浅谈空间距离的几种计算方法

浅谈空间距离的几种计算方法

【摘要】

空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。

【关键词】

空间距离：点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】

空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。

这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。

一、两点之间的距离

两点间的距离的计算通常有两种方法：

1、可以计算线段的长度。把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。

2、可以用空间两点间距离公式。如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。

二、点到直线的距离

在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。其中最难计算的是一般三角形的面积，这类面积的计算通常是已知三边，先求出一个角的余弦值，再求出次角的正弦值，然后用正弦面积公式算出面积。

例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。 解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4，

8

74322432c o s 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∴BC AC AB BC AC C 815)87(1sin 2=-=∴C 4

1538154321sin 4321=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆C S ABC AD BC S ABC ⋅=∆2

1 又 2153415

322=⨯==∴∆BC

S AD ABC ∴点A 到BC 的距离为215 三、点到平面的距离

求解点到平面的距离常用的方法有以下几种：

1、由已知的或可以证明垂直的关系，则垂线段的长度就是点到平面的距离。

2、过点作已知平面的垂线，可以找到垂足的位置，从而得到点到平面的距离。例如在正三棱锥中，求顶点到底面的距离，可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足为底面正三角形的中心，然后通过计算求得距离。又例如若已知所在的平面与已知平面垂直，可以过点作两平面交线的垂线，此点与垂足间的距离即为点到平面的距离。

3、用等体积法求解点面距离。

B

4、向量法：求点A 到平面α的距离：在平面α内任取一点B ，求向量在平面α上的法向量

上的射影长，即d =

例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。

解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22，

41=∴FC ,3482511=++=EC ,

1091=+=EF

101041023416102cos 12

12121-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FC EF EC FC EF EFC 10

1031011sin 1=-=∠∴EFC 610

10341021sin 21111=⨯⨯=∠⋅=∴∆EFC FC EF S EFC 设1C 到EF 的距离为d ，则510610

1212,621===∴=⋅EF d d EF （2）设C 到平面EF C 1的距离为h

EFC C EF C C V V --=11

13

1311CC S h S EFC EF C ⋅=⋅∴∆∆ 又4512

12221132125=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=∆EFC S 3

246224111

=⨯=⋅=∴∆∆EF C EF C S CC S h 四、两条异面直线的距离

1、对于特殊的图形，可以作出异面直线的公垂线段并证明，然后算出公垂线段的长度。

2、转化为两个平行平面的距离，再转化为点面的距离进行计算。

例3、三角形ABC 是边长为2的正三角形， ∉P 平面ABC ，

P 点在平面ABC

内的射影为O ，并且P A = PB = PC =3

。求异面直线PO 与BC 间的距离。 分析：过点P 作平面ABC 的垂线段PO ，但是必须了解垂足O 的性质，否则计算无法进行。为此连结OA ，OB ，OC （如图）．

则由PA ＝PB ＝PC 可得OA ＝OB ＝OC ，即O 是正三角

形ABC 的中心．于是可以在直角三角形PAO 中由

PA =2 6 3 ,OA = 2 3 3 ，得PO =2 3 3

。有了以上基础，只要延长AO ，交BC 于D ，则可证明OD 即为异面直线PO 与BC 间的距离，为 3 3

。五、直线到平面的距离

直线到平面的距离是过直线上任意一点向平面作垂线所得垂线段的长度，一般求解都是转化为求点到平面的距离。

例4、已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点。求11C B 到平面ADE 的距离。

解：AD C B AD BC BC C B ||,||,||1111∴

A D E

C B A

D

E AD 平面平面⊄⊆11, A D E C B 平面||11∴

11C B 到平面ADE 的距离即为点1C 到平面

ADE 的距离

设点1C 到平面ADE 的距离为d ，可以用等体积法求出d 的值。