数学建模之方差分析 ppt课件

第一讲 方差分析
1.1 1.2 1.3 1.4
方差分析的概念 单因素方差分析 有交互作用的双因素方差分析 无交互作用的双因素方差分析
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1.1 方差分析的概念
一、问题的引入 在实际应用中，我们常常会遇到需要对
两个以及两个以上总体均值是否相等进行检验， 从而判断某一种因素对我们所研究的对象是否产 生了显著的影响。
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例2 某公司为了研究三种不同内容的广告宣传对某种 无季节性的大型机械的销售量是否有显著影响，经调查统 计，一年四个季度的销售量(单位:台)如下:
A1是强调运输方便性的广告，A2是强调节省燃料的经 济性的广告，A3是强调噪音低的优良性的广告.试判断:新 闻广告的类型对该种机械的销售量是否有显著影响?若影 响显著，哪一种广告内容为好?
1.因素又称因子，指需要考察的引起数件据变动的主
要原因，通常用A、B、C……表示。
如：要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色
是要检验的因素或因子.
又如：要分析新闻广告的内容对某种机械的销售量
是否有显著影响，新闻广告类型是所要检验的因素。
单因素方差分析：在实验中考察的因素只有一个。
双因素方差分析：在实验中考察的因素有两个。
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系统误差：在因素的不同水平(不同总体)下，各观 察值之间的差异。
比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是不 同的。这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也 可能是由于颜色本身所造成的，后者所形成的误差是由 系统性因素造成的，称为系统误差。
比较的基础是方差比
组内方差、组间方差
组内方差：因素的同一水平(同一个总体)下样本 数据的方差。
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精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
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如果不同的水平对结果有影响，在组间方差 中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差， 这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与 组内方差的比值就会大于1。
当这个比值大到某种程度时，就可以说不同
水平之间存在着显著差异。
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四、基本假定 1.每个总体都应服从正态分布
对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必须服从正态分布
例1：某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种， 分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、 价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营 规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见下表， 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。
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Xij j ij ,
ij～N(0, 2),各ij 独立,
i 1,2,,nj , j 1,2,,s,
j 与 2 均未知.
单因素试验方差分析的数学模型
需要解决的问题
1.检验假设
H0:1 2 s, H1:1,2,,s不全相 . 等
2.各个总体的方差必须相同
对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取的。 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同。
3.不同水平下的样本相互独立
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1.2 单因素方差分析
一、数学模型
设 A 有 s 个 因 A 1 ,A 2 水 素 , ,A s ,在 平 A j( j水
1 ,2 , ,s ) 下 ,进 n j(n j 行 2 ) 次独 ,得 立 到 试
的结果.
表1
观察结果 水平
A1
源自文库A2
A s
X 11
X 12
X 21
X 22
X 1s X 2s
样本总和 样本均值 总体均值
X n1 1 T •1
X 1•1
X n2 2 T•2 X •2
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X ns s T • s
X s•s
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假设 1.各个A 水 j(j平 1,2, ,s)下的X 样 1j,X本 2j,
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方差分析：在若干个能够相互比较的资料组中， 判别各组资料是否存在差异以及分析差异原因的 方法和技术。
方差分析由英国统计学家R.A.Fisher首创，为纪
念Fisher，方差分析又称 F 检验 （F test）。
用于推断多个总体均值有无差异
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二、基本概念
可以控制 的试验条
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三、方差分析的基本思想
n 比较两类误差 以检验均值是否相等
n 随机误差和系统误差
随机误差：在因素的同一水平(同一个总体)下， 样本的各观察值之间的差异。
比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量 是不同的。不同超市销售量的差异可以看成是随机因 素的影响，或者说是由于抽样的随机性所造成的，称 为随机误差 。
多因素方差分析：在实验中考察的因素有两个以上。
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2.水平：因子在实验中的不同状态。 如：例1中橘黄色、粉色、绿色和无色透明四
种颜色就是因素的四个水平。
3.交互影响：如果因子间存在相互作用，称之为 “交互影响”；如果因子间是相互独立的，则称 为无交互影响。
4.观察值：在每个因素不同水平下得到的样本值。 如例1中每种颜色饮料的销售量就是观察值。
,Xnjj来自具有相 2,均同 值方 分 差 j(别 j1,为 2, ,s)的正态 N(总 j,2体 ), j与 2均未 ; 知
2.不同水A平j下的样本之间相互 . 独立
因X 为 i～ j N (j,2),所 X i以 jj～ N (0 , 2).
记 X ijj ij,表示随 ,那X 机 i么 可 j 误 写差 成
比如，无色饮料在5家超市销售数量的方差。组内方
差只包含随机误差
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组间方差：因素的不同水平(不同总体)下各样 本之间的方差
比如，例1中橘黄色、粉色、绿色和无 色透明四种颜色饮料销售量之间的方差。组间 方差既包括随机误差，也包括系统误差。
方差的比较
如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响， 那么在组间方差中只包含有随机误差，而没有 系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该 很接近，两个方差的比值就会接近1。