<a x ，此时()f x 在区间(0,)a 上单调递增，(),1a 上单调递减，()1,+∞上单调递增，符合x a =是函数()f x 的极大值点；当1a =时，()21()0x f x x-'=≥恒成立，函数()f x 不存在极值点，不符合题意；当(1,)a ∞∈+时，令()0f x '>得01x <<或x a >，令()0f x '<得1x a <<，此时()f x 在区间(0,1)上单调递增，()1,a 上单调递减，(),a +∞上单调递增，符合x a =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；综上，要使函数()f x 在x a =处取到极大值，则实数a 的取值范围是(01),.故选：C.6.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆O ，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆的周长八等分，且||||||AB BC CD ==，则该双曲线的离心率为（）A.43B.167C.7D.97【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，求出圆O 与双曲线在第一象限内的交点E 的坐标，将点E 的坐标代入双曲线的方程，可得出ba的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设圆O 与双曲线在第一象限内的交点为E ，连接DE 、OE ，则33==+==OE OD OC CD OC a，因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，则1π2π84DOE ∠=⨯=，故点,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭E ，将点E的坐标代入双曲线的方程可得2222221⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=a b ，所以2297b a =，所以，该双曲线的离心率为7ce a===.故选：C.7.如图，在三棱锥A BCD -中，1,AD CD AB BC AC =====，平面ACD ⊥平面ABC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.3πB.8π3C.7π3D.2π【答案】B 【解析】【分析】先确定底面ABC 的外接圆圆心，结合图形的特征，利用勾股定理及外接球的表面积公式计算即可.【详解】如图所示，取AC 中点E ，连接,DE BE ，在BE 上取F 点满足2EF FB =，由题意易知ABC 为正三角形，则F 点为ABC 的外接圆圆心，且,ED AC BE AC ⊥⊥,因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，所以DE ⊥底面ABC ，BE ⊥底面ADC ，过F 作//FO DE ，故三棱锥A BCD -外接球的球心O 在直线FO 上，作OG EF //交DE 于G 点，设OF h =，球半径为R ，根据1,AD CD AB BC AC =====易知,,2263BE AE DE EF BF =====，四边形OGEF 为矩形，由勾股定理可知：222222OB OF BF OD OG DG =+==+，即22222120,3263R h h h R ⎛⎛⎫=+=-+⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故其外接球表面积为28π4π3S R ==.故选：B8.已知0.98ln 0.98a =-，1b =， 1.02 1.02ln1.02c =-，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.b<c<aD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】利用()ln ,0f x x x x =->的单调性可判断a b >，利用()ln (0)g x x x x x =->的单调性可判断c b <，故可得三者之间的大小关系.【详解】设()ln ,0f x x x x =->，则有11()1x f x x x'-=-=，∴当01x <≤时，()()0,f x f x '≤在(]0,1上单调递减；(0.98)(1)1f f ∴>=，即有0.98ln 0.981->，a b ∴>；令()ln (1)g x x x x x =-≥，则()1(ln 1)ln g x x x '=-+=-，∴当1x ≥时，()0g x '≤，当且仅当1x =时等号成立，故()g x 在[)1,∞+上单调递减；(1.02)(1)1g g ∴<=，即有1.02 1.02ln1.021-<，c b ∴<，综上所述，则有c b a <<，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线():20R l ax y a a ++-=∈与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的是（）A.直线l 必过定点B.l 与C 可能相离C.l 与C 可能相切D.当1a =时，l 被C 截得的弦长为【答案】ACD 【解析】【分析】利用直线方程确定过定点可判定A ，利用直线与圆的位置关系可判定BC ，利用弦长公式可确定D.【详解】由直线方程变形得()():120l a x y -++=，显然1x =时=2y -，即直线过定点()1,2-，故A 正确；易知()22125+-=，即点()1,2-在圆C 上，则直线l 不会与圆相离，但有可能相切，故B 错误，C 正确；当1a =时，此时直线:10l x y ++=，圆心为原点，半径为r =，则圆心到l 的距离为d =，所以l 被C 截得的弦长为=，故D 正确.故选：ACD10.定义：设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()0x f x ，为函数()y f x =的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数()321533f x x ax bx =+++的对称中心为()1,1，则下列说法中正确的有（）A.1,0a b =-= B.函数()f x 既有极大值又有极小值C.函数()f x 有三个零点 D.对任意x ∈R ，都有()()11f x f x -+=【答案】AB 【解析】【分析】根据拐点定义二次求导可计算可求出函数解析式即可判定A ，根据导数研究其极值可判定B ，结合B 项结论及零点存在性定理可判定C ，利用函数解析式取特殊值可判定D.【详解】由题意可知()22f x x ax b '=++，()22f x x a ''=+，而()()151113301022f a b a b f a⎧==+++=-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==+⎩''，故A 正确；此时()321533f x x x =-+，()()222f x x x x x '=-=-，显然2x >或0x <时，()0f x ¢>，则()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，()0,2x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,2上单调递减，所以()f x 在0x =时取得极大值，在2x =时取得极小值，故B 正确；易知()()()5100,250,2033f f f =>-=-<=>，结合B 结论及零点存在性定理可知()f x 在()2,0-存在一个零点，故C 错误；易知()()510113f f +=+≠，故D 错误.故选：AB11.如图，已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，过点F 的直线l （直线l 的倾斜角为锐角）与抛物线C 相交于A B ，两点（A 在x 轴的上方，B 在x 轴的下方），过点A 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为M ，直线l 与抛物线C 的准线相交于点N ，则（）A.当直线l 的斜率为1时，4AB p =B.若NF FM =，则直线l 的斜率为2C.存在直线l 使得AOB 90∠=D.若3AF FB =，则直线l 的倾斜角为60【答案】AD 【解析】【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可.【详解】易知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，可设():02p AB y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线方程联立得()22222220242p y k x k p k x k p p x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⇒-++=⎝⎭⎨⎪=⎩，则221212224k p p p x x x x k ++==,，对于A 项，当直线l 的斜率为1时，此时123x x p +=，由抛物线定义可知12422p pAF BF x x AB p +=+++==，故A 正确；易知AMN 是直角三角形，若NF FM =，则ANM FMN AMF FAM ∠=∠⇒∠=∠，又AF AM =，所以AMF 为等边三角形，即60AFx ∠= ，此时3k =B 错误；由上可知()()222212121212124pk p k x x y y k x x x x +=+-++()()2222222223104244p k p pk p k k p k +=+⨯-⨯+=-<，即0OA OB ×<uu r uu u r，故C 错误；若1212332322p p AF FB x x x p x ⎛⎫=⇒-=-⇒=- ⎪⎝⎭ ，又知212213,462p p px x x x =⇒==，所以1y =，则112y k p x ==-，即直线l 的倾斜角为60 ，故D 正确.故选：AD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知,,M N P 分别是棱111,,C D AA BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30 ，则（）A.1DB ⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面图形为正六边形C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为32【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN 的法向量，得到线面垂直；B 选项，作出辅助线，找到平面截正方体所得的截面；C 选项，作出辅助线，得到点Q 的轨迹，并求出轨迹长度；D 选项，由对称性得到平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心坐标建立方程，求出半径的最大值.【详解】A 选项，如图所示以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()()()()11,2,0,0,1,2,2,0,1,2,2,2P M N B ，故()()()12,2,2,1,1,2,1,2,1DB PM PN ==--=-.设平面PMN 的法向量为(),,m x y z = ，则2020m PM x y z m PN x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z x y =⇒==得()1,1,1m =，易知12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，即A正确；B 选项，取111,,AB CC AD 的中点,,F QE ，连接11,,,,,,,,NE NF ME MQ PQ PF A B EP D C ，结合题意可知11////,////NF A B EP EP CD MQ ，所以N F P E 、、、四点共面且M Q P E 、、、四点共面，两个平面都过点P ，所以M Q P E N F 、、、、、六点共面，易知EM MQ QP PF FN NE ======，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形ENFPQM ，B正确；C 选项，由上知1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心133B S 为半径在平面PMN 上作圆，由题意可知Q 轨迹即为该圆，结合B 的结论可知平面PMN 平分正方体，根据正方体的中心对称性可知S 平分1DB，故半径1111332B S DB =⨯=，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点D 的这一空间几何体的球的半径最大值，结合A 项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心O 在1DB 上，该球与平面PMN 切于点S ，与平面ABCD 、平面11A D DA 、平面11D C CD 都相切，设球心为()(),,01O a a a a <≤，则球半径为a ，易知()1,1,1S ，故()223312RS a a a a -=⇒-=⇒=，D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：关于立体几何中截面的处理思路有以下方法（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.关于立体几何中求动点轨迹的问题注意利用几何特征，比如动直线与定直线夹角为定值，可以考虑结合圆锥体得出动点轨迹.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值_________________．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线求异面直线夹角即可.【详解】如图所示连接1,A D BD ，根据正方体的特征易知11//B C A D ，且1A DB △为等边三角形，所以1DA B ∠即异面直线1A B 与1B C 所成的角，且160DA B ∠= ，11cos 2DA B ∠=.故答案为：1214.在正项等比数列{}n a 中，若234234111502a a a a a a ++=++=，，3a =_____________．【答案】5【解析】【分析】根据正项等比数列的定义与通项公式，计算即可【详解】正项等比数列{}n a 中，23450a a a ++=，234242334332224323234343323111502a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++====，解得35a =±，舍去负值，所以35a =.故答案为：515.以两条直线1220350l x y l x y +=++=：，：的交点为圆心，并且与直线3490x y -+=相切的圆的方程是_____________________．【答案】()()221216x y -++=【解析】【分析】直接利用交点坐标和点到直线的距离公式求出圆心和半径，最后求出圆的方程.【详解】利用20350x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，则圆心坐标为()1,2-，设圆的方程为()()22212x y r -++=利用圆心()1,2-到直线3490x y -+=的距离d r =，整理得4r ==，故圆的方程为()()221216x y -++=.故答案为：()()221216x y -++=.16.关于x 的不等式()1e ln x a x x a x +--≥恒成立，则实数a 的最大值为_____________________．【答案】2e 2【解析】【分析】构造函数()()e 1ln ,xf x x xg x x=+-=，利用导数研究其单调性及最值，分离参数计算即可.【详解】设()()()e 1ln 0,xf x x x xg x x=+->=，易知()()()2e 11,x x x f x g x x x''--==，则当1x >时，()()0,0f x g x ''>>，即此时两函数均单调递增，当01x <<时，()()0,0f x g x ''<<，即此时两函数均单调递减，故()()()()12,1e f x f g x g ≥=≥=，对于不等式()()11ln e ln e 1ln x x x a x x a a x x x++---≥⇔≥+-，由上可知1ln 2u x x =+-≥，故1ln e 1ln x xa x x+-≤+-，又()()e 2u g u u u =≥单调递增，故()()2e 22g u g a ≥=≥.所以实数a 的最大值为2e 2.故答案为：2e 2.【点睛】关键点点睛：观察不等式结构可发现是指对同构式即原式等价于()1ln e 1ln x x a x x +-≥+-，构造函数()()e 1ln ,xf x x xg x x=+-=判定其单调性与最值分参计算即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 满足()111,211n n a a a n n n n +-==++．（1）证明数列{}n na 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb n a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求20S ．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n （2）202021S =【解析】【分析】（1）根据题中递推公式可得()111n n n a na ++-=，结合等差数列的定义和通项公式分析求解；（2）由（1）可得111n b n n =-+，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】因为()1111n n a a n n n n +-=++，则()111n n n a na ++-=，所以数列{}n na 是以首项112a ⨯=，公差1d =的等差数列，可得211n n na n =+-=+，所以1+=n n a n .【小问2详解】由（1）可得()2111111n n b n a n n n n ===-++，所以20111111201122320212121S =-+-+⋅⋅⋅+-=-=.18.设圆C 与两圆()()22221221,21C x y C x y ++=-+=：：中的一个内切，另一个外切．（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线()00x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2210x y +=上，求实数m 的值．【答案】（1）2213y x -=（2）2±【解析】【分析】（1）根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；（2）联立方程结合韦达定理运算求解.【小问1详解】圆()22121C x y ++=：的圆心为()12,0C -，半径为1，圆()22221C x y -+=：的圆心为()22,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1,2a c ==，可得2223b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程2213y x -=.【小问2详解】联立方程22130y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得222230x mx m ---=，则()()222Δ4831220m m m =---=+>，可知直线与双曲线相交，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y，可得120003,222x x m m x y x m +===+=，即3,22m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3,22m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2210x y +=上，则2231022m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =±，所以实数m 的值为2±.19.如图所示，用平面11BCC B 表示圆柱的轴截面，BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为母线1CC 的中点，已知1AA 为一条母线，且14AB AC AA ===．（1）求证：平面AEO ⊥平面1AB O ；（2）求平面1AEB 与平面OAE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证11,B O AO B O EO ⊥⊥，由线线垂直得线面垂直，根据线面垂直的性质可得面面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值.【小问1详解】依题意可知AB AC ⊥，则ABC 是等腰直角三角形，故AO BC ⊥，由圆柱的特征可知1BB ⊥平面ABC ，又AO ⊂平面ABC ，1BB AO ⊥，因为11,BB BC B BB BC =⊂ 、平面11BCC B ，则AO ⊥平面11BCC B ，而1B O ⊂平面11BCC B ，则AO ⊥1B O ，因为14AB AC AA ===，则2221124BC B O B B BO ==∴=+=，222222*********,36OE OC CE B E E C B C B O OE =+==+==+，所以1B O OE ⊥，因为1B O OE ⊥，AO ⊥1B O ，,AO OE O AO OE =⊂ 、平面AEO ，所以1B O ⊥平面AEO ，因为1B O ⊂平面1AB O ，所以平面AEO ⊥平面1AB O ；【小问2详解】由题意及（1）知易知1,,AA AB AC 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系则()()()14,0,4,0,4,2,2,2,0B E O ，所以()()()114,0,4,0,4,2,2,2,4AB AE B O ===-- ，由（1）知1B O 是平面AEO 的一个法向量，设(),,n x y z = 是平面1AB E 的一个法向量，则有1440420n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取22,1z x y =-⇒==，所以()2,1,2n =- ，设平面1AEB 与平面OAE 的夹角为θ，所以111cos cos ,6n B O n B O n B Oθ⋅====⋅ .即平面1AEB 与平面OAE夹角的余弦值为6.20.已知函数()ln ,f x a x x a =-∈R ．（1）设1x =是()f x 的极值点，求a 的值，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≤时，()10f x x+<在()1,+∞上恒成立.【答案】（1）1a =，单调区间见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据极值的定义分析求解，进而可得单调区间；（2）根据题意分析可得()112ln f x x x x x +<-+，令()12ln ,1g x x x x x =-+>，利用单调性判断其单调性和符号，即可得结果.【小问1详解】因为()ln f x a x x =-的定义域为()0,∞+，则()1a f x x'=-，若1x =是()f x 的极值点，则()110f a -'==，解得1a =，当1a =，则()ln f x x x =-，()111x f x x x-=-='，令()0f x '>，解得01x <<；令()0f x '<，解得1x >；则()f x 在()0,1内单调递增，在()1,∞+内单调递减，可知1x =是()f x 的极大值点，即1a =符合题意，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,∞+.【小问2详解】因为()1,x ∞∈+，则ln 0x >，且2a ≤，可得ln 2ln a x x ≤，即()112ln f x x x x x+≤-+，令()12ln ,1g x x x x x =-+>，则()()22212110x g x x x x-=--=-<'在()1,∞+内恒成立，可知()g x 在()1,∞+内单调递减，可得()()10g x g <=，即()112ln 0f x x x x x +≤-+<，所以当2a ≤时，()10f x x +<在()1,∞+上恒成立.21.对每个正整数(),,n n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(),n n n B s t ．（1）证明：()41n n x s n =-≥；（2）取12n n x +=，并记n n n a A B =，求数列{}n a 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析（2）11142134n n n +⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设直线:1n n n y A k B x =+，联立方程结合韦达定理分析证明；（2）根据抛物线的定义结合（1）可得1424n n n a =++，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：抛物线24x y =的焦点()0,1F ，且直线n n A B 的斜率存在，设直线:1n n n y A k B x =+，联立方程214n y k x x y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2440n x k x --=，可得216160n k ∆=+>，所以()41n n x s n =-≥.【小问2详解】因为12n n x +=，由（1）可得142242n n n n s x +=-=-=-，则22144144,44444n n n n nn n n x s y t +======，可得12424n n n n n n n a A B y t ==++=++，设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则()21221114442444n n n n T a a a n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭()1111414441124211143414n nn n n n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++=-+- ⎪-⎝⎭-，所以11142134n n n T n +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：利用韦达定理证明关系，并根据抛物线的定义求n a .22.已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b ：的离心率32，点3⎛ ⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()()()()0,1,,0,4,02A M t N t t -≠，直线AM AN ，分别与椭圆C 交于点,(,S T S T 异于),A AH ST ⊥，垂足为H ，求OH 的最小值．【答案】（1）2214x y +=（221-【解析】【分析】（1）根据题意结合离心率列式求,,a b c ，进而可得方程；（2）联立方程求,S T 的坐标，根据向量平行可知直线ST 过定点()2,1Q ，进而分析可知点H 在以AQ 为直径的圆上，结合圆的性质分析求解.【小问1详解】由题意可得：2222213142a b c a b c e a ⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪==⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意可得：直线:AM x ty t =-+，联立方程2214x ty t x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()22224240t y t y t +-+-=，解得2244t y t -=+或1y =，可知点S 的纵坐标为2244t t -+，可得2224844t t x t t t t -=-⋅+=++，即22284,44t t S t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得：()()()()2228444,4444t t T t t ⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，即()22284812,820820t t t T t t t t ⎛⎫--+ ⎪-+-+⎝⎭，取()2,1Q ，则()222228,44t QS t t ⎛⎫- ⎪=-- ⎪++⎝⎭ ，()222228,820820t QT t t t t ⎛⎫- ⎪=-- ⎪-+-+⎝⎭，因为()()222222222288082044820t t t t t t t t ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫-----=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪-+++-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知QS ∥QT ，即,,Q S T 三点共线，可知直线ST 过定点()2,1Q ，又因为AH ST ⊥，且()0,1A ，可知：点H 在以AQ 为直径的圆上，该圆的圆心为()1,1E ，半径112r AQ ==，所以OH的最小值为1OE r -=.。
2023-2024学年甘肃省高二(上)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年甘肃省高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线23x−2y−1=0的倾斜角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.等差数列{a n}的前n项和为S n，a4+a5=10，则S8=( )A. 10B. 20C. 30D. 403.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，O为原点，点M在抛物线C上，且|MF|=5，则△OMF的周长为( )A. 6+42B. 7+42C. 10D. 114.有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为( )A. 10种B. 20种C. 30种D. 40种5.《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为( )A. 1尺B. 1.5尺C. 11.5尺D. 12.5尺6.若直线(3a+2)x+ay+6=0和直线ax−y+3=0平行，则( )A. a=0或a=−13B. a=−1或a=−2C. a=−1D. a=−27.已知圆C：(x+1)2+y2=2，点P在直线l：x−y−3=0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是( )A. |PA|的最小值为2B. |PA|最小时，弦AB长为6C. |PA|最小时，弦AB所在直线的斜率为−1D. 四边形PACB的面积最小值为38.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点M，使得∠MF2F1=3∠MF1F2≠0，则双曲线C渐近线斜率的取值范围为( )A. (2,2)B. (1,3)C. (1,3]D. (−3,−1)∪(1,3)二、多选题：本题共4小题，共20分。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等差数列{a n}中，已知a4=3，a12=19，则公差d为()A. 2B. 1C. −2D. −1【答案】A【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a4=3，a12=19，∴公差d=19−3 12−4=168=2．故选：A．利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在△ABC中，AB=AC=2，且∠B=π6，则边BC=()A. 2B. 4C. √3D. 2√3【答案】D【解析】解：∵AB=AC=2，且∠B=π6，∴∠C=∠B=π6，∠A=2π3，∴由正弦定理ACsin∠B =BCsin∠A，可得：2sinπ6=BCsin2π3，可得：BC=2×√3212=2√3．故选：D．由已知利用等腰三角形的性质可求∠A=2π3，由正弦定理即可解得BC的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．3.在等比数列{a n}中，已知公比q=2，前n项和为S n，若S2=3，S3=7，则它的前5项之和S5为()A. 62B. 15C. 31D. 21【答案】C【解析】解：在等比数列{a n}中，公比q=2，前n项和为S n，S2=3，S3=7，∴{a1(1−22)1−2=3a1(1−23)1−2=7，解得a1=1，∴它的前5项之和S5=1×(1−25)1−2=31．故选：C．利用等比数列前n项和公式列方程组，求出a1=1，由此能求出它的前5项之和S5．本题考查年平均增长率的求法，考查年平均增长率的性质、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2√3,a=2，∠B=60∘，则∠A=()A. 120∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘【答案】D【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得asinA =bsinB，∴sinA=asinBb=2×√32 2√3=12．∵a<b，∴A<B，即A是锐角．∴A=30∘．故选：D．由已知及正弦定理可求得sinA的值，由a<b，可知A是锐角，从而确定∠A的值．本题考查了正弦定理的应用，是基础题．5.已知椭圆x225+y216=1的两个焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为()A. 20B. 10C. 16D. 8【答案】A【解析】解：根据椭圆的定义：|AF1|+|AF2|=2a=10；|BF1|+ |BF2|=2a=10；△ABF1的周长为：|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=20．故选：A．利用椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a；把三角形的周长转化成椭圆上的点到焦点的距离问题解决．本题考查了椭圆的定义，解题的关键是把三角形的周长问题转化成椭圆上的点到焦点的距离问题，利用椭圆的定义解决．6.已知双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的个焦点为(√5,0)，则双曲线C的实轴长为()A. 1B. 2C. 4D. 2√5【答案】B【解析】解：双曲线C的中心在坐标原点，渐近线方程为y=±2x，且它的一个焦点为(√5,0)，所以c=√5，ba =2，可得c2−a2a2=4，解得a=1，所以双曲线的实轴长为2．故选：B．一条渐近线方程是y=±2x，焦点为(√5,0)，转化求解双曲线的实轴长即可．本题给出焦点在x坐标轴上的双曲线满足的条件，求双曲线的标准方程.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．7.下列命题中正确的是()A. 若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2B. 若x>0，则x+1x>2C.若x<0，则x+4x ≥−2√x⋅4x=−4D. 若x∈R，则2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2【答案】D【解析】解：A选项必须保证a，b，同号．B选项应取到等号，若x>0，则x+1x≥2，C选项应该为≤，故选：D．由基本不等式成立的条件，正、定、等，可知答案选D．本题考查基本不等式的性质，属于简单题．8. 在等差数列{a n }中，已知a 2+a 5+a 12+a 15=36，则S 16=() A. 288B. 144C. 572D. 72 【答案】B【解析】解：a 2+a 5+a 12+a 15=2(a 2+a 15)=36，∴a 1+a 16=a 2+a 15=18，∴S 16=16(a 1+a 16)2=8×18=144，故选：B ．根据等差数列的性质和求和公式计算即可．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题9. 含2n +1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为() A.2n+1nB.n+1nC.n−1nD.n+12n【答案】B【解析】解：依题意，奇数项的和S 奇数=a 1+a 3+⋯+a 2n+1=(n+1)(a 1+a 2n+1)2=(n+1)×2a n+12=(n +1)a n+1，同理可得S 偶数=na n+1；∴S 奇数S偶数=n+1n．故选：B ．利用等差数列的求和公式与等差数列的性质即可求得该题中奇数项的和与偶数项的和之比．本题考查等差数列的性质，着重考查等差数列的求和公式与等差数列的性质的综合应用，属于中档题．10. 已知点M 在抛物线x 2=4y 上，则点M 到直线y =x −3的最小距离为() A. 1B. 2C. √2D. 3 【答案】C【解析】解：设与直线y =x −3平行的直线方程为：y =x −m ，设切点坐标(s,t)，x 2=4y 可得：y ′=12x ，可得12s =1，可得s =2，则t =1，所以点M 到直线y =x −3的最小距离为：√2=√2．故选：C ．设出直线的平行线方程，利用函数的导数，求解切点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用.解此类题设宜先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．11. 设a >1，则关于x 的不等式(1−a)(x −a)(x −1a )<0的解集是()A. (−∞,a)∪(1a,+∞)B. (a,+∞)C. (a,1a )D. (−∞,1a)∪(a,+∞)【答案】D【解析】解：a >1时，1−a <0，且a >1a ，则关于x 的不等式(1−a)(x −a)(x −1a )<0可化为(x −a)(x −1a )>0，解得x <1a 或x >a ，所以不等式的解集为(−∞,1a )∪(a,+∞)．故选：D ．根据题意，把不等式化为(x −a)(x −1a )>0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．12. 已知直线与抛物线y 2=2px(p >0)交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于D ，点D 的坐标为(2,1)，则p 的值为() A. 52B. 23C. 54D. 32 【答案】C【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵直线OD 斜率为12，OD ⊥AB ，∴直线AB 斜率为−2，故直线AB 方程为2x +y −5=0…(1)将(1)代入抛物线方程得y 2+py −5p =0，则y 1y 2=−5p ，∵y 12=2px 1，y 22=2px 2，则(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2，故x 1x 2=254，∵OA ⊥OB ∴x 1x 2+y 1y 2=0，∵p >0，∴p =54．故选：C ．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由直线OD 斜率为12，OD ⊥AB ，知直线AB 方程为2x +y −5=0，代入抛物线方程得y 2+py −5p =0，从而得到y 1y 2=−5p ，再由OA ⊥OB ，能求出p ．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x 、y 满足约束条件{0≤x ≤10≤y ≤22y −x ≥1，且z =2y −2x +4，则z的最大值为______． 【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z =2y −2x +4得y =x +z 2−2，平移直线y =x +z2−2，由图象可知当直线y =x +z2−2经过点A(0,2)时，直线y =x +z2−2的截距最大，此时z 最大，z max =2×2+4=8．即z 的最大值是8，故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，由z =2y −2x +4得y =x +z2−2，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 14. 命题：“若A ∪B =A ，则A ∩B =B ”的否命题是______． 【答案】若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B【解析】解：“若A ∪B =A ，则A ∩B =B ”的否命题： “若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ”故答案为：若A ∪B ≠A 则A ∩B ≠B ．对所给命题的条件和结论分别否定，即：A ∪B ≠A 和A ∩B ≠B ，作为否命题的条件和结论．本题考查了否命题的定义，属于基础题．。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：抛物线 的焦点为 ，可得双曲线的 ，即 ，由 ，解得 ，则双曲线的方程为 ．故选：D．求得抛物线的焦点，可得双曲线的c，由离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5.设m、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
【答案】A
【解析】解：由m、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，知：在A中， ， ， ，则由线面平行的性质定理得 ，故A正确；在B中， ， ， ，则n与 相交、平行或 ，故B错误；在C中， ， ， ，由 与 相交或平行，故C错误；在D中， ， ，则m与n平行或异面，故D错误．故选：A．在A中，由线面平行的性质定理得 ；在B中，则n与 相交、平行或 ；在C中，由 与 相交或平行；在D中，m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
6.已知双曲线 ，直线l交双曲线于A、B两点，若线段AB的中点坐标为 ，则直线l的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：设以点 为中点的弦与双曲线交于 ， ，则 ， ，分别把 ， 代入双曲线方程双曲线 ，再相减可得 ， ， 点 为中点的弦所在直线方程为 ，整理得： ．故选：C．设以点 为中点的弦与双曲线交于 ， ，则 ， ，分别把 ， 代入双曲线 ，再相减可得 ， ，求出k，然后求解直线l的方程即可．本题考查了双曲线与直线的位置关系，点差法处理中点弦问题，属于中档题．
高二数学上学期期末考试题及答案
高二数学上学期期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f(-1)$的值为（）A. -3B. 0C. 3D. 4答案：C2. 函数$y = 2x^3 - 3x^2 + 1$的导数为（）A. $6x^2 - 6x$B. $6x^2 + 6x$C. $6x^2 - 3x$D. $6x^2 + 3x$答案：A3. 设函数$y = \sqrt{1 - x^2}$，则其定义域为（）A. $x \in (-\infty, 1]$B. $x \in [0, 1]$C. $x \in [-1, 1]$D. $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$答案：C4. 已知函数$f(x) = \frac{1}{x}$，$g(x) = x^2$，则$f(g(x))$的解析式为（）A. $\frac{1}{x^3}$B. $\frac{1}{x^2}$C. $x^3$D. $x^4$答案：A5. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$，求$f(1)$的值（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B6. 设函数$f(x) = 2x + 3$，$g(x) = 4x - 5$，求$f(g(x))$的值（）A. $8x - 7$B. $8x + 7$C. $6x - 7$D. $6x + 7$答案：A7. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，求$f(-1)$的值（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B8. 设函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，则$f'(x)$的值为（）A. $6x^2 - 6x$B. $6x^2 + 6x$C. $6x^2 - 3x$D. $6x^2 + 3x$答案：A9. 函数$y = x^2 + 2x + 1$的极值点为（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：C10. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，则$f(2)$的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题4分，共40分）11. 函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$的导数为________。
高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。
高二数学上学期期末考试题精选及答案
高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案：B2. 若函数f(x) = x^3 + ax + b在区间（-∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a > 0D. a < 0答案：C3. 若函数f(x) = 2x - k(x - 2)^2 在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k > 0C. k < 0D. k ≥ 0答案：C4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + c，若f(x)在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数c的取值范围是（）A. c ≥ 0B. c ≤ 0C. c > 0D. c < 0答案：A二、填空题5. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1| 的最小值为3，则实数x的取值范围是______。
答案：x ∈ [-1, 2]6. 已知函数f(x) = x^3 - 6x + 9，求f(x)的单调递增区间为______。
答案：(-∞, 2] ∪ [3, +∞)7. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1 在区间（1，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是______。
答案：m < -28. 已知函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 1，求f(x)的单调递减区间为______。
答案：[0, 2/3]三、解答题9. 设函数f(x) = x^3 - 6x + a，其中a是常数。
（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若f(x)在区间（-∞，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围。
答案：（1）f(x)的单调递增区间为：(-∞, 2] ∪ [3, +∞)（2）由于f(x)在区间（-∞，+∞）上是减函数，所以f'(x) ≤ 0，即3x^2 - 6 ≤ 0。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与命题“若x=3，则x2−2x−3=0”等价的命题是()A. 若x≠3，则x2−2x−3≠0B. 若x=3，则x2−2x−3≠0C. 若x2−2x−3≠0，则x≠3D. 若x2−2x−3≠0，则x= 3【答案】C【解析】解：原命题与逆否命题属于等价命题，此命题的逆否命题是：若x2−2x−3≠0，则x≠3．故选：C．原命题与逆否命题属于等价命题，写出命题的逆否命题得答案．本题考查了四种命题间的逆否关系，是基础题．2.在等比数列{a n}中，若a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，则a5⋅a6的值为()A. 6B. −6C. −1D. 1【答案】B【解析】解：∵在等比数列{a n}中，a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，∴a5⋅a6=a2⋅a9=−6．∴a5⋅a6的值为−6．故选：B．利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解．本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是()A. x2<ax<a2B. x2>ax>a2C. x2<a2<axD. x2>a2>ax【答案】B【解析】解∵x <a <0，∴ax >a 2，x 2>ax ，∴x 2>ax >a 2故选：B ．直接利用不等式性质a >b ，在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．4. 命题“∀x ∈R ，e x >x ”的否定是()A. ∃x ∈R ，e x <x B. ∀x ∈R ，e x <x C. ∀x ∈R ，e x ≤x D. ∃x ∈R ，e x ≤x【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R ，e >x ”的否定是：∃x ∈R ，e x ≤x ．故选：D ．直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5. 不等式2x+1x−3≤0的解集为()A. {x|−12≤x ≤3}B. {x|−12<x <3}C. {x|−12≤x <3}D. {x|x ≤12或x ≥3} 【答案】C【解析】解：不等式等价为{x −3≠0(2x+1)(x−3)≤0，得{−12≤≤x ≤3x ≠3，即|−12≤x <3，即不等式的解集为{x|−12≤x <3}，故选：C ．将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．6. 命题甲：x =−2是命题乙：x 2=4的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：x2=4⇔x=±2，∵x=−2⇒x=±2，x=±2推不出x=−2，∴x=−2是x2=4的充分不必要条件．故选：A．把x2=4转化为x=±2，由x=−2⇒x=±2，x=±2推不出x=−2，得x=−2是x2=4的充分不必要条件．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7.△ABC中，a，b，C分别是角A，B、C所对应的边，a=4，b=4√3，A=30∘，则B=()A. 60∘或120∘B. 60∘C. 30∘或150∘D. 30∘【答案】A【解析】解：由a=4，b=4√3，A=30∘，可得B>A=30∘；正弦定理：asinA =bsinB，可得412=4√3sinB解得：sinB=√32；∵0<B<π，∴B=60∘或120∘；故选：A．根据正弦定理和大边对大角，可得答案．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8.设实数a=√5−√3.b=√3−1，c=√7−√5，则()A. b>a>cB. c>b>aC. a>b>cD. c>a>b【答案】A【解析】解：√5−√3=√5+√3．√3−1=√3+1，√7−√5=√7+√5，∵√3+1<√3+√5<√5+√7，∴√3+1>√5+√3>√7+√5，即b >a >c ，故选：A ．利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键．9. 已知x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x ≤2x +y −2≥0，则z =x +3y 的最小值为()A. 0B. 2C. 6D. 8【答案】B【解析】解：x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x ≤2x +y −2≥0表示的区域如图：由z =x +3y ，当直线经过图中A(2,0)时，直线在y 轴上的截距最小，所以最小值为2；故选：B ．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．10. 在等差数列{a n }中，已知a 6+a 7<0，且S 11>0，则S n 中最大的是()A. S 5B. S 6C. S 7D. S 8【答案】B【解析】解：∵在等差数列{a n }中，a 6+a 7<0，且S 11>0，∴S 11=112(a 1+a 11)=11a 6>0，∴a 6>0，a 7<0，∴S n 中最大的是S 6．故选：B ．由a 6+a 7<0，且S 11=112(a 1+a 11)=11a 6>0，得到a 6>0，a 7<0，由此能求出S n 中最大的是S 6．本题考查等差数列中前n 项和最大时项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11. 如图，在四面体OABC 中，M 、N 分别在棱OA 、BC 上，且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC⃗⃗⃗⃗⃗ ，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量OG⃗⃗⃗⃗⃗ 应为() A. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】解：∵在四面体OABC 中，M 、N 分别在棱OA 、BC 上，且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点G 是线段MN 的中点，∴OG⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：A ．利用空间向量加法法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．12.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，线段MF中点的横坐标为52，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的焦点到准线的距离为()A. 4或8B. 2或8C. 2或4D. 4或16【答案】B【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px(p>0)，∴焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，设M(x,y)，由抛物线性质|MF|=x+p2=5，可得x=5−p2，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为5−P2+P22=52，由已知圆半径也为52，据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M(5−p2,4)，代入抛物线方程得p2−10p+16=0，所以p=2或p=8，则则C的焦点到准线距离为2或8．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和准线和圆相切的条件，求出M(5−P2,4)，代入抛物线方程得p2−10p+16=0，求出p．本题考查抛物线的定义和方程、性质，注意运用第一发和中位线定理和直线和圆相切，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(2,−1,2)，b⃗ =(−4,2，x)，且a⃗//b⃗ ，则x=______．【答案】解：∵a⃗//b⃗ ，∴2×2=−2×x∴x=−4．故答案为：−4【解析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路．14.若一元二次不等式ax2−2x+2>0的解集是(−12,13)，则a的值是______．【答案】−12【解析】解：一元二次不等式ax2−2x+2>0的解集是(−12,13 )，则−12和13是一元二次方程ax2−2x+2=0的实数根，∴−12×13=2a，解得a=−12．故答案为：−12．根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值．本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．15.已知两个正实数x，y满足2x +1y=1，且恒有x+2y>m，则实数m的取值范围是______．【答案】(−∞,8)【解析】解：∵x>0，y>0，2x +1y=1，∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+2+4yx +xy≥4+2√4yx⋅xy=8，(当且仅当x=4，y=2时，取等号)，x+2y>m恒成立等价于8>m，故答案为：(−∞,8)．先用基本不等式求出x+2y的最小值8，然后解一元二次不等式得到结果．本题考查了基本不等式及其应，属基础题．16.当双线M：x2m −y2m+4=1的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为______．【答案】y=±2x【解析】解：双曲线M：x2m −y2m2+4=1，显然m>0，双曲线的离心率e=√m2+m+4m =√m+4m+1≥√2√m×4m+1=√5，当且仅当m=2时取等号，此时双曲线M：x22−y28=1的双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故答案为：y=±2x．求出双曲线的离心率的表达式，然后求解最小值，求出m，即可情况双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{a n}为等差数列，且a3=−6，S6=−30．(1)求{a n}的通项公式；(2)若等比数列{b n}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．【答案】解：(1)∵{a n}为等差数列，设公差为d，由已知可得{6a1+15d=−30a1+2d=−6，解得a1=−10，d=2．∴a n=a1+(n−1)d=2n−12；(2)由b1=8，b2=a1+a2+a3=−10−8−6=−24，∴等比数列{b n}的公比q=b2b1=−3，∴{b n}的前n项和公式T n=b1(1−q n)1−q =8[1−(−3)n]1−(−3)=2−2⋅(−3)n．【解析】(1)设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则{a n}的通项公式可求；(2)求出b2，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC1−cosA=√3c．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若b+c=10，S△ABC=4√3，求a的值．【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理可得：sinAsinC1−cosA=√3sinC，∵sinC≠0，∴sinA=√3(1−cosA)，∴sinA+√3cosA=2sin(A+π3)=√3，可得：sin(A+π3)=√32，∵A+π3∈(π3,4π3)，∴A+π3=2π3，可得：A=π3，(Ⅱ)∵S △ABC =4√3=12bcsinA =√34bc ，∴可得：bc =16，∵b +c =10，∴a =√b 2+c 2−2bccos π3=√(b +c)2−2bc −bc =2√13． 【解析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得：sinAsinC 1−cosA =√3sinC ，结合sinC ≠0，利用两角和的正弦函数公式可求sin(A +π3)=√32，结合范围A +π3∈(π3,4π3)，可求A 的值．(Ⅱ)利用三角形的面积公式可求bc =16，进而根据余弦定理即可解得a 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，M 是侧棱CC 1上一点，设MC =h ，用空间向量知识解答下列问题．(Ⅰ)若h =1，证明：BM ⊥A 1C ；(Ⅱ)若h =2，求直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值．【答案】证明：(Ⅰ)直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，M 是侧棱CC 1上一点，设MC =h ，h =1，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B(2,0，0)，M(0,2，1)，A 1(0,0，4)，C(0,2，0)，BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，1)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−4)，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+4−4=0，∴BM ⊥A 1C.(Ⅱ)当h =2时，M(0,2，2)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，4)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (2,0，0)，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，设平面ABM 的法向量n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x =0n⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取y =1，得n ⃗ =(0,1，−1)，设直线BA 1与平面ABM 所成的角为θ，则sin θ=|BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗ ||BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=√20⋅√2=√105．∴直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值为√105．【解析】(Ⅰ)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BM ⊥A 1C. (Ⅱ)当h =2时，求出平面ABM 的法向量，利用向量法能求出直线BA 1与平面ABM 所成的角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)过点(√3,√22)，(√2,−1)，直线l ：x −my +1=0与椭圆C 交于M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)两点．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)已知点A(−94,0)，且A 、M 、N 三点不共线，证明：∠MAN 是锐角．【答案】解：(Ⅰ)将点(√3,√22)、(√2,−1)的坐标代入椭圆C 的方程得{3a 2+12b 2=12a2+1b 2=1，解得{b 2=2a 2=4，所以，椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{x −my +1=0x 24+y 22=1，消去x 并化简得(m 2+2)y 2−2my −3=0，△>0恒成立，由韦达定理得y 1+y 2=2m m +2，y 1y 2=−3m +2．AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+94,y 1)=(my 1+54,y 1)，同理可得AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2+54,y 2)所以，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+54)(my 2+54)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+54m(y 1+y 2)+2516=−3(m 2+1)m 2+2−5m 22(m 2+2)+2516=17m 2+216(m 2+2)>0．由于A 、M 、N 三点不共线，因此，∠MAN 是锐角．【解析】(Ⅰ)将题干中两点坐标代入椭圆C 的方程，求出a 和b的值，即可得出椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用向量数量积的坐标运算并代入韦达定理计算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，并结合A 、M 、N 三点不共线，可证明出∠MAN 是锐角．本题考查直线与椭的综合问题，考查椭圆的方程，结合向量数量积的坐标运算进行考察，属于中等题．21. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD =DE =2AB ，F 为CD 的中点．(1)求证：AF//平面BCE ；(2)求二面角C −BE −D 的余弦值的大小．【答案】证明：(1)设AD =DE =2AB =2a ，以AC ，AB所在的直线分别作为x 轴、z轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，A(0,0，0)，C(2a,0，0)，B(0,0，a)，D(a,√3a,0)，E(a,√3a,2a)．∵F 为CD 的中点，∴F(3a 2,√3a 2,0)．AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32a,√3a 2,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,a)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,0，−a)，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AF ⊄平面BCE ，∴AF//平面BCE ．解：(2)设平面BCE 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay +az =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2ax −az =0，令x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2)．设平面BDE 的一个法向量n ⃗ =(x,y ，z)，BD⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,√3a,−a)，则{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay +az =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =ax +√3ay −az =0，令x =√3，得n ⃗ =(√3,−1,0)．∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=√64．故二面角C −BE −D 的余弦值为√64． 【解析】(1)设AD =DE =2AB =2a ，以AC ，AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面ACD 内和AC 垂直的直线作为y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF//平面BCE ．(2)求出平面BCE 的一个法向量和设平面BDE 的一个法向量，利用向量法能证明二面角C −BE −D 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22. 已知抛物线E ：x 2=2px(p >0)的焦点为F ，A(2,y 0)是抛物线E 上一点，且|AF|=2．(Ⅰ)求抛物线E 的标准方程；(Ⅱ)设点B 是抛物线E 上异于点A 的任意一点，直线AB 与直线y =x −3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线E 于点M ，设直线BM 的方程为y =kx +b ，k ，b 均为实数，请用k 的代数式表示b ，并说明直线BM 过定点．【答案】解：(Ⅰ)根据题意知，4=2py 0，…①因为|AF|=2，所以y 0+p 2=2，…②联立①②解得y 0=1，p =2；所以抛物线E 的标准方程为x 2=4y ；(Ⅱ)设B(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)；又直线BM 的方程为y =kx +b ，代入x 2=4y ，得x 2−4kx −4b =0；由根与系数的关系，得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4b ；…③由MP ⊥x 轴及点P 在直线y =x −3上，得P(x 2,x 2−3)，则由A ，P ，B 三点共线，得x2−4x2−2=kx1+b−1x1−2，整理，得(k−1)x1x2−(2k−4)x1+(b+1)x2−2b−6=0；将③代入上式并整理，得(2−x1)(2k+b−3)=0，由点B的任意性，得2k+b−3=0，即b=3−2k，所以y=kx+ 3−2k=k(x−2)+3；即直线BM恒过定点(2,3)．【解析】(Ⅰ)由题意，利用抛物线的定义与性质求得p的值，即可写出抛物线方程；(Ⅱ)设点B(x1,y1)，M(x2,y2)，由直线BM的方程和抛物线方程联立，消去y，利用根与系数的关系和A，P，B三点共线，化简整理可得BM的方程，从而求出直线BM所过的定点．本题考查了抛物线的性质和直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，是中档题．。
最新高二数学上学期期末考试试卷含答案
(1)求证：平面PAD 平面PCD
(2)求直线AM与平面PBC所成角的余弦值．
20．(12分)已知函数
（1）求函数 的极值．
（2）若 ，求证： ;
21．(12分)设F1，F2分别是椭圆C: 的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N；
3.已知a,b是两条不同的直线，α是平面， ，那么a//α是“a//b”的( )
A.充分不必要条件B.充要条件
C.既不充分也不必要条件D.必要不充分条件
4.已知 ，则使不等式 都成立的x的取值集合是()
A. B． C． D.
5.若函数 在 处取得最小值，则m＝()
A. B． C.4D.5
6.已知双曲线C: (a>0,b>0)的离心率为2， 且右焦点到一条渐近线的距离为 ，双曲线方程为()
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(10分)设 为数列 的前n项和， ；
（1）求 及 ；
（2）判断这个数列是否是等差数列.
18．(12分)如图，在圆内接四边 形中，AB=1,AD=2,BD= ;
(1)求角C；
(2)若△DCB的面积 ，求△DCB的周长；
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）
1.如果a<0,b>0,那么下列不等式正确的是()
A．a2>b2B.a2<b2C． D.
2.在△ABC中，角A,B,C所在的对边分别为a,b,c,若 则sinC等于()
浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。
广东省汕头市潮阳区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学含答案
潮阳区2023—2024学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡对应答题区域上．写在本试卷上无效．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．拼音chao 所有字母组成的集合记为A ，拼音yang 所有字母组成的集合记为B ，则A B = （）A ．{}cB ．{}hC ．{}a D ．{}02．设31iiz +=，则z =（）A ．1B ．CD ．23．已知A 为抛物线C ：22y px =（0p >）上一点，点A 到C 的焦点的距离为8，到y 轴的距离为5，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．94．已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则()1f x 的值（）A ．恒为正B ．等于0C ．恒为负D ．不大于05．设22tan 251tan 25a ︒=-︒，2sin 25cos 25b =︒︒，c =，则有（）A ．b c a <<B ．a b c<<C ．a c b<<D ．c b a<<6．若等差数列{}n a 的前项和为n S ，且10a >，3100a a +>，670a a <，则满足0n S >的最大自然数n 的值为（）A ．6B ．7C ．12D ．137．已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则（）A ．()f x 在()0,2单调递增B ．()f x 在()0,2单调递减C ．()y f x =的图像关于点()1,0对称D ．()y f x =的图像关于直线1x =对称8．如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为1S ；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为2S ．以此类推，操作n 次，若1220232024n S S S ++⋅⋅⋅+≥，则n 的最小值是（）A ．12B ．11C ．10D ．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b 的取值可以是（）A ．2-B ．C ．2D 10．已知一组样本数据1x ，2x ，…，15x ，其中2i x i =（1,2,,15i =⋅⋅⋅），由这组数据得到另一组新的样本数据1y ，2y ，…，15y ，其中20i i y x =-，则（）A ．两组样本数据的样本方差相同B ．两组样本数据的样本平均数相同C ．1y ，2y ，…，15y 样本数据的第30百分位数为10-D ．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为511．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，12BC AA ==，点P 在线段1AD 上运动（不含端点），则下列说法正确的是（）A ．4,BP ⎡∈⎣B ．三棱锥111B A BC -的体积为83C ．平面11CD P ⊥平面1B CPD ．若点P 是线段1AD 的中点，则三棱锥P ABD -的外接球的表面积为20π12．设1F ，2F 为椭圆C ：2212516x y +=的两个焦点，()00,P x y 为C 上一点且在第一象限，()11,I x y 为12F PF △的内心，且12F PF △内切圆半径为1，则（）A ．2IP =B ．083y =C ．OI =D ．O 、I 、P 三点共线第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，则得到了函数为______．14．已知数列{}n a 为等比数列，11a =，516a =，则3a =______．15．如图，正方形ABCD 中，2DE EC =，P 是线段BE 上的动点且AP xAB y AD =+ （0x >，0y >），则31x y+的最小值为______．16．定义：点P 为曲线L 外的一点，A ，B 为L 上的两个动点，则APB ∠取最大值时，APB ∠叫点P 对曲线L 的张角．已知点P 为双曲线C ：2218y x -=上的动点，设P 对圆M ：()2231x y -+=的张角为θ，则cos θ的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，第17题满分10分，其它5个小题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin b A a B =．（1）求A ；（2）若2a =，ABC △，求ABC △的周长．18．（12分）2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办．展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求x 的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数；（2）用分层抽样的方法从[)20,40，[)80,100这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在[)80,100这组的概率．19．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n b =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．20．（12分）如图，已知长方体1AC 中，1AB BC ==，12BB =，连接1B C ，过B 点作1B C 的垂线交1CC 于E ，交1B C 于F．（1）求证：1A C ⊥平面EBD ；（2）求点A 到平面11A B C 的距离；（3）求直线DE 与平面11A B C 所成角的正弦值．21．（12分）随着科技的发展，手机上各种APP 层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，抖音是一个帮助用户表达自我，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，可谓赚得盆满钵满，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：()1012hb b J J J J ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，其中0J （单位：元）表示开始卖时的服装价格，J （单位：元）表示经过一定时间t （单位：天）后的价格，b J （单位：元）表示波动价格，h （单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，波动价格为每件20元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．（1）求h 的值；（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）参考数据：lg 20.3010≈22．（12分）已知1F ，2F 分别为椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，椭圆E 的离心率为12，过2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，1F AB △的周长为8．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．潮阳区2023—2024学年度第一学期高二级教学质量监测试卷数学参考答案一､单项选择题：1．C 2．B3．C4．A5．D6．C7．D8．B二､多项选择题：9．AC10．AC11．BCD12．BC三､填空题：13．1sin 3y x=14．415．16316．12四、解答题：【解】由sin 2sin b A a B =，得2sin cos sin b A A a B =由正弦定理得：2sin sin cos sin sin B A A A B =，由于sin sin 0A B ≠，则1cos 2B =.因为0A π<<，所以3A π=.由余弦定理得：2222cosA a b c bc =+-，又2a =，则224b c bc =+-①又ABC △，则1sin 2bc A =即1sin 23bc π=4bc =②由①②得228b c +=，则222()28816b c b c bc +=++=+=，则4b c +=.所以ABC △的周长为6．18．【解】（1）由频率分布直方图得：()0.0040.020.0080.002201x ++++⨯=，解得0.016x =，阅读时长在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120]内的频率分别为0.08,0.32,0.40,0.16,0.04，所以阅读时长的平均数0.08300.32500.40700.16900.0411065.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由频率分布直方图，得数据在[)[)20,40,80,100两组内的频率比为0.004:0.0081:2=，则在[)20,40内抽取2人，记为12,A A ，在[)80,100内抽取4人，记为1234,,,B B B B ，从这6名志愿者中随机抽取2人的不同结果如下：()()()()()()()()()121112131421222324,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共15个，其中抽取的2人都在[)80,100内的有()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,B B B B B B B B B B B B ，共6个，所以所抽取2人都在[)80,100内的概率62155P ==．19．【解】（1）当1n =时，21112a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得11a =．当2n ≥时，由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭①，可得21112n n a S --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，②①-②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即()()1120n n n n a a a a --+--=．0n a > ，12n n a a -∴-=．{}n a ∴是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴数列{}n a 的通项公式1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）由（1）可得2(121)2n n nS n +-==，111(1)1n b n n n n ∴==-++1211111111112233411n n T b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111nn n =-=++20．【解】（1）如图，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()10,0,0,0,0,2,1,0,0,0,1,0,1,1,0A A B D C ，()11,0,2B ，因为E 在1CC 上，故可设()1,1,E t ，又1BE B C ⊥，所以()()10,1,0,1,20120BE B C t t ⋅=⋅-=+-= ，解得12t =，所以11,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1111,1,2,0,1,,1,0,22A C BE DE ⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11·1011202A C BE =⨯+⨯+-⨯= ，()11·1110202A C DE =⨯+⨯+-⨯= 11,AC BE AC DE ∴⊥⊥ ，即11,A C BE A C DE ⊥⊥BE DE E = ，,BE DE ⊂平面EBD ．所以1A C ⊥平面EBD ．（2）设平面11A B C 的一个法向量为(),,m x y z = ，()()1111,0,0,0,1,2A B B C ==-，则111·0·0A B m B C m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，02x y z =⎧∴⎨=⎩，令1z =，得()0,2,1m = ，()10,0,2AA = ，所以所求的距离为1·AA m d m === （3）由（2）知，()0,2,1m = ，11,0,2ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，ED设与m 所成角为θ，则·1sin 5·m ED m ED θ==所以直线ED 与平面11A B C 所成角的正弦值为15．21．【解】（1）在()012htb b J J J J ⎛⎫=+-⎪⎝⎭中，070,20,120,10b J J J t ====，则有()1017020120202h⎛⎫=+-⎪⎝⎭，整理得102121h⎛⎫=⎪⎝⎭，即101h=，解得10h =，所以h 的值为10．（2）由（1）知，101220100t J ⎛⎫⎪⎝⎭=+，当60J =时，10201006012t ⎛⎫= ⎪⎭+⎝，即有105122t⎛⎫= ⎪⎝⎭，取常用对数得：12lg lg 1025t =，解得()10lg 5lg 21110210213.22lg 2lg 20.3010t -⎛⎫⎛⎫==-≈≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而N t *∈，则14t =，所以服装价格降到60元每件时需要14天．22．【解】（1）解：由题意，椭圆E 的离心率为12，可得12c a =，又由椭圆的定义，可知1248AB AF AF a ++==，所以2a =，所以1c =，又因为222a b c =+，所以23b =，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）解：设()()1122,,A x y B x y ，直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()2234690m y my ++-=，则有122634m y y m -+=+，122934y y m -⋅=+，故221 1234m AB m +===⨯+，同理，直线l '的方程为11x y m=--，设()33,C x y ，()44,D x y ，则222211112123434m m CD m m++=⨯=⨯++，所以四边形ABCD 的面积：22221117223443m m S AB CD m m ++==⨯⨯++()()22221172311411m m m m ++=⨯⨯+++-2272113411m m =⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，因为222221134114911341124m m m m ⎛⎫++-⎪⎛⎫⎛⎫+++-≤= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当且仅当21m =时，等号成立，所以227228811493411S m m =≥⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，。
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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数21−i=()A. iB. −iC. 1+iD. 1−i【答案】C【解析】解：21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.已知等差数列{a n}中，a5=10，a7=14，则公差d=()A. 1B. 2C. −2D. −1【答案】B【解析】解：由题意，a7−a5=4=2d，∴d=2，故选：B．利用等差数列的定义及通项公式可知a7−a5=4=2d，故可求本题要求学生掌握等差数列的通项公式及定义，是一道基础题．3.“x>1”是“x2>1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：因为“x>1”⇒“x2>1”，而“x2>1”推不出“x>1”，所以“x>1”是“x2>1”充分不必要条件．故选：A．直接利用充要条件的判断方法判断即可．本题考查充要条件的判定，基本知识的考查，注意条件与结论的判断．4.设△ABC的内角A、B、C的对边分別为a、b、c，若∠A=π3,a=√3,b=1，则B=()A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 150∘【答案】A 【解析】解：∵a>b，∴A>B，即B<60∘，由正弦定理得asinA=bsinB，得√3√32=1sinB，即sinB=12，则B=30∘，故选：A．根据大边对大角，求出B的范围，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查正弦定理的应用，结合大角对大边大边对大角是解决本题的关键．5.具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直线方程为ŷ=3x−3，则m的值()A. 4B. 92C. 5D. 6【答案】A【解析】解：由表中数据得：x=32，y=m+84，由于由最小二乘法求得回归方程y∧=3x−32，将x=32，y=m+84代入回归直线方程，得m=4．故选：A．根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程y∧=3x−32，代入样本中心点求出该数据的值．本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．6.已知F1，F2是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，直线l过点F2与椭圆交于A、B两点，且|AB|=7，则△ABF1的周长为()A. 10B. 12C. 16D. 3【答案】C【解析】解：椭圆x216+y212=1，可得a=4，根据题意结合椭圆的定义可得：|AF1|+ |AF2|=2a=8，并且|BF1|+|BF2|=2a=8，又因为|AF2|+|BF2|=|AB|，所以△ABF1的周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|= 16．故选：C．利用椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，并且|AF 2|+|BF 2|=|AB|，进而得到答案．解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义.椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．7.设实数x ，y 满足约束条件{x +3y −3≤0x −y +2≥0y ≥0，则z =x +y 的最大值为()A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】解：由实数x ，y 满足约束条件{x +3y −3≤0x −y +2≥0y ≥0，作可行域如图，由z =x +y ，得y =−x +z ．要使z 最大，则直线y =−x +z 的截距最大，由图看出，当直线y =−x +z 过可行域内的点A(3,0)时直线在y 轴上的截距最大，∴z =x +y 的最大值是z =3．故选：D ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ，若∠APF =60∘，则|PF|=() A. p B. 2p C. √2p D. √3p 【答案】B【解析】解：∵抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，垂足为A ．根据抛物线的定义P 点到准线的距离=|PF|，又PF =PA ，所以|PA|就是P 点到准线的距离，即PA 垂直于l ，∵∠APF =60∘，△APF 是正三角形，∴F 到准线l 的距离为2p ，PF 为2p ．故选：B ．由抛物线的定义，结合已知条件求出AP ，通过∠APF =60∘，求解|PF|．本题考查抛物线的简单性质以及定义的应用，是中档题． 9.若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与直线y =√3x 有交点，则其离心率的取值范围是()A. (1,2)B. (1.2]C. (2,+∞)D. [2,+∞) 【答案】C【解析】解：如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与直线y =√3x 有交点，则有ba >√3，∴c 2−a 2a 2>3，解得e 2=c 2a 2>4，e >2．故选：C ．画出草图，求出双曲线的渐近线方程，若双曲线与直线y =√3x 有交点，则应满足：ba>√3，通过b 2=c 2−a 2，可得e 的范围．本题考查了双曲线的渐近线和离心率，直线与双曲线相交等问题，常用数形结合的方法来考虑，是基础题．10.设函数f(x)在定义域内可导，y =f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能是() A.B.C.D.【答案】C【解析】解：原函数的单调性是：当x <0时，增；当x >0时，单调性变化依次为增、减、增，故当x <0时，f ′(x)>0；当x >0时，f ′(x)的符号变化依次为+、−、+．故选：C ．先根据函数f(x)的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 11.数列112，214，318，…，n +12n 的前n 项和为S n =() A.n 2−1n B.n(n+1)2+2nC.n(n+1)2−12n+1D. n2n −1【答案】C【解析】解：数列112，214，318，…的前n 项和为S n =(1+2+3+⋯+n)+(12+14+18+⋯+12n)=n(n+1)2+(12(1−12n )1−12)=n(n+1)2−12n+1．故选：C ．利用分组求和即可得到数列的和．本题考查数列求和，等差数列以及等比数列求和，考查计算能力．12.已知函数f(x)=ax 3+6x 2−3x +1在区间(1,2)上是减函数，则实数a 的取值范围是()A. (−∞,−3]B. (−∞,−74]C. [−3,−74]D. (−74,+∞]【答案】A【解析】解：∵f(x)=ax 3+6x 2−3x +1，∴f ′(x)=3ax 2+12x −3，又∵f(x)在(1,2)上是减函数，∴f ′(x)在(1,2)上恒有f ′(x)≤0，即3ax 2+12x −3≤0在(1,2)上恒成立.a ≤1x 2−4x =(1x −2)2−4，因为x ∈(1,2)，所以1x ∈(12,1)，所以：a ≤−3．∴实数a 的取值范围是{a|a ≤−3}．故选：A ．对函数f(x)求导，转化成f ′(x)在(1,2)上有f ′(x)≤0恒成立，从而求出a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高考中的热点问题． 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.曲线f(x)=x 3−2x 在点(2,f(2))处的切线方程为______． 【答案】y =10x −16【解析】解：根据题意，f(x)=x 3−2x ，其导数，则f(2)=4，，则在点(2,f(2))处的切线方程为y −4=10(x −2)，即切线方程为y =10x −16．故答案为：y =10x −16．根据题意，由函数的解析式求导可得，进而可得f(2)=4，，即可得切点的坐标以及切线的方程，由直线的点斜式方程即可得答案．本题考查利用导数分析曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，14.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2−1，其中n =1，2，3，…，那么a 5=______． 【答案】9【解析】解：(法一)：由于S n =n 2−1∴a 5=S 5−S 4=24−15=9(法二)：由于S n =n 2−1∴a n =s n −s n−1=n 2−1−(n −1)2+1=2n −1(n ≥2)∴a 5=9故答案为：9(法一)：由递推公式可得递推公式，a 5=S 5−S 4，代入可求．(法二)：由a n =s n −s n−1=n 2−1−(n −1)2+1可求a n (n ≥2)，然后把n =5代入到通项公式可求本题主要考查了由递推公式a n =s n −s n−1=n 2−1−(n −1)2+1(n ≥2)求解数列的通项公式的求解，属于基本公式的应用15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边.已知∠A =60∘，b =4，△ABC 的面积为3√3，则a =______． 【答案】√13【解析】解：∵三角形的面积S =12bcsinA =3√3，∴12×4c ×√32=3√3，即c =3，则a 2=b 2+c 2−2bccosA =16+9−2×4×3×12=25−12=13，即a =√13，故答案为：√13．根据三角形的面积求出c 的值，结合余弦定理进行求解即可．本题主要考查三角形面积以及余弦定理的应用，根据面积公式求出c 的值是解决本题的关键．16.已知两个正数x ，y 满足x +y =4，则使不等式1x +4y ≥m 恒成立的实数m 的范围是______．【答案】m≤94【解析】解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4，则1x +4y=x+y4x+x+yy=54+y 4x +xy≥54+1=94，当y4x=xy时取等号；∴1x+4y的最小值是94，∵不等式1x+4y≥m恒成立，∴m≤94．故答案为：m≤94．由题意将x+y=4代入1x+4y进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）17.已知双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的实半轴长为2，半焦距为4．(1)求双曲线C的方程；(2)判断点(4,6)是否在双曲线C上．【答案】解：(1)由题意可得a=2，c=4，即有b=√c2−a2=√16−4=2√3，可得双曲线的方程为x24−y212=1；(2)将(4,6)代入双曲线方程，可得164−3612=1，则点(4,6)在双曲线C上．【解析】(1)由题意可得a，c，由a，b，c的关系可得b，进而得到所求双曲线的方程；(2)将(4,6)代入双曲线的方程，检验是否成立，即可得到结论．本题考查双曲线的方程的求法，注意运用基本量的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinC=√3ccosA．(1)求角A的大小；(2)若b=6，c=3，求a的值．【答案】解：(1)∵asinC=√3ccosA.由正弦定理得sinAsinC=√3sinCcosA，…(2分)∵sinC≠0，∴∴sinA=√3cosA，即tanA=√3，∴A=60∘，…(6分)(2)由余弦定理得a=√b2+c2−2bc⋅cosA=√62+32−2×3×6×12=3√3．【解析】(1)由正弦定理由asinC=√3ccosA.得，可求A；(2)由余弦定理得a．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的综合应用.属于中档题．19.已知等差数列{a n}的公差为1，前n项和为S n，且a3+S1=9．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{1S n}的前n项和T n．【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d=1，首项为a1，前n项和为S n，且a3+S1=9．则：a1+2d+3a1+3×22⋅d=9，解得：a1=1．所以：a n=1+(n−1)=n．(2)S n=1+2+⋯+n=n(n+1)2，1S n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则：T n=1S1+ 1S2+⋯+1S n=2(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．【解析】(1)首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.为缓减人口老年化带来的问题，中国政府在2016年1月1日作出全国统一实施全面的“二孩”政策，生“二孩”是目前中国比较流行的元素.某调查机构对某校学生做了一个是否同意父母生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”.现已得知100人中同意父母生“二孩”占75%，统计情况如表：女生 30 合计100(1)请补充完整上述列联表；(2)根据以上资料你是否有95%把握，认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由．参考公式与数据：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +dP(K 2>k) 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001k 2.072 2.7063.8415.0246.6357.879 10.828【答案】解：(1)由题意可得列联表如下：性别属性 同意父母生“二孩” 反对父母生“二孩” 合计男生 45 10 55 女生 30 15 45 合计7525100 ………………(6分)(2)计算K 2=100×(45×15−10×30)275×25×45×55=10033≈3.030<3.841，…………………10分所以没有95%的把握认为同意父母生“二孩”与性别有关.………(12分)【解析】(1)由题意填写列联表即可；(2)根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 21.已知点M(√6,√2)在椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为√63．(1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底做等腰三角形，顶点为P(−3,2)，求△PAB 的面积． 【答案】解：(1)∵点M(√6,√2)在椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为√63．∴6a 2+2b 2=1，ca=√63，又a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，b 2=4．∴椭圆G 的方程为x 212+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点N(m,n)，直线AB 的方程为：y =x +t ．联立{x 2+3y 2=12y=x+t，化为4x 2+6tx +3t 2−12=0，∴x 1+x 2=−3t 2=2m ，x 1x 2=3t 2−124．解得m =−3t4，∴n =t4．∴k PN =−1=t4−2−3t 4+3，解得t =2．∴直线AB 的方程为：y =x +2．∴点P 到直线AB 的距离d =|−3−2+2|√2=3√2．|AB|=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√2[(−3)2−4×0]=3√2．∴S △APB =12d ⋅|AB|=12×3√2×3√2=92．【解析】(1)由点M(√6,√2)在椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为√63.可得6a 2+2b 2=1，c a=√63，又a 2=b 2+c 2联立解得即可．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点N(m,n)，直线AB 的方程为：y =x +t.与椭圆方程联立可得4x 2+6tx +3t 2−12=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得m =−3t4，n =t4.利用k PN =−1，解得t.再利用点到直线的距离公式可得点P 到直线AB 的距离d.弦长公式|AB|=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]，S △APB =12d ⋅|AB|即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知函数f(x)=12x 2−a 2lnx(a >0)(1)若f(x)在x =1处取得极值，求实数a 的值．(2)求函数f(x)的单调区间．(3)若f(x)在[1,e]上没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f(x)=12x 2−a 2lnx(a >0)的定义域为(0,+∞)，且f ′(x)=x −a 2x．∵f(x)在x =1处取得极值，，解得a =1或a =−1(舍)，当a =1时，x ∈(0,1)，；x ∈(1,+∞)，0'/>，∴函数f(x)在x =1处取得极小值，故a =1．(2)f ′(x)=x −a 2x=x 2−a 2x(x >0)．令 0'/>，解得x >a ；令，解得0<x <a ，∴函数f(x)的单调增区间为(a,+∞)，单调减区间为(0,a)(3)要使f(x)在[1,e]上没有零点，只需在[1,e]上f(x)min>0或f(x)max<0，又f(1)=12>0，只需在区间[1,e]上，f(x)min>0．①当a≥e时，f(x)在区间[1,e]上单调递减，则f(x)min=f(e)=12e2−a2>0，解得0<a<√22e与a≥e矛盾．②当1<a<e时，f(x)在区间[1,a)上单调递减，在区间(a,e]上单调递增，f(x)min=f(a)=12a2(1−2lna)>0，解得0<a<√e，∴1<a<√e③当0<a≤1时，f(x)在区间[1,e]上单调递增，f(x)min=f(1)>0，满足题意，综上所述，实数a的取值范围是：0<a<√e．【解析】(1)求出f′(x)令，求出a的值，再利用导数符号判断函数单调性，验证即可；(2)求出f′(x)，解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，即可求出f(x)的单调区间；(3)用导数求出函数f(x)在区间[1,e]上没有零点，只需在[1,e]上f(x)min> 0或f(x)max<0，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．。