第一章一元函数的极限与连续

序偶, 集合的直积(笛卡尔积)
设A, B是两个非空集合, x A, y B, 称(x, y)为序偶.
称集合{(x, y) | x A, y B}为集合A与B的直积,记为
A B.
数理逻辑
实数集(real set)的完备性
有理数及其性质(四则运算的封闭性,有序性,稠密性)
从下面的例子看有理数集的不足之处. 例2:(i)没有有理数,可以使得 p2 2.
archx ln(x x2 1), 1 x
arthx 1 ln 1 x , 2 1 x
1 x 1.
作业
P15. 7，8，9，11 P16. 19，21 自学第1.3节 [复数的表示和运算]
RQ
第一章 一元函数的极限与连续
1.1 集合及其运算
集合的概念及简单运算
集合(set):具有某种性质的对象(元素)的全体. 子集:若集合A的每个元素都是集合B的元素,则称A
是B的子集. 若A是B的子集,B也是A的子集,则称集合A与B相等. 若A是B的子集,且A不等于B,则称A是B的真子集. 空集:不含任何元素的集合.规定空集是任何集合的
基本初等函数可分为三类:
1. 幂函数,多项式,有理分式以及它们的反函 数;
2. 三角函数及其反函数;
3. 指数函数及其反函数(对数函数).
双曲函数
双曲正弦 : shx ex ex , 奇函数,- x 2
双曲余弦 : chx ex ex ,偶函数,- x 2
双曲正切
:
thx
ex ex
注: (1)设f : A B, 则以下三个结论等价 : (i) f 是单射; (ii)若x1, x2 A且x1 x2 , 则f (x1) f (x2 ); (iii)若x1, x2 A且f (x1) f (x2 ), 则x1 x2. (2)映射f : A B可逆 f 是双射.
一元实函数(定义域和值域都是实数集的函数)
定理1: 有上(下)界的非空实数集必有上(下)确界.
1.2 函数
映射,像,原像,定义域,值域
设A, B是非空集合,如果对任给的A中的元素x按照 对应法则f 在B中总是存在唯一的y与之对应,则称f 为A到B的一个映射,记为:f :A B. 其中称y为像,x为原像,A为定义域,f (A)为值域.
映射:相等,满射,单射,双射,恒等映射,复合映射, 逆映射
(ii)考察这样一个序列 : 1 1.4 1.41 1.414 1.4142
这个序列趋于 2,不是有理数,所以在有理数集中 上诉序列没有极限.从这里也可以看出有理数集 在数轴上虽然是稠密的但是还是有"空隙"的,无 理数就是这些"空隙".
有理数(rational number)和无理数(irrational number)统称为实数.
ex ex
, 奇函数,-
x
双曲函数的性质
(1) 图像 (2) 公式 sh(x y) shxchy chxshy ch(x y) chxchy shxshy ch2 x sh2 x 1 sh2x 2shxchx, ch2x ch2x sh2x
反双曲函数Байду номын сангаас
arshx ln(x x2 1), x
实数集与数轴上的点一一对应.该性质称为实 数集的完备性.
实数集的性质(四则运算的封闭性,有序性,稠 密性,完备性)
确界原理刻画实数集的完备性
数集的上界(下界),有界数集
定义1: 设集合A R¡ , A , L R¡ 使得 x A, x L,则称L是A的上界.
类似可以定义A的下界.如果集合A既有上界 又有下界,则称集合A有界,否则称集合A无界.
集合A有界 M 0,使得x A,| x | M . 注:有上界(下界)的数集的上界(下界)不是唯一的.
上确界(“最小的上界”),下确界
R
R
例3 : 求下列集合的上下确界 (1)E { 1 , 2 ,, n ,}
2 3 n1 (2)F {1, 4,9,16,, n2,} (3)G {x | x ¡R , x2 2, x 0} (4)H {x | x Q¤ , x2 2, x 0}.
子集. 常见集合:
本课程常见以下集合:
[a,b] (a,b] [a,b) (a,b] [a, ) …
邻域
N
(
x0
,
o
)
(
x0
, x0 )
去心邻域 N (x0, ) (x0 , x0 ) (x0, x0 )
集合的运算: 并, 交, 差, 补.
全集:所有对象的全体,记为I.
集合运算的运算律: 交换律,结合律,分配律,幂等律, 吸收律,对偶律.
例4：(分段函数) (1) 符号函数
1, x 0 sgn x 0, x 0
1, x 0 (2) 取整函数f (x) [x], [x]表示不超过x的最大整数.
[x] x [x] 1 (3) Dirichlet函数
1, x ¤Q D(x) 0, x ·R \ Q
初等函数:可由基本初等函数经过有限次的 有理运算与复合运算所产生的函数.