一类具时滞和阶段结构的捕食模型的稳定性与Hopf分支

§ 正平衡 点的稳定 性及 Ｈ ｐ￣支 的存在 性 ２ ｏｆ
本 节我 们 将 以浠量 ７ － 数 ， 论 糸 统（） 为参 讨 ２正半 衡 点 的 稳 定性 和 Ｈ ｐ分 支 的存 在 性 ． ｏｆ
令 １＝ｎ１１（ｌ ） ２ ０ １ ２（１ ）， １ ／ｒ ＋６， ＝ ０１ ／ｒ ＋６。 雪＝ Ｃｙａ１ ＝ （１ ） 则系统（） Ｌ ／１， １ ７ ＋ｂｔ ＂ ， ２就变
ｆ（ ｎ 一ｚ） ＠ ｂ￡ 圣 ＝ ｒ（ ｎ；一ｌ一 ） ￡ ｚ ｚ） ￡ ） 一 ） （
｛ ２ ） ｚ （ 一ｒｘ （ ， （ ＝ｂｌ ） ２２ ） ｔ
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（ ２ ）
其 中， １￡，９（） （分别表示幼体食饵 ， （ ２ 和 ￡ ） ２ ） 成体食饵和捕食者种群在 时刻ｔ 的密度， 且捕食种群
收 稿 日期 ： ０ ８ １ －３ ２ ０ —１０
基金项 目： 国家 自然科学基 金（０ ７ ２ ９ １６ １０ ）
通 信 作 者 ， － ｉ ｔａ ｘ 一０ ８ ６ ． ｍ Ｅ ｍａｔ ｉｎ ｈ ２ ０ ＠１ ３ｃ ： ｏ
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高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第３ ５ 期
本文将推广文献『 中的模型， ７ ］ 讨论更为一般的一类具Ｈ ｌｎ 第１ 类功能性反应 的捕食系统 ｏｌ ｇ Ｉ ｉ Ｉ
０ ＝１ ， ， １ ） ２ ） ３ ）∈ （ 丁０ Ｒ ０ ， ， ３ （ （ ， （ ， （ ） ［ ， ，革） ２ ） ≯ 一 】 ．
本文的 目的是 以滞量ｒ 为参数 ， 对系统 （） ２进行分析． 主要 内容为： 第２ 中， ｏ ｋ 等在 在 节 以Ｃ ｏ ｅ 文献 『 中引入的方法为基础， ８ ］ 并参考文献ｆ ， 为参数， ９ 以丁 ］ 讨论（） ２ 的稳定性及Ｈ ｐ￣ 支的存在性： ｏｆ ￣ 在第３ 节中， 我们利用Ｈａｓｒ ｓａｄ等【 Ｊ １ 所介绍的规范型方法 ， ０ 讨论 了有关（） ｏ ｆ ２ 的Ｈ ｐ￣支方 向， 分支 周期解的稳定性， 最后通过数值模拟验证 了所得理论结果．
捕食 系统是一类非常重要 的种 群系统， 已经被很 多学者研究【３ 近 几年来， １】 －． 具有阶段 结构 的种 群 动 力 学 系 统 己 引起 了 许 多 学 者 的关 注 ， 取 得 了许 多好 的 结 果 ［７ 在 自然 界 中， 群 的 并 ４］ －． 种
增长常常有 一个成长发 育的过程 ． 有些种群分为两个年龄阶段， 即从幼年到成年， 而有些种群则 分为三个年龄阶段， 即幼年， 成年和老年， 而且在其成长的每一个阶段都表现出相互不同的特征． 例如 ， 在捕食 系统中 许多捕食者种群 只有到 了成年才 具有捕食 的能力， 同时它在幼年 的时候 而 又不 具有生 育能力 且竞争能力也相 对较弱．因此在研 究种群相互作用 时， 阶段 结构的影响是十
只 以幼 体 食 饵 为 食 ．ｒ，２ 分 别为 幼 体 食 饵 ， １＇和ｒ Ｆ 成体 食 饵 和捕 食 者 的 死 亡 率 ， 为 幼 虫 的 出生 率 ， ｎ
ｂ 为幼年食饵转化 为成体 的转化率， １为幼年食饵 的密度制 约系数 ， 表示捕食种群从幼年到成 ０１ 丁 年 的成熟期， 只有成年捕食者才有捕食能力，２ 中所有的参数均为正常数． 且 （） 本文我们讨论系统（１ 基于以下初始条件 ２将
得 理 论 结 果 进 行 了数 值 模 拟 ．
关 键 词 ： 食 系统 ： 滞 ； 能 性反 应 ； ｏ ｆ 支； 定性 捕 时 功 Ｈ ｐ分 稳 中图分类号： ７ ． Ｏ１—２５０ １０—４４２１）３０８—８
§ 引 言 １
高校应用数学学报
２ １ ， ５３ ： ８—９ ０ ０ ２ （） ２ ５２ ２
一
类 具 时滞 和 阶段 结构 的捕 食模 型 的稳 定性 与Ｈ ｐ分 支 ｏｆ
田晓 红 徐 ， 瑞
（ 军械 工程 学院 应 用数 学研 究所，￣ Ｂ ， Ａ ５家庄 ０ ０ ０ ） ５ ０ ３
摘 要 ： 研 究 一 类具 有 时 滞 和 阶段 结 构 的捕 食 模 型 的稳 定 性 和 Ｈ ｐ￣ 支 的 存 在 性 问 ｏｆ 题 ． 过 分 析 特 征 方程 到 了正 平衡 点 局 部 稳 定 的 条件 ． 时 ， 用 中心 流形 定 理和 通 得 同 应 规 范型 理 论 ． 到 了确 定 Ｈ ｐ分 支 方 向和 分 支周 期 解 的 稳 定 性 的计 算 公 式 ．最后 对 所 得 ｏｆ
分别 为Ｘ ，２ 不 考虑第 二个种 群 的年 龄结 构．文献『 中分析 了系统（） ｚ ， ７ １ １诸平 衡点 的稳定性 ， 持
续性 和绝 灭性 ．系统 （） 捕食 者对 食饵 的功 能性反 应 函数与 食饵 成正 比， １ 中， 这在 一定程 度上 是合理 的 但捕 食者总有 吃饱 的时候， 能性反应 函数不应 随食饵 的增 多而无 限增大． ９ ５ 功 １６ 年， Ｈ ｌｎ 针对 不同类型 的物种 ， 出了三种不 同的功 能性反应 函数， 中第１ 类功能性 反应的函 ｏｌ ｇ ｉ 提 其 Ｉ Ｉ 数描述 了脊椎动物 的捕食特性．
Ｘ（） ｌ０ ０ ｚ（） ２０ ０ （） ３ ０ ０∈【７０， ｌ０ ＝ （） ， ２ｏ ＝ （） ，ｙＯ ＝ （） ， 一＿ ） ， 咖 （） ， ２０ ＞０ ３０ ＞０ １０ ＞０ ≯ （） ， （） ，
其中 革 ＝｛ １ ２ ３ ： Ｒｏ （ ， ， ） ＸＸ
分 明 显 的． Ｚ ａ ｇ Ｃ ｅ ￥ Ｎ ｕ ｎ ［考 虑 了具 有 阶 段 结 构 的 两 种 群 捕 食者 一 饵 的 系 统 ｈ ｎ ｈ ｎ １ ｅ ｍａ ｎ７ ： ｌ 】 食 ￣ＸＸ ， ｌｌ３
其 中所 有参数均为 正常数．在系 统ｆ） 第一个种群 有幼年和 成年两个 阶段 结构， 群的密度 １中， 种