人教版高中数学选修2-2教案:1.5.2汽车行驶的路程

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人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.5.2汽车行驶的路程精选ppt课件

人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.5.2汽车行驶的路程精选ppt课件

把在每段0,nb,nb,2nb,…,(n-n1)b,b上所 做的功分别记作:Δw1,Δw2,…,Δwn.
(2)近似代替:取各小区间的左端点函数值作为小矩 形的高,
由 条 件 知 : Δ wi ≈ F (i-n1)b · Δ x = k·(i-n1)b · nb (i =1,2,…,n).
(i-1) v(ξi)=g n t 近似代替第 i 个小区间上的速度,因此 在每个小区间上自由落体在Δt=nt 内所经过的距离,可以 近似地表示为Δsi≈g·i-n 1t·nt (i=1,2,…,n).
gnt22[0+1+2+…+(n-1)]=12gt21-n1.
(4)取极限:当Δt→0 时,sn 的极限,就是所求的自由
每个小区间所表示的时间Δt=int-i-n1t=nt . 在各个小区间物体下落的距离记为Δs1,Δs2,…,Δ sn. (2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近 似代替变速运动的路程.
在小区间i-n 1t,ni t上任取一时刻 ξi(i=1,2,…,n), 为计算方便,取 ξi 为小区间的左端点,用时刻 ξi 的速度
的功 W=F·x.
(1)分割: 在区间[0,b]上等间隔地插入 n-1 个点, 将区间[0,b]等分成 n 个小区间:
0,nb,nb,2nb,…,(n-n1)b,b. 记第 i 个区间为(i-n1)b,inb(i=1,2,…,n),其 长度为Δx=inb-(i-n1)b=nb.
解析:由题意知,所求路程为直线 x=1,x=2,y= 0 与 y=3x+2 所围成的直角梯形的面积,故 s=12×(5+ 8)×1=6.5.
答案:6.5
5.汽车做匀变速直线运动,在时刻 t 的速度为 v(t) =t2+2(单位:km/h),则该汽车在 1≤t≤2 这段时间内行 驶的路程可用一个平面图形的面积来表示,则围成该图 形的直线和曲线分别是____________________________.

人教版高中数学选修2-21.5.1-1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程教案

人教版高中数学选修2-21.5.1-1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程教案

1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的行程教课建1.教材剖析本主要就两典型——求曲梯形的面和求物体做速直运的位移行了,利用“以直代曲”“以不代”的思想方法 ,抽象归纳出它的共同特点.引学生领会定分的背景、思想和方法,引入定分的观点确立基.本的要点是解决两典型的思想方法和步.点是“以直代曲”“以不代”的思想方法的理解 . 2.主要与教课建(1)对于曲梯形面的定的教课.建教考学生的接受能力,并且从直上也比简单接受矩形等“直形”面迫近曲梯形面的方法 .(2)对于乞降符号∑的教课 .建教依据学生的状况,在述有关内容乞降符号行适合的介.比如 : 可出S= S1+S2+ ⋯ + S i+ ⋯ + S n=S i来帮助学生乞降符号∑.(3)对于汽行行程的一般表达式.建教注意合理地利用教材旁白中出的行程的一般表达式:s=v (ξi ) t=ξ感到个一般表达式建立刻可 .i ),要修业生能直簧在拉伸的程中 ,力与伸量成正比,即力 F(x)=kx (k 常数 ,x 是伸量 ), 求将簧从均衡地点拉b 所做的功 .解: 将物体用常力 F 沿力的方向拖距离x,所做的功 W=F ·x.(1)切割在区 [0,b]上等隔地插入n-1 个点 ,将区 [0,b] 平分红 n 个小区 :,⋯ ,,第 i 个区 (i= 1,2,⋯,n),其度 x=.把在分段 ,⋯ ,上所做的功分作: W1, W2,⋯,nW .(2)近似取代取各小区的左端点函数作小矩形的高 ,由条件知 :W i≈F·Δx=k ·(i= 1,2,⋯ ,n).(3)乞降W n= W i≈k·= [0 + 1+ 2+ ⋯+ (n-1)]=.进而得到 W 的近似W=W n≈.(4)取极限W=W n=W i= ,因此将簧从均衡地点拉 b 所做的功 .。

-高中数学 1.5.2汽车行驶的路程学案 新人教a版选修2-2

-高中数学 1.5.2汽车行驶的路程学案 新人教a版选修2-2

1.5.2 汽车行驶的路程1.了解求汽车变速行驶的路程的方法.2.了解“以不变代变”和逼近的思想,借助物体运动的实际背景体会定积分的基本思想.基础梳理1.如果物体按规律s =s (t )运动,则物体在时刻t 0的瞬时速度为s ′(t 0). 想一想:如果物体按规律s =2t 2运动,则物体在时刻t =2的瞬时速度为8. 2.汽车做匀速直线运动时,速度v 关于时间t 的关系式为v =v 0,物体经过时间t 所行驶的路程为s =v 0t .想一想:物体以v =20 km/h 的速度做匀速直线运动,经过3小时物体经过的路程为60_km .3.当物体做匀加速直线运动时,速度v 关于时间t 的关系式为v =v 0+kt ,此时在0<t <a 时段中物体经过的路程为s =v 0a +ka 22=v 0+(v 0+ka )2a .想一想:(1)物体做匀加速直线运动时,速度v 关于时间t 的关系式为v =2+t ,此时在0<t <6时段中物体经过的路程为______.(2)求物体做变速直线运动的路程的具体步骤有哪些? 答案:(1)30(2)①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 自测自评1.一物体沿直线运动,其速度v (t )=t ,这个物体在t =0到t =1这段时间内所走的路程为(B )A.13B.12 C .1 D.32解析:曲线v (t )=t 与直线t =0,t =1,横轴围成的三角形面积S =12,即为这段时间内物体所走的路程.2.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是(A)A.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车前面解析:由图象可知,曲线v甲比v乙在0~t0、0~t1与x轴所围成图形面积大,则在t0、t1时刻,甲车均在乙车前面,故选A.3.汽车以速度v做匀速直线运动是地,经过时间t所行驶的路程s=vt,如果汽车做匀速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=t2+2(单位:km/h),则该汽车在1≤t≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示,则围成该图形的直线和曲线分别是___ ______________________.解析:围成该图形的直线和曲线分别是t=1,t=2,v=0,v=t2+2.答案:t=1,t=2,v=0,v=t2+2基础巩固1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是(A)解析:汽车加速行驶时,相同的时间内汽车走过的路程越来越多,曲线呈加速上升状态,曲线的切线的斜率也越来越大;汽车减速行驶时,相同的时间内汽车走过的路程越来越少,曲线呈减速下降状态,曲线的切线的斜率也越来越小.点评:加速行驶时速度越来越大,曲线的切线的斜率也越来越大,减速行驶时速度越来越小,曲线的切线的斜率也越来越小.常用此法来判断物体运动的路程—时间曲线的变化情况.2.如果物体按规律s =t n运动,在时刻t =1时的瞬时速度为3,则n 为(C ) A .1 B .2 C .3 D .4 解析:s ′(t )=ntn -1,t =1时,n =3.故选C.3.汽车以v =(3t +2) m/s 做变速直线运动,在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是(C )A .7 mB .6.8 mC .6.5 mD .6.3 m解析:将[1,2]n 等分,并取每个小区间的左端点的速度近似代替,则Δt =1n,v (t i )=v ⎝⎛⎭⎪⎫1+i -1n =3⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i -1n +2=3n(i -1)+5. 所以s n =∑i =1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n (i -1)+5·1n=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n[0+1+2+…+(n -1)]+5n ·1n=3n 2n (n -1)2+5=32⎝⎛⎭⎪⎫1-1n +5, 所以s =s n =32+5=6.5(m).4.已知某物体运动的速度v =2t -1,t ∈[0,10],若把区间10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程的近似值为________.解析:由题意知,物体运动的路程即为这10个小矩形的面积和,即S =1+3+5+…+19=1+192×10=100.答案:100 能力提升5.汽车以10米/秒的速度行驶,在某处需要减速停车,设汽车以加速度-2米/秒2刹车,若把刹车时间5等分,则从开始刹车到停车,汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为(D )A .80米B .60米C .40米D .30米解析:由题意知,v (t )=v 0+at =10-2t .令v (t )=0,得t =5,即t =5秒时,汽车将停车.将区间[0,5]5等分,用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度,可得汽车刹车距离的过剩近似值为S =(10+10-2×1+10-2×2+10-2×3+10-2×4)×1=30(米).6.若做变速直线运动的物体v (t )=t 2,在0≤t ≤a 内经过的路程为9,则a 的值为(C ) A .1 B .2 C .3 D .4解析:将区间[0,a ]分为等长的n 个小区间,第i 个区间记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i -1)a n ,ia n (i =1,2,…,n ),取每个小区间的右端点的速度近似代替,则Δt =a n,所以v (t i )=(ian)2,s n =∑i =1n⎝⎛⎭⎪⎫ia n 2·a n =a3n 3(1+22+…+n 2)=a 3n (n +1)(2n +1)6n 3=a 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+1n , 于是s =s n =a 36⎝ ⎛⎭⎪⎫1+1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+1n =a 33=9, 得a =3.故选C.7.汽车作直线运动,前2小时的速度是v =110 km/h ,后3小时的速度是v =80 km/h ,则5小时内汽车行驶的路程为________.解析:路程s =2×110+3×80=460 (km). 答案:460 km8.汽车以v =(3t +2)m/s 做变速直线运动时,第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.解析:由题意知,所求路程为直线x =1,x =2,y =0与y =3x +2所围成的直角梯形的面积,故S =12×(5+8)×1=6.5.答案:6.59.若一辆汽车的速度—时间曲线如下图所示, 求汽车在这1 min 行驶的路程.解析:求汽车在这1 min 行驶的路程,就是求梯形ABCO 的面积.s =30+602×30=1 350 (m). 10.若物体做变速运动,速度v 关于时间t 的关系式为v =3t 2,求物体在0<t <2时段中行驶的路程.解析:仿照例2,按分割、近似代替、求和、取极限的解题步骤进行,解得行驶的路程为8.。

人教版高中数学选修2-21.5.2汽车行驶的路程学案

人教版高中数学选修2-21.5.2汽车行驶的路程学案

1.5.2汽车行驶的行程1.认识求汽车变速行驶的行程的方法.2.认识“以不变代变”和迫近的思想,借助物体运动的实质背景领会定积分的基本思想.基础梳理1.假如物体按规律 s= s(t)运动,则物体在时辰t0的刹时速度为 s′(t0).想想:假如物体按规律s= 2t2运动,则物体在时辰t= 2 的刹时速度为 8.2.汽车做匀速直线运动时,速度v 对于时间 t 的关系式为 v= v0,物体经过时间 t 所行驶的行程为 s= v0 t.想想:物体以 v=20km/h的速度做匀速直线运动,经过3小时物体经过的行程为60_km.3.当物体做匀加快直线运动时,速度v 对于时间 t 的关系式为 v= v0+ kt,此时在 0<t<a 时段中物体经过的行程为s=v0 a+ka2=v0+( v0+ ka)22a.想想: (1) 物体做匀加快直线运动时,速度v 对于时间 t 的关系式为 v= 2+ t,此时在0< t<6 时段中物体经过的行程为 ______.(2)求物体做变速直线运动的行程的详细步骤有哪些?答案: (1)30(2)①切割;②近似取代;③乞降;④取极限.自测自评1.一物体沿直线运动,其速度 v(t)= t,这个物体在 t= 0 到 t=1这段时间内所走的行程为(B)1 B.1C. 13A. 32 D.21分析:曲线 v(t)= t 与直线 t= 0, t= 1,横轴围成的三角形面积S=2,即为这段时间内物体所走的行程.2.已知甲、乙两车由同一同点同时出发,并沿同一路线(假设为直线 )行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙(以下图 ).那么对于图中给定的t 0和 t1,以下判断中必定正确的是 (A)A .在 t1时辰,甲车在乙车前方B.t 1时辰后,甲车在乙车后边C.在 t0时辰,两车的地点同样D. t0时辰后,乙车在甲车前方分析:由图象可知,曲线v 甲比 v 乙在 0~ t0、0~ t1与 x 轴所围成图形面积大,则在t0、t1时辰,甲车均在乙车前方,应选 A.3.汽车以速度v 做匀速直线运动是地,经过时间t 所行驶的行程s= vt,假如汽车做匀速直线运动,在时辰t 的速度为v(t)=t 2+ 2(单位: km/h),则该汽车在1≤t≤2这段时间行家驶的行程可用一个平面图形的面积来表示,则围成该图形的直线和曲线分别是___ ______________________ .分析:围成该图形的直线和曲线分别是t= 1, t= 2, v=0, v= t2+ 2.答案: t= 1, t= 2, v= 0, v= t2+2基础巩固1.汽车经过启动、加快行驶、匀速行驶、减速行驶以后泊车,若把这一过程中汽车的行驶行程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是 (A)分析:汽加快行,同样的内汽走的行程愈来愈多,曲呈加快上涨状,曲的切的斜率也愈来愈大;汽减速行,同样的内汽走的行程愈来愈少,曲呈减速降落状,曲的切的斜率也愈来愈小.点:加快行速度愈来愈大,曲的切的斜率也愈来愈大,减速行速度愈来愈小,曲的切的斜率也愈来愈小.常用此法来判断物体运的行程—曲的化情况.2.假如物体按律s= t n运,在刻 t= 1 的瞬速度3, n (C)A . 1B. 2C. 3D. 4分析: s′(t)= nt n-1,t = 1 , n= 3.故 C.3.汽以 v= (3t+ 2) m/s 做速直运,在第 1 s 到第 2 s 的 1 s 内的行程是 (C)A . 7 mB . 6.8 mC.6.5 m D. 6.3 m分析:将 [1, 2] n平分,并取每个小区的左端点的速度近似取代,t =1, v(t i) =nv 1+i-1= 3 1+i -1+2=3(i- 1)+ 5.n n nn31因此 s n=i= 1n( i- 1)+ 5· n31=n[0+ 1+2+⋯+( n-1)] +5n· n3 n( n-1)31+ 5,= 22+ 5=21-nn因此 s=s n=32+ 5= 6.5(m) .4.已知某物体运的速度v= 2t- 1, t∈ [0, 10],若把区10 平分,取每个小区右端点的函数近似小矩形的高,物体运的行程的近似________.分析:由意知,物体运的行程即10 个小矩形的面和,即S=1+ 3+5+⋯+19=1+19× 10= 100.2答案: 100能 力 提 升5.汽 以10 米 /秒的速度行 ,在某 需要减速停 , 汽 以加快度-2 米/秒2 刹,若把刹5 平分, 从开始刹 到停 ,汽 刹 距离的 剩估(取每个小区的左端点 的函数) (D)A .80 米B . 60米C .40米D .30 米分析:由 意知,v(t)= v 0+at = 10- 2t.令 v(t) =0,得 t = 5,即 t = 5 秒 ,汽 将停 .将区 [0,5]5 平分,用每个小区 的左端点的函数 近似代替每个小区 上的均匀速度,可得汽 刹 距离的 剩近似S = (10+ 10-2×1+ 10-2×2+ 10- 2×3+ 10- 2× 4) ×1= 30(米 ).6.若做 速直 运 的物体v(t)= t 2,在 0≤t ≤a 内 的行程 9, a 的 (C)A . 1B . 2C . 3D . 4分析:将区 [0,a] 分 等 的 n 个小区 ,第 i 个区( i -1) a ian, n (i = 1,2,⋯,n),取每个小区 的右端点的速度近似取代,t = a ,因此 v(t i )=(ia)2,nn= nia 2 a a 32+ ⋯ + n2 a 3n ( n + 1)( 2n + 1) a 31 1,n· = 3)=3= 6 1+ n 2+n s ni =1n n (1+ 26na 311a 3于是 s =s n =61+n 2+n = 3=9,得 a =3.故 C.7.汽 作直 运 ,前2 小 的速度是v = 110 km/h ,后 3 小 的速度是v =80 km/h ,5 小 内汽 行 的行程________.分析:行程s = 2×110+3×80= 460 (km) .答案: 460 km8.汽 以v = (3t + 2)m/s做 速直 运 ,第1 s 到第2 s 的1 s 内 的行程是________m.分析:由 意知,所求行程 直x = 1,x = 2, y = 0 与 y =3x + 2 所 成的直角梯形的面 ,故S =12× (5+ 8) ×1=6.5.答案: 6.59.若一 汽 的速度 — 曲 以下 所示, 求汽 在 1 min 行 的行程.分析:求汽车在这 1 min 行驶的行程,就是求梯形ABCO 的面积.30+ 60s=× 30=1 350 (m).10.若物体做变速运动,速度v 对于时间t 的关系式为v=3t2,求物体在0< t< 2 时段中行驶的行程.分析:模仿例2,按切割、近似取代、乞降、取极限的解题步骤进行,解得行驶的行程为 8.。

人教A版高中数学选修2-2课件1.5.2汽车行驶的路程

人教A版高中数学选修2-2课件1.5.2汽车行驶的路程

抓关键 促规范 1 根据偶函数的图象特征把所求面积转化为y轴右侧图形面 积的2倍. 2 求曲边梯形的顶点坐标以便确定被分割的区间. 3 通过分割、近似代替,求和、取极限求出x=0,x=2,y =0和y=x2围成的面积. 4 利用函数之间的关系得出所求面积.
跟踪训练 3.求y=2与y=cos x+1围成的图形的面积.
想一想 2.如果物体作曲线运动,能否用上述方法求它的路程? 提示:不能.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 求曲边梯形的面积 例1 求抛物线 f(x)=1+x2 与直线 x=0,x=1,y=0 所
围成的平面图形的面积 S. 【解】 (1)分割
把区间[0,1]等分成 n 个小区间i-n 1,ni (i=1,2,…,n),其
1+21n

4.
(4)取极 限
s=
= 81+1n1+21n+4=8+4=12.
所以这段时间内行驶的路程为 12 km.
【名师点评】 把变速直线运动的路程问题,化归为求匀速 直线运动的路程问题,采用方法仍然是分割、近似代替、求 和、取极限,求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积,虽 然它们的意义不同,但都可以归纳为求一个特定形式和的极 限,通过这样的背景问题,能更好体会后面所要学习的定积 分的概念.
精彩推荐典例展示
规范解答 利用对称性巧求曲边梯形的面积 (本例题4满分12分)求由抛物线y=x2与直线y=4所围成的图形的 面积. 【解】如图,∵y=x2 为偶函数,图象关于 y 轴对称,∴所求图形的面积应为 y=x 2(x≥0)与直线 x=0,y=4 所围成的图形面
积 S 的 阴影 2 倍,下面求 S 阴影. 2 分
y= x2, 由y=4, 得交点为(2,4). 4 分

人教版高中数学选修2-2《1.5.2汽车行驶的路程》

人教版高中数学选修2-2《1.5.2汽车行驶的路程》
12 2 22 2 n2 2 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) n n n n n n 1 2 v 3 (1 22 n2 ) 2 2 v(t)=-t +2 n 2
1 n( n 1)(2n 1) 3 2 n 6
1 1 1 (1 )(2 ) 2 6 n n 1 1 1 (1 )(1 ) 2 3 n 2n
o
1
t
(4)取极限
S lim S n
n
1 1 5 1 lim (1 )(1 ) 2 n n 2n 3 3
2
v
v(t)=-t2 + 2
汽车行驶的路程等于由t=0,t=1,v=0,
v(t)=-t2 + 2所围成的曲边梯形的面积
o
1
t
得出结论
o
1
t
新课探究
v
以直代曲
v(t)=-t2 + 2
2
在小区间内可以认为汽车
近似于做匀速直线运动.
o
1
t
以不变代变
(1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入 n-1个分点,
1 1 2 n1 0, , , , ..., ,1 等分成n个小区间: n n n n
2
2 2 3 n n
2
v 2
v(t)=-t2 + 2
2 1 n n Sn v t 2 n n n
n 2 3 n n
o
1
2
t
(3)求和
Sn S1 S2 S3 ... Sn
1.5定积分的概念

【精编】人教A版高中数学选修2-2课件1.5.2汽车行驶的路程课件课件-精心整理

【精编】人教A版高中数学选修2-2课件1.5.2汽车行驶的路程课件课件-精心整理

为了计算汽车在0≤t≤1时段内行驶
的路程,将区间[0,1]等分成n个小
区间,那么各个小区间对应的时段
分别是:
[0, 1 ],[1 , 2 ], [n 1,1]
n nn
n
当n很大时,在每个小区间上,由于v(t) 的变化很小,可以认为汽车近似于以左 端点时刻对应的速度作匀速直线运动, 则汽车在上述各时段内行驶的路程的近 似值分别为:
y
6
v t2
O12 t
小结作业
1.求变速直线运动的物体在某时段内所 走过的路程,可以用“以匀代变”和 “极限逼近”的数学思想求解,其操作 步骤仍然是:分割→近似代替→求和→ 取极限. 2.在平面直角坐标系中,若横轴表示时 间,纵轴表示速度,那么求变速直线运 动的物体在某时段内所走过的路程,可 转化为求曲边梯形的面积,二者对立统 一.
n6 n
n
3
若汽车在时刻t的速度为v(t)=t2+2, 那么汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程
为:
11 1
7
s
lim
n
sn
lim (1 )(2 ) 2
n6 n
n
(km ) 3
汽车行驶路程的拓展探究
思考1:在每个小区间上,如果认为汽车 近似于以右端点时刻对应的速度作匀速 直线运动,那么汽车在前述各时段内行 驶的路程的近似值分别为多少?
f′(t0)表示加速度
思考:汽车行驶的路程 汽车以速度v作匀速直线运动,经过时间 t所行驶的路程为多少?如果汽车作变速 直线运动,那么在相同时间内所行驶的 路程相等吗?
s=vt
不相等
思考:已知汽车作变速直线运动,在时 刻t(单位:h)的速度为v(t)=-t2+ 2(单位:km/h),那么它在0≤t≤1这段 时间内行驶的路程s是多少?

高中数学选修2-2教学设计2:1.5.2 汽车行驶的路程教案

高中数学选修2-2教学设计2:1.5.2 汽车行驶的路程教案

1.5.2 汽车行驶的路程整体设计教材分析求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景.与求曲边梯形面积的实例相比,它们只是背景不同,解决问题的思想方法和求解步骤都是相同的,它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想.课时分配1课时教学目标知识与技能目标了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点;感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近).过程与方法目标通过与求曲边梯形的面积进行类比,求汽车行驶路程的有关问题,再一次体会“以直代曲“的思想,以及运用类比的方法研究问题.情感、态度与价值观在体会微积分思想的过程中,体会人类智慧的力量,培养世界是可知的唯物主义的世界观.重点难点重点:掌握求解过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限).难点:求解过程的理解.教学方法运用类比的方法引导学生自主探究,归纳总结,在掌握知识的同时提升研究问题的能力.教具准备多媒体、几何画板.教学过程引入新课1.连续函数的概念.2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤.3.利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢? 探究新知提出问题1:汽车以速度v 作匀速直线运动时,经过时间t 所行驶的路程为s =vt .如果汽车作变速直线运动,在时刻t 的速度为v (t )=-t 2+2(t 的单位:h ,v 的单位:km/h),那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位:km)是多少?活动设计:学生首先独立思考,然后小组交流讨论.提出各自的方法与见解,最终形成可操作的方案.学情预测:学生可能从物理学的角度去思考、处理问题,也可能类比求曲边梯形面积的方法求解.活动成果:如果从物理学的角度去思考、处理问题,由于没有现成的公式可用,于是想到类比求曲边梯形面积的方法求解,体现转化与化归的数学思想.设计意图与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求变速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题.把区间[0,1]等分成n 个小区间,在每个小区间上,由于v (t )的变化很小,可以近似地看作汽车作匀速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,再求和得s (单位:km)的近似值,最后让n 趋向于无穷大就得到s (单位:km)的精确值.(思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动的路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程)提出问题2:请同学们按照我们讨论后拟定的方案,类比求曲边梯形面积的方法独立求解.活动设计:类比求曲边梯形的面积,学生独立解决,必要时教师加以指导、提示. 学情预测:学生可能由于对第一节求曲边梯形面积的方法掌握不熟练,导致不能独立完整地解决.活动成果:体会分割、以不变代变、求和、取极限的过程,感受在其过程中渗透的思想方法.解:(1)分割在时间区间[0,1]上等间隔地插入n -1个点,将区间[0,1]等分成n 个小区间:[0,1n ],[1n ,2n ],…,[n -1n,1].记第i 个区间为[i -1n ,i n ](i =1,2,…,n ),其长度为Δt =i n -i -1n =1n. 把汽车在时间段[0,1n ],[1n ,2n ],…,[n -1n,1]上行驶的路程分别记作:Δs 1,Δs 2,…,Δs n ,显然,s =i =1n Δs i . (2)近似代替当n 很大,即Δt 很小时,在区间[i -1n ,i n]上,函数v (t )=-t 2+2的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于左端点i -1n 处的函数值v (i -1n )=-(i -1n)2+2.从物理意义上看,就是汽车在时间段[i -1n ,i n](i =1,2,…,n )上速度的变化很小,不妨认为它近似地以时刻i -1n 处的速度v (i -1n )=-(i -1n)2+2做匀速行驶,即在局部小范围内“以匀速代变速”.于是用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ,即在局部范围内“以直代曲”,则有ΔS i ≈ΔS i ′=v (i -1n )·Δt =[-(i -1n )2+2]·1n =-(i -1n )2·1n +2n(i =1,2,…,n ).① (3)求和由①得s n =1n i i S =∆∑′=∑i =1nv (i -1n )·Δt =∑i =1n [-(i -1n )2·1n +2n ] =-0·1n -(1n )2·1n -…-(n -1n )2·1n+2 =-1n 3[12+22+…+(n -1)2]+2 =-1n 3(n -1)n (2n -1)6+2=-13(1-1n )(1-12n)+2. 从而得到s 的近似值s ≈s n =-13(1-1n )(1-12n)+2. (4)取极限当n 趋向于无穷大时,即Δt 趋向于0时,s n =-13(1-1n )(1-12n)+2趋向于s ,从而有s =lim n →∞s n =lim n →∞∑i =1n1n ·v (i -1n )=lim n →∞ [-13(1-1n )(1-12n )+2]=53. 设计意图通过学生自己独立推导,进一步让学生理解、掌握极限思想,以及分析问题、解决问题的能力,努力培养学生将问题转化为熟悉问题的意识.理解新知提出问题3:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程s 与由直线t =0,t =1,v =0和曲线v =-t 2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系?活动设计:学生自己结合上一节曲边梯形面积的知识求出曲边梯形面积的表达式,进一步与求出的汽车行驶的路程的表达式比较,发现问题的本质,从而给出求变速直线运动路程的几何解释,即求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题. 活动成果:由于汽车行驶路程的表达式s =0lim t ∆→∑i =1n v (ξi )Δt =lim n →∞∑i =1n1n v (ξi )与曲边梯形的面积表达式S =0lim x ∆→∑i =1n f (ξi )Δx =lim n →∞∑i =1n 1n f (ξi )在形式上是一致的,因此比较这两个式子,就可以推断出该路程在数值上等于教科书中图所示的曲边梯形面积,即汽车行驶的路程s =lim n →∞s n 在数值上等于由直线t =0,t =1,v =0和曲线v =-t 2+2所围成的曲边梯形的面积.一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为v =v (t ),那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .设计意图求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题,这样就可以在给出定积分的定义后,直接给出定积分的几何意义. 运用新知例1弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力F (x )=kx (k 为常数,x 是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功.分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解:将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ,则所作的功为W =F ·x .(1)分割在区间[0,b ]上等间隔地插入n -1个点,将区间[0,1]等分成n 个小区间:[0,b n ],[b n ,2b n ],…,[(n -1)b n,b ], 记第i 个区间为[(i -1)b n ,i·b n ](i =1,2,…,n ),其长度为Δx =i·b n -(i -1)b n =b n. 把在分段[0,b n ],[b n ,2b n ],…,[(n -1)b n,b ]上所作的功分别记作:ΔW 1,ΔW 2,…,ΔW n .(2)近似代替由条件知:ΔW i =F ((i -1)b n )·Δx =k ·(i -1)b n ·b n(i =1,2,…,n ). (3)求和W n =∑i =1n k ΔW i =∑i =1nk·(i -1)b n ·b n =kb 2n 2[0+1+2+…+(n -1)]=kb 2n 2n (n -1)2=kb 22(1-1n ). 从而得到W 的近似值W ≈W n =kb 22(1-1n). (4)取极限W =lim n →∞W n =lim n→∞∑i =1nkΔW i =lim n →∞ kb 22(1-1n )=kb 22, 所以弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为kb 22. 巩固练习一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻t 的速度为v (t )=-t 2+5(t 的单位:h ,v 的单位:km/h),计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单位:km).【答案】223. 达标检测已知某物体做直线运动,速度与时间t 满足v (t )=e t ,求物体在时间区间[0,1]内的运动距离.【答案】e -1.课堂小结1.知识收获:掌握“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤解决问题的方法.2.方法收获:类比方法、数形结合方法.3.思维收获:类比思想、转化思想.布置作业补充练习基础练习1.物体以速度v (t )=t 2作直线运动,则在时间段[0,1]内运动的路程s 为( )A.13B.12C.1D.162.已知物体做自由落体运动在t 时刻的速度v =g t (g 是常数),求在时间区间[2,4]内物体下落的距离s .【答案】1.A 2.6g拓展练习3.以初速度40 m/s 垂直向上抛一物体,t s 时刻的速度为v =40-10t (单位:m/s),问多少秒后此物体达到最高?最大高度是多少?【答案】4秒后物体达到最高,最大高度是80 m.设计说明求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景,与求曲边梯形面积的实例相比,它们只是背景不同,解决问题的方法和步骤是相同的,它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想,所以本节课设计的主要意图是类比思考、自主探索,增强学生自主探究的意识与能力,引导学生类比求曲边梯形面积的过程,让他们自己独立解决问题,以进一步体会定积分的背景、思想和方法,为引入定积分的概念奠定基础.。

高中数学人教版选修2-2资料:1.5.2《汽车行驶的路程》导学案设计(学生版)

高中数学人教版选修2-2资料:1.5.2《汽车行驶的路程》导学案设计(学生版)

1.5.2《汽车行驶的路程》导学案编写: 审核:陈纯洪班级_____组名_______姓名_______等级_______【学习目标】掌握求汽车行驶路程的方法步骤,体会“以不变代变”的逼近思想。

【学习重难点】重点:求汽车行驶的路程的“四步曲”。

难点:“以不变代变”逼近思想的形成过程及运用。

【知识链接】:1.物体运动的路程与时间的关系是()2,s t t =则速度为_______,此物体做_________运动;2. 物体运动的路程与时间的关系是31()4,3s t t t =-+则速度为__________, 此物体做_________运动;3. 求曲边梯形面积的“四步曲”为:_______,_________,_________,__________.【学习过程】:探究:如果汽车做变速直线运动,在时刻t 的速度为2()2,(/)v t t km h =-+,那么它在01t ≤≤时间段内行驶的路程s(km)是多少?分析:与求曲边梯形面积类似,采取”以不变代变”的逼近方法, 将时间段[0,1]等分成n 个小区间,在每个小区间上,由于速度变化很小,就可以认为汽车做匀速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,再求和得s 的近似值,最后让n 趋向于无穷大就得到s 的精确值。

问题1:(1)分割将时间区间[0,1]等分成n 个小区间,则每个小区间的长度_____t =V 所分成的n 个区间分别是__________________________________________,其中第i 个区间记为____________,(i=1,2,….n)汽车在n 个时间段上行驶的路程分别记作12,,...,n S S S ∆∆∆,则汽车行驶的路程s=__________________(2)近似代替当n 很大时,t ∆很小,在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,函数2()2v t t =-+的值变化很小,近似地等于一个常数。

数学:1.5.2《汽车行使的路程》教案(新人教A版选修2-2)

数学:1.5.2《汽车行使的路程》教案(新人教A版选修2-2)

1.5.2 汽车行使的路程
教学目标:通过探求汽车行使的路程,使学生了解定积分的实际背景,了解“以不变代变”“逼近”的思想方式,成立微积分的概念的熟悉基础. 教学重点:了解定积分的大体思想“以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点:“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号∑
教学进程:
思考1:已知物体运动路程与时间的关系如何求物体的运动速度?
例如 S (t )=3t 2+2. 则v (t )= S ´(t )=6t +0.
思考2:已知物体运动速度为v (常量)及时间t ,怎么求路程?
S =vt 直接求出
思考3:若是汽车作匀速直线运动,在时刻t 的速度为v (t )=- t 2+2.那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程S 是多少呢?
思考4:结合求曲边梯形面积的进程,你以为汽车行驶的路程S 由直线t =0,t =1,v =0和曲线v =- t 2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系? 图中矩形面积和就是曲边梯形的面积,从而汽车行驶的路程n n S S ∞
→=lim 在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5:在上面的第二步“近似代替”中,若是咱们以为在每一个小时间距离
)21](1[n i n i n i ,,,, =-上,汽车进似地以时刻n i 处的速度2)()(2+-=n
i n i v 作匀速行驶,从而取得汽车行驶的总路程s 的近似值,用这种方式能求出s 的值吗?若能求出,这个值也是35吗?
思考:如何求上式中汽车在2≤t ≤4这段时间行驶的路程?。

2021年高中数学1.5.汽车行驶的路程教学案新人教A版选修

2021年高中数学1.5.汽车行驶的路程教学案新人教A版选修

2021年高中数学1.5.2汽车行驶的路程教学案新人教A版选修2-2 1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程;2.感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)。

3.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点;教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限).教学难点:过程的理解.教学过程:一.创设情景复习:1.连续函数的概念;2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤;利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?二.新课讲授问题:汽车以速度组匀速直线运动时,经过时间所行驶的路程为.如果汽车作变速直线运动,在时刻的速度为(单位:km/h),那么它在0≤≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程(单位:km)是多少?分析:解:1.分割(2)近似代替(3)求和(4)取极限思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系?三.典例分析例1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力(为常数,是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长所作的功.分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.解:将物体用常力沿力的方向移动距离,则所作的功为.1.分割(2)近似代替(3)求和(4)取极限四.课堂练习1.课本练习五.回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程.六.布置作业§1.5.2汽车行驶的路程教案教学目标:1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程;2.感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)。

3.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点; 教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限).教学难点:过程的理解.教学过程:一.创设情景复习:1.连续函数的概念;2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤;利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?二.新课讲授问题:汽车以速度组匀速直线运动时,经过时间所行驶的路程为.如果汽车作变速直线运动,在时刻的速度为(单位:km/h ),那么它在0≤≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程(单位:km )是多少?分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题,化归为匀速直线运动的路程问题.把区间分成个小区间,在每个小区间上,由于的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得(单位:km )的近似值,最后让趋紧于无穷大就得到(单位:km )的精确值.(思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程).解:1.分割在时间区间上等间隔地插入个点,将区间等分成个小区间:,,…, 记第个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其长度为把汽车在时间段,,…,上行驶的路程分别记作:,,…,显然,(2)近似代替当很大,即很小时,在区间上,可以认为函数的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点处的函数值,从物理意义上看,即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动,即在局部小范围内“以匀速代变速”,于是的用小矩形的面积近似的代替,即在局部范围内“以直代取”,则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①(3)求和由①,21111112n nn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n n n n -⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦== 从而得到的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(4)取极限 当趋向于无穷大时,即趋向于0时,11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于,从而有 1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系?结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为,那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在a ≤≤b 内所作的位移.三.典例分析例1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力(为常数,是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长所作的功.分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解: 将物体用常力沿力的方向移动距离,则所作的功为.1.分割在区间上等间隔地插入个点,将区间等分成个小区间:,,…,记第个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦,其长度为把在分段,,…,上所作的功分别记作:,,…,(2)近似代替有条件知:()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅⎪⎝⎭(3)求和 ()111n n n i i i i b b W W k n n ==-=∆=⋅⋅∑∑ =()()22222110121122n n kb kb kb n nn n -⎛⎫++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭从而得到的近似值(4)取极限 2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为:四.课堂练习1.课本 练习五.回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程.六.布置作业。

人教版数学高二选修2-2教案1.5.2汽车行驶的路程

人教版数学高二选修2-2教案1.5.2汽车行驶的路程

1.5.2 汽车行驶的路程教学目标:1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程;2.感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)。

3.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点;教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限).教学难点:过程的理解.教学过程:1.连续函数的概念;2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤;利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?交流点拨问题引入:汽车以速度v 组匀速直线运动时,经过时间t 所行驶的路程为S vt =.如果汽车作变速直线运动,在时刻t 的速度为()22v t t =-+(单位:km/h ),那么它在0≤t ≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S (单位:km )是多少?分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题,化归为匀速直线运动的路程问题.把区间[]0,1分成n 个小区间,在每个小区间上,由于()v t 的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得S (单位:km )的近似值,最后让n 趋紧于无穷大就得到S (单位:km )的精确值.(思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程).1.分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间:10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其长度为11i i t n n n -∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作: 1S ∆,2S ∆,…,n S ∆显然,1n i i S S==∆∑.2. 近似代替当n 很大,即t ∆很小时,在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从物理意义上看,即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动,即在局部小范围内“以匀速代变速”,于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆,即在局部范围内“以直代取”,则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭①3. 求和由①,21111112n nn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n n n n -⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 4. 取极限 当n 趋向于无穷大时,即t ∆趋向于0时,11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ,从而有 1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系?结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积.一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为()v v t =,那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S .拓展建构例1:弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力()F x kx =(k 为常数,x 是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功.分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解: 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ,则所作的功为W F x =⋅.(1)分割在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间:0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦,其长度为()1i b i b b x n n n -⋅∆=-= 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所作的功分别记作: 1W ∆,2W ∆,…,n W ∆(2)近似代替有条件知:()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅⎪⎝⎭(1,2,,)i n =(3)求和 ()111n n n i i i i b b W W k n n ==-=∆=⋅⋅∑∑ =()()22222110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫≈=- ⎪⎝⎭(4)取极限2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为:22kb 课堂小结教学反思。

1.5.2汽车行驶的路程

1.5.2汽车行驶的路程

高一年级内部讲义1.5.2 汽车行驶的路程一、学习目标:1.用“四步曲”的方法求变速运动物体在某段时间内的路程;2.了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法.教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限).教学难点:过程的理解. 二、学习过程(一)用“四步曲”方法求变速运动在某段时间内的路程自学教材42~44页,完成以下问题:问题1:如果汽车在行进过程中作变速直线运动,在时刻t 的速度22v t =-+(单位:km/h ),那么它在01t ≤≤这段时间内行驶的路程S 是多少? (1)分割:把时间区间[0,1]等间隔地插入1n -个分点,将它n 等分,记第i 个小区间为____________,此时区间长度t ∆=___________. (2)近似代替:在每个小区间内,变速直线运动可以近似地看作_______________,此时第i 个小区间内的速度可近似地用_____________代替,'i i S S ∆≈∆=_______________. (3)求和:计算1'nn i i S S ==∆=∑__________.(4)求极限:计算lim n n S S →+∞==______________.练习1:一物体沿直线运动,其速度()v t t =,这个物体在0t =到1t =这段时间内所走的路程为( )A .13B .12C .1D .32练习2:一物体沿直线运动,其速度2()v t t =,这个物体在0t =到1t =这段时间内所走的路程为( )A .13B .12C .1D .2练习3:一物体沿直线运动,其速度()2v t t =+,这个物体在1t =到2t =这段时间内所走过的路程为( )A .32B .52C .72D .4问题2:在上面的第二步“近似代替”中,如果我们认为在每个小时间间隔1[,](1,2,,)i ii n n n-= 上,汽车近似地以时刻in处的速度2()()2i iv n n=-+作匀速行驶,从而得到汽车行驶的总路程S 的近似值,用这种方法能求出S 的值吗?若能求出,这个值也是53吗?练习4:一辆汽车在司机猛踩刹车后5s 内停下.在求刹车踩下后汽车滑过的距离的不足近似值(每个i ξ均取为小区间的右端点)与过剩近似值(每个i ξ均取为小区间的左端点).(二)曲边梯形与汽车行驶路程的关系问题3:结合求曲边梯形面积过程,你认为汽车行驶的路程S 与直线0,1,0t t v ===和22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系?(三)典型例题例1:一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻t 的速度为2()5v t t =-+(单位:km/h ),试计算这辆汽车在02t ≤≤(单位:h )这段时间内汽车行驶的路程S (单位:km ).(四)课堂小结求变速直线运动的物体在某段时间运动的路程的步骤是:(1)__________________________________; (2)__________________________________; (3)__________________________________; (4)__________________________________.三、学习反思:四、作业自测1.做直线运动的物体的运动速度v t =,该物体在1t =到2t =这段时间内所走的路程为( ) A .13B .12C .32D .22.一辆汽车以速度23v t =行驶,这辆汽车从0t =到3t =这段时间内所行驶的路程为( ) A .13B .1C .3D .273.以速度(0)v at a =>沿直线运动的物体在1t =到4t =这段时间内所走过的路程为____________. 4.已知某物体作直线运动,速度函数为()t v t e =,求物体在时间区间[0,1]内的运动距离.5.如图描述了一物体运动速度v (单位:m/s )的变化.请对这一物体在0t =到6t =(单位:s )之间走过的路程进行估计.6.一个物体从距离地面150m 的高空自由下落,加速度为9.81(单位:2m/s ).(1)写出速度作为时间的函数的表达式; (2)将时间段[0,4]平均分成8等份,计算该物体下落的前4s 经过的距离的过剩近似值(每个i ξ均取为小区间的右端点)与不足近似值(每个i ξ均取为小区间的左端点).7.有一质量非均匀分布的细棒,已知其线密度为2ρ=(取细棒所在的直线为x轴,细棒的一()x x端为原点),棒长为l,试用四步曲求细棒的质量m.8.某汽车在公路上变速行驶,行驶速度与时间t满足2v t t=-(km/h),计算这辆汽车在时间段()2≤≤内行驶的路程.12t。

高二数学 教案 1.5.2汽车行驶的路程导学案人教版_选修2-2

高二数学  教案  1.5.2汽车行驶的路程导学案人教版_选修2-2
这段时间内所走的路程为.

课后作业
1.(课本P45练2)一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 的速度为 ( 的单位: , 的单位: ),试计算这辆汽车在 这段时间内汽车行使的路程 (单位: ).
2.变速运动物体的速度 ( ),
若已知其路程是 ,求 的值.

学习评价
1.若 ,那么作匀速(速度为 )
直线运动的物体在 这段时间内,物体所运动
的路程 是( )
A. B. C. D.
2.变速直线运动的物体 ( )的路程
是( )
A. B. C. D.
3.已知某物体运动的速度为 ,则物体从 到 所走过的路程为( )
A. B. C. D.
4.以速度 沿直线运动的物体在 到
◆反馈练习
1.(课本P45练1)在上面的第二步“近似替代”中,如果我们认为在每个小时间间隔
上,汽车近似地以时刻 处的速度 作匀速行驶,从而得到汽车行驶的总路程 的近似值,用这种方法能求出 的值吗?这个值也是 吗?
2.(课本P44探究)结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程 与由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
第15课时
1.5.2汽车行驶的路程
学习目标
1.掌握求变速直线运动的思想方法和步骤.
2.感知“以不变代变”的思想方法.
学习过程
一、学前准备
◆复习:回忆求曲边梯形的面积的步骤.
二、新课导学
◆探究新知(预习教材P42~P45,找出疑惑之处)
问题1:利用导数我们解决了“已知物体运的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?
问题2:类比求曲边梯形面积的思想方法和基本步骤,得出求变速直线运动的路程的思想步骤.

新人教A版选修(2-2)1.5.2《汽车行驶的路程》word教案

新人教A版选修(2-2)1.5.2《汽车行驶的路程》word教案

学校: 临清一中 学科:数学 编写人:李洪涛 审稿人:张林§1.5.2汽车行驶的路程教案教学目标:1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程;2.感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)。

3.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点;教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限).教学难点:过程的理解.教学过程:一.创设情景复习:1.连续函数的概念;2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤;利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢?二.新课讲授问题:汽车以速度v 组匀速直线运动时,经过时间t 所行驶的路程为S vt =.如果汽车作变速直线运动,在时刻t 的速度为()22v t t =-+(单位:km /h ),那么它在0≤t ≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S (单位:km )是多少?分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题,化归为匀速直线运动的路程问题.把区间[]0,1分成n 个小区间,在每个小区间上,由于()v t 的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得S (单位:km )的近似值,最后让n 趋紧于无穷大就得到S (单位:km )的精确值.(思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程).解:1.分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间:10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其长度为 11i i t n n n -∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作: 1S ∆,2S ∆,…,n S ∆显然,1nii S S ==∆∑(2)近似代替当n 很大,即t ∆很小时,在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上,可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从物理意义上看,即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动,即在局部小范围内“以匀速代变速”,于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆,即在局部范围内“以直代取”,则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①(3)求和由①,21111112n nn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n nn n -⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦ =()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (4)取极限当n 趋向于无穷大时,即t ∆趋向于0时,11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ,从而有 1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系?结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积.一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为()v v t =,那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S .三.典例分析例1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力()F x kx =(k 为常数,x 是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功.分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解: 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ,则所作的功为W F x =⋅.1.分割在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间:0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n nn -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦,其长度为()1i b i b b x n n n -⋅∆=-= 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所作的功分别记作: 1W ∆,2W ∆,…,n W ∆(2)近似代替有条件知:()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅⎪⎝⎭ (1,2,,)i n =(3)求和 ()111n n n i i i i b b W W k n n ==-=∆=⋅⋅∑∑=()()22222110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫≈=- ⎪⎝⎭(4)取极限2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为:22kb 四.课堂练习1.课本 练习五.回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程.六.布置作业。

人教版高中数学选修2-2学案:1.5.2汽车行驶的路程

人教版高中数学选修2-2学案:1.5.2汽车行驶的路程

1.5.2 汽车行驶的行程【学习目标】1.会求较简单的曲边梯形的面积、变速直线运动的行程;2.认识“以直代曲” 、“以不变代变”的数学思想方法;3.经过实例(求曲边梯形的面积、变速直线运动的行程等),从问题的情境中认识定积分的实质背景.【新知自学】新知梳理:1.曲边梯形的面积如右图,曲边梯形是指由直线x=a,x=b(a ≠ b),_________________ 和曲线 y=f(x) 围成的图形(如图①).2.求曲边梯形的面积的方法和步骤( 1)切割:把区间 [a,b] 分红很多小区间,从而把曲边梯形拆分红一些________________( 如图② );( 2)近似取代:对每个小曲边梯形“以直代曲”,即用 _____________ 的面积取代小曲边梯形的面积,获得每个小曲边梯形的面积的______________( 如图② );( 3)乞降:把以近似取代获得的每个小曲边梯形面积的______________乞降;( 4)取极限:当小曲边梯形的个数趋势无量时,各小曲边梯形的面积之和趋势一个_______________, 即为曲边梯形的面积 .y yy=f(x)y=f (x)Oa b x O a b x图①图②3.求变速直线运动的位移(行程)假如物体做变速直线运动,速度函数v v(t ) ,那么也能够采纳_________ 、 _______ 、___________、 __________ 的方法,求出它在a≤ t≤b 内所经过的位移s.对点练习:1.把区间 [1,3] 分红 n 等份,所得n个小区间,每个小区间的长度为()123D.1A. B. C.2nn n n2.把区间[a, b] (a b) n 平分后,第i个小区间是 ()A. [i1 ,i ] n nB. [i1(b a),i(b a)] n nC. [ a i1, ai] n nD. [ a in1(b a), ain(b a)]3.在“近似代替”中,函数 f ( x)在区间[ x i , x i 1 ]上的近似值()A. 只好是左端点的函数值 f ( x i )B. 只好是右端点的函数值 f ( x i 1 )C.能够是该区间内的任一函数值f i(i[ x i , x i 1])D.以上答案均正确4.汽车以v v(t ) (函数 v v(t ) 在 (0,) 上为连续函数)在笔挺的公路上履行,在 [0,2]内经过的行程为S ,以下说法中正确的选项是__________.(1) 将[0,2] n平分,若以每个小区间左端点的速度近似代替时,求得的S n是 S 的不足近似值 ( S n S);(2) 将[0,2] n平分,若以每个小区间右端点的速度近似代替时,求得的S n是 S 的剩余近似值 ( S n S );(3)将[0,2] n平分,当n很大时,求出的S n就是 S 的正确值;(4) S的正确值就是由直线t 0, t 2, v0 和曲线 v v(t ) 所围成的图形的面积.【合作研究】典例精析:例 1. 求由抛物线y=x2与 x 轴及 x=1 所围成的平面图形的面积S.例 2.汽车以速度v 组匀速直线运动时,经过时间t所行驶的行程为S vt .假如汽车作变速直线运动,在时辰t 的速度为 v t t 22(单位:km/h),那么它在0≤ t ≤1(单位:h)这段时间行家驶的行程S (单位:km)是多少?规律总结:求曲边梯形的面积:(1)思想:以直代曲、迫近;(2)步骤:切割近似取代乞降取极限;重点:近似取代;结果:切割越细,面积越精准 .【讲堂小结】【当堂达标】1.已知函数 f (x) x ,则函数的图象与直线x 1, y 0 所围成的地区的面积为( )1B .1C .2D.0A.22.函数 f(x)=x 2 在区间[i1,i] 上()n nA.f(x) 的值变化很小B. f(x) 的值变化很大C. f(x) 的值不变化D.当 n 很大时, f(x)的值变化很小3.求由直线 x=1,x=2,y=0和曲线 y=lnx 所围成的图形的面积时的不足近似值是__________ ;剩余近似值是______________________ .【课时作业】2t 2(0t3)1.一质点在作直线运动时 ,其速度v(t)18(3t7) (单位: m / s ),3t39 (7t13)则此质点在区间_____内作加快度愈来愈快的变加快运动;在区间 ________内作速度为 _________ 匀速运动;在区间 ______ 内作加快度大小为_______的匀 ____ 速运动;这一质点在这13 s内的运动行程为________ m .2.求由直线x 0, x 1, y 0 和抛物线 y2x 2所围成的图形的面积.3.已知自由落体物体的运动速度v gt ,求在时间区间[0,t] 内物体着落的距离。

高二人教版数学选修2-2课件:1.5.2 汽车行驶的路程

高二人教版数学选修2-2课件:1.5.2 汽车行驶的路程

解析:(1)分割:将 a,b 之间分割成 n 个小区间.设 a= x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b.记第 i 个区间的长度为Δxi=xi -xi-1(i=1,2,…,n).并在小区间[xi-1,xi]内任取一点 ξi.
(2)近似代替:如果区间很小,由 F 在[xi-1,xi]内变化不 大,可近似看作常力,把 F(ξi)记为这个常力,那么物体从 xi- 1 到 xi 所做的功ΔWi=F(ξi)·Δxi(i=1,2,…,n).
(i-1)2

54 n3
[12

22



(n

1)2]

54 n3
·
1 6
பைடு நூலகம்
n(n

1)·(2n

1)

91-n12-n1.
S=
Sn=
91-n12-n1=18(m).
【易错剖析】若对质点运动的概念理解不透,则会解错第
(1)小题.因此应掌握以下关系:若速度 v 是时间 t 的常数函数, 则物体作匀速运动;若速度 v 是时间 t 的一次函数,则物体作 匀加速或匀减速运动;速度 v 是时间 t 的二次函数,则物体作 变加速或变减速运动.
单位:m/s.
(1)请根据速度函数描述质点的三种运动状态;
(2)试求这一质点在 3s 内的运动路程.
解析:(1)v(t)=2t2(0≤t≤3),说明质点在前 3 s 内做变加速
直线运动;
v(t)=18(3<t<7),说明质点在第 3 s~7 s 之间做匀速直线运 动;
v(t)=-3t+39(7≤t≤13),说明质点在第 7 s~13 s 之间做 匀减速直线运动.

高中数学-1.5.2汽车行驶的路程-课件(人教A版选修2-2)

高中数学-1.5.2汽车行驶的路程-课件(人教A版选修2-2)

1
2·1n(i=
1,2,…,
n).
(3)求和
n
n
∑ i= 1ΔSi≈∑ i= 1
1n1+i-n
12
.
(4)取极 限
n
S=lim∑ n→ ∞i= 1
1n1+i-n
12

n
1+lim∑ n→ ∞i= 1
i- n
12·1n
= 1+lim n→ ∞
131-1n 1-21n = 1+13=43.
栏目 导引
导引
第一章 导数及其应用
n
上行驶的路程分别记为 Δs1,Δs2,…,Δsn,则有 sn= Δ
i= 1
si(i=1,2,…,n).(2)近似代替:取 ξi=2ni(i=1,2,…,n),
Δsi

学法 指导
形的面积,再用求极限的方法求曲边梯形的面积. 2.“以不变代变”的思想:变速直线运动的路程问题采 用“以不变代变”的思想,转化为求匀速直线运动的路
程问题,也可转化为求曲边梯形的面积.
第一章 导数及其应用
1.连续函数与曲边梯形 (1)连续函数 如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条____连__续__不__断____ 的曲线,那么就把它称为区间I上的连续函数. (2)曲边梯形 把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线_____y=__f_(_x_)_____所 围成的图形称为曲边梯形.
第一章 导数及其应用
方法归纳
(1)求曲 边梯形 的面 积时要 按照分 割→ 近似代 替→求 和→
取极限这四个步骤 进行.
(2)近似 代替时,可以用每个区间的右端点的 函数值代替,
也可用每个区间的 左端点的函数值代替.
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§1.5.2汽车行驶的路程学案
教学目标:
1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程;
2.感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)。

3.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点; 教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限). 教学难点:过程的理解. 教学过程: 一.创设情景
复习:1.连续函数的概念;
2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤;
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢? 二.新课讲授
问题:汽车以速度v 组匀速直线运动时,经过时间t 所行驶的路程为S vt =.如果汽车作变速直线运动,在时刻t 的速度为()2
2v t t =-+(单位:km /h ),那么它在0≤t ≤1(单
位:h)这段时间内行驶的路程S (单位:km )是多少? 分析:
解:1.分割
(2)近似代替
(3)求和
(4)取极限
思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和
曲线2
2v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
三.典例分析
例1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力()F x kx =(k 为常数,x 是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功.
分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解: 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ,则所作的功为W F x =⋅. 1.分割
(2)近似代替
(3)求和
(4)取极限
四.课堂练习
1.课本练习
五.回顾总结
求汽车行驶的路程有关问题的过程.六.布置作业
§1.5.2汽车行驶的路程教案
教学目标:
1.体会求汽车行驶的路程有关问题的过程;
2.感受在其过程中渗透的思想方法:分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)。

3.了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点; 教学重点:掌握过程步骤:分割、以不变代变、求和、逼近(取极限). 教学难点:过程的理解. 教学过程: 一.创设情景
复习:1.连续函数的概念;
2.求曲边梯形面积的基本思想和步骤;
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系,求物体运动速度”的问题.反之,如果已知物体的速度与时间的关系,如何求其在一定时间内经过的路程呢? 二.新课讲授
问题:汽车以速度v 组匀速直线运动时,经过时间t 所行驶的路程为S vt =.如果汽车作变速直线运动,在时刻t 的速度为()2
2v t t =-+(单位:km /h ),那么它在0≤t ≤1(单
位:h)这段时间内行驶的路程S (单位:km )是多少?
分析:与求曲边梯形面积类似,采取“以不变代变”的方法,把求匀变速直线运动的路程问题,化归为匀速直线运动的路程问题.把区间[]0,1分成n 个小区间,在每个小区间上,由于()v t 的变化很小,可以近似的看作汽车作于速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值,在求和得S (单位:km )的近似值,最后让n 趋紧于无穷大就得到S (单位:km )的精确值.(思想:用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程). 解:1.分割
在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间: 10,
n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,1,1n n -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
,其长度为
11i i t n n n
-∆=
-= 把汽车在时间段10,
n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,…,1,1n n -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上行驶的路程分别记作: 1S ∆,2S ∆,…,n S ∆
显然,1
n
i
i S S ==
∆∑
(2)近似代替
当n 很大,即t ∆很小时,在区间1,i i n n -⎡⎤

⎥⎣⎦
上,可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小,近似的等于一个常数,不妨认为它近似的等于左端点
1
i n
-处的函数值2
112i i v n n --⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,从物理意义上看,即使汽车在时间段1,(1,2,,)
i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2
112i i v n n --⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
作匀速直线运动,即在局部小范围内“以匀速代变速”,于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替
i S ∆,即在局部范围内“以直代取”,则有
21112i i i i S S v t n n n
⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2
112(1,2,,)i i n n n n -⎛
⎫=-+= ⎪
⎝⎭ ①
(3)求和
由①,21111112n
n
n n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛
⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑∑∑ =2
2
111
11
02n n n n
n n
-⎛⎫⎛⎫---
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()2
22311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦
=()()3
121126
n n n n ---
+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫
---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫
≈=---+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
(4)取极限
当n 趋向于无穷大时,即t ∆趋向于0时,11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫
=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
趋向于S ,从而有
1
111115lim lim lim 112323
n
n n n n i i S S v n
n n n →∞
→∞
→∞=-⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑
思考:结合求曲边梯形面积的过程,你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系?
结合上述求解过程可知,汽车行驶的路程lim n n S S →∞
=在数据上等于由直线0,1,0
t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积.
一般地,如果物体做变速直线运动,速度函数为()v v t =,那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法,利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想,求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S . 三.典例分析
例1.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力()F x kx =(k 为常数,x 是伸长量),求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功.
分析:利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解. 解: 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ,则所作的功为W F x =⋅. 1.分割
在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点,将区间[]0,1等分成n 个小区间:
0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2,b b n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,…,()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n
n -⎡⎤
⋅=⎢
⎥⎣⎦,其长度为
()1i b i b b x n n n
-⋅∆=
-= 把在分段0,
b n ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦,2,b b n n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦,…,()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上所作的功分别记作: 1W ∆,2W ∆,…,n W ∆ (2)近似代替 有条件知:()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅ ⎪⎝⎭
(1,2,
,)i n =
(3)求和
()1
1
1n n
n i i i i b b
W W k n
n
==-=∆=⋅
⋅∑∑
=()()2
2222
110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫
++++-==-⎡⎤ ⎪⎣
⎦⎝⎭
从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫
≈=- ⎪⎝⎭
(4)取极限
22
1
1lim lim lim 122n
n i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为:2
2
kb
四.课堂练习 1.课本 练习
五.回顾总结
求汽车行驶的路程有关问题的过程.
六.布置作业。

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