(完整版)初中数学二次函数的应用(二)

二次函数的应用

◆目标指引

1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，•并在运用中体会二次函数的实际意义． 2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题．

3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，•学会运用这种“转化”的数学思想方法． ◆要点讲解

1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，•运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题． ◆学法指导

1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，•建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）•求最值时，宜用配方法． 2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，•再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答． ◆例题分析

【例1】如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始，•沿着AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，•设P ，Q 同时出发，问： （1）经过几秒后P ，Q 的距离最短？

（2）经过几秒后△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？

【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts ，显然AP 和BQ•的长度分别为AP=t ，BQ=2t （0≤t≤6）．PQ 的距离PQ=2

2

BP BQ +=251236t t -+．因此，只需求出被开

方式5t 2－12t+36的最小值，就可以求P ，Q 的最短距离． 【解】（1）设经过ts 后P ，Q 的距离最短，则：

∵

∴经过6

5

s后，P，Q的距离最短．

（2）设△PBQ的面积为S，

则S=1

2

BP·BQ=

1

2

（6－t）·2t=6t－t2=9－（t－3）2

∴当t=3时，S取得最大值，最大值为9．

即经过3s后，△PBQ的面积最大，最大面积为9cm2．

【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围．

【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．

（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，•销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？

（4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；•第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）•应确定在什么范围？

【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题．

【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少

1

10

（x－100）万件．

∴y=20－

1

10

（x－100）=－

1

10

x+30．

即y与x之间的函数关系式是y=－

1

10

x+30．

（2）由题意可得：

z=（30－

1

10

x）（x－40）－500－1500=－

1

10

x2+34x－3200．

即z与x之间的函数关系式为z=－

1

10

x2+34x－3200．

（3）∵当x=160时，

z=－

1

10

×1602+34×160－3200=－320，

∴－320=－

1

10

x2+34x－3200，

即x2－340x+28800=0．

由x1+x2=－b

a

得，160+x=340，∴x=180．

即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元．

当x=160时，y=－

1

10

×160+30=14，

当x=180时，y=－

1

10

×180+30=12．

所以相应的年销售量分别为14万件和12万件．

（4）∵z=－

1

10

x2+34x－3200=－

1

10

（x－170）2－310，

∴当x=170时，z取得最大值为－310．

即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资．

第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为：

z′=（30－

1

10

x）（x－40）－310=－

1

10

x2+34x－1510．

当z′=1130时，即1130=－

1

10

x2+34x－1510，

解得x1=120，x2=220．