高中数学 数列与不等式练习题(含答案)

高中数学探究性试题汇编

课堂教学改革的目的，一是要打破传统教学束缚学生手脚的陈旧做法；二是要遵循现代教育以人为本的的观念，给学生发展以最大的空间；三是能根据教材提供的基本知识，把培养学生创新精神和实践能力作为教学的重点。数学探究性学习是以学生探究为基本牲的一种教学活动形式。具体是指在教师的启发诱导下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以学生已有知识经验和生活经验为基础，以现行教材为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一种教学活动形式。它可使学生学会学习和掌握科学方法，为学生终身学习和发展奠定基础。

探究性试题有助于数学思维的提高。

1．已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得

()()()1100f x f x f +=+成立。

（Ⅰ）函数()x

x f 1

=

是否属于集合M ？说明理由； （Ⅱ）设函数()M x a

x f ∈+=1

lg 2，求a 的取值范围；

（Ⅲ）设函数x

y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，证明：函数()M x x f x

∈+=2

2。

解：（Ⅰ）若()x

x f 1=

M ∈，在定义域内存在0x ，则

01111102

000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程0102

0=++x x 无解，∴()x

x f 1

=M ∉。 （

Ⅱ

）

()()()()012222lg 1lg 1

1lg 1lg

22

22=-++-⇒++=++⇒∈+=a ax x a a

x a x a M x a x f ，

2

=a 时，

2

1

-

=x ；

2

≠a 时，由

≥∆，得

[)(]

53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a 。

∴[]

53,53+-∈a 。 （

Ⅲ

）∵

()()()()()

[]

122)1(223212110102

02

01000000-+=-+=---++=--+-+x x x x f x f x f x x x x ，

又∵函数x

y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，设交点的横坐标为a ，

则()012

0201

0=-+⇒=+-x a x a

，其中10+=a x 。

∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x

∈+=2

2。

2．已知)(x f 是定义在R 上的恒不为零的函数，且对于任意的x 、R y ∈都满足：

)()()(y x f y f x f +=⋅

（1）求)0(f 的值，并证明对任意的R x ∈，都有0)(>x f ；

（2）设当0，证明)(x f 在()+∞∞-,上是减函数；

（3）在（2）的条件下，求集合{}

)lim (,),(,),(),(21n n n S f S f S f S f ∞

→ΛΛ中的最大元素和最

小元素。

解：（1）1)0(,0)0(),0()0()0(=∴≠=⋅f f f f f 0)]2

([)2()2()(,0)2(2

>=⋅=∴≠x f x f x f x f x

f Θ （2）∵当01=…………6分

∴当21x x <，即021<-x x 时，有)0()(21f x x f >-1=， 即)()

(1

)(,1)()(22121x f x f x f x f x f =->

∴>-⋅ ()1)0()()(22==-⋅f x f x f Θ

∴)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。

（3）∵)(x f 在()+∞∞-,上是减函数，{n S }是递增数列∴数列{})(n S f 是递减数列。 ∴

集

合

{}

)lim (,),(,),(),(2

1

n

n n

S f S f S f S f ∞

→ΛΛ中的最大元素为

22)1()2

1

()(1=

=

=f f S f ，最小元素为2

1)1()lim (==∞→f S f n n 。

3．已知等差数列{}n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足14,454132=+=⋅a a a a ， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）通过c

n S b n

n +=

构造一个新的数列{}n b ，是否存在一个非零常数c ，使{}n b 也为等

差数列； （3）求*)()2005()(1

N n b n b n f n n

∈⋅+=

+的最大值。

解：（1）∵等差数列{}n a 中，公差0>d ，

∴34495144514453232

324132-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=⋅⇒⎩⎨⎧=+=⋅n a d a a a a a a a a a a n 。

（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=-+=2122341n n n n S n ，c n S b n n +=c n n n +⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=212，令21-=c ，即得

n b n 2=，

数列{}n b 为等差数列，∴存在一个非零常数2

1

-=c ，使{}n b 也为等差数列。 （

3

）

()()2006

200521

2006200511

2005)2005()(1+<++=++=⋅+=

+n

n n n n

b n b n f n n ，

∵(

)

0802079212005289442005200545<-=-=---，

即442005200545-<

-， ∴45=n 时，()n f 有最大值

18860

9

46205045=

⨯。 4．已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()

*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数(),2,321)(321≥∈++

++++++=

n N n a n n

a n a n a n n f n

且Λ求函数 )(n f 的最小值；

（3）设n n

n S a b ,1

=表示数列{}n b 的前项和。试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得 ()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321Λ对于一切不小于2的自然数n 恒成立？

若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

{},11111()101,1111(1)1(2),1.3n n n n n n n P a a x y a a a a a n n n a a n ++--=-==∴∴=+-⋅=≥=∴=Q L L L L L L L L L L L L L L 解:（）点在直线上，即且数列是以为首项，为公差的等差数列。

也满足分