奇函数与偶函数的性质及其应用
函数的奇偶性
必修1.P45复习参考题B组 6题
二、应用精讲 题型一 函数奇偶性的判断
判断下列各函数的奇偶性： 例1 .判断下列各函数的奇偶性： 判断下列各函数的奇偶性
x −x (1) f (x) = x −1
2
(2)y = loga (x + x +1)(a > 0, a ≠1)
2
练习
判断下列各函数的奇偶性： 判断下列各函数的奇偶性：
3．函数奇偶性定义的灵活变用 ．函数奇偶性定义的灵活变用 定义
在会考或高考中，常有函数三性的综合题，要注意定 在会考或高考中，常有函数三性的综合题，要注意定 高考中 灵活运用： 义的灵活运用： ＝－f(x)遇到困难时， 遇到困难时， 当应用 f(－x)＝f(x)，或 f(－x)＝－ － ＝ ， － ＝－ 遇到困难时 可以利用其等价形式 f(－x)－f(x)＝0，f(－x)＋f(x)＝0， 可以利用其等价形式 － － ＝ ， － ＋ ＝ ， f(－x) ( ) 前一个技巧常用于含对数运算的 或者 ＝±1[f(x)≠0]， ≠ ， 前一个技巧常用于含对数运算的 f(x) ( ) 函数，后一技巧常用于含指数运算的函数 含指数运算的函数． 函数，后一技巧常用于含指数运算的函数．
会考专题复习
函数的基本性质
——奇偶性及其应用 奇偶性及其应用
复习安排：约需两课时， 复习安排：约需两课时，本节为第一课时
学习目标
1、在必修教材内容“函数的奇偶性”学习的 、在必修教材内容“函数的奇偶性” 基础上，进一步深化 深化对函数奇偶性 基础上，进一步深化对函数奇偶性 定义的理解。 定义的理解。 2、通过精讲多练， 2、通过精讲多练，能熟练掌握基本题 型的基本方法， 型的基本方法，提升解决与奇偶性 基本方法 有关的综合问题的能力
§3.4.2 函数的基本性质(2) 函数奇偶性的定义及运用
§3.4.2函数的基本性质——函数的奇偶性的定义及运用1．熟悉掌握函数奇偶性的定义及运算；2．掌握处理有关函数奇偶性的常用方法； 3．知道有关奇偶性的一些运算性质.问1 试总结判断函数奇偶性的方法.问2 试总结关于奇偶函数的重要结论.（龙门P148）例1 证明：（1）一次函数(0)y kx b k =+≠是奇函数的充要条件是0b =；（2）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数的充要条件是0b =； （3）函数()y f x =既是奇函数又是偶函数的充要条件是()0f x =.[举一反三] 判断函数()f x ax b =+的奇偶性例2 已知5()4f x ax bx =++，其中a ，b 为常数，(2)3f =，求(2)f -的大小.[举一反三]（1）已知函数()f x 与()g x 满足()2()1f x g x =+，且()g x 为R 上的奇函数，(1)8f -=，求(1)f .（2）已知函数2()3f x ax bx a b =+++为偶函数，定义域为[1,2]a a -，则______a =，______b =例3 分别根据下列条件，求实数a 的值：（1）设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数； （2）函数1()21x f x a =++是定义域上的奇函数.（若改成“1()21x f x a =+-”呢？）[举一反三] （1）判断函数11()()312x f x x =+-的奇偶性；（2）已知2()(1)f x mx m x m =+++是R 上的偶函数，求实数m 的值.例4 已知函数()f x 是奇函数，函数()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x +=+， 求函数()f x 、()g x 的表达式.[练习] 设()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，（1）判断2()[()]3()F x f x g x =-的奇偶性；（2）若23()3()623f x g x x x +=-+，求()f x ，()g x 的解析式.[抽象函数的奇偶性]*例5 已知函数()f x 的定义域为R ，且不恒为0，对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，求证：()f x 为奇函数.*例6 已知函数()f x 不恒为零，并且对一切,x y R ∈，都有()()()1x yf x f y f xy++=+， 求证：()f x 为奇函数.1. 若函数()()()F x f x f x =--，则函数()F x 的奇偶性是________________.2. 已知函数),,(,6)(35为常数c b a cx bx ax x f -++=，若8)8(=-f ，则)8(f = _____ . 3. 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且2()()23f x g x x x -=++，则()()__________f x gx +=.4. 已知函数121)(+-=x a x f ，若)(x f 为奇函数，则a = 5. 以下四个函数① ()21f x x =-；② 1()1x f x x -=+；③ 221()1x f x x -=+；④ 53()f x x x =+，既不是奇函数又不是偶函数的是_______________. 6. 已知2()(1)()21x F x f x =+-（0x ≠）是奇函数，且()f x 不恒为零，则()f x 的奇偶性为________. 7. 已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有8个交点，则方程()0f x =的所有实数根之和为_____________.8. 已知定义域为R 的任意奇函数)(x f ，都有（ ）A.0)()(>--x f x f ；B. 0)()(≤--x f x f ；C. ()()0f x f x ⋅-≤；D. ()()0f x f x ⋅->.9. ()f x 、()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x 、()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．非充分非必要条件.10. 已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列函数中一定是奇函数的是（ ）A.[][]22)()(x g x f +； B. [])(x g f ； C. )()(x g x f -； D. )()(x g x f .11. 已知⎩⎨⎧<--->+-=0,10,1)(22x x x x x x x f ，则)(x f 为（ ）A.奇函数；B. 偶函数；C. 非奇非偶函数；D. 不能确定12. ()f x 是定义在A 上的奇函数，且()0f x ≠，而()()g x y f x =是定义在B 上的偶函数，则()g x 是（ ） A ．在A 上的奇函数； B ．在A 上的偶函数；C ．在B 上的奇函数；D ．在B 上的偶函数；13. 已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，函数()y f x =的图像如图所示，则函数(||)f x 的图像是（ ）14. 函数21()ax f x bx c+=+是奇函数，其中,,a b c Z ∈，若(1)2f =，(2)3f <，求,,a b c 的值.15. 已知二次函数()f x 是偶函数，且经过点(3,6)，求它的一个解析式.16. 若0a >，1a ≠，()F x 为奇函数，11()()12x G x F x a ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦，试判断()G x 的奇偶性.17. 已知.12)(x xx f +=（1）求)1()(xf x f +；（2）求1210012100(1)(2)(100)()()()()()()222100100100f f f f f f f f f ++⋯⋯++++⋯⋯++⋯⋯+++⋯⋯+的值.18. 定义在R 上的函数()f x 对任意x y R ∈、都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，且(0)0f ≠，判断()f x 的奇偶性并加以证明.（A ） （B ） （C ） （D ）第13题图。
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用
数学复习函数的奇偶性与单调性的判定与应用数学复习：函数的奇偶性与单调性的判定与应用一、引言在数学中，函数是一种重要的概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与单调性是研究函数特性的重要方面。
本文将对函数的奇偶性与单调性的判定方法和应用进行复习和总结。
二、函数的奇偶性的判定与应用1. 奇函数与偶函数的定义奇函数指满足f(-x)=-f(x)的函数，即关于原点对称；偶函数指满足f(-x)=f(x)的函数，即关于y轴对称。
2. 函数奇偶性的判定方法（1）对于已知函数 f(x)，可根据奇函数和偶函数的定义，通过验证f(-x)与f(x)的关系，来判定函数的奇偶性。
（2）特殊情况下，例如幂函数、正弦函数等具有明显的对称特点的函数，可以直接判断其奇偶性。
3. 奇偶函数的性质（1）奇函数与奇函数相加、相减仍为奇函数。
（2）偶函数与偶函数相加、相减仍为偶函数。
（3）奇函数与偶函数相乘为奇函数。
4. 奇偶函数的应用（1）对称轴：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
根据奇偶函数的性质，可以确定图像的对称轴位置。
（2）函数的简化：奇函数与偶函数的特殊性质，可用于简化复杂的函数表达式。
（3）函数的积分：在某些情况下，奇函数在对称区间上的积分为0，而偶函数在关于y轴对称的区间上的积分具有简化求解的特点。
三、函数的单调性的判定与应用1. 单调递增与单调递减的定义（1）单调递增指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)<=f(x2)，当x1<x2时。
（2）单调递减指函数在定义域上的任意两点满足f(x1)>=f(x2)，当x1<x2时。
2. 函数单调性的判定方法（1）求导：对于已知函数 f(x)，求其导函数 f'(x)。
若在定义域上f'(x)>=0，则函数在该区间上单调递增；若 f'(x)<=0，则函数在该区间上单调递减。
（2）二阶导数：当一阶导数无法确定函数的单调性时，可求二阶导数，通过二阶导数的正负来判定函数的单调性。
奇偶函数与周期函数的性质及应用
奇偶函数与周期函数的性质及应用数学中，奇偶函数与周期函数是两种重要的特殊函数。
它们有着不同的数学特性，不仅对于理论数学有一定的应用，而且在各个实际领域中都有重要的应用。
一、奇偶函数的概念及性质奇偶函数是指满足以下条件的函数：对于任意 $x$，有 $f(-x)=-f(x)$ 或者 $f(-x)=f(x)$。
其中，满足前者条件的函数叫做奇函数，满足后者条件的函数则叫做偶函数。
奇偶函数的性质有如下几点：1. 偶函数具有对称性：关于 $y$ 轴对称。
2. 奇函数具有反对称性：关于原点对称。
3. 任意两个奇函数的和是奇函数，任意两个偶函数的和是偶函数。
奇函数与偶函数之和是一个一般函数。
4. 任意奇函数乘以任意偶函数得到的函数是奇函数。
5. 偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数。
二、周期函数的概念及性质周期函数是指满足以下条件的函数：对于任意的 $x$，都有$f(x+T)=f(x)$，其中 $T$ 称为周期。
周期函数有时也被称为循环函数。
周期函数的性质如下：1. 周期函数的导数也是周期函数，但它的周期可能不同于原周期函数的周期。
2. 周期函数的积分不一定是周期函数，但它的积分周期一定是原周期函数的周期的整数倍。
3. 任意两个周期函数的和（或差）仍然是周期函数，它的周期是两个周期函数的周期的最小公倍数。
三、奇偶函数与周期函数的应用1.在物理学中，很多现象都可以用奇偶函数与周期函数进行描述。
在机械波传播中，波形通常是周期函数；当波形与导致波形的物理量相反变化时，波形就是一个奇函数。
2. 在电学中，很多电路中的电流和电压的变化都可以用周期函数表示。
3. 在信号处理领域中，很多信号都是周期函数，并且由于傅里叶级数可以将任意函数分解成一组正弦和余弦函数的和，所以奇偶函数与周期函数就成为了分析信号的基础。
4. 在统计学中，正态分布的概率密度函数是一个偶函数，而 t 分布的概率密度函数是一个奇函数。
总之，奇偶函数与周期函数不仅有着自身的数学定义，而且在实际应用中也有着广泛的应用领域。
奇偶函数加减
奇偶函数加减摘要：一、奇函数与偶函数的定义及性质1.奇函数的定义2.偶函数的定义3.奇函数与偶函数的性质二、奇偶函数的加减法1.奇函数与奇函数的加法2.奇函数与偶函数的加法3.偶函数与偶函数的加法4.奇函数与偶函数的加法5.奇函数与奇函数的减法6.奇函数与偶函数的减法7.偶函数与偶函数的减法8.奇函数与偶函数的减法三、奇偶函数在实际问题中的应用1.简化计算2.求解方程3.求解不等式4.求解最值问题四、总结与拓展1.奇偶函数加减法的规律2.奇偶函数在实际问题中的优势3.进一步研究奇偶函数的性质及其应用正文：一、奇函数与偶函数的定义及性质1.奇函数的定义：对于定义域内的任意x，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)为奇函数。
2.偶函数的定义：对于定义域内的任意x，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数。
3.奇函数与偶函数的性质：（1）奇函数关于原点对称，即图像关于y轴对称；（2）偶函数关于y轴对称，即图像关于原点对称；（3）奇函数的图像是关于原点对称的，而偶函数的图像是关于y轴对称的；（4）奇函数和偶函数的周期性：奇函数没有周期，而偶函数有周期；（5）奇函数和偶函数的单调性：奇函数在定义域内单调递增或递减，偶函数在定义域内单调递增或递减。
二、奇偶函数的加减法1.奇函数与奇函数的加法：两个奇函数相加，结果仍为奇函数。
2.奇函数与偶函数的加法：奇函数与偶函数相加，结果为奇函数。
3.偶函数与偶函数的加法：两个偶函数相加，结果仍为偶函数。
4.奇函数与偶函数的加法：奇函数与偶函数相加，结果为奇函数。
5.奇函数与奇函数的减法：两个奇函数相减，结果仍为奇函数。
6.奇函数与偶函数的减法：奇函数与偶函数相减，结果为奇函数。
7.偶函数与偶函数的减法：两个偶函数相减，结果仍为偶函数。
8.奇函数与偶函数的减法：奇函数与偶函数相减，结果为偶函数。
三、奇偶函数在实际问题中的应用1.简化计算：利用奇偶函数的性质，可以将复杂的计算问题简化，减少计算量。
奇、偶函数的一组性质及其应用
奇、偶函数的一组性质及其应用
在函数的域含义下，奇函数和偶函数是积分及微分统一最重要的两个用在经典力学中的性质，它们在数学和物理中都有极为重要的应用。
关于奇函数和偶函数的一组性质可以分为几类：
1. 单调性：对于所有的奇函数来说，在其定义域内是单调递减的，而偶函数则在其定义域内是单调递增的。
2. 对称性：奇函数是在y轴上对称的，而偶函数是在原点对称的。
3. 微分：奇函数在其定义域内的导数一定是偶函数，而偶函数的导数一定是奇函数。
4. 积分：奇函数在其定义域内的积分一定是偶函数，而偶函数的积分一定是奇函数。
这些定义为奇函数和偶函数在经典力学中有极为重要的应用，比如一些势能的表示和求解。
在数学中，奇函数和偶函数也是非常重要的，它们可用于展示曲线的对称性，求解微积分问题，同时也用于求解泛函分析问题。
此外，奇函数和偶函数也常常被广泛应用于统计分析和机器学习中，以及信号处理和图像处理中，进行时间序列预测等。
综上所述，奇函数和偶函数的一组性质和应用极为广泛，它们在数学和物理的经典应用中都有重要的作用，并且在统计学、机器学习和信号处理中也有重要的应用。
函数的性质综合应用
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数
③一个奇函数，一个偶函数和积函数是奇函数 4、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
5、奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称
（三）奇偶性式子的变形 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) 1( f ( x) 0) f ( x)
5、f ( x) a x a x (a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数 6、f ( x y ) f ( x) f ( y )(a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数
周期性
（1）定义 设函数y f ( x), x D如果存在非零常数T ,使得对任何x D都有f ( x T ) f ( x)， 则称函数y f ( x)为周期函数 T 为的一个周期，所有周期中最小的正数，称为最小正周期，简称周期。
变式：设函数f ( x)对任意实数满足f (2 x) f (2 x)，f (7 x) f (7－x)且f (0) 0, 判断函数f ( x)图象在区间上 －30， 30 与x轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数f ( x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间 0， 10 内 f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2) f (0) 0且f ( x)不能恒为零, 故图象与x轴至少有2个交点 而区间 30,30 上有6个周期，故在闭区间－30， 30 上f ( x)图象与x轴至少有13个交点.
C. f ( x) x cos x D . f ( x) x( x
例3．已知函数f ( x)
2
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
函数的奇偶性及其应用(答案版)
一、关于函数的奇偶性的定义：定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：（1）)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；（2）)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；（3）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 二、函数的奇偶性的几个性质：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0.（4）奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反（5）奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数三、函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，步骤如下：（1） 首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：1、判断下列函数的奇偶性（1）()(f x x =- （2）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩(3)()f x =1122-⋅-x x (4)()f x = (5)f(x)＝2-x +x -2 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数（3）∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1，1}，将=)(x f 1122-⋅-x x化简得f(x)=0.∴f(x)既是偶函数，又是奇函数.（4）奇函数 （5）此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。
1奇函数与偶函数的性质及其应用
奇函数与偶函数的性质及其应用1 奇函数的性质及其应用奇函数的性质 设)(x f 是奇函数. (1)假设)0(f 成心义，那么0)0(=f ；(2)假设a x f x g +=)()(，那么a x g x g 2)()(=-+；(3)假设函数)(x f 有最大(小)值，那么函数)(x f 有最小(大)值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.证明 (1)在恒等式0)()(=-+x f x f 中，令0=x 后，可得0)0(=f . (2)可得a a x f a x f x g x g 2])([])([)()(=+-++=-+.(3)那个地址只证明结论：假设函数)(x f 有最大值，那么函数)(x f 有最小值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.设函数)(x f 的概念域是D ，得)()(,,00x f x f D x D x ≤∈∀∈∃. 因为奇函数)(x f 的概念域D 关于原点对称，因此D x D x ∈-∈∀,，得D x x f x f x f x f x f x f ∈--=-≥≤-=-0000),()()(),()()(，因此函数)(x f 有最小值(为)(0x f -)，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.题1 (一般高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是不是存在实数a 使函数122)(+-=x a x f 为奇函数？ 解 由奇函数的性质(1)，可得1,01)0(==-=a a f .还可验证：当1=a 时，0)()(=-+x f x f ，即)(x f 是奇函数. 因此存在实数1=a 使函数)(x f 为奇函数.题2 (2007年高考安徽卷理科第11题)概念在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，假设将方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上的根的个数记为n ，那么n 可能为( )解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛222:02T f T f T f T f . 因此由奇函数的性质(1)，可得⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=-===22)(0)0()(T f T f T f f T f ，得方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上有根T Tx ±±=,2,0. 题3 假设函数b a bx ax x f ,(1)(3++=是常数)知足13)2016(=f ，那么=-)2016(f .解 11-.因为函数bx ax x g +=3)(是奇函数，因此由奇函数的性质(2)，可得2)2016()2016(=-+f f .又13)2016(=f ，因此11)2016(-=-f . 题4 函数)0](,[,21)1ln()(2>-∈-+=t t t x x e x x f x的最大值与最小值之和为-_____.解 )(x f 是奇函数，再由由奇函数的性质(3)，可得答案.题5 函数11sin )(||||++-=x x e x e x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为_____. 解 2.1sin 111sin )(||||||+-=++-=x x x e xe x e xf . 可得1sin 1)()(||+-=-=x e xx f x g 是奇函数，且函数)(x g 在[-m ,m ](m >0)上的最大值、最小值之和是0，因此函数)(x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为2.题6 已知函数12()1sin 21x x f x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，那么m n += .解()22()f x f x -=--.设()()2g x f x =-，因此()g x 是奇函数，且其在区间[,](0)k k k ->上的值域为[2,2]m n --.由奇函数的性质(3)，可得(2)(2)0,4m n m n -+-=+=.题7 假设函数xx xx x x f cos 224sin 2)(22+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π的最大值与最小值别离是M ,m ，那么( )=4 +m =4 =2 +m =2解 xx xx x f cos 2sin 1)(2+++=. 可得xx xx x f x g cos 2sin 1)()(2++=-=是奇函数，且函数)(x g 的最大值、最小值别离是1,1--m M .由奇函数的性质(3)，可得2,0)1()1(=+=-+-m M m M . 2 偶函数的性质及其应用偶函数的性质 (1)假设函数()()f x x D ∈是偶函数，那么()()()f x f x x D =∈恒成立；(2)若偶函数f (x )在0x =处可导，那么(0)0f '=；(3)若偶函数f (x )的概念域是D (可得D 关于原点对称)，,A B 是数集D 的关于原点对称的两个子集，那么函数f (x )在数集,A B 上的值域相同.证明 (1)当0≤x 且D x ∈时，)()()(x f x f x f =-=；当0>x 且D x ∈时，)()(x f x f =.因此欲证结论成立.(2)由题设，可得0()(0)(0)lim x f x f f x+→-'=0000()(0)()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim limx x x t f x f f x f f x f f t f f x x x t-+++→-→-→→------'===-=--因此(0)(0)f f ''=- (0)0f '=(3)由偶函数f (x )的图象关于y 轴对称，立得欲证结论成立.题8 (2021年高考全国新课标卷II 理科第15题)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，假设f (x －1)＞0，那么x 的取值范围是________．解 (－1，3).由题设及偶函数性质(1)，可得f (x －1)＞0(1)(2)1213f x f x x ⇔->⇔-<⇔-<<题9 (2021年高考全国卷II 文科第12题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，那么使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 f (x )是偶函数，且当0x ≥时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数(因为两个增函数之和是增函数)，因此由性质1，可得f (x )>f (2x －1)221()(21)212113f x f x x x x x x ⇔>-⇔>-⇔>-⇔<< 题10 已知函数f (x )是概念在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞a 知足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，那么a 的取值范围是( )A.[1,2]B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.(0,2]解 C.由题设及偶函数性质(1)，可得212222(log )(log )2(1)(log )(log )2(log )2(1)f a f a f f a f a f a f +≤⇔+-=≤221(log )(1)log 122f a f a a ⇔≤⇔≤⇔≤≤ 题11 (2021年高考湖南卷文科第15题)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，那么a ＝________．解 －32.由题设及偶函数性质(2)，可得3303e 3(0)0e 12x x x f a a =⎛⎫'=+=+= ⎪+⎝⎭32a =-题12 (2021年高考全国卷I 理科第13题)假设函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，那么a ＝________．解 1.由题设及偶函数性质(2)，可得()(0)ln([ln(0x f x x x =''=+++==1a =题13 (2021年高中数学联赛湖北省初赛高二年级第8题)函数()1)f x =的值域是 .解[2.可得函数f (x )的概念域是[1,1]-.由偶函数性质(3)知，所求答案即函数()1)(01)g x x =≤≤的值域.设1)z x =≤≤，得21)z x =≤≤，由此可得函数2(01)y x =≤≤是函数值为非负数的减函数.又函数1(01)u x =≤≤也是函数值为非负数的减函数，因此函数()g x 是减函数.因此所求答案即[(1),(0)][2g g =. 题14 (2021年高中数学联赛安徽赛区初赛第1题)函数()11f x x x =++-+的值域为 .解 [2.可得函数f (x )的概念域是[2,2]-.由偶函数性质(3)知，所求答案即函数()112)g x x x x =++-+≤≤的值域.当01x ≤≤时，函数()2g x =是减函数，得现在()g x 的取值范围是[2.当12x <≤时，可设2cos 03x πθθ⎛⎫=≤<⎪⎝⎭，得现在()24cos 2sin )g x x θθθθθϕ⎫==+=+=+⎪⎭(其中ϕ是锐角且sinϕ=63ϕ≈︒)得现在()g x 的取值范围是3πϕ⎛⎛⎫+⎪ ⎝⎭⎝即4cos 2sin 33ππ⎛+ ⎝也即.因此所求答案即[2⋃即.题15 (2021年高中数学联赛湖北省初赛高一年级第5题)函数1111sin cos tan cot y x x x x=+++的最小值为 .解 2.可得函数y 是偶函数且是以2π为一个周期的正确函数，因此只需求函数y 在,00,44ππ⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上的最小值. 由偶函数性质(3)知，只需求函数y 在0,4π⎛⎤⎥⎝⎦上的最小值.当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1111sin cos 1sin cos tan cot sin cos x x y x x x x x x ++=+++=.设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得21cos 2t t x x -∈=，因此2(11y t t =<≤-进而可得所求答案为2y ==.。
《奇函数偶函数》课件
奇函数和偶函数的性质
01
奇偶性是函数的固有属 性，不随函数图像的平 移、伸缩或翻转而改变 。
02
奇函数和偶函数的定义 域必须关于原点对称。
03
奇函数和偶函数的定义 域可以是全体实数、正 实数、非负实数等。
04
奇函数APTER 02
奇函数和偶函数的图像
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对称，即对于 任意点$P(x, y)$在奇函数上，关于原 点对称的点$P'(-x, -y)$也在该奇函数 上。
奇函数的图像在坐标轴上的交点数量 是偶数。
奇函数的图像可能出现在第一、三、 五或七象限，但不可能出现在第二、 四象限。
奇函数的图像
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数的性质
奇函数在其定义域内可导 或不可导，但奇函数在原 点的导数一定为0。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称 。
偶函数的性质
数的性质和应用
06
思考题
总结词：拓展思维
总结词：培养创新能力
总结词：思考奇偶函数在 实际生活中的应用
总结词：激发探索精神
总结词：探究奇偶函数与 其他数学知识的联系
总结词：尝试设计一些有 趣的奇偶函数问题
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称，即 对于任意点$P(x, y)$在偶函数上 ，关于y轴对称的点$P'( - x, y)$
函数的奇偶性与周期性的应用
函数的奇偶性与周期性的应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的奇偶性和周期性的情况。
本文将讨论函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是指具有特定对称性质的函数。
1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = -f(x)。
奇函数具有关于原点对称的性质，即图像关于原点对称。
例如，常见的奇函数有正弦函数 sin(x) 和三角函数 tan(x)。
在实际问题中，奇函数的应用很广泛。
比如，当我们研究对称材料的性质时，可以使用奇函数来描述。
此外，奇函数在信号处理和电路设计中也有很多应用，可以用于滤波和调制等方面。
2. 偶函数偶函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = f(x)。
偶函数具有关于 y 轴对称的性质，即图像关于 y 轴对称。
例如，常见的偶函数有余弦函数 cos(x) 和绝对值函数 |x|。
在实际问题中，偶函数也有许多应用。
比如，在对称图形的研究中，可以使用偶函数来描述图形的特性。
此外，偶函数在信号处理和图像处理中也有广泛应用，可以用于图像增强和去噪等方面。
二、函数的周期性周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
1. 周期函数的定义周期函数是指满足以下条件的函数：存在一个正数 T，对任意实数x，有 f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定区间内重复出现，具有明显的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2. 周期函数的应用周期函数在实际问题中的应用非常广泛。
比如，当我们研究震动问题时，可以使用周期函数来描述物体的运动轨迹。
此外，在电路设计和信号处理中，周期函数也有很多应用，例如音乐信号的合成和调节。
总结：函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中起着重要作用。
通过研究函数的奇偶性，我们可以揭示问题中的对称性质，从而更好地理解问题。
而函数的周期性则描述了重复出现的模式，使我们能够分析问题的重复特征。
奇函数和偶函数的性质
奇函数和偶函数的性质
1、两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。
2、两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。
3、一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。
4、一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。
奇函数和偶函数的判断方法
按定义来说：对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都满足
f(x)=f(-x)
所以,一般来说判断一个函数是奇函数还是偶函数必须要将定义域中的的所有数带入,这肯定不可能的。
那么我们可以先看看定义域,奇偶函数的定义域必须是对称的,一个函数的定义域若不是对称的,那么就不用判断了,肯定不是。
这个基本一看就能看出。
定义域对称,这时候要判断奇偶性,首先是利用公式,若能推出
f(x)=f(-x) 或者f(x)=-f(-x),那么就可以判定了。
所以若是有表达式,一般是将-x带入。
还有可以看图像,看图象是否关于原点对称（此为奇函数）或关于y轴对称（此为偶函数）。
若以上两种都没有判断出奇偶,一般就很可能是非奇非偶函数了。
不过考虑有的函数表达式复杂,f(x)=f(-x) 或者f(x)=-f(-x)难以推断,我们也可以将之分解,化成几个函数相加减或乘除的形式,然后根
据各自的奇偶性再判断。
当然这时要记住奇函数、偶函数相加减或乘除之后的奇偶变化。
函数的奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
则
的最小值为
x
1 e
m n
− = −
−x ∈ A，且_______________，那么函数f
x 就叫作奇函数
图象
关于
轴
______
对称
关于
坐标原点
_______
对称
【微点拨】奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点
对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
1.函数f x 具有奇偶性的前提是什么？
D.f c > f b > f a
1
log 2 ，
4
活动四 奇偶性的应用(求参数)
34页 2.已知函数f x = a −
2
ex +1
1
a ∈ 是奇函数，则a =___.
[例4] （1）若函数f x = x + a ln
A.−1
（2）若f x = ln a +
B.0
√
1
1−x
2x−1
2x+1
为偶函数,则a =(
B.c < b < a
C.b < c < a
2.（2024·常州调研）已知f x = lg e
则f a ,f b ,f c 的大小关系为(
A.f c
√
x
+ 1 ，a =
20.3 ，b
)
D.a < b < c
= log 3 2，c =
)
>f a >f b
B.f b > f a > f c
C.f a > f b > f c
3.已知f x = ax 2 + bx是定义在[a − 1,2a]上的偶函数，那么a + b的值是(
奇偶函数的性质及其应用
奇偶函数的性质及其应用 Prepared on 22 November 2020奇偶函数的性质及其应用一、知识点总结奇偶函数的性质1）若函数f（x）是定义在区间d的奇函数，则具备以下性质：a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x 都有f（-x）=-f（x）；c.图像关于原点（0,0）对称；d.若0∈d则f（0）=0;e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性。
2）若函数是定义在区间d的偶函数，则具备以下性质：a. 定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0;b.对于定义域内任意x都有f（-x）=f（x）=f（|x|）；c.图像关于y轴对称；d.偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性二、奇偶函数性质的应用热点题型一：利用奇偶性求参数的值例1已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1,2a]的偶函数，那么a+b的值为 .解：∵f（x）是定义在[a-1,2a]的偶函数，∴b=0a-1+2a=0，解得b=0,a=故a+b=.点评：对于多项式型的函数f（x）=a1xn+a2xn-1+…+an，若f （x）为奇函数，则应只保留x的奇次项，若为偶函数则应只保留x的偶次项.故b=0，又奇偶函数定义域关于原点对称，故a-1+2a=0.例2已知函数f（x）=是定义在r上的奇函数，求a的值. 解法一：∵f（x）是定义在r上的奇函数∴f（x）=0，即：=0，∴a=1解法二：∵f（x）是定义r在的奇函数∴f（-x）=-f（x）即：=-整理得（2a-2）（2x+1）=0∴2a-2=0解之得a=1点评：对于奇函数f（x），若0∈f（0）定义域，则此性质可大大减少运算量。
故首选f（0）=0，若0埸定义域，再考虑f（-x）=-f（x），利用恒等式求解。
热点题型二：利用奇偶性求函数解析式例3已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，当x≥0时，f （x）=x（1+x）求出函数的解析式。
函数的奇偶性与单调性.ppt
3、函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数， 既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，非奇非偶函数(既不 是奇函数也不是偶函数
例7、判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ (x 1)2 (x 1)2
单调性性质规律: 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定 义容易证得，在这个区间上： (1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)C＞0时，函数f(x)与C·f(x)具有相同的单调性；C＜0时，函数
f(x)与C·f(x)具有相反的单调性. (3)若f(x)≠0，则函数f(x)与- f(x) 具有相反的单调性. (4)若函数f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数. (5)若f(x)＞0，g(x)＞0，且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·解：f(x)＝x2+2(a-1)x+2＝［x+(a-1)］２-(a-1)2+2，此二次函 数的对称轴是x＝1-a.因为在区间(-∞，1-a］上f(x)是单调递 减的，若使f(x)在(-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须 在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.
2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称.
例1 、试讨论y = x- 1 在区间(0,+∞)上的单调性,并证明
x
评析： 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有 增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.
拓展：已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减 函数，求实数a的取值范围.
函数奇偶性的性质应用
函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比拟大小中作用很大．对于偶函数,如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上,即自变量的正负不统一,应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间,然后再根据单调性判断．例．假如奇函数f<x>在[a,b]上是增函数,且有最大值M,如此f<x>在[－b,－a]上是增函数,且有最小值－M.例．假如偶函数f<x>在<－∞,0>上是减函数,如此f<x>在<0,＋∞>上是增函数．例如果f<x>是R上的奇函数,且在[3,6]上有最大值4,最小值2,那么函数f<x>在[－6,－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称,联想图象可知函数f<x>在[－6,－3]上的最大值为－2,最小值为－4.例．假如函数y＝f<x><x∈R>是奇函数,且f<1><f<2>,如此必有<>A．f<－1><f<－2> B．f<－1>>f<－2>C．f<－1>＝f<1> D．f<－2>＝f<1>解析：∵f<1><f<2>,∴－f<1>>－f<2>．又f<x>是奇函数,∴f<－1>>f<－2>．答案：B例函数y＝f<x><x∈R>是奇函数,图象必过点A．〔a,－f<a>> B．〔-a,－f<a>>C．〔a,f<－a>> D．〔-a,－f<a>>例．设f<x>是R上的偶函数,且在[0,＋∞>上单调递增,如此f<－2>,f<－π>,f<3>的大小顺序是________．解析：∵f<x>是R上的偶函数,∴f<－2>＝f<2>,f<－π>＝f<π>,又f<x>在[0,＋∞>上递增,而2<3<π,∴f<π>>f<3>>f<2>,即f<－π>>f<3>>f<－2>．答案：f<－π>>f<3>>f<－2>例．函数f<x>是R上的偶函数,且在[0,＋∞>上单调递增,如此如下各式成立的是<>A．f<－2>>f<0>>f<1>B．f<－2>>f<1>>f<0>C．f<1>>f<0>>f<－2>D．f<1>>f<－2>>f<0>解析：∵f<x>是R上的偶函数,∴f<－2>＝f<2>,又∵f<x>在[0,＋∞>上递增,∴f<－2>>f<1>>f<0>．答案：B例．函数f<x>在区间[－5,5]上是奇函数,在区间[0,5]上是单调函数,且f<3><f<1>,如此<>A．f<－1><f<－3> B．f<0>>f<－1>C．f<－1><f<1> D．f<－3>>f<－5>思路分析：要比拟各函数值的大小,需判断函数在区间[－5,5]上的单调性,根据题意,应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．解析：函数f <x >在区间[0,5]上是单调函数,又3>1,且f <3><f <1>,故此函数在区间[0,5]上是减函数．由条件与奇函数性质,知函数f <x >在区间[－5,5]上是减函数．选项A 中,－3<－1,故f <－3>>f <－1>．选项B 中,0>－1,故f <0><f <－1>．同理选项C 中f <－1>>f <1>,选项D 中f <－3><f <－5>．答案：A例．设f <x >是定义在R 上单调递减的奇函数．假如x 1＋x 2>0,x 2＋x 3>0,x 3＋x 1>0,如此< >A ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3>>0B ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3><0C ．f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3>＝0D ．f <x 1>＋f <x 2>>f <x 3>解析：利用减函数和奇函数的性质判断．∵x 1＋x 2>0,∴x 1>－x 2.又∵f <x >是定义在R 上单调递减的奇函数,∴f <x 1><－f <x 2>．∴f <x 1>＋f <x 2><0.同理,可得f <x 2>＋f <x 3><0,f <x 1>＋f <x 2><0.∴2f <x 1>＋2f <x 2>＋2f <x 3><0.∴f <x 1>＋f <x 2>＋f <x 3><0.答案：B例〔2009年某某文科卷〕定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-．如此〔〕A ．(3)(2)(1)f f f <-<Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-<Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<<Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-答案：A例 定义在R 上的偶函数f <x >满足：对任意的x 1,x 2∈<－∞,0]<x 1≠x 2>,有<x 2－x 1>·[f <x 2>－f <x 1>]>0.如此当n ∈N ＋时,有< >A ．f <－n ><f <n －1><f <n ＋1>B ．f <n －1><f <－n ><f <n ＋1>C ．f <n ＋1><f <－n ><f <n －1>D ．f <n ＋1><f <n －1><f <－n >思路分析：先判断出函数f <x >的单调性,再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系．解析：由<x 2－x 1>[f <x 2>－f <x 1>]>0得f <x >在x ∈<－∞,0]为增函数．又f <x >为偶函数,所以f <x >在x ∈[0,＋∞>为减函数．又f <－n >＝f <n >且0≤n －1<n <n ＋1,∴f <n ＋1><f <n ><f <n －1>,即f <n ＋1><f <－n ><f <n －1>．答案：C例．假如y ＝<a －1>x 2－2ax ＋3为偶函数,如此在<－∞,3]内函数的单调区间为________．解析：a ＝0,y ＝－x 2＋3结合二次函数的单调性知．答案：增区间<－∞,0>,减区间[0,3]例定义在区间<－∞,＋∞>上的奇函数)(x f 为增函数,偶函数)(x g 在区间[0,＋∞>上的图象与)(x f 的图象重合,设a ＞b ＞0,给出如下不等式：〔1〕f <b >－f <－a >＞g <a >－g <－b >；〔2〕f <b >－f <－a >＜g <a >－g <－b >；〔3〕f <a >－f <－b >＞g <b >－g <－a >；〔4〕f <a >－f <－b >＜g <b >－g <－a >．其中成立的是〔 〕A ． <1>与<4>B ． <2>与<3>C ． <1>与<3>D ． <2>与<4>解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简,得：〔1〕f <b >＋f <a >＞g <a >－g <b >；〔2〕f <b >＋f <a >＜g <a >－g <b >；〔3〕f <a >＋f <b >＞g <b >－g <a >；〔4〕f <a >＋f <b >＜g <b >－g <a >．再由题义,有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然〔1〕、〔3〕正确,应当选C ．[技巧提示]具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性,因而往往与不等式联系严密．二. 求函数的函数值和函数解析式此类问题的一般解法是：<1>"求谁如此设谁〞,即在哪个区间求解析式,x 就设在哪个区间内．<2>要利用区间的解析式进展代入．<3>利用f <x >的奇偶性写出－f <x >或f <－x >,从而解出f <x >例 函数y ＝f <x >是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,如此方程f <x >＝0的所有实根之和是< >A ．4B ．2C ．1D ．0思路分析：以偶函数的图象特征进展判断．解析：∵偶函数y ＝f <x >的图象关于y 轴对称,∴f <x >与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此,假如一根为x 1,如此它关于y 轴对称的根为－x 1；假如一根为x 2,如此它关于y 轴对称的根为－x 2,故f <x >＝0的四根之和为x 1＋<－x 1>＋x 2＋<－x 2>＝0.∴应选D.例．()2f x ax bx 3a b =+++是偶函数,且定义域为[],a 22a -,如此____,____;a b == 例.函数1().21x f x a =-+,假如()f x 为奇函数,如此a =________. 例. 设f x a a b x x x x xc ()log ()=-+⋅+++-2122〔其中a,b,c 为常数〕,且f()-=25,试求f<2>的值. 解：设g x a a b x x x xc ()log ()=-+⋅++-212,易证g<x>是奇函数,故 于是f g f g ()()()()()()-=-+=--+⎧⎨⎩22412242两式相加得：f f ()()282853=--=-=,即f()23=例：8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ,那么=)2(f例.f <x >是偶函数,且当x >0时,f <x >＝x 3＋2x －3,求f <x >在x <0时的解析式．解：∵f <x >是偶函数,∴f <－x >＝f <x >,∵x <0,∴－x >0,∴f <－x >＝<－x >3＋2<－x >－3＝－x 3－2x －3.∴f <x >＝－x 3－2x －3<x <0>．例.函数f<x>在〔0,+∞〕上的解析式是f<x>=2x+1,根据如下条件求函数在〔-∞,0〕上的解析式.〔1〕f<x>是偶函数；〔2〕f<x>是奇函数.例设f<x>是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f x x x ()lg()=+-+1212.试求此函数的解析式.解：〔1〕当x ＝0时,f f f ()()()000=-=-,于是f()00=；〔2〕当x<0时,->x 0,如此f x x x ()lg()()-=-+--+1212,由于f<x>是定义在R 上的奇函数,如此此函数的解析式为例．f <x >是R 上的奇函数,且当x >0时,f <x >＝－x 2＋2x ＋2.<1>求f <x >的解析式；<2>画出f <x >的图象,并指出f <x >的单调区间．解<2>先画出y ＝f <x ><x >0>的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f <x ><x <0>的图象,其图象如如下图所示 由图可知,其增区间为[－1,0>与<0,1],减区间为<－∞,－1]与[1,＋∞>例．f <x >是奇函数,且当x >0时,f <x >＝x |x －2|,求x <0时,f <x >的表达式．解：∵x <0,如此－x >0,∴f <－x >＝<－x >|<－x >－2|.又∵f <x >为奇函数,∴f <x >＝－f <－x >＝－<－x >|<－x >－2|＝x |x ＋2|.故当x <0时,f <x >＝x |x ＋2|. 于原点对称,f<a>求f<－a>,可尝试利用函数的奇偶性．f<x>＝u<x>＋1,f<－x>＝u<－x>＋1,∴ f<x>＋f<－x>＝u<x>＋u<－x>＋2．∵ u<x>是奇函数,u<x>＋u<－x>＝0,∴ f<x>＋f<－x>＝2,如此例. 设x ∈-()11，,f<x>是奇函数,g<x>是偶函数,f x g x x x ()()lg()+=-+21,求f<x>的表示式.解：f<x>是奇函数,有f x f x ()()-=-；g<x>是偶函数,有g x g x ()()-=,如此即f x g x x x f x g x x x ()()lg()()()lg()+=-+-+=---⎧⎨⎩2121 两式相减得f x x x x()lg()=+-+21211例 设x∈<－1,1>,f<x>是偶函数,g<x>是奇函数,且f<x>＋g<x>＝－2lg<1＋x>,求10f<x>和10g<x>的表达式．解：法一：与上例同法二：∵x∈<－1,1>关于原点对称,又f<x>是偶函数f<－x>＝f<x>,g<x>是奇函数g<－x>＝－g<x>,设f<x>＋g<x>＝－2lg<1＋x>＝F<x>,如此F<－x>＝－2lg<1－x>,而F<－x>＝f<－x>＋g<－x>＝f<x>－g<x>,∴2f<x>＝F<x>＋F<－x>＝－2[lg<1＋x>＋lg<1－x>]＝－2lg<1－x 2>．又2g<x>＝F<x>－F<－x>＝－2[lg<1＋x>－lg<1－x>]三. 解不等式例．假如函数f <x >满足f <－x >＝－f <x >,又在<0,＋∞>上单调递增,且f <3>＝0,如此不等式x ·f <x ><0的解集是________．解析：∵f <－x >＝－f <x >,∴f <x >为奇函数,如此f <x >的简图如右图所示．∴当x <0时,f <x >>0,如此x ∈<－3,0>；当x >0时,f <x ><0,如此x ∈<0,3>．答案：<－3,0>∪<0,3>例. 〔2004年某某卷〕设奇函数f<x>的定义域是［-5,5］.当x ∈[]05，时,f<x>的图象如图1,如此不等式f<x><0的解是______________.图1解：根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数y f x =()在区间［-5,5］上的图象如图2,易知不等式f x ()<0的解是()(]-⋃2025，，.图2四. 函数的奇偶性的综合应用题解决有关函数的奇偶性、单调性以与求字母取值X 围的综合问题时,一般先利用奇偶性得出区间上的单调性,再利用单调性脱去函数的符号"f 〞,转化为解不等式<组>的问题．需要注意的是：在转化时,自变量必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号"f 〞时,需转化为含符号"f 〞的形式．例 函数f <x >是定义域为实数集R 的偶函数,且在区间[0,＋∞>上是增函数,假如f <m >≥f <－2>,某某数m 的取值X 围．解：函数f <x >是实数集R 上的偶函数,且在[0,＋∞>上是增函数,所以f <x >在<－∞,0>上是减函数．当m <0时,由f <m >≥f <－2>,知m ≤－2；当m ≥0时,由f <m >≥f <－2>,f <－2>＝f <2>,可得f <m >≥f <2>,知m ≥2.故所求的m 的取值X 围为<－∞,－2]∪[2,＋∞>．例 函数f <x >是奇函数〔x ≠0〕,当x ∈〔0,+∞〕时是增函数,假如(1)f =0,求不等式1()2f x -〈0的解集.思路分析：由f <x >的奇偶性与函数在<0,＋∞>上的单调性,不难得出f <x >在<－∞,0>上的单调性．再将不等式两边化为函数值的形式,利用单调性便可脱去函数记号"f 〞,于是问题转化为解不等式． 答案13(,)22⋃1(,)2-∞-例 偶函数)(x f 在定义域为R ,且在〔－∞,0]上单调递减,求满足)3(+x f ＞)1(-x f 的x 的集合．解析：偶函数)(x f 在〔－∞,0]上单调递减,在［0,＋∞〕上单调递增．根据图象的对称性,)3(+x f ＞)1(-x f 等价于 |3|+x ＞|1|-x ．解之,1->x ,∴ 满足条件的x 的集合为〔－1,＋∞〕．例 y ＝f<x>是定义在<－1,1>上的偶函数,且f<x>在<0,1>上是增函数,假如f<a －2>－f<4－a 2>＜0,试确定a 的取值X 围．解 因f<x>是定义在<－1,1>上的偶函数,故它在关于原点对称的两个区间<0,1>和<－1,0>上具有相反的单调性．而f<x>在<0,1>上是增函数,于是f<x>在<－1,0>上为减函数,且f<4－a 2>＝f<a 2－4>．根据f<a －2>＜f<4－a 2>＝f<a 2－4>,考虑几种情况：<1>当a －2和a 2－4都在<0,1>上时,有<2>当a －2和a 2－4都在<－1,0>上时,有<3>当a －2和a 2－4分别在<－1,0>、<0,1>或<0,1>、<－1,0>时,相应的不等式组无解．例 f <x >是定义在[－1,1]上的奇函数,对任意a 、b ∈[－1,1],当a ＋b ≠0时,都有错误!>0.<1>假如a >b ,试比拟f <a >与f <b >的大小；<2>解不等式f <x －错误!><f <2x －错误!>．解：<1>假如a >b ,如此a －b >0,依题意有错误!>0成立,∴f <a >＋f <－b >>0.又∵f <x >是奇函数,∴f <a >－f <b >>0,即f <a >>f <b >．<2>由<1>可知f <x >在[－1,1]上是增函数．如此所求不等式等价于错误!例：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减,假如)123()12(22+-<++a a f a a f ,如此a 的取值X 围是如何？ 例. 函数f x ax bx c a b ()()=++>>2100，是奇函数,当x>0时,f<x>有最小值2,其中b N ∈+,且f()152<〔1〕试求f<x>的解析式；〔2〕问函数f<x>的图象上是否存在关于点〔1,0〕对称的两点,假如存在,求出点的坐标；假如不存在,说明理由. 解：知函数y f x a b =>>()()00，是奇函数,f x f x ()()-=-,如此c ＝0 由于f x a b x bx a b ()=+≥122,所以a b =2,又a b =2,又f a b ()1152=+<,于是25202b b -+< 解得122<<b ,又b N ∈+ 所以b ＝1,a ＝1 所以f x x x()=+1 〔2〕设点〔x 0,y 0〕存在关于点〔1,0〕对称点〔20-x ,y 0〕,此两点均在函数y x x=+21的图象上,如此y x y x x 002002012212=+-=-+-，() 联立以上两式得x x 020210--=,即x 012=±,从而,当x 012=+时,得y 022=；当x 012=-时,得y 022=- 即存在点〔1222+，〕,〔1222--，〕关于点〔1,0〕对称.。
函数的奇偶性及其应用
函数的奇偶性及其应用函数是数学中常见的概念，它描述了一种映射关系，即根据给定的输入值，得到相应的输出值。
函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中的对称性质。
了解函数的奇偶性对于解题和分析函数性质具有重要的意义。
本文将就函数的奇偶性及其应用进行讨论。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性即函数关于原点(0,0)的对称性质。
若函数满足$f(-x) =f(x)$，则称该函数为偶函数；若函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。
也就是说，对于偶函数来说，函数关于Y轴对称；对于奇函数来说，函数关于原点对称。
二、奇偶函数的性质1. 偶函数和奇函数的性质(1) 任意两个偶函数相加是偶函数，任意两个奇函数相加是奇函数。
(2) 偶函数乘以偶函数是偶函数，奇函数乘以奇函数是偶函数。
(3) 偶函数乘以奇函数是奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数。
(4) 偶数次幂的多项式函数是偶函数，奇数次幂的多项式函数是奇函数。
(5) 偶函数关于Y轴对称，奇函数关于原点对称。
2. 函数的奇偶性与代数运算的关系(1) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)+c$也是偶函数，其中$c$是常数。
(2) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)+c$也是奇函数，其中$c$是常数。
(3) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)\cdot c$仍是偶函数，其中$c$是常数。
(4) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)\cdot c$仍是奇函数，其中$c$是常数。
三、奇偶函数的应用1. 函数图像的性质分析通过函数的奇偶性，可以推导出函数图像关于Y轴或关于原点的对称性。
利用对称性可以简化函数图像的绘制和分析。
2. 奇偶函数在积分计算中的应用(1) 对于奇函数，其在关于原点对称的区间上的定积分为0，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
(2) 对于偶函数，其在关于Y轴对称的区间上的定积分可以通过积分区间的对称性进行简化，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
奇函数与偶函数的性质及其应用1 奇函数的性质及其应用奇函数的性质 设)(x f 是奇函数. (1)若)0(f 有意义，则0)0(=f ；(2)若a x f x g +=)()(，则a x g x g 2)()(=-+；(3)若函数)(x f 有最大(小)值，则函数)(x f 有最小(大)值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.证明 (1)在恒等式0)()(=-+x f x f 中，令0=x 后，可得0)0(=f . (2)可得a a x f a x f x g x g 2])([])([)()(=+-++=-+.(3)这里只证明结论：若函数)(x f 有最大值，则函数)(x f 有最小值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.设函数)(x f 的定义域是D ，得)()(,,00x f x f D x D x ≤∈∀∈∃. 因为奇函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，所以D x D x ∈-∈∀,，得D x x f x f x f x f x f x f ∈--=-≥≤-=-0000),()()(),()()(，所以函数)(x f 有最小值(为)(0x f -)，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.题1 (普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a 使函数122)(+-=xa x f 为奇函数？ 解 由奇函数的性质(1)，可得1,01)0(==-=a a f .还可验证：当1=a 时，0)()(=-+x f x f ，即)(x f 是奇函数. 所以存在实数1=a 使函数)(x f 为奇函数.题2 (2017年高考安徽卷理科第11题)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，若将方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为( )A.0B.1C.3D.5解 D.可证⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛222:02T f T f T f T f . 所以由奇函数的性质(1)，可得⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=-===22)(0)0()(T f T f T f f T f ，得方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上有根T Tx ±±=,2,0. 题3 若函数b a bx ax x f ,(1)(3++=是常数)满足13)2016(=f ，则=-)2016(f .解 11-.因为函数bx ax x g +=3)(是奇函数，所以由奇函数的性质(2)，可得2)2016()2016(=-+f f .又13)2016(=f ，所以11)2016(-=-f . 题4 函数)0](,[,21)1ln()(2>-∈-+=t t t x x e x x f x的最大值与最小值之和为-_____.解 0.因为可证)(x f 是奇函数，再由由奇函数的性质(3)，可得答案.题5 函数11sin )(||||++-=x x e x e x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为_____.解 2.1sin 111sin )(||||||+-=++-=x x x e xe x e xf . 可得1sin 1)()(||+-=-=x e xx f x g 是奇函数，且函数)(x g 在[-m ,m ](m >0)上的最大值、最小值之和是0，所以函数)(x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为2.题6 已知函数12()1sin 21x xf x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n += .解 4.可证得()22()f x f x -=--.设()()2g x f x =-，所以()g x 是奇函数，且其在区间[,](0)k k k ->上的值域为[2,2]m n --.由奇函数的性质(3)，可得(2)(2)0,4m n m n -+-=+=.题7 若函数xx xx x x f cos 224sin 2)(22+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π的最大值与最小值分别是M ,m ，则( ) A.M -m =4 B.M +m =4 C.M -m =2 D.M +m =2解 D.可得x x xx x f cos 2sin 1)(2+++=. 可得xx xx x f x g cos 2sin 1)()(2++=-=是奇函数，且函数)(x g 的最大值、最小值分别是1,1--m M .由奇函数的性质(3)，可得2,0)1()1(=+=-+-m M m M . 2 偶函数的性质及其应用偶函数的性质 (1)若函数()()f x x D ∈是偶函数，则()()()f x f x x D =∈恒成立； (2)若偶函数f (x )在0x =处可导，则(0)0f '=；(3)若偶函数f (x )的定义域是D (可得D 关于原点对称)，,A B 是数集D 的关于原点对称的两个子集，则函数f (x )在数集,A B 上的值域相同.证明 (1)当0≤x 且D x ∈时，)()()(x f x f x f =-=；当0>x 且D x ∈时，)()(x f x f =.所以欲证结论成立.(2)由题设，可得0()(0)(0)lim x f x f f x+→-'=0000()(0)()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim limx x x t f x f f x f f x f f t f f x x x t-+++→-→-→→------'===-=--所以(0)(0)f f ''=- (0)0f '=(3)由偶函数f (x )的图象关于y 轴对称，立得欲证结论成立.题8 (2019年高考全国新课标卷II 理科第15题)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．解 (－1，3).由题设及偶函数性质(1)，可得f (x －1)＞0(1)(2)1213f x f x x ⇔->⇔-<⇔-<<题9 (2018年高考全国卷II 文科第12题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C.11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 A.易知f (x )是偶函数，且当0x ≥时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2是增函数(因为两个增函数之和是增函数)，所以由性质1，可得f (x )>f (2x －1)221()(21)212113f x f x x x x x x ⇔>-⇔>-⇔>-⇔<< 题10 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增.若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的取值范围是( )A.[1,2]B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.(0,2]解 C.由题设及偶函数性质(1)，可得212222(log )(log )2(1)(log )(log )2(log )2(1)f a f a f f a f a f a f +≤⇔+-=≤221(log )(1)log 122f a f a a ⇔≤⇔≤⇔≤≤ 题11 (2018年高考湖南卷文科第15题)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________．解 －32.由题设及偶函数性质(2)，可得3303e 3(0)0e 12x x x f a a =⎛⎫'=+=+= ⎪+⎝⎭32a =-题12 (2018年高考全国卷I 理科第13题)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．解 1.由题设及偶函数性质(2)，可得()(0)ln([ln(ln 0x f x x x =''=+++==1a =题13 (2018年高中数学联赛湖北省预赛高二年级第8题)函数()1)f x =的值域是 .解[2+.可得函数f (x )的定义域是[1,1]-. 由偶函数性质(3)知，所求答案即函数()1)(01)g x x =≤≤的值域.设1)z x =≤≤，得21)z x =≤≤，由此可得函数2(01)y x =≤≤是函数值为非负数的减函数.又函数1(01)u x =≤≤也是函数值为非负数的减函数，所以函数()g x 是减函数.所以所求答案即[(1),(0)][2g g =. 题14 (2019年高中数学联赛安徽赛区初赛第1题)函数()11f x x x =++-+的值域为 .解 [2+.可得函数f (x )的定义域是[2,2]-.由偶函数性质(3)知，所求答案即函数()112)g x x x x =++-≤≤的值域.当01x ≤≤时，函数()2g x =是减函数，得此时()g x 的取值范围是[24]+.当12x <≤时，可设2cos 03x πθθ⎛⎫=≤<⎪⎝⎭，得此时()24cos 2sin )g x x θθθθθϕ⎫==+=+=+⎪⎭(其中ϕ是锐角且sinϕ=63ϕ≈︒)得此时()g x 的取值范围是3πϕ⎛⎛⎫+⎪ ⎝⎭⎝即4cos 2sin ,33ππ⎛+ ⎝也即.所以所求答案即[24]⋃即.题15 (2018年高中数学联赛湖北省预赛高一年级第5题)函数1111sin cos tan cot y x x x x=+++的最小值为 .解 2.可得函数y 是偶函数且是以2π为一个周期的正确函数，所以只需求函数y 在,00,44ππ⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上的最小值. 由偶函数性质(3)知，只需求函数y 在0,4π⎛⎤⎥⎝⎦上的最小值. 当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，1111sin cos 1sin cos tan cot sin cos x x y x x x x x x++=+++=.设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，得21cos 2t t x x -∈=，所以2(11y t t =<≤-进而可得所求答案为2y ==.。