高二数学 1、112四种命题及其相互关系同步练习 新人教A版选修11

高二数学 1、112四种命题及其相互关系同步练习新人教A
版选修11
一、选择题
1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
[答案] B
[解析] 考查命题与它的逆命题之间的关系．
原命题与它的逆命题的条件与结论互换，故选B.
2．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是( )
A．原命题、否命题
B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题
D．逆命题、否命题
[答案] D
[解析] ∵原命题为真，逆命题为假，
∴逆否命题为真，否命题为假．
3．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
[答案] A
[解析] 否命题是对命题的条件和结论都否定，故选A.
4．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的( ) A．逆否命题B．逆命题
C．否命题D．原命题
[答案] C
[解析] 特例：
p：若∠A＝∠B，则a＝b
r：若∠A≠∠B，则a≠b
s：若a≠b，则∠A≠∠B
t：若a＝b，则∠A＝∠B.
5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则集合{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是( )
A．都真B．都假
C．否命题真D．逆否命题真
[答案] D
[解析] 原命题为真，故逆否命题为真．
6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．0
[答案] C
[解析] 当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，
逆命题：△ABC为等腰三角形，则AB＝AC为假，
故否命题为假．
7．设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( )
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂β，c是α在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b
C．b⊂β，则b⊥α，则β⊥α
D．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
[答案] C
[解析] C选项的逆命题为“设a，b，c表示三条直线，α、β表示两个平面，b⊂β，若β⊥α，则b⊥α”，这个命题是假命题，b与α的位置关系除垂直外，还可能b与α相交或b∥α.
8．与命题“若m∈M，则n∉M”等价的命题是( )
A．若m∈M，则n∉M
B．若n∉M，则m∈M
C．若m∉M，则n∈M
D．若n∈M，则m∉M
[答案] D
[解析] 原命题与逆否命题等价．
9．有下列四个命题：
(1)“若x－y＝0，则x，y为相等的实数”的逆命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x>5，则x2－3x－10>0”的否命题；
(4)“若a b是无理数，则a、b是无理数”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] (1)逆命题“x，y为相等实数，则x－y＝0”是真命题．(2)∵原命题为假，∴其逆否命题为假．(3)否命题“若x≤5，则x2－3x－10≤0”，假如x＝－3<5，但x2－3x－10＝8>0.为假命题．(4)逆命题“若a、b是无理数，则a b也是无理数”，假如a＝(2)2，b＝2，则a b＝2是有理数．
10．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
[答案] A
[解析] 因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b 中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.
二、填空题
11．命题“若a>1，则a>0”的逆否命题是______命题(填“真”或“假”)．
[答案] 真
12．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________，逆否命题是____________________．
[答案] 逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5；
否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8；
逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5.
13．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．
[答案] 假
[解析] 如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．
14．(1)命题“末位是2的整数一定是偶数”的逆命题是“____________________”．
(2)命题“整数是有理数”的否命题是“________________”．
(3)命题“到一个角的两边的距离不相等的点不在该角的平分线上”的逆否命题是“________________”．
[答案] (1)偶数一定是末位是2的整数．
(2)不是整数的数就不是有理数．
(3)在一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
三、解答题
15．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．
(1)如果两圆外切，那么两圆心距等于两圆半径之和；
(2)奇数不能被2整除．
[解析] (1)逆命题：如果两圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；
否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；
逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．
(2)逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；
否命题：不是奇数的数能被2整除，假；
逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．
16．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．
[解析] 逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．
如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．
否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．
由逆命题为假知，否命题为假．
逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．
如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理，故逆否命题为假．
17．写出下列命题的否定和否命题．
(1)正n(n≥3)边形的n个内角全相等；
(2)0的平方等于0.
[解析] (1)命题的否定：正n(n≥3)边形的n个内角不全相等；
否命题：不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等．
(2)命题的否定：0的平方不等于0
否命题：不等于0的数的平方不等于0.
18．判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
[分析] 直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假．
[解析] 原命题：已知a，x为实数，
如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.
逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a<1，∴4a－7<0，
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．。