奇函数与偶函数的性质及其应用

奇函数与偶函数的性质及其应用

1 奇函数的性质及其应用

奇函数的性质 设)(x f 是奇函数. (1)若)0(f 有意义，则0)0(=f ；

(2)若a x f x g +=)()(，则a x g x g 2)()(=-+；

(3)若函数)(x f 有最大(小)值，则函数)(x f 有最小(大)值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.

证明 (1)在恒等式0)()(=-+x f x f 中，令0=x 后，可得0)0(=f . (2)可得a a x f a x f x g x g 2])([])([)()(=+-++=-+.

(3)这里只证明结论：若函数)(x f 有最大值，则函数)(x f 有最小值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.

设函数)(x f 的定义域是D ，得)()(,,00x f x f D x D x ≤∈∀∈∃. 因为奇函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，所以D x D x ∈-∈∀,，得

D x x f x f x f x f x f x f ∈--=-≥≤-=-0000),()()(),()()(，所以函数)(x f 有最小值(为)(0x f -)，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数.

题1 (普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a 使函数1

22

)(+-

=x

a x f 为奇函数？ 解 由奇函数的性质(1)，可得1,01)0(==-=a a f .

还可验证：当1=a 时，0)()(=-+x f x f ，即)(x f 是奇函数. 所以存在实数1=a 使函数)(x f 为奇函数.

题2 (2017年高考安徽卷理科第11题)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，若将方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为( )

A.0

B.1

C.3

D.5

解 D.可证⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛222:02T f T f T f T f . 所以由奇函数的性质(1)，可得⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎭⎫

⎝⎛=-===22)(0)0()(T f T f T f f T f ，得方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上有根T T

x ±±

=,2

,0. 题3 若函数b a bx ax x f ,(1)(3

++=是常数)满足13)2016(=f ，则

=-)2016(f .

解 11-.因为函数bx ax x g +=3

)(是奇函数，所以由奇函数的性质(2)，可得

2)2016()2016(=-+f f .

又13)2016(=f ，所以11)2016(-=-f . 题4 函数)0](,[,2

1)1ln()(2

>-∈-+=t t t x x e x x f x

的最大值与最小值之和为-_____.

解 0.因为可证)(x f 是奇函数，再由由奇函数的性质(3)，可得答案.

题5 函数1

1

sin )(||||++-=x x e x e x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为_____.

解 2.1

sin 111sin )(|

|||||+-=++-=x x x e x

e x e x

f . 可得1

sin 1)()(|

|+-

=-=x e x

x f x g 是奇函数，且函数)(x g 在[-m ,m ](m >0)上的最大值、最小值之和是0，所以函数)(x f 在[-m ,m ](m >0)上的最大值与最小值之和为2.

题6 已知函数1

2()1sin 21

x x

f x x +=+++在区间[,](0)k k k ->上的值域为[,]m n ，则m n += .

解 4.可证得()22()f x f x -=--.

设()()2g x f x =-，所以()g x 是奇函数，且其在区间[,](0)k k k ->上的值域为

[2,2]m n --.

由奇函数的性质(3)，可得(2)(2)0,4m n m n -+-=+=.

题7 若函数x

x x

x x x f cos 224sin 2)(22+++⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=

π的最大值与最小值分别是M ,m ，则( ) A.M -m =4 B.M +m =4 C.M -m =2 D.M +m =2

解 D.可得x x x

x x f cos 2sin 1)(2

+++

=. 可得x

x x

x x f x g cos 2sin 1)()(2++=-=是奇函数，且函数)(x g 的最大值、最小值分别是

1,1--m M .

由奇函数的性质(3)，可得2,0)1()1(=+=-+-m M m M . 2 偶函数的性质及其应用

偶函数的性质 (1)若函数()()f x x D ∈是偶函数，则()()()f x f x x D =∈恒成立； (2)若偶函数f (x )在0x =处可导，则(0)0f '=；

(3)若偶函数f (x )的定义域是D (可得D 关于原点对称)，,A B 是数集D 的关于原点对称的两个子集，则函数f (x )在数集,A B 上的值域相同.

证明 (1)当0≤x 且D x ∈时，)()()(x f x f x f =-=；当0>x 且D x ∈时，

)()(x f x f =.所以欲证结论成立.

(2)由题设，可得

0()(0)

(0)lim x f x f f x

+

→-'=

0000()(0)()(0)()(0)()(0)

(0)lim lim lim lim

x x x t f x f f x f f x f f t f f x x x t

-+++→-→-→→------'===-=--

所以

(0)(0)f f ''=- (0)0f '=

(3)由偶函数f (x )的图象关于y 轴对称，立得欲证结论成立.

题8 (2019年高考全国新课标卷II 理科第15题)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是________．

解 (－1，3).由题设及偶函数性质(1)，可得

f (x －1)＞0(1)(2)1213f x f x x ⇔->⇔-<⇔-<<

题9 (2018年高考全国卷II 文科第12题)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－

1

1＋x 2

，则使得